电磁感应中的动力学和能量问题(教师版)

第四讲电磁感应中的动力学和能量问题热点一电磁感应中的动力学问题 (师生共研)1．两种状态及处理方法3．动态分析的基本思路解决这类问题的关键是通过运动状态的分析，寻找过程中的临界状态，如速度、加速度最大或最小的条件．具体思路如下：[典例1] (2019·云南华宁二中摸底)如图甲所示，电流传感器(相当于一只理想电流表)能将各时刻的电流数据实时通过数据采集器传输给计算机，经计算机处理后在屏幕上同步显示出I－t图象．电阻不计的足够长光滑平行金属轨道宽L＝1.0 m，与水平面的夹角θ＝37°.轨道上端连接阻值R＝1.0 Ω的定值电阻，金属杆MN长与轨道宽相等，其电阻r＝0.50 Ω，质量m＝0.02 kg.在轨道区域加一垂直轨道平面向下的匀强磁场，让金属杆从图示位置由静止开始释放，杆在整个运动过程中与轨道垂直，此后计算机屏幕上显示出如图乙所示的I－t图象．重力加速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，试求：(1)t＝1.2 s时电阻R的热功率；(2)匀强磁场的磁感应强度B的大小；(3)t＝1.2 s时金属杆的速度大小和加速度大小．解析：(1)t＝1.2 s时电流I1＝0.15 AP＝I21R＝0.022 5 W(2)电流I2＝0.16 A时电流不变，棒做匀速运动BI2L＝mg sin37°，求得B＝0.75 T(3)t＝1.2 s时，电源电动势E＝I1(R＋r)＝BLv代入数据v＝0.3 m/smg sin 37°－BI1L＝ma解得：a＝0.375 m/s2.答案：(1)0.022 5 W (2)0.75 T (3)0.3 m/s 0.375 m/s2[反思总结]用“四步法”分析电磁感应中的动力学问题解决电磁感应中的动力学问题的一般思路是“先电后力”，具体思路如下：1－1.[动力学问题] (多选)用一段横截面半径为r、电阻率为ρ、密度为d的均匀导体材料做成一个半径为R(r≪R)的圆环．圆环竖直向下落入如图所示的径向磁场中，圆环的圆心始终在N极的轴线上，圆环所在位置的磁感应强度大小均为B，圆环在加速下落过程中某一时刻的速度为v，忽略电感的影响，则( )A ．此时在圆环中产生了(俯视)顺时针的感应电流B ．圆环因受到了向下的安培力而加速下落C ．此时圆环的加速度a ＝B 2vρdD ．如果径向磁场足够长，则圆环的最大速度v m ＝ρdgB 2解析：圆环向下切割磁感线，由右手定则可知，圆环中感应电流的方向为顺时针方向(俯视)，A 正确；再由左手定则可知，圆环受的安培力向上，B 错误；圆环中感应电动势为E ＝B ·2πR ·v ，感应电流I ＝E R ′，电阻R ′＝ρ2πR πr 2＝2Rρr 2，解得I ＝B πvr 2ρ.圆环受的安培力F ＝BI ·2πR ＝2B 2π2vRr2ρ.圆环的加速度a ＝mg －F m ＝g －2B 2π2vRr2mρ，圆环质量m ＝d ·2πR ·πr 2，解得加速度a ＝g －B 2vρd，C 错误；当mg ＝F 时，加速度a ＝0，速度最大，v m＝ρdgB 2，D 正确． 答案：AD1－2.[平衡问题] (2016·全国卷Ⅰ)如图，两固定的绝缘斜面倾角均为θ，上沿相连．两细金属棒ab (仅标出a 端)和cd (仅标出c 端)长度均为L ，质量分别为2m 和m ；用两根不可伸长的柔软轻导线将它们连成闭合回路abdca ，并通过固定在斜面上沿的两光滑绝缘小定滑轮跨放在斜面上，使两金属棒水平．右斜面上存在匀强磁场，磁感应强度大小为B ，方向垂直于斜面向上．已知两根导线刚好不在磁场中，回路电阻为R ，两金属棒与斜面间的动摩擦因数均为μ，重力加速度大小为g .已知金属棒ab 匀速下滑．求：(1)作用在金属棒ab 上的安培力的大小； (2)金属棒运动速度的大小．解析：(1)设导线的张力的大小为F T ，右斜面对ab 棒的支持力的大小为F N1，作用在ab 棒上的安培力的大小为F ，左斜面对cd 棒的支持力大小为F N2.对于ab 棒，由力的平衡条件得 2mg sin θ＝μF N1＋F T ＋F ①F N1＝2mg cos θ②对于cd 棒，同理有mg sin θ＋μF N2＝F T ③ F N2＝mg cos θ④联立①②③④式得F ＝mg (sin θ－3μcos θ)⑤(2)由安培力公式得F ＝BIL ⑥这里I 是回路abdca 中的感应电流，ab 棒上的感应电动势为E ＝BLv ⑦式中，v 是ab 棒下滑速度的大小．由欧姆定律得I ＝E R⑧ 联立⑤⑥⑦⑧式得v ＝(sin θ－3μcos θ)mgRB 2L2.答案：(1)mg (sin θ－3μcos θ) (2)(sin θ－3μcos θ)mgR B 2L 21－3. [含容问题] 如图所示，水平面内有两根足够长的平行导轨L 1、L 2，其间距d ＝0.5 m ，左端接有容量C ＝2 000 μF 的电容器．质量m ＝20 g 的导体棒可在导轨上无摩擦滑动，导体棒和导轨的电阻不计．整个空间存在着垂直导轨所在平面的匀强磁场，磁感应强度B ＝2 T ．现用一沿导轨方向向右的恒力F 1＝0.44 N 作用于导体棒，使导体棒从静止开始运动，经t 时间后到达B 处，速度v ＝5 m/s.此时，突然将拉力方向变为沿导轨向左，大小变为F 2，又经2t 时间后导体棒返回到初始位置A 处，整个过程电容器未被击穿．求：(1)导体棒运动到B 处时，电容器C 上的电荷量； (2)t 的大小； (3)F 2的大小．解析：(1)当导体棒运动到B 处时，电容器两端电压为U ＝Bdv ＝2×0.5×5 V＝5 V此时电容器的带电荷量q ＝CU ＝2 000×10－6×5 C＝1×10－2C.(2)棒在F 1作用下有F 1－BId ＝ma 1， 又I ＝Δq Δt ＝CBd Δv Δt ，a 1＝Δv Δt联立解得a 1＝F 1m ＋CB 2d2＝20 m/s 2则t ＝v a 1＝0.25 s.(3)由(2)可知棒在F 2作用下，运动的加速度a 2＝F 2m ＋CB 2d 2，方向向左，又12a 1t 2＝－[a 1t ·2t －12a 2(2t )2]，将相关数据代入解得F 2＝0.55 N. 答案：(1)1×10－2C (2)0.25 s (3)0.55 N热点二 电磁感应中的能量问题 (师生共研)1．电磁感应中的能量转化2．求解焦耳热Q 的三种方法3．求解电磁感应现象中能量问题的一般步骤(1)在电磁感应中，切割磁感线的导体或磁通量发生变化的回路将产生感应电动势，该导体或回路就相当于电源．(2)分析清楚有哪些力做功，就可以知道有哪些形式的能量发生了相互转化． (3)根据能量守恒列方程求解．[典例2] 如图所示，在匀强磁场中有一倾斜的平行金属导轨，导轨间距为L ，长为3d ，导轨平面与水平面的夹角为θ，在导轨的中部刷有一段长为d 的薄绝缘涂层．匀强磁场的磁感应强度大小为B ，方向与导轨平面垂直．质量为m 的导体棒从导轨的顶端由静止释放，在滑上涂层之前已经做匀速运动，并一直匀速滑到导轨底端．导体棒始终与导轨垂直，且仅与涂层间有摩擦，接在两导轨间的电阻为R ，其他部分的电阻均不计，重力加速度为g .求：(1)导体棒与涂层间的动摩擦因数μ； (2)导体棒匀速运动的速度大小v ； (3)整个运动过程中，电阻产生的焦耳热Q . 解析：(1)在绝缘涂层上导体棒受力平衡有mg sin θ＝μmg cos θ解得μ＝tan θ. (2)在光滑导轨上 感应电动势E ＝BLv 感应电流I ＝E R安培力F 安＝BIL导体棒受力平衡有F 安＝mg sin θ 解得v ＝mgR sin θB 2L 2. (3)摩擦生热Q f ＝μmgd cos θ由能量守恒定律有3mgd sin θ＝Q ＋Q f ＋12mv 2解得Q ＝2mgd sin θ－m 3g 2R 2sin 2θ2B 4L4. 答案：(1)tan θ (2)mgR sin θB 2L 2 (3)2mgd sin θ－m 3g 2R 2sin 2θ2B 4L4[反思总结]求解电能应分清两类情况1．若回路中电流恒定，可以利用电路结构及W ＝UIt 或Q ＝I 2Rt 直接进行计算．2．若电流变化，则①利用安培力做功求解：电磁感应中产生的电能等于克服安培力所做的功；②利用能量守恒求解：若只有电能与机械能的转化，则减少的机械能等于产生的电能．2－1. [单棒模型问题] (多选)如图所示，两根平行长直金属轨道，固定在同一水平面内，间距为d ，其左端接有阻值为R 的电阻，整个装置处在竖直向上、磁感应强度为B 的匀强磁场中．一质量为m 的导体棒ab 垂直于轨道放置，且与两轨道接触良好，导体棒与轨道之间的动摩擦因数为μ.导体棒在水平向右、垂直于棒的恒力F 作用下，从静止开始沿轨道运动距离l 时，速度恰好达到最大(运动过程中导体棒始终与轨道保持垂直)．设导体棒接入电路的电阻为r ，轨道电阻不计，重力加速度大小为g .在这一过程中( )A ．导体棒运动的平均速度为(F －μmg )(R ＋r )2B 2d2B ．通过电阻R 的电荷量为BdlR ＋rC ．恒力F 做的功与摩擦力做的功之和等于回路产生的电能D ．恒力F 做的功与安培力做的功之和大于导体棒增加的动能 答案：BD2－2. [线框模型问题] (多选)(2018·黑龙江大庆实验中学月考)如图所示，正方形导线框ABCD 、abcd 的电阻均为R ，边长均为L ，质量分别为2m 和m ，它们分别系在一跨过两个定滑轮的轻绳两端，且正方形导线框与定滑轮处于同一竖直平面内．在两导线框之间有一宽度为2L 、磁感应强度大小为B 、方向垂直纸面向里的匀强磁场．开始时导线框ABCD 的下边与匀强磁场的上边界重合，导线框abcd 的上边到匀强磁场的下边界的距离为L .现将系统由静止释放，当导线框ABCD 刚好全部进入磁场时，系统开始做匀速运动，不计摩擦的空气阻力，则( )A ．两线框刚开始做匀速运动时轻绳上的张力F T ＝mgB ．系统匀速运动的速度大小v ＝mgRB 2L 2C ．两线框从开始运动至等高的过程中所产生的总焦耳热Q ＝2mgL －3m 3g 2R22B 4L 4D ．导线框abcd 的ab 边通过磁场的时间t ＝2B 2L3mgR解析：两线框刚开始做匀速运动时，线圈ABCD 全部进入磁场，由平衡知识可知，轻绳上的张力F T ＝2mg ，选项A 错误；对线圈abcd 可知，两线框刚开始做匀速运动时，线圈abcd 的上边ab 刚进入磁场，此时mg ＋B 2L 2v R ＝2mg ，即系统匀速运动的速度大小v ＝mgRB 2L2， 选项B正确；由能量守恒关系可知，两线框从开始运动至等高的过程中所产生的总焦耳热等于两个线圈的机械能的减小量，即Q ＝2mg ·2L －mg ·2L －12·3mv 2＝2mgL －3m 3g 2R 22B 4L 4，故选项C 正确；若导线圈abcd 在磁场中匀速运动时，ab 边通过磁场的时间是t ＝2L v ＝2B 2L3mgR，但是线框在磁场中不是一直匀速上升，故选项D 错误． 答案：BC1．平行导轨固定在水平桌面上，左侧接有阻值为R 的电阻，导体棒ab 与导轨垂直且接触良好，棒在导轨间的阻值为r .输出功率恒为P 的电动机通过水平绳向右拉动ab 棒．整个区域存在竖直向上的匀强磁场．若导轨足够长，且不计其电阻和摩擦，则电阻R 消耗的最大功率为( B )A ．PB ．RR ＋r PC.rR ＋rP D ．(R R ＋r)2P2．(多选)(2019·长春实验中学开学考试)如图甲所示，在足够长的光滑的斜面上放置着金属线框，垂直于斜面方向的匀强磁场的磁感应强度B 随时间的变化规律如图乙所示(规定垂直斜面向上为正方向)．t ＝0时刻将线框由静止释放，在线框下滑的过程中，下列说法正确的是( BC )A ．线框中产生大小、方向周期性变化的电流B ．MN 边受到的安培力先减小后增大C ．线框做匀加速直线运动D ．