高中数学真题与经典题一题多解解法与解析

32OA OB =+第一种解题思路：把直线的方程联立椭圆3OB +，(,222M x +y)在椭圆:4C3,=(，由待定系数法求得2λ，23OB +第三步：把32OM OA OB =+椭圆上这个条件，但是只提供这就是原题的构造过程.，过(4,)5A 且斜率为k 的直线交椭圆(4)5y k x -=-与:25C +由2⎨⎪(12)k x+.又26424(1k∆=-2211,x y ⎧+=⎪3cos ||||41a a b k α==+134≤如图，设直线l 与圆222C x y R +=∶(12R <<)相切于A ，与椭圆2214x E y +=∶相切于点B ，当R 为何值时，||AB 取得最大值？并求最大值．初等解法：设直线l 的方程为y kx m =+，因为直线l 与圆C ：222x y R +=(12R <<)相切于A ， 所以 2||1m R k =+， 即222(1)m R k =+ ①，因为l 与椭圆2214x E y +=∶相切于点B ，由2214y kx m x y ++==⎧⎪⎨⎪⎩得224()4x kx m ++=， 即222(14)8440k x kmx m +++-=有两个相等的实数解， 则2222226416(14)(1)16(41)0k m k m k m =-+-=-+=⊿， 即22410k m -+=， ②由①、②可得2222223414R m R R k R ⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩， 设11(,)B x y ，由求根公式得1228442(14)km km kx k m m=-=-=-+， ∴2211441()k k m y kx m k m m m m -+=+=-+==， ∴222221211614||5k OB m R x y +===-+=， ∴在直角三角形OAB 中，222222244||||||55()AB OB OA R R R R=-=--=-+， 因为2244R R+≥，当且仅当2(1,2)R =∈时取等号，所以2||541AB -=≤， 即当2(1,2)R =∈时，||AB 取得最大值，最大值为1．高等解法：上述解法用的是初等数学的解题方法，即解决二次曲线问题常利用的判别式及根与系数的关系(韦达定理)，包括求根公式；特别地，对于直线与圆的相切，可利用直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径．-++ m x x1)()⊥．∴MA MB又 21x x +=)11(41+-λk )11(42+-λk =k 4-(2121λλλλ++2)， ，1λ+2λ=38-， (1) 21x x =216k )11(1+λ)11(2+λ=216k (211λλ+2121λλλλ++1) ，1λ+2λ=38-， (2) 由(1)得: 1λ2λ=)3(492--k ，由(2)得: 1λ2λ=)3(80)16(922-+-k k . ∴ )3(492--k =)3(80)16(922-+-k k ，解得：2k =4.验知⊿>0， ∴k =±2， ∴所求Q 点的坐标是(±2，0).如果考虑结论中涉及到的1λ+2λ怎样用k 表示，刚才提供的解法二可以演变为下面的解法三：1λ+2λ=441+-kx +442+-kx =-4(411+kx +412+kx )=-4×)4)(4(8)(2121++++kx kx x x k =-4×16)(48)(2121221+++++x x k x x k x x k ，然后把21x x +=238k k -，21x x =3192-k 代入上式化简得: 1λ+2λ=483962-k =38-，解得：2k =4.验知⊿>0， ∴k =±2， ∴所求Q 点的坐标是(±2，0).第7题 2012年江苏卷解析几何题的轨迹解法2012年江苏卷解析几何题的最后一问，命题组提供的答案充分利用了几何意义.之后，不少杂志上又给出了许多解法，但是这些解法都是利用几何意义找出12,PF PF 与12,AF BF 的关系.本文换一个视角，利用比较纯粹的代数法先求出P 点的轨迹方程，再判断P 点的轨迹为椭圆，然后直接求出12PF PF +是定值． 一、题目：由点B 在椭圆上知，1222BF BF +=，所以11212=(22)AF PF BF AF BF -+．同理，22112=(22)BF PF AF AF BF -+．所以12121221212122+=(22)(22)22AF BF AF BF PF PF BF AF AF BF AF BF AF BF -+-=-+++由①②得，212222(1)=2m AF BF m +++，21221=2m AF BF m ++，所以1223+=22=222PF PF -． 