哈尔滨工业大学《应用泛函分析》教学课件

绪论泛函分析是20世纪30年代形成的现代数学分支,泛函分析起源于“变分法”与“积分方程”的发展 .变分法的诞生起源于约翰·伯努利(瑞士)提出的“速降线”问题(1696).求路径使得小球下落最快伯努利方程伯努利（约翰次子）：注：丹尼尔老师伯努利（弟）：洛比达约翰律伯努利（哥）：大数定雅各布洛比达物理几何微积分创始人牛顿莱布尼兹⋅⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⋅⋅⎭⎬⎫ 泛函分析是起源于古典分析的一个数学分支,其研究对象是定义在无穷维空间上的映射(算子).教材:应用泛函分析,薛小平,哈尔滨工业大学出版社. 简明泛函分析,罗跃生,哈尔滨工程大学出版社. 参考书:张恭庆《泛函分析讲义》北京大学出版社郑维行、王声望《实变函数与泛函分析概要》高教 预备知识一 集合论(Cantor) 1 集合及其运算(包含,相等,并,交,差,余(补))集族:I 是以非空集(可有限或无限), I i i A ∈}{(足(指)标集)是一组集合族, }:{I i A i ∈[对每个I i ∈,都存在一个集合i A 与之对应]并: },:{00i i Ii A x I ix A ∈∈∃=∈使交:},:{ii Ii A x I i x A ∈∈∀=∈使对当N =I 时,∞=1}{n n A ----集(合)列.DeMorgan 公式:1) ci I i ci I i A A ∈∈=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 2) ci Ii ci I i A A ∈∈=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛乘积集合:},:),{(B y A x y x B A ∈∈=⨯ ----Descarte 乘积,直积. 2 映射函数:数−→−f数:R Y X X x x f y Y X ⊂∈∀=→,,),(:. 映射:集合−→−f集合: .),(:A a a f b B A f∈∀=−→−函数−−→−一般化映射.定义:B A ,是两集合,若对A a ∈∀,在规则f 下都有B 中唯一元素b 与a 对应,则称f 是从A到B 的映射.记为)(,:a f b B A f =→.定义域:A ,值域:}:)({)()(A a a f f R A f ∈==.称b 是a 的象, a 是b 的一个原象,但原象可能不唯一.b b f :)(1-的原象的全体.}:)({})(:{)(01001B b b f B x f A x B f ∈=∈∈=--,)(0A f B ⊂,B A f →:.满射:若对A a B b ∈∃∈∀,,使)(a f b =,即B A f =)(.(B 中元素都有原象)单射(一对一):若由a a A a a '≠∈',,,必有)()(a f a f '≠[或由)()(a f a f '=必有a a '=](原象唯一)双射(一一映射):既单且满.复合映射:C B g B A f →→:,:,称C A h →:是f 与g 的复合映射,若A a a f g a h ∈∀=)],([)(.延拓与限制: B A f →:,且A D ⊂,称B D g →:为f 在D 上的限制.若对D x ∈∀,)()(x f x g =.反之,称f 为g 在A 上的延拓.记为Dfg =.对等:B A ,是两集合,若A 与B 之间存在一个双射(一一映射),则称A 与B 是对等的,记作B A ~.3 可列集可列集(可数):凡事与N 对等的集合,},,{21 x x ,如,},6,4,2{},,4,3,2{ 性质:1 可列集的任何自己是有限集或可列集.2 任何无限集一定含有一个可列的子集.证:设A 是无限集,φ≠A ,取φ≠∈}{\,111a A A a ,取}{\12a A a ∈,φ≠},{\21a a A ,…故可取出A 中一列元素 ,,21a a .令},,{210 a a A =,故0A 是A 的一个可列集. 3 21,A A 是可列集,则21A A ⋃也是可列集. 推论:任何有限个可列集的并仍是可列集. 4 21,A A 均是可列集,则n n A ∞=⋃1也是可列集.证: },,,{1312111 a a a A = },,,{2322212 a a a A =},,,{3332313a a a A =},,,,,,{3122132112111a a a a a a A n n =⋃∞=. 例 有理数集Q 是可列集.⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⋃=⋃⋃=∞=+-+,3,2,1},0{1m m m Q Q Q Q Q Q m m m . 5 A 是一无限集,则存在A 的一个真子集0A 使得A 与0A 对等.证:因A 是无限集,取0B 为A 的一个可列子集, },,{},,,,{43213210 b b b B b b b B ==,100)\(B B A A ⋃=,00)\(B B A A ⋃=,0A 是A 的真子集,令⎩⎨⎧==∈=→+,2,1,,\,)(::100i b x b B A x x x f A A f i i 故A 与0A 对等.(可举例}1{\~R R ) 6 可列集与可列集的直积集是可列的. 定理 }10:{)1,0(<<=x x 是不可列集. 