苏科版八年级数学假期跟踪练习题(六)

手拉手模型（压轴题专项讲练）【典例1】（1）问题发现：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，我们把具有这种规律的图形称为“手拉手”图形，如图1，△ABC和△ADE是顶角相等的等腰三角形，即AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE，分别连接BD，CE．求证：BD=CE；（2）类比探究：如图2，△ABC和△ADE都是等腰三角形，即AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE=90°，B，C，D在同一条直线上．请判断线段BD与CE存在怎样的数量关系及位置关系，并说明理由．（3）问题解决：如图3，若△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，且CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同一条直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，若AE=7，BE=2，请直接写出四边形ABEC的面积．本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形、等腰直角三角形的性质、三线合一等性质，熟练掌握三角形的有关性质是解题的关键．（1）根据三角形全等的判定和性质即可解答．（2）根据（1）问中，“手拉手”全等的证明，可得△BAD≌△CAE(SAS)，利用全等的性质可得BD=CE，∠ACE=∠ABC，又因为△ABC是等腰直角三角形，可得∠ABC=∠ACB=∠ACE=45°，从而可知∠BCE=90°，即BD⊥CE．（3）由△DCE是等腰直角三角形，CM为△DCE中DE边上的高，可证得CM=12DE=12(AE―AD)，根据（1）问中，“手拉手”全等的证明，可得△ACD≌△BCE，从而得AD=BE，即可求出CM的长，最后求出四边形ABEC的面积．（1）证明：∵∠BAC=∠DAE∴∠BAC―∠CAD=∠DAE―∠CAD即∠BAD=∠CAE在△ABD和△ACE中AB=AC∠BAD=∠CAE，AD=AE∴△ABD≌△ACE(SAS)∴BD=CE．（2）BD与CE的数量关系是BD=CE，位置关系是BD⊥CE．理由如下：∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAE，AD=AE∴△BAD≌△CAE(SAS)，∴BD=CE，∠ACE=∠ABC，∵△ABC是等腰三角形且∠BAC，∴∠ABC=∠ACB=45°，∴∠ACE=∠ABC=45°，∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=45°+45°=90°，∴BD⊥CE．（3）解：由（1）的方法得，△ACD≌△BCE，∴AD=BE，∠CAD=∠CBE，∵△CDE是等腰直角三角形，∴∠CDE=∠CED=45°，∵CD=CE，CM⊥DE，∴DM=ME，∵∠DCE=90°，∴DM =ME =CM ，∴ CM =12DE =12(AE ―AD)=12(AE ―BE)=12×(7―2)=2.5．∵∠ACB =90°，∴∠CAD +∠EAB +∠CBA =90°，∴∠CBE +∠EAB +∠CBA =90°，∴∠AEB =90°，即四边形ABEC 的面积=S △ACE +S △AEB =12AE·CM +12AE·BE =12×7×2.5+12×7×2=634．1．（23-24七年级下·贵州毕节·期末）在△BCD 中，∠BCD <120°，分别以BC 、CD 和BD 为边在△BCD 外部作等边三角形ABC 、等边三角形CDE 和等边三角形BDF ，连结AD 、BE 和CF 交千点P ，则以下结论中①AD =BE =CF ；②∠BEC =∠ADC ；③∠DPE =∠EPC =∠CPA =60°；④PB +PC +PD =BE ．正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【思路点拨】证明△ABD≌△CBF (SAS)，△ACD≌△BCE (SAS)，可得∠BAD =∠BCF ，∠CAD =∠CBE ，进一步可判断①②，证明∠APC =60°，求出∠BPC =120°，进一步可判断③，在PA 上截取PG =PB ，连接BG ，证明∠BGA =∠BPC =120°，再证△BAG≌△BCP (AAS)，可得PC =GA ，进而可得PA =PB +PC ，进一步可判断④．【解题过程】解：∵△ABC ，△BDF是等边三角形，∴BA=BC，BD=BF，∠ABC=∠DBF=60°，∴∠ABD=∠CBF，∴△ABD≌△CBF(SAS)，∴∠BAD=∠BCF，AD=CF，同理可得△ACD≌△BCE(SAS)，∴∠CAD=∠CBE，AD=BE，∠BEC=∠ADC，∴AD=BE=CF，故①②符合题意；∵∠BAD+∠CAD=60°，∴∠BAD+∠CBE=60°，∵∠ABC=60°，∴∠BAD+∠ABC+∠CBE=∠BAD+∠ABE=120°，∴∠BPA=60°=∠DPE，同理可得∠APC=60°，∴∠BPC=120°，∠EPC=60°，∴∠DPE=∠EPC=∠CPA=60°，故③符合题意；如图，在PA上截取PG=PB，连接BG，∴△BPG是等边三角形，∴∠BGP=60°，∴∠BGA=120°，∴∠BGA=∠BPC，又∵∠BAG=∠BCP，AB=CB，∴△BAG≌△BCP(AAS)，∴PC=GA，∴PA =PG +GA =PB +PC ，∵AD =BE ，∴PB +PC +PD =PA +PD =AD =BE ；故④符合题意；故选D2．（2023·吉林长春·模拟预测）两个大小不同的等腰直角三角板按图1所示摆放，将两个三角板抽象成如图2所示的△ABC 和△AED ，其中∠BAC =∠EAD =90°，点B 、C 、E 依次在同一条直线上，连结CD ．若BC =4，CE =2，则△DCE 的面积是 ．【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质等知识，根据SAS 证明△ACD≌△ABE ，由全等三角形的性质得出∠ACD =∠B ，CD =BE ，则可得出答案．【解题过程】解：∵∠BAC =∠EAD =90°，∴∠BAC +∠CAE =∠EAD +∠CAE ，即∠BAE =∠CAD ，在△ABD 和△ACD 中，AB =AC ∠BAE =∠CAD AD =AE，∴△ACD≌△ABE (SAS)，∴∠ACD =∠B ，CD =BE ，∵∠B =45°，∴∠ACD =45°，∴∠BCD =∠ACB +∠ACD =90°，∵BC =4，CE =2，∴BE =6，∴CD =6，∴S △DCE =12CE ⋅DC =12×2×6=6，故答案为：6．3．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）已知：如图，△ABC 和△DEC 都是等边三角形，D 是BC 延长线上一点，AD 与BE 相交于点P ，AC 与BE 相交于点M ，AD 与CE 相交于点 ，连接MN ，PC ，则下列四个结论：①∠BMC =∠BMA ；②∠APB =60°；③AN =BM ；④PC 平分∠BPD ．其中，正确的是 （只填写序号）【思路点拨】当M 是AC 的中点或者BM 平分∠ABC 时，∠BMC =∠BMA ，故①错误；根据等边三角形的性质得CA =CB,CD =CE ，∠ACB =60°，∠DCE =60°，则∠ACE =60°，可得△ACD≌△BCE (SAS)，故∠CAD =∠CBE ，再判断△ACN≌△BCM (ASA)，所以AN =BM ；可以判断③正确，根据三角形内角和定理可得∠CAD +∠CDA =60°，而∠CAD =∠CBE ，则∠CBE +∠CDA =60°，然后再利用三角形内角和定理即可得到∠BPD =120°，故∠APB =②正确；作CH ⊥BE 于H ，CQ ⊥AD 于Q ，由△ACD≌△BCE 得到∠CAD =∠CBE ，即可证明△AQC≌△BHC (AAS)，故CQ =CH ，根据角平分线的判定定理即可得到PC 平分∠BPD ，进而可以判断④正确．【解题过程】证明：∵△ABC 是等边三角形，∴当M 是AC 的中点或者BM 平分∠ABC 时，∴∠BMC =∠BMA ，但题中M 的位置不确定，∴∠BMC 和∠BMA 不一定相等，故①错误；∵△ABC 和△DEC 都是等边三角形，∴CA =CB,CD =CE ，∠ACB =60°，∠DCE =60°，∴∠ACE =60°，∴∠ACD =∠BCE =120°，在△ADC 和△BCE 中，CA =CB ∠ACD =∠BCE CD =CE∴△ACD≌△BCE (SAS)，∴∠CAD =∠CBE ，在△ACN 和△BCM 中，∠ACN =∠BCM CA =CB ∠CAN =∠CBM，∴△ACN≌△BCM (ASA)，∴AN =BM ，故③正确；∵∠CAD +∠CDA =60°，而∠CAD =∠CBE ，∴∠CBE +∠CDA =60°，∴∠BPD =120°，∴∠APB =60°，故②正确；作CH ⊥BE 于H ，CQ ⊥AD 于Q∵△ACD≌△BCE ，∴AC =BC ，∠CAD =∠CBE又∵∠BHC =∠AQC =90°∴△AQC≌△BHC (AAS)∴CQ =CH ，又∵∠CHP =∠CQP =90°，∴CP平分∠BPD，故④正确．综上所述：正确的是②③④．故答案为：②③④．4．（23-24九年级上·河南周口·期中）如图，△ABC和△ECD都是等边三角形，直线AE，BD交于点F．（1）如图1，当A，C，D三点在同一直线上时，∠AFB的度数为______，线段AE与BD的数量关系为______．（2）如图2，当△ECD绕点C顺时针旋转α(0°≤α≤360°)时，（1）中的结论是否还成立？若不成立，请说明理由：若成立，请就图2给予证明．（3）若AC=4，CD=3，当△ECD绕点C顺时针旋转一周时，请直接写出BD长的取值范围．【思路点拨】本题考查了等边三角形性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，以及旋转的性质，解答时证明三角形全等是关键．（1）利用等边三角形的性质证明△ACE≌△BCD，结合三角形的外角就可以得出结论；（2）同（1）中方法证明△ACE≌△BCD，得出AE=BD，∠2=∠3，再根据三角形的内角和得出∠AFB=60°；（3）当B、C、D三点共线时得出BD的最大和最小值，即可得出结论．【解题过程】（1）解：∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC，∠ACB=60°，∵△ECD是等边三角形，∴CE=CD，∠DCE=60°，∴∠ACB=∠DCE=60°∴∠ACB+∠BCE=∠DCE+∠BCE，即∠ACE =∠BCD ，在△ACE 和△BCD 中，AC =BC ∠ACE =∠BCD CE =CD∴△ACE≌△BCD ，∴AE =BD ，∠CAE =∠CBD ，∵∠AFB =∠CAE +∠BDC ，且∠ACB =60°∴∠AFB =∠CBD +∠BDC =∠ACB =60°（2）（1）中结论仍成立，∵△ABC 是等边三角形，∴AC =BC ，∠ACB =60°，∵△ECD 是等边三角形，∴CE =CD ，∠DCE =60°，∴∠ACB =∠DCE =60°∴∠ACB +∠1=∠DCE +∠1，即∠ACE =∠BCD ，在△ACE 和△BCD 中，AC =BC ∠ACE =∠BCD CE =CD∴△ACE≌△BCD ，∴AE =BD ，∠2=∠3，∵∠AFB +∠3=∠ACB +∠2，且∠ACB =60°，∴∠AFB =60°；（3）∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC=4，当旋转α=60°时，B、C、D三点共线，此时BD=BC+CD=7，当旋转α=240°时，B、C、D三点共线，此时BD=BC―CD=1；∴1≤BD≤7．5．（23-24七年级下·四川成都·期中）数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．（1）发现问题：如图1，在△ABC和△AEF中，AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF=30°，连接BE，CF，延长BE交CF于点D．则BE与CF的数量关系：__________，∠BDC=；（2）类比探究：如图2，在△ABC和△AEF中，AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF=120°，连接BE，CF，延长BE，FC交于点D．请猜想BE与CF的数量关系及∠BDC的度数，并说明理由；（3）拓展应用：在△ABC和△AEF中，AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF=90°，连接BE，CF，将△AEF 绕它们共同的顶点A旋转一定的角度后，若B，E，F三点刚好在同一直线上，求此时∠AFC的度数．【思路点拨】本题考查全等三角形的判定，等腰三角形以及等腰直角三角形的判定与性质，灵活运用相关知识成为解题的关键．（1）设AC交BD于点G，由∠BAC=∠EAF=30°可得∠BAE=∠CAF=30°+∠CAE，而AB=AC、AE=AF，即可根据“SAS”证明△ABE≌△ACF，所以BE=CF，∠ABE=∠ACF，则∠BDC=∠AGD―∠ACF=∠AGD―∠ABE=∠BAC=30°即可解答；（2）根据等腰三角形的性质，利用SAS证明△ABE≌△ACF可得BE=CF,∠AEB=∠AFC，然后再根据等腰三角形的性质即可解答；（3）根据等腰直角三角形的性质，利用SAS证明△ABE≌△ACF可得∠AFC=AEB,AE=AF，再说明∠AEB=135°即可．【解题过程】（1）解：如图1，设AC 交BD 于点G ，∵∠BAC =∠EAF =30°，∴∠BAE =∠CAF =30°+∠CAE ，在△ABE 和△ACF 中，AB =AC ∠BAE =∠CAF AE =AF，∴△ABE≌△ACF (SAS)，∴∠ABE =∠ACF ，BE =CF ，∴∠BDC =∠AGD ―∠ACF =∠ACD ―∠ABE =∠BAC =30°．故答案为：BE =CF ，30．（2）解：BE =CF ，∠BDC =60°，理由如下：∵∠BAC =∠EAF =120°，∴∠BAC ―∠EAC =∠EAF ―∠EAC ，即∠BAE =∠CAF ，在△ABE 和△ACF 中，AB =AC ∠BAE =∠CAF AE =AF，∴△ABE≌△ACF (SAS)，∴BE =CF ,∠AEB =∠AFC ，∵∠EAF =120°,AE =AF ，∴∠AEF =∠AFE =30°，∴∠BDC =∠BEF ―∠EFD =∠AEB +30°―(∠AFC ―30°)=60°．（3）解：如图3所示：∵△ABC和△AEF都是等腰三角形，∴∠CAB=∠EAF=90°，AB=AC，AE=AF，∴∠CAB―∠CAE=∠FAE―∠CAE，即：∠BAE=∠CAF，∴△BAE≌△CAF(SAS)，∴∠AFC=AEB,AE=AF，∵∠EAF=90°，∴∠AEF=45°,∴∠AEB=180°―∠AEF=135°,∴∠AFC=∠AEB=135°．