所以12PF PF +是定值．三、轨迹解法：（1）椭圆的方程为2212x y +=．（2）（ii ）如右图，设1AF 的延长线交椭圆于1B ， 设(,)P x y ，11()A x y ，，122()B x y ，，由对称性，22()B x y -，-，其中1200y y ><，，由（1）得1(10)F -，，2(10)F ，. 设1AF 的方程分别为1x my =-，由22221(2)21=021x y m y my x my ⎧+=⎪⇒+--⎨⎪=-⎩， 显然0>，12222m y y m +=+，12212y y m =-+， 因为2,,P F A 共线，且所在直线有斜率，所以1111y yx x =-- ①， 因为1,,P F B 共线，且所在直线有斜率，所以2211y yx x =+- ②，12111x x x =+--，122212122)2()y y m y y m y y =--+9)3(2222=+-++y x y x ，即0322=-+x y x )335(≤≤x所以，点M 的轨迹方程为0322=-+x y x )335(≤≤x ．第10题 一道1985年高考解析几何题的两个优美解已知椭圆，直线，是上一点，射线交椭圆于点，又点在上，且满足，当点在上移动时，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.优美解1(极坐标法)如图，依题意设三点的极坐标分别为.因点在椭圆上， 故有，所以①.又点在直线上，所以有，即②.又由得③ .由①②③得，即，所以，化为直角坐标方程得.又点不能是坐标原点，所以不同时为零，故点的轨迹方程是()，即，其轨迹是中心为焦点在直线上的椭圆(坐标原点除外).优美解2(向量方法)依题意设，设，则，因点在直线上，故有即①.又点在椭圆上，所以有即②. 又由得即③.由①②③得，即，下同法1略.问题是数学的心脏，问题解决是数学的核心和目标，简单优美是数学的更高追求，根据问题特点灵活选择恰当的方法使问题得以轻松解决，可从中可体验创造美、发现美、欣赏美的愉悦和成功.第11题 抛物线对称轴上五个重要点在抛物线22(0)y px p =>的对称轴上有五个重要的点，即(0,0)O ，(,0)2pK -，(,0)2p F ，(,0)M p ，(2,0)N p ，与这五点相关的高考试题非常多，本文对这五个点做一个简单的总结，其中前三个点的研究既用了代数法，又用了几何法，后两个点的研究只用了代数法，希望这个研究方法能对同学们有所启发，在遇到由此改编的试题的时候能够选用恰当的方法．为了减少作图和便于比较，我们把涉及五点的结论所需的图形全部放在一个整体的图形中，这个图我们把它叫做五点图，如右图所示：1、原点(0,0)O 处的三点共线：过(,0)2pF 任作直线交抛物线22(0)y px p =>于A B 、，过A B 、分别作准线2px =-的垂线，垂足为11A B 、，O 为坐标原点，则1A O B 、、三点共线，1A O B 、、三点共线． 证法一 几何法连结1AB 交x 轴于1O 点，由已知11AA FK BB ∥∥， 由抛物线定义11,,AA AF BB BF ==于是11111111O F BB B K O K O KBF FA BA BA B A AA FA=====，( 2FBB-∠180，∴F B F⊥解：（1）因为椭圆由184x y +=⎨⎪⎩08=≥．又+ OA OB221(1k +==OB OA OB =.,OA OB OA OB =2整理得: OA 12120x x y y ∴⋅+⋅=．设M(x,y)是以线段AB 为直径的圆上的任意一点,则MA 12)()(x x y -+22,OA OB OA OB =整理得: OA 12120x x y y ∴⋅+⋅= (1)设(x,y)是以线段AB 为直径的圆上则11(y y y y x x --⋅=--,OA OB OA OB =2整理得: OAx x⋅又因12x x⋅≠122所以圆心的轨迹方程为设圆心C到直线12x x⋅又因12∴⋅=x x24(22p p -解法3:设圆C 的圆心为1x x +⎧=12又因12x x ⋅x x ∴⋅=1|4pd ∴=5+5(14k 时，上式取等号．2-127t.()21712727t t =⨯- ()2271271227t t +-≤⨯377=. ……12分 当且仅当27127t t =-，即427t =时，等号成立. ∴ ABC ∆的面积的最大值为377． …… 14分 第 16题 一道解析几何定值题的2种解法已知曲线C 是到点)83,21(-P 和到直线85-=y 距离相等的点的轨迹，l 是过点Q （-1，0）的直线，M 是C 上（不在l 上）的动点；A 、B 在l 上，x MB l MA ⊥⊥, 轴（如图）。