证 反证法:若)1,0(是可列集,则,.0,.0,.0},,,{)1,0(333231323222121312111321ααααααααα====x x x x x x )1,0(中每个数都可以表成这种形式且表法唯一. i j α是9,0 的数构造⎪⎩⎪⎨⎧≠===1,11,2,.0321ii ii i b b b b ααξ若若 因此）（1,0∈ξ,但 ,3,2,1,=≠n x n ξ,从而）（1,0∉ξ,矛盾. 基数(势)的定义:A 的势记为A :1)若两集合对等,则他们有相同的基数 2)若A 与B 的某子集对等,则B A ≤.记χχ===,0.⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=π21tan ,~)1,0(x y R .思考题: ]1,0[)1,0(=.Cantor 连续统假设:是否存在R '的不可数子集A ,使得χχ<<A 0.R =势Cantor 猜测这样的基数不存在,它表明实数集R '的任意不可数子集A 必与R '对等.注: 康托:集合论创立人,(德).犹太人,“无穷”概念. 基数、势、序数、超越数. 二 实数集的基本构造 1 序关系实数集中两个数x 与y 的大小关系“≤”有如下性质:1)R x x x ∈∀≤,. (自反性)2)y x ≤,且z y ≤,则z x ≤. (传递性) 3)y x ≤,且x y ≤,则y x =. (反对称性) 称“≤”为R 上的一个序关系.定义:设A 为非空集合,若A 中某些元素x 与y 的关系“≤”满足:1)A x x x ∈∀≤,. 2)y x ≤,z y ≤,则z x ≤. 3)y x ≤,x y ≤,则y x =.则称A 为半序集(偏序集).又若A 中任意两个元素x 与y 都可由关系“≤”联系,则称A 为全序集.例 ”“的所有子集⊂=},{R A ,半序集,非全序.定义 A 是半序集,A a ∈,若对A x ∈∀,有a x ≤,则称a 为A 中的最大元素. A a ∈,若A x ∈∀,有x a ≤,必有a x =,则称a 为A 中的极大元素. 区别:最大元:A 中任意元素x 与a 都有序关系:a x ≤.极大元:A 中与a 有序关系的元素x 都a ≤. 不唯一最大元是极大元,反之不必.定义:设B 为A 的子集, A a ∈,若对B b ∈∀,都有a b ≤(b a ≤),则称a 为B 的一个上(下)界.引理(Zorn):若半序集A 的每个全序子集都有上界,则在A 中必存在极大元素. 注:应用广泛:泛函:Hahn-Banach 定理,任一向量空间必有基. 拓扑:抽象代数. 2 实数中的开集、闭集定义R A ⊂,称A x ∈0为A 的内点,若0>∃δ,使A x x ⊂+-),(00δδ.A 的所有内点的全体组成的集合记为。

§4 柯西点列和完备度量空间 教学内容(或课题)：目的要求： 掌握柯西点列、完备度量空间的概念，学会使用概念和完备度量空间的充要条件判别完备度量空间. 教学过程：设{}∞=1n n x 是1R 中的点列，若>∀ε0，()N ∈=∃εN N ，s.t.当Nn m >,时，有()m n x x d ,=m n x x -<ε，则称{}∞=1n n x 是1R 中的柯西点列.Def 1 设X =(X ，d )是度量空间，{}∞=1n n x 是X 中的点列. 若>∀ε0,()N ∈=∃εN N ，s.t.当N n m >,时，有()m n x x d ,<ε，则称{}∞=1n n x 是X 中的柯西点列或基本点列. 若度量空间(X ，d )中每个柯西点列都收敛，则称(X ，d )是完备的度量空间.有理数的全体按绝对值距离构成的空间不完备，如点列1, 1.4, 1,41,Λ,412.1 在1R 中收敛于2，在有理数集中不收敛.但度量空间中每一个收敛点列都是柯西点列.实因若x x n →，则>∀ε0, ()N ∈=∃εN N ，s.t.当N n m >,时，都有()x x d n ,<2ε.因此当N m n >，时，有()m n x x d ,≤()x x d n ,+()x x d m ,<2ε+2ε. 所以{}∞=1n n x 是柯西点列.例2 ∞l (表有界实或复数列全体)是完备度量空间.证明 设{}∞=1m m x 是∞l 中的柯西点列，其中m x =()Λ,,21ξξ.>∀ε0,()N ∈=∃εN N ，s.t.当N n m >,时，都有 ()n m x x d ,=()()n j m j jξξ-sup <ε (1)因此对每个固定的j ，当N n m >,时，成立()()n j m j ξξ-<ε (2) 于是()k j ξ，Λ,2,1=k 是柯西数列. 由于实数集或复数集按差的绝对值定义距离是完备的，故存在实或复数j ξ，s.t. ()n j ξ→j ξ(∞→n )令x =()Λ,,21ξξ，往证x ∈∞l 且m x →x .在(2)中，令∞→n ，得N m >∀时，成立()j m j ξξ-≤ε (3)因为m x =()()()()ΛΛ,,,,21m j m m ξξξ∈∞l ，所以∃m K >0，s.t.j ∀∈N ，成立()m j ξ≤m K (不同的数列，界可能不一样). 所以 ()≤-≤m j j j ξξξε+m K .所以x ∈∞l . 由(3)知，N m >∀时，成立()=x x d m ,()εξξ≤-j m j jsup .所以x x m →. 所以∞l 是完备度量空间.例2 令C 表示所有收敛的实或复数列的全体，∀x =()Λ,,21ξξ∈C ，∀y =()Λ,,21ηη∈C ，令 ()y x d ,=j j jηξ-sup . 