6．（2024·河南·一模）如图，（1）问题发现：如图①，△ABC和△EDC都是等边三角形，点B、D、E在同一条直线上，连接AE．①∠AEC的度数为______；②线段AE、BD之间的数量关系为______；（2）拓展探究：如图②，△ABC和△EDC都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点B、D、E在同一条直线上，CM为△EDC中DE边上的高，连接AE，试求∠AEB的度数及判断线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由；（3）解决问题：如图③，△ABC和△EDC都是等腰三角形，∠ACB=∠DCE=36°，点B、D，E在同一条直线上，请直接写出∠EAB+∠ECB的度数．【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，灵活运用这些性质是解题的关键．（1）①根据等边三角形的性质可得∠BDC =120°，证明△ECA≌△DCB (SAS)，根据全等三角形的性质即可求解；②根据全等三角形的性质即可解答；（2）证明△ECA≌△DCB (SAS)，根据等腰直角三角形的性质可得∠CDB =135°，进而得到∠CEA =∠CDB =135°，∠AEB =∠CEA ―∠CEB ，即可得到∠AEB 的度数；由△DCE 是等腰直角三角形，CM 为△EDC 中DE 边上的高，可得BE =AE +2CM ，即可得到线段CM 、AE 、BM 之间的数量关系；（3）证明△ECA≌△DCB (SAS)，得到∠CEA =∠CDB =108°，推出∠EAC +∠ECA =72°，最后根据∠EAB +∠ECB =∠EAC +∠CAB +∠ECA +∠ACB ，即可求解．【解题过程】（1）解：①∵ △ABC 和△EDC 都是等边三角形，∴ CE =CD ，CA =CB ，∠ECD =∠ACB =60°，∴ ∠BDC =180°―∠EDC =120°，∴ ∠ECD ―∠ACD =∠ACB ―∠ACD ，即∠ECA =∠DCB ，在△ECA 和△DCB 中，CE =CD ∠ECA =∠DCB CA =CB， ∴ △ECA≌△DCB (SAS)，∴ ∠AEC =∠BDC =120°，故答案为：120°；②∵ △ECA≌△DCB ，∴ AE =BD ，故答案为：AE =BD ；（2）解：∵ △ABC 和△EDC 都是等腰直角三角形，∠ACB =∠DCE =90°，EC =DC,AC =BC,∠ECD =∠ACB =90°,∠CDE =∠CED =45°，∴∠ECD ―∠ACD =∠ACB ―∠ACD ，∴∠ECA =∠DCB ，在△AEC 与△BDC 中，EC =DC ∠ECA =∠DCB AC =BC，∴△AEC≌△BDC(SAS)，∴∠AEC =∠BDC,AE =BD，∵∠CDE=45°，点B、D、E在同一条直线上，∴∠BDC=135°，∴∠AEC=∠BDC=135°，∴∠AEB=∠AEC―∠CEB=135°―45°=90°，∵△EDC都是等腰直角三角形，CM⊥DE，∴CM=EM=MD，∴ED=2CM，∴BE=BD+DE=AE+2CM，∠AEB的度数为90°，线段CM、AE、BE之间的数量关系为：BE=AE+2CM；（3）解：根据（1）（2）中结论可知：△AEC≌△BDC，得∠AEC=∠BDC，∵△ABC和△EDC都是等腰三角形，∠ACB=∠DCE=36°，=72°，∴∠CDE=∠ABC=180°―36°2∴∠AEC=∠BDC=180°―72°=108°，∴∠AEC+∠ABC=108°+72°=180°，∴∠EAB+∠ECB=360°―180°=180°．7．（23-24八年级上·重庆万州·阶段练习）（1）问题情境如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE，求证：△ABD≌△ACE．（2）迁移应用如图2，△ABC和△ADE都是等边三角形，A，B，E三点在同一条直线上，M是AD的中点，N是AC的中点，P在BE上，△MNP是等边三角形，求证：P是BE的中点．（3）拓展创新如图3，P是线段BE的中点，BE=9，在BE的下方作等边△PFH（P，F，H三点按逆时针顺序排列，△PFH的大小和位置可以变化），连接EF，BH．当EF+BH的值最小时，直接写出等边△PFH 边长的最小值．【思路点拨】（1）证出∠BAD=∠CAE，根据SAS证明△ABD≌△ACE；（2）在AE 上取点K ，使得AK =AM ，连接KM ，证明△AMN≌△KMP(SAS)，由全等三角形的性质得出AN =KP ，证出EP =BP ，则可得出结论；（3）作∠EPQ =60°， 使PQ =PE ，连接QE,QB ，证明△EPF≌△QPH(SAS)，由全等三角形的性质得出EF =QH ，则EF +BH =QH +BH ，当点H 在线段QB 上时，EF +BH 的值最小，由直角三角形的性质可得出答案．【解题过程】（1）证明:∵△ABC 和△ADE 都是等边三角形，∴∠BAC =∠DAE =60°，AB =AC , AD =AE ，∴∠BAC ―∠ACD =∠DAE ―∠ACD ，∴∠BAD =∠CAE ，在△BAD 和△CAE 中AB =AC ∠BAD =∠CAE AD =AE，∴△BAD≌△CAE(SAS)；（2）证明: 在AE 上取点K ，使得AK =AM ，连接KM ，∵△ABC 和△ADE 都是等边三角形.∴∠DAE =60°，AD =AE ，AC =AB ，∴△AMK 是等边三角形,∴AM =MK =AK ，∠AMK =60°，∵△MPN 是等边三角形,∴MN =MP ，∠PMN =60°，∴∠PMN =∠KMA ，∴∠PMN ―∠AMP =∠KMA ―∠AMP ，即∠AMN =∠KMP ，在△AMN 和△KMP中AM =KM∠AMN =∠KMP MN =MP，∴△AMN≌△KMP(SAS)，∴AN =KP ，∴AM =AK =AP +AN ，∵M 为AD 的中点, 点N 为AC 的中点,∴AE =AD =2AM ，AB =AC =2AN ，设AP =x ，AN =y ，则AK =x +y ，AB =2y ，∴AE =2AK =2x +2y ，BP =AB +AP =x +2y ，∴EP =AE ―AP =x +2y ，∴ EP =BP ，∴点P 为BE 的中点；（3）作∠EPQ =60°，使PQ =PE ，连接EQ,QB ，∵△PFH 是等边三角形,∴ PF =PH ，∠FPH =60°，∴∠EPF =∠QPH ，∴△EPF≌△QPH (SAS)，∴EF =QH ，∴EF +BH =QH +BH ，当点H 在线段QB 上时，EF +BH 的值最小，此时PH ⊥BQ ，PH 的值最小，∵PQ =PB =PE ，∴∠PBQ =∠PQB =30°，在Rt △PBH 中，PH =12PB =14BE =94，即当EF +BH 的值最小时，△PFH 边长的最小值为 94.8．（23-24七年级下·陕西咸阳·期末）【问题提出】（1）如图1，在△ABC 和△AEF 中，AB =AC ，AE =AF ，∠BAC =∠EAF =30°，连接BE ，CF ，BE 交AC 于点O ，延长BE 交CF 于点D ．①试说明：BE =CF ；②求∠BDC 的度数．【问题探究】（2）如图2，在△ABC 和△AEF 中，AB =AC ，AE =AF ，∠BAC =∠EAF =120°，连接BE ，CF ，延长BE ，FC 交于点D ，请猜想BE 与CF 的数量关系及∠BDC 的度数，并说明理由．【思路点拨】（1）①利用SAS 证明△ABE≌△ACF ，即可得出结论；②由全等三角形的性质以及三角形外角的性质可得出结论；（2）利用SAS 证明△ABE≌△ACF ，由全等三角形的性质即可得出BE =CF ；然后，根据等腰三角形的性质，三角形的内角和定理以及三角形外角的性质即可求出∠BDC 的度数．【解题过程】解：（1）①∵∠BAC =∠EAF =30°，∴∠BAC +∠CAE =∠EAF +∠CAE ，即∠BAE =∠CAF ，在△ABE 和△ACF 中，AB =AC ∠BAE =∠CAF AE =AF，∴△ABE≌△ACF (SAS)，∴BE =CF ；②如图，设AC 与BD 交于点O ，∵△ABE≌△ACF ，∴∠ABE =∠ACF ，∵∠AOE =∠ABE +∠BAC ，∠AOE =∠ACF +∠BDC ，∴∠BDC =∠BAC =30°；（2）BE =CF ，∠BDC =60°，理由如下：∵∠BAC =∠EAF =120°，∴∠BAC ―∠EAC =∠EAF ―∠EAC ，即∠BAE =∠CAF ，在△ABE 和△ACF 中，AB =AC ∠BAE =∠CAF AE =AF，∴△ABE≌△ACF (SAS)，∴BE =CF ，∠AEB =∠AFC ，∵∠EAF =120°，AE =AF ，∴∠AEF =∠AFE =12(180°―∠EAF )=12×(180°―120°)=30°，∴∠BDC =∠BEF ―∠EFD=(∠AEB +∠AEF )―(∠AFC ―∠AFE )=∠AEB ―∠AFC +∠AEF +∠AFE=∠AEF +∠AFE=30°+30°=60°．9．（23-24七年级下·安徽宿州·期末）已知，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边在AD的右侧作等腰直角△ADE，∠DAE=90°，AD=AE．（1）如果AB=AC，∠BAC=90°．①如图1，当点D在线段BC上时（与点B不重合），请直接写出线段CE与BD之间的数量关系：___________，位置关系：___________；（只写结论，不用证明）②如图2，当点D在线段BC的延长线上时，①中的结论是否仍然成立？若不成立，请说明理由；若成立，写出结论并加以论证；（2）如果AB≠AC，∠BAC<90°，点D在线段BC上运动．试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CE⊥BD （点C，E重合除外）？请写出条件，并借助图3简述CE⊥BD成立的理由．【思路点拨】本题主要考查了等腰直角三角形的旋转．熟练掌握等腰直角三角形的判断和性质，旋转性质，全等三角形（1）①根据等腰直角三角形性质得到∠B=∠ACB=45°,推出∠BAD=∠CAE，得到△ABD≌△ACE(SAS)，得到CE=BD，∠ACE=∠B=45°，得到∠BCE=90°，CE⊥BD；②根据等腰直角三角形性质得到∠B=∠ACB=45°,推出∠BAD=∠CAE，推出△ABD≌△ACE(SAS)，得到CE=BD，∠ACE=∠B=45°，得到∠BCE=90°，即得CE⊥BD；（2）当∠ACB=45°时，CE⊥BD．过点A作AF⊥AC交CB的延长线于点F，得到△AFC是等腰直角三角形，根据∠DAE=90°，AD=AE，推出∠FAD=∠CAE，得到△FAD≌△CAE(SAS)，得到∠ACE=∠F=45°，得到∠BCE=90°，即得CE⊥BD．【解题过程】（1）①当AB=AC，∠BAC=90°时，∠B=∠ACB=45°，∵∠DAE=90°，AD=AE，∴∠BAD+∠CAD=∠CAD+∠CAE=90°，∴∠BAD=∠CAE，∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴CE=BD，∠ACE=∠B=45°，∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，∴CE⊥BD；故答案为：CE=BD，CE⊥BD；②CE=BD，CE⊥BD仍然成立，理由：∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠B=∠ACB=45°,∵∠DAE=90°，AD=AE，∴∠BAD―∠CAD=∠CAE―∠CAD=90°，∴∠BAD=∠CAE，∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴CE=BD，∠ACE=∠B=45°，∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，∴CE⊥BD；（2）当∠ACB=45°时，CE⊥BD，理由：如答图，过点A作AF⊥AC交CB F，则∠FAC=90°，∵∠ACB=45°，∴∠F=90°―∠ACB=45°，∴AC=AF，∵∠DAE=90°，AD=AE，∴∠FAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC=90°，∴∠FAD=∠CAE，∴△FAD≌△CAE(SAS)，∴∠ACE=∠F=45°，∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，∴CE⊥BD．10．（23-24七年级下·河南郑州·期中）【综合实践】如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”．（1）【初步把握】如图1，△ABC与△ADE都是等腰三角形，AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE，则有△ABD≌；线段BD和CE的数量关系是；（2）【深入研究】如图2，△ABC和△ADE是都是等腰三角形，即AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE=90°，B，C，D BD与CE存在怎样的数量关系及位置关系，并说明理由；（3）【拓展延伸】如图3，直线l1⊥l2，垂足为点O，l2上有一点M在点O右侧且OM=4，点N是l1上一个动点，连接MN，在MN下方作等腰直角三角形NMP，MN=MP，∠NMP=90°，连接OP．请直接写出线段OP的最小值及此时ON的长度．【思路点拨】本题考查四边形综合应用，涉及全等三角形判定与性质，等腰直角三角形性质等，解题的关键是掌握全等三角形判定定理．（1）由∠BAC=∠DAE，可得∠BAD=∠CAE，根据SAS可得△ABD≌△ACE，则可得出结论；（2）由∠BAC=∠DAE=90°，得∠BAD=∠CAE，即可证△ABD≌△ACE(SAS)，有BD=CE，∠ACE=∠ABC，而△ABC是等腰三角形且∠BAC=90°，知∠ABC=∠ACB=45°，故∠ACE=∠ABC=45°，即可得∠BCE=∠ACB+∠ACE=45°+45°=90°，BD⊥CE；（3）证明∠O′MO=45°，当OP有最小，即O′P′最小，即垂线段最短，当O′P′⊥y轴时，O′P′最小，则可得出答案．