高中数学真题与经典题一题多解解法与解析(总113页)-本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-函数篇【试题1】（2016全国新课标II 卷理16）若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线ln (1)y x =+的切线，b = ． 【标准答案】1ln 2-解法一：设直线y kx b =+与曲线ln 2y x =+和ln (1)y x =+切点分别是11(,ln 2)x x +和22(,ln (1))x x +．则切线分别为：111ln 1y x x x =⋅++，()22221ln 111x y x x x x =++-++ ∴()122122111ln 1ln 11x x x x x x ⎧=⎪+⎪⎨⎪+=+-⎪+⎩解得112x = 212x =-∴解得1ln 11ln 2b x =+=-解法二：设直线y kx b =+与曲线ln 2y x =+和ln (1)y x =+切点分别是11(,)x y 和22(,)x y ．∵曲线ln 2y x =+通过向量()1,2平移得到曲线()ln 1y x =+ ∴2121(,)(1,2)x x y y --= ∴两曲线公切线的斜率2k =，即112x =，所以1ln 11ln 22b =+=- 【试题2】【2015新课标12题】设函数()(21)x f x e x ax a =--+，其中1a <，若存在唯一的整数0x ，使得0()0f x <，则a 的取值范围是( )32[,1)e-33,24e -（）33[,)24e 3[,1)2e解法一：由题意可知存在唯一的整数0x 使得000(21)xe x ax a -<-，设()(21),()xg x e x h x ax a =-=-由'()(21)xg x e x =+，可知()g x 在1(,)2-∞-上单调递减，在1(,)2-+∞上单调递增，故(0)(0)(1)(1)h g h g >-≤-⎧⎨⎩得312a e≤< 解法二：由题意()0f x <可得(21)(1)x e x a x -<- ①当1x =时，不成立；②当1x >时，(21)1x e x a x ->-，令(21)()1x e x g x x -=-，则22(23)'()(1)x e x x g x x -=-， 当3(1,)2x ∈时，()g x 单调递减，当3(,)2x ∈+∞时，()g x 单调递增 所以32min3()()42g x g e ==，即324a e >，与题目中的1a <矛盾，舍去。

