三角函数图像与性质知识点总结

完整版)三角函数知识点归纳三角函数一、任意角、弧度制及任意角的三角函数1．任意角1)角的概念的推广角可以按照旋转方向分为正角、负角和零角，也可以按照终边位置分为象限角和轴线角。

2)终边与角α相同的角可写成α＋k·360°(k∈Z)。

3)弧度制弧度制是一种角度量，1弧度的角是指长度等于半径长的弧所对的圆心角。

弧度与角度可以互相转换。

2．任意角的三角函数定义设α是一个任意角，角α的终边上任意一点P(x，y)，它与原点的距离为r(x^2+y^2)，那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sinα=y/r，cosα=x/r，tanα=y/x。

3．特殊角的三角函数值特殊角的三角函数值可以通过计算得到，如30度角的正弦为1/2，余弦为√3/2，正切为√3/3，以此类推。

注意：删除了明显有问题的段落，同时对每段话进行了小幅度的改写以提高表达清晰度。

和周期；2掌握三角函数的图像及其性质；3熟练运用诱导公式和基本关系进行化简和求值。

二、同角三角函数的基本关系与诱导公式A.基础梳理1.同角三角函数的基本关系1)平方关系：sin^2α+cos^2α=1；（在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号）2)商数关系：sinα/cosα=tanα，cosα/sinα=1/tanα，1+tan^2α=sec^2α，1+ cot^2α=csc^2α。

2.诱导公式公式一：sin(α+2kπ)=sinα，cos(α+2kπ)=cosα，tan(α+2kπ)=tanα其中k∈Z.公式二：sin(π+α)=－sinα，cos(π+α)=－cosα，tan(π+α)=tanα.公式三：sin(π－α)=sinα，cos(π－α)=－cosα，XXX(π－α)=－tanα．公式四：sin(－α)=－sinα，cos(－α)=cosα，tan(－α)=－tanα.公式五：sin(π/2－α)=cosα，cos(π/2－α)=sinα.公式六：sin(π/2+α)=cosα，cos(π/2+α)=－sinα.诱导公式可概括为k·±α的各三角函数值的化简公式．口诀：奇变偶不变，符号看象限．其中的奇、偶是指的奇数22倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．若是奇数倍，则函数名称要变(正弦变余弦，余弦变正弦)；若是偶数倍。

高中数学三角函数及反三角函数图像性质、知识点总结高中数学中，三角函数及反三角函数是重要的内容之一。

在学习这一部分知识时，需要掌握其图像性质以及相关的知识点。

下面将对这些内容进行总结。

一、三角函数的图像性质1. 正弦函数（sin）的图像性质：- 周期性：sin函数的周期为2π，即在每个周期内，函数的图像重复出现；- 奇函数性质：sin函数关于原点对称；- 取值范围：sin函数的取值范围为[-1,1]，即函数的值始终在该区间内波动。

2. 余弦函数（cos）的图像性质：- 周期性：cos函数的周期为2π；- 偶函数性质：cos函数关于y轴对称；- 取值范围：cos函数的取值范围也为[-1,1]。

3. 正切函数（tan）的图像性质：- 周期性：tan函数的周期为π；- 奇函数性质：tan函数关于原点对称；- 无界性：tan函数的值域为实数集，即函数在某些点无界。

二、三角函数的知识点1. 基本正弦函数的性质：- 特殊角的正弦值：0°、90°、180°、270°和360°对应的正弦值分别为0、1、0、-1和0；- 正弦函数的增减性：在0°到180°的区间上，sin函数是单调递增的；- 正弦函数的奇偶性：sin(-x)=-sin(x)，即sin函数关于原点对称。

2. 基本余弦函数的性质：- 特殊角的余弦值：0°、90°、180°、270°和360°对应的余弦值分别为1、0、-1、0和1；- 余弦函数的增减性：在0°到180°的区间上，cos函数是单调递减的；- 余弦函数的奇偶性：cos(-x)=cos(x)，即cos函数关于y轴对称。

3. 基本正切函数的性质：- 特殊角的正切值：0°、90°、180°和270°对应的正切值分别为0、无穷大、0和无穷大；- 正切函数的周期性：tan(x+π)=tan(x)，即tan函数的周期是π。