则 01()y x d ,≥0且x =y时，()y x d ,=0. 又j j ηξ-≤j j jηξ-sup =()y x d ,=0 ⇒ j ξ=j η(N ∈j ).于是()y x d ,=0 ⇔ x =y . 02z ∀=()Λ,,21ςς∈C ，则由于对∀N ∈j ，成立 j j ηξ-≤j j ςξ-+j j ςη-≤j j jςξ-sup +j j jςη-sup =()z x d ,+()z y d ,. 所以j j jηξ-sup ≤()z x d ,+()z y d ,. 即()y x d ,≤()z x d ,+()z y d ,. 所以()y x d ,可定义为C 中∀两点间的距离. 于是C 按距离()y x d ,成为度量空间(实际上是∞l 的一个子空间). 欲证C 是完备度量空间，先证Th 1 完备度量空间X 的子空间M 是完备度量空间 ⇔ M 是X 中的闭子空间.证明 设M 是完备子空间，对每个x ∈M '，∃M 中点列{}∞=1n n x ，使x x n →. 所以{}∞=1n n x 是M 中柯西点列. 所以它在M 中收敛. 由极限的唯一性，所以x ∈M . 所以M '⊂M . 即M 是X 中的闭子空间. 反之，若{}∞=1n n x 是M 中柯西点列，因X 是完备度量空间，则在X 中收敛. 即∃x ∈X ，s.t. x x n →.因为M 是X 中的闭子空间，所以x ∈M ，所以{}∞=1n n x 在M 中收敛. 于是M 是完备度量空间.例2的证明 由Th 1 只证C 是∞l 中的闭子空间即可. ∀x =()Λ,,21ξξ∈C '(要证k j ξξ-<ε，从而x ∈C )，∃n x =()()()Λ,,21n n ξξ∈C (Λ,2,1=n )，s.t. x x n →. 所以>∀ε0，N ∈∃N ，s.t.当N n ≥时，成立 ()j n j ξξ-≤()j n j jξξ-sup =()x x d n ,<3ε. 特别取N n =，则对j ∀∈N ，成立 ()j N j ξξ-<3ε.因为N x ∈C , 所以当∞→j 时，()N j ξ收敛. 故∃1N ∈N ，s.t. j ∀,≥k 1N 时，成立()()N k N j ξξ-<3ε. 所以j ∀,≥k 1N 时，成立 k j ξξ-≤()N j j ξξ-+()()N k N j ξξ-+()k N k ξξ-<3ε+3ε+3ε=ε. 所以{}∞=1j j ξ是柯西数列，因而收敛. 所以x =()Λ,,21ξξ∈C . 所以C 是∞l 中的闭子空间. 由Th 1，C 是完备度量空间. 证毕. 作业： P 206. 14. 15中的()A B S ,.作业题解： 14 ε=1，N ∈∃N ，s.t.当N n m >,时，有()m n x x d ,<1, 特别当N n >时，有()1,+N n x x d <1. 又N n ≤时，()1,+N n x x d 只有有限个值故>∃M 0,s.t. ()1,+N n x x d ≤M . 因此N ∈∀m n ,，成立()m n x x d ,≤()1,+N n x x d +()m N x x d ,1+≤{}M M 2,1,2m ax +. 所以{}∞=1n n x 是有界点列.15设{}∞=1n n x 是S 中的柯西点列，n x =()()()Λ,,21n n ξξ. 即>∀ε0, N ∈∃N ， s.t.∀N n m >,时，成立()m n x x d ,=()()()()∑∞=-+-1121k m k n k m kn k kξξξξ<ε (*) 所以k ∀∈N ，∀N n m >,时，成立 ()()()()m k n k m k n k ξξξξ-+-1<εk 2. 因为∀给σ>0，对于每个固定的k ，∃ε：0<ε<σσ+121k ，然后由这个ε，按不等式(*)，N ∈∃N .所以∀N n m >,时，对这个固定的k ，成立()()()()m kn k m k n k ξξξξ-+-1<σσ+1.所以 ()()m k n k ξξ-<σ (N n m >,). 所以{}∞=1j j ξ是实(复)数集中的柯西点列. 而实(复)数集完备, 所以(){}∞=1n n k ξ收敛，设()n k ξ→k ξ(∞→n ). 记x =()Λ,,21ξξ，则x x n →. 而x ∈S ，所以S 完备.设{}∞=1n n x 是()A B 中的柯西点列，n x =()t f n ，A t ∈.>∀ε0，N ∈∃N ，s.t.当∀N n m >,时，成立()()t f t f m n At -∈sup <ε.所以∀N n m >,及A t ∈，成立()()t f t f m n -<ε. (**) 因此在集A 上，函数列(){}∞=1n n t f 收敛，设()t f n ()t f →. 由(**)式，令∞→m 得N n >时，()()ε≤-t f t f n . 所以N n >时，()t f ≤()()t f t f m n -+()t f n ≤ε+M (由于(){}∞=1n n t f 收敛，从而M 存在).所以()()A B t f ∈，又已证()t f n ()t f →所以()A B 是完备度量空间.柯西点列和完备度量空间(续)教学内容(或课题)：目的要求： 再次巩固上次课学习的概念与定理，进一步掌握使用概念及定理判别完备度量空间的常用方法. 教学过程：[]b a C ,是完备的度量空间.证明 设 n x ，Λ,2,1=n 是[]b a C ,中的柯西点列. >∀ε0，N ∈∃N ，s.t.