运动弹性机构动力学分析v2011

运动弹性机构动力学分析v2011运动弹性机构动力学分析方法第一章概论1.1运动弹性机构动力学的产生与发展亦称：机械弹性动力学1.1.1 机械动力学分析的两类问题1）逆动力学已知机构运动状态和阻力，求解主动力（输入扭矩）和各运动副反力及变化规律。

2）正动力学给定输入扭矩和工作阻力变化规律，求运动。

1.1.2 机械动力学的四种不同水平分析方法1）静力分析(Static Analysis) 忽略惯性力，用静力学方法分析力和运动副中的反作用力，适用于低速机械。

2）动态静力分析(Kineto-static Analysis) 达朗贝尔原理方法又称动静法。

先进行运动分析，求出惯性力，再加惯性力计入静力平衡方程，求反作用力。

运动分析时，假定理想化的“驱动构件等速回转”或按某一理想运动规律运动。

3）动力分析(Dynamic Analysis) 不用理想化的“驱动构件等速回转”假定，求解外力作用下机械的真实运动，也称为机械系统动力学。

4）弹性动力学(Elasto-dynamic Analysis) 抛弃以上将构件视为刚性体的假定，计入构件弹性动力学分析方法。

1.1.3 运动弹性机构动力学的发展背景●高速化>>> 惯性力变大●精密化>>> 要求误差小、变形小●轻量化>>> 弹性变形变大●大型化（大功率）1.1.4 运动弹性机构动力学的发展历史简介1）高速转轴的振动——转子动力学。

2）凸轮机构弹性动力学。

从动件等加速度运动规律并非很好的运动规律，它使从动件发生剧烈振动，在高速下动力响应很差。

高速凸轮动力学：提出新型凸轮曲线，计入构件弹性。

3）连杆机构弹性动力学。

70年代后发展起来的高速弹性连杆分析比轴系和凸轮机构更复杂，必须用有限元方法。

在机构学领域，开创运动弹性动力学(KED,Kineto-Elastodynamic)。

在航空领域兴起多柔体系统动力学(Flexible multi-body dynamic)。

这些不同机构的动力学研究先后地步人了计人构件弹性影响的阶段。

在机械动力学领域，它们被归纳为机械弹性动力学，以区别于传统的刚体动力学。

机械弹性动力学和机械振动理论有着密不可分的关系。

轴和轴系的振动研究历来被认为是机械振动理论的一个实际应用。

凸轮机构的动力学可认为是机构学和机械振动理论相结合的产物。

连杆机构一般不采用集中参数模型，而建立有限元模型。

连杆机构的弹性动力学可以认为是机构学、动力学(包括机械振动理论)和弹性力学(具体地说：有限单元法)相结合的产物。

机械振动理论是研究机械弹性动力学的重要基础。

机械的弹件动力学分析研究需解决的三大问题:1). 动力学建模, 把机械构件和机械系统简化为可供研究的模型是机械弹性动力学的首要任务.2) 系统方程的求解. 用机械振动的理论进行动力响应分析3) 参数影响的分析. 了解系统的哪些参数对动力响应有何影响，程度如何。

1．2连杆机构弹性动力学简介1．2．1 连杆机构弹性动力学的产生和发展连杆机构弹性动力学是机械弹性动力学重要组成部分，“机械弹性动力学”这一术语就是随着高速连杆机构的研究首先出现的。

图1-1构件的弹性对高速机械手动作的精度和稳定性有很大影响. 激振力频率与固有频率的接近增大振动的振幅，也增大发生谐振的危险。

在弹性连杆机构中存在着复杂的谐振现象，其中最常见的一种是低阶谐振现象—即机构在低于其第一阶固有频率的一系列转速下都可能发生谐振现象。

对振动情况下构件中的动应力要格外注意。

周期性变化的动应力会导致构件的疲劳破坏。

振动还会带来噪声，恶化工作环境。

机构的部分或全部构件被看作弹性体，从而在分析中计入构件弹性的影响的连杆机构．即称为弹性连杆机构。

美国学者Erdman和Sandor称之为Kineto-Elastodynamics (KED)，即运动弹性动力学，也有称为“Elastodynamics”弹性动力学。

中国的张策称为“机构弹性动力学”。

统一简称“KED”。

1．2．2弹性动力分析方法概述基本假定：(1)与采用刚性机构的运动分析方法得到的机构名义运动的位移相比，由构件变形引起的弹性位移很小；(2)这种弹性位移不会影响机构的名义运动。

依据此假定，机构真实运动的位移可以看作是名义运动的位移和弹性位移的叠加。

真实运动 = 名义运动 + 弹性位移名义运动可以用刚体机构运动分折方法求出，弹性位移则用弹性动力分析方法（振动理论）求出。

1） KED 分析基本步骤 ：瞬时结构假定：在机构运动中的某一位置（瞬间）可将机构的形状和负荷（包括动荷）瞬时冻结，使之被当作结构进行分析。

基本步骤：1. 先对机构进行刚体动力学分析，获得刚体机构的运动（r r r u ,u ,u &&&）。

2. 将弹性机构的各构件划分为不同单元。

3. 建立单元运动方程。

e e e e e e e m u C u K uf ++=&&& (1.1)4. 建立系统运动方程r Mu Cu Ku P Mu ++=-&&&&& (1.2)5. 求解系统运动方程得到系统运动,,u u u &&&，进而求得单元运动,,e e e u u u &&&，再求单元内力与应力机构在不同位置上相当于不同的“瞬时结构”，因而矩阵M 、C 、K 都是机构位置的函数。

