(北京卷)2018年高考数学一题多解(含17年高考).

2018年高考理科数学全国卷3(含答案与解析) 数学试卷 第1页（共20页） 数学试卷 第2页（共20页）绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅲ)理科数学本试卷满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{10}A x x =-∣≥,{0,1,2}B =,则A B = ( )A .{0}B .{1}C .{1,2}D .{0,1,2} 2.()(1i 2i)+-=( )A .3i --B .3i -+C .3i -D .3i +3.中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( )ABC D 4.若1sin 3α=,则cos2α=( )A .89B .79C .79-D .89-5.252()x x+的展开式中4x 的系数为( )A .10B .20C .40D .806.直线2=0x y ++分别与x 轴,y 交于A ,B 两点,点P 在圆22(2)=2x y -+上,则ABP △面积的取值范围是( )A .[2,6 ]B .[4,8]C .[2,3 2 ]D [ 22,32] 7.函数422y x x =-++的图象大致为( )ABCD8.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ,各成员的支付方式相互独立.设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数, 2.4DX =,()6(4)P X P X ==＜,则p =( )A .0.7B .0.6C .0.4D .0.39.ABC △的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .若ABC △的面积为2224,则C = ( )A .π2B .π3C .π4D .π6毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共20页） 数学试卷 第4页（共20页）10.设A ,B ,C ,D 是同一个半径为4的球的球面上四点,ABC △为等边三角形且其面积为93,则三棱锥D ABC -体积的最大值为( )A .123B .183C .243D .54311.设1F ,2F 是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=＞＞的左、右焦点,O 是坐标原点.过2F 作C 的一条渐近线的垂线,垂足为P .若1||6||PF OP =,则C 的离心率为 ( )A .5B .2C .3D .2 12.设0.2log 0.3a =,2log 0.3b =,则( )A .0a b ab +＜＜B .ab a b +＜＜0C .0a b ab +＜＜D .0ab a b +＜＜第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知向量2)(1,=a ,)2(2,=-b ,),(1λ=c .若2()+∥c a b ,则=λ . 14.曲线)e (1xy ax =+在点(0,1)处的切线的斜率为2-,则a = .15函数π()cos(3)6f x x =+在[0,π]的零点个数为 .16.已知点1()1,M -和抛物线C ：²4y x =,过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ,B 两点.若90AMB ∠=,则k = .三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.) (一)必考题：共60分. 17.(12分)等比数列{}n a 中,11a =,534a a =. (1)求{}n a 的通项公式；(2)记n S 为{}n a 的前n 项和.若63m S =,求m .18.(12分)某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动,提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率,选取40名工人,将他们随机分成两组,每组20人.第一组工人用第一种生产方式,第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间(单位：min )绘制了如下茎叶图：(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高，并说明理由；(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m ,并将完成生产任务所需时间超过超过m不超过m第一种生产方式 第二种生产方式(3)根据(2)中的列联表,能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：22()(a b)(c d)(a c)(b d)n ad bc K -=++++,2()P K k ≥0.050 0.010 0.001k3.841 6.635 10.82819.