【解题过程】（1）∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，AB=AC∠BAD=∠CAE，AD=AE∴△ABD≌△ACE(SAS)；故答案为：△ACE；BD=CE；（2）解：BD与CE的数量关系是BD=CE，位置关系是BD⊥CE ∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，AB=AC∠BAD=∠CAE，AD=AE∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴BD=CE，∠ACE=∠ABC，∵△ABC是等腰三角形且∠BAC=，∴∠ABC=∠ACB=45°，∴∠ACE=∠ABC=45°，∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=45°+45°=90°，∴BD⊥CE；（3）∵△MNP是等腰直角三角形，∴∠MNP=∠NPM=45°，将△OPM绕M点顺时针旋转90°得△O′P′M（N与P′重合），连接OO′，∴△PMO≌△P′MO′，∴MO=MO′，OP=O′P′，∴∠O′MO=45°，当OP有最小，即O′P′最小，当O′P′⊥y轴时，由∠O′OP′=45°，∠O′P′O=90°，∴O′P′=OM=4，ON=OP′=4，∴ON=4，OP最小值为4．11．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）【基础巩固】（1）如图1，在△ABC与△ADE中，AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE，求证：△AEC≌△ADB；【尝试应用】（2）如图2，在△ABC与△ADE中，AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°,B、D、E 三点在一条直线上，AC与BE交于点F，若点F为AC中点，①求∠BEC的大小；②CE=2，求△ACE的面积；【拓展提高】（3）如图3，△ABC与△ADE中，AB=AC,DA=DE,∠BAC=∠ADE=90°,BE与CA 交于点F,DC=DF,△BCF的面积为32，求AF的长．【思路点拨】（1）由SAS证△AEC≌△ADB即可；（2）①同（1）得△AEC≌△ADB (SAS)，得∠AEC =∠ADB =135°，即可得出结论；②过点A 作AG ⊥DE 于点G ，证△AGF≌△CEF (ASA)，得AG =CE =2，GF =EF ，再由等腰直角三角形的性质得DG =EG =AG =2，则GF =EF =1，然后由三角形面积关系即可得出结论；（3）连接CE ，同（2）得△CDE≌△FDA (SAS)，则CE =AF ，∠DCE =∠DFA =135°，得∠ACE =90°，再证△ACE≌△BAF (SAS)，得CE =AF ，S △ACE =S △BAF ，然后证CE∥AB ，得S △ABE =S △ABC =12AC 2，进而由S △ABC +S △ACE ―S △ABE ―S △CEF =S △BCF ，得AC ⋅AF ―AF ⋅CF =64，则AF 2=64，即可得出结论．【解题过程】（1）证明：∵∠BAC =∠DAE ，∴∠BAC ―∠BAE =∠DAE ―∠BAE ，即∠CAE =∠BAD ，在△AEC 和△ADB 中，AC =AB ∠CAE =∠BAD AE =AD，∴△AEC≌△ADB (SAS)；（2）解：①∵AD =AE ，∠DAE =90°，∴∠ADE =∠AED =45°，∴∠ADB =180°―∠ADE =180°45°=135°，同（1）得：△AEC≌△ADB (SAS)，∴∠AEC =∠ADB =135°，∴∠BEC =∠AEC ―∠AED =135°―45°=90°；②如图2，过点A 作AG ⊥DE 于点G ，则∠FGA =90°，由①可知，∠FEC =90°，∴∠FGA =∠FEC，∵点F 为AC 中点，∴AF =CF ，又∵∠AFG =∠CFE ，∴△AGF≌△CEF (AAS)，∴AG =CE =2，GF =EF ，∵AD =AE ，∠DAE =90°，∴DG =EG =AG =2，∴GF =EF =12EG =1，∴S △ACE =2S △CEF =2×12CE ⋅EF =2×1=2；（3）解：如图3，连接CE ，同（2）得：△CDE≌△FDA (SAS)，∴CE =AF ，∠DCE =∠DFA =135°∴∠ACE =∠DCE ―∠ACB =135°―45°=90°，在△ACE 和△BAF 中，AC =AB ∠ACE =∠BAF =90°CE =AF，∴△ACE≌△BAF (SAS)，∴S △ACE =S △BAF ，∵∠ACE =∠BAC ，∴CE∥AB ，∴S △ABE =S △ABC =12AC ⋅AB =12AC 2，∵S △ABC +S △ACE ―S △ABE ―S △CEF =S △BCF ，∴ 1AC 2+1AC ⋅CE ―1AC 2―1CE ⋅CF =32，∴AC⋅AF―AF⋅CF=64，∴AF(AC―CF)=64，∴AF2=64，∴AF=8，负值舍去，即AF的长为8．12．（2023·甘肃张掖·模拟预测）在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．通过查询资料，他们得知这种模型称为“手拉手模型”．兴趣小组进行了如下操作：（1）观察猜想：如图①，已知△ABC,△ADE均为等边三角形，点D在边BC上，且不与点B、C重合，连接CE，易证△ABD≌△ACE，进而判断出AB与CE的位置关系是___________（2）类比探究：如图②，已知△ABC、△ADE均为等边三角形，连接CE、BD，若∠DEC=60°，试说明点B，D，E在同一直线上；（3）解决问题：如图③，已知点E△ABC的外部，并且与点B位于线段AC的异侧，连接AE、BE、CE．若∠BEC=60°,AE=3,CE=2，请求出BE的长．【思路点拨】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是：（1）利用SAS证明△BAD≌△CAE，可求出∠BAC=∠ACE=60°，利用平行线的判定即可得出结论；（2）利用SAS证明△BAD≌△CAE，可得出∠ADB=∠AEC=120°，进而得出∠ADB+∠ADE=180°，即可得证；（3）在线段BE上取一点H，使得BH=CE，设AC交BE于点O，先利用外角的性质证明∠ABH=∠ACE，再利用SAS证明△ABH≌△ACE，得出∠BAH=∠CAE，AH=AE，则可证明△AEH是等边三角形，得出AE=EH，即可求解．【解题过程】（1）解：AB∥CE，理由如下：∵△ABC 、△ADE 都是等边三角形，∴AB =AC ，AD =AE ，∠BAC =∠DAE =∠B =60°，∴∠BAC ―∠DAC =∠DAE ―∠DAC ，即∠BAD =∠CAE ，在△BAD 和△CAE 中，AB =AC ∠BAD =∠CAE AD =AE，∴△BAD≌△CAE (SAS)，∴∠B =∠ACE =60°，∴∠BAC =∠ACE =60°，∴AB∥CE ；故答案为：AB∥CE ；（2）证明：∵△ABC 、△ADE 都是等边三角形，∴AB =AC ，AD =AE ，∠BAC =∠DAE =∠ADE =60°，∴∠BAC ―∠DAC =∠DAE ―∠DAC ，即∠BAD =∠CAE ，∵∠AED =60°，∠DEC =60°，∴∠AEC =120°，在△BAD 和△CAE 中，AB =AC ∠BAD =∠CAE AD =AE，∴△BAD≌△CAE (SAS)，∴∠ADB =∠AEC =120°，∴∠ADB +∠ADE =180°，∴点B ，D ，E 在同一直线上；（3）解：如图③，在线段BE 上取一点H ，使得BH =CE ，设AC 交BE 于点O ，∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠BAC=60°，∵∠BEC=60°，∴∠BAO=∠OEC=60°，∵∠AOB=∠EOC，∴∠ABH=∠ACE，在△ABH和△ACE中，AB=AC∠ABH=∠ACE，BH=CE∴△ABH≌△ACE(SAS)，∴∠BAH=∠CAE，AH=AE，∴∠HAE=∠BAC=60°，∴△AEH是等边三角形，∴AE=EH，∴BE=BH+EH=EC+AE，即BE=AE+EC，∵AE=3，CE=2，∴BE=3+2=5．13．（23-24八年级上·河北沧州·期末）在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），把线路AD绕着点A逆时针旋转至AD=AE），使得∠DAE=∠BAC，连接DB、CE．（1）如图1，点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，则∠BCE=__________度．Array（2）如图2，当点D在线段BC上，如果∠BAC=60°，则∠BCE=__________度．（3）如图3，设∠BAC =α，∠BCE =β，当点D 在线段BC 上移动时，α，β的数量关系是什么？请说明理由．（4）设∠BAC =α，∠BCE =β，当点D 在直线BC 上移动时，请直接写出α，β的数量关系，不用证明．【思路点拨】（1）由“SAS ”可证△BAD≌△CAE ，得∠ABC =∠ACE =45°，可求∠BCE 的度数；（2）由“SAS ”可证△BAD≌△CAE ，得∠ABC =∠ACE =60°，可求∠BCE 的度数；（3）由“SAS ”可证△BAD≌△CAE 得出∠ABD =∠ACE ，再用三角形的内角和即可得出结论；（4）由“SAS ”可证△BAD≌△CAE 得出∠ABD =∠ACE ，再用三角形的内角和即可得出结论．【解题过程】（1）解：∵∠BAC =90°，∴∠DAE =∠BAC =90°，∵AB =AC ，AD =AE ，∴∠B =∠ACB =45°，∠ADE =∠AED =45°，∵∠DAE =∠BAC ，∴∠BAD =∠CAE ，在△BAD 和△CAE 中，AB =AC ∠BAD =∠CAE AD =AE，∴△BAD≌△CAE (SAS)，∴∠ACE =∠B =45°，∴∠BCE =∠ACB +∠ACE =90°，故答案为：90；（2）∵∠BAC =60°，∴∠DAE =∠BAC =60°，∵AB =AC ，AD =AE，∴∠B=∠ACB=60°，∠ADE=∠AED=60°，∵∠DAE=∠BAC，∴∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAE，AD=AE∴△BAD≌△CAE(SAS)，∴∠ACE=∠B=60°，∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=120°，故答案为：120；（3）α+β=180°，理由如下：∵AB=AC，AD=AE，∠DAE=∠BAC，∴∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAE，AD=AE∴△BAD≌△CAE(SAS)，∴∠ACE=∠B，∴∠ACE+∠ACB=∠B+∠ACB，∵∠BCE=∠ACB+∠ACE=β，∴∠B+∠ACB=β，∵∠BAC=α，∠BAC+∠B+∠ACB=180°，∴α+β=180°；（4）如图4，当点D在BC的延长线上时，α+β=180°，证明方法同（3）；如图5，当点D 在CB 的延长线上时，α=β，理由如下：∵∠DAE =∠BAC ，∴∠DAB +∠BAE =∠EAC +∠BAE ，∴∠DAB =∠EAC ，在△BAD 和△CAE 中，AB =AC ∠BAD =∠CAE AD =AE，∴△BAD≌△CAE (SAS)，∴∠ABD =∠ACE ，∵∠ABD =∠BAC +∠ACB ，∠ACE =∠BCE +∠ACB ，∴∠BAC =∠BCE ，∵∠BAC =α，∠BCE =β，∴α=β．综上，α+β=180°或α=β．14．（24-25九年级上·广东深圳·开学考试）【初步感知】（1）如图1，已知△ABC 为等边三角形，点D 为边BC 上一动点（点D 不与点B ，点C 重合）．以AD 为边向右侧作等边△ADE ，连接CE ．求证：△ABD≌△ACE；【类比探究】（2）如图2，若点D 在边BC 的延长线上，随着动点D 的运动位置不同，线段EC ，AC ，CD 之间的数量关系为__________，请证明你的结论．【拓展应用】（3）如图3，在等边△ABC 中，AB =5，点P 是边AC 上一定点且AP =2，若点D 为射线BC 上动点，以DP 为边向右侧作等边△DPE ，连接CE ，BE ．请问：PE +BE 是否有最小值？若有，请求出其最小值；若没有，请说明理由．【思路点拨】本题考查三角形综合，全等三角形的判定，等边三角形的判定与性质，掌握相关知识是解题的关键．（1）由△ABC 和△ADE 是等边三角形，推出AB =AC ，AD =AE ，∠BAC =∠DAE =60°，又因为∠BAC =∠DAE ，则∠BAC ―∠DAC =∠DAE ―∠DAC ，即∠BAD =∠CAE ，利用SAS 证明△ABD≌△ACE 即可；（2）证明△ABD≌△ACE (SAS)，得出CE =BD ，结合AC =BC ，则CE =BD =BC +CD =AC +CD ；（3）在射线BC 上截取PC =DM ，连接EM ，易证△EPC≌△EDM ，则EC =EM ，∠CEM =∠PED =60°，得出△CEM 是等边三角形，则∠ECM =60°，即点E 在∠ACD 角平分线上运动，在射线CD 上截取CP ′=CP ，连接EP ′，证明△CEP≌△CEP ′(SAS)，得出PE =P ′E ，推出BE +PE =BE +P ′E ，由三角形三边关系可得，BE +P ′E ≥BP ′，即当点E 与点C 重合时，BE +P ′E =BP ′时，BE +PE 有最小值BP ′．【解题过程】（1）证明：∵ △ABC 和△ADE 是等边三角形，∴ AB =AC ，AD =AE ，∠BAC =∠DAE =60°．∵ ∠BAC =∠DAE ，∴ ∠BAC ―∠DAC =∠DAE ―∠DAC ，即∠BAD =∠CAE ．在△ABD 和△ACE 中，AB =AC ∠BAD =∠CAE AD =AE，∴△ABD≌△ACE(SAS)．（2）解：EC=AC+CD，∵△ABC和△ADE是等边三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°．∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC，即∠BAD=∠CAE．在△ABD和△ACE中，AB=AC∠BAD=∠CAE，AD=AE∴△ABD≌△ACE(SAS)．∴CE=BD，∵AC=BC，∴CE=BD=BC+CD=AC+CD．（3）解：有最小值，在射线BC上截取PC=DM，连接EM，，∵△ABC和△DPE是等边三角形，∴PE=ED，∠DPE=∠ACB=60°，∴∠ACD=180°―∠ACB=120°，∴∠ACD+∠DEP=180°，∵∠PCE+∠CEP+∠EPC=180°，∠ECD+∠CDE+∠CED=180°，∴∠ECD+∠CDE+∠CED+∠PCE+∠CEP+∠EPC=360°，∵∠PCE+∠ECD+∠CEP+∠CED―∠ACD+∠DEP=180°，∴∠EPC+∠CDE=180°，∴∠EPC=∠EDM，在△EPC和△EDM 中，PE=ED∠EPC=∠EDM，PC=DM∴△EPC≌△EDM(SAS)，∴EC=EM，∠PEC=∠DEM，∵∠PEC+∠CED=∠DEP=60°，∴∠CEM=∠DEM+∠CED=60°，∴△CEM是等边三角形，∴∠ECM=60°，∴∠ECD=60°，∠ACE=180°―∠ECD―∠ACB=60°，即点E在∠ACD角平分线上运动，在射线CD上截取CP′=CP，连接EP′，在△CEP和△CEP′中，PC=P′C，∠PCE=∠P′CECE=CE∴△CEP≌△CEP′(SAS)，∴PE=P′E，∴BE+PE=BE+P′E，由三角形三边关系可得，BE+P′E BP′，即当点E与点C重合时，BE+P′E=BP′时，BE+PE有最小值BP′，∵AP=2，AC=BC=AB=5，∴PC=AC―AP=3，∴BE+PE=BE+P′E=BP′=BE+CP′=BC+CP=5+3=8∴BE+PE的最小值为8．