高中数学学习中的经典题目解析与讲解随着高中数学学习的深入，经典数学题目的解析与讲解成为了学习的关键。

本文将介绍数学学习中的一些经典题目，并对其解法进行详细讲解，帮助同学们更好地掌握高中数学知识。

一、立体几何题目立体几何是数学学习中的重要内容，其中球体、圆锥体和圆柱体是常见的几何体。

下面，我们以一道经典题目来解析这三种几何体的性质。

题目：一个球形水泵中有一些水，现将水泵水倒入一个圆锥形容器中，若容器正好装满，请问水泵中的水是否用完？为什么？解析：我们需要利用几何体的性质来解答这道题目。

首先了解球体、圆锥体和圆柱体的公式。

- 球体的体积公式为V = 4/3πr³，其中r为半径。

- 圆柱体的体积公式为V = πr²h，其中r为底面半径，h为高度。

- 圆锥体的体积公式为V = 1/3πr²h，其中r为底面半径，h为高度。

我们设水泵中的水体积为V1，球形水泵的半径为r1，圆锥形容器的半径为r2，圆锥形容器的高度为h2。

根据题意，水泵中的水倒入容器中后，容器正好装满，即两者的体积相等。

V1 = V24/3πr1³ = 1/3πr2²h2我们可以观察到，等式右边为圆锥体的体积公式，而左边为球体的体积公式。

由此可知，无论底面半径和高度如何变化，等式均成立。

所以，水泵中的水不会用完，无论水泵的水量多少，只要容器能装下，水泵中就还剩余一定量的水。

二、代数题目代数是高中数学的核心内容之一，其中方程和不等式是重要的概念。

下面，我们以一道经典的代数题目来解析方程的求解方法。

题目：解方程2x² + 7x - 15 = 0。

解析：解一元二次方程有多种方法，我们将采用因式分解法来解答这道题目。

先观察方程的形式，可以发现2x² + 7x - 15可以分解为(2x - 3)(x + 5) = 0。

根据零乘法，只要满足(2x - 3) = 0或(x + 5) = 0两个方程中的一个即可。

全国(quán ɡuó)I卷1、【2021年高考(ɡāo kǎo)数学全国I理第5题】函数(hánshù)在单调(dāndiào)递减，且为奇函数．若，则满足(mǎnzú)的的取值范围是A．B．C．D．【答案】D【知识点】函数的奇偶性；单调性；抽象函数；解不等式。

【试题分析】本题主要考察了抽象函数的奇偶性，单调性以及简单的解不等式，属于简单题。

【解析】解析二：（特殊函数法）由题意，不妨设，因为2-≤≤，所以f-1()1x，化简得，故选D。

解析三：（特殊值法）假设可取，则有，又因为，所以与2-≤≤矛盾，故=01()1f-x不是不等式的解，于是排除A、B、C，故选D。

2、【2021年高考数学全国I理第11题】设xyz为正数，且，则A．B．C．D．【答案】D【知识点】比较大小；对数的运算；对数函数的单调性；【试题分析】本题主要考察了对数的比较大小，其中运用到了对数的运算公式，对数的单调性等。

属于中档题。

【解析】解析一：令，则，，，，，，要比较(b ǐji ào)与，只需比较(b ǐji ào)，，即比较(b ǐji ào)与，即比较(b ǐji ào)，，易知，故.要比较(b ǐji ào)2x 与，只需比较1lg 22，，即比较与，即比较，，易知，故.所以325y x z <<.解析二：令()2350x y z t t ===>，则2log x t =，3log y t =，5log z t =，2lg 22log 1lg 22t x t ==，3lg 33log 1lg33t y t ==，5lg 5log 1lg55tz t ==， ，所以即23x y >.，所以即52z x >.所以325y x z <<.3、【2021年高考数学全国I 理第18题】如图，在四棱锥P-ABCD 中，AB//CD ，且.（1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；（2）若PA=PD=AB=DC，，求二面角A-PB-C的余弦值.【答案】见解析【知识点】线面垂直的判定；面面垂直的判定；求二面角。

1.已知y x ,为正实数，且4142=++y x xy ，则y x +的最小值为.解法一：消元因为⎪⎭⎫⎝⎛∈+-=241,04241x x x y ，所以()8644944492449424241≥-+++=++-=+++-+=+-+=+x x x x x x x x x x y x 当且仅当5,3==y x 时，等号成立。

解法二：因式分解因为4142=++y x xy ，所以()()9424=++y x ，()()()()86242624=-++≥-+++=+y x y x y x 当且仅当5,3==y x 时，等号成立。

解法三：判别式法设0,>=+t t y x ，则x t y -=代入条件得，()()4142=-++-x t x x t x ，化简得,()041422=-+-+-t x t x ,方程有根的必要条件是0≥∆，()0016-12164-16222≥+=+-=∆t t t t 解得8≥t ，经检验，8=t 时，5,3==y x 可以取得。

2.若将函数()⎪⎭⎫⎝⎛+=32sin πx x f 的图象沿x 轴向右平移()0>ϕϕ个单位后所得的图象与()x f 的图象关于x 轴对称，则ϕ的最小值为.解法一：图象法实线是原函数()⎪⎭⎫⎝⎛+=32sin πx x f ，虚线是新图象，很明显，当实线向右至少平移半个周期2π即可.解法二：特殊值法由图可知，要使得新图象()⎪⎭⎫⎝⎛-+=ϕπ232sin x x g 与原图象()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32sin πx x f 关于x 轴对称，只要原图象的最高点对应新图象的最低点。