(12分)-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------2018年高考理科数学全国卷3(含答案与解析)数学试卷 第5页（共20页） 数学试卷 第6页（共20页）如图,边长为2的正方形ABCD 所在的平面与半圆弧CD 所在平面垂直,M 是CD 上异于C ,D 的点.(1)证明：平面AMD ⊥平面BMC ；(2)当三棱锥M ABC -体积最大时,求面MAB 与面MCD 所成二面角的正弦值.20.(12分)已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：22143x y +=交于A ,B 两点,线段AB 的中点为(1,)()M m m ＞0.(1)证明：12k ＜-；(2)设F 为C 的右焦点,P 为C 上一点,且0FP FA FB ++=.证明：FA ,FP ,FB成等差数列,并求该数列的公差. 21.(12分)已知函数22()()ln(1)2f x a x x x x +=-++.(1)若0a =,证明：当10x -＜＜时,()0f x ＜；当0x ＞时,()0f x ＞； (2)若=0x 是()f x 的极大值点,求a .(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22.［选修4—4：坐标系与参数方程］(10分)在平面直角坐标系xOy 中,O 的参数方程为cos ,sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数),过点(0,2)且倾斜角为α的直线l 与O 交于A ,B 两点. (1)求α的取值范围；(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程.23.［选修4—5：不等式选讲］(10分) 设函数()211f x x x =++-. (1)画出() y f x =的图象；(2)当[ 0),x ∈+∞,()b x f ax +≤,求a b +的最小值.毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________数学试卷 第7页（共20页） 数学试卷 第8页（共20页）2018年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅲ)理科数学答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】C【解析】∵={1}A x x ｜≥,{0,1,2}B =,∴={1,2}A B ,故选C .2.【答案】D【解析】21i 2i)(2i 2i i 3i )(+-=-+-=+,故选D . 3.【答案】A【解析】两个木构件咬合成长方体时,小长方体(榫头)完全嵌入带卯眼的木构件,易知俯视图可以为A .故选A . 4.【答案】B 【解析】由1sin 3α=,得22127cos212sin 12()=1=399αα=-=-⨯-.故选B .5.【答案】C【解析】252()x x+的展开式的通项251103155()(2)2r r r r r r r T C x x C x ---+==,令1034r -=,得2r =,所以4x 的系数为225240C ⨯=.故选C . 6.【答案】A【解析】由圆22(2)=2x y -+可得圆心坐标(2,0),半径r =ABP △的面积记为S ,点P 到直线AB 的距离记为d ,则有12S AB d =.易知AB =maxd ==min d =所以26S ≤≤,故选A .7.【答案】D【解析】∵42()2f x x x =-++,∴3()42f x x x '=-+,令()0f x '＞,解得x ＜或x 0＜此时,()f x 递增；令()0f x '＜,解得x ＜0或x ,此时,()f x 递减.由此可得()f x 的大致图象.故选D . 8.【答案】B【解析】由题知~1()0,X B p ,则(101 2.4)DX p p =⨯⨯-=,解得0.4p =或0.6.又∵()6(4)P X P X ==＜,即446664221010(1)(1)(1)0.5C P p C P p p p p --⇒-⇒＜＜＞,∴0.6p =,故选B .9.【答案】C【解析】根据余弦定理得2222cos a b c ab C +-=,因为2224ABCa Sbc +-=△,所以c 42os ABC ab C S =△,又1sin 2ABC S ab C =△,所以tan 1C =,因为π()0,C ∈，所以4C π=.故选C .10.【答案】B【解析】设ABC △的边长为a ,则1sin60=932ABC S a a =△,解得6a =(负值舍去).ABC △的外接圆半径r 满足62sin60r=,得r =球心到平面ABC 的距离为2=.所以点D 到平面ABC 的最大距离为246+=,所以三棱锥DABC -体积的最大值为163⨯=故选B .11.【答案】C【解析】点2(,0)F c 到渐近线b y x a =的距离2(0)PF b b ==＞,而2OF c =,所以在2Rt OPF △中,由勾股定理可得OP a ,所以1PF ==.在2Rt OPF △中,222cos PF b PF O OF c∠==,在12F F P△中,2222222121221246cos 22PF F F PF b c a PF O PF F F b c+-+-∠==⋅⋅2,所以222222463464b b c a b c a c bc +-=⇒=-,则有22223()46c a c a -=-值舍去),即e =.