当∀N n m >,时，成立bt a ≤≤max ()()t x t x n m -<ε. (4)所以t ∀∈[]b a ,，有()()t x t x n m -<ε. 于是当t 固定时，(){}∞=1n n t x是柯西数列.由实(复)数集的完备性，∃()t x ，s.t.()t x n →()t x . 往证()t x ∈[]b a C ,，n x →x 实因在(4)中令∞→m ，得知N n >时，成立bt a ≤≤max ()()t x t x n -≤ε. (5)所以()t x n 在[]b a ,上一致收敛于()t x ，从而()t x ∈[]b a C ,. 由(5)，当N n >时，()x x d n ,=bt a ≤≤max ()()t x t x n -≤ε. 所以 n x →x ，故[]b a C ,是完备度量空间.令[]b a P ,表示闭区间[]b a ,上实系数多项式全体,[]b a P ,作为[]b a C ,的子空间是不完备的度量空间. 实因多项式列∞=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+++++132!621n n n x x x x Λ 在闭区间[]b a ,上一致收敛于连续的指数函数x e ，但x e 非多项式. 即[]b a P ,不是[]b a C ,的闭子空间. 由Th 1，[]b a P ,不是完备度量空间. 证毕. 设X 表示闭区间[]1,0上连续函数全体，对y x ,∀∈X ，令 ()y x d ,=()()⎰-10dt t y t x .易知()d X ,成为度量空间. 实因01 显然 ()y x d ,≥0. 若t ∈[]1,0时，()t x ≡()t y ，从而()y x d ,=0. 反之若()y x d ,=0，即()()⎰-10dt t y t x =0. 因()()t y t x -≥0，故()t x =()t y ..e a 于[]1,0. 又因..e a 相等的连续函数必然处处相等，故y x =. 总之()y x d ,≥0且()y x d ,=0⇔y x =.02 ()y x d ,=()()⎰-10dt t y t x ≤()()⎰-10dt t z t x +()()⎰-10dt t y t z=()z x d ,+()z y d ,. 所以()d X ,是度量空间.例5 上面定义的度量空间()d X ,不完备.证明 令 ()t x m =⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤+<<≤≤+210,012121,121,11t mtt m 线性 先证{}∞=1n n x 是()d X ,中的柯西点列. 实因ε∀0>，当n >m >ε1时，()m n x x d ,=()()⎰-10dt t x t x m n =()()⎰+-m m n dt t x t x 12121 =⎪⎭⎫ ⎝⎛-n m 1121≤<m1<ε. 所以点列{}∞=1n n x 是()d X ,中的柯西点列. 再证点列{}∞=1n n x 在()d X ,中不收敛. 实因对每个x ∈X ，()x x d n ,=()()⎰-1dt t x t x n =()⎰21dt t x +()()⎰+-m n dt t x t x 12121+()⎰+-11211mdt t x . 若()x x d n ,→0, 必有 ()⎰210dt t x =()⎰-1211dt t x =0.但由于()t x 在闭区间[]1,0上连续，得()t x 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,0恒为0，在⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,21恒为1. 与在t =21间断相矛盾. 故()d X ,是不完备的度量空间.作业： P 206. 15.()X M 、离散空间.作业解答： 设{}∞=1n n x 是()X M 中的基本点列，>∀σ0，有[]σσσ≥-+m n x x mX 1≤()()()()[]⎰≥=-+-σm n x x X m n m n dt t x t x t x t x 1≤()()()()⎰-+-Xmnm n dt t x t x t x t x 1=()m nx xd ,. ∀ε>0，∃N ∈N ，s.t. ∀n ，m >N ，有()m n x x d ,<ε. 从而[]σ≥-m n x x mX <σσ+1ε. 所以[]σ≥-m n x x mX →0 ()∞→m n ,. 由此可找到自然数列：1n <2n <Λ<3n <Λ<k n ，s.t. ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡≥-+k n n k k x t x mX 211<k 21对Λ,2,1=k 都成立.记k X =()⎥⎦⎤⎢⎣⎡≥-+k n n k k x t x X 211, 再令0X =YI ∞=∞=1m mk k X ，则X -0X =()IY ∞=∞=-1m mk k X X ⊂()Y ∞=-mk kX X ，()0X X m -≤∑∞=mk k 21=121-m . 令m →∞，得()0X X m -=0. 所以0mX =mX . 显见在0X 上(){}∞=1k n t x k 处处收敛于一个极限函数，记这个极限函数为()t x . 