于是取原图象()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32sin πx x f 在12π=x 处取得1，此时-112=⎪⎭⎫⎝⎛πg ，即12cos 22sin 12-==⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛ϕϕππg ，Z k k ∈+=,22ππϕ，Z k k ∈+=,2ππϕ，所以ϕ的最小正值为2π.解法三：函数对称关系若()()x g x f -=，则函数()x f 与()x g 关于x 轴对称.新图象()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=ϕπ232sin x x g 与原图象()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32sin πx x f 关于x 轴对称，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+ϕππ232sin -32sin x x ，即⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+32-2sin 32sin πϕπx x 只要Z k k ∈+=,22ππϕ即可，所以ϕ的最小值正值为2π.3.在ABC ∆中，BC =+，若ABC ∆的面积的最大值为2，则边BC 的长为.解法一：建系，研究动顶点A 的轨迹建立如图坐标系，设a BC =，()y x A a C a B ,,0,2,0,2⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-，=+，所以2226a y a x =+⎪⎭⎫ ⎝⎛-，即当顶点位于最远离x 轴位置时，此时高为a ，2212max ==a S ，所以2=a 。

题目：已知等腰三角形ABC，且AD是三角形ABC的高，E为边BC的中点，AE与BC交于点F，求证：∠ACF=∠BCE。

解法1：根据题目已知，AD是三角形ABC的高，说明角BAD和角FAC互余，即∠BAD+∠FAC=90°。

又因为三角形ABC为等腰三角形，所以∠BAC=∠BCA，即角BAD和角FAC相等。

因此，∠FAC=∠BAD。

由已知条件，E为边BC的中点，所以BE=EC，并且连接AE。

因为E是边BC的中点，所以AE是三角形ABC的中线，所以AE平分∠BAC。

因此，∠BAE=∠CAE，即角BAD和角CAF相等。

综上所述，∠FAC=∠BAD=∠CAF，即∠ACF=∠BCE。

解法2：在△ABC中，已知等腰，所以AB=AC。

根据题目条件，AD是三角形ABC的高，所以BD=CD。

由于E为边BC的中点，所以BE=EC。

连接AE，AF，BF，CF。

由于△ABC是等腰三角形，所以∠BAC=∠BCA，所以∠ACB=∠BCA=∠BAC。

又因为AE是边BC的中线，所以AE平分∠BAC，所以∠BAC=∠CAE。

又因为AF是△ABC中△BCF的高，所以∠ACF=∠AF C。

所以∠ACF=∠AFC=∠BCF。

由于余角定理，对于任意角∠X和∠Y，若∠X+∠Y=90°，则称∠X和∠Y互余。

由题意可知∠BAC和∠BAD互余，所以∠BAD+∠FAC=90°。

又由于是等腰三角形，所以∠ACB=∠BAC。

所以∠ACB+∠FAC=90°，即∠ACF=90°-∠ACB。

由题目条件可知BE=EC，所以△BEC是一个等腰三角形，所以角BEC=角BCE。

所以∠ACF=90°-∠ACB=∠BEC=∠BCE。

综上所述，∠ACF=∠BCE。

山东卷1.(2017.山东文T4)已知34cosx =,则2cos x = (A)- 14 (B) 14 (C) - 18 (D) 18【考点】二倍角公式及其变形【试题分析】本题考查了倍角公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 【答案】D【解析】法一：34cosx =，cos2x =2cos 2x -1=81. 法二：由34cosx =得27sin 16x =，2141212sin 1168cos x x =-=-=. 法三：由34cosx =得27sin 16x =，229712cos sin 16168cos x x x =-=-=. 3.(2017.山东文T11)若直线1(00)x ya b a b+=＞，＞ 过点（1,2），则2a +b 的最小值为____ 【知识点】基本不等式【试题分析】本题考查基本不等式的应用，考查“1”代换，考查计算能力，属于基础题． 【答案】82a +b =b b b +-22=b b b b b +-+=+-+-24224)2(2=)2.(24242244--+≥-+-+b b b b =8. 法三：直线过点(1,2),则,121=+b a ,22211abb a ≥+=即ab ≥8,当且仅当b=2a 时等号成立,所以2a +b ,822≥≥ab 当且仅当b=2a 时等号成立.(理科T7)若0a b >>，且1ab =，则下列不等式成立的是 （A ）()21log 2a b a a b b +<<+ （B ）()21log 2a b a b a b<+<+（C ）()21log 2a ba ab b +<+< （D ）()21log 2a b a b a b +<+<【知识点】函数单调性、基本不等式、比较大小【试题分析】本题考查了函数的单调性、不等式的解法与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．法二：a >b >0，且ab =1则a >1,0<b <1,所以+>>12,a b+=+>==22221log (a b)log (a )log log 21,a又+<22log (a b)log 当a=b =1时等号成立.<<a b 012，所以b <+<+2a b 1log (a b)a 2. 法三：构造,2ln 11)(),2(log )(2x x f x x x x f -='>-= ,14ln 2ln 22ln >=>x 所以,12ln 1<x 此时0)(>'x f ， 所以f （x ）在（2，+∞）上为增函数. 所以f （x ）>f (2)=1>0,所以x >log 2x ，即2a >)(log 2log 22b a a +>，所以b +<+21log (a b)a ,<<ab012，+=+>==22221log (a b)log (a )log log 21,a所以b <+<+2a b 1log (a b)a 2.。