线框中产生的焦耳热等于其机械能的损失解析：穿过线圈的磁通量先向下减小，后向上增加，则根据楞次定律可知，感应电流方向不变，选项A 错误；因B 的变化率不变，则感应电动势不变，感应电流不变，而B 的大小先减后增加，根据F ＝BIL 可知，MN 边受到的安培力先减小后增大，选项B 正确；因线圈平行的两边电流等大反向，则整个线圈受的安培力为零，则线圈下滑的加速度为g sin θ不变，则线框做匀加速直线运动，选项C 正确；因安培力对线圈不做功，斜面光滑，则线框的机械能守恒，选项D 错误．3．(2019·江苏高级中学检测)如图所示，线圈工件加工车间的传送带不停地水平传送长为L ，质量为m ，电阻为R 的正方形线圈，在传送带的左端线圈无初速地放在以恒定速度v 匀速运动的传送带上，经过一段时间，达到与传送带相同的速度v 后，线圈与传送带始终相对静止，并通过一磁感应强度为B 、方向竖直向上的匀强磁场，已知当一个线圈刚好开始匀速度运动时，下一个线圈恰好放在传送带上，线圈匀速运动时，每两个线圈间保持距离L 不变，匀强磁场的宽度为3L ，求：(1)每个线圈通过磁场区域产生的热量Q .(2)在某个线圈加速的过程中，该线圈通过的距离s 1和在这段时间里传送带通过的距离s 2之比．(3)传送带每传送一个线圈，电动机多消耗的电能E (不考虑电动机自身的能耗)解析：(1)线圈匀速通过磁场，产生的感应电动势为E ＝BLv ，则每个线圈通过磁场区域产生的热量为Q ＝Pt ＝(BLv )22L Rv ＝2B 2L 3v R(2)对于线圈：做匀加速运动，则有s 1＝vt2对于传送带做匀速直线运动，则有s 2＝vt 故s 1∶s 2＝1∶2(3)线圈与传送带的相对位移大小为Δs ＝s 2－s 1＝vt2＝s 1线圈获得动能E k ＝mv 22＝fs 1传送带上的热量损失Q ′＝f (s 2－s 1)＝mv 22送带每传送一个线圈，电动机多消耗的电能为E ＝E k ＋Q ＋Q ′＝mv 2＋2B 2L 3vR答案：(1)Q ＝2B 2L 3v R (2)s 1∶s 2＝1∶2 (3)E ＝mv 2＋2B 2L 3v R[A 组·基础题]1. 如图所示，足够长的U 形光滑金属导轨与水平面成θ角，其中MN 与PQ 平行且间距为L ，导轨间连接一个电阻为R 的灯泡，导轨平面与磁感应强度为B 的匀强磁场垂直，导轨电阻不计．一质量为m 的金属棒ab 由静止开始沿导轨下滑，并与两导轨始终保持垂直且接触良好，金属棒ab 接入电路的电阻为r ，当流经金属棒ab 某一横截面的电荷量为q 时，金属棒ab 的速度大小为v ，则金属棒ab 在由静止开始沿导轨下滑到速度达到v 的过程中(未达到最大速度)( D )A ．金属棒ab 做匀加速直线运动B ．金属棒ab 两端的电压始终为rR ＋rBlvC ．灯泡的亮度先逐渐变亮后保持不变D ．回路中产生的焦耳热为mgq (R ＋r )BL sin θ－12mv 22. 如图所示，MN 和PQ 是电阻不计的平行金属导轨，其间距为L ，导轨弯曲部分光滑，平直部分粗糙，N 、Q 两点间接一个阻值为R 的电阻．平直部分导轨左边区域有宽度为d 、方向竖直向上、磁感应强度大小为B 的匀强磁场．质量为m 、电阻也为R 的金属棒从高度为h 处由静止释放，到达磁场右边界处恰好停止．已知金属棒与平直部分导轨间的动摩擦因数为μ，金属棒与导轨间接触良好，则金属棒穿过磁场区域的过程中( A )A ．金属棒两端的最大电压为12BL 2ghB ．金属棒在磁场中的运动时间为2dghC ．克服安培力所做的功为mghD ．右端的电阻R 产生的焦耳热为12(mgh ＋μmgd )3．(多选) 如图所示，倾角为θ的平行金属导轨宽度为L ，电阻不计，底端接有阻值为R 的定值电阻，处在与导轨平面垂直向上的磁感应强度为B 的匀强磁场中．有一质量为m 、长也为L 的导体棒始终与导轨垂直且接触良好，导体棒的电阻为r ，它与导轨之间的动摩擦因数为μ，现让导体棒从导轨底部以平行于斜面的速度v 0向上滑行，上滑的最大距离为s ，滑回底端的速度为v ，下列说法正确的是( AC )A ．把运动导体棒视为电源，其最大输出功率为(BLv 0R ＋r)2R B ．导体棒从开始到滑到最大高度的过程所用时间为2sv 0C ．整个过程产生的焦耳热为12mv 20－12mv 2－2μmgs cos θD ．导体棒上滑和下滑过程中，电阻R 产生的焦耳热相等4. 如图，足够长的U 形光滑金属导轨平面与水平面成θ角(0<θ<90°)，其中MN 与PQ 平行且间距为l ，导轨平面与磁感应强度为B 的匀强磁场垂直，导轨电阻不计，其上端所接定值电阻为R ，给金属棒ab 一沿斜面向上的初速度v 0，并与两导轨始终保持垂直且良好接触，ab 棒接入电路的电阻为r ，当ab 棒沿导轨上滑距离为x 时，速度减小为零．则下列说法正确的是( D )A ．在该过程中，导体棒所受合外力做功为12mv 2B ．在该过程中，通过电阻R 的电荷量为BlxR(R ＋r )2C ．在该过程中，电阻R 产生的焦耳热为Rmv 202(R ＋r )D ．在导体棒获得初速度时，整个电路消耗的电功率为B 2l 2v 20R ＋r5．如图甲所示，空间存在B ＝0.5 T 、方向竖直向下的匀强磁场，MN 、PQ 是水平放置的平行长直导轨，其间距L ＝0.2 m ，R 是连在导轨一端的电阻，ab 是跨接在导轨上质量m ＝0.1 kg 的导体棒．从零时刻开始，对ab 施加一个大小为F ＝0.45 N 、方向水平向左的恒定拉力，使其从静止开始沿导轨滑动，滑动过程中棒始终保持与导轨垂直且接触良好，图乙是棒的v －t 图象，其中AO 是图象在O 点的切线，AB 是图象的渐近线．除R 以外，其余部分的电阻均不计．设最大静摩擦力等于滑动摩擦力．已知当棒的位移为100 m 时，其速度达到了最大速度10 m/s.求：(1)R 的阻值；(2)在棒运动100 m 过程中电阻R 上产生的焦耳热． 解析：(1)由图乙得ab 棒刚开始运动瞬间a ＝2.5 m/s 2， 则F －F f ＝ma ， 解得F f ＝0.2 N.ab 棒最终以速度v ＝10 m/s 匀速运动，则所受到拉力、摩擦力和安培力的合力为零，F －F f－F 安＝0.F 安＝BIL ＝BL BLv R ＝B 2L 2v R .联立可得R ＝B 2L 2vF －F f＝0.4 Ω.(2)由功能关系可得(F －F f )x ＝12mv 2＋Q ，解得Q ＝20 J.答案：(1)0.4 Ω (2)20 J[B 组·能力题]6. (2019·天津武清大良中学月考)如图所示，竖直固定的足够长的光滑金属导轨MN 、PQ ，间距为l ＝0.2 m ，其电阻不计．完全相同的两金属棒ab 、cd 垂直导轨放置，每棒两端都与导轨始终良好接触，已知两棒质量均为m ＝0.01 kg ，电阻均为R ＝0.2 Ω，棒cd 放置在水平绝缘平台上，整个装置处在垂直于导轨平面向里的匀强磁场中，磁感应强度B ＝1.0 T ．棒ab 在竖直向上的恒力F 作用下由静止开始向上运动，当ab 棒运动x ＝0.1 m 时达到最大速度v m ，此时cd 棒对绝缘平台的压力恰好为零．取g ＝10 m/s 2，求：(1)ab 棒的最大速度v m ；(2)ab 棒由静止到最大速度过程中回路产生的焦耳热Q ；(3)ab 棒由静止到最大速度所经历的时间t . 解析：(1)棒ab 达到最大速度v m 时，对棒cd 有：BIL ＝mg,由闭合电路欧姆定律知I ＝E 2R， 棒ab 切割磁感线产生的感应电动E ＝BLv m, 代入数据计算得出：v m ＝1 m/s;(2) ab 棒由静止到最大速度过程中，由功能关系得：Fx ＝mgx ＋12mv 2m ＋Q棒ab 达到最大速度时受力平衡F ＝mg ＋BIL解得：Q ＝5×10－3J(3)ab 棒由静止到最大速度过程中通过ab 棒的电荷量：q ＝I t ＝BLx2R＝0.05 C 在此过程中由动量定理可知： (F －mg －BIL )t ＝mv m －0 即(F －mg )t －BqL ＝mv m －0 解得：t ＝0.2 s.答案：(1)1 m/s (2)5×10－3J (3)0.2 s7. 如图所示，电阻不计的“∠”形足够长且平行的导轨，间距L ＝1 m ，导轨倾斜部分的倾角θ＝53°，并与定值电阻R 相连．整个空间存在着B ＝5 T 、方向垂直倾斜导轨平面向上的匀强磁场．金属棒ab 、cd 的阻值R ab ＝R cd ＝R ，cd 棒质量m ＝1 kg ，ab 棒光滑，cd 与导轨间的动摩擦因数μ＝0.3，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g 取10 m/s 2，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，求：(1)ab 棒由静止释放，当滑至某一位置时，cd 棒恰好开始滑动．求这一时刻ab 棒中的电流； (2)若ab 棒无论从多高的位置释放，cd 棒都不动，分析ab 棒质量应满足的条件； (3)若cd 棒与导轨间的动摩擦因数μ≠0.3，ab 棒无论质量多大、从多高位置释放，cd 棒始终不动．求cd 棒与导轨间的动摩擦因数μ应满足的条件． 解析：(1)cd 棒刚要开始滑动时，其受力分析如图所示．由平衡条件得BI cd L cos 53°－F f ＝0，F N －mg －BI cd L sin 53°＝0，又因为F f ＝μF N ，联立以上三式，得I cd ＝1.67 A ， 所以I ab ＝2I cd ＝3.34 A.(2)ab 棒下滑时，最大安培力F A ＝m ab g sin 53°，cd 棒所受最大安培力应为12F A ，要使cd 棒不滑动，需满足：12F A cos 53°≤μ(mg ＋12F A sin 53°)． 由以上两式联立解得m ab ≤2.08 kg. (3)ab 棒下滑时，cd 棒始终静止，有F A ′cos 53°≤μ(mg ＋F A ′sin 53°)．解得μ≥F A ′cos 53°mg ＋F A ′sin 53°＝cos 53°mgF A ′＋sin 53°.当ab 棒质量无限大，在无限长轨道上最终一定匀速运动，ab 棒所受安培力趋于无穷大，cd 棒所受安培力F A ′亦趋于无穷大，有μ≥cos 53°sin 53°＝0.75.答案：(1)3.34 A (2)m ab ≤2.08 kg (3)μ≥0.758．如图所示，两电阻不计的足够长光滑平行金属导轨与水平面夹角为θ，导轨间距为l ，所在平面的正方形区域abcd 内存在有界匀强磁场，磁感应强度大小为B ，方向垂直于斜面向上．如图所示，将甲、乙两阻值相同、质量均为m 的相同金属杆放置在导轨上，甲金属杆处在磁场的上边界，甲、乙相距l .从静止释放两金属杆的同时，在金属杆甲上施加一个沿着导轨的外力，使甲金属杆在运动过程中始终沿导轨向下做匀加速直线运动，且加速度大小为a ＝g sin θ，乙金属杆刚进入磁场时做匀速运动．(1)求每根金属杆的电阻R ；(2)从刚释放金属杆时开始计时，写出从计时开始到甲金属杆离开磁场的过程中外力F 随时间t 的变化关系式，并说明F 的方向；(3)若从开始释放两杆到乙金属杆离开磁场，乙金属杆共产生热量Q ，试求此过程中外力F 对甲做的功．解析：(1)甲、乙匀加速运动时加速度相同，所以，当乙进入磁场时，甲刚出磁场，乙进入磁场时的速度v ＝2gl sin θ.根据平衡条件有mg sin θ＝B 2l 2v2R .解得R ＝B 2l 22gl sin θ2mg sin θ.(2)甲在磁场中运动时，外力F 始终等于安培力F ＝B 2l 2v2R ，v ＝g sin θ·t ，将R ＝B 2l 22gl sin θ2mg sin θ代入得F ＝mg 2sin 2θ2gl sin θt ，方向沿导轨向下．(3)乙进入磁场前，甲、乙产生相同热量，设为Q 1，则有F 安l ＝2Q 1，又F ＝F 安，故外力F 对甲做的功W F ＝Fl ＝2Q 1.甲出磁场以后，外力F 为零，乙在磁场中，甲、乙产生相同热量，设为Q 2，则有F 安′l ＝2Q 2，又F 安′＝mg sin θ，又Q ＝Q 1＋Q 2.解得W F ＝2Q －mgl sin θ.答案：(1)B 2l 22gl sin θ2mg sin θ (2)F ＝mg 2sin 2θ2gl sin θt ，方向沿导轨向下 (3)2Q －mgl sin θ。