千里之行，始于足下。

三角函数及反三角函数图像性质、学问点总结三角函数及反三角函数是高中数学中重要的内容之一，它们的图像性质是我们学习和理解这些函数的基础。

下面是关于三角函数及反三角函数图像性质的学问点总结。

一、正弦函数的图像性质：1. 定义域：正弦函数的定义域为全体实数。

2. 值域：正弦函数的值域为闭区间[-1,1]。

3. 周期性：正弦函数的周期是2π，即在一个周期内，正弦函数的图像重复消灭。

4. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即sin(-x)=-sin(x)。

5. 对称轴：正弦函数的对称轴是y轴。

6. 最值点：正弦函数的最值点包括最大值1和最小值-1，最值点的横坐标为周期的整数倍。

二、余弦函数的图像性质：1. 定义域：余弦函数的定义域为全体实数。

2. 值域：余弦函数的值域为闭区间[-1,1]。

3. 周期性：余弦函数的周期是2π，即在一个周期内，余弦函数的图像重复消灭。

4. 奇偶性：余弦函数是偶函数，即cos(-x)=cos(x)。

5. 对称轴：余弦函数的对称轴是x轴。

6. 最值点：余弦函数的最值点包括最大值1和最小值-1，最值点的横坐标为周期的半整数倍。

三、正切函数的图像性质：1. 定义域：正切函数的定义域为全体实数，除了临界点kπ（k为整数）。

第1页/共3页锲而不舍，金石可镂。

2. 值域：正切函数的值域为全体实数。

3. 周期性：正切函数的周期是π，即在一个周期内，正切函数的图像重复消灭。

4. 奇偶性：正切函数是奇函数，即tan(-x)=-tan(x)。

5. 渐近线：正切函数有两条渐近线，分别是x=kπ+π/2（k为整数）和x=kπ（k为整数）。

6. 最值点：正切函数没有最值点。

四、反正弦函数的图像性质：1. 定义域：反正弦函数的定义域为闭区间[-1,1]。

2. 值域：反正弦函数的值域为闭区间[-π/2,π/2]。

3. 奇偶性：反正弦函数是奇函数，即arcsin(-x)=-arcsin(x)。

4. 递增性：反正弦函数在定义域内是递增的。

三角函数图像与性质知识点三角函数是数学中的重要概念，它们的图像与性质对于理解和解决各种数学问题具有重要的作用。

本文将介绍三角函数的图像与性质的知识点，希望能帮助读者更好地掌握这一概念。

一、正弦函数的图像与性质正弦函数是最基本的三角函数之一，它的图像可以用来描述周期性变化的现象。

它的定义域为实数集，值域为[-1,1]。

正弦函数的图像为连续的波浪线，称为正弦曲线。

正弦函数的图像具有以下性质：1. 周期性：正弦函数的最小正周期为2π，在一个周期内，正弦函数的图像重复出现。

2. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即满足f(-x)=-f(x)。

3. 对称性：正弦函数的图像关于y轴对称。

二、余弦函数的图像与性质余弦函数是与正弦函数相似的三角函数，它也可以用来描述周期性变化的现象。

它的定义域为实数集，值域为[-1,1]。

余弦函数的图像为连续的波浪线，称为余弦曲线。

余弦函数的图像具有以下性质：1. 周期性：余弦函数的最小正周期为2π，在一个周期内，余弦函数的图像重复出现。

2. 奇偶性：余弦函数是偶函数，即满足f(-x)=f(x)。

3. 对称性：余弦函数的图像关于y轴对称。

三、正切函数的图像与性质正切函数是另一个重要的三角函数，它描述的是角度的比值。

它的定义域为实数集，值域为全体实数。

正切函数的图像为由正无穷连续延伸到负无穷的曲线，称为正切曲线。

正切函数的图像具有以下性质：1. 周期性：正切函数的最小正周期为π，在一个周期内，正切函数的图像重复出现。

2. 奇偶性：正切函数是奇函数，即满足f(-x)=-f(x)。

3. 垂直渐近线：正切函数的图像有两条垂直渐近线，分别为x=π/2+kπ（k为整数）和x=-π/2+kπ（k为整数）。

四、割函数与余割函数的图像与性质割函数和余割函数是与正切函数和余弦函数相对应的两个三角函数。

割函数的定义域为实数集减去所有使得余切函数为0的点，即R\{kπ}（k为整数），值域为全体实数。

余割函数的定义域为实数集减去所有使得正弦函数为0的点，即R\{kπ}（k为整数），值域为全体实数。

专题七《三角函数》讲义7.3 三角函数的图像与性质知识梳理.三角函数的图像与性质1．正弦、余弦、正切函数的图象与性质函数y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象定义域R R错误!值域[－1,1][－1,1]R奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在⎣⎡⎦⎤－π2＋2kπ，π2＋2kπ(k∈Z)上是递增函数，在⎣⎡⎦⎤π2＋2kπ，3π2＋2kπ(k∈Z)上是递减函数在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是递增函数，在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是递减函数在⎝⎛⎭⎫－π2＋kπ，π2＋kπ(k∈Z)上是递增函数周期性周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π周期是kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是π对称性对称轴是x＝π2＋kπ(k∈Z)，对称中心是(kπ，0)(k∈Z)对称轴是x＝kπ(k∈Z)，对称中心是⎝⎛⎭⎫kπ＋π2，0(k∈Z)对称中心是⎝⎛⎭⎫kπ2，0(k∈Z)题型一. 三角函数图像的伸缩变换1．要得到函数y ＝3sin （2x +π3）的图象，只需要将函数y ＝3cos2x 的图象（ ） A ．向右平行移动π12个单位 B ．向左平行移动π12个单位C ．向右平行移动π6个单位D ．向左平行移动π6个单位2．（2017•新课标Ⅰ）已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin （2x +2π3），则下面结论正确的是（ ）A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 23．（2021春•闵行区校级期中）函数y ＝cos （2x +φ）的图象向右平移π2个单位长度后与函数y ＝sin （2x +2π3）的图象重合，则|φ|的最小值为 ．4．（2016春•南通期末）将函数f(x)=sin(ωx +φ)，(ω＞0，−π2＜φ＜π2)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π4个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则f(π6)= ．5．（2015•湖南）将函数f （x ）＝sin2x 的图象向右平移φ（0＜φ＜π2）个单位后得到函数g （x ）的图象．若对满足|f （x 1）﹣g （x 2）|＝2的x 1、x 2，有|x 1﹣x 2|min =π3，则φ＝（ ） A ．5π12B ．π3C ．π4D ．π6题型二. 已知图像求解析式1．图是函数y ＝A sin （ωx +φ）（x ∈R ）在区间[−π6，5π6]上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将y ＝sin x （x ∈R ）的图象上所有的点（ ）A ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变B ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变D ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变2．已知函数y =sin(ωx +φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示，则（ ）A ．ω=π2，φ=−π4 B ．ω=π2，φ=π4C ．ω=π，φ=−π4D ．ω=π，φ=π43．已知函数f （x ）＝A cos （ωx +φ）的图象如图所示，f （π2）=−23，则f （0）＝（ ）A ．−23B ．−12C ．23D ．124．已知函数f （x ）＝A tan （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜π2）的部分图象如图所示，下列关于函数g （x ）＝A cos （ωx +φ）（x ∈R ）的表述正确的是（ ）A ．函数g （x ）的图象关于点（π4，0）对称B ．函数g （x ）在[−π8，3π8]递减 C ．函数g （x ）的图象关于直线x =π8对称D ．