高中数学三角函数的图像与性质实习生听课记录

高一数学必修一听课记录十篇摘要：一、引言1.高中数学的重要性2.必修一的内容概述二、课堂记录概述1.课堂氛围2.主要知识点3.难点与重点三、具体听课记录1.第一篇：函数与导数a.函数的定义与性质b.导数的概念与计算c.导数在实际问题中的应用2.第二篇：指数与对数函数a.指数函数的性质与应用b.对数函数的性质与应用c.指数与对数的关系3.第三篇：三角函数a.三角函数的定义与性质b.三角函数的图像与周期性c.三角函数在实际问题中的应用4.第四篇：解析几何a.解析几何的基本概念b.直线与圆的方程c.解析几何在实际问题中的应用5.第五篇：概率与统计a.概率的基本概念b.条件概率与独立事件c.统计的基本概念与方法6.第六篇：一元二次方程与不等式a.一元二次方程的解法b.一元二次不等式的解法c.一元二次方程与不等式的实际应用7.第七篇：数列a.等差数列的性质与通项公式b.等比数列的性质与通项公式c.数列在实际问题中的应用8.第八篇：极限与连续a.极限的概念与性质b.连续函数的性质与判定c.极限在实际问题中的应用9.第九篇：复数a.复数的定义与性质b.复数的运算与应用c.复数在实际问题中的应用10.第十篇：复习与总结a.高中数学必修一的主要知识点回顾b.高中数学学习方法的总结c.对高中数学学习的展望正文：作为一名高中学生，我们深知数学在学习中的重要性。

数学不仅是进入大学以及今后职业生涯的必备技能，更是培养逻辑思维和解决问题能力的关键学科。

在我国高中数学课程中，必修一是一门十分重要的课程，涵盖了函数与导数、指数与对数函数、三角函数、解析几何、概率与统计、一元二次方程与不等式、数列、极限与连续、复数等多个知识点。