专题 电磁感应中的电路和图象问题一、电磁感应中的电路问题1．内电路和外电路(1)切割磁感线的导体或磁通量发生变化的线圈相当于电源．(2)产生电动势的那部分导体或线圈的电阻相当于电源的内阻，其他部分的电阻相当于外电阻．2．电磁感应现象产生的电动势E ＝Blv 或E ＝n ΔΦΔt. 3．电磁感应电路问题的分析方法(1)用法拉第电磁感应定律和楞次定律(或右手定则)确定电动势的大小和方向．(2)画出等效电路图．(3)运用闭合电路欧姆定律、串并联电路的性质、电功率、电功计算公式联立求解．二、电磁感应中的图象问题1．图象类型(1)随时间变化的图象如B －t 图象、Φ－t 图象、E －t 图象和i －t 图象．(2)随位移x 变化的图象如E －x 图象和i －x 图象．2．问题类型(1)由给定的电磁感应过程判断或画出正确的图象．(2)由给定的有关图象分析电磁感应过程，求解相应的物理量．(3)利用给出的图象判断或画出新的图象． 典型问题分析考点一 电磁感应中的电路问题解决电磁感应中的电路问题三步曲(1)确定电源．切割磁感线的导体或磁通量发生变化的回路将产生感应电动势，该导体或回路就相当于电源，利用E ＝Bl v sin θ或E ＝n ΔΦΔt求感应电动势的大小，利用右手定则或楞次定律判断电流方向．(2)分析电路结构(内、外电路及外电路的串、并联关系)，画出等效电路图．(3)利用电路规律求解．主要应用欧姆定律及串、并联电路的基本性质等列方程求解． 例1 如图(a)所示，水平放置的两根平行金属导轨，间距L ＝0.3 m ，导轨左端连接R ＝ 0.6 Ω的电阻，区域abcd 内存在垂直于导轨平面B ＝0.6 T 的匀强磁场，磁场区域宽D ＝0.2 m ．细金属棒A 1和A 2用长为2D ＝0.4 m 的轻质绝缘杆连接，放置在导轨平面上，并与导轨垂直，每根金属棒在导轨间的电阻均为r ＝0.3 Ω.导轨电阻不计．使金属棒以恒定速度v ＝1.0 m/s 沿导轨向右穿越磁场．计算从金属棒A 1进入磁场(t ＝0)到A 2离开磁场的时间内，不同时间段通过电阻R 的电流强度，并在图(b)中画出．解析 t 1＝D v ＝0.2 s在0～t 1时间内，A 1产生的感应电动势E 1＝BL v ＝0.18 V.其等效电路如图甲所示．甲由图甲知，电路的总电阻R 总＝r ＋rR r ＋R＝0.5 Ω 总电流为I ＝E 1R 总＝0.36 A 通过R 的电流为I R ＝I 3＝0.12 A A 1离开磁场(t 1＝0.2 s)至A 2刚好进入磁场(t 2＝2D v ＝0.4 s)的时间内，回路无电流，I R ＝0，乙从A 2进入磁场(t 2＝0.4 s)至离开磁场t 3＝2D ＋D v ＝0.6 s 的时间内，A 2上的感应电动势为E 2＝0.18 V ，其等效电路如图乙所示．由图乙知，电路总电阻R 总′＝0.5 Ω，总电流I ′＝0.36 A ，流过R 的电流I R ＝0.12 A ，综合以上计算结果，绘制通过R 的电流与时间关系如图所示．突破训练1 法拉第曾提出一种利用河流发电的设想，并进行了实验研究．实验装置的示意图可用图表示，两块面积均为S 的矩形金属板，平行、正对、竖直地全部浸在河水中，间距为d .水流速度处处相同，大小为v ，方向水平．金属板与水流方向平行．地磁场磁感应强度的竖直分量为B ，水的电阻率为ρ，水面上方有一阻值为R 的电阻通过绝缘导线和电键K 连接到两金属板上，忽略边缘效应，求：(1)该发电装置的电动势；(2)通过电阻R 的电流强度；(3)电阻R 消耗的电功率．答案 (1)Bd v (2)Bd v S ρd ＋SR (3)⎝⎛⎭⎫Bd v S ρd ＋SR 2R 解析 (1)由法拉第电磁感应定律，有E ＝Bd v(2)两金属板间河水的电阻r ＝ρd S由闭合电路欧姆定律，有I ＝E r ＋R ＝Bd v S ρd ＋SR(3)由电功率公式P ＝I 2R ，得P ＝⎝⎛⎭⎫Bd v S ρd ＋SR 2R 考点二 电磁感应中的图象问题1.对图象的认识，应注意以下几方面(1)明确图象所描述的物理意义；(2)必须明确各种“＋”、“－”的含义；(3)必须明确斜率的含义；(4)必须建立图象和电磁感应过程之间的对应关系；(5)注意三个相似关系及其各自的物理意义：v ～Δv ～Δv Δt ，B ～ΔB ～ΔB Δt ，Φ～ΔΦ～ΔΦΔtΔv Δt 、ΔB Δt 、ΔΦΔt分别反映了v 、B 、Φ变化的快慢． 2．电磁感应中图象类选择题的两个常见解法(1)排除法：定性地分析电磁感应过程中物理量的变化趋势(增大还是减小)、变化快慢(均匀变化还是非均匀变化)，特别是物理量的正负，排除错误的选项．(2)函数法：根据题目所给条件定量地写出两个物理量之间的函数关系，然后由函数关系对图象作出分析和判断，这未必是最简捷的方法，但却是最有效的方法．例2 (2013·山东理综·18)将一段导线绕成图7甲所示的闭合回路，并固定在水平面(纸面)内．回路的ab 边置于垂直纸面向里的匀强磁场Ⅰ中．回路的圆环区域内有垂直纸面的磁场Ⅱ，以向里为磁场Ⅱ的正方向，其磁感应强度B 随时间t 变化的图象如图乙所示．用F 表示ab 边受到的安培力，以水平向右为F 的正方向，能正确反映F 随时间t 变化的图象是 ( )图7解析 0～T 2时间内，回路中产生顺时针方向、大小不变的感应电流，根据左手定则可以判定ab 边所受安培力向左.T 2～T 时间内，回路中产生逆时针方向、大小不变的感应电流，根据左手定则可以判定ab 边所受安培力向右，故B 正确．突破训练2 如图所示，A 是一个边长为L 的正方形导线框，每边电阻为r .现维持线框以恒定速度v 沿x 轴运动，并穿过图中所示由虚线围成的匀强磁场区域．U bc ＝φb －φc ，线框在图示位置的时刻作为时间的零点，则b 、c 两点间的电势差随时间变化的图线应为( )答案 B 解析 线框进入磁场前，即0≤t <L v 时，U bc ＝0；线框进入磁场的过程，即L v ≤t <2L v 时，bc 边切割磁感线，相当于电源，其他三边相当于外电路，根据右手定则可知，b 端电势高于c 端，所以U bc ＝34BL v ；线框完全进入磁场后，即2L v ≤t <4L v 时，U bc ＝BL v ；线框出磁场的过程，即4L v ≤t <5L v 时，U bc ＝BL v 4.综上分析，B 正确． 例3 如图9所示，水平面内的直角坐标系的第一象限有磁场分布，方向垂直于水平面向下，磁感应强度沿y 轴方向没有变化，与x 轴的关系如图10所示，图线是双曲线(坐标轴是渐近线)；顶角θ＝45°的光滑金属长导轨MON 固定在水平面内，ON 与x 轴重合，一根与ON 垂直的长导体棒在水平向右的外力作用下沿导轨MON 向右滑动，导体棒在滑动过程中始终与导轨良好接触．已知t ＝0时，导体棒位于顶点O 处；导体棒的质量为m ＝2 kg ；OM 、ON 接触处O 点的接触电阻为R ＝0.5 Ω，其余电阻不计；回路电动势E 与时间t 的关系如图11所示，图线是过原点的直线．求：(1)t ＝2 s 时流过导体棒的电流I 2的大小；(2)1 s ～2 s 时间内回路中流过的电荷量q 的大小；(3)导体棒滑动过程中水平外力F (单位：N)与横坐标x (单位：m)的关系式．图9 图10 图11解析 (1)根据E －t 图象可知t ＝2 s 时，回路中电动势E 2＝4 V ，所以I 2＝E 2R ＝40.5A ＝ 8 A(2)由E －t 图象和I ＝E R可判断I －t 图象中的图线也是过原点的直线 t ＝1 s 时，E 1＝2 V ，所以I 1＝E 1R ＝20.5A ＝4 A 则q ＝I Δt ＝I 1＋I 22Δt ＝6 C (3)因θ＝45°，可知任意t 时刻回路中导体棒有效切割长度L ＝x再根据B －x 图象中的图线是双曲线特点有：E ＝BL v ＝Bx v 且E 与时间成正比，可知导体棒的运动是匀加速直线运动由题图知Bx ＝1 Tm ，E ＝2t ，所以v ＝2t即棒运动的加速度a ＝2 m/s 2棒受到的安培力F 安＝BIl ＝BIx ＝Bx ·Bx v R ＝B 2x 2v R ＝B 2x 2·2ax R 棒做匀加速运动，由牛顿第二定律得F －F 安＝ma则F ＝F 安＋ma ＝B 2x 22ax R＋ma ＝4x ＋4 巩固练习1．(2013·新课标Ⅰ·17)如图，在水平面(纸面)内有三根相同的均匀金属棒ab 、ac 和MN ，其中ab 、ac 在a 点接触，构成“V ”字型导轨．