故选C .2018年高考理科数学全国卷3(含答案与解析)数学试卷 第9页（共20页） 数学试卷 第10页（共20页）12.【答案】B【解析】解法一：∵0.20.2log 0.3log 1=0a =＞,22log 0.3log 1=0b =＜,∴0ab ＜,排除C . ∵0.20.20log 0.3log 0.2=1＜＜,22log 0.3log 0.5=1-＜,即01a ＜＜,1b ＜-,∴0a b +＜,排除D .∵220.2log 0.3lg0.2log 0.2log 0.3lg 2b a ===,∴2223log 0.3log 0.2log 12b b a -=-=＜,∴1bb ab a b a+⇒+＜＜,排除A .故选B . 解法二：易知01a ＜＜,1b -＜,∴0ab ＜,0a b +＜, ∵0.30.30.311log 0.2log 2log 0.41a b +=+=＜, 即1a bab+＜,∴a b ab +＞, ∴0ab a b +＜＜.故选B .第Ⅱ卷二、填空题13.【答案】12【解析】由已知得2(4,2)+=a b .又,()1c λ=,2()+∥c a b ,所以42=0λ-,解得12λ=. 14.【答案】3-【解析】设(e ))1(x f x ax =+,则()()1e x f x ax a '=++,所以曲线在点(0,1)处的切线的斜率(0)12k f a '==+=-,解得3a =-. 15.【答案】3【解析】令()0f x =,得πcos(3)6x +,解得ππ+()39k x k =∈Z .当0k =时,π9x =；当1k =时,4π9x =；当2k =时,7π9x =,又[ 0,π]x ∈,所以满足要求的零点有3个.16.【答案】2【解析】解法一：由题意可知C 的焦点坐标为(1,0),所以过焦点(1,0),斜率为k 的直线方程为1y x k =+,设111,y A y k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,221,y B y k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,将直线方程与抛物线方程联立得21,4,y x k y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩整理得2440y y k --=,从而得124y y k +=,124y y =-.∵1()1,M -,90AMB ∠=,∴0MA MB =,即1212(2)(2)(1)(1)0y yy y k k+++--=,即2440k k -+=,解得2k =.解法二：设11A(,)x y ，22(),B x y ,则2112224,4,y x y x ⎧=⎨=⎩①②②-①得2221214()y y x x -=-,从而2121124y y x x k y y --+==.设AB 的中点为M '，连接MM '.∵直线AB 过抛物线24y x =的焦点，∴以线段AB 为直径的M '⊙与准线:1l x =-相切.∵1()1,M -,90AMB ∠=,∴点M 在准线:1l x =-上,同时在M '⊙上,∴准线l 是M '⊙的切线,切点M ,且MM l '⊥,即MM '与x 轴平行,∴点M '的纵坐标为1,即1212221y y y y =⇒++=,故124422y y k =+==. 故答案为：2. 三、解答题17.【答案】(1)解：设{}n a 的公比为q ,由题设得1n n a q -=.由已知得424q q =,解得0q =(舍去)或2q =-或2q =. 故1(2)n n a -=-或12n n a -=. (2)若1(2)n n a -=-,则1(2)3nn S --=.数学试卷 第11页（共20页） 数学试卷 第12页（共20页）由63m S =得(2)188m -=-.此方程没有正整数解.若12n n a -=,则21n n S =-.由63m S =得264m =,解得6m =. 综上,6m =.【解析】(1)解：设{}n a 的公比为q ,由题设得1n n a q-=.由已知得424q q =,解得0q =(舍去)或2q =-或2q =. 故1(2)n n a -=-或12n n a -=.(2)若1(2)n n a -=-,则1(2)3n n S --=.由63m S =得(2)188m -=-。

2018年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数 学（理）本试卷共150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{|||2}A x x =<，{2,0,1,2}B =-，则AB =（）A ．{0,1}B ．{1,0,1}-C ．{2,0,1,2}-D ．{1,0,1,2}-【答案】A ，交集，绝对值不等式 2．在复平面内，复数11i-的共轭复数对应的点位于（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D ，复数计算、几何意义3．执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（）A ．12 B ．56C ．76D ．712【答案】B ，程序框图-循环结构4．“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于f ，则第八个单音的频率为（）ABC．