以下是作者在高一下学期的十篇数学必修一课堂记录，旨在帮助同学们更好地掌握高中数学知识，提高学习效果。

第一篇：函数与导数在本篇课堂记录中，我们学习了函数的定义与性质，了解了函数在数学中的重要作用。

同时，我们还学习了导数的概念与计算，掌握了求导的基本方法。

高一数学必修一听课记录十篇第一篇：直线与圆的位置关系在高一数学必修一课程中，我们学习了直线与圆的位置关系。

这一部分主要讲述了直线与圆的相交、相切和相离的情况。

当一条直线与一个圆相交时，可能有两个交点、一个交点或没有交点。

当直线与圆相切时，有且仅有一个切点。

当直线与圆相离时，没有交点。

通过学习这些情况，我们可以更好地理解直线和圆的几何关系。

第二篇：平面向量的概念与运算在高一数学必修一课程中，我们学习了平面向量的概念与运算。

平面向量是由大小和方向组成的，可以表示为有向线段。

我们可以通过平移、加减、数乘等运算来操作平面向量。

平面向量的运算可以帮助我们解决平面几何中的一些问题，如线段的中点、向量的共线与垂直等。

第三篇：平面向量的数量积在高一数学必修一课程中，我们学习了平面向量的数量积。

平面向量的数量积是两个向量的乘积，结果是一个数。

数量积有几何意义和代数意义。

几何意义上，数量积可以用来求两个向量的夹角。

代数意义上，数量积可以用来求向量的模长、向量的投影等。

掌握了平面向量的数量积，我们可以更深入地了解向量的性质和应用。

第四篇：一元二次方程的基本概念在高一数学必修一课程中，我们学习了一元二次方程的基本概念。

一元二次方程是形如ax^2+bx+c=0的方程，其中a、b、c是已知的实数，且a≠0。

一元二次方程的解是使方程成立的未知数的值。

我们通过配方法、求根公式等方法来解一元二次方程。

一元二次方程在数学中应用广泛，如抛物线的研究、物体的抛体运动等。

第五篇：一元二次方程的图像与性质在高一数学必修一课程中，我们学习了一元二次方程的图像与性质。

一元二次方程的图像是一个抛物线，可以通过求顶点、轴线、判别式等来确定抛物线的特征。

一元二次方程的性质包括：对称性、凹凸性、最值等。

研究一元二次方程的图像与性质可以帮助我们更好地理解方程与图像之间的关系，以及解决实际问题。

第六篇：函数的概念与性质在高一数学必修一课程中，我们学习了函数的概念与性质。

判天地之美，析万物之理——《5.4三角函数的图象与性质》教学设计和教后反思名师工作室要去ⅩⅩ区ⅩⅩ高级中学送教，我积极报名参加。

课题是《5.4三角函数的图象与性质与5.6函数sin()y A x ωϕ=+的性质》，大约有一周的时间备课，除了正常的教育教学工作外一直在深入思考，寻找思路。

一、通读教材，明确内容把新教材三角函数部分通读了一遍，确定复习内容。

本课题大约三个单元6个课时的课程，用一节课复习，内容多，容量大。

主要内容有5.4，5.6两部分：5.4.1.用正弦函数的定义发现每旋转一周，函数值周而复始的出现，问题归结到画出]2,0[π的图象，然后再平移就可以的得到实数集R 上的图象，任取一点0x ，如何求出0sin x ，作点)sin ,(00x x ，利用细线缠绕的方法找到角0x 对应的终边与单位圆的交点，通过0x 正弦值的几何意义作图，接下来平分]2,0[π，平分单位圆，如法炮制，描点，连线，也可以用信息技术让任意点动起来得到图象。

通过诱导公式平移正弦曲线得到余弦函数图象，然后总结五点法快捷的画出图象，包括画出上下平移、关于x 轴对称关于y 轴对称的图象，渗透了图象变换的方法。

5.4.2.利用图象研究正、余弦函数的性质，主要是周期性、奇偶性、单调性和最值；借助正、余弦函数图象与性质研究函数sin()y A x ωϕ=+的性质。

5.4.3.用定义得到正切函数的周期性和奇偶性，再利用正切值的几何意义画出半个周期的图象，结合性质得到定义域上的图象，再来研究性质，以及解决)tan(ϕω+=x A y 的性质。

5.6.1.以筒车为背景建立一般圆周运动的数学模型，弄清ϕω、、A 的实际意义。

5.6.2.研究正弦曲线与函数sin()y A x ωϕ=+的图象的关系，能由正弦曲线变换得到sin()y A x ωϕ=+的图象，理解ϕω、、A 分别对函数图象的影响。

5.6.3能用五点法画出给定区间上函数sin()y A x ωϕ=+的图象，验证性质。

《三角函数的图象与性质》教学设计设计理念新课程的教学中，注重信息技术与数学课程的整合，注重以学生为主体，教师为主导的教学理念。

本节课通过精心设计数学实验，创设实验情境，引导学生通过实验手段，经历数学知识的建构过程，体验数学发现的喜悦，发展他们的创新意识。

倡导自主探究、动手实践等学习数学的方式，将传统意义下的“学习”数学改变为“研究数学”，使学生的数学学习活动变的主动而富有个性。

教学分析本节倡导学生自主探究，在教师的引导下，通过图像变换和“五点作图法”来揭示参数φ、ω、A 变化时对函数图象的形状和位置的影响，正确找出函数y=Asin(ωx+φ)的图象与正弦曲线的图象变换规律，并通过图象的变化过程，进一步理解正、余弦函数的性质，它是研究函数图像变换的一个延伸，也是研究函数性质的一个直观反映。

如何经过变换由正弦曲线来获取函数y=Asin(ωx+φ)的图象呢？通过对参数φ、ω、A 的分类讨论，让学生深刻认识到图像变换与函数解析式变换之间的内在联系，通过引导学生对由函数x y sin 到y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律的探索，让学生体会到由简单到复杂，由特殊到一般的化归思想。

三维目标一、知识与技能1.理解三个参数φ、ω、A 对函数y=Asin(ωx+φ)图象的影响；2.掌握函数y=Asin(ωx+φ)的图象与正弦曲线的变换关系。

二、过程与方法1、通过学生经历对函数x y sin =的图象到)sin(A ϕω+=x y 的图象变换规律的探索过程，体会由简单到复杂，由特殊到一般的化归思想；2、培养学生全面分析、抽象、概括的能力；培养学生研究问题和解决问题的能力。

三、情感态度与价值观1.通过对问题的自主探究，培养学生的独立意识和独立思考能力；2. 在解决问题的难点时，培养学生解决问题抓主要矛盾的思维方式；3. 在问题逐步深入的研究中唤起学生追求真理，乐于创新的情感需求，引发学生渴求知识的强烈愿望，树立科学的人生观、价值观。