空间存在垂直于纸面的均匀磁场．用力使MN 向右匀速运动，从图示位置开始计时，运动中MN 始终与∠bac 的平分线垂直且和导轨保持良好接触．下列关于回路中电流i 与时间t 的关系图线，可能正确的是 ( )答案 A解析 设∠bac ＝2θ，MN 以速度v 匀速运动，导体棒单位长度的电阻为R 0.经过时间t ，导体棒的有效切割长度L ＝2v t tan θ，感应电动势E ＝BL v ＝2B v 2t tan θ，回路的总电阻R＝(2v t tan θ＋2v t cos θ)R 0，回路中电流i ＝E R ＝B v (1＋1sin θ)R 0.故i 与t 无关，是一个定值，选项A 正确．2．(2013·新课标Ⅱ·16)如图13，在光滑水平桌面上有一边长为L 、电阻为R 的正方形导线框；在导线框右侧有一宽度为d (d ＞L )的条形匀强磁场区域，磁场的边界与导线框的一边平行，磁场方向竖直向下．导线框以某一初速度向右运动，t ＝0时导线框的右边恰与磁场的左边界重合，随后导线框进入并通过磁场区域．下列v －t 图象中，可能正确描述上述过程的是 ( )答案 D 解析 导线框进入磁场的过程中，线框受到向左的安培力作用，根据E ＝BL v 、I ＝E R 、F ＝BIL 得F ＝B 2L 2v R，随着v 的减小，安培力F 减小，导线框做加速度逐渐减小的减速运动．整个导线框在磁场中运动时，无感应电流，导线框做匀速运动，导线框离开磁场的过程中，根据F ＝B 2L 2v R，导线框做加速度减小的减速运动，所以选项D 正确．3.如图14所示，有理想边界的两个匀强磁场，磁感应强度均为B ＝0.5 T ，两边界间距s ＝0.1 m ，一边长L ＝0.2 m 的正方形线框abcd由粗细均匀的电阻丝围成，总电阻为R ＝0.4 Ω，现使线框以v ＝2 m/s 的速度从位置Ⅰ匀速运动到位置Ⅱ，则下列能正确反映整个过程中线框a 、b 两点间的电势差U ab 随时间t 变化的图线是 ( ) 图14答案 A 解析 ab 边切割磁感线产生的感应电动势为E ＝BL v ＝0.2 V ，线框中感应电流为I ＝E R＝0.5 A ，所以在0～5×10－2 s 时间内，a 、b 两点间电势差为U 1＝I ×34R ＝0.15 V ；在5×10－2 s ～10×10－2 s 时间内，ab 两端电势差U 2＝E ＝0.2 V ；在10×10－2 s ～15×10－2 s 时间内，a 、b 两点间电势差为U 1＝I ×14R ＝0.05 V. 4．如图15所示，光滑绝缘水平桌面上直立一个单匝正方形导线框ABCD ，导线框的边长为L ＝0.4 m ，总电阻为R ＝0.1 Ω.在直角坐标系xOy 第一象限中，有界匀强磁场区域的下边界与x 轴重合，上边界满足曲线方程y ＝0.2sin 10π3x (m)，磁感应强度B ＝0.2 T ，方向垂直纸面向里．导线框在沿x 轴正方向的拉力F 作用下，以速度v ＝10 m/s 水平向右做匀速直线运动，恰好拉出磁场．图15 (1)求导线框AD 两端的最大电压；(2)在图16中画出运动过程中导线框的i －t 图象，并估算磁场区域的面积；图16答案 (1)0.3 V (2)见解析图 0.0 385 m 2解析 (1)当导线框AD 边运动到磁场中心线时，AD 边两端的电压最大，如图所示E m ＝Bl v ＝0.2×0.2×10 V ＝0.4 VI m ＝E m R＝4 AU m ＝I m ·34R ＝0.3 V (2)BC 边切割磁感线的时间为t 1＝0.310s ＝0.03 s ，此后的t 2时间内，导线框中无感应电流t 2＝0.4－0.310s ＝0.01 s AD 边切割磁感线的时间t 3＝t 1＝0.03 s在整个切割过程中，i －t 图象如图所示由图象可知，每个小方格表示电荷量q ＝0.000 5 Ct 1时间内，图象与t 轴所围区域共有小方格N ＝154个(150个～157个均算正确)故t 1时间内通过导线框某一截面的电荷量Q ＝Nq ＝0.077 C又Q ＝I t 1＝BS RS ＝QR B ≈0.0 385 m 2 课后练习►题组1 对电磁感应中电路问题的考查1．如图所示，两根相距为l 的平行直导轨ab 、cd .b 、d 间连有一定值电阻R ，导轨电阻可忽略不计．MN 为放在ab 和cd 上的一导体杆，与ab 垂直，其电阻也为R .整个装置处于匀强磁场中，磁感应强度的大小为B ，磁场方向垂直于导轨所在平面(指向纸面内)．现对MN 施力使它沿导轨以速度v 做匀速运动．令U 表示MN 两端电压的大小，则( )A ．U ＝12v BlB ．U ＝13v Bl C ．U ＝v Bl D ．U ＝2v Bl答案 A解析 电路中感应电动势为E ＝Bl v ，则MN 两端电压大小U ＝E R ＋R·R ＝12Bl v . 2．如图2所示，竖直平面内有一金属环，半径为a ，总电阻为R (指拉直时两端的电阻)，磁感应强度为B 的匀强磁场垂直穿过环平面，与环的最高点A 连接的长度为2a 、电阻为R 2的导体棒AB 由水平位置紧贴环面摆下，当摆到竖直位置时，B 点的线速度为v ，则这时导体棒AB 两端的电压大小为( )A.Ba v 3B.Ba v 6C.2Ba v 3D ．Ba v 答案 A解析 摆到竖直位置时，导体棒AB 切割磁感线的瞬时感应电动势E ＝B ·2a ·(12v )＝Ba v .由闭合电路欧姆定律得，U AB ＝E R 2＋R 4·R 4＝13Ba v ，故选A. 3．如图所示，两光滑平行金属导轨间距为L ，直导线MN 垂直跨在导轨上，且与导轨接触良好，整个装置处在垂直于纸面向里的匀强磁场中，磁感应强度为B .电容器的电容为C ，除电阻R 外，导轨和导线的电阻均不计．现给导线MN 一初速度，使导线MN 向右运动，当电路稳定后，MN 以速度v 向右做匀速运动时 ( )A ．电容器两端的电压为零B ．电阻两端的电压为BL vC ．电容器所带电荷量为CBL vD ．为保持MN 匀速运动，需对其施加的拉力大小为B 2L 2v R答案 C解析 当导线MN 匀速向右运动时，导线MN 产生的感应电动势恒定，稳定后，电容器既不充电也不放电，无电流产生，故电阻两端没有电压，电容器两极板间的电压为U ＝E ＝BL v ，所带电荷量Q ＝CU ＝CBL v ，故A 、B 错，C 对；MN 匀速运动时，因无电流而不受安培力，故拉力为零，D 错．4.把总电阻为2R 的均匀电阻丝焊接成一半径为a 的圆环，水平固定在竖直向下的磁感应强度为B 的匀强磁场中，如图4所示，一长为2a 、电阻等于R 、粗细均匀的金属棒MN 放在圆环上，它与圆环始终保持良好的接触．当金属棒以恒定速度v 向右移动经过环心O 时，求：(1)棒上电流的大小和方向及棒两端的电压U MN ；(2)圆环和金属棒上消耗的总热功率． 答案 (1)4Ba v 3R ，从N 流向M 2Ba v 3 (2)8B 2a 2v 23R解析 (1)把切割磁感线的金属棒看成一个内阻为R 、电动势为E 的电源，两个半圆环看成两个并联的相同电阻，画出等效电路图如图所示．等效电源电动势为E ＝Bl v ＝2Ba v外电路的总电阻为R 外＝R 1R 2R 1＋R 2＝12R 棒上电流大小为I ＝E R 外＋R ＝2Ba v 12R ＋R ＝4Ba v 3R 电流方向从N 流向M .根据分压原理，棒两端的电压为U MN ＝R 外R 外＋RE ＝23Ba v . (2)圆环和金属棒上消耗的总热功率为P ＝IE ＝8B 2a 2v 23R. ►题组2 对电磁感应图象的考查5．如图5所示，一直角三角形金属框，向左匀速地穿过一个方向垂直于纸面向里的匀强磁场，磁场仅限于虚线边界所围的区域内，该区域的形状和大小与金属框完全相同，且金属框的下边与磁场区域的下边界在一条直线上．若取顺时针方向为电流的正方向，则金属框穿过磁场过程的感应电流i 随时间t 变化的图象是下图中的 ( )图5答案 C解析根据楞次定律，在进磁场的过程中，感应电流的方向为逆时针方向，切割的有效长度随时间线性增大，排除A、B；在出磁场的过程中，感应电流的方向为顺时针方向，切割的有效长度随时间线性减小，排除D，故选项C正确．6.如图6所示，边长为L、总电阻为R的正方形线框abcd放置在光滑水平桌面上，其bc边紧靠磁感应强度为B、宽度为2L、方向竖直向下的有界匀强磁场的边缘．