15．（23-24七年级下·陕西西安·期末）问题发现：学习三角形全等的知识时，小明发现重合两个等腰直角三角形的顶点会产生一对新的全等三角形．如图1，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D在边BC上，连接AD，以AD为边作△ADE，使∠DAE=90°，AD=AE，请连接图中标有字母的点，补全图形，直接写出一对全等三角形和∠BCE的度数．问题探究：小明想，如果将上图中的等腰直角三角形换成等边三角形，那么这组全等三角形是否还存在？如图2，△ABC和△ADE是等边三角形，点B，D，E在同一直线．（1）证明：△ABD≌△ACE ．（2）探索线段BE ，AE ，CE 三者间的数量关系，写出结论并说明理由．问题拓展：经过上面的探究，小明联想到几天前一道不会的题，请你帮小明再想一想，是否有新的发现．如图3，边长为a 的等边△ABC 中，D 是AC 中点，BD =b ，E 是线段BD 上一动点，连接AE ，在AE 右侧作等边△AEF ，连接FD ，求△AFD 周长的最小值（用含a ，b 的代数式表示），并直接写出取最小值时∠AFD 的度数．【思路点拨】问题发现：由∠BAC =90°，∠DAE =90°，得到∠BAD =∠CAE ，可证明△ABD≌△ACE ，推出∠ABD =∠ACE ，由Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，可得∠ABC =∠ACB =45°，得到∠ACE =45°，即可求解；问题探究：（1）由△ABC 和△ADE 是等边三角形，得到∠BAC =∠DAE =60°，AB =BC =AC ，AD =AE =DE ，推出∠BAD =∠CAE ，即可证明；（2）由△ABD≌△ACE 可得BD =CE ，推出BE =DE +BD =AE +CE ；问题拓展：证明△ABE≌△ACF ，得到∠ACF =∠ABE ，由于∠ABE 是定值，所以∠ACF 为定值，P 在一条固定的线段上运动，延长CF 至点P ，使得BD =CP ，推出点F 在线段CP 上运动，以直线CP 为对称轴，作点A 的对称点A ′，得到AC =A ′C ，AF =A ′F ，根据三角形的三边关系可得AF +DF =A ′F +FD ≥A ′D ，令A ′D 与CP 交于点F ′，则有AF ′+F ′D =A ′D ，根据全等三角形的性质，等边三角形的判定与性质推出DA ′=BD ，得到C △AFD =AF +DF +AD ≤AF ′+DF ′+AD =DA ′+AD ，可求出△AFD 周长的最小值；延长AF ′交A ′C 于点D ′，由∠AF ′D =180°―∠ADF ′―∠F ′AD 可求出此时∠AFD 的度数．【解题过程】解：问题发现：∵ ∠BAC =90°，∠DAE =90°，∴ ∠BAC ―∠DAC =∠DAE ―∠DAC ，即∠BAD =∠CAE ，在△BAD 和△CAE 中，AB =AC ∠BAD =∠CAE AD =AE，∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴∠ABD=∠ACE，∵Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=45°，∴∠ACE=45°，∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=45°+45°=90°；问题探究：（1）∵△ABC和△ADE是等边三角形，∴∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC，AD=AE=DE，∴∠BAC―∠DAC=∠DAE―∠DAC，即∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAE，AD=AE∴△ABD≌△ACE(SAS)；（2）BE=AE+CE，理由如下：∵△ABD≌△ACE，∴BD=CE，∵AE=DE，∴BE=DE+BD=AE+CE；问题拓展：连接CF，∵△ABC和△AEF是等边三角形，∴∠BAC=∠EAF=60°，AB=BC=AC，AE=AF=EF，∴∠BAC―∠EAD=∠EAF―∠EAD，即∠BAE=∠CAF，在△BAE和△CAF中，AB=AC∠BAE=∠CAF，AF=AE∴△ABE≌△ACF(SAS)∴∠ACF=∠ABE，由于∠ABE是定值，所以∠ACF为定值，P在一条固定的线段上运动，如图3，延长CF至点P，使得BD=CP，。

专题4.4 实数的混合运算专项训练【苏科版】考卷信息：本套训练卷共40题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对实数混合运算的理解！1．（2023春·黑龙江齐齐哈尔·八年级统考期中）计算√116−√614+|√3−1|−√3 2．（2023春·广西玉林·八年级统考期末）计算：(−1)2023−√9+|1−√2|−√−83． 3．（2023春·河南洛阳·八年级统考期末）计算：−32×2+√(−4)2+√−643．4．（2023春·四川广元·八年级校联考期末）计算：√−83+|√3−2|−(−1)2021+|−√3|．5．（2023春·四川德阳·八年级四川省德阳中学校校考期中）计算：−22+√36−√−273−|2−√5|． 6．（2023春·四川泸州·八年级统考期末）计算：−32×29+√2516÷58+√−273． 7．（2023春·四川绵阳·八年级校联考期中）计算：√196×√−643÷√12425−√(−3)2−|√3+√−83|． 8．（2023春·四川绵阳·八年级统考期中）计算：√−83+√9−√1916+(−1)2022+|1−√2| 9．（2023春·山东临沂·八年级统考期中）计算： (1)√9+√52+√−273(2)(−3)2−|−12|−√910．（2023春·山西临汾·八年级统考期中）计算： (1)√0.04+√−83−√125； (2)−√214+√0.1253+√1−6364．11．（2023春·河南驻马店·八年级统考期中）（1）计算∶ √16+√−643−2√3+|√3−2|； （2）求下列式子中的x ： 9x 2−16=0．12．（2023春·重庆彭水·八年级统考期中）（1）计算√83−√16+|√3−2|； （2）(12)0+(−2)3×18−√273×√19．13．（2023春·湖北十堰·八年级统考期末）计算下列各式的值： (1)√16−√−13+|2−√3|(2)√7(√7√7)−√8314．（2023春·湖北省直辖县级单位·八年级统考期末）计算： (1)√16+√−643−√(−3)2+|√3−1|； (2)已知(x +1)2=16，求x 的值．15．（2023春·天津静海·八年级校考期中）计算： (1)(−1)3+|1−√2|+√83； (2)√0.01+√−83−√1416．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级统考期中）计算 (1)8x 3+125=0；(2)√−83+√(−3)2−|√3−2|．17．（2023春·广东广州·八年级广州大学附属中学校考期中）计算： (1)√3+|√3−2|−√−83+√(−2)2． (2)√81+√(−3)2×√169−√1214+√−273．18．（2023春·广东汕头·八年级校考期中）计算 (1)√9−√(−5)33÷√(34)2(2)(−1)2021−√9+√−83+|√3−2|19．（2023春·山西吕梁·八年级统考期中）（1）计算：(−1)2022−(√16+√214)+√273+12 （2）解方程：2x 2=1820．（2023春·山东临沂·八年级统考期中）（1）计算：(−1)2017−√(−2)2−√−83+|√3−2|； （2）求x 的值：2(x −3)2=32．21．（2023春·辽宁鞍山·八年级校联考期中）计算： (1)√273−√25+|√3−2|−(1−√3) (2)√13×(√13√13)−√27322．（2023春·重庆江津·八年级校联考期中）计算： (1)−42×(−1)2023+√83−√25； (2)2√14−|2−√3|+√(−9)2+√−273．23．（2023春·山东聊城·八年级统考期中）计算：(1)2−2+√−13+(√83+4)÷√(−6)2 (2)(π−2023)0+√1.21−√−33263−√0.008324．（2023春·四川德阳·八年级四川省德阳市第二中学校校考期中）计算： (1)√(−3)2×(−13)−√273÷√14(2)√−83−√2+(√3)2+|1−√2|−(−1)2023 25．（2023春·河北唐山·八年级统考期中）计算： (1)(√2)2−√273+|√3−3|； (2)√9×√4+√102−(−4)2；26．（2023春·浙江宁波·八年级校考期中）计算下列各式： (1)√4+|−2|+√−273+(−1)2017； (2)(−3)2÷(−23)+(−2)3×(−32)．27．（2023春·广东广州·八年级校考期中）计算： (1)(√5)2+√(−3)2+√−83； (2)(−2)3×18−√273×(−√19)．28．（2023春·河南鹤壁·八年级校考期中）计算： (1)√14+√−83−11−√21； (2)0.1252022×(−8)2023．29．（2023春·山东枣庄·八年级统考期末）（1）计算：√16−√19+√273−|3−√5|；（2）求x 的值：(x +1)3=−827．30．（2023春·天津河北·八年级统考期中）（1）计算：√0.04+√−83−√14+2； （2）求下式中x 的值： 4(x +5)2=16．31．（2023春·黑龙江牡丹江·八年级校考期中）计算： (1)√−83−√3+(√5)2+|1−√3| (2)√36+√214+√−27332．（2023春·湖北十堰·八年级统考期中）计算：(1)√−8273×√14−√（−2）2；(2)√3−√25+|√3−3|+√1−63643．33．（2023春·云南红河·八年级校考期中）计算 (1)√25−√273+|−√9|(2)|2−√5|+|3−√7|+|√7−√5|34．（2023春·江苏泰州·八年级校考期中）计算或解方程： (1)8(x −1)3=−1258；(2)3(x −1)2−15=0．(3)−14×√4+|√9−5|+√214+√−0.1253．35．（2023春·北京西城·八年级北京市回民学校校考期中）按要求计算下列各题 (1)计算：|1−√2|−√(−2)2+√273；(2)已知√a −1+√b −5=0，则(a −b )2的算术平方根； (3)已知4x 2=25，求x 的值； (4)已知(x +1)2=1，求x 的值．36．（2023春·浙江宁波·八年级校联考期中）计算： (1)−2+(−7)−3+8；专题4.4 实数的混合运算专项训练【苏科版】考卷信息：本套训练卷共40题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对实数混合运算的理解！1．（2023春·黑龙江齐齐哈尔·八年级统考期中）计算√116−√614+|√3−1|−√3【答案】−134【分析】先根据算术平方根的定义，去绝对值的方法化简，再合并即可．【详解】解：原式=14−√254+√3−1−√3=14−52+√3−1−√3=14−52−1+√3−√3=−134【点睛】本题考查求一个数的算术平方根，去绝对值，实数的运算等知识，掌握相关法则和公式是解题的关键．2．（2023春·广西玉林·八年级统考期末）计算：(−1)2023−√9+|1−√2|−√−83．【答案】√2−3【分析】先计算乘方运算，化简绝对值，求解算术平方根与立方根，再合并即可．【详解】解：原式=−1−3+√2−1+2=√2−3．【点睛】本题考查的是实数的混合运算，掌握化简绝对值，求解算术平方根与立方根是解本题的关键．3．（2023春·河南洛阳·八年级统考期末）计算：−32×2+√(−4)2+√−643．【答案】−18【分析】原式利用立方根，平方根，以及平方的定义化简即可得到结果．【详解】解：−32×2+√(−4)2+√−643=−9×2+4−4=−18【点睛】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．4．（2023春·四川广元·八年级校联考期末）计算：√−83+|√3−2|−(−1)2021+|−√3|． 【答案】1【分析】先计算立方根、去绝对值、计算乘方，再计算加减即可． 【详解】解：原式＝−2+2−√3+1+√3 ＝1．【点睛】本题主要考查实数的运算，掌握实数的运算顺序及有关运算法则是解答本题的关键． 5．（2023春·四川德阳·八年级四川省德阳中学校校考期中）计算：−22+√36−√−273−|2−√5|． 【答案】7−√5【分析】首先计算乘方、开方，去绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可． 【详解】解：−22+√36−√−273−|2−√5|=−4+6−(−3)−(√5−2) =−4+6+3−√5+2=7−√5．【点睛】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用． 6．（2023春·四川泸州·八年级统考期末）计算：−32×29+√2516÷58+√−273． 【答案】−3【分析】先计算平方、开平方和开立方，再计算加减． 【详解】解：原式=−9×29+54×85+(−3) =−2+2+(−3) =−3．【点睛】本题考查平方、算术平方根、立方根，解题关键是熟练掌握定义．7．（2023春·四川绵阳·八年级校联考期中）计算：√196×√−643÷√12425−√(−3)2−|√3+√−83|． 【答案】−45+√3【分析】根据实数的混合计算法则求解即可． 【详解】解：原式=14×(−4)÷√4925−3−|√3−2|=−56÷75−3−(2−√3)=−40−3−2+√3=−45+√3．【点睛】本题主要考查了实数的混合计算，正确计算是解题的关键． 8．（2023春·四川绵阳·八年级统考期中）计算：√−83+√9−√1916+(−1)2022+|1−√2|【答案】−14+√2【分析】先化简各式，再进行加减运算． 【详解】解：原式=−2+3−54+1+√2−1=−14+√2．【点睛】本题考查开方运算，乘方运算，去绝对值．熟练掌握相关运算法则，是解题的关键． 9．（2023春·山东临沂·八年级统考期中）计算： (1)√9+√52+√−273(2)(−3)2−|−12|−√9【答案】(1)5 (2)512【分析】（1）根据算术平方根、立方根的性质化简，再计算加减即可； （2）根据乘方、绝对值、算术平方根的性质化简，再计算加减即可． 【详解】（1）解：√9+√52+√−273=3+5−3=5；（2）解：(−3)2−|−12|−√9=9−12−3=512．