函数h （x ）＝cos2x 的图象上所有点向左平移π4个单位得到函数g （x ）的图象题型三. 三角函数的性质 考点1.单调性1．函数y ＝sin （﹣2x +π3）的单调递减区间是（ ） A ．[k π−π12，k π+5π12]，k ∈Z B ．[2k π−π12，2k π+5π12]，k ∈ZC ．[k π−π6，k π+5π6]，k ∈ZD ．[2k π−π6，2k π+5π6]，k ∈Z2．已知函数f(x)=Asin(x +φ)(A ＞0，−π2＜φ＜0)在x =5π6时取得最大值，则f （x ）在[﹣π，0]上的单调增区间是（ ） A ．[−π，−5π6] B ．[−5π6，−π6] C ．[−π3，0]D ．[−π6，0]3．已知函数f （x ）＝sin （2x +π3）在区间[0，a ]（其中a ＞0）上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．{a |0＜a ≤π12} B ．{a |0＜a ≤π2} C ．{a |a ＝k π+π12，k ∈N *} D ．{a |2k π＜a ≤2k π+π12，k ∈N *} 4．已知ω＞0，函数f （x ）＝sin （ωx +π4）在区间（π2，π）上单调递减，则实数ω的取值范围是（ ） A ．[12，54] B ．[12，34]C ．(0，12]D ．（0，2]考点2.周期性、奇偶性、对称性1．已知函数f （x ）＝cos 2x +sin 2（x +π6），则（ ）A ．f （x ）的最小正周期为π，最小值为12B ．f （x ）的最小正周期为π，最小值为−12C ．f （x ）的最小正周期为2π，最小值为12D ．f （x ）的最小正周期为2π，最小值为−122．已知f （x ）＝sin2x +|sin2x |（x ∈R ），则下列判断正确的是（ ） A ．f （x ）是周期为2π的奇函数 B ．f （x ）是值域为[0，2]周期为π的函数 C ．f （x ）是周期为2π的偶函数 D ．f （x ）是值域为[0，1]周期为π的函数3．将函数y ＝sin2x −√3cos2x 的图象沿x 轴向右平移a 个单位（a ＞0）所得图象关于y 轴对称，则a 的最小值是（ ） A ．712π B ．π4C ．π12D ．π64．已知函数f （x ）＝a sin x ﹣b cos x （ab ≠0，x ∈R ）在x =π4处取得最大值，则函数y ＝f （π4−x ）是（ ）A ．偶函数且它的图象关于点（π，0）对称B ．偶函数且它的图象关于点(3π2，0)对称 C ．奇函数且它的图象关于点(3π2，0)对称 D ．奇函数且它的图象关于点 （π，0）对称考点3.三角函数性质综合1．（2019•天津）已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，|φ|＜π）是奇函数，将y ＝f （x ）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为g （x ）．若g （x ）的最小正周期为2π，且g （π4）=√2，则f （3π8）＝（ ）A ．﹣2B ．−√2C ．√2D ．22．（2015•天津）已知函数f （x ）＝sin ωx +cos ωx （ω＞0），x ∈R ，若函数f （x ）在区间（﹣ω，ω）内单调递增，且函数y ＝f （x ）的图象关于直线x ＝ω对称，则ω的值为 ．3．（2014•大纲版）若函数f （x ）＝cos2x +a sin x 在区间（π6，π2）是减函数，则a 的取值范围是 ．4．（2016•新课标Ⅰ）若函数f （x ）＝x −13sin2x +a sin x 在（﹣∞，+∞）单调递增，则a 的取值范围是（ ） A ．[﹣1，1]B ．[﹣1，13]C ．[−13，13]D ．[﹣1，−13]5．（2013•安庆二模）已知函数f （x ）＝sin （ωx +π6），其中ω＞0，若f （π6）＝f （π3），且f （x ）在区间（π6，π3）上有最小值、无最大值，则ω等于（ ）A ．403B ．283C ．163D ．436．（2014•北京）设函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ，ω，φ是常数，A ＞0，ω＞0）若f （x ）在区间[π6，π2]上具有单调性，且f （π2）＝f（2π3）＝﹣f （π6），则f （x ）的最小正周期为 ．题型四. 三角函数最值1．函数f （x ）=15sin （x +π3）+cos （x −π6）的最大值为（ ） A ．65B ．1C ．35D ．152．函数f （x ）＝cos （ωx +π3）（ω＞0）在[0，π]内的值域为[﹣1，12]，则ω的取值范围为（ ） A ．[32，53]B ．[23，43]C ．[23，+∞)D ．[23，32]3．已知函数f （x ）＝cos2x +sin x ，则下列说法中正确的是（ ） A ．f （x ）的一条对称轴为x =π4 B ．f （x ）在（π6，π2）上是单调递减函数C ．f （x ）的对称中心为（π2，0）D ．f （x ）的最大值为14．若0＜x ≤π3，则函数y ＝sin x +cos x +sin x cos x 的值域为 ．5．已知函数f(x)=2sinωx ⋅cos 2(ωx 2−π4)−sin 2ωx(ω＞0)在区间[−2π5，5π6]上是增函数，且在区间[0，π]上恰好取得一次最大值1，则ω的取值范围是（ ） A ．(0，35]B ．[12，35]C ．[12，34]D ．[12，52)6．已知函数f （x ）＝cos x •sin （x +π3）−√3cos 2x +√34，x ∈R （1）求f （x ）的最小正周期；（2）求f （x ）在闭区间[0，π2]上的最大值和最小值及相应的x 值；（3）若不等式|f （x ）﹣m |＜2在x ∈[0，π2]上恒成立，求实数m 的取值范围．题型五.三角函数零点1．已知函数f （x ）＝sin ωx −√3cos ωx （ω＞0），若方程f （x ）＝﹣1在（0，π）上有且只有四个实数根，则实数ω的取值范围为 ．2．已知函数f （x ）=√3sin ωx cos ωx +cos 2ωx −12，（ω＞0，x ∈R ），若函数f （x ）在区间（π2，π）内没有零点，则ω的取值范围（ ） A ．（0，512] B ．（0，512]∪[56，1112]C ．（0，58]D ．（0，56]∪[1112，1）3．函数f(x)=2sin(2ωx +π6)(ω＞0)图象上有两点A （s ，t ），B （s +2π，t ）（﹣2＜t ＜2），若对任意s ∈R ，线段AB 与函数图象都有五个不同交点，若f （x ）在[x 1，x 2]和[x 3，x 4]上单调递增，在[x 2，x 3]上单调递减，且x 4−x 3=x 2−x 1=23(x 3−x 2)，则x 1的所有可能值是课后作业. 三角函数的图像与性质1．函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，﹣π＜φ＜0）的部分图象如图所示，为了得到g （x ）＝A sin ωx 的图象，只需将函数y ＝f （x ）的图象（ ）A ．向左平移π3个单位长度B ．向左平移π12个单位长度 C ．向右平移π3个单位长度D ．向右平移π12个单位长度2．关于函数y ＝2sin （3x +π4）+1，下列叙述正确的是（ ） A ．其图象关于直线x =−π4对称 B ．其图象关于点（π12，1）对称 C ．其值域是[﹣1，3]D ．其图象可由y ＝2sin （x +π4）+1图象上所有点的横坐标变为原来的13得到 3．已知函数f （x ）＝（12a −√3）sin x +（√32a +1）cos x ，将f （x ）的图象向右平移π3个单位长度得到函数g （x ）的图象，若对任意x ∈R ，都有g （x ）≤g （π4），则a 的值为 ． 4．已知函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞1，0≤φ≤π）是R 上的偶函数，其图象关于点M （3π4，0）对称，且在区间[0，π2]上是单调函数，则ω和φ的值分别为（ ）A ．23，π4B ．2，π3C ．2，π2D ．103，π25．已知函数f （x ）＝sin （ωx +φ），其中ω＞0，|φ|≤π2，−π4为f （x ）的零点：且f （x ）≤|f （π4）|恒成立，f （x ）在区间（−π12，π24）上有最小值无最大值，则ω的最大值是（ ）A ．11B ．13C ．15D ．176．已知函数f （x ）＝2sin （ωx −π6）sin （ωx +π3）（ω＞0），若函数g （x ）＝f （x ）+√32在[0，π2]上有且只有三个零点，则ω的取值范围为（ ）A ．[2，113） B ．（2，113） C ．[73，103） D ．（73，103）。