第2课时正弦、余弦的图象与性质学习目标核心素养(教师独具) y＝sin x，y＝cos x的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值．(重点、难点)2．掌握y＝sin x，y＝cos x的单调性，并能利用单调性比较大小．(重点)3．会求函数y＝A sin(ωx＋φ)及y＝A cos(ωx＋φ)的单调区间．(重点、易错点)通过学习本节内容提升学生的直观想象、数学运算核心素养.正弦函数、余弦函数的图象与性质函数正弦函数y＝sin x，x∈R余弦函数y＝cos x，x∈R 图象定义域R R值域[－1,1][－1,1]最值当x＝2kπ＋π2(k∈Z)时，取得最大值1；当x＝2kπ－π2(k∈Z)时，取得最小值－1当x＝2kπ(k∈Z)时，取得最大值1；当x＝2kπ＋π(k∈Z)时，取得最小值－1周期性周期函数，T＝2π周期函数，T＝2π奇偶性奇函数，图象关于原点对称偶函数，图象关于y轴对称单调性在⎣⎢⎡⎦⎥⎤2kπ－π2，2kπ＋π2(k∈Z)上是增函数；在2kπ＋π2，2kπ＋3π2(k∈Z)上是减函数在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是增函数；在[2kπ，(2k＋1)π](k∈Z)上是减函数对称性关于x＝kπ＋π2(k∈Z)成轴对称，关于(kπ，0)(k∈Z)成中心对称关于x＝kπ(k∈Z)成轴对称，关于kπ＋π2，0(k∈Z)成中心对称1．思考辨析(1)y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2是奇函数．( )(2)函数y ＝3sin 2x 是周期为π的奇函数．( )(3)y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上单调递减．( ) (4)y ＝cos x 的值域为(－1,1)．( )[解析] (1)×.∵y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝cos x ，∴是偶函数．(2)√.T ＝2π2＝π.f (－x )＝3sin(－2x )＝－3sin 2x ，故为奇函数．(3)×.y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上单调递增． (4)×.y ＝cos x 的值域为[－1,1]． [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)× 2．函数y ＝12sin x ＋1的值域是________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32[由sin x ∈[－1,1]，得12sin x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12， 所以12sin x ＋1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32.]3．函数y ＝sin(2x ＋π)的对称中心是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0，k ∈Z [y ＝sin(2x ＋π)＝－sin 2x ， 由2x ＝k π得x ＝k π2(k ∈Z )，∴y ＝sin(2x ＋π)的对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫k π2，0，k ∈Z .]求三角函数的单调区间【例1】 求下列函数的单调递增区间． (1)y ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4－2x ；(2)y ＝log 12sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6.思路点拨：(1)先利用诱导公式将x 的系数化为正数，再确定所求的单调区间后利用整体代换的方法求解．(2)先由sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6>0，得到相应x 的取值X 围，然后借助于复合函数的单调性分析．[解] (1)因为y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，由－π＋2k π≤2x －π4≤2k π(k ∈Z )，得－3π8＋k π≤x ≤k π＋π8(k ∈Z )，所以y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8＋k π，k π＋π8(k ∈Z )．(2)由sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6>0得2k π<x －π6<π＋2k π(k ∈Z )，①要求原函数的单调递增区间，只需求函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6的单调递减区间，令π2＋2k π≤x －π6≤3π2＋2k π(k ∈Z )得2π3＋2k π≤x ≤5π3＋2k π(k ∈Z )，② 由①②可知2π3＋2k π≤x <76π＋2k π(k ∈Z )，所以原函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3＋2k π，7π6＋2k π(k ∈Z )．求函数y ＝A sin (ωx ＋φ)(A >0，ω≠0)的单调区间的一般步骤：(1)当ω>0时，把“ωx ＋φ”看成一个整体，由2k π－π2≤ωx ＋φ≤2k π＋π2(k ∈Z )解出x 的X 围，即为函数递增区间；由2k π＋π2≤ωx ＋φ≤2k π＋3π2(k ∈Z )解出x 的X 围，即为函数递减区间.(2)当ω<0时，可先用诱导公式转化为y ＝－sin (－ωx －φ)，则y ＝sin (－ωx －φ)的增区间即为原函数的减区间，减区间为原函数的增区间.余弦函数y ＝A cos (ωx ＋φ)(A >0，ω≠0)的单调性讨论同上. 提醒：要注意k ∈Z 这一条件不能省略.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，x ∈[－π，0]的单调减区间．[解] 当2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2时，函数单调递减，解得：k π＋π6≤x ≤k π＋2π3.∵x ∈[－π，0]，∴取k ＝－1，此时－π＋π6≤x ≤－π＋2π3，即－5π6≤x ≤－π3.故函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，x ∈[－π，0]的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，－π3.