【点睛】本题考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减．10．（2023春·山西临汾·八年级统考期中）计算： (1)√0.04+√−83−√125；(2)−√214+√0.1253+√1−6364． 【答案】(1)−2 (2)−78【分析】（1）首先计算开平方和开立方，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可； （2）首先计算开平方和开立方，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可． 【详解】（1）解：原式=0.2−2−15=−2（2）解：原式=−32+12+18=−78【点睛】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．11．（2023春·河南驻马店·八年级统考期中）（1）计算∶ √16+√−643−2√3+|√3−2|； （2）求下列式子中的x ： 9x 2−16=0． 【答案】（1）2−3√3；（2）x =±43【分析】（1）先计算算术平方根，立方根，化简绝对值，再合并即可； （2）把方程化为x 2=169，再利用直接平方根的含义解方程即可．【详解】（1）解：原式=4−4−2√3+2−√3=2−3√3 （2）解：∶9x 2−16=0， ∶9x 2=16， ∶x 2=169，解得：x =±43；【点睛】本题考查的是实数的混合运算，利用平方根的含义解方程，熟记平方根的含义是解本题的关键．12．（2023春·重庆彭水·八年级统考期中）（1）计算√83−√16+|√3−2|； （2）(12)0+(−2)3×18−√273×√19．【答案】（1）−√3；（2）−1【分析】（1）先根据立方根定义、算术平方根计算，再利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果； （2）先将零指数幂、立方根、算术平方根、乘方计算，再进行计算即可 【详解】解：（1）√83−√16+|√3−2|=2−4+2−√3=−√3；（2）(12)0+(−2)3×18−√273×√19＝1−8×18−3×13=1−1−1=−1．【点睛】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 13．（2023春·湖北十堰·八年级统考期末）计算下列各式的值： (1)√16−√−13+|2−√3| (2)√7(√7√7)−√83【答案】(1)7−√3 (2)6【分析】（1）先化简各式，再进行加减运算； （2）先算乘法，求立方根，再进行加减运算． 【详解】（1）解：原式=4−(−1)+2−√3=5+2−√3=7−√3；（2）原式=√7×√7+√7√72=7+1−2=6．【点睛】本题考查实数的混合运算．熟练掌握相关运算法则，正确的计算是解题的关键． 14．（2023春·湖北省直辖县级单位·八年级统考期末）计算： (1)√16+√−643−√(−3)2+|√3−1|； (2)已知(x +1)2=16，求x 的值． 【答案】(1)−4+√3 (2)x =3或x =−5【分析】（1）原式先化简算术平方根、立方根和绝对值，然后再进行加减运算即可即可； （2）直接运用开平方法求解方程即可．【详解】（1）解：√16+√−643−√(−3)2+|√3−1| =4−4−3+√3−1 =−4+√3； （2）(x +1)2=16， x +1=±4， ∶x =3或x =−5．【点睛】本题主要考查了实数的混合运算和运用开平方法解方程，熟练掌握算术平方根的定义是解答本题的关键．15．（2023春·天津静海·八年级校考期中）计算： (1)(−1)3+|1−√2|+√83； (2)√0.01+√−83−√14 【答案】(1)√2 (2)−2.4【分析】（1）根据立方、立方根、实数绝对值化简后再去计算即可； （2）根据算术平方根、立方根化简后计算即可． 【详解】（1）原式=−1+√2−1+2=√2； （2）原式=0.1−2−12=−2.4．【点睛】本题考查实数的混合运算，解题的关键是先化简再去计算．16．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级统考期中）计算(1)8x3+125=0；(2)√−83+√(−3)2−|√3−2|．【答案】(1)−52(2)−1+√3【分析】（1）先整体求得x3，然后再根据立方根的知识求得x即可；（2）先根据立方根、算术平方根、绝对值的知识化简，然后再计算即可．【详解】（1）解：8x3+125=0，8x3=125，x3=−1258，x=−52．（2）解：√−83+√(−3)2−|√3−2|，=−2+3−2+√3，=−1+√3．【点睛】本题主要考查了立方根、算术平方根、绝对值、实数的运算等知识点，灵活运用相关运算法则是解答本题的关键．17．（2023春·广东广州·八年级广州大学附属中学校考期中）计算：(1)√3+|√3−2|−√−83+√(−2)2．(2)√81+√(−3)2×√169−√1214+√−273．【答案】(1)6(2)132【分析】（1）分别计算化简绝对值，开立方根和开算术平方根，再按照实数加减混合运算即可．（2）分别计算开立方根、开算术平方根和实数乘除，再按照有理数加减乘除混合运算即可．【详解】（1）解：√3+|√3−2|−√−83+√(−2)2=√3+2−√3+2+2=6故答案为：6．（2）解：√81+√(−3)2×√169−√1214+√−273=9+3×43−72−3=9+4−72−3=132故答案为：132．【点睛】本题考查了实数的加减乘除混合运算，解题的关键在于熟练掌握实数的运算法则． 18．（2023春·广东汕头·八年级校考期中）计算 (1)√9−√(−5)33÷√(34)2(2)(−1)2021−√9+√−83+|√3−2| 【答案】(1)293；(2)−4−√3；【分析】（1）先分别计算算术平方根、立方根，再进行实数的加减运算即可；（2）先分别计算乘方、算术平方根、立方根和化简绝对值，再进行实数的加减运算即可；【详解】（1）解：√9−√(−5)33÷√(34)2=3−(−5)÷34=3+5×43=293；（2）(−1)2021−√9+√−83+|√3−2|=−1−3+(−2)+(2−√3)=−4−2+2−√3=−4−√3；【点睛】本题考查实数的加减运算，解题的关键是掌握立方根和绝对值相关知识．19．（2023春·山西吕梁·八年级统考期中）（1）计算：(−1)2022−(√16+√214)+√273+12 （2）解方程：2x 2=18 【答案】（1）−1；（2）x =±3【分析】（1）原式分别根据乘方的意义、算术平方根以及立方根的意义化简各项后，再进行加减运算即可得到结果；（2）方程两边同除以2后，再进行开平方运算即可． 【详解】解：（1）(−1)2022−(√16+√214)+√273+12 =1−(4+32)+3+12=1−4−32+3+12 =−1； （2）2x 2=18 x 2=9 x =±3．【点睛】本题主要考查了实数的混合运算以及运用平方根解方程，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． 20．（2023春·山东临沂·八年级统考期中）（1）计算：(−1)2017−√(−2)2−√−83+|√3−2|； （2）求x 的值：2(x −3)2=32．【答案】（1）1−√3；（2）x 的值为7或−1【分析】（1）先计算乘方、算术平方根、立方根、化简绝对值，再计算实数的加减法即可得； （2）利用平方根解方程即可得．【详解】解：（1）原式=−1−√4−(−2)+2−√3=−1−2+2+2−√3=1−√3；（2）2(x −3)2=32， (x −3)2=16，x −3=4或x −3=−4， 解得x =7或x =−1， 所以x 的值为7或−1．【点睛】本题考查了算术平方根、立方根、实数的运算、利用平方根解方程，熟练掌握各运算法则是解题关键．21．（2023春·辽宁鞍山·八年级校联考期中）计算：(1)√273−√25+|√3−2|−(1−√3)(2)√13×(√13√13)−√273【答案】(1)−1(2)0【分析】（1）根据实数的混合计算法则求解即可；（2）根据实数的混合计算法则求解即可．【详解】（1）解：原式=3−5+2−√3−1+√3=−1；（2）解：原式=√13×√13−√13×√13−3=13−10−3=0．【点睛】本题主要考查了实数的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．22．（2023春·重庆江津·八年级校联考期中）计算：(1)−42×(−1)2023+√83−√25；(2)2√14−|2−√3|+√(−9)2+√−273．【答案】(1)13；(2)5+√3【分析】（1）根据幂的运算法则，根式性质，立方根的定义直接计算即可得到答案；（2）根据根式的性质，立方根的定义直接计算即可得到答案；【详解】（1）解：原式=−16×(−1)+2−5=16+2−5=13；（2）解：原式=2×12−2+√3+9+(−3)=1−2+√3+9−3=5+√3；【点睛】本题考查根式的性质，立方根的定义，幂的运算，解题的关键是熟练掌握√a 2=|a | ，√a 33=a ． 23．（2023春·山东聊城·八年级统考期中）计算： (1)2−2+√−13+(√83+4)÷√(−6)2 (2)(π−2023)0+√1.21−√−33263−√0.0083【答案】(1)14 (2)2.65【分析】（1）先计算负整数指数幂、立方根、算术平方根，再根据实数的混合计算法则求解即可； （2）先计算零指数幂、算术平方根及立方根，再根据实数的混合计算法则求解即可． 【详解】（1）解：原式=14−1+(2+4)÷6=14−1+6÷6 =14−1+1 =14；（2）解：原式=1+1.1−(−322)−0.2=1+1.1−(−34)−0.2=1+1.1+34−0.2=2.65．【点睛】本题主要考查了实数的混合计算，零指数幂和负整数指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键． 24．（2023春·四川德阳·八年级四川省德阳市第二中学校校考期中）计算： (1)√(−3)2×(−13)−√273÷√14(2)√−83−√2+(√3)2+|1−√2|−(−1)2023 【答案】(1)−7 (2)1【分析】（1）先分别求解算术平方根、立方根，然后进行乘除运算，最后进行减法运算即可；（2）先分别求解立方根，乘方，绝对值，然后进行加减运算即可． 【详解】（1）解：√(−3)2×(−13)−√273÷√14=3×(−13)−3÷12=−1−6=−7；（2）解：√−83−√2+(√3)2+|1−√2|−(−1)2023=−2−√2+3+√2−1−(−1) =−2+3−1+1−√2+√2=1．【点睛】本题考查了算术平方根、立方根，乘方，绝对值，实数的混合运算．解题的关键在于正确的运算． 25．（2023春·河北唐山·八年级统考期中）计算： (1)(√2)2−√273+|√3−3|； (2)√9×√4+√102−(−4)2； 【答案】(1)2−√3 (2)0【分析】（1）先计算平方、立方根，去绝对值符号，再进行加减运算； （2）先计算开平方，有理数的乘方，再进行乘法运算，最后进行加减运算． 【详解】（1）解：原式=2−3+(−√3+3)=2−3−√3+3=2−√3；（2）解：原式=3×2+10−16=6+10−16=0．【点睛】本题考查了实数的混合运算，平方、平方根、立方根，绝对值的性质，有理数的乘方，熟练掌握运算法则及运算顺序是解题的关键．26．（2023春·浙江宁波·八年级校考期中）计算下列各式： (1)√4+|−2|+√−273+(−1)2017；(2)(−3)2÷(−23)+(−2)3×(−32)．【答案】(1)0 (2)−32【分析】（1）分别根据算术平方根的定义，绝对值的性质，立方根的定义计算出各数，再根据实数的加减法则进行计算；（2）先算乘方，再算乘除，最后算加减即可． 【详解】（1）解：原式=2+2−3−1 =0；（2）解：原式=9÷(−23)+(−8)×(−32)=9×(−32)+12=−272+12 =−32．【点睛】本题考查的是实数的运算，熟知实数混合运算的法则是解题的关键． 27．（2023春·广东广州·八年级校考期中）计算： (1)(√5)2+√(−3)2+√−83； (2)(−2)3×18−√273×(−√19)． 【答案】(1)6 (2)0【分析】（1）原式利用乘方的意义，平方根、立方根定义计算即可得到结果； （2）原式利用乘方的意义，立方根定义，以及乘法法则计算即可得到结果． 【详解】（1）解：原式=5+3+(−2)=8−2=6； （2）解：原式=(−8)×18−3×(−13)=−1+1=0．【点睛】本题考查实数的运算，涉及立方根、平方根、乘方运算，掌握实数的运算顺序是关键． 28．（2023春·河南鹤壁·八年级校考期中）计算：(1)√14+√−83−11−√21；(2)0.1252022×(−8)2023． 【答案】(1)−1212−√21 (2)−8【分析】（1）根据算术平方根、立方根定义先化简，再利用实数加减运算法则计算即可得到答案； （2）先将小数化为分数，再利用积的乘方运算的逆运算求解即可得到答案． 【详解】（1）解：√14+√−83−11−√21=12−2−11−√21 =−112−11−√21=−1212−√21；（2）解：0.1252022×(−8)2023=(18)2022×(−8)2023=[18×(−8)]2022×(−8) =(−1)2022×(−8)=−8．【点睛】本题考查实数混合运算，涉及算术平方根、立方根、实数加减运算、分数与小数互化、积的乘方运算的逆运算等知识，熟练掌握相关运算法则是解决问题的关键．29．（2023春·山东枣庄·八年级统考期末）（1）计算：√16−√19+√273−|3−√5|；（2）求x 的值：(x +1)3=−827．【答案】（1）113+√5；（2）x =−53【分析】（1）首先计算开平方、开立方和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可． （2）根据立方根的含义和求法，求出x +1的值，进而求出x 的值即可． 【详解】解：（1）√16−√19+√273−|3−√5| =4−13+3−（3−√5）=4−13+3−3+√5=113+√5．（2）∵（x +1）3=−827， ∴x +1=−23， 解得：x =−53．【点睛】此题主要考查了立方根的含义和求法，以及实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．30．（2023春·天津河北·八年级统考期中）（1）计算：√0.04+√−83−√14+2；（2）求下式中x 的值： 4(x +5)2=16． 【答案】（1）−0.3；（2）x =−7或x =−3【分析】（1）首先进行开平方和开立方运算，再进行有理数的加减即可求解；（2）首先求出(x +5)2的值，然后根据平方根的定义求出x +5的值，进而求出x 的值即可． 【详解】解：（1）√0.04+√−83−√14+2 =0.2+(−2)−12+2 =−0.3；（2）4(x +5)2=16， 即(x +5)2=4，∴x +5=−2或x +5=2， 解得x =−7或x =−3．