三角函数的图象与性质、知识网络基弃变换三、知识要点（一）三角函数的性质1、定义域与值域2、奇偶性（1）基本函数的奇偶性奇函数：y = sinx , y = tanx ; 偶函数：y= cosx.（2） -'’ 一 -‘：型三角函数的奇偶性(i)g (x)=* (x€ R)g (x )为偶函数 ' 二二—「二：O卫址1(徴 + © =/win(-徴+@)(x亡卫)U sin ocrcos(p= 0(x白应)cos (p二 0 o(p= jt/r-hy e 7)由此得同理，旨（对二話乞山（伽+洌0€丘）为奇函数O 寻炉=七兀3€2）.（ii）u'■■ ' '''「：；：：「' ■•■.八为偶函数' ..为奇函数O <P=^JT+ —(itc Z)3、周期性(1)基本公式■■ 和「小十：|「 上1' ' - ■ ■的周期为-- -I '-的周期加n(船+训+卅丿十⑹他+少)+日的周期为石；J 「■:■川■'： .. |I'-：-1 I A' I J 的周期为该函数的周期不变.注意这一点与(i)的区别(ii)若函数为’" 「：型两位函数之和，则探求周期适于“最小公倍数法”.(iii)探求其它“杂”三角函数的周期，基本策略是试验一一猜想一一证明(3) 特殊情形研究(iii) y = sin 4x + COS 4x 的最小正周期为 二.由此领悟“最小公倍数法”的适用类型，以防施错对象4、单调性1y = tanx — cotx 的最小正周期为 二(i)基本三角函数的周期 y = sinx , y = cosx 的周期为jjT ；y = tanx , y =cotx 的周期为；丁 .(ii) •' ‘：儿’匸；型三角函数的周期y =儆+ 炉)+^,jy = J 4CC >S (<3X + 炉)+丘的周期为竺kl7Ty = / tan (阪 ++ 上丿=/cot (血+饲 + 上的周期为(2)认知-I ' ' ："'型函数的周期7T-；11- - ■: - 1 的周期为 门；71均同它们不加绝对值时的周期相同，即对J的解析式施加绝对值后,y = sin z|+|co3J ：的最小正周期为(1) 基本三角函数的单调区间(族)依从三角函数图象识证“三部曲”：①选周期：在原点附近选取那个包含全部锐角，单调区间完整，并且最好关于原点对称的一个周期；②写特解：在所选周期内写出函数的增区间(或减区间)；③获通解：在②中所得特解区间两端加上有关函数的最小正周期的整数倍，即得这一函数的增区间族(或减区间族)循着上述三部曲，便可得出课本中规范的三角函数的单调区间族揭示：上述“三部曲”也适合于寻求简单三角不等式的解集或探求三角函数的定义域•(2) y c■'型三角函数的单调区间此类三角函数单调区间的寻求“三部曲”为①换元、分解：令u=''"，将所给函数分解为内、外两层：y= f (u) ,u：；②套用公式：根据对复合函数单调性的认知，确定出 f (u)的单调性，而后利用(1)中公式写出关于u的不等式；③还原、结论：将u=「「代入②中u的不等式，解出x的取值范围，并用集合或区间形成结论•(二)三角函数的图象1、对称轴与对称中心(1) 基本三角函数图象的对称性孟二匕?T + —(k G Z)(i)正弦曲线y = sinx的对称轴为- ；正弦曲线y = sinx的对称中心为( , 0) 住€刃(ii)余弦曲线y = cosx 的对称轴为L余弦曲线y = cosx的对称(/(心)(iii)正切曲线y = tanx的对称中心为 - 轴•正切曲线y=tanx无对称认知：①两弦函数的共性:x = ■为两弦函数f (x)对称轴■ ■-为最大值或最小值；(！，0)为两弦函数f ( x)对称中心:■■1■- = 0.②正切函数的个性：（! , 0）为正切函数f （x）的对称中心= 0 或/ 不存在•（2）‘二-- 型三角函数的对称性（服从上述认知）（i）对于g（x）= 二二或g（x）=—V工的图象x =丄为g （x）对称轴;为最值（最大值或最小值）；（丄,0）为两弦函数g （x）对称中心-■1= 0.（ii）对于g（ x）=m-工的图象（已，0）为两弦函数g （x）的对称中心~ =0或■-不存在•2、基本变换（1）对称变换（2 ）振幅变换（纵向伸缩）（3 ）周期变换（横向伸缩）（4 ）相位变换（左右平移）（5 ）上、下平移3、y =sc＜的图象（1）五点作图法（2）对于A, T,门，二的认知与寻求：①A:图像上最高点（或最低点）到平衡位置的距离；2A :图像上最高点与最低点在y轴上投影间的距离.TZ —②一：图象的相邻对称轴（或对称中心）间的距离；-:图象的对称轴与相邻对称中心间的距离.-:由T=司得出. ③二：解法一：运用“代点法”求解，以图象的最高点（或最低点）坐标代入为上策，若以图解法二：逆用“五点作图法”的过程（参见经典例题）四、经典例题例1、求下列函数的值域：2 sinz cos J迂y =1+sin z象与x轴交点坐标代入函数式求F，则须注意检验，以防所得莎值为增根;r/d c6sy = ------ :——2 +sin x y= (4-3sin H)(4-3CCS X)(1) (2) (3)分析：对于形如（1） （2） （3）的函数求值域，基本策略是（i ）化归为：?的值域；（ii ）转化为 sinx （或cosx ）的二次函数；对于（4）（ 5） （ 6）之类含有绝对值 的函数求值域，基本策略则是（i ）在适当的条件下考察 y 2; （ii ）转化为分段函数来处理；（iii ）运用其周期性、奇偶性或函数图象对称性转化解：2sin xcos 1 x y = :-------- U>(1)一 :_i..y= 2sin 忑(1-泄1 恳圣一1)-4 <y< — 、2 ,即所求函数的值域为 y- 語匚°s"彳加gm 工一 V5亡&替t = -2y（2）由• Jb +%MI （H + Q 二-如（其中命辅助角）個（x+卩）二"Jy + 了注意到这里x € R,石务 |g|-2水产«-!<><!•••所求函数的值域为［—1, 1］.（3 ）这里丄八；一 令畑+ cosx = t 则有1小 ”gin 盂匚OSH 二一（f — 1）t 二V2血仗+为得t E 卜忑砸］且由-归6_⑵十？（尸_1）（-屁出血）于是有-(4)(5)y = sin A |+ sin|?c|(6) = |sin x|+ i ；c?5；t|-Fsin * 2z2 sin 工(1 一血 3x) y=Oy 二一2(sm ^-|)a -F|(sin J ^-1)-1 <sin x<I,:. 0 <(sin A — £尸 <£_幻->/5 <17+12^/5 &虫》虫〒+12*亞- -•所求函数的值域为I I ■!(X )图象的一条对称轴②递增④于是由①、②、⑤得所求函数的值域为 -' -3)运用的是求解关于 sinx + cosx的函数值域的特定方法；解(4)借助平方转化；解(5) (6 )则是利用函数性因此，所求函数的值域为(4)注意到这里y>0,且h=l +阪2工..sin 2x\ <1：. 1< 2(5)注意到所给函数为偶函数，又当止。