高三《一题多解 一题多变》题目一题多解 一题多变（一）原题：482++=x mx x f )( 的定义域为R ，求m 的取值范围 解：由题意0482≥++x mx 在R 上恒成立0>∴m 且Δ0≤，得4≥m变1：4823++=x mx x f log )(的定义域为R ，求m 的取值范围 解：由题意0482>++x mx 在R 上恒成立0>∴m 且Δ0<，得4>m变2：)(log )(4823++=x mx x f 的值域为R ，求m 的取值范围 解：令=t 482++x mx ，则要求t 能取到所有大于0的实数，∴ 当0=m 时，t 能取到所有大于0的实数当0≠m 时，0>m 且Δ0≥4≤0⇒m <40≤≤∴m变3：18223+++=x nx mx x f log )(的定义域为R,值域为[]20,，求m,n 的值 解：由题意，令[]911822,∈+++=x nx mx y ，得0-8--2=+n y x x m y ）（ m y ≠时，Δ0≥016-)(-2≤++⇒mn y n m y -∴ 1和9时0162=++-)(-mn y n m y 的两个根∴ 5==n m∴ 当m y =时，08==mn x - R x ∈ ，也符合题意 ∴5==n m一 题 多 解-解不等式523<<3-x解法一：根据绝对值的定义，进行分类讨论求解（1）当03-≥x 2时，不等式可化为53-<<x 2343<<x ⇒ （2）当03-<x 2时，不等式可化为0x -1⇒53-2x <<<+<3 综上：解集为}{0x 1-<<<<或43x x 解法二：转化为不等式组求解原不等式等价于014353232<<<<<>x x x x ⇒-3-或且 综上：解集为}{0x 1-<<<<或43x x 解法三：利用等价命题法 原不等式等价于-33-2x 5-53-<<<<或x 23，即0x 1-<<<<或43x 解集为}{0x 1-<<<<或43x x 解法四：利用绝对值的集合意义原不等式可化为2523<<23-x ，不等式的几何意义时数轴上的点23到x 的距离大于23，且小于25，由图得， 解集为}{0x 1-<<<<或43x x一题多解 一题多变（二）已知n s 是等比数列的前n 想项和，963s s s ,,成等差数列，求证：852a a a ,,成等差数列法一：用公式qq a s n n 一一111)(=，因为963s s s ,,成等差数列，所以9632s s s =+且1≠q 则6396391613121121121111q q q q q q qq a q q a q q a =+=+=+⇒)≠(⇒)()()(一一一一一一 所以8716141152222a q a q q a q a q a a a ===+=+)( 所以 852a a a ,,成等差数列｀ 法二用公式q q a a s n n 一一11=，qq a a q q a a q q a a s s s 一一一一一一12112916131963)(∴,=+=+ 则q a q a q a a a a 85296322=+⇒=+8522a a a =+⇒，所以 852a a a ,,成等差数列｀证法三：（用公式)(),(n n n n n n n q q s s q s s 23211++=+=） 3333213654361s q q a a a s a a a s s )()(+=+++=+++=)()()(633333963633912121q q s q s s s s s q q s s ++=++⇒=+++=解得213一=q （下略）变题：已知54=αsin 且α是第二象限角，求αtan 解：α是第二象限角，54=αsin 345312一一一一===αααtan ,sin cos ⇒ 变1：54=αsin ，求αtan解：054>=αsin ，所以α是第一或第二象限角若是第一象限角，则3453==ααtan ,cos若是第二象限角，则3454一一==ααtan ,cos变2：已知)(sin 0>=m m α求αtan 解：由条件10≤<m ，所以当 10<<m 时，α是第一或第二象限角 若是第一象限角时2211mm αm α一一==tan ,cos 若是第二象限角2211mm αm α一一一一tan ,cos ==当1=m 时αtan 不存在变3：已知)(sin 1≤=m m α，求αtan 解：当11一,=m 时，αtan 不存在 当0=m 时， 0=αtan当α时第一、第四象限角时，21mm α一=tan当α是第二、第三象限角时，21mm