D．【答案】D ，数学文化，等比通项5．某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C ，三视图→直观图，三垂线定理6．设,a b 均为单位向量，则“|3||3|a b a b -=+”是“a b ⊥”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C ，向量的数量积，向量的线性运算|3||3|a b a b -=+22(3)(3)a b a b ⇔-=+66a b a b ⇔-⋅=⋅0a b ⇔⋅=a b ⇔⊥7．在平面直角坐标系中，记d 为点(cos ,sin )P θθ到直线20x my --=的距离，当,m θ变化时，d 的最大值为（） A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C ，直线与圆，点到直线距离俯视图直线20x my --=绕A 旋转，不包含与x 重合位置．max max ||1d OH =+3=，当直线垂直于x 轴，即0m =时，取得最大值． 8．设集合{(,)|1,4,2}A x y x y ax y x ay =-≥+>-≤则（）A ．对任意实数a ，(2,1)A ∈B ．对任意实数a ，(2,1)A ∉C ．当且仅当0a <时，(2,1)A ∉D ．当且仅当32a ≤时，(2,1)A ∉ 【答案】D ，线性规划-可行域，逻辑或，直线过定点 法一：若(2,1)A ∉，则214a +≤或22a ->，解得32a ≤或0a <，∴32a ≤ 法二：画直线也可得出结论，图象有些复杂第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分．9．设{}n a 是等差数列，且13a =，2536a a +=，则{}n a 的通项公式为__________．【答案】63n a n =-，等差通项10．在极坐标系中，直线c o s s i n (0a a ρθρθ+=>与圆2c o s ρθ=相切，则a =__________．【答案】1直线0x y a +-=，与圆22(1)1x y -+=相切，求得1a =111．设函数π()cos()(0)6f x x ωω=->，若π()()4f x f ≤对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为__________． 【答案】23，三角函数的最值 已知条件等价于()f x 在4x π=时取得最大值，∴2,46k k ππωπ-=∈Z ，解得28,3k k ω=+∈Z ，∴ω的最小值为2312．若,x y 满足12x y x +≤≤，则2y x -的最小值是__________．【答案】3，简单线性规划13．能说明“若()(0)f x f >对任意的(0,2]x ∈都成立，则()f x 在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是__________．【答案】sin y x =，22y x x =-+等均可，函数的单调性14．已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>，双曲线22221x y N m n-=：．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为__________；双曲线N 的离心率为__________．1；2．椭圆、双曲线性质三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）在△ABC 中，7a =，8b =，1cos 7B =-． （Ⅰ）求∠A ； （Ⅱ）求AC 边上的高．【解】同角三角函数关系，正弦定理，两角和差的三角函数（Ⅰ）在△ABC 中，∵1cos 7B =-，∴(,)2B ππ∈，∴sin 7B ==．由正弦定理sin sin a b A B =，得7sin A =，∴sin A =． ∵(,)2B ππ∈，∴(0,)2A π∈，∴∠3A π=； （Ⅱ）在△ABC 中，∵sin sin()sin cos sin cos C A B A B B A =+=+11()72=-+=．如图所示，在△ABC 中，∵sin h C BC =，∴sin h BC C =⋅7==，∴AC边上的高为2．16．（本小题满分14分）如图，在三棱柱111A B C A B C-中，1CC ⊥平面ABC ，,,,D E F G 分别为1111,,,A A A C A C B B的中点，AB BC ==12AC AA ==． （Ⅰ）求证：AC ⊥平面BEF ； （Ⅱ）求二面角1B CD C --的余弦值； （Ⅲ）证明：直线FG 与平面BCD 相交．【解】线面垂直性质、判定，（Ⅰ）在三棱柱111ABC A B C -中， ∵1CC ⊥平面ABC ，∴四边形11A ACC 为矩形．又,E F 分别为11,AC AC 的中点，∴AC EF ⊥．∵AB BC =，∴AC BE ⊥， ∴AC ⊥平面BEF ．（Ⅱ）方法一：【空间向量】由（Ⅰ）知AC EF ⊥，AC BE ⊥，1//EF CC ． 又1CC ⊥平面ABC ，∴EF ⊥平面ABC ．∵BE ⊂平面ABC ，∴EF BE ⊥． 如图建立空间直角坐称系E xyz -．