三角函数的图像与性质（正弦、余弦、正切）【知识点1】函数y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象性质题型1：定义域例1：求下列函数的定义域(1)xx y cos 2cos 1+=； (2)x y 2sin = 2lg(4)x -题型2：值域 例2：求下列函数值域 (1))3π2,6π(,sin 2-∈=x x y (2)y=2sin(2x-3π),x 5,46ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦(3) )3π,2π(),3π2cos(2-∈+=x x y(4)函数1)6π21cos(2++-=x y 的最大值以及此时x 的取值集合题型3：周期例3：求下列函数的周期： （1）f(x)=2sin2x (2)y=cos(123x π-) (3)y=tan(2x 4π-) （4）y=sin x 例4： 若函数()2sin(2)3f x kx π=+的最小正周期T 满足12T <<,则自然数k 的值为______.例5：若)10(sin 2)(<<=ϖϖx x f 在区间[0,]3π上的最大值是2，则ϖ=________.例6：使x y ωsin =（ω＞0）在区间[0，1]至少出现2次最大值，则ω的最小值为【 】A ．π25B ．π45C ．πD ．π23例7：设函数f(x)=2sin(25x ππ+),若对于任意的x R ∈,都有f(1x )2()()f x f x ≤≤成立，则12x x -的最小值是A.4B.2C.1D.12题型4：奇偶性 例8：函数y ＝sin （x ＋2π）（x ∈［－2π，2π］）是【 】A.增函数B.减函数C.偶函数D.奇函数例9：判断下列函数的奇偶性 (1)y=xsin(x π+) (2)y=cos 1sin x x+例10：已知函数f(x)=x 3cosx+1,若f(a)=11,则f(-a)=________ 题型5：单调性例11：函数y =21log sin(2x +4π)的单调递减区间是【 】 A.（k π－4π,k π］(k ∈Z ) B.（k π－8π,k π+8π］(k ∈Z ) C.（k π－83π,k π+8π］(k ∈ D.（k π+8π,k π+83π］(k ∈Z )例12：.求1cos()3412logx y π+=的单调区间例13：求下列函数的单调增区间(1))3π21cos(-=x y ; (2) ]0,π[),6π2sin(2-∈+=x x y ；(3))23πsin(2x y -=例14：（1）求函数y=2sin(2x-3π)的单调递减区间。

三角函数 1. 特殊锐角（0°，30°，45°，60°，90°）的三角函数值2.角度制与弧度制设扇形的弧长为l ，圆心角为a （rad ）,半径为R ，面积为S 角a 的弧度数公式 2π×(a /360°)角度与弧度的换算①360°=2π rad ②1°=π/180rad③1 rad=180°/π=57° 18′≈57.3°弧长公式 l a R =扇形的面积公式 12s lR =3.诱导公式：（奇变偶不变，符号看象限）所谓奇偶指是整数k 的奇偶性（k ·π/2+a ）所谓符号看象限是看原函数的象限（将a 看做锐角，k ·π/2+a 之和所在象限） 注：①：诱导公式应用原则：负化正、大化小，化到锐角为终了4. 三角函数的图像和性质：（其中z k ∈）①：三角函数x y sin = x y cos =x y tan = cot y x=函 数 图 象定义域 R R 2x k ππ≠+x k π≠值域 [-1,1][-1,1]RR周期 2π2πππ奇偶性 奇偶奇非奇非偶单 调 性 2,222k k ππππ⎡⎤-+↑⎢⎥⎣⎦2,222k k ππππ⎡⎤-+↑⎢⎥⎣⎦[]2,2k k πππ-↑ []2,2k k πππ+↓,22k k ππππ⎡⎤-+↑⎢⎥⎣⎦[],k k πππ+↓对 称 性 :2x k ππ=+对称轴对称中心:(,0)k π:x k π=对称轴:对称中心(+,0)2k ππ:对称中心(,0)2k π零值点 πk x =2ππ+=k xπk x =2ππ+=k x最 值 点2ππ+=k x ,1max=y2ππ-=k x ,1min-=yπk x 2=，1max =y ；2y k ππ=+，1min -=y②：函数)sin(ϕω+=x A y 的图像与性质：（1） 函数)sin(ϕω+=x A y 和)cos(ϕω+=x A y 的周期都是ωπ2=T（2） 函数)tan(ϕω+=x A y 和)cot(ϕω+=x A y 的周期都是ωπ=T5.三角函数尺度变换sin y x =经过变换变为sin y x ϖϕ=+A （）的步骤（先平移后伸缩）： 1sin sin sin sin y x y x y x y x ϖϕϖϖϖϕϖϕ=−−−−−−−→=−−−−−→=+−−−−−−−→=+横坐标变为原来的倍向左或向右纵坐标不变平移个单位纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变（）A （）6.三角函数的对称变换：① )()(x f y x f y -=→=) 将)(x f y =图像绕y 轴翻折180°（整体翻折） （对三角函数来说：图像关于x 轴对称）② )()(x f y x f y -=→=将)(x f y =图像绕x 轴翻折180°（整体翻折） （对三角函数来说：图像关于y 轴对称）③ )()(x f y x f y =→= 将)(x f y =图像在y 轴右侧保留，并把右侧图像绕y 轴翻折到左侧（偶函数局部翻折）④ )()(x f y x f y =→=保留)(x f y =在x 轴上方图像，x 轴下方图像绕x 轴翻折上去（局部翻动）7.反三角函数的图像与性质：名称y=arsinx y=arccosx y=arctanx y=arccotx定义y=sinx((,))22xππ∈-的反函数，叫做反正弦函数y=cosx((0,))xπ∈的反函数，叫做反余弦函数y=tanx((,))22xππ∈-的反函数，叫做反正切函数y=cotx((0,))xπ∈的反函数，叫做反余切函数性质图像定义域［-1，1］［-1，1］(-∞，+∞)(-∞，+∞)值域［-2π，2π］［0，π］(-2π，2π) (0，π)单调性[]1,1-增函数[]1,1-减函数(),-∞+∞增函数(),-∞+∞减函数奇偶性arcsin()arcsinθθ-=-arccos()arccosθπθ-=-arctan()arctanθθ-=-arccot()arccotθπθ-=-周期性非周期函数非周期函数非周期函数非周期函数7.三角函数公式：（1）倒数关系： （2）平方关系：tan cot 1sin csc 1cos sec 1αααααα⋅=⋅=⋅= 222222sin cos 11tan sec 1cot csc αααααα+=+=+=（3）三角和与差公式：sin()sin cos cos sin cos()cos cos sin sin tan tan tan()1tan tan αβαβαβαβαβαβαβαβαβ+=++=-++=- sin()sin cos cos sin cos()cos cos sin sin tan tan tan()1tan tan αβαβαβαβαβαβαβαβαβ-=--=+--=+（4）二倍角公式：()22222sin 22sin cos cos 2cos sin 2cos 112sin 2tan tan 21tan ααααααααααα==-=-=-=-升幂公式 22221cos 2sin 1cos 22sin 2(1cos 21cos 22cos cos 2αααααααα-⎫=⎪⎧-=⎪⎪⇒⎬⎨++=⎪⎩⎪=⎪⎭降幂公式） （5）三角函数的和差化积公式 （6）三角函数的积化和差公式sin sin 2sin cos22sin sin 2cos sin22cos cos 2cos cos22cos cos 2sin sin22αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+-+=⋅+--=⋅+-+=⋅+--=-⋅ [][][][]1sin cos sin()sin()21cos sin sin()sin()21cos cos cos()cos()21sin sin cos()cos()2αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ⋅=++-⋅=+--⋅=++-⋅=-+-- 六边形记忆法：图形结构“上弦中切下割，左正右余中间1”；记忆方法“对角线上两个函数的积为1；阴影三角形上两顶点的三角函数值的平方和等于下顶点的三角函数值的平方；任意一顶点的三角函数值等于相邻两个8.正、余弦定理： ①正弦定理： 在ABC ∆中有:2sin sin sin a b cR A B C===（R 为ABC ∆外接圆半径） 2sin 2sin 2sin a R A b R B c R C =⎧⎪=⎨⎪=⎩ ⇒ sin 2sin 2sin 2a A R b B R c C R ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩面积公式：111sin sin sin 222ABC S abs C ac B bc A ∆=== ②余弦定理： 在三角形ABC ∆中有:2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩ ⇒ 222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩。