令()t x 0=()⎩⎨⎧-∈∈0,0,X X t X t t x则()t x 0为X 上的可测函数，故()t x 0∈()X M . 当N n n k >,时，由()()()()⎰-+-Xn n n n dt t x t x t x t x k k 1=()k n n x x d ,ε<，令∞→k ，由勒贝格有界收敛定理，得 ()ε≤0,x x d n ()N n ≥. 所以0x x n →()∞→n . 故()X M 是完备的度量空间.§5.度量空间的完备化教学内容(或课题)：目的要求： 使学生掌握度量空间的完备化定理的条件、结论及其证明方法.教学过程：Der 1 设(X ,d )，(X ~,d ~)是两个度量空间，若存在X 到X ~上的保距映照T (∀1x ,2x ∈X ，有d ~(T 1x ,T 2x )=d (1x ,2x ))，则称(X ,d )和(X ~,d ~)等距同构，此时称T 为X 到X ~上的等距同构映照(既映上又保距).等距同构映照是1-1映照. 实因设∀1x ,2x ∈X ，且1x ≠2x ，则因d (1x ,2x )>0及d ~(T 1x ,T 2x )=d (1x ,2x )>0，知T 1x ≠T 2x .在泛函分析中往往把两个等距同构的度量空间不加区别而视为同一个度量空间.Th 1 (度量空间完备化定理) 设X =(X ,d )是度量空间，那么一定存在一完备度量空间X ~=(X ~,d ~)，使X 与X ~的其个稠密子空间W 等距同构，并且X ~在等距同构意义下是唯一的，即若(Xˆ,d ˆ)也是一完备度量空间，且X 与Xˆ的其个稠密子空间W 等距同构，则(X ~,d ~)与(X ˆ,d ˆ)等距同构.证明 分4步完成.(1)构造X ~=(X ~,d ~).令X ~为X 中柯西点列x ~={}∞=1n n x 全体，对X ~中任意两个元素x ~={}∞=1n n x 和y ~={}∞=1n n y ，若 ∞→n lim ()n n y x d ,=0， (1)则称x ~与y ~相等，记为x ~=y ~，或{}∞=1n n x ={}∞=1n n y . ∀x ~={}∞=1n n x ，y ~={}∞=1n n y ∈X ~，定义 d ~(x ~,y ~)=∞→n lim ()n n y x d ,. (2) 首先指出(2)式右端极限存在. 实因由三点不等式()n n y x d ,≤()m n x x d ,+()m m y x d ,+()n m y y d ,，所以 ()n n y x d ,-()m m y x d ,≤()m n x x d ,+()n m y y d ,. 同理 ()m m y x d ,-()n n y x d ,≤()m n x x d ,+()n m y y d ,. 所以 |()m m y x d ,-()n n y x d ,|≤()m n x x d ,+()n m y y d ,. (3) 因为{}∞=1n n x 和{}∞=1n n y 是X 中的柯西点列，所以(){}∞=1,n n n y x d 是1R中柯西数列,所以(2)式在端极限存在.其次指出：若{}∞=1n n x ={}∞='1n nx ，{}∞=1n n y ={}∞='1n n y ，则 ∞→n lim ()n n y x d ,=∞→n lim ()n ny x d '',， 即d ~(x ~,y ~)与用来表示x ~,y ~具体柯西点列{}∞=1n n x ，{}∞=1n n y 无关. 实因仿(3)式之证法，得|()n n y x d ,-()n ny x d '',|≤()n n x x d ',+()n n y y d ',. 由 ∞→n lim()nn x x d ',=0和∞→n lim()nn y y d ',=0， 可得∞→n lim ()n n y x d ,=∞→n lim ()n ny x d '',. 最后证明 ()y x d ~,~~ 满足关于距离条件01及02： 显然 ()y x d ~,~~=∞→n lim ()n n y x d ,≥0. 又()y x d ~,~~=0 ⇔ ∞→n lim ()n n y x d ,=0 ⇔x ~=y ~. ∀x ~={}∞=1n n x ，y ~={}∞=1n n y ，z ~={}∞=1n n z ∈X ~， 则 ()n n y x d ,≤()+n n z x d ,()n n z y d ,，故∞→n lim ()n n y x d ,≤∞→n lim ()+n n z x d ,∞→n lim ()n n z y d ,，即 ()y x d ~,~~≤()+z x d ~,~~()z y d ~,~~. 所以X ~按d ~成度量空间. (2)作X ~的稠密子空间W 及X 到W 的等距映照T∀b ∈X ，令b ~={}∞=1n n b ，其中n b =b ，ΛΛ,2,1=n ，显然b ~∈X ~. 令T b =b ~，W =T X . 因为 d ~()Ta Tb ,=d ~()ab ~,~=∞→n lim ()a b d ,，所以T 是X 到W 上的等距映照.在X 与W 等距同构之下往证W 是X ~中的稠密子集.∀x ~={}∞=1n n x ∈X ~, 令n x ~={}∞=1j j x ，其中j x =n x ，ΛΛ,2,1=j ，则n x ~∈W . 因n x ~={}∞=1j j x 是X 中的柯西点列，故>∀ε0，N ∈∃N ，s.t. ∀N n >时，有 ()N n x x d ,<2ε. 