比较三角函数值的大小【例2】 用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小． (1)sin 194°与cos 160°； (2)cos 32，sin 110，－cos 74；(3)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 38π与sin ⎝⎛⎭⎪⎫cos 38π.思路点拨：先把异名函数同名化，再把不同单调区间内的角化为同一单调区间内，最后借助单调性比较大小．[解] (1)sin 194°＝sin(180°＋14°)＝－sin 14°， cos 160°＝cos(90°＋70°)＝－sin 70°.∵0°<14°<70°<90°，函数y ＝sin x 在区间(0°，90°)内是增函数， ∴sin 14°<sin 70°，∴－sin 14°>－sin 70°， ∴sin 194°>cos 160°.(2)sin 110＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－110，－cos 74＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－74，∵0<π－74<π2－110<32<π，函数y ＝cos x 在(0，π)上是减函数， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－74>cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－110>cos 32， 即－cos 74>sin 110>cos 32.(3)cos 3π8＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π8＝sin π8. ∵0<π8<3π8<π2，函数y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2内是增函数，∴sin π8<sin 3π8，∴cos 3π8<sin 3π8.而0<cos 3π8<sin 3π8<1，函数y ＝sin x 在(0,1)内是增函数， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3π8<sin ⎝⎛⎭⎪⎫sin 3π8.比较三角函数值的大小时，若函数名不同，一般应先化为同名三角函数，再运用诱导公式把它们化到同一单调区间上，以便运用函数的单调性进行比较.注意，有些时候，可以先用式子的符号进行分类比较大小.2．比较下列各组数值的大小：(1)sin 2与cos 1；(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－376π与sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫493π.[解] (1)因为cos 1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1， sin 2＝sin(π－2)，又0<π2－1<π－2<π2且y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上是递增的，从而sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1<sin(π－2)，即cos 1<sin 2.(2)∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－376π ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6π－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫493π＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫16π＋π3＝sin π3， ∵y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是增函数， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6<sin π3，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－376π<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫493π. 与三角函数有关的值域问题[探究问题]1．如何求函数y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π6上的值域？ 提示：借助函数y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π6上的单调性求解． 因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π6时，y ＝sin x 是单调递增函数， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3≤sin x ≤sin π6，即－32≤sin x ≤12， ∴其值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，12. 2．如何求形如y ＝a sin x ＋b (a ，b ≠0)的值域？提示：令t ＝sin x ，则t ∈[－1,1]，从而转化为y ＝at ＋b ，t ∈[－1,1]型的值域问题． 3．如何求形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的值域？提示：令sin x ＝t ，t ∈[－1,1]，从而y ＝at 2＋bt ＋c ，t ∈[－1,1]，即转化为给定区间的二次函数值域问题．【例3】 (1)求函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6≤x ≤π6的最大值和最小值；(2)求函数y ＝－2cos 2x ＋2sin x ＋3，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6的值域．