ACD1C 1B 1A EFG由题意得(0,2,0)B ，(1,0,0)C -，(1,0,1)D ，(0,0,2)F ，(0,2,1)G ． ∴(2,0,1)CD =，(1,2,0)CB =， 设平面BCD 的法向量为(,,)n a b c =，∴00n CD n CB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，∴{2020a c a b +=+=， 令2a =，则1b =-，4c =-，∴平面BCD 的法向量(2,1,4)n =--， 又∵平面1CDC 的法向量为(0,2,0)EB =，∴cos 21||||n EB n EB n EB ⋅<⋅>==-．由图可得二面角1B CD C --为钝角，所以二面角B -CD -C 1的余弦值为． 方法二：二面角-三垂线定理，∵BE ⊥平面1CDC ，过E 作EN CD ⊥于N ，连结BN ，则BNE ∠的补角为二面角1B CD C--的平面角，易求5EN =，∴tan BNE ∠=1B CD C --的余弦值为．（Ⅲ）平面BCD 的法向量为(2,1,4)n =--，∵(0,2,1)G ，(0,0,2)F ， ∴(0,2,1)GF =-，∴2n GF ⋅=-，∴n 与GF uuu r不垂直，∴GF 与平面BCD 不平行且不在平面BCD 内，∴GF 与平面BCD 相交． 17．（本小题满分12分）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值． 假设所有电影是否获得好评相互独立．（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；（Ⅱ）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；（Ⅲ）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“1k ξ=”表示第k 类电影得到人们喜欢，“0k ξ=”表示第k 类电影没有得到人们喜欢（1,2,3,4,5,6k =）．写出方差123456,,,,,D D D D D D ξξξξξξ的大小关系．【解】古典概型，互斥事件有一个发生的概率，相互独立事件同时发生的概率，对立事件，两点分布的方差，两个正数的和为定值差越小积越大（直接用？）．（Ⅰ）由题意知，样本中电影的总部数是140503002008005102000+++++=， 第四类电影中获得好评的电影部数是2000.2550⨯=． 故所求概率为500.0252000=． （Ⅱ）设事件A 为“从第四类电影中随机选出的电影获得好评”， 事件B 为“从第五类电影中随机选出的电影获得好评”． 故所求概率为：()P AB AB +()()P AB P AB =+()[1()][1()]()P A P B P A P B =-+-．由题意知：()P A 估计为0.25，()P B 估计为0.2． 故所求概率估计为0.250.80.750.20.35⨯+⨯=．（Ⅲ）142536D D D D D D ξξξξξξ>>=>>>4D ξ>2D ξ=5D ξ>3D ξ>6D ξ． 18．（本小题满分13分）设函数2()[(41)43]xf x ax a x a e =-+++．（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行，求a ； （Ⅱ）若()f x 在2x =处取得极小值，求a 的取值范围． 【解】导数的几何意义，导数判定单调区间求极值 （Ⅰ）因为2()[(41)43]xf x ax a x a e =-+++， 所以2'(x xf x ax a e ax a x a e =-++-+++2[xa=()x ∈R ，∴'(1)(1)f a e =-．由题设知'(1)0f =，即(1)0a e -=，解得1a =．此时(1)30f e =≠．所以a 的值为1．（Ⅱ）由（Ⅰ）得2'()[(21)2]x f x ax a x e =-++(1)(2)x ax x e =--． 若12a >，则当1(,2)x a∈时，'()0f x <；当(2,)x ∈+∞时，'()0f x >． 所以()f x 在2x =处取得极小值． 若12a ≤，则当(0,2)x ∈时，20x -<，11102ax x -<-<， 所以'()0f x >．所以2不是()f x 的极小值点． 综上可知，a 的取值范围是1(,)2+∞． 19．（本小题满分14分）已知抛物线2:2C y px =经过点(1,2)P ．过点(0,1)Q 的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点,A B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ． （Ⅰ）求直线l 的斜率的取值范围；（Ⅱ）设O 为原点，QM QO λ=，QN QO μ=，求证：11λμ+为定值．【解】待定系数法，直线与抛物线相交，丢解是易错点，韦达定理，斜率公式，计算量 （Ⅰ）因为抛物线2:2C y px =经过点(1,2)P ，所以42p =，解得2p =， 所以抛物线的方程为24y x =．由题意可知直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为1y kx =+(0)k ≠．由{241y x y kx ==+得22(24)10k x k x +-+=． 依题意22(24)410k k ∆=--⨯⨯>，解得0k <或01k <<．