机构的运动微分方程式(1.1)是一个变系数的微分方程组．而结构分析得出的方程组是常系数的微分方程组，这是机构分析与结构分析的一个重要区别。

以求解式(1.1)为基础的分析过程称为“运动弹性动力分忻’’(KED 分析)。

求解变系数微分方程组是很费时的，有的情况下，可以用一种简化的分析来代替。

略去式(1.1)左边的前两项得运动弹性静力分新方法:r Ku P Mu =-&& （1.3）式（1.3）的分析过程称为“运动弹性静力分析”， (Kineto —E1astodynamicAnslys氏简称KES分析)：而在文献中更多地称为准静态分析。

运动弹性动力分析把机构做为一个运动着的弹性系统，研究把在外力和刚体惯性力激励下的振动．并代此基础上求出机构的位移、速度、加速度、应力、应变等运动学、动力学参数。

KED >>>>求振动方程KES >>>>求变形方程弹性动力分析是KED分析和KES分析的总称。

2）由单元到系统的建模方法。

把系统按结构划分为子结构和单元，先建立单元和子结构的运动方程，再将单元和子结构的运动方程织合成系统的运动方程。

三种模型：(1) 连续弹性体精确力学模型。

得出的是偏微分方程，难以求解。

(2) 集中参数模型。

将弹性体质量按某种简单原则聚缩于若干点，形成集中质量和集中转动惯量。

模型较为粗糙，精度较差。

(3) 有限元模型。

对单元内位移分布建立了某种假设，对连续体模型进行简化。

它承认质量和弹性是分布而不是集中，并以结点处的有限个自由度代替了连续弹性体的无限个自由度。

这种模型一般比集中参数模型精确。

有限元模型的另一个优点是运算模式统一。

第二章张量理论. 弹性力学. 有限元(基本知识补充) 2.1张量理论初步张量——矢量、矩阵概念的推广张量使繁琐的数学公式简洁、清晰，便于导致力学问题的推导和标准化、程序化，便于计算机的运算。

矢量包括图示法和分量法。

(,,)x y z x y k v v v v v iv jv kv ==++v2.1.1 张量表达方式标量——一个分量 矢量——三个分量应力张量表为:111213212223313233(,1,3)x xy xz ij yx y yz zx zy z i j σττσστστττσ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦2.1.2 张量的阶数、维数、分量个数：n 阶r 维张量的分量个数 n r 标量 n=0（幂次） 01n r r == 矢量 n=1（幂次） 13n r r == 应力张量 n=2（幂次） 29n r r == 应力梯度 n=3 3327n r == 27个分量 弹性张量 n=4 4381n r == 81个分量n 阶张量 0阶 标量 1阶 矢量2阶 应力张量2.1.3 张量的记法：一阶 (1,2,3)i A i = 二阶 (,1,2,3)ij i j σ= 四阶 (,,,1,2,3)ijklD i j k l =2.1.4 张量的矩阵表达：[][]111121322223333i ij A A A A A σσσσσσσσ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦2.1.5 张量的代数运算：（ 符号与约定）○1和号∑与求和指标[][]11223312121nTi i n n i T a x a x a x a x a a a x x x ===+++=∑L LL②爱因斯坦求和约定 根据约定和号∑可略去 1 ni i i i i T a x T a x ==⇒=∑[][][][]111111n T ij i j n n nn n a a y s a x x x x x a x a a y ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦LLM M M L③求和指标与自由指标1x1xcos , s sin c ϕϕ==11112222x x x x c s c s x x x x s c s c -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦21i ij j ij j i x T x T x ===∑ ,/cos()ij i j i j T x x x x =∂∂=j---求和指标 i---自由指标求和指标在求和之后不再出现在等式左边，自由指标仍存在。

[][][][][][]121211212,,,,,,,,nTTi i i i i Tij i j ijk ij ka x x x x x x x x x xb x x x x x xc B D ========∑LL L L④克罗尼科尔符号 ij δ1ij i j i jδ==≠im mi ma a δ=∑111213212223313233100010[](,1,3)001ij I i j δδδδδδδδδδ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⑤列维─西维塔密度 ijk ε1ijk ε= 当 i,j,k 偶排列 =-1 当 i,j,k 奇排列= 0 当 i,j,k 中有两个以上相同1ijk ε= 1ikj -=ε123231312132321213112221111110εεεεεεεεε======-===2．2 弹性力学知识初步变形场：[][]1nTi ia a a u N u N u ===∑%，ia N —形函数，a u —节点位移应变： 1()2j i k k ij k j i i ju uu u x x x x ε∂∂∂∂=++∂∂∂∂∑%%%% ------ 几何方程[][]1()2T j iij ija a aj i u u B u B u x x ε∂∂≈+==∂∂∑%%应力：[][]ij ijkl kl klD D σεε==∑ ------ 物理方程弹性模量： 2/()ijkl ij kl D πεε=∂∂∂ , π——变形能()ijkl ij kl ik jl il jk D G λδδδδδδ=++ (,,,1,2,3)i j k l =各向同性时：2 (,,,1,2,3)ijkl ij kl ik jl D G i j k l λδδδδ=+=2000000 ,00000000000,000002000000.0002ijklG k l GG GG i jGD GG sym GGG λλλλλλ+→→⎡⎤⎢⎥↓⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎣⎦(1), , 22(1)(1)(12)(1)(12)E Ev E v G G v v v v v λλ-==+=++-+-式中：E 是弹性模量，v 是泊松比。