【点睛】此题主要考查了平方根、立方根的定义，以及实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行． 31．（2023春·黑龙江牡丹江·八年级校考期中）计算： (1)√−83−√3+(√5)2+|1−√3| (2)√36+√214+√−273【答案】(1)2 (2)92【分析】（1）根据立方根定义、平方根的性质、绝对值的意义等计算即可； （2）根据立方根、算术平方根的定义计算即可． 【详解】（1）解：√−83−√3+(√5)2+|1−√3| =−2−√3+5+√3−1 =2；（2）解：√36+√214+√−273=6+32−3=92．【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握立方根、算术平方根的定义等是解题的关键． 32．（2023春·湖北十堰·八年级统考期中）计算： (1)√−8273×√14−√（−2）2； (2)√3−√25+|√3−3|+√1−63643．【答案】(1)−213 (2)−74【分析】（1）先利用立方根，算术平方根的性质化简，再进行计算； （2）先利用立方根，算术平方根、绝对值的性质化简，再进行计算． 【详解】（1）解：原式=−23×12−√4=−13−2=−213；（2）解：原式=√3−5+3−√3+√1643=−2+14=−74．【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．33．（2023春·云南红河·八年级校考期中）计算(1)√25−√273+|−√9|(2)|2−√5|+|3−√7|+|√7−√5|【答案】(1)5(2)1【分析】（1）先化简根式再计算（2）先化简再进行实数的混合运算（1）解：原式=5−3+3=5（2）解：原式=√5−2+3−√7+√7−√5=1【点睛】本题考查了根式的化简，去绝对值运算，熟练掌握运算法则是解题关键．34．（2023春·江苏泰州·八年级校考期中）计算或解方程：(1)8(x−1)3=−1258；(2)3(x−1)2−15=0．(3)−14×√4+|√9−5|+√214+√−0.1253．【答案】(1)x=−14(2)x=1±√5(3)1【分析】（1）利用立方根解方程即可；（2）移项，利用平方根解方程即可；（3）先化简各式，再加减运算即可．【详解】（1）解：8(x−1)3=−1258，∶(x −1)3=−12564 ∶x −1=√−125643=−54，∶x =−14； （2）解：3(x −1)2−15=0，∶3(x −1)2=15，∶(x −1)2=5，∶x −1=±√5，∶x =1±√5；（3）原式=−1×2+|3−5|+32−0.5=−2+|−2|+32−12=−2+2+32−12=1．【点睛】本题考查利用平方根和立方根解方程，实数的混合运算．熟练掌握相关运算法则，正确计算，是解题的关键．35．（2023春·北京西城·八年级北京市回民学校校考期中）按要求计算下列各题(1)计算：|1−√2|−√(−2)2+√273；(2)已知√a −1+√b −5=0，则(a −b )2的算术平方根；(3)已知4x 2=25，求x 的值；(4)已知(x +1)2=1，求x 的值．【答案】(1)√2(2)4(3)x 1=52,x 2=−52 (4)x 1=0,x 2=−2【分析】（1）先根据绝对值、算术平方根、立方根的知识化简，然后再结束即可；（2）先根据算术平方根的非负性求得a 、b 的值，然后再代入(a −b )2求出其算术平方根即可；（3）先求出x 2，然后再运用平方根解方程即可解答；（4）运用平方根解方程即可解答．【详解】（1）解：|1−√2|−√(−2)2+√273，=√2−1−2+3，=√2．（2）解：∶√a −1+√b −5=0，∶a −1=0,b −5=0，∶a =1,b =5，∶(a −b )2=(1−5)2=16，∶(a −b )2的算术平方根是4．（3）解：4x 2=25，x 2=254，∶x 1=52,x 2=−52．（4）解：(x +1)2=1，x +1=±1，∶x 1=0,x 2=−2．【点睛】本题主要考查了实数的混合运算、算术平方根的非负性、立方根、运用平方根解方程等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键．36．（2023春·浙江宁波·八年级校联考期中）计算：(1)−2+(−7)−3+8；(2)−12021+(12−13)×|−6|÷22；(3)(14−23−56)×(−12)；(4)−23+√−273−(−2)2÷√1681． 【答案】(1)−4(2)−34(3)15(4)−20【分析】（1）先将减法运算变成加法，再计算求解；（2）先计算乘方、绝对值和括号里面的，再计算加法；（3）先运用乘法分配律，再计算加减运算；（4）先计算乘方、立方根和平方根，再计算除法，最后计算加减．【详解】（1）−2+(−7)−3+8=−2−7−3+8=−4；（2）−12021+(12−13)×|−6|÷22 =−1+16×6×14=−1+14=−34； （3）(14−23−56)×(−12) =−14×12+23×12+56×12 =−3+8+10=15；（4）−23+√−273−(−2)2÷√1681=−8−3−4×94=−11−9=−20．【点睛】此题考查了有理数的混合运算，以及实数混合运算的能力，关键是能准确确定运算顺序和方法．37．（2023春·山东德州·八年级统考期中）计算：(1) −22−(√−38+8)÷√(−6)2−|√7−3|(2)√−1253−√279+√−(−14)3+√8273 (3)(3x+2)2=16(4)12(2x −1)3=−4【答案】(1)−8+√7(2)−478(3)x=−2或x=23(4)x=−12【分析】（1）根据乘方计算、求算术平方根、立方根、绝对值化简即可；（2）根据求算术平方根、立方根进行计算即可；（3）根据求平方根进行解方程即可；（4）根据求立方根进行解方程即可．【详解】（1）解：原式=−4−(−2+8)÷6−(3−√7)=−4−1−3+√7=−8+√7；（2）解：原式=−5−53+√164+23=−5−1+18=−478；（3）解：由(3x+2)2=16，得：3x+2=−4或3x+2=4解得：x=−2或x=23；∴方程的解为x=−2或x=23；（4）解：由12(2x−1)3=−4，得：(2x−1)3=−82x−1=−2x=−12．【点睛】本题考查实数的混合运算及根据平方根和立方根解方程，解题的关键是熟练掌握乘方计算、求算术平方根、立方根、绝对值化简、根据平方根和立方根解方程，本题的易错点是根据平方根解方程时需考虑求一个正数的平方根应有两个互为相反数的解．38．（2023春·浙江绍兴·八年级校考期中）计算：(1)|−8|+32+(−12)−32 (2)2×(−5)−(−3)÷34 (3)√81+√−273+√(−23)2−14 (4)22+(−2)2+√19+(−1)2019 【答案】(1)−4(2)−6(3)523(4)713【分析】（1）先算绝对值和去括号，再算加减；（2）先算乘除，再算加法；（3）先算立方根，算术平方根和乘方，再算加减；（4）先算乘方和算术平方根，再算加减．【详解】（1）|−8|+32+(−12)−32=8+32−12−32=−4（2）2×(−5)−(−3)÷34=−10+4=−6（3）√81+√−273+√(−23)2−14 =9+(−3)+23−1 =523（4）22+(−2)2+√19+(−1)2019=4+4+13−1=71 3【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．39．（2023春·山东东营·八年级统考期末）（1）计算∶√144−(2022−π)0+√(−3)2∶√259+√−125273+|√2−2|（2）解方程∶(x+2)2=25∶(x−1)3=27【答案】（1）∶14；∶2−√2；（2）∶x=3或−7；∶x=4【分析】（1）∶利用算术平方根的意义，零指数幂的意义即可求解；∶利用算术平方根，立方根的意义和绝对值的意义化简运算即可；（2）∶利用平方根的意义解答即可；∶利用立方根的意义解答即可.【详解】解：（1）∶√144−(2022−π)0+√(−3)2=12−1+3=14；∶√259+√−125273+|√2−2|=53+(−53)+2−√2=2−√2；（2）∶(x+2)2=25∴x+2=±5,∴x=3或−7；∶(x−1)3=27∴x−1=3∴x=4【点睛】本题主要考查了实数的运算，算术平方根的意义，立方根的意义，熟练掌握实数运算法则与性质是解题的关键40．（2023春·江苏·八年级期中）计算(1)√16−√−83+√−1273 (2)√3(√3√3) (3)|3−√2|−|√2−π|−√(−3)2(4)9(x +1)2−16=0（解方程） 【答案】(1)523(2)2(3)6−π (4)x =13或x =−73【分析】（1）根据实数的混合计算法则求解即可；（2）根据实数的混合计算法则求解即可；（3）根据实数的混合计算法则求解即可；（4）根据求平方根的方法解方程即可．【详解】（1）解：原式=4−(−2)+(−13)=4+2−13 =523； （2）解：原式=√3×√3−√3√3=3−1=2；（3）解：原式=3−√2−(π−√2)−(−3)=3−√2−π+√2+3=6−π；（4）解：∶9(x +1)2−16=0，∶9(x +1)2=16，∶(x +1)2=169，。

2022-2023学年苏科版八年级数学上册《6.4用一次函数解决问题》解答题专题提升训练（附答案）1．小明和爸爸进行登山锻炼，两人同时从山脚下出发，沿相同路线匀速上山，小明用8分钟登上山顶，此时爸爸距出发地280米，小明登上山顶立即按原路匀速下山，与爸爸相遇后，和爸爸一起以原下山速度返回出发地．小明、爸爸在锻炼过程中离出发地的路程y1（米），y2（米）与小明出发的时间x（分）的函数关系如图所示．（1）图中a＝，b＝；（2）小明上山的速度米/分；小明下山的速度米/分；爸爸上山的速度米/分．（3）小明的爸爸下山所用的时间．2．小李、小王两人从学校出发去图书馆，小李步行一段时间后，小王骑电动车沿相同路线行进，两人均匀速前行，他们的路程差s（米）与小李出发时间t（分）之间的函数关系如图所示．（1）请直接写出小李、小王两人的前行速度；（2）请直接写出小李、小王两人前行的路程y1（米），y2（米）与小李出发时间t（分）之间的函数关系式；（3）求小王出发多长时间，两人的路程差为240米．3．小刚家、学校、图书馆依次在一条直线上，小刚骑自行车匀速从学校到图书馆，到达图书馆还完书后，再以相同的速度原路返回家中，小刚离家的距离y（m）与他所用的时间x（min）的函数关系如图所示．（1）求小刚从图书馆返回家的过程中，y与x之间的关系式；（2）小刚出发35分钟时，他离家有多远？4．如图，甲、乙两人分别从同一公路上的A、B两地同时出发骑车前往c地，两人行驶的路程y（km）与甲行驶的时间x（h）之间的关系如图所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题：（1）A、B两地相距km，乙骑车的速度是km/h；（2）求甲在0≤x≤6的时间段内的函数关系式；（3）在0≤x≤6的时间段内，当x（h）为何值时甲、乙两人相距5千米．5．甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地．如图，线段OA 表示货车离甲地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系；折线BCD表示轿车离甲地距离y（千米）与x（小时）之间的函数关系．请根据图象解答下列问题：（1）货车的速度是km/h；轿车提速后的速度是km/h；（2）轿车到达乙地后，货车距乙地千米；（3）线段CD对应的函数解析式为；（4）货车从甲地出发后小时与轿车相遇．6．某移动通讯公司开设了两类通讯业务，A类收费标准为不管通话时间多长，使用者都应缴50元月租费，然后每通话1分钟，付0.4元；B类收费标准为用户不缴月租费，每通话1分钟，付话费0.6元，若一个月通讯x分钟，两种方式的费用分别为y A和y B元．（1）分别写出y A，y B与x之间的函数关系式；（2）某人估计一个月内通话时间为300分钟，应选哪种移动通讯方式合算些？请书写计算过程；（3）李师傅用的是A卡，他计算了一下，若是用B卡，他本月的话费将会比现在多100元，请算一下本月李师傅实际的话费是多少元？7．已知A、B两地相距120km，甲、乙两人沿同一条道路从A地到B地．l1、l2分别表示甲、乙两人离开A地的距离S（km）与时间t（h）之间的关系．请根据图象填空：（1）大约在甲出发h后，两人相遇，这时他们离B地km；（2）甲的速度是km/h；乙的速度是km/h；（3）l1对应的表达式为：，l2对应的表达式为：．8．甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示．（1）甲车出发小时后，乙车才出发；（2）甲车的速度为km/h，乙车的速度为km/h；（3）甲、乙两车经过小时后第一次相遇；（4）当t为何值时，甲、乙两车相距20千米．（直接写出t的值）9．随着春节临近，某儿童游乐场推出了甲、乙两种消费卡，其中，甲为按照次数收费，乙为收取办卡费用以后每次打折收费．设消费次数为x时，所需费用为y元，且y与x的函数关系如图所示．根据图中信息，解答下列问题．（1）分别求出选择这两种卡消费时，y关于x的函数表达式；（2）求出入园多少次时，两者花费一样？费用是多少？（3）洋洋爸准备了240元，请问选择哪种划算？10．甲、乙两车从A地出发，沿同一路线驶向B地．甲车先出发匀速驶向B地，40min后乙出发，匀速行驶一段时间后，在途中的货站装货耗时半小时．由于满载货物，为了行驶安全，速度减少了50km/h，结果与甲车同时到达B地，甲乙两车距A地的路程y（km）与乙车行驶时间x（h）之间的函数图象如图所示．（1）a的值是，甲的速度是km/h．（2）求线段EF所表示的y与x的函数关系式；（3）若甲乙两车距离不超过10km时，车载通话机可以进行通话，则两车在行驶过程中可以通话的总时长为多少小时？11．某商品共200吨，经市场调查，可采用批发、零售、冷库储藏后销售三种方式，并且按这三种方式销售，计划每吨的平均售价及成本如下表：销售方式批发零售储藏后销售售价/（元/吨）300045005500成本/（元/吨）200030003500若经过一段时间，商品按计划全部售出获得的总利润为y（元），其中零售x（吨），且零售量是批发量的一半．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）由于受条件限制，经冷库储藏售出的商品数量最多为80吨，求该生产基地按计划全部售完商品获得的最大利润．12．为了传承中华优秀传统文化，增强文化自信，某中学举办了以“争做时代先锋少年”为主题的演讲比赛，并为获奖的同学颁发奖品．张老师去商店购买甲、乙两种笔记本作为奖品，已知该商店甲种笔记本的单价为5元/个，乙种笔记本的单价为3元/个，张老师准备购买甲、乙两种笔记本共100个．因张老师购买的数量多，实际付款时按原价的九折付款．设张老师购买x个甲种笔记本，购买这两种笔记本所需费用为y元．