又,PA PB 与y 轴相交，故直线l 不过点(1,2)-．从而3k ≠-． 所以直线l 斜率的取值范围是(,3)(3,0)(0,)-∞--+∞．（Ⅱ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ．由（Ⅰ）知12224k x x k -+=-，1221x x k =．直线PA 的方程为1122(1)1y y x x --=--． 令0x =，得点M 的纵坐标为1111212211M y kx y x x -+-+=+=+--． 【求点坐标可利用斜率公式】 同理得点N 的纵坐标为22121N kx y x -+=+-．由QM QO λ=，QN QO μ=得1M y λ=-，1N y μ=-． 所以11λμ+1111M Ny y =+--121211(1)(1)x x k x k x --=+--1122()11x x x x k x x -+=⋅-222224111k k k k k -+=⋅-2=． 所以11λμ+为定值．20．（本小题满分14分）设n 为正整数，集合12{|(,,,),{0,1},1,2,,}n n A t t t t k n αα==∈=．对于集合A 中的任意元素12(,,,)n x x x α=和12(,,,)n y y y β=，记111122221(,)[(||)(||)(2nn nnM x y xy x y x yx y αβ=+--++--+++--． （Ⅰ）当3n =时，若(1,1,0)α=，(0,1,1)β=，求(,)M αα和(,)M αβ的值； （Ⅱ）当4n =时，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意元素,αβ，当,αβ相同时，(,)M αβ是奇数；当,αβ不同时，(,)M αβ是偶数．求集合B 中元素个数的最大值；（Ⅲ）给定不小于2的n ，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意两个不同的元素,αβ，(,)0M αβ=．写出一个集合B ，使其元素个数最多，并说明理由．【解】集合，在计算中发现规律，（Ⅰ）因为(1,1,0)α=，(0,1,1)β=，所以1(,)[(11|11|)(11|11|)(00|00|)]22M αα=+--++--++--=，1(,)[(10|10|)(11|11|)(01|01|)]12M αβ=+--++--++--=．（Ⅱ）设1234(,,,)x x x x α=B ∈，则1234(,)M x x x x αα=+++． 由题意知1234{0,1}x x x x +++∈，且(,)M αα为奇数， 所以1234,,,x x x x 中1的个数为1或3． 所以{B ⊆((((((((．将上述集合中的元素分成如下四组：(1,0,0,0),(1,1,1,0)；(0,1,0,0),(1,1,0,1)；(0,0,1,0),(1,0,1,1)；(0,0,0,1),(0,1,1,1)．经验证，对于每组中两个元素,αβ，均有(,)1M αβ=．所以每组中的两个元素不可能同时是集合B 的元素（枚举没全，依据？）． 所以集合B 中元素的个数不超过4．又集合{(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1),(0,1,1,1)}满足条件， 所以集合B 中元素个数的最大值为4； （Ⅲ）设1211{(,,k nnS x xx =∈=）），11212{(,,,)|0}n n n S x x x x x x +=====，则111n A S S S +=．对于(1,2,,1)k S k n =-中的不同元素,αβ，经验证，(,)1M αβ≥． 所以(1,2,,1)k S k n =-中的两个元素不可能同时是集合B 的元素．所以B 中元素的个数不超过1n +． 取12(,,,k n k e x x x S =∈）且10(1,2,,1)k n x x k n +====-．令1211(,)n nn B e e e S S -+=,,，则集合B 的元素个数为1n +，且满足条件．故B是一个满足条件且元素个数最多的集合．11。

（浙江卷） 2018 年高考数学一题多解（含 17 年高考试题）15．已知向量 a ， b 知足 a 1, b 2, 则 aba b 的最小值是 ________，最大值是 _______．【答案】 4， 2 5 【分析】令 y 5 4cos5 4cos ，则 y 2 10 2 25 16cos 216,20 ，据此可得：a ba b20 2 5, ab a b16 4，maxmin即 a b a b 的最小值是 4，最大值是 2 5 ．方法二：（向量法）D 如图 OA a ，OBb ，a b OC ，a b BA设b 2m, a b2n.a222(m 2n 2 )在ABC中，OAOBm 2 n 2 52由 mn m 2 n 25222所以 m n5又在OBD 中，mn OB2所以a b a b4方法三：不等式法a ba b(a b) 2（ 222）a bab522a ba b 2522（ ab2a b a ba b ） 2a 2b2 8 2 ( a b ）(a b)10222 a b=164 a b a b 2 5【考点】平面向量模长运算【解题思路】此题经过设向量a, b 的夹角为 ，联合模长公式，可得a b a b 5 4cos 5 4cos ，再利用三角函数的有界性求出最大、最小值，属中档题，对学生的转变能力和最值办理能力有必定的要求． 17．已知 a R ，函数 f (x)| x4 a 在区间 [1 ， 4] 上的最大值是 5，则 a 的取值范围是 ___________．a |x【答案】 (,9]2【分析】4 4 ，此时命题建立；②当 a 4 时， f x xa a x5xx③当 4 a 5 时， f xmax 4 a a, 5 a a ，则：max4 a a5 a a4 a a 5 a a9或 a 94 a a5或a a 5 ，解得： a52 2综上可得，实数 a 的取值范围是, 9 ．2当 x 1,4 时，右侧 x4 5 恰巧建立。