(完整版)高中三角函数知识点总结高中三角函数知识点总结1. 基本三角函数概念- 三角函数是以单位圆为基础的函数，包括正弦函数、余弦函数和正切函数。

- 正弦函数（sin）：在直角三角形中，对于一个锐角，其对边与斜边的比值称为正弦值。

即：sinA = 对边/斜边。

- 余弦函数（cos）：在直角三角形中，对于一个锐角，其邻边与斜边的比值称为余弦值。

即：cosA = 邻边/斜边。

- 正切函数（tan）：在直角三角形中，对于一个锐角，其对边与邻边的比值称为正切值。

即：tanA = 对边/邻边。

2. 基本三角函数性质和公式- 三角函数的周期性：正弦函数和余弦函数的周期都是2π；正切函数的周期是π.- 三角函数的奇偶性：正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数，正切函数是奇函数。

- 三角函数的同角关系：sinA/cosA = tanA。

- 三角函数的和差化积公式和积化和差公式：具体公式可根据需要进行查阅。

3. 三角函数图像和性质- 正弦函数图像：在0到2π的区间内，正弦函数的图像为一条周期性的波浪线，最高点为1，最低点为-1，对应于最大值和最小值，0点对应于零值。

- 余弦函数图像：在0到2π的区间内，余弦函数的图像为一条周期性的波浪线，最高点为1，最低点为-1，对应于最大值和最小值，0点对应于最大值。

- 正切函数图像：在0到π的区间内，正切函数的图像无法在x=π/2和3π/2时定义，其他点对应的图像为一条连续的射线。

4. 三角函数的应用- 三角函数广泛应用于科学和工程领域中的周期性现象的描述和计算，例如电流的正弦波，声波的波动等。

- 在几何学中，三角函数也应用于测量角度和距离等问题的解决。

以上为高中三角函数的基本知识点总结，更详细的内容和公式可以参考相关教材或资料。

初三数学三角函数的图像与性质三角函数是初中数学中的重要知识点，它包括正弦函数、余弦函数和正切函数。

本文将介绍三角函数的图像与性质，帮助读者深入理解这一内容。

一、正弦函数的图像与性质正弦函数的函数图像呈现出一种特殊的波动形状，其性质主要包括以下几个方面：1. 周期性：正弦函数的图像以原点为对称轴，形状在[-π/2, π/2]区间内完成一次波动，因此正弦函数的周期是2π。

2. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即f(-x) = -f(x)，这意味着将正弦函数沿y轴对称后，图像不变。

3. 幅值：正弦函数的幅值表示最高点与最低点的差值，即图像的峰值。

正弦函数的幅值为1。

4. 上下偏移：正弦函数的整体图像可以向上或向下平移，这取决于函数中y的常数值。

例如，f(x) + a可以将图像上移a个单位。

二、余弦函数的图像与性质余弦函数与正弦函数非常相似，但它们的图像形状有一定的差异，其主要性质如下：1. 周期性：余弦函数的图像以最高点为对称轴，形状在0到2π区间内完成一次波动，因此余弦函数的周期也是2π。

2. 奇偶性：余弦函数是偶函数，即f(-x) = f(x)，这意味着将余弦函数沿y轴对称后，图像不变。

3. 幅值：余弦函数的幅值与正弦函数相同，都为1。

4. 上下偏移：余弦函数的整体图像可以向上或向下平移，这取决于函数中y的常数值。

例如，f(x) + a可以将图像上移a个单位。

三、正切函数的图像与性质正切函数的图像形状不同于正弦函数和余弦函数，它的性质如下：1. 周期性：正切函数的图像是由无数个波峰和波谷组成的，没有固定的周期。

2. 奇偶性：正切函数是奇函数，即f(-x) = -f(x)，这意味着将正切函数沿y轴对称后，图像不变。

3. 垂直渐近线：正切函数的图像有两条垂直渐近线，分别为x = (2n+1)π/2和x = nπ，其中n为整数。

4. 上下偏移：正切函数的整体图像可以向上或向下平移，这取决于函数中y的常数值。

例如，f(x) + a可以将图像上移a个单位。

三角函数相关知识点总结一、三角函数的定义。

1. 锐角三角函数。

- 在直角三角形中，设一个锐角为α。

- 正弦sinα=(对边)/(斜边)。

例如，在直角三角形ABC中，∠ C = 90^∘，∠A=α，BC为∠ A的对边，AB为斜边，则sinα=(BC)/(AB)。

- 余弦cosα=(邻边)/(斜边)，对于上述三角形，AC为∠ A的邻边，cosα=(AC)/(AB)。

- 正切tanα=(对边)/(邻边)=(BC)/(AC)。

2. 任意角三角函数（单位圆定义）- 设角α终边上一点P(x,y)，r=√(x^2)+y^{2}。

- sinα=(y)/(r)。

- cosα=(x)/(r)。

- tanα=(y)/(x)(x≠0)。

二、三角函数的基本性质。

1. 定义域。

- y = sin x和y=cos x的定义域都是R（全体实数）。

- y=tan x的定义域是<=ft{xx≠ kπ+(π)/(2),k∈ Z}。

2. 值域。

- y = sin x和y=cos x的值域都是[ - 1,1]。

- y=tan x的值域是R。

3. 周期性。

- y = sin x和y=cos x的最小正周期都是2π。

即sin(x + 2kπ)=sin x，cos(x +2kπ)=cos x，k∈ Z。

- y=tan x的最小正周期是π，tan(x + kπ)=tan x，k∈ Z。

4. 奇偶性。

- y=sin x是奇函数，因为sin(-x)=-sin x。

- y = cos x是偶函数，因为cos(-x)=cos x。

- y=tan x是奇函数，因为tan(-x)=-tan x。

5. 单调性。

- y=sin x在<=ft[-(π)/(2)+2kπ,(π)/(2)+2kπ](k∈ Z)上单调递增，在<=ft[(π)/(2)+2kπ,(3π)/(2)+2kπ](k∈ Z)上单调递减。

- y=cos x在[2kπ-π,2kπ](k∈ Z)上单调递增，在[2kπ,2kπ + π](k∈ Z)上单调递减。

三角函数的基本性质与像知识点总结三角函数是数学中的重要概念，在几何图形、物理问题等领域都有广泛应用。

本文将对三角函数的基本性质和像知识点进行总结和归纳。

一、正弦函数与余弦函数的基本性质1. 周期性：正弦函数和余弦函数都是周期函数，其周期为2π（或360°）。

即在一个完整的周期内，函数的图像会重复出现。

2. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即满足f(-x)=-f(x)；余弦函数是偶函数，即满足f(-x)=f(x)。