现使线框以初速度v0匀加速通过磁场，下列图线中能定性反映线框从开始进入到完全离开磁场的过程中，线框中的感应电流(以逆时针方向为正方向)随时间t、位移x变化的图象是()答案AD解析因线框中产生的感应电动势随速度的增大而增大，故在线框全部进入磁场前，感应电流一直增大；线框从磁场中穿出时，感应电动势与感应电流仍在增大；完全进入磁场、全部处于磁场中、完全从磁场中通过所需的时间越来越短，结合以上特点可知，感应电流与时间的关系图象正确的是A；因为匀加速过程中，中间位置的速度大于中间时刻的速度，且线框完全进入磁场、全部处于磁场中、完全从磁场中通过所发生的位移相同，故感应电流与位移x的关系图象正确的是D.7. (2013·福建·18)如图7，矩形闭合导体线框在匀强磁场上方，由不同高度静止释放，用t1、t2分别表示线框ab边和cd边刚进入磁场的时刻．线框下落过程形状不变，ab边始终保持与磁场水平边界线OO′平行，线框平面与磁场方向垂直．设OO′下方磁场区域足够大，不计空气影响，则下列哪一个图象不可能反映线框下落过程中速度v随时间t变化的规律()答案 A解析线框在0～t1这段时间内做自由落体运动，v－t图象为过原点的倾斜直线，t2之后线框完全进入磁场区域中，无感应电流，线框不受安培力，只受重力，线框做匀加速直线运动，v－t图象为倾斜直线．t1～t2这段时间线框受到安培力和重力作用，线框的运动类型只有三种，即可能为匀速直线运动、也可能为加速度逐渐减小的加速直线运动，还可能为加速度逐渐减小的减速直线运动，而A选项中，线框做加速度逐渐增大的减速直线运动是不可能的，故不可能的v－t图象为A选项中的图象．8．如图所示，固定在水平桌面上的光滑金属导轨cd、eg处于方向竖直向下的匀强磁场中，金属杆ab与导轨接触良好．在两根导轨的端点d、e之间连接一电阻，其他部分电阻忽略不计．现用一水平向右的外力F1作用在金属杆ab上，使金属杆由静止开始向右沿导轨滑动，滑动中杆ab 始终垂直于导轨．金属杆受到的安培力用F 安表示，则关于图中F 1与F 安随时间t 变化的关系图象可能正确的是 ( )答案 B解析 设导轨间距为l ，金属杆质量为m ，速度大小为v ，加速度为a ，d 、e 间电阻的阻值为R ，取向右为正方向，根据题意，F 安＝B 2l 2v R，F 1－F 安＝ma .题图四个选项中，F 安∝t ，说明v ∝t ，a 一定，F 1－F 安的值恒定，比较四个图象，只有B 满足这一要求，所以只有B 可能．9．如图9甲所示，正三角形导线框abc 固定在磁场中，磁场方向与线圈平面垂直，磁感应强度B 随时间变化的关系如图乙所示．t ＝0时刻磁场方向垂直纸面向里，在0～4 s 时 间内，线框ab 边所受安培力F 1随时间t 变化的关系(规定水平向左为力的正方向)可能是下图中的 ( )图9答案 A解析 在0～1 s 时间内，磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度均匀减小，线框中产生恒定电动势和恒定电流，根据楞次定律，电流方向为顺时针，所以线框ab 边受力向左，根据F ＝BIl ，随着B 的减小F 均匀减小．在1 s ～2 s 时间内，磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度均匀增大，线框中产生顺时针方向的恒定电流，所以根据左手定则判断出ab 边受力向右，且F 随B 的增大而增大． 同样判断出3 s ～3.5 s 时间内，力F 方向向左，且逐渐减小；3.5 s ～4 s 时间内，力F 方向向右，且逐渐增大．所以选项A 正确．►题组3 对电磁感应中电路与图象综合问题的考查10．如图10甲所示，光滑平行金属导轨MN 、PQ 所在平面与水平面成θ角，M 、P 两端接有阻值为R 的定值电阻．阻值为r 的金属棒ab 垂直导轨放置，其他部分电阻不计．整个装置处在磁感应强度为B 的匀强磁场中，磁场方向垂直导轨平面向上．从t ＝0时刻开始棒受到一个平行于导轨向上的外力F ，由静止开始沿导轨向上运动，运动过程中棒始终与导轨垂直且接触良好，通过R 的感应电流I 随时间t 变化的图象如图乙所示．下面分别给出了穿过回路abPM 的磁通量Φ、磁通量的变化率ΔΦΔt、棒两端的电势差U ab 和通过金属棒的电荷量q 随时间变化的图象，其中正确的是 ( )答案 B 解析 由题图乙得感应电流I ＝kt ，E ＝ΔΦΔt＝I (R ＋r )＝k (R ＋r )t ，B 选项正确；ΔΦ＝k (R ＋r )t Δt ，A 选项错误；U ab ＝IR ，C 选项错误；由q ＝I Δt ＝ΔΦR ＋r知D 选项错误． 11．如图11甲是半径为a 的圆形导线框，电阻为R ，虚线是圆的一条弦，虚线左、右两侧导线框内磁场的磁感应强度随时间变化如图乙所示，设垂直线框向里的磁场方向为正， 求：(1)线框中0～t 0时间内的感应电流大小和方向；(2)线框中0～t 0时间内产生的热量．图11 答案 (1)πa 2B 0Rt 0，逆时针方向 (2)π2a 4B 20Rt 0解析 (1)设虚线左侧的面积为S 1，右侧的面积为S 2，则根据法拉第电磁感应定律得：向里的变化磁场产生的感应电动势为E 1＝S 1ΔB 1Δt感应电流方向为逆时针方向向外的变化磁场产生的感应电动势为E 2＝S 2ΔB 2Δt感应电流方向为逆时针方向从题图乙中可以得到ΔB 1Δt ＝B 0t 0，ΔB 2Δt ＝B 0t 0感应电流为I ＝E 1＋E 2R ＝πa 2B 0Rt 0方向为逆时针方向(2)根据焦耳定律可得Q ＝I 2Rt 0＝π2a 4B 20Rt 0三．自感现象(1)概念：由于导体本身的电流变化而产生的电磁感应现象称为自感，由于自感而产生的感应电动势叫做自感电动势．(2)表达式：E ＝L ΔI Δt. (3)自感系数L 的影响因素：与线圈的大小、形状、匝数以及是否有铁芯有关．1．自感现象“阻碍”作用的理解(1)流过线圈的电流增加时，线圈中产生的自感电动势与电流方向相反，阻碍电流的增加，使其缓慢地增加．(2)流过线圈的电流减小时，线圈中产生的自感电动势与电流方向相同，阻碍电流的减小，使其缓慢地减小．线圈就相当于电源，它提供的电流从原来的I L 逐渐变小．2．自感现象的四大特点(1)自感电动势总是阻碍导体中原电流的变化．(2)通过线圈中的电流不能发生突变，只能缓慢变化．(3)电流稳定时，自感线圈就相当于普通导体．(4)线圈的自感系数越大，自感现象越明显，自感电动势只是延缓了过程的进行，但它不能使过程停止，更不能使过程反向．3．断电自感中，灯泡是否闪亮问题(1)通过灯泡的自感电流大于原电流时，灯泡闪亮．(2)通过灯泡的自感电流小于等于原电流时，灯泡不会闪亮．例1如图所示的电路中，L为一个自感系数很大、直流电阻不计的线圈，D1、D2是两个完全相同的灯泡，E是一内阻不计的电源．t＝0时刻，闭合开关S，经过一段时间后，电路达到稳定，t1时刻断开开关S.I1、I2分别表示通过灯泡D1和D2的电流，规定图中箭头所示的方向为电流正方向，以下各图中能定性描述电流I随时间t变化关系的是()解析当S闭合时，L的自感作用会阻碍其中的电流变大，电流从D1流过；当L的阻碍作用变小时，L中的电流变大，D1中的电流变小至零；D2中的电流为电路总电流，电流流过D1时，电路总电阻较大，电流较小，当D1中电流为零时，电流流过L与D2，总电阻变小，电流变大至稳定；当S再断开时，D2马上熄灭，D1与L组成回路，由于L的自感作用，D1慢慢熄灭，电流反向且减小；综上所述知选项A、C正确．答案AC突破训练1如图所示电路中，L是一电阻可忽略不计的电感线圈，a、b为L的左、右两端点，A、B、C为完全相同的三个灯泡，原来电键K是闭合的，三个灯泡均在发光．某时刻将电键K断开，则下列说法正确的是()A．a点电势高于b点，A灯闪亮后缓慢熄灭B．b点电势高于a点，B、C灯闪亮后缓慢熄灭C．a点电势高于b点，B、C灯闪亮后缓慢熄灭D．b点电势高于a点，B、C灯不会闪亮只是缓慢熄灭答案 B解析电键K闭合稳定时，电感线圈支路的总电阻较B、C灯支路电阻小，故流过A 灯的电流I1大于流过B、C灯的电流I2，且电流方向由a到b，a点电势高于b点．当电键K断开，由于与电源断开，电感线圈会产生自感现象，相当于电源，b点电势高于a点，阻碍流过A灯的电流减小，瞬间流过B、C灯支路的电流比原来的大，故B、C 灯闪亮后再缓慢熄灭，故B正确．。