2018 年一般高等学校招生全国一致考试( Ⅰ卷 )文科数学注意事项：1．答卷前，考生务势必自己的九名、考生号等填写在答题卡和试卷指定地点上．2．回答选择题时，选出每题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需变动，用橡皮擦洁净后，再选涂其余答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题（此题共 12 小题，每题 5 分，共60 分．在每题给出的四个选项中，只有一项是切合题目要求的．）1．已知会合 A 0，2 ，B 2 ， 1，0 ，1，2 ，则AIB （）A． 0，2 B． 1，2 C． 0 D． 2， 1，0 ，1，21 i，则 z （）2．设z 2i1 iA．0 B．1C． 1 D． 2 23．某地域经过一年的新乡村建设，乡村的经济收入增添了一倍．实现翻番．为更好地认识该地域乡村的经济收入变化状况，统计了该地域新乡村建设前后乡村的经济收入组成比率．获得以下饼图：则下边结论中不正确的选项是（）A．新乡村建设后，栽种收入减少B．新乡村建设后，其余收入增添了一倍以上C．新乡村建设后，养殖收入增添了一倍D．新乡村建设后，养殖收入与第三家产收入的总和超出了经济收入的一半4．记 S n为等差数列a n的前n项和．若 3S3 S2 S4， a1 2 ，则 a3 （）A．12 B．10 C．10 D． 125．设函数 f x x 3a 1 x 2ax ．若 f x 为奇函数， 则曲线 yf x 在点 0 ，0 处的切线方程为（）A ． y2xB ． y xC ． y 2xD ． y x6．在 △ ABC 中， AD 为 BC 边上的中线，uuurE 为 AD 的中点，则 EB （）A ． 3 uuur1 uuurB ． 1 uuur 3 uuur4 AB4 AC 4 AB AC4 C ． 3 uuur 1 uuur D ． 1 uuur 3 uuur 4 AB4 AC4 AB AC47．某圆柱的高为 2，底面周长为 16，其三视图以下图，圆柱表面上的点 M 在正视图上的对应点为 A ，圆柱表面上的点 N 在左视图上的对应点为 B ，则在此圆柱 侧面上，从 M 到 N的路径中，最短路径的长度为（ ）A ．2 17B ．2 5C ．3D ．28．设抛物线 C ：y24 x 的焦点为 F ，过点2 ，0 且斜率为2的直线与 C 交于 M ， N 两点，3uuuur uuur （）则FM FNA ．5B ． 6C ．7D ． 89．已知函数 f xx， ≤0 ， f xf x x a （），若 g x 存在 2 个零点， 则 a 的exln x ，x 0取值范围是A ． 1，0B ． ，C ． 1，D ． 1，10．下列图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆组成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边 BC ，直角边 AB ， AC ， △ ABC 的三边所围成的地区记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ，在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p 1 ， p 2 ， p 3 ，则（ ）A ． p 1 p 2B ． p 1 p 3C ． p 2 p 3D ． p 1 p 2p 3211．已知双曲线 C ：xy 2 1 ， O 为坐标原点， F 为 C 的右焦点，过 F 的直线与 C 的两条渐 3近线的交点分别为 M ， N ．若 △ OMN 为直角三角形，则 MN （） A ．3B ． 3C ．2 3D ． 4212．设函数 f x2 x， ≤ 0，则知足 f x 1f 2x 的 x 的取值范围是（）x 01，yA ．，1B ． 0，C ． 1，0D ． ，0二、填空题（此题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分）13．已知函数 f xlog 2 x 2 a ，若 f 31 ，则 a________．x 2 y 2 ≤ 014．若 x ，y 知足拘束条件x ≥ 0 ，则 z3x 2 y 的最大值为 ________．y 1y ≤ 015．直线 y x 1 与圆 x 2y 2 2 y 3 0 交于 A ，B 两点，则 AB________ ．16． △ ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，已知 b sinC csin B4asin Bsin C ，b 2c 2 a 2 8 ，则 △ ABC 的面积为 ________．三、解答题（共70 分。