思路点拨：(1)由x 的X 围⇒2x ＋π3的X 围⇒借助单调性求y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的最值；(2)由x 的X 围⇒sin x 的X 围⇒函数的值域． [解] (1)∵－π6≤x ≤π6，∴0≤2x ＋π3≤2π3，∴0≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1，∴当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝1时，取得最大值2； 当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝0时，取得最小值0. (2)y ＝－2(1－sin 2x )＋2sin x ＋3 ＝2sin 2x ＋2sin x ＋1 ＝2⎝⎛⎭⎪⎫sin x ＋122＋12.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6，∴12≤sin x ≤1.当sin x ＝1时，取得最大值5； 当sin x ＝12时，取得最小值52.∴函数y ＝－2cos 2x ＋2sin x ＋3的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤52，5.1．(变条件)将本例(1)中“－π6≤x ≤π6”改为“－π3≤x ≤π6”，求y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的最值．[解] ∵－π3≤x ≤π6，∴－π3≤2x ＋π3≤2π3，∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1，∴当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝1时，最大值为2， 当sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝－32时，取最小值－ 3. 2．(变条件)本例(2)中“y ＝－2cos 2x ＋2sin x ＋3改为y ＝－2cos 2x ＋2cos x ＋3”，其它条件不变，求值域．[解]y ＝－2⎝⎛⎭⎪⎫cos x －122＋72，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6，∴－32≤cos x ≤32. 当cos x ＝12时，取得最大值72.当cos x ＝－32时，取得最小值32－ 3.1．求形如y ＝A sin x ＋B 或y ＝A cos x ＋B 型的三角函数的最值问题，一般运用三角函数的有界性求最值．求最值时要注意三角函数的定义域，尤其要注意题目中是否给定了区间．2．求解形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c (或y ＝a cos 2x ＋b cos x ＋c )，x ∈D 的函数的值域或最值时，通过换元，令t ＝sin x (或cos x )，将原函数转化为关于t 的二次函数，利用配方法求值域或最值即可．求解过程中要注意t ＝sin x (或cos x )的有界性．教师独具1．本节课的重点是正弦函数和余弦函数的性质，难点是正、余弦函数的最值问题的求解． 2．理解正、余弦函数的性质，要重点关注以下三点(1)正弦函数(余弦函数)不是定义域上的单调函数．另外，说“正弦函数(余弦函数)在第一象限内是增(减)函数”也是错误的，因为在第一象限内，即使是终边相同的角，它们也可以相差2π的整数倍．(2)正弦曲线(余弦曲线)的对称轴一定过正弦曲线(余弦曲线)的最高点或最低点，即此时的正弦值(余弦值)取最大值或最小值．(3)正弦曲线(余弦曲线)的对称中心一定是正弦曲线(余弦曲线)与x 轴的交点，即此时的正弦值(余弦值)为0.3．要重点掌握函数性质的应用 (1)求正、余弦函数的周期． (2)判断正、余弦函数的奇偶性． (3)求正、余弦函数的单调区间． (4)求正、余弦函数的值域． 4．本节课的易错点有以下两处(1)求形如函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，如果ω<0，应先利用诱导公式将其转化为正值．(2)求形如函数y ＝A sin 2x ＋B sin x ＋C 的值域时，易忽视正弦函数y ＝sin x 的有界性．1．函数y ＝2sin 2x 的奇偶性为( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．非奇非偶D ．既奇又偶A [∵2sin(－2x )＝－2sin 2x ， ∴函数y ＝2sin 2x 为奇函数．]2．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) [令－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π(k ∈Z )得k π－π12≤x ≤5π12＋k π(k ∈Z )．]3．将cos 150°，sin 470°，cos 760°按从小到大排列为______．cos 150°＜cos 760°＜sin 470° [cos 150°＜0，sin 470°＝sin 110°＝cos 20°＞0，cos 760°＝cos 40°＞0且cos 20°＞cos 40°，所以cos 150°＜cos 760°＜sin 470°.]4．求函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π4的单调区间． [解]y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π4＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4. 因为2x －π4是关于x 的增函数，所以只需要考虑y ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4关于2x －π4的单调性即可．当2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z )时，y ＝sin2x －π4为增函数，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π4为减函数，解得k π－π8≤x ≤k π＋3π8(k ∈Z )，即函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2x ＋π4的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z )；同理，令2k π＋π2≤2x －π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，求得函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2x ＋π4的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋3π8，k π＋7π8(k ∈Z )．。

