2019-2020年高考数学一题多解含17年高考试题(III)

2019-2020年高考数学一题多解含17年高考试题(III)

1、【2017年高考数学全国I 理第5题】函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是

A ．[2,2]-

B ．[1,1]-

C ．[0,4]

D ．[1,3]

【答案】D

【知识点】函数的奇偶性；单调性；抽象函数；解不等式。

【试题分析】本题主要考察了抽象函数的奇偶性，单调性以及简单的解不等式，属于简单题。

【解析】

解析二：（特殊函数法）由题意，不妨设()f x x =-，因为21()1x f --≤≤，所以121x -≤-≤，化简得13x ≤≤，故选D 。

解析三：（特殊值法）假设可取=0x ，则有21()1f --≤≤，又因为1(12)()f f ->=-，所以与21()1f --≤≤矛盾，故=0x 不是不等式的解，于是排除A 、B 、C ，故选D 。

2、【2017年高考数学全国I 理第11题】设xyz 为正数，且235x y z ==，则

A ．235x y z <<

B ．523z x y <<

C ．352y z x <<

D ．325y x z <<

【答案】D

【知识点】比较大小；对数的运算；对数函数的单调性；

【试题分析】本题主要考察了对数的比较大小，其中运用到了对数的运算公式，对数的单调性等。属于中档题。

【解析】

解析一：令()2350x y z t t ===>，则2log x t =，3log y t =，5log z t =， 2lg 22log 1lg 22t x t ==，3lg 33log 1lg33t y t ==，5lg 5log 1lg55

t z t ==， 要比较2x 与3y ，只需比较1lg 22，1lg 33，即比较3lg 2与2lg3，即比较lg 8，lg 9，易知lg8lg9<，故23x y >.

要比较2x 与5z ，只需比较

1lg 22，1lg 55

，即比较5lg 2与2lg 5，即比较lg32，lg 25，易知lg 25lg32<，故52z x >.

所以325y x z <<. 解析二：令()2350x y z t t ===>，则2log x t =，3log y t =，5log z t =，

2lg 22log 1lg 22t x t ==，3lg 33log 1lg33t y t ==，5lg 5log 1lg55

t z t ==， ()()1111lg 2lg33lg 22lg3lg8lg902366-=-=-<，所以11lg 2lg 323

<即23x y >. ()()1111lg5lg 22lg55lg 2lg32lg 250521010-=-=->，所以11lg 5lg 252

<即52z x >. 所以325y x z <<

.

3、【2017年高考数学全国I 理第18题】如图，在四棱锥P-ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠=

.

（1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；

（2）若PA =PD =AB =DC ，90APD ∠=，求二面角A -PB -C 的余弦值.

【答案】见解析

【知识点】线面垂直的判定；面面垂直的判定；求二面角。

【试题分析】本题第一问主要考察了面面垂直的判定，其中还需要用到线面垂直的判定第。第二问是考察二面角的求法，属于中档题。

【解析】

（1）由已知90BAP CDP ∠=∠=︒，得AB ⊥AP ，CD ⊥PD .

由于AB ∥CD ，故AB ⊥PD ，从而AB ⊥平面PAD .

又AB ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PAD .

（2）方法一：（综合法）不妨设PA =PD =AB =DC =1，

则易得PB PB BC ===取PB 中点O ，连接,AO CO ，则,AO PB CO PB ⊥⊥，

所以AOC ∠即为所求二面角的平面角。在三角形AOC 中，

=2AO

，=2

CO

，AC =

222cos 2AO CO AC AOC AO CO +-∴∠==⋅所以二面角A PB C --

的余弦值为

由（1

）及已知可得2A

，(0,0,2P

，2B

，(,1,0)2

C -.

所以(22PC =--，(2,0,0)CB =，2()22

PA =-，(0,1,0)AB =. 设(,,)x y z =n 是平面PCB 的法向量，则

A C

00PC CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n

，即0220

x y z ⎧

-+-=⎪⎨=，

可取(0,1,=-n .

设(,,)x y z =m 是平面PAB 的法向量，则 00PA AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m

，即0

x z y =⎪=⎩，

可取(1,0,1)=n .

则cos ,||||⋅==<>n m

n m n m ，

所以二面角A PB C --

的余弦值为方法三：（等体积转化法）不妨设PA =PD =AB =DC =1，

则易得PB PB BC ===取PB 中点O ，连接AO ，则AO PB ⊥。 设A 在平面PBC 内投影为H ，连,AH OH , 则AOH ∠的补角即为所求二面角的平面角。 由A PBC P ABC V V --=得

1133AH =

AH ∴=

sin 3

AOH ∴∠=

cos 3AOH ∴∠=

A C