这意味着函数图像关于y轴对称。

3. 定义域和值域：正弦函数和余弦函数的定义域为实数集，值域为[-1, 1]。

函数图像在y轴上下波动，最大值为1，最小值为-1。

4. 单调性：正弦函数和余弦函数都是周期函数，其在一个周期内具有相同的单调性特点。

在0到2π（或0°到360°）的区间内，正弦函数在0到π（或0°到180°）单调递增，余弦函数在0到π/2（或0°到90°）单调递减。

二、正切函数与余切函数的基本性质1. 周期性：正切函数和余切函数都是周期函数，其周期为π（或180°）。

即在一个完整的周期内，函数的图像会重复出现。

2. 奇偶性：正切函数是奇函数，即满足f(-x)=-f(x)；余切函数是奇函数，即满足f(-x)=-f(x)。

这意味着函数图像关于原点对称。

3. 定义域和值域：正切函数和余切函数的定义域为实数集，但由于存在奇点，即函数在某些角度上无定义，因此需注意避开这些奇点。

值域为全体实数。

4. 单调性：正切函数和余切函数都是周期函数，其在一个周期内具有相同的单调性特点。

在0到π/2（或0°到90°）的区间内，正切函数和余切函数均单调递增。

三、三角函数的诱导公式1. 正弦函数的诱导公式：sin(x+π)=-sin(x)，sin(x+2π) = sin(x)。

2. 余弦函数的诱导公式：cos(x+π)=-cos(x)，cos(x+2π) = cos(x)。

三角函数的图像和性质1、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：正弦函数y=sinx, xG［O, 2n］的图象中，五个关键点是：（0,0）（y, 1）（K, 0）（芸 T）（2兀,0）余弦函数y=cosx xe［0, 2TI］的图像中，五个关键点是：（0, 1）（：,0）（兀,-1）（芸0）（2丸,1）2、例作下列函数的简图(l)y=|sinx| , xe[O , 2TT],(2)y=-cosx , xe[O , 2n]例利用正弦函数和余弦函数的图象，求满足下列条件的x的集合:(2)cosx < -3、周期函数定义：对于函数y = /(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时，都有：/(X+T) = /(%),那么函数y = f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。

注意：周期T往往是多值的(如y = smx 2兀,4冗,・・・,-2冗,-4兀,・・・都是周期)周期T中最小的正数叫做y = /(x)的最小正周期(有些周期函数没有最小正周期)y = sinx, y = cosx的最小正周期为2兀(一般称为周期)正弦函数、余弦函数：T = —o正切函数：-CD CO例求下列三角函数的周期：1° y=sin(x+y)2° y=cos2x3° y=3sin(y+ y)4° y=tan3x例求下列函数的定义域和值域:(1) y = 2-sinx (2) y = >/-3sinx (3) y = lgcosx4、函数 y = Asin (6n+ ^?)(A> 0,6;> 0)的图像:(1)函数y = Asin (6n+ 0)(A> 0,刃> 0)的有关概念:(2) 振幅变换@y=Asinx,x6R(A>0fiA^l)的图象可以看作把正数曲线上的所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<l) 到原来的A 倍得到的.②它的值域[-A, A] 最大值是A,最小值是-A③若A<0可先作y=~Asinx 的图象，再以x 轴为对称轴翻折. 刃称为振幅，这一变换称为振幅变换I(3) 周期变换①函数y=sin3x, xeR(3>0且3=1)的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短(o>l)或伸 长(0<G )<1)到原来的土倍(纵坐标不变)6)②若3<0则可用诱导公式将符号“提出”再作图. Q 决定了函数的周期，这一变换称为周期变换. (4) 相位变换例5求函数y = sin(2x- f)的单调区间例不求值，比较大小.(1) sin(— — ) A sin(_—)；18 10..勿 勿 兀X解：⑴・—一< ——<——< —.2 10 18 2 且函数y= si nA% JT G [——，—]是增函数.22/.sin(——•) Vsin(——)10 18即 sin(— —)—sin(——) >018 10/、 z 23/、 / 17勿、 (2) cos (— -- )、cos (— ---- ).5 4...23勿、23勿 3N(2)cos(— ---- ) =cos ---- =cos ——55 5/ 17勿、17/r nCOS (— --- ) =cos ---- =cos —444.. n且函数y=cosx, XW [0,刀]是减函数..cos3兀 71「•cos - <cos —5 4nn3 丸N即 cos -- —cos — <0 5 4, 23/、(— --- )—cos17)、 ——)<0 42勿①振幅：A ； ②周期：T =—； 0)③频率：f = - = — T 2勿④相位：a)x+(p ：⑤初相：(p.一般地，函数尸sin（x+0）, x£R（其中0尹0）的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左（当0>0 时）或向右（当伊〈0时=平行移动| （p |个单位长度而得到・（用平移法注意讲清方向：“加左"“减右”）y=sin（x+0）与尸sinx的图象只是在平面直角坐标系中的相对位置不一样，这一变换称为相位变换.5、小结平移法过程（步骤）6、函数y = Asin（6Zv+e）+B ,当x = x t时，取得最小值为；当x = x2时，取得最大值为] 1 T则人=万()£"_)皤)，B = -(y max + ^nun), - = x2-x l(x l<x2).例如图 e,是 / (x) = A sin (处+ ©), A>0, I 4> I <y 的一段图象, 则f (x)的表达式为.如图b是函数y=Asm（3x+©）+2的图象的一部分，它的振幅、周期、初相各是（）A<A = 3,T=4/r3A i0 =——6BK = 1,T—4/r S =—一4 >3C«A = 1,T——兰4 3D«A = 1,T=4/r3A i0 =——6沿x轴平移|义|个单位得y=Asiii（u）x4-史）的图象，先在一个例画出函数y=3sin(2x+-), xER的简图.3解：(五点法)由T= — ,得片"列表:例求函数y = tanl 的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性.hj, I c N f >0 k兀5TZ解：由3x ---- + —得x#——+ —,3 2 3 18所求定义域为《工XG R,且X# — + —,k G z3 18值域为R,周期T = -,是非奇非偶函数.3在区间k/ 7t k/ 5^Y.——-------- , -------- F——(K G3 18 3 18 /Z)上是增函数.例己知函数 y=sin2A+V3 COS2AT2.(1)用“五点法"作出函数在一个周期内的图象.(2)求这个函数的周期和单调区间.(3)求函数图象的对称轴方程.⑷说明图象是由尸si地的图象经过怎样的变换得到的.解：y=sin2x^-cos2^r2=2sin(2A+ —)~23⑴列表(2) T = —= JT.2由~-+2kJr W2M-^-+2kJr f知函数的单调增区间为2 3 2［一一"+k，,—+A 勿］,k&L12 12 -J%12JI73L乎I K n二A --3V/由-+2A^<2A4-<-Jr+2kJr,知函数的单调减区间为2 3 2[—+k勿，—丸+k 丸],kE Z* 12 12⑶由2x^-—= — +kJr得定三+ *只,3 2 12 2jr k..•函数图象的对称轴方程为庆_ + 一叭UGZ).12 2jr TT(4)把函数ywsinx的图象上所有点向左平移一个单位，得到函数人二si〃(册一)的图象；3 3再把乃图象上各点的横坐标缩短到原来的i•倍(纵坐标不变)，得到y户sin (2A+-)的图象；2 3再把与图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),得到y,=2sin (2A+-)的图象;3最后把归图象上所有点向下平移2个单位，得到函数j-2sin (2^-)-2的图象.3。