第2课时 正弦、余弦的图象与性质学 习 目 标核 心 素 养(教师独具)1.掌握y ＝sin x ，y ＝cos x 的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值．(重点、难点)2．掌握y ＝sin x ，y ＝cos x 的单调性，并能利用单调性比较大小．(重点)3．会求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)及y ＝A cos(ωx ＋φ)的单调区间．(重点、易错点)通过学习本节内容提升学生的直观想象、数学运算核心素养.正弦函数、余弦函数的图象与性质 函数正弦函数y ＝sin x ，x ∈R余弦函数y ＝cos x ，x ∈R 图象定义域 R R 值域[－1,1][－1,1]最值当x ＝2k π＋π2(k ∈Z )时，取得最大值1； 当x ＝2k π－π2(k ∈Z )时，取得最小值－1 当x ＝2k π(k ∈Z )时，取得最大值1； 当x ＝2k π＋π(k ∈Z )时，取得最小值－1周期性 周期函数，T ＝2π 周期函数，T ＝2π 奇偶性 奇函数，图象关于原点对称偶函数，图象关于y 轴对称 单调性在⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )上是增函数；在2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z )上是减函数在[2k π－π，2k π](k ∈Z )上是增函数；在[2k π，(2k ＋1)π](k ∈Z )上是减函数对称性关于x ＝k π＋π2(k ∈Z )成轴对称，关于(k π，0)(k ∈Z )成中心对称 关于x ＝k π(k ∈Z )成轴对称，关于k π＋π2，0(k ∈Z )成中心对称(1)y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2是奇函数．( )(2)函数y ＝3sin 2x 是周期为π的奇函数．( )(3)y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上单调递减．( ) (4)y ＝cos x 的值域为(－1,1)．( )[解析] (1)×.∵y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝cos x ，∴是偶函数．(2)√.T ＝2π2＝π.f (－x )＝3sin(－2x )＝－3sin 2x ，故为奇函数．(3)×.y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上单调递增． (4)×.y ＝cos x 的值域为[－1,1]． [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)× 2．函数y ＝12sin x ＋1的值域是________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32 [由sin x ∈[－1,1]，得12sin x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12， 所以12sin x ＋1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32.]3．函数y ＝sin(2x ＋π)的对称中心是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0，k ∈Z [y ＝sin(2x ＋π)＝－sin 2x ， 由2x ＝k π得x ＝k π2(k ∈Z )，∴y ＝sin(2x ＋π)的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0，k ∈Z .]求三角函数的单调区间【例1】 求下列函数的单调递增区间． (1)y ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4－2x ；(2)y ＝log 12sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6.思路点拨：(1)先利用诱导公式将x 的系数化为正数，再确定所求的单调区间后利用整体代换的方法求解．(2)先由sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6>0，得到相应x 的取值范围，然后借助于复合函数的单调性分析． [解] (1)因为y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4，由－π＋2k π≤2x －π4≤2k π(k ∈Z )，得－3π8＋k π≤x ≤k π＋π8(k ∈Z )，所以y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8＋k π，k π＋π8(k ∈Z )．(2)由sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6>0得2k π<x －π6<π＋2k π(k ∈Z )，①要求原函数的单调递增区间，只需求函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6的单调递减区间，令π2＋2k π≤x －π6≤3π2＋2k π(k ∈Z )得2π3＋2k π≤x ≤5π3＋2k π(k ∈Z )，② 由①②可知2π3＋2k π≤x <76π＋2k π(k ∈Z )，所以原函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3＋2k π，7π6＋2k π(k ∈Z )．求函数y ＝A sin (ωx ＋φ)(A >0，ω≠0)的单调区间的一般步骤：(1)当ω>0时，把“ωx ＋φ”看成一个整体，由2k π－π2≤ωx ＋φ≤2k π＋π2(k ∈Z )解出x 的范围，即为函数递增区间；由2k π＋π2≤ωx ＋φ≤2k π＋3π2(k ∈Z )解出x 的范围，即为函数递减区间.(2)当ω<0时，可先用诱导公式转化为y ＝－sin (－ωx －φ)，则y ＝sin (－ωx －φ)的增区间即为原函数的减区间，减区间为原函数的增区间.余弦函数y ＝A cos (ωx ＋φ)(A >0，ω≠0)的单调性讨论同上. 提醒：要注意k ∈Z 这一条件不能省略.1.求函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，x ∈[－π，0]的单调减区间．[解] 当2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2时，函数单调递减，解得：k π＋π6≤x ≤k π＋2π3.∵x ∈[－π，0]，∴取k ＝－1，此时－π＋π6≤x ≤－π＋2π3，即－5π6≤x ≤－π3.故函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，x ∈[－π，0]的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，－π3.比较三角函数值的大小【例2】 用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小． (1)sin 194°与cos 160°； (2)cos 32，sin 110，－cos 74；(3)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 38π与sin ⎝⎛⎭⎪⎫cos 38π.思路点拨：先把异名函数同名化，再把不同单调区间内的角化为同一单调区间内，最后借助单调性比较大小．[解] (1)sin 194°＝sin(180°＋14°)＝－sin 14°， cos 160°＝cos(90°＋70°)＝－sin 70°.∵0°<14°<70°<90°，函数y ＝sin x 在区间(0°，90°)内是增函数， ∴sin 14°<sin 70°，∴－sin 14°>－sin 70°， ∴sin 194°>cos 160°.(2)sin 110＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－110，－cos 74＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－74，∵0<π－74<π2－110<32<π，函数y ＝cos x 在(0，π)上是减函数， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－74>cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－110>cos 32， 即－cos 74>sin 110>cos 32.(3)cos 3π8＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π8＝sin π8. ∵0<π8<3π8<π2，函数y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2内是增函数，∴sin π8<sin 3π8，∴cos 3π8<sin 3π8.而0<cos 3π8<sin 3π8<1，函数y ＝sin x 在(0,1)内是增函数， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3π8<sin ⎝⎛⎭⎪⎫sin 3π8. 比较三角函数值的大小时，若函数名不同，一般应先化为同名三角函数，再运用诱导公式把它们化到同一单调区间上，以便运用函数的单调性进行比较.注意，有些时候，可以先用式子的符号进行分类比较大小.2．