第二讲：电磁感应中的动力学问题、能量问题、动量问题2019年03月16日23:45:31写在前面的话在解决运动学问题时，我们有三种思路即动力学观点、能量观点、动量观点。

这三个观点在解决物理问题时，互有优势，地位相同，在同学们心中总是倾向于认为动量要“低一等”这是完全错误的。

动力学的核心公式是F=ma，主要用于解决匀变速（直线和曲线）问题、瞬时加速度问题；能量观点核心是能量守恒和功能关系，可以解决匀变速问题也可以解决变加速问题，相对于动力学观点更加简单，但一般不涉及时间，不能用于求瞬时加速度等问题，这就是能量观点解决问题的劣势；动量观点相对于动力学观点和能量观点，其优势在于可以在不涉及位移和加速度的情况下解决问题，主要用于解决不涉及位移又涉及时间的问题，相对于动力学方法，可以省去计算加速度的过程，相对于能量观点，动量观点可以解决涉及时间的问题，动量守恒与能量守恒相互独立，在有些情况下需要能量守恒和动量守恒联合运用，特别是在求解冲击力和碰撞的情形中，动量观点有无可替代的作用。

当然这些都不是绝对的（例如在给出牵引力恒定功率的条件下，运用能量观点是涉及时间的），同学们在学习过程中需要不断自我总结，慢慢体会。

一、电磁感应中的动力学问题电磁感应中，由于导体运动切割磁感线，产生电动势（E=nBlv），进而在导体中形成电流(I=nBlvR+r )，从而受到安培力(F=nBIL=nB2L2vR+r)，可以看出这里的安培力和速度成正比，可以理解为，在动生电动势中，安培力与速度密切相关。

例1、如图所示，两根足够长平行金属导轨MN、PQ固定在倾角θ=37°的绝缘斜面上，顶部接有一阻值R=3Ω的定值电阻，下端开口，轨道间距L=1m。

整个装置处于磁感应强度B=2T的匀强磁场中，磁场方向垂直斜面向上。

质量m=1kg的金属棒ab置于导轨上，ab在导轨之间的电阻r=1Ω，电路中其余电阻不计。

金属棒ab由静止释放后沿导轨运动时始终垂直于导轨，且与导轨接触良好。

课题：电磁感应中的动力学及能量问题执教者江苏省兴化中学姜晓军2015年12月25日【教学目标】1.掌握电磁感应中动力学问题的分析方法2.理解电磁感应过程中能量的转化情况3.运用能量的观点分析和解决电磁感应问题【教学重点】1.分析计算电磁感应中有安培力参与的导体的运动及平衡问题2.分析计算电磁感应中能量的转化与转移【教学难点】1.运用牛顿运动定律和运动学规律解答电磁感应问题2.运用能量的观点分析和解决电磁感应问题【教学过程】一、自主预习（一）感应电流在磁场中所受的安培力1.安培力的大小:F=BIL= = 。

2.安培力的方向判断(1)右手定则和左手定则相结合：先用确定感应电流方向,再用判断感应电流所受安培力的方向。

(2)用楞次定律判断：感应电流所受安培力的方向一定和导体垂直切割磁感线运动的方向。

（二）电磁感应的能量转化1.电磁感应现象的实质是和之间的转化。

2.感应电流在磁场中受安培力,外力克服安培力，将的能转化为，电流做功再将电能转化为。

3.电流做功产生的热量用焦耳定律计算,公式为。

二、合作探究情景创设：光滑水平放置的金属导轨间距为L，连接一电阻R，质量为m，电阻为r的金属棒ab与导轨接触良好，其余部分电阻不计。

平面内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B。

思考：有哪些办法能让导体棒ab沿着导轨向右移动？探究一水平轨道问题1：施加恒定外力F后，ab棒的速度v，加速度a如何变化？问题2：当ab棒速度为v时，求电路消耗的电功率P电，安培力的功率P安分别是多少？问题3：施加恒定外力F后，能量如何变化？能不能从能量的视角求ab棒的最大速度？探究二倾斜轨道两根足够长的直金属导轨平行放置在倾角为α的绝缘斜面上，导轨间距为L，导轨间连接一电阻R，质量为m，电阻为r的金属棒ab与导轨垂直并接触良好，其余部分电阻不计，整套装置处于磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直斜面向下。

不计它们之间的摩擦，重力加速度为g。

电磁感应中的动力学问题和能量问题一、感应电流在磁场中所受的安培力1.安培力的大小:F=BIL= ⑴.由F= 知,v 变化时,F 变化,物体所受合外力变化,物体的加速度变化,因此可用牛顿运动定律进行动态分析.⑵.在求某时刻速度时,可先根据受力情况确定该时刻的安培力,然后用上述公式进行求解.2.安培力的方向判断(1)右手定则和左手定则相结合,先用右手定则确定感应电流方向,再用 左手定则判断感应电流所受安培力的方向.(2)用楞次定律判断,感应电流所受安培力的方向一定和导体切割磁感线运动的方向垂直。

热点一 对导体的受力分析及运动分析从运动和力的关系着手,运用牛顿第二定律.基本方法是:受力分析→运动分析(确定运动过程和最终的稳定状态)→由牛顿第二定律列方程求解.运动的动态结构:这样周而复始的循环,循环结束时加速度等于零,导体达到平衡状态.在分析过程中要抓住a=0时速度v 达到最大这一关键.特别提示1.对电学对象要画好必要的等效电路图.2.对力学对象要画好必要的受力分析图和过程示意图二、电磁感应的能量转化1.电磁感应现象的实质是其他形式的能和电能之间的转化.2.感应电流在磁场中受安培力,外力克服安培力做功,将其他形式的能转化为电能,电流做功再将电能转化为内能.3.电流做功产生的热量用焦耳定律计算,公式为Q=I 2Rt热点二 电路中的能量转化分析从能量的观点着手,运用动能定理或能量守恒定律.基本方法是:受力分析→弄清哪些力做功,做正功还是负功→明确有哪些形式的能参与转化,哪些增哪些减→由动能定理或能量守恒定律列方程求解.特别提醒在利用能的转化和守恒定律解决电磁感应的问题时,要注意分析安培力做功的情况,因为安培力做的功是电能和其他形式的能之间相互转化的“桥梁”.简单表示如下: 安培力做正功 电能 其他形式能.安培力做副功 其它形式能 电能如何求解电磁感应中的力学问题，一直是高中物理教学的一个难点，也是近几年来高R L B R E BL v22=⋅R L B 22考的热点。