α一一=tan一题多解 一题多变（三）题目：求函数)()(01 x xx x f +=的值域 方法一：判别式法 --设xx y 1+= ，则01yx -=+2x ，由Δ2y =-204≥⇒≥y 当2=y 时，2x -012=+x 1=⇒x ， 因此当1=x 时，)()(01x xx x f +=有最小值2，即值域为[)+∞,2方法二：单调性法先判断函数)()(01 x xx x f +=的单调性 任取210x x ，则212121211x x x x x x x f x f )-)(-()(-)(=当2021≤x x 时，即)()(21x f x f ，此时)(x f 在(]10,上时减函数 当212x x 时，)()(21x f x f )(x f 在()+∞,2上是增函数由)(x f 在(]10,上是减函数，)(x f 在()∞,+1上是增函数，知 1=x 时，)(x f 有最小值2，即值域为[)+∞,2方法三：配方法 2112+=+=)-()(xx xx x f ，当01=xx -时，1=x ，此时)(x f 有最小值2，即值域为[)+∞,2方法四：基本不等式法x x x f 1+=)(212122=≥+=xxx x )()( )(x f 有最小值2，即值域为[)+∞,2变 题原题：若函数1212++=x ax x f )(的定义域为R ，求实数a 的取值范围解：由题意得0122 ++x ax 在R 上恒成立，则要求0 a 且Δ1044 a a ⇒=-变式一：函数)(log )(1222++=x ax x f 的定义域为R ，求实数a 的取值范围解：由题意得0122 ++x ax 在R 上恒成立，则要求0 a 且Δ1044 a a ⇒=-变式二：函数)(l o g )(1222++=x ax x f 的值域为R ，求实数a 的取值范围解：令=u 122++x ax 能取到所有大于0的实数，则 0=a 时，1+=zx u 能取到所有大于0的实数 0≠a 时，0 a 且Δ1a 004a -≤⇒≥= 4综上10≤≤a一题多解 一题多变（四）题目：求函数)()(01 x xx x f +=的值域 方法一：判别式法 --设xx y 1+= ，则01yx -=+2x ，由Δ2y =-204≥⇒≥y当2=y 时，2x -012=+x 1=⇒x ， 因此当1=x 时，)()(01x xx x f +=有最小值2，即值域为[)+∞,2方法二：单调性法先判断函数)()(01 x xx x f +=的单调性 任取210x x ，则212121211x x x x x x x f x f )-)(-()(-)(=当2021≤x x 时，即)()(21x f x f ，此时)(x f 在(]10,上时减函数 当212x x 时，)()(21x f x f )(x f 在()+∞,2上是增函数由)(x f 在(]10,上时减函数，)(x f 在()∞,+1上是增函数，知 1=x 时，)(x f 有最小值2，即值域为[)+∞,2方法三：配方法2112+=+=)-()(x x x x x f ，当01=xx -时，1=x ，此时 )(x f 有最小值2，即值域为[)+∞,2方法四：基本不等式法x x x f 1+=)(212122=≥+=xxx x )()( )(x f 有最小值2，即值域为[)+∞,2变 题原题：若函数1212++=x ax x f )(的定义域为R ，求实数a 的取值范围解：由题意得0122 ++x ax 在R 上恒成立，则要求0 a 且Δ1044 a a ⇒=-变式一：函数)(log )(1222++=x ax x f 的定义域为R ，求实数a 的取值范围解：由题意得0122 ++x ax 在R 上恒成立，则要求0 a 且Δ1044 a a ⇒=-变式二：函数)(l o g )(1222++=x ax x f 的值域为R ，求实数a 的取值范围解：令=u 122++x ax 能取到所有大于0的实数，则 0=a 时，1+=zx u 能取到所有大于0的实数 0≠a 时，0 a 且Δ1a 004a -≤⇒≥= 4综上10≤≤a一题多解 一题多变（五）题目：椭圆1162522=+y x 的焦点是21F F 、，椭圆上一点P 满足21PF PF ⊥，下面结论正确的是———————————————————————（ ）（A ）P 点有两个 （B ）P 点有四个（C ）P 点不一定存在 （D ）P 点一定不存在解法一：以21F F 为直径构圆，知：圆的半径b c r =<==43，即圆与椭圆不可能有交点。