于是 ()N x x d ~,~~=∞→n lim ()N n x x d ,≤2ε<ε. 即在 ∀()ε,~x U 中必有W 中的点， 故W 在X ~中稠密. (3)证明X ~是完备的度量空间设(){}∞=1~n n x 是X ~中的柯西点列，因为W 在X ~中稠密，所以对每个()n x ~，∃n z ~∈W ，s.t. ()()n n z x d ~,~<n1. (4) 所以 ()n m z z d ~,~~≤()()+m m x z d ~,~~()()()+n m x x d ~,~~()()n n z x d ~,~~≤+m1()()()+n m x x d ~,~~n1，所以(){}∞=1~n n x 是W 中柯西点列. 因为T 是X 到W 上的等距映照，所以{}∞=1m m z 是X 中柯西点列. 令x ~={}∞=1m m z ，则x ~∈X ~. 由(4)式，有 ()()x x d n ~,~~≤()()+n n z x d ~,~~()x z d n ~,~~<n 1+()x z d n ~,~~=n 1+∞→n lim ()m n z z d ,→0 (∞→n ). 所以 ∞→n lim ()()x x d n ~,~~=0，所以X ~是完备度量空间. (4) 证明X ~的唯一性设()d Xˆ,ˆ是另一个完备度量空间，且X 与()d X ˆ,ˆ中稠密子集W ˆ等距同构. 作X ˆ到X ~上映照T 如下：对∈∀xˆX ˆ，由于W ˆ在X ˆ中稠密，∃W ˆ中点列(){}∞=1ˆn n x ，s.t.()n xˆ→x ˆ.但由于W ˆ与X 等距同构，W 也与X 等距同构，从而W ˆ与W 也等距同构. 设ϕ为W ˆ到W 上等距同构映照，由()n xˆ→x ˆ知()(){}∞=1ˆn n x ϕ是X ~中柯西点列，由X ~完备性，X x ~~∈∃，s.t.()()x x n ~ˆ→ϕ. 令x T ˆ=x ~.首先，这样定义的T 与(){}∞=1ˆn n x无关， 即若另有(){}∞=1ˆn n y ，()W ynˆˆ∈，ΛΛ,2,1=n ，()x yn ~ˆ→，则 ∞→n lim ()()nxˆϕ=∞→n lim ()()ny ˆϕ. 实因 ()()()()()n n n n y xd ˆlim ,ˆlim ~ϕϕ∞→∞→=∞→n lim ()()()()()n n y x d ˆ,ˆ~ϕϕ=∞→n lim ()()()n n y x d ˆ,ˆˆ=()x x d ˆ,ˆˆ=0.所以∞→n lim ()()n xˆϕ=∞→n lim ()()n y ˆϕ. 下证T 是X 到X ~上的等距同构映照, 对∀∈x ~X ~，由于W 是X ~的稠密子集，所以存在W 中点列(){}∞=1~n n x ，s.t.()x x n →~. 同前证明可知()(){}∞=-11~n nx ϕ为X ˆ中的柯西点对，有∈x ˆX ˆ，s.t.()()x x n ˆ~1→-ϕ. 易知T xˆ=x ~，即T 映照X ˆ到X 上. 又对∀∈y x ˆ,ˆX ˆ，有W ˆ中点列(){}∞=1ˆn n x 和(){}∞=1ˆn ny， s.t. ()x x n ˆˆ→，()y y n ˆˆ→. 所以 ()y x dˆ,ˆˆ=∞→n lim ()()()n n y x d ˆ,ˆˆ=∞→n lim ()()())ˆ(),ˆ(~n n y x d ϕϕ=()y T x T d ˆ,ˆ~， 所以T 是一个等距同构映照. 所以X ˆ与X ~等距同构. 证毕.若将彼此等距同构的度量空间视为同一空间，则有Th 1' 设X =()d X ,是度量空间，那么存在唯一的完备度量空间X ~=()d X ~,~使X 为X ~的稠密子空间.作业：P 206.16.证明∞l 与(]1,0C 的一个子空间等距同构. 作业提示：作∞l 到(]1,0C 内的映照T ：()ΛΛ,,,,21k ξξξ→()t x ，其中()k t x =k ξ，ΛΛ,2,1=k ; t 取(]1,0的其它值时，()t x 是线性的. 后面证明略.§6压缩映照原理及其应用(1) 教学内容(或课题)：目的要求： 掌握压缩映照概念，掌握不动点概念，掌握压缩映照定理的证明方法，学会用压缩映照定理解决隐函数存在性、微分方程解之存在性的方法.教学过程： Def 1. 设X 是度量空间，T 是X 到X 中的压映照，若存在一个数α：0<α<1，s.t. ∀x 、y X ∈，成立()Ty Tx d ,≤α()y x d , (1) 则称T 是X 到X 中的压缩映照(简称压缩映照).Th 1.(压缩映照定理) 设X 是完备度量空间，T 是X 上的压缩映照，则T 有且只有一个不动点(即方程x Tx =有且只有一个 解).证： 固定∀0x X ∈，令 1x =0Tx ，2x =1Tx =02x T ，n x ，ΛΛ=1-n Tx =ΛΛ，0x T n ， 则{}∞=1n n x 是X 中的柯西点列， 实因()m m x x d ,1+=()1,-m m Tx Tx d ≤α()1,-m m x x d=α()21,--m m Tx Tx d ≤2α()21,--m m x x d ≤()01,x x d m α≤ΛΛ. (2) 由三点不等式，当m n >时，()n m x x d ,≤()++1,m m x x d ()ΛΛ+++21,m m x x d ()n n x x d ,1-+≤(m α1-+m αΛΛ+1-+n α)()01,x x d =mα⋅--⋅-αα11mn ()01,x x d . 