（1）求y与x之间的关系式；（2）若本次购买甲种笔记本的数量不少于乙种笔记本数量的3倍，为了使所花费用最低，应如何购买？最低费用是多少元？13．“中国海带之乡”霞浦县今年又迎来一个丰收年．某海带养殖专业村为保障养殖户收益，联系了村海带加工厂，收购养殖户每天收割的鲜海带．该加工厂主要以加工干海带和盐渍海带两种方式处理每天收购的30吨鲜海带，工厂现有12名工人，每位工人在同一天中只能选择一种加工方式．若生产干海带，每人每天可加工2吨鲜海带，每吨可获利250元；若加工盐渍海带，每人每天可加工0.6吨鲜海带，每吨可获利600元；每天加工不完的鲜海带直接续给鲍鱼养殖场作饲料．若安排所有的工人都加工干海带，则加工厂当天可获利6300元．（1）求加工不完的鲜海带直接卖给鲍鱼养殖场作饲料，每吨可获利多少元；（2）根据市场销售情况，该加工厂决定生产干海带的人数不超过盐渍海带人数的2倍．问加工厂如何安排工人，可使每天生产的利润最大？最大利润是多少元？14．学校计划组织七年级学生到“万州三峡移民纪念馆”参加“追寻先辈足迹，传承三峡精神”的活动．在此活动中，若每位老师带队14名学生，则还有10名学生没有老师带队；若每位老师带队15名学生，就有一位老师少带6名学生．（1）参加此次活动的老师和学生各多少名？（2）现计划租用两种客车共8辆，一辆甲型客车可以载35人，租金400元，一辆乙型客车可以载30人，租金320元．计划此次活动的租金总费用不超过3000元，学校共有哪几种租车方案？最少租车费用是多少？15．一条笔直的公路上依次有A、B、C三地，甲车从A地驶往C地，乙车从A地驶往B地，两车同时出发并以各自的速度匀速行驶．乙车中途因汽车故障停下来修理，修好后立即以原速的两倍继续前进到达B地；如图是甲、乙两车与A地的距离y（千米）与出发时间x（小时）之间的大致图象．（1）求B、C两地之间的距离；（2）什么时候乙追上甲；（3）当两车相距40千米时，甲车行驶了多长时间．16．复课第一天，马小虎同学从家出发，骑车匀速前往学校上学，出发几分钟后，爸爸发现马小虎的健康卡落在家里，于是骑车沿相同的路线匀速去追马小虎．爸爸刚出发2分钟，马小虎也发现自己健康卡落在家里，立刻原路原速骑车返回，2分钟后马小虎遇到爸爸，爸爸把健康表给马小虎后立即原路原速返家中，马小虎继续原路原速赶往学校．马小虎与爸爸相距的路程y（米）与马小虎出发的时间x（分）之间的关系如图所示（爸爸给马小虎健康卡的时间忽略不计）．（1）马小虎出发分钟后，爸爸追上他．（2）求马小虎骑车的速度．（3）若爸爸到家4分钟后，马小虎才到学校，求马小虎家到学校的路程．17．如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，OM⊥AB于点M，点P 为直线l上不与点A、B重合的一个动点．（1）求线段OM的长；（2）当△BOP的面积是3时，求点P的坐标；（3）当点P在线段AB上且△BOP的面积为3时，在x轴上是否存在点Q，使得△OPQ 是以OP为腰的等腰三角形，若存在，请直接写出Q点的坐标，若不存在，请说明理由．18．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y＝3x+6分别与x轴和y轴交于点C和点B，已知A（6，0），（1）写出点B，点C的坐标和△ABC的面积；（2）直线l经过A、B两点，求直线AB的解析式；（3）点D是在直线AB上的动点，是否存在动点D，使得？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；（4）如图2，P为A点右侧x轴上的一动点，以P为直角顶点、BP为腰在第一象限内作等腰直角三角形△BPQ，连接QA并延长交y轴于点K．当P点运动时，K点的位置是否发生变化？如果不变，请求出它的坐标；如果变化，请说明理由．19．如图所示，在平面直角坐标系中，直线y＝x+1与y＝﹣x+3分别交x轴于点B和点C，点D是直线y＝﹣x+3与y轴的交点．（1）求点B、C、D的坐标；（2）设M（x，y）是直线y＝x+1上一点，当△BCM的面积为10时，求点M的坐标；（3）线段CD上是否存在点P，使△CBP为等腰三角形，如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由．20．问题提出：如图1，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过点A作AD ⊥ED于点D，过点B作BE⊥ED于点E，求证：△BEC≌△CDA；问题探究：如图2，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，以AB为腰在第二象限作等腰直角△ABC，∠BAC＝90°，求点C的坐标；问题解决：古城西安已经全面迎来地铁时代！继西安地铁2号线于2011年9月16日通车试运行以来，共有八条线路开通运营，极大促进了西安市的交通运输，目前还有多条线路正在修建中．如图3，地铁某线路原计划按OA﹣AB的方向施工，由于在AB方向发现一处地下古建筑，地铁修建须绕开此区域．经实地勘测，若将AB段绕点A顺时针或逆时针方向旋转45°至AC或AD方向，则可以绕开此区域．已知OA长为1千米，以点O为原点，OA所在直线为x轴，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系，且射线AB与直线y＝﹣2x平行，请帮助施工队计算出AC和AD所在直线的解析式．参考答案1．解：（1）由图象可以得到，a＝8，b＝280，故答案为：8，280；（2）由图象可以得出爸爸上山的速度是：280÷8＝35（米/分），小明上山的速度为：400÷8＝50（米/分），小明下山的速度是：400÷（24﹣8）＝25（米/分），故答案为：50，25，35；（3）∵小明从下山到与爸爸相遇用的时间是：（400﹣280）÷（35+25）＝2分，∵小明与爸爸相遇后，和爸爸一起以原下山速度返回出发地，∴小明的爸爸下山所用的时间：24﹣8﹣2＝14（分）．故答案为：14．2．解：（1）由图象得出小李步行720米，需要9分钟，所以小李的运动速度为：720÷9＝80（米/分），当第15分钟时，小王运动15﹣9＝6（分钟），运动距离为：15×80＝1200（m），∴小王的运动速度为：1200÷6＝200（米/分）；（2）根据题意得y1＝80t，y2＝200（t﹣9）＝200t﹣1800；（3）当相遇前两人的路程差为240米时，得y1﹣y2＝240，即80t﹣（200t﹣1800）＝240，解得t＝13，当相遇前两人的路程差为240米时，得y2﹣y1＝240，即（200t﹣1800）﹣80t＝240，解得t＝17，∴小王出发13分钟或17分钟时，两人的路程差为240米．3．解：（1）由题意得，小刚家与学校的距离为3000m，小刚骑自行车的速度为：（5000﹣3000）÷10＝200（m/min），小刚从图书馆返回家的时间：5000÷200＝25（min），总时间：25+20＝45（min），设小刚从图书馆返回家的过程中，y与x的函数表达式为y＝kx+b，把（20，5000），（45，0）代入得：，解得，∴y＝﹣200x+9000（20≤x≤45）；（2）小刚出发35分钟时，即当x＝35时，y＝﹣200×35+9000＝2000．答：他离家2000m．4．解：（1）由图象可得，A、B两地相距20km，乙骑车的速度是（30﹣20）÷2＝10÷2＝5（km/h），故答案为：20，5；（2）设甲在0≤x≤6时，y与x之间的函数关系式是y＝kx，∵点（6，60）在该函数图象上，∴6k＝60，解得k＝10，即甲在0≤x≤6时，y与x之间的函数关系式是y＝10x；（3）设乙在0≤x≤6时，y与x之间的函数关系式是y＝ax+b，∵点（2，30），（6，50）在函数图象上，∴，解得，即乙在0≤x≤6时，y与x之间的函数关系式是y＝5x+20；相遇之前两人相距5km，则（5x+20）﹣10x＝5，解得x＝3；相遇之后且甲到达C地之前相距5km，则10x﹣（5x+20）＝5，解得x＝5；答：当乙行驶3小时或5小时时甲、乙两人相距5千米．5．解：（1）货车的速度为300÷5＝60（km/h）；轿车提速后的速度为＝110（km/h）．故答案为：60，110；（2）从图象上看轿车比货车早0.5h到达乙地，∴轿车到达乙地后，货车距乙地有0.5×60＝30（千米），故答案为：30；（3）设CD段函数解析式为y＝kx+b（k≠0）（2.5≤x≤4.5）．∵C（2.5，80），D（4.5，300）在其图象上，∴，解得，∴CD段函数解析式：y＝110x﹣195（2.5≤x≤4.5），故答案为：y＝110x﹣195；（4）设OA段函数解析式为y＝mx，代入A（50，300），得5m＝300，解得m＝60，∴OA段函数解析式为y＝60x；联立方程组，得，解得，故货车从甲地出发后3.9小时与轿车相遇．故答案为：3.9．6．解：（1）由题意可得，y A＝0.4x+50，y B＝0.6x；（2）当x＝300时，y A＝0.4×300+50＝170，y B＝0.6×300＝180，∵170＜180，∴某人估计一个月内通话时间为300分钟，应选A种移动通讯方式合算些；（3）设本月李师傅实际的话费是a元，，解得a＝350，答：本月李师傅实际的话费是350元．7．解：（1）由图象可知，大约在甲出发3﹣2＝1（h）后，两人相遇，这时他们离B地120﹣30＝90（km）；故答案为：1，90；（2）甲的速度是30÷（3﹣2）＝30（km/h），乙的速度是30÷3＝10（km/h），故答案为：30，10；（3）设l1对应的表达式为s＝kt+b，将（3，30），（6，120）代入得：，解得，∴l1对应的表达式为：s＝30t﹣60，设l2对应的表达式为s＝k't，将（3，30）代入得：30＝3k'，解得k'＝10，∴l2对应的表达式为s＝10t，故答案为：s＝30t﹣60，s＝10t．8．解：（1）由图象可直接得出：甲车出发1小时后，乙车才出发；故答案为：1；（2）由图象可知，甲车的速度为240÷5＝48（km/h），乙车的速度为240÷（4﹣1）＝80（km/h）；故答案为：48；80；（3）甲所在的直线为y＝48x，乙所在的直线为：y＝80x﹣80，令48x＝80x﹣80，解得x＝2.5，故答案为：2.5；（4）当乙车开始行驶前，令48x＝20，解得x＝，符合题意，当甲、乙两车相遇前，48x﹣（80x﹣80）＝20，解得x＝，符合题意，当甲、乙两车相遇后，80x﹣80﹣48x＝20，解得x＝，符合题意，当乙到达目的地后，48x+20＝240，解得x＝，符合题意．∴当t的值为或或或，甲、乙两车相距20千米．9．解：（1）设y甲＝k1x，根据题意得4k1＝80，解得k1＝20，∴y甲＝20x；设y乙＝k2x+80，根据题意得：12k2+80＝200，解得k2＝10，∴y乙＝10x+80；（2）解方程组解得：，∴出入园8次时，两者花费一样，费用是160元；（3）当y＝240时，y甲＝20x＝240，∴x＝12；当y＝240时，y乙＝10x+80＝240，解得x＝16；∵12＜16，∴选择乙种更合算．10．解：（1）∵线段DE代表乙车在途中的货站装货耗时半小时，∴a＝4+0.5＝4.5（小时），∴甲车的速度＝＝60（千米/小时）；故答案为：4.5；60；（2）设乙开始的速度为v千米/小时，则4v+（7﹣4.5）（v﹣50）＝460，解得v＝90（千米/小时），∴4v＝360，∴D（4，360），E（4.5，360），设直线EF的解析式为y＝kx+b，把E（4.5，360），F（7，460）代入得：，解得，∴线段EF所表示的y与x的函数关系式为y＝40x+180（4.5≤x≤7）；（3）∵60×＝40，∴C（0，40），设线段CF的解析式为y＝kx+40，根据题意得：7k+40＝460，解得k＝60，∴线段CF的解析式为y＝60x+40，∵甲乙两车距离不超过10km时，车载通话机可以进行通话，由，解得1≤x≤，由，解得≤x≤7，∴两车在行驶过程中可以通话的总时长为：（﹣1）+（7﹣）＝（小时）．11．解：（1）设零售x吨，则批发2x吨，储藏后销售（200﹣x﹣2x）吨，根据题意得：y＝2x（3000﹣2000）+x（4500﹣3000）+（200﹣3x）（5500﹣3500）＝﹣2500x+400000；即y＝﹣2500x+400000；（2）∵冷库储藏售出的商品数量最多为80吨，∴200﹣3x≤80，∴x≥40，，∵y＝﹣2500x+400000中，﹣2500＜0，∴y的值随x的值增大而减小，∴当x＝40时，y最大值＝﹣2500×40+400000＝300000（元）；答：该生产基地按计划全部售完商品获得的最大利润为300000元．12．解：（1）设张老师购买x个甲种笔记本，则购买（100﹣x）个乙种笔记本，由题意可得：y＝5×0.9x+3×0.9（100﹣x）＝1.8x+270．即y与x之间的关系式为y＝1.8x+270；（2）由（1）知：y＝1.8x+270，∴y随x的增大而增大，∵甲种笔记本的数量不少于乙种笔记本数量的3倍，∴x≥3（100﹣x），解得x≥75．∴当x＝75时，y取得最小值，此时y＝405，100﹣x＝25，答：购买75个甲种笔记本、25个乙种笔记本，所花费用最低，最低费用是405元．13．解：（1）设加工不完的鲜海带直接卖给鲍鱼养殖场作饲料，每吨可获利x元，根据题意得：12×2×250+（30﹣12×2）x＝6300，解得x＝50，答：加工不完的鲜海带直接卖给鲍鱼养殖场作饲料，每吨可获利50元；（2）设生产盐渍海带的m人，每天生产的利润是w元，则生产干海带的（12﹣m）人，∵生产干海带的人数不超过盐渍海带人数的2倍，∴12﹣m≤2m，解得m≥4，根据题意得：w＝0.6m×600+2（12﹣m）×250+50[30﹣0.6m﹣2（12﹣m）]＝﹣70m+6300，∵﹣70＜0，∴当m＝4时，w取最大值，最大值为﹣70×4+6300＝6020（元），此时12﹣m＝8，答：生产盐渍海带的4人，生产干海带的8人，可使每天生产的利润最大，最大利润是6020元．14．解：（1）设参加此次研学活动的老师有x人，学生有y人，依题意，得：，解得．答：参加活动的老师有16人，学生有234人；（2）设租甲种车型n辆，依题意得，解这个不等式组得：2≤n≤5.5，∵n为正整数，∴n＝2，3，4，5，即学校共有一下四种租车方案：方案①：2辆甲车，6辆乙车；方案②：3辆甲车，5辆乙车；方案③：4辆甲车，5辆乙车；方案④：5辆甲车，3辆乙车；设租车费用为W元，则W＝400n+320（8﹣n）＝80n+2560，∵80＞0，∴W随n的增大而增大，∴当n＝2时费用最低，最少费用为W＝160+2560＝2720（元）．答：学校共有四种租车方案，最少费用为2720元．15．解：（1）乙前面的速度为：100÷2＝50（千米/小时），乙后来的速度为：50×2＝100（千米/小时），BC＝360﹣100﹣100×（4.8﹣2.8）＝60（千米），答：B、C两地之间的距离为60千米；（2）甲的速度为：360÷6＝60（千米/小时），设乙t小时追上甲，根据题意得60t＝100+100（t﹣2.8），解得t＝4.5，答：出发后4.5小时乙追上甲；（3）当0＜x≤2时，两车距离小于40，①当2＜x≤2.8时，设甲距离A地的距离y（千米）与出发时间x（小时）之间的关系式为y＝k1x，代入（6，360）可得k1＝60，∴y＝60x，60x﹣100＝40，解得x＝；②当2.8＜x≤4.8时，由（1）可得，A、B两地之间的距离为：360﹣60＝300（km），设乙与A地距离与出发时间x之间的函数关系式为y＝k2x+b，代入（2.8，100）和（4.8，300），得，解得，∴y＝100x﹣180，解方程100x﹣180﹣60x＝40得x＝5.2（不合题意，舍去），解方程60x﹣（100x﹣180）＝40得x＝3.5；③当x＞4.8时，解方程60x＝360﹣20得x＝．