电磁感应中的动力学和能量问题要点一 电磁感应中的动力学问题即学即用1.如图甲所示,两根足够长的直金属导轨MN 、PQ 平行放置在倾角为θ的绝缘斜面上,两导轨间距为L .M 、P 两点间接有阻值为R 的电阻.一根质量为m 的均匀直金属杆ab 放在两导轨上,并与导轨垂直.整套装置处于磁感应强度为B 的匀强磁场中,磁场方向垂直斜面向下.导轨和金属杆的电阻可忽略.让ab 杆沿导轨由静止开始下滑,导轨和金属杆接触良好,不计它们之间的摩擦.（1）由b 向a 方向看到的装置如图乙所示,请在此图中画出ab 杆下滑过程中某时刻的受力示意图. （2）在加速下滑过程中,当ab 杆的速度大小为v 时,求此时ab 杆中的电流及其加速度的大小. （3）求在下滑过程中,ab 杆可以达到的速度最大值. 答案 （1）见右图 （2）mRL B g RBL vv 22sin -θ（3）22sin L B mgR θ要点二 电磁感应中的能量问题即学即用2.如图所示,质量为m ,边长为L 的正方形线框,在有界匀强磁场上方h 高处由静止自由下落,线 框的总电阻为R ,磁感应强度为B 的匀强磁场宽度为2L .线框下落过程中,ab 边始终与磁场边 界平行且处于水平方向.已知ab 边刚穿出磁场时线框恰好做匀速运动.求: （1）cd 边刚进入磁场时线框的速度.（2）线框穿过磁场的过程中,产生的焦耳热.答案 （1）gL L B R g m 244222- （2）mg （h +3L ）-442332L B R g m题型1 电磁感应中的能量问题【例1】如图所示,将边长为a 、质量为m 、电阻为R 的正方形导线框竖直向上抛出,穿过宽度 为b 、磁感应强度为B 的匀强磁场,磁场的方向垂直纸面向里.线框向上离开磁场时的速度刚好是进入磁场时速度的一半,线框离开磁场后继续上升一段高度,然后落下并匀速进入磁场.整个运动过程中始终存在着大小恒定的空气阻力f ,且线框不发生转动.求: （1）线框在下落阶段匀速进入磁场时的速度v 2. （2）线框在上升阶段刚离开磁场时的速度v 1. （3）线框在上升阶段通过磁场过程中产生的焦耳热Q . （4）线框在上升阶段通过磁场过程中克服安培力做的功W . 答案 （1）22a B fmg -R （2）22aB R 22)(fmg -（3）4422222)(3a B f g m mR --（mg+f ）（a+b ）（4）4422222)(3a B f g m mR --（mg+f ）（a+b ）题型2 单金属杆问题【例2】如图所示,电动机牵引一根原来静止的、长L 为1 m 、质量m 为0.1 kg 的导体 棒MN 上升,导体棒的电阻R 为1Ω,架在竖直放置的框架上,它们处于磁感应强度B 为 1 T 的匀强磁场中,磁场方向与框架平面垂直.当导体棒上升h =3.8 m 时,获得稳定的速度,导体棒上产生的热量为2 J .电动机牵引棒时,电压表、电流表的读数分别为7 V 、1 A ,电动机内阻r 为1Ω,不计框架电阻及一切摩擦.求: （1）棒能达到的稳定速度.（2）棒从静止至达到稳定速度所用的时间. 答案 （1）2 m/s（2）1 s题型3 双金属杆问题【例3】如图所示,在水平台面上铺设两条很长但电阻可忽略的平行导轨MN和PQ,导轨间宽度L=0.50 m.水平部分是粗糙的,置于匀强磁场中,磁感应强度B=0.60 T,方向竖直向上.倾斜部分是光滑的,该处没有磁场.直导线a和b可在导轨上滑动,质量均为m=0.20 kg,电阻均为R=0.15Ω.b放在水平导轨上,a置于斜导轨上高h=0.050 m处,无初速释放.设在运动过程中a、b间距离足够远,且始终与导轨MN、PQ接触并垂直,回路感应电流的磁场可忽略不计.求:（1）由导线和导轨组成回路的感应电流最大值是多少?（2）如果导线与水平导轨间的动摩擦因数μ=0.10,当导线b的速度达到最大值时,导线a的加速度多大? （3）如果导线与水平导轨间光滑,回路中产生多少焦耳热?答案（1）1 A （2）2 m/s2 （3）0.05 J题型4 图景结合【例4】光滑平行的金属导轨MN和PQ,间距L=1.0 m,与水平面之间的夹角α=30°,匀强磁场磁感应强度B=2.0 T,垂直于导轨平面向上,MP间接有阻值R=2.0Ω的电阻,其它电阻不计,质量m=2.0 kg的金属杆ab垂直导轨放置,如图甲所示.用恒力F沿导轨平面向上拉金属杆ab,由静止开始运动,v—t图象如图乙所示,g=10 m/s2,导轨足够长.求:（1）恒力F的大小.（2）金属杆速度为2.0 m/s时的加速度大小.（3）根据v-t图象估算在前0.8 s内电阻上产生的热量.答案（1）18 N （2）2 m/s2 （3）4.12 J1.如图所示,两光滑平行金属导轨间距为L ,直导线MN 垂直跨在导轨上,且与导轨接触良 好,整个装置处于垂直于纸面向里的匀强磁场中,磁感应强度为B .电容器的电容为C ,除电阻R 外,导轨和导线的电阻均不计.现给导线MN 一初速度,使导线MN 向右运动,当电路稳定后,MN 以速度v 向右做匀速运动时（ ）A .电容器两端的电压为零B .电阻两端的电压为BLvC .电容器所带电荷量为CBLvD .为保持MN 匀速运动,需对其施加的拉力大小为RL B v22 答案 C2.如图所示,边长为L 的正方形导线框质量为m ,由距磁场H 高处自由下落,其下边ab 进入匀强 磁场后,线圈开始做减速运动,直到其上边cd 刚刚穿出磁场时,速度减为ab 边刚进入磁场时 的一半,磁场的宽度也为L ,则线框穿越匀强磁场过程中发出的焦耳热为 （ ） A .2mgL B .2mgL +mgH C .2mgL +43mgHD .2mgL +41mgH 答案 C3.两个沿水平方向且磁感应强度大小均为B 的有水平边界的匀强磁场,如图所示,磁场高度均为L . 一个框面与磁场方向垂直、质量为m 、电阻为R 、边长为L 的正方形金属框abcd ,从某一高度 由静止释放,当ab 边刚进入第一个磁场时,金属框恰好做匀速直线运动,当ab 边下落到GH 和JK 之间的某位置时,又恰好开始做匀速直线运动.整个过程中空气阻力不计.求金属框从ab 边开始进入第一个磁场至刚刚到达第二个磁场下边界JK 过程中产生的热量Q . 答案 442233215L B R g m +2mgL4.如图所示,将两条倾角θ=30°,宽度L =1 m 的足够长的“U ”形平行的光滑金属导轨固 定在磁感应强度B =1 T ,范围足够大的匀强磁场中,磁场方向垂直于斜面向下.用平行于导轨的牵引力拉一质量m =0.2 kg ,电阻R =1Ω放在导轨上的金属棒ab ,使之由静止沿轨道向上运动,牵引力的功率恒为P=6 W,当金属棒移动s=2.8 m时,获得稳定速度,此过程中金属棒产生热量Q=5.8 J,不计导轨电阻及一切摩擦,取g=10 m/s2.求:（1）金属棒达到的稳定速度是多大?（2）金属棒从静止至达到稳定速度时所需的时间多长?答案（1）2 m/s （2）1.5 s1.在图中除导体棒ab可动外,其余部分均固定不动,（a）图中的电容器C原来不带电,设导体棒、导轨和直流电源的电阻均可忽略,导体棒和导轨间的摩擦也不计.图中装置均在水平面内,且都处于方向垂直水平面（即纸面）向下的匀强磁场中,导轨足够长,今给导体棒ab一个向右的初速度v0,导体棒的最终运动状态是（）A.三种情况下,导体棒ab最终都是匀速运动B.图（a）、（c）中ab棒最终将以不同的速度做匀速运动;图（b）中ab棒最终静止C.图（a）、（c）中,ab棒最终将以相同的速度做匀速运动D.三种情况下,导体棒ab最终均静止答案B2.如图所示,有两根和水平面成α角的光滑平行的金属轨道,上端有可变电阻R,下端足够长,空间有垂直于轨道平面的匀强磁场,磁感应强度为B.一质量为m的金属杆从轨道上由静止滑下,经过足够长的时间后,金属杆的速度会趋于一个最大速度v m,则（）A.如果B增大,v m将变大B.如果α增大,v m将变大C.如果R增大,v m将变大D.如果m变小,v m将变大答案BC3.如图所示,固定在水平绝缘平面上足够长的金属导轨不计电阻,但表面粗糙,导轨左端连接一个电阻R,质量为m的金属棒（电阻也不计）放在导轨上,并与导轨垂直,整个装置放在匀强磁场中,磁场方向与导轨平面垂直.用水平恒力F把ab棒从静止起向右拉动的过程中①恒力F做的功等于电路产生的电能②恒力F和摩擦力的合力做的功等于电路中产生的电能③克服安培力做的功等于电路中产生的电能④恒力F和摩擦力的合力做的功等于电路中产生的电能和棒获得的动能之和以上结论正确的有（）A.①②B.②③C.③④D.②④答案C4.如图所示,ABCD是固定的水平放置的足够长的U形导轨,整个导轨处于竖直向上的匀强磁场中,在导轨上架着一根金属棒ef,在极短时间内给棒ef一个水平向右的速度,ef棒开始运动,最后又静止在导轨上,则ef在运动过程中,就导轨是光滑和粗糙两种情况相比较（）A.整个回路产生的总热量相等B.安培力对ef棒做的功相等C.安培力对ef棒的冲量相等D.电流通过整个回路所做的功相等答案A5.（2009·济宁模拟）如图所示,粗细均匀的电阻丝绕制的矩形导线框abcd处于匀强磁场中,另一种材料的导体棒MN可与导线框保持良好接触并做无摩擦滑动.当导体棒MN在外力作用下从导线框左端开始做切割磁感线的匀速运动一直滑到右端的过程中,导线框上消耗的电功率的变化情况可能为（）A.逐渐增大B.先增大后减小C.先减小后增大D.先增大后减小,再增大再减小答案BCD6.如图所示,一闭合金属圆环用绝缘细线挂于O点,将圆环拉离平衡位置并释放,圆环摆动过程中经过一匀强磁场区域,该区域的宽度比圆环的直径大,不计空气阻力,则下述说法中正确的是（）A.圆环向右穿过磁场后,还能摆至原高度B.在进入和离开磁场时,圆环中均有感应电流C.圆环进入磁场后离平衡位置越近速度越大,感应电流也越大D.圆环最终将静止在平衡位置答案B7.如图所示,相距为d的两水平虚线L1和L2分别是水平向里的匀强磁场的上下两个边界,磁场的磁感应强度为B,正方形线框abcd边长为L（L<d）,质量为m,将线框在磁场上方高h处由静止释放.如果ab边进入磁场时的速度为v0,cd边刚穿出磁场时的速度也为v0,则从ab边刚进入磁场到cd边刚穿出磁场的整个过程中（）A.线框中一直有感应电流B.线框中有一阶段的加速度为重力加速度gC.线框中产生的热量为mg（d+h+L）D.线框有一阶段做减速运动答案BD8.如图甲所示,长直导线右侧的矩形线框abcd与直导线位于同一平面,当长直导线中的电流发生如图乙所示的变化时（图中所示电流方向为正方向）,线框中的感应电流与线框受力情况为（）A.t1到t2时间内,线框内电流的方向为abcda,线框受力向左B.t1到t2时间内,线框内电流的方向为abcda,线框受力向右C.在t2时刻,线框内无电流,线框不受力D.在t3时刻,线框内电流的方向为abcda,线框受力向右答案A9.如图所示,闭合导体线框abcd从高处自由下落,落入一个有界匀强磁场中,从bd边开始进入磁场到ac边即将进入磁场的这段时间里,在下图中表示线框运动过程中的感应电流—时间图象的可能是（）答案 CD10.如图所示,光滑的“Π”形金属导体框竖直放置,质量为m 的金属棒MN 与框架接触良好.磁 感应强度分别为B 1、B 2的有界匀强磁场方向相反,但均垂直于框架平面,分别处在abcd 和cdef区域.现从图示位置由静止释放金属棒MN ,当金属棒进入磁场B 1区域后,恰好做匀速运动.以下说法中正确的是（ ）A .若B 2=B 1,金属棒进入B 2区域后将加速下滑 B .若B 2=B 1,金属棒进入B 2区域后仍将保持匀速下滑C .若B 2<B 1,金属棒进入B 2区域后将先加速后匀速下滑D .若B 2>B 1,金属棒进入B 2区域后将先减速后匀速下滑 答案 BCD11.如图所示,由7根长度都是L 的金属杆连接成的一个“日”字型的矩形金属框abcdef , 放在纸面所在的平面内,有一个宽度也为L 的匀强磁场,磁场边界跟cd 杆平行,磁感应强度的大小是B ,方向垂直于纸面向里,金属杆af 、be 、cd 的电阻都为r ,其他各杆的电阻不计,各杆端点间接触良好.现以速度v 匀速地把金属框从磁场的左边界水平向右拉,从cd 杆刚进入磁场瞬间开始计时,求:（1）cd 杆在磁场中运动的过程中,通过af 杆的电流.（2）从开始计时到金属框全部通过磁场的过程中,金属框中电流所产生的总热量Q . 答案 （1）rBL 3v（2）rL B v 32212.在拆装某种大型电磁设备的过程中,需将设备内部处于强磁场中的线圈先闭合,然后再 提升直至离开磁场.操作时通过手摇轮轴A 和定滑轮O 来提升线圈.