比较下列各组数值的大小：(1)sin 2与cos 1；(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－376π与sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫493π. [解] (1)因为cos 1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1， sin 2＝sin(π－2)，又0<π2－1<π－2<π2且y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上是递增的，从而sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1<sin(π－2)，即cos 1<sin 2.(2)∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－376π ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6π－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫493π＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫16π＋π3＝sin π3，∵y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是增函数，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6<sin π3，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－376π<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫493π. 与三角函数有关的值域问题 [探究问题]1．如何求函数y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π6上的值域？提示：借助函数y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π6上的单调性求解． 因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π6时，y ＝sin x 是单调递增函数， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3≤sin x ≤sin π6，即－32≤sin x ≤12， ∴其值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，12. 2．如何求形如y ＝a sin x ＋b (a ，b ≠0)的值域？提示：令t ＝sin x ，则t ∈[－1,1]，从而转化为y ＝at ＋b ，t ∈[－1,1]型的值域问题． 3．如何求形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的值域？提示：令sin x ＝t ，t ∈[－1,1]，从而y ＝at 2＋bt ＋c ，t ∈[－1,1]，即转化为给定区间的二次函数值域问题．【例3】 (1)求函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6≤x ≤π6的最大值和最小值； (2)求函数y ＝－2cos 2x ＋2sin x ＋3，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6的值域．思路点拨：(1)由x 的范围⇒2x ＋π3的范围⇒借助单调性求y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的最值；(2)由x 的范围⇒sin x 的范围⇒函数的值域． [解] (1)∵－π6≤x ≤π6，∴0≤2x ＋π3≤2π3，∴0≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1，∴当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝1时，取得最大值2； 当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝0时，取得最小值0. (2)y ＝－2(1－sin 2x )＋2sin x ＋3 ＝2sin 2x ＋2sin x ＋1 ＝2⎝⎛⎭⎪⎫sin x ＋122＋12. ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6，∴12≤sin x ≤1. 当sin x ＝1时，取得最大值5； 当sin x ＝12时，取得最小值52.∴函数y ＝－2cos 2x ＋2sin x ＋3的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤52，5.∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1， ∴当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝1时，最大值为2， 当sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝－32时，取最小值－ 3. 2．(变条件)本例(2)中“y ＝－2cos 2x ＋2sin x ＋3改为y ＝－2cos 2x ＋2cos x ＋3”，其它条件不变，求值域．[解] y ＝－2⎝⎛⎭⎪⎫cos x －122＋72，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6，∴－32≤cos x ≤32. 当cos x ＝12时，取得最大值72.当cos x ＝－32时，取得最小值32－ 3. 1．求形如y ＝A sin x ＋B 或y ＝A cos x ＋B 型的三角函数的最值问题，一般运用三角函数的有界性求最值．求最值时要注意三角函数的定义域，尤其要注意题目中是否给定了区间．2．求解形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c (或y ＝a cos 2x ＋b cos x ＋c )，x ∈D 的函数的值域或最值时，通过换元，令t ＝sin x (或cos x )，将原函数转化为关于t 的二次函数，利用配方法求值域或最值即可．求解过程中要注意t ＝sin x (或cos x )的有界性．教师独具1．本节课的重点是正弦函数和余弦函数的性质，难点是正、余弦函数的最值问题的求解．2．理解正、余弦函数的性质，要重点关注以下三点(1)正弦函数(余弦函数)不是定义域上的单调函数．另外，说“正弦函数(余弦函数)在第一象限内是增(减)函数”也是错误的，因为在第一象限内，即使是终边相同的角，它们也可以相差2π的整数倍．(2)正弦曲线(余弦曲线)的对称轴一定过正弦曲线(余弦曲线)的最高点或最低点，即此时的正弦值(余弦值)取最大值或最小值．(3)正弦曲线(余弦曲线)的对称中心一定是正弦曲线(余弦曲线)与x 轴的交点，即此时的正弦值(余弦值)为0.3．要重点掌握函数性质的应用 (1)求正、余弦函数的周期．(2)判断正、余弦函数的奇偶性． (3)求正、余弦函数的单调区间． (4)求正、余弦函数的值域． 4．本节课的易错点有以下两处(1)求形如函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，如果ω<0，应先利用诱导公式将其转化为正值．(2)求形如函数y ＝A sin 2x ＋B sin x ＋C 的值域时，易忽视正弦函数y ＝sin x 的有界性． 1．函数y ＝2sin 2x 的奇偶性为( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．非奇非偶D ．既奇又偶A [∵2sin(－2x )＝－2sin 2x ， ∴函数y ＝2sin 2x 为奇函数．]2．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) [令－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π(k ∈Z )得k π－π12≤x ≤5π12＋k π(k ∈Z )．]3．将cos 150°，sin 470°，cos 760°按从小到大排列为______．cos 150°＜cos 760°＜sin 470° [cos 150°＜0，sin 470°＝sin 110°＝cos 20°＞0，cos 760°＝cos 40°＞0且cos 20°＞cos 40°，所以cos 150°＜cos 760°＜sin 470°.]4．求函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π4的单调区间．[解] y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π4＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4. 因为2x －π4是关于x 的增函数，所以只需要考虑y ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4关于2x －π4的单调性即可．当2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z )时，y ＝sin2x －π4为增函数，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π4为减函数，解得k π－π8≤x ≤k π＋3π8(k ∈Z )，即函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2x ＋π4的单调减区间为 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z )；同理，令2k π＋π2≤2x －π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，求得函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2x ＋π4的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋3π8，k π＋7π8(k ∈Z )．。