答：当两车相距40千米时，甲车行驶了小时或3.5小时或小时．16．解：（1）由题意可知，当y＝0时，x＝10，所以马小虎出发10分钟后，爸爸追上他．故答案为：10；（2）由题意得，2400÷6＝400（米/分钟），即马小虎骑车的速度为400米/分钟；（3）∵由题意可知，相遇4分钟后，爸爸到家，∴相遇后马小虎又骑行了8分钟才到学校，2400+2×400﹣2×400+8×400＝5600（米），答：马小虎家到学校的路程为5600米．17．解：（1）对于直线y＝﹣x+3，令x＝0，则y＝3，令y＝0，则﹣x+3＝0，解得：x＝4，∴点A、B的坐标分别是（4，0），（0，3），∴OA＝4，OB＝3，∴AB＝＝＝5，∵S△OAB＝AB•OM，∴OM＝；（2）过P作PC⊥y轴于C，如图1，∴S△BOP＝OB•PC＝3，∴PC＝2，∴点P的横坐标为2或﹣2，∴P（2，）或（﹣2，）；（3）存在，理由如下：∵P点在线段AB上，∴P（2，），设Q（x，0），∴OP＝，OQ＝|x|，PQ＝，当OP＝OQ时，|x|＝，解得x＝或x＝﹣，∴Q（，0）或（﹣，0）；当OP＝PQ时，＝，解得x＝0（舍）或x＝4，∴Q（4，0）；综上所述：Q点坐标为（，0）或（﹣，0）或（4，0）．18．解：（1）对于y＝3x+6，令x＝0，则y＝6，故点B（0，6），令y＝3x+6＝0，解得：x＝﹣2，故点C（﹣2，0）；则△ABC的面积＝×AC×OB＝×（6+2）×6＝24；（2）设直线AB的表达式为y＝kx+b（k≠0），则，解得：，故直线AB的表达式为y＝x+6；（3）存在，理由：∵，∴|y D|＝|y B|＝3，即|x+6|＝3，解得：x＝3或9，故点D的坐标为（3，3）或（9，﹣3）；（4）K点的位置不发生变化，理由：设点P的坐标为（t，0），过点Q作QH⊥x轴于点H，∵∠BPO+∠QPH＝90°，∠PBO+∠BPO＝90°，∴∠QPH＝∠PBO，在Rt△BOP和Rt△PHQ中，，∴△BOP≌△PHQ（AAS），∴PH＝BO＝6，QH＝OP＝t，则点Q的坐标为（t+6，t），设直线AQ的表达式为y＝mx+n，则，解得，故点K的坐标为（0，﹣6）．19．解：（1）y＝x+1中当y＝0时，x＝﹣1，∴B（﹣1，0），y＝﹣x+3中y＝0时，则x＝4，x＝0时，则y＝3，∴C（4，0），D（0，3）；（2）∵B（﹣1，0），C（4，0），∴BC＝5，∵M（x，y），∴S△BCM＝×5×|x+1|，∵△BCM的面积为10，∴×5×|x+1|＝10，解得x＝3或x＝﹣5，∴M（3，4）或（﹣5，﹣4）；（3）线段CD上存在点P，使△CBP为等腰三角形，理由如下：设P（t，﹣t+3）（0≤t≤4），∴BP＝，CP＝，当BC＝BP时，＝5，解得t＝4（舍）或t＝﹣（舍），∴此时不存在P点满足题意；当BC＝CP时，＝5，解得t＝0或t＝8（舍），∴P（0，3）；当BP＝CP时，＝，解得t＝，∴P（，）；综上所述：P点坐标为（0，3）或（，）．20．问题提出：证明：∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∵AD⊥ED，BE⊥ED，∴∠BEC＝∠ADC＝90°，∴∠BCE+∠CBE＝90°，∴∠ACD＝∠CBE，∵AC＝BC，∴△BEC≌CDA（SAS）；问题探究：解：过C点作CD⊥x轴交于点D，∵∠BAC＝90°，CD⊥x轴，BO⊥x轴，AC＝AB，由问题提出可得△CAD≌△ABO（SAS），∴CD＝OA，AD＝BO，∵y＝x+1与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点B（0，1），∴AO＝4，OB＝1，∴C（﹣5，4）；问题解决：解：设线段AB绕点A顺时针旋转后的线段为AC，绕A点逆时针旋转后的线段为AD，过点C作CN⊥x轴交于点N，过D点作DM⊥x轴交于点M，∵∠CAB＝∠DAB＝45°，∴∠CAD＝90°，由问题提出可得△ACN≌△DAM（SAS），设C点坐标为（m，n），∴DM＝AN，CN＝AM，∵OA＝1，∴A（﹣1，0），∴D（﹣n﹣1，m+1），∵射线AB与直线y＝﹣2x平行，∴直线AB的解析式为y＝﹣2x﹣2，连接CD交AB于点E，∵△ACD是等腰直角三角形，∴∠ADC＝45°，∵∠BAD＝45°，∴∠AED＝90°，∴E是CD的中点，∴E（，），∴E点在直线AB上，∴＝﹣2•﹣2，整理得n＝3m+3，∴直线AC的解析式为y＝3x+3，设y＝m+1，x＝﹣n﹣1，∴﹣x﹣1＝3（y﹣1）+3，整理得y＝﹣x﹣，∴直线AD的解析式为y＝﹣x﹣．。

【苏科版】⼋年级上册数学《全等三⾓形》复习练习（含答案）⼋年级上册数学《全等三⾓形》复习练习（满分：120分时间：90分钟）⼀.选择题(每题3分，共24分)1.如图，若OA=OB，OC=OD，∠O=50°，∠D=35°，则∠AEC的度数为( )A.60°B.50°C.45°D.30°2.如图，⼩敏做了⼀个⾓平分仪ABCD，其中AB=AD，BC=DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在⾓的两边上，过点A，C画⼀条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线.此⾓平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC≌△ADC，这样就有∠QAE=∠P AE.则说明这两个三⾓形全等的依据是( )A.SASB.ASAC.AASD.SSS3.已知△A1B1C1与△A2B2C2的周长相等，现有两个判断：①若A1B1=A2B2，A1C1=A2C2，则△A1B1C1≌△A2B2C2；②若∠A1=∠A2，∠B1=∠B2，则△A1B1C1≌△A2B2C2.对于上述两个判断，下列说法正确的是( )A.①正确，②错误B.①错误，②正确C.①②都错误D.①②都正确4.如图，已知点A，D，C，F在同⼀条直线上，AB=DE，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，还需要添加⼀个条件是( )A.∠BCA=∠FB.∠B=∠EC.B C∥EFD.∠A=∠EDF5.如图，已知∠1=∠2，AC=AD，增加下列条件：①AB=AE；②BC=ED；③∠C=∠D；④∠B=∠E.其中能使△ABC≌△AED的条件的个数是( )A.4B.3C.2D.16.如图，△ABD与△ACE均为正三⾓形.若AB( )A.BE=CDB.BE>CDC.BED.⼤⼩关系不确定7.如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC，∠ACB的平分线BD，CE相交于点O，且BD交AC于点D，CE交AB于点E.某同学分析图形后得出以下结论：①△BCD≌△CBE；②△BAD≌△BCD；③△BDA≌△CEA；④△BOE≌△COD；⑤△ACE≌△BCE.上述结论⼀定正确的是( )A.①②③B.②③④C.①③⑤D.①③④8.如图，已知△ABC和△DCE均是等边三⾓形，点B，C，E在同⼀条直线上，AE与BD相于点O，AE与CD相交于点G，AC与BD相交于点F，连接OC，FG，有下列结论：①AE=BD；②AG= BF；③F G∥BE；④∠BOC=∠EOC.其中正确结论的个数是( )A.1B.2C.3D.4⼆.填空题(每题2分，共20分)9.如图，为了使⼀扇旧⽊门不变形，⽊⼯师傅在⽊门的背⾯加钉了⼀根⽊条，这样做的道理是.10.如图，△ABC≌△DCB，点A，B的对应顶点分别为点D，C，如果AB=7 cm，BC=12cm，AC=9 cm，DO=2 cm，那么OC的长是cm.11.如图，在△ABC与△ADC中，已知AD=AB.在不添加任何辅助线的前提下，要使△ABC≌△ADC，只需再添加的⼀个条件可以是.12.两组邻边分别相等的四边形叫作“筝形”.如图，四边形ABCD是⼀个筝形，其中AD=CD，AB=CB，有如下结论：①AC⊥BD；②AO=CO=12AC；③△ABD≌△CBD.其中正确的结论是.(填序号)13.如图，在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠CDA=90°，B E⊥AD，垂⾜为点E.若四边形ABCD的⾯积为16，则BE= .14.如图，在△ABC中，A D⊥BC，C E⊥AB，垂⾜分别为点D，E，AD，CE交于点H.若EH=EB=3，AE=4，则CH= .15.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2 cm，C D⊥AB，垂⾜为点D.在AC上取⼀点E，使EC=BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F.若EF=5 cm，则AE= cm.16.如图，A，B，C，D是四个村庄，B，D，C在⼀条东西⾛向公路的沿线上，BD=DC=lkm，村庄AC，AD间也有公路相连，且公路AD是南北⾛向，AC=3 km，只有AB之间由于间隔了⼀个⼩湖，所以⽆直接相连的公路.现决定在湖⾯上造⼀座斜拉桥，测得AE=1.2 km，BF=0.7 km，则建造的斜拉桥长⾄少为km.17.如图，坐标平⾯上，△ABC≌△DEF，其中A，B，C的对应顶点分别为D，E，F，且AB=BC.若A，B，C的坐标分别为(－3，1)，(－6，－3)，(－1，－3)，D，E两点在y轴上，则点F到y轴的距离为.18.如图，线段AB=8cm，射线AN⊥AB，垂⾜为点A，点C是射线上⼀动点，分别以AC，BC为直⾓边作等腰直⾓三⾓形，得△ACD与△BCE，连接DE交射线AN于点M，则CM的长为.三.解答题(共76分)19.(本题12分) 如图，把⼤⼩为4×4的正⽅形⽅格分割成两个全等图形，如图1.请在下图中，沿着⽅格线画出四种不同的分法，把4×4的正⽅形⽅格分割成两个全等图形.20.(本题8分) 如图，△ABC和△EFD分别在线段BF的两侧，点C，D在线段BF上，AB=EF，BC=DF，AB∥EF.求证：AC=ED.21.(本题10分) 如图，已知CD⊥AB，BE⊥AC，垂⾜分别为点D，E，且BD=CE，BE交CD于点O.求证：AO平分∠BAC.22.(本题10分) 如图，在四边形ABCD 中，AB=AD，BC=DC，E为AC上的⼀动点(不与点A重合)，在点E移动的过程中BE和DE是否相等? 若相等，请写出证明过程；若不相等，请说明理由.23.(本题10分) 如图，在四边形ABCD中，AD=DC，DF是∠ADC的平分线，AF∥BC，连接AC，CF.求证：CA是∠BCF的平分线.24.(本题12分) 两个⼤⼩不同的等腰直⾓三⾓形三⾓板按图1所⽰的位置放置.图2是由它抽象出的⼏何图形，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=90°，B，C，E在同⼀条直线上，连接DC.(1) 请找出图2中与△ABE全等的三⾓形，并给予证明(说明：结论中不得含有未标识的字母)；(2) 求证：DC⊥BE.25.(本题14分)【问题背景】(1) 如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°.E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=60°.探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系.⼩王同学探究此问题的⽅法是：延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是.【探索延伸】(2) 如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B＋∠D=180°，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF=12∠BAD，上述结论是否仍然成⽴? 请说明理由.参考答案⼀.选择题1.A2.D3.D4.B5.B6.A7.D8.D (提⽰：可先证得△ACE≌△BCD和AGC△≌△BFC)⼆.填空题9.三⾓形具有稳定性10.7 11.BC=DC(或∠BAC=∠DAC) 12.①②③13.4 14.1 15.3 16.1.1 17.4 18.4 (提⽰：过点E作E H⊥AN，垂⾜为点H，可证得△ABC≌△HCE，∴CH=AB=8，EH=AC=CD.⼜∵E H⊥AN，C D⊥AN，∴E H∥CD，∴CM=MH，即CM=12CH=4)三.解答题19.四种不同的分法如图所⽰20.∵AB∥EF，∴∠B=∠F.在△ABC和△EFD中，BC=DF，∠B=∠F，AB=EF，∴△AB C≌△EFD，∴AC=ED21.∵O D⊥AB，OE⊥AC，∴∠BDO=∠CEO=90°.⼜∵∠BOD=∠COE，BD=CE，∴△BO D≌△COE，∴OD=OE.⼜由已知条件得△AOD和△AOE都是直⾓三⾓形，且OD=OE，OA=OA，∴Rt△AOD≌Rt△AOE，∴∠DAO=∠EAO，即AO平分∠BAC 22.相等.理由如下：在△ABC和△ADC中，AB=AD，AC=AC (公共边)，BC=DC，∴△AB C≌△ADC，∴∠DAE=∠BAE.在△ADE和△ABE中，AB=AD，∠DAE=∠BAE，AE=AE，∴△ADE≌△ABE (SAS)，∴BE=DE 23.∵DF是∠ADC的平分线，∴∠CDF=∠ADF.⼜∵AD=DC，DF=DF，∴△ADF≌△CDF，∴AF=CF，∴∠ACF=∠CAF.∵A F∥CB，∴∠CAF=∠ACB，∴∠ACF=∠ACB，即CA平分∠BCF24.(1) 图2中△AC D≌△ABE，∵△ABC与△AED均为等腰直⾓三⾓形，∴AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=90°，∴∠BAC＋∠CAE=∠EAD＋∠CAE，即∠BAE=∠CAD，∴△ABE≌△ACD(2) 由(1)△ABE≌△ACD，得∠ACD=∠ABE=45°.⼜∵∠ACB=45°，∴∠BCD=∠ACB＋∠ACD=90°，∴D C⊥BE25.(1) EF=BE＋DF (2) 结论EF=BE＋DF仍然成⽴理由：延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，在△ABE和△ADG中，DG=BE，∠B=∠ADG，AB=AD，∴△ABE≌△ADG，∴AE=AG，∠BAE=∠DAG.∵∠EAF=12∠BAD，∴∠GAF=∠DAG＋∠DAF=∠BAE＋∠DAF=∠BAD－∠EAF=∠EAF.在△AEF和△GAF中，AE=AG，∠EAF=∠GAF，AF=AF，∴△AEF≌△AGF.∴EF=FG.∵FG=DG＋DF，BE=DG，∴EF=BE＋DF。