1.3.2 三角函数的图像与性质一、三角函数的性质1. 几何法作图第一步：列表.首先在单位圆中画出正弦线和余弦线.在直角坐标系的x 轴上任取一点，以为圆心作单位圆，从这个圆与x 轴的交点A 起把圆分成几等份，过圆上的各分点作x 轴的垂线，可以得到对应于角，，,…，2π的正弦线及余弦线（这等价于描点法中的列表）.第二步：描点.我们把x 轴上从0到2π这一段分成几等份，把角x 的正弦线向右平行移动，使得正弦线的起点与x 轴上相应的点x 重合，则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点.第三步：连线.用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象.将y=sinx 的图象向左平移即得y=cosx 的图象2．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）（1）正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0,0) (,1) (π,0) (,-1) (2π,0) 1O 1O 6,0π3π2π2π2π23π（2）余弦函数y=cosx x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1) (,0) (π,-1) (,0) (2π,1)3. 正弦函数的性质（1）定义域：正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R分别记作： y ＝sin x ，x ∈R y ＝cos x ，x ∈R（2）值域正弦函数、余弦函数的值域都是［－1，1］.其中正弦函数y =sin x ,x ∈R①当且仅当x ＝＋2k π，k ∈Z 时，取得最大值1.②当且仅当x ＝－＋2k π，k ∈Z 时，取得最小值－1.而余弦函数y ＝cos x ，x ∈R①当且仅当x ＝2k π，k ∈Z 时，取得最大值1.②当且仅当x ＝(2k ＋1)π，k ∈Z 时，取得最小值－1.（3）周期性正弦函数、余弦函数都是周期函数，2k π(k ∈Z 且k ≠0)都是它的周期，最小正周期是2π.函数及函数（其中A ，为常数，且）的周期（4）奇偶性y ＝sin x 为奇函数，y ＝cos x 为偶函数正弦曲线关于原点O 对称,余弦曲线关于y 轴对称（5）单调性 正弦函数在每一个闭区间［－＋2k π，＋2k π］(k ∈Z )上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间［＋2k π，＋2k π］(k ∈Z )上都是减函数，其值从1减小到－1.余弦函数在每一个闭区间［(2k －1)π，2k π］(k ∈Z )上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间［2k π，(2k ＋1)π］(k ∈Z )上都是减函数，其值从1减小到－1.二、正切函数的图象和性质1. 正切函数图象的作法在的区间作出它的图象2π23π2π2πR x ),x sin(A y ∈+=ϕωR x ),x cos(A y ∈+=ϕωωφ0,0A >≠ωωπ2T =2π2π2π23π⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,2ππ，且的图象，称“正切曲线”正切函数的性质： 1. 定义域： 2. 值域：R3. 当时，当时4. 周期性：5. 奇偶性：奇函数6. 单调性：在开区间内，函数单调递增h(mm)与时间t(s)之间的函数关系如图所示(1)求该函数的周期；（2）求t ＝10s 时钟摆的高度.【解析】R x x y ∈=tan ()z k k x ∈+≠ππ2⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠z k k x x ,2|ππz k k k x ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+∈2,πππ0>y z k k k x ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈πππ,20<y π=T ()x x tan tan -=-z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++-ππππ2,2解：（1）由图象知，周期为1.5s(2)故高度为20mm.2. 利用正弦函数和余弦函数的图象，求满足下列条件的x 的集合：；【解析】（1）解：作出正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象：由图形可以得到，满足条件的x 的集合为：（2）解：作出余弦函数y=cosx ，x ∈[0，2π]的图象：3. 求使下列函数取得最大值的自变量x 的集合，并说出最大值是什么.(1)y ＝cos x ＋1，x ∈R ；(2)y ＝sin2x ，x ∈R .【解析】解：(1)使函数y ＝cos x ＋1，x ∈R 取得最大值的x 的集合，就是使函数y ＝cos x ，x ∈R 取得最大值的x 的集合｛x ｜x ＝2k π，k ∈Z ｝.函数y ＝cos x ＋1，x ∈R 的最大值是1＋1＝2.(2)令Z ＝2x ，那么x ∈R 必须并且只需Z ∈R ，且使函数y ＝sin Z ，Z ∈R 取得最大值的Z 的集合是｛Z ｜Z ＝＋2k π，k ∈Z ｝由2x ＝Z ＝＋2k π，得x ＝＋k π即使函数y ＝sin2x ，x ∈R 取得最大值的x 的集合是｛x ｜x ＝＋k π，k ∈Z ｝.函数y ＝sin2x ，x ∈R 的最大值是1.4. 求下列函数的定义域：(1)y ＝ (2)y＝【解析】(10)(16 1.5)(1)20f f f =+⨯==21sin )1(≥x 21cos )2(≤x Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++,265,26ππππ2π2π4π4π11sin x +x cos解：(1)由1＋sin x ≠0，得sin x ≠－1即x ≠＋2k π(k ∈Z )∴原函数的定义域为｛x ｜x ≠＋2k π，k ∈Z ｝(2)由cos x ≥0得－＋2k π≤x ≤＋2k π(k ∈Z )∴原函数的定义域为［－＋2k π，＋2k π］(k ∈Z )5. (1)函数y ＝sin(x ＋)在什么区间上是增函数?(2)函数y ＝3sin(－2x )在什么区间上是减函数?【解析】解：(1)函数y ＝sin x 在下列区间上是增函数：2k π－＜x ＜2k π＋(k ∈Z )∴函数y ＝sin(x ＋)为增函数，当且仅当2k π－＜x ＋＜2k π＋即2k π－＜x ＜2k π＋(k ∈Z )为所求.(2)∵y ＝3sin(－2x )＝－3sin(2x －)由2k π－≤2x －≤2k π＋得k π－≤x ≤k π＋(k ∈Z )为所求.或：令u ＝－2x ，则u 是x 的减函数又∵y ＝sin ｕ在［2k π－，2k π＋］(k ∈Z )上为增函数，∴原函数y ＝3sin(－2x )在区间［2k π－，2k π＋］上递减.设2k π－≤－2x ≤2k π＋解得k π－≤x ≤k π＋(k ∈Z )∴原函数y ＝3sin(－2x )在［k π－，k π＋］(k ∈Z )上单调递减.23π23π2π2π2π2π4π3π2π2π4π2π4π2π3π4π3π3π2π3π2π12π125π3π2π2π3π2π2π2π3π2π12π125π3π12π125π6. 求函数的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性. 【解析】由得， 所求定义域为 值域为R ，周期，是非奇非偶函数在区间上是增函数.7. 观察正切曲线写出满足下列条件的x 的值的范围：tanx ＞0.【解析】画出y ＝tanx 在（－，）上的图象，不难看出在此区间上满足tanx ＞0的x 的范围为：0＜x ＜结合周期性，可知在x ∈R ，且x ≠k π＋上满足的x 的取值范围为（k π，k π＋）（k ∈Z ） ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=33tan πx y 233πππ+≠-k x 1853ππ+≠k x ∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠∈z k k x R x x ,1853,|ππ且3π=T ()z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+-1853,183ππππ2π2π2π2π2π。