因为0<α<1，所以11<--m n α，所以()n m x x d ,≤αα-1m()01,x x d (m n >) (3) 所以当∞→m ，∞→n 时，()n m x x d ,0→. 所以{}∞=1n n x 是X 中的柯西点列.由X 完备性， 存在x X ∈，s.t. m x →x . 由三点不等式和条件(1)，有 ()Tx x d ,≤()+m x x d ,()Tx x d m ,≤()+m x x d ,α()x x d m ,1-→0 (∞→m ). 所以()Tx x d ,=0，所以 x =Tx .往证唯一性. 若又有X x ∈~，s.t. x x T ~~=，则由条件(1)，得()x x d ~,=()x T Tx d ~,≤α()x x d ~,，()α-1()x x d ~,≤0. 又因为α-1>0，所以()x x d ~,=0，所以x =x ~. 证毕.Th 2. 设函数()y x f ,在带状域b x a ≤≤，+∞<<∞-y 中处处连续，且处处有关于y 的偏导数()y x f y ,'，若存在常数m 和M ， 满足 m <M ，0<m ≤()y x f y ,'≤M ， 则方程 ()y x f ,=0 在区间[]b a ,上必有唯一的连续函数()x y ϕ=作为解：()()≡x x f ϕ,0，∈x []b a ,.证 在完备度量空间[]b a C ,中作映照A ，s.t.∀()x ϕ∈ []b a C ,，有()()x A ϕ=()x ϕM1-()()x x f ϕ,. 因为()y x f ,连续，所以()()x A ϕ也连续，所以ϕA ∈[]b a C ,. 所以A 是[]b a C ,到自身的映照. ∀取21,ϕϕ∈[]b a C ,，()()()()x A x A 12ϕϕ-=()()()()()()x x f Mx x x f M x 1122,1,1ϕϕϕϕ+--= ()()()()()()[]()()()x x x x x x f Mx x y 1212112,1ϕϕϕϕθϕϕϕ--+'-- =()()()()[]()()x x x x x x f My 12121,11ϕϕϕϕθϕ-⋅-+'-(0<θ<1)， 0<M m <()()()()()x x x x f My 121,1ϕϕθϕ-+'≤M M =1. 令α=1-Mm，则0<α<1，且 12ϕϕA A -≤α12ϕϕ-. 所以[]b a x Sup ,∈12ϕϕA A -≤α[]b a x Sup ,∈12ϕϕ-，所以()12,ϕϕA A d ≤α()12,ϕϕd . 所以A 是压缩映照. 由Th 1，存在唯一的ϕ∈[]b a C ,，满足()x ϕ≡()x ϕM1-()()x x f ϕ,，即 ()()x x f ϕ,≡0，b x a ≤≤. 证毕. Th 3.(Picard) 设()x t f ,是矩形 R =(){}b x x a t t x t ≤-≤-00,,上的二元连续函数，设()x t f ,≤M ，()x t ,∈R . 又()x t f ,在R 上关于x 满足Lipschitz 条件，即存在常数K ，s.t.∀()x t ,、()v t ,∈R ，有 ()()v t f x t f ,,-≤K v x - (4) 则方程dtdx=()x t f , 在区间J =[]ββ+-00,t t 上有唯一的满足条件()0t x =0x 的连续函数的解，其中β<⎭⎬⎫⎩⎨⎧K M b a 1,,min . (5)证 连续函数空间[]ββ+-00,t t C 是完备度量空间，用C ~表示[]ββ+-00,t t C 中满足条件|()0x t x -|≤M β (∈t J ) (6)的连续函数全体所成的子空间，显然C ~是闭子空间. 由§4.Th 1, C ~是完备度量空间. 令()t Tx =()()⎰+tt ds s x s f x 0,0， (7)则T 是C ~到C ~中的映照. 实因 M β<b ，若∈x C ~，则当∈t []ββ+-00,t t 时，()()t x t ,∈R ，又因()x t f ,在R 上二元连续，所以(7)式右边积分有意义. 又对J t ∈∀，成立()0x t Tx -=()()⎰t t ds s x s f 0,≤M 0t t -≤M β，所以当∈x C ~时，Tx ∈C ~.T 是压缩映照. 实因由Lipschitz 条件(4)，对C ~中任意两点x 和v ，有 ()()t Tv t Tx -=()()()()[]⎰-tt ds s v s f s x s f 0,,≤0t t -K []()()t v t x b a t -∈,max≤βK ()v x d ,. 令α=βK ，则0<α<1，且()Tv Tx d ,=[]()()t v t x b a t -∈,max ≤α()v x d ,. 即T 是C ~上的压缩映照.由Th 1，存在唯一∈x C ~，s.t.Tx x =，即()t x =()()⎰+tt ds s x s f x 0,0， (8)且()00x t x =. 两边对t 求导，得()()()t x t f dtt dx ,=. 故()t x 是方程 dtdx=()x t f ,的解. 若又有()t x ~也是方程 dtdx=()x t f , 满足初值条件()00~x t x =的解，则因()t x ~=()()⎰+t t ds s x s f x 0~,0，所以x ~C ~∈且x ~是的T 不动点，所以x ~=x . 作业： P 206.17.