高三一轮（理） 3.3 三角函数的图象和性质【教学目标】1.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解函数的周期性2.理解正弦函数、余弦函数在［0，2π］上的性质（如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等），理解正切函数在区间错误!内的单调性。

【重点难点】1。

教学重点：函数y＝sin x，y＝cos x,y＝tan x的图象和性质; 2.教学难点：学会对知识进行整理达到系统化，提高分析问题和解决问题的能力；【教学策略与方法】自主学习、小组讨论法、师生互动法【教学过程】了解理解掌握函数y＝sin x，y＝cos x,y＝tan x的图象和性质√［考纲传真] 1。

能画出y＝sin x，y＝cos x,y＝tan x的图象，了解函数的周期性 2.理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上的性质（如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等），理解正切函数在区间错误!内的单调性。

真题再现学生通过对高考真题的解决，发现自己对知识的掌握情况。

通过对考纲的解读和分析.让学生明确考试要求，做到有的放矢2.【2014上海】 函数 的最小正周期是________ 【解析】由题意13.(2014·北京)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0).若f (x )在区间⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6，则f (x )的最小正周期为________.典例 (1)(2015·四川)下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( )A.y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π2B.y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π2C.y ＝sin 2x ＋cos 2xD.y ＝sin x ＋cos x学生通过对高考真题的解决，感受高考题的考察视角。

(2)(2015·课标全国Ⅰ)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象 如图所示，则f (x )的单调递减区间为()A.⎝⎛⎭⎪⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈Z B.⎝⎛⎭⎪⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝⎛⎭⎪⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎪⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 由2k π<πx ＋π4<2k π＋π，k ∈Z ，得2k －14<x <2k ＋34，k ∈Z ，∴f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z .故选D.∴2πω＝2，∴ω＝π.由π×14＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，不妨取φ＝π4，解析 (1)选项A中，y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x ，符合题意.6.（2016高考新课标1）已知函数为的零点,为 图像的对称轴， 且在单调，则的最大值为（ )数f（x）的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x)的最小正周期．知识点3 三角函数的图象和性质y＝sin x y＝cos x y＝tan xR R x≠kπ＋错误!,k ［－1，1][－1,1]R增区间：错误!，减区间:错误!增区间：[2kπ－π，2kπ］，减区间：[2kπ,2kπ＋π]，递增区间kπ－错误!，kπ＋∈Z奇函数偶函数奇函数（kπ,0）,k ∈Z 错误!,k∈Zkπ2，0，k∈Z在解题中注意引导学生自主分析和解决问题，教师及时和解题效率.学必求其心得，业必贵于专精。

高中数学教案：三角函数的图像与性质分析一、教学目标1.知识与技能：（1）理解三角函数的概念及性质。

（2）掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图像特征。

（3）能够运用三角函数的图像与性质解决实际问题。

2.过程与方法：（1）通过观察、分析、归纳，探究三角函数的图像与性质。

（2）运用数学软件，绘制三角函数的图像，加深对函数性质的理解。

3.情感态度与价值观：（1）培养观察能力、分析能力、归纳能力。

（2）提高对数学美的欣赏能力。

二、教学重点与难点1.教学重点：（1）三角函数的概念及性质。

（2）正弦函数、余弦函数、正切函数的图像特征。

2.教学难点：（1）三角函数图像的变换。

（2）运用三角函数的图像与性质解决实际问题。

三、教学过程1.导入新课（1）回顾初中阶段学习的三角函数知识，引导学生思考三角函数的图像与性质。

（2）介绍本节课的学习目标，激发学生的学习兴趣。

2.探究三角函数的图像与性质（1）引导学生观察正弦函数、余弦函数、正切函数的图像，分析它们的特征。

（2）组织学生进行小组讨论，归纳三角函数的性质。

（2）通过数学软件，展示三角函数的图像，加深学生对函数性质的理解。

4.三角函数图像的变换（1）引导学生探究三角函数图像的平移、伸缩变换。

（2）通过实例，让学生掌握三角函数图像变换的方法。

5.运用三角函数的图像与性质解决实际问题（1）举例说明如何运用三角函数的图像与性质解决实际问题。

（2）组织学生进行练习，巩固所学知识。

（1）引导学生回顾本节课所学内容，巩固知识点。

（2）鼓励学生提出疑问，教师解答。

四、课后作业1.绘制正弦函数、余弦函数、正切函数的图像，并分析它们的性质。

（1）已知一艘船从A点出发，向东航行30海里到达B点，然后改变航向，向东北航行40海里到达C点。

求船从A点出发到C点的航行距离。

（2）已知一物体在水平地面上做简谐振动，振幅为5cm，周期为2s。

求物体在任意时刻的位移。

五、教学反思本节课通过观察、分析、归纳，让学生掌握了三角函数的图像与性质，以及运用三角函数解决实际问题的方法。