一、典例分析，融合贯通典例1已知a ∈R ，i 为虚数单位,若i2ia -+为实数,则a 的值为 .【解法1】直接法()(2)(21)(2)2122(2)(2)555a i a i i a a i a a i i i i -----+-+===-++-为实数， 则20,25a a +==-。

【点睛之笔】直接法，按部就班，不费脑！ 【解法2】方程法设2a i k R i-=∈+，则()22a i k i k ki -=+=+，则2,1a k k ==-，因此2a =-。

【点睛之笔】方程思想，由思不必想!【点睛之笔】共轭法，阴阳合一，天下无敌！ 【解后反思】解法一：直接化简,根据定义确定取值; 解法二：建立方程，寻找平衡点; 解法三：利用共轭 ，寻找共同点。

典例2已知复数z 的模为2 ,求i z -的最大值． 【解法1】代数法 设)(R y x yi x z ∈+=、,yy x i z y x 25)1(.42222-=-+=-+＝则，32,2max =--=∴≤i z y y 时，当．【点睛之笔】用数据说话，直接明了！ 【解法2】三角代换法设),sin (cos 2θθi z +=则.sin 45)1sin 2cos 422θθθ-=-=-＋（i z.31sin max =--=∴i z 时，当θ【点睛之笔】三角代换，化繁为简! 【解法3】几何法2,z =∴点z 圆224x y +=上的点，z i -表示z 与i 所对应的之间的距离,图所示，可知当i z 2-=时,3max =-i z ．【点睛之笔】以形助数，直指核心！ 【解法4】三角不等式法312=+=-+≤-i z i z而当i z 2-=时，.3.3max =-∴=-i z i z【点睛之笔】三角不等式，直截了当,绝不啰嗦！【点睛之笔】共轭复数法，一体两面，各有千秋！ 【解后反思】yxO ．i ． -2iZ解法一：直接利用代数运算，较少思维量！解法二：三角代换，化繁为易，降低计算量!、解法三：利用几何法，化虚为实!解法四：利用三角不等式，直捣黄龙！解法五：共轭复数，有难共担,一对好“兄弟”!典例3.若1zz-为纯虚数，求z在复平面内对应的点的轨迹【点睛之笔】直接化简,不走弯路！【解法2】利用共轭的运算性质化简1zz-为纯虚数，∴-+-⎛⎝⎫⎭⎪=≠≠zzzzz z11001，（且）整理得：∴-+-=+---=zzzzz z zzz z11211（）（）∴+==z z zz20设(,)x yi z x y R+=∈，则有2222()00x x y y-+=≠（），即2211()(0)24x y y-+=≠它表示以1(,0)2为圆心，以12为半径的圆去掉两点0010（，），（，）【点睛之笔】共轭复数法,就属它不一样!【解后反思】解法一：直接化简，利用定义建立方程!解法二：利用共轭复数的性质，运算简单，思维灵活!二、精选试题，能力升级1．【2018河南洛阳尖子生联考】已知复数z 满足z(1−i)2=1+i （i 为虚数单位)，则|z|为( ）A. 12 B 。