6．设E 是Banach 空间，E 中的点列满足
∞<∑∞
=1
k k
x
（此时称级数∑∞
=1
k k x 绝对收
敛），证明存在E ∈x ，使∑∞
=∞
→=1
lim k k n x x （此时记x 为∑∞
=1
k k x ，即∑∞
==1
k k x x ）.
证明：令∑==
n k k
n x
y 1
，则∑∑++=++=+≤
=
-p
n n k k
p
n n k k
n p n x
x
y y 1
1
。由于
∞<∑∞
=1
k k
x
绝
对收敛，则它的一般项0→k x 。因此0>∀ε，总0N ∃，当0,N p n ≥时，有
ε<-+n p n y y ，所以}{n y 是E 中的Cauchy 列，又因为E 是Banach 空间，则必
存在E ∈x ，使得∑∑∞
==∞
→==1
1
lim
k k n
k k
n x x
x 。
9．（Hamel 基）设A 是线性空间E 的非空子集，若A 中任意多个元素都是线性无关的，则称A 是线性无关的。若A 是线性无关的，且E =A span ，则称A 是E 是的一个Hamel 基。此时若A 是无穷集，则称E 是无穷维的；若A 是有限集，则称E 是有限维的，并定义E 的维数为A 中所含有的元素个数。通常用E dim 表示
E 的维数，
并约定当}0{=E 时，0dim =E ，可以证明任何线性空间都存在Hamel 基。证明酉空间n
C 的维数为n ，并问当视n
C 为实线性空间时，其维数是多少？
证明：设n y x C ∈,，C ∈βα,，
则有n
y x C ∈+βα。令)0,0,1,0,0(
项
共项
第n k k =e ，则对任意的),,(21n x x x x =，必有∑==n
k k
k x x 1
e
，因此},,,{21n e e e 是空间n
C
的基，则n n
=C dim 。
当视n
C 为实线性空间时，可令基为},,,,,{11n n i i e e e e ，则对任意的
)
,,(21n x x x x =，有
∑∑==+=n
k k k n k k k i x g x x 1
1
)
)((Im )Re(e e ，所以
n n 2dim =C 。
10．证明∞=],[dim b a C ，这里b a <。
证明：取],[,0,)(b a t k t t x k
k ∈≥=，只需证},,{10 x x 线性无关。为此对
0≥∀n ，令01
=∑=n k k k x c 。则00!01
=⇒=⇒=∑=n n n n
k k k c c n x c 次求导
。因此必有
01
1
=∑-=n k k k
x c
，求该式求1-n 导后有00)!1(11=⇒=---n n c c n 。依次类推，有
001====-c c c n n ，所以对任意的0≥n ，都有},,{10n x x x 线性无关，即
∞=],[dim b a C 。
第 二 节
2.（点到集合的距离）设A 是E 的非空子集，E ∈x 。定义x 到A 的距离为：
}|inf{),(A A ∈-=y x y x d
证明：
1) x 是A 的内点⇔0),(>c x d A ；
2) x 是A 的孤立点⇔A ∈x ，且0}){\,(>x x d A ； 3) x 是A 的外点⇔0),(>A x d 。
解：
1）必要性：
x
是
A 的内点
内点的定义
⇒ε
∃，使得
2
A
⊂B ),(εx ⇒Φ=B c x A ),(ε⇒
c y A ∈∀，都有
x y ≠⇒0}|inf{>∈-c y x y A ⇒0),(>c x d A 。
充分性：0
),(>c
x d A 距离的定义
⇒
ε∃，使得Φ=B c x A ),(ε⇒ε∃，使得
A
⊂B ),(εx 内点的定义
⇒x 是A 的内点。
2）必要性：x 是A 的孤立点孤立点的定义
⇒
A ∈x ，且ε∃，使得}{),(x x =
B A ε⇒A
∈x ，
且ε
∃，使得Φ
=B }}/{{),(x x A ε距离的定义
⇒
A ∈x ，且0}){\,(>x x d A 。
充分性：
A ∈x ，且0
}){\,(>x x d A 距离的定义
⇒
ε∃，使得
Φ=B }}/{{),(x x A ε⇒ε∃，使得}
{),(x x =B A ε孤立点的定义
⇒
x 是A 的孤立
点。
3）必要性：x 是A 的外点
外点的定义
⇒
ε∃，使得Φ=B A ),(εx ⇒A ∈∀y ，都
有x y ≠⇒0
}|inf{>∈-A y x y 距离的定义
⇒0),(>A x d 。
充分性：0),(>A x d 距离的定义
⇒ε∃，使得Φ=B A ),(εx 外点的定义
⇒x 是A 的外点。
3．设A 是E 中的非空闭集，证明：A ∈x ⇔0),(=A x d 。 解
：
必
要
性
：
A
∈x ⇒A
∈∃y ，使得
x y =⇒0
}|inf{=∈-A y x y 距离的定义
⇒0),(=A x d 。
充分性：0
),(=A x d 距离的定义
⇒
0}|inf{=∈-A y x y ⇒A ⊂∃}{k x ，使得
x x k →是闭集
A ⇒A ∈x 。
7．举例说明无穷多个闭集之并不一定是闭集。 解：
∞
==-1
)1,0[]1
1,0[k k 。
8．证明A A A '= 。
证明：设A ∈x ⇒A ⊂∃}{k x ，使得x x k →。若}{k x ∃中有无穷项互异，则
A '∈x ；否则有无穷多相取同一个值，则A ∈x ，由此可知：A A '∈x ，则
A A A '⊂ 。另一方面，由于A A ⊂且A A ⊂'，所以A A A ⊂' 。综上所述，有A A A '= 。
9．证明：1）A 的内部是含于A 的最大开集，即}|{int A B B B A ⊂=是开集，且
；
2）A 的闭包是包含A 的最小闭集，即}|{A B B B A ⊃=
是闭集，且 。
证明：1）设G 是含于A 的最大开集，则A A ⊂int ⇒G A ⊂int 。设
G
∈x 是开集
G ⇒ε
∃，使得
G ⊂B ),(εx A
G ⊂⇒ε
∃，使得
A ⊂
B ),(εx 内点的定义
⇒A int ∈x 。所以A G int ⊂。综上所述，A G int =，则表明A 的内部是含于A 的最大开集。
2）设G 是包含A 的最小闭集，且A A ⊂⇒A G ⊂。设A ∈x ⇒A ⊂∃}{k x ，
使得x x k →G A ⊂⇒G ⊂∃}{k x ，使得x
x k →是闭集
G ⇒G ∈x ，所以G A ⊂。综上
所述，A G =，则表明A 的闭包是包含A 的最小闭集。
10．利用习题9的结论证明：1）)int()(c
c
A A =，2）)()(int c c A A =。
证明：1）A A ⊂⇒c c A A ⊂)(。c
)(A 是开集，而由习题9的结论可知，
)int(c A 是含于c
A 的最大开集，所以)int()(c
c
A A ⊂。
此外，设)int(c x A ∈，而c x )(A ∉。由)
int(c
x A ∈是开集
)int(c A ⇒
ε∃，使得
c
c x A A ⊂⊂B int ),(ε⇒ε
∃，使得
ΦB ＝A ),(εx 。