假设该线圈可简化为水平长为L 、上下宽度为d 的矩形线圈,其匝数为n ,总质量为M ,总电阻为R .磁场的磁感应强度大小为B ,方向垂直纸面向里,如图所示.开始时线圈的上边缘与有界磁场的上边缘平齐.若转动手摇轮轴A ,在时间t 内把线圈从图示位置匀速向上拉出磁场.不考虑摩擦影响,求此过程中 （1）流过线圈中导线横截面的电荷量. （2）人至少要做多少功.答案 （1）RBLdn （2）Mgd +Rt d L B n 222213.如图所示,足够长的光滑平行金属导轨MN 、PQ 固定在一水平面上,两导轨间距L = 0.2 m ,电阻R =0.4Ω,电容C =2 mF ,导轨上停放一质量m =0.1 kg 、电阻r =0.1 Ω的 金属杆CD ,导轨电阻可忽略不计,整个装置处于方向竖直向上、磁感应强度B =0.5 T的匀强磁场中.现用一垂直金属杆CD 的外力F 沿水平方向拉杆,使之由静止开始向右运动.求: （1）若S 闭合,力F 恒为0.5 N ,CD 运动的最大速度.（2）若S 闭合,使CD 以（1）问中的最大速度匀速运动,现使其突然停止并保持静止不动,当CD 停止下来后,通过导体棒CD 的总电荷量.（3）若S 断开,在力F 作用下,CD 由静止开始做加速度a =5 m/s 2的匀加速直线运动,请写出电压表的读数U 随时间t 变化的表达式. 答案 （1）25 m/s（2）3.2×10-3C （3）U =0.4t知识整合 演练高考题型1 感应电流的产生和方向【例1】（2008·全国Ⅰ·20）矩形导线框abcd 固定在匀强磁场中,磁感线的方向与导线框所在平面垂直,规定磁场的正方向垂直纸面向里,磁感应强度B 随时间变化的规律如图所示.若规定顺时针方向为感应电流i 的正方向,下列各 图中正确的是（）答案D题型2 自感现象问题【例2】（2008·江苏·8）如图所示的电路中,三个相同的灯泡a、b、c和电感L1、L2与直流电源连接,电感的电阻忽略不计,开关S从闭合状态突然断开时,下列判断正确的有（）A.a先变亮,然后逐渐变暗B.b先变亮,然后逐渐变暗C.c先变亮,然后逐渐变暗D.b、c都逐渐变暗答案AD题型3 电磁感应与恒定电路综合问题【例3】（2008·广东·18）如图（a）所示,水平放置的两根平行金属导轨,间距L=0.3 m,导轨左端连接R=0.6Ω的电阻.区域abcd内存在垂直于导轨平面B=0.6 T的匀强磁场,磁场区域宽D=0.2 m.细金属棒A1和A2用长为2D=0.4 m的轻质绝缘杆连接,放置在导轨平面上,并与导轨垂直,每根金属棒在导轨间的电阻均为r=0.3Ω,导轨电阻不计.使金属棒以恒定速度v=1.0 m/s沿导轨向右穿越磁场,计算从金属棒A1进入磁场（t=0）到A2离开磁场的时间内,不同时间段通过电阻R的电流强度,并在图（b）中画出.答案 0～0.2 s 内,I 1=0.12 A ;0.2 s ～0.4 s 内,I 2=0 A ;0.4 s ～0.6 s 内,I 3=0.12 A . 如下图所示题型四 电磁感应与力学结合的综合问题【例4】（2008·北京·22）均匀导线制成的单匝正方形闭合线框abcd ,每边长为L ,总电阻为 R ,总质量为m .将其置于磁感强度为B 的水平匀强磁场上方h 处,如图所示.线框由静止自 由下落,线框平面保持在竖直平面内,且cd 边始终与水平的磁场边界面平行.当cd 边刚进 入磁场时:（1）求线框中产生的感应电动势大小. （2）求cd 两点间的电势差大小.（3）若此时线框加速度恰好为零,求线框下落的高度h 所应满足的条件. 答案 （1）BL gh 2 （2）gh BL 243（3）44222L B gR m1.（2008·全国Ⅱ·21）如图所示,一个边长为l 的正方形虚线框内有垂直于纸面向里的 匀强磁场;一个边长也为l 的正方形导线框所在平面与磁场方向垂直;虚线框对角线ab 与导线框的一条边垂直,ba 的延长线平分导线框.在t =0时,使导线框从图示位置开始以恒定速度沿ab 方向移动,直到整个导线框离开磁场区域.以i 表示导线框中感应电流的强度,取逆时针方向为正.下列表示i —t 关系的图示中,可能正确的是（ ）答案C2.（2008·四川·17）在沿水平方向的匀强磁场中,有一圆形金属线圈可绕沿其直径的竖直轴自由转动.开始时线圈静止,线圈平面与磁场方向既不平行也不垂直,所成的锐角为α.在磁场开始增强后的一个极短时间内,线圈平面（）A.维持不动B.将向使α减小的方向转动C.将向使α增大的方向转动D.将转动,因不知磁场方向,不能确定α会增大还是会减小答案B3.（2008·宁夏·16）如图所示,同一平面内的三条平行导线串有两个电阻R和r,导体棒PQ与三条导线接触良好,匀强磁场的方向垂直纸面向里.导体棒的电阻可忽略.当导体棒向左滑动时,下列说法正确的是（）A.流过R的电流为由d到c,流过r的电流为由b到aB.流过R的电流为由c到d,流过r的电流为由b到aC.流过R的电流为由d到c,流过r的电流为由a到bD.流过R的电流为由c到d,流过r的电流为由a到b答案B4.（2008·山东·22）两根足够长的光滑导轨竖直放置,间距为L,底端接阻值为R的电阻.将质量为m的金属棒悬挂在一个固定的轻弹簧下端,金属棒和导轨接触良好,导轨所在平面与磁感应强度为B的匀强磁场垂直,如图所示.除电阻R外其余电阻不计.现将金属棒从弹簧原长位置由静止释放,则（）A.释放瞬间金属棒的加速度等于重力加速度gB.金属棒向下运动时,流过电阻R的电流方向为a→bC .金属棒的速度为v 时,所受的安培力大小为F =RL B v22D .电阻R 上产生的总热量等于金属棒重力势能的减少 答案 AC5.（2008·重庆·18）如图所示,粗糙水平桌面上有一质量为m 的铜质矩形线圈,当一竖 直放置的条形磁铁从线圈中线AB 正上方等高快速经过时,若线圈始终不动,则关于线圈 受到的支持力N 及在水平方向运动趋势的正确判断是（ ）A .N 先小于mg 后大于mg ,运动趋势向左B .N 先大于mg 后小于mg ,运动趋势向左C .N 先小于mg 后大于mg ,运动趋势向右D .N 先大于mg 后小于mg ,运动趋势向右答案 D6.（2008·海南·10）一航天飞机下有一细金属杆,杆指向地心.若仅考虑地磁场的影响,则当航天飞机位于赤道上空（ ）A .由东向西水平飞行时,金属杆中感应电动势的方向一定由上向下B .由西向东水平飞行时,金属杆中感应电动势的方向一定由上向下C .沿经过地磁极的那条经线由南向北水平飞行时,金属杆中感应电动势的方向一定由下向上D .沿经过地磁极的那条经线由北向南水平飞行时,金属杆中一定没有感应电动势 答案 AD7.（2008·天津·25）磁悬浮列车是一种高速低耗的新型交通工具.它的驱动系统简化为如下模型,固定在列车下端的动力绕组可视为一个矩形纯电阻金属框,电阻为R ,金属框置于xOy 平面内,长边MN 长为l 平行于y 轴,宽为d 的NP 边平行于x 轴,如图甲所示.列车轨道沿Ox 方向,轨道区域内存在垂直于金属框平面的磁场,磁感应强度B 沿Ox方向按正弦规律分布,其空间周期为λ,最大值为B 0,如图乙所示,金属框同一长边上各处的磁感应强度相同,整个磁场以速度v 0沿Ox 方向匀速平移.设在短暂时间内,MN 、PQ 边所在位置的磁感应强度随时间的变化可以忽略,并忽略一切阻力.列车在驱动系统作用下沿Ox 方向加速度行驶,某时刻速度为v （v <v 0）.（1）简要叙述列车运行中获得驱动力的原理.（2）为使列车获得最大驱动力,写出MN 、PQ 边应处于磁场中的什么位置及λ与d 之间应满足的关系式. （3）计算在满足第（2）问的条件下列车速度为v 时驱动力的大小.答案 （1）由于列车速度与磁场平移速度不同,导致穿过金属框的磁通量发生变化,由于电磁感应,金属框中会产生感应电流,该电流受到的安培力即为驱动力.（2）为使列车获得最大驱动力,MN 、PQ 应位于磁场中磁感应强度同为最大值且反向的地方,这会使得金属框所围面积的磁通量变化率最大,导致框中电流最强,也会使得金属框长边中电流受到的安培力最大.因此,d 应为2λ的奇数倍,即 d =（2k +1）1222+=k dλλ或（k ∈N ） （3）Rl B )(40220v v -8.（2008·江苏·15）如图所示,间距为l 的两条足够长的平行金属导轨与水平面的夹角为θ,导轨光滑且电阻忽略不计.场强为B 的条形匀强磁场方向与导轨平面垂直,磁场区域的宽度为d 1,间距为d 2.两根质量均为m 、有效电阻均为R 的导体棒a 和b 放在导轨上,并与导轨垂直.（设重力加速度为g ）（1）若a 进入第2个磁场区域时,b 以与a 同样的速度进入第1个磁场区域,求b 穿过第1个磁场区域中增加的动能ΔE k .（2）若a 进入第2个磁场区域时,b 恰好离开第1个磁场区域;此后a 离开第2个磁场区域时,b 又恰好进入第2个磁场区域,且a 、b 在任意一个磁场区域或无磁场区域的运动时间均相等.求a 穿过第2个磁场区域过程中,两导体棒产生的总焦耳热Q .（3）对于第（2）问所述的运动情况,求a 穿出第k 个磁场区域时的速率v . 答案 （1）mgd 1sin θ（2）mg （d 1+d 2）sin θ（3）mR d l B d l B mgRd 8sin 41221222-θ9.（2008·上海·24）如图所示,竖直平面内有一半径为r 、电阻为R 1、粗细均匀的光滑半 圆形金属环,在M 、N 处与距离为2r 、电阻不计的平行光滑金属导轨ME 、NF 相接,EF 之 间接有电阻R 2,已知R 1=12R ,R 2=4R .在MN 上方及CD 下方有水平方向的匀强磁场Ⅰ和Ⅱ, 磁感应强度大小均为B .现有质量为m 、电阻不计的导体棒ab ,从半圆环的最高点A 处由静止下落,在下落过程中导体棒始终保持水平,与半圆形金属环及轨道接触良好,设平行导轨足够长.已知导体棒下落2r时的速度大小为v 1,下落到MN 处时的速度大小为v 2. （1）求导体棒ab 从A 处下落2r时的加速度大小. （2）若导体棒ab 进入磁场Ⅱ后棒中电流大小始终不变,求磁场Ⅰ和Ⅱ之间的距离h 和R 2上的电功率P 2. （3）若将磁场Ⅱ的CD 边界略微下移,导体棒ab 进入磁场Ⅱ时的速度大小为v 3,要使其在外力F 作用下做匀加速直线运动,加速度大小为a ,求所加外力F 随时间变化的关系式. 答案 （1）g -mRr B 43122v （2）22222244221692329r B R g m gr B gR m v -（3）mg ma R r B t R a r B -++343432222v10.（2008·全国Ⅱ·24）如图所示,一直导体棒质量为m 、长为l 、电阻为r ,其两端放在位 于水平面内间距也为l 的光滑平行导轨上,并与之密接;棒左侧两导轨之间连接一可控制的负载电阻（图中未画出）;导轨置于匀强磁场中,磁场的磁感应强度大小为B ,方向垂直于导轨所在平面.开始时,给导体棒一个平行于导轨的初速度v 0.在棒的运动速度由v 0减小至v 1的过程中,通过控制负载电阻的阻值使棒中的电流强度I 保持恒定.导体棒一直在磁场中运动.若不计导轨电阻,求此过程中导体棒上感应电动势的平均值和负载电阻上消耗的平均功率. 答案r I I Bl Bl 21010)(21)(21-++v v v v 章末检测一、选择题（共8小题,每小题6分,共48分）1.如图所示,E 为电池,L 是电阻可忽略不计、自感系数足够大的线圈,D 1、D 2是两个规格相 同的灯泡,S 是控制电路的开关.对于这个电路,下列说法中正确的是（ ）A .刚闭合S 的瞬间,通过D 1、D 2的电流大小相等B .刚闭合S 的瞬间,通过D 1、D 2的电流大小不等C .闭合S 待电路达到稳定后,D 1熄灭,D 2比S 刚闭合时亮D .闭合S 待电路达到稳定后,再将S 断开的瞬间,D 1不立即熄灭,D 2立即熄灭 答案 ACD2.如图所示,将一个正方形导线框ABCD 置于一个范围足够大的匀强磁场中,磁场方向与其平 面垂直.现在AB 、CD 的中点处连接一个电容器,其上、下极板分别为a 、b ,让导线框在匀强 磁场中以某一速度水平向右匀速移动,则（ ）A .ABCD 回路中没有感应电流B .A 与D 、B 与C 间有电势差C .电容器的a 、b 两极板分别带负电和正电D .电容器的a 、b 两极板分别带正电和负电 答案 ABD3.两根水平平行光滑金属导轨上放置两根与导轨接触良好的金属杆,两金属杆质量相同,滑 动过程中与导轨保持垂直.整个装置放在竖直向下的匀强磁场中,如图所示.给金属杆A 向 右一瞬时冲量使它获得初动量p 0,在金属杆A 沿水平导轨向右运动的过程中,下列动量大 小p 随时间变化的图象正确的是。