有界闭集n R F ⊂，A 是F 到自身映照，∀x ，y ∈F ()y x ≠，有()Ay Ax d ,<()y x d ,. 证明映照A 在F 中存在唯一的不动点.作业提示：令 ()x ϕ=()Ax x d ,，x ∈F . ∀x ，0x ∈F ，因为()()=-0x x ϕϕ()Ax x d ,()00,Ax x d -≤()()()-++Ax Ax d Ax x d x x d ,,,0000()00,Ax x d=()()Ax Ax d x x d ,,00+<()0,2x x d . 所以0x x →时必有()()0x x ϕϕ→. 即()x ϕ在F 连续. 所以存在x ∈F ，s.t. ()x ϕ=()x Fx ϕ∈min a ∆=. 显然a ≥0.往证a =0.用反证法，设a >0，则由x A ∈F ，()x A x A d 2,<()x A x d ,=()x ϕ=a 与a =()x Fx ϕ∈min 矛盾. 所以a =0. 于是()x A x d ,=()x ϕ=0，有x =A x . 即x为A 之不动点. 因为F y x ∈∀,，有 ()Ay Ax d ,<()y x d ,， 只要x Ax =，就有()Ay x d ,<()y x d ,，从而必有y Ay ≠()时y x ≠，所以不动点唯一.§6.压缩映照原理及其应用(2).教学内容(或课题)：习题课目的要求： 在掌握压缩映照原理之后，重点掌握应用压缩映照原理的常用方法.教学过程：1、 设X 为完备度量空间，A 是X 到X 中的映照，记n α=x x Sup '≠()()x x d x A x A d n n '',,，若∑∞=1n n α<∞，则映照A 有唯一不动点.证 因为n α=x x Sup '≠()()x x d x A x A d n n '',,，所以x x '≠时，()x A x A d n n ',≤n α()x x d ',. 又x x '=时，上式也成立. 因此对X x x ∈'∀,，恒有()x A x A d n n ',≤n α()x x d ',.因为∑∞=1n n α<∞，所以>∀ε0，N ∈∃N ，s.t.m n ,∀：N m n >>时，有 11-++++n m m αααΛΛε<. 又至少有一个1<k α. ∀固定0x ∈X ，依次令 1x =A 0x ，2x =A 1x =2A 0x ，3x =A 2x =3A 0x ，m x ,ΛΛ=A 1-m x =m A ΛΛ,0x则 ()1,+m m x x d =()10,x A x A d m m ≤m α()10,x x d ， ()21,++m m x x d =()1101,x A x A d m m ++≤1+m α()10,x x d ， ，ΛΛΛ()n n x x d ,1-=()1101,x A x A d n n --≤1-n α()10,x x d . 所以 ()n m x x d ,≤()1,+m m x x d +()21,++m m x x d ++ΛΛ()n n x x d ,1-≤ (m α+1+m α++ΛΛ1-n α)()10,x x d ⋅<ε()10,x x d . 所以{}∞=1m m x 是X 中的柯西点列. 因为X 是完备度量空间，所以∃x X ∈，s.t.m x →x . 所以()Ax x d ,≤()()Ax x d x x d m m ,,+=()()Ax Ax d x x d m m ,,1-+≤()()→+-x x d x x d m m ,,11α0 ()∞→m . 所以 ()Ax x d ,=0， 所以 Ax x =，且x A x k =.再设又有x ~X ∈，s.t. x ~=x A ~，则x A x k ~~=()x x d ~,=()x A x A d k k ~, k α≤()x x d ~,. 因为0≤k α1<，所以()x x d ~,=0，所以=x x ~. 证毕.2、 设A 为完备度量空间X 到X 中的映照， 若在开球()r x B ,0()0>r 内适合 ()x A Ax d ',<()x x d ',，0<θ<1，又在闭球()r x S ,0=(){}r x x d x ≤0,A 连续，且 ()00,Ax x d ≤θ()r θ-1. 证明A 在()r x S ,0中有唯一的不动点.证 因为∈'∀x x ,()r x B ,0，有()x A Ax d ',<θ()x x d ',. 设x ~在球面上：()x x d ~,0=r . 令n x ~→x ~且n x ~∈()r x B ,0，ΛΛ,2,1=n ，所以 ()n x A Ax d ~,<θ()n x x d ~,. 因为A 连续，所以x A Ax n ~→. 又因距离连续，所以于上式令∞→n ，得()x A Ax d ~,≤θ()x x d ~,. 同理当x 在球面上：()x x d ,0=r ，而x '∈()r x B ,0时，也有()x A Ax d ',≤θ()x x d ',.再设x ,x ~均在球面上，取n x →x ，n x ~→x ~且n x ,n x ~∈()r x B ,0，由()n n x A Ax d ~,≤θ()n n x x d ~,，令n →∞，得()x A Ax d ~,≤θ()x x d ~,.到此已证出∈'∀x x ,()r x S ,0，均有 ()x A Ax d ~,≤θ()x x d ~,. 因()r x S ,0是X 中的一个闭子集，而X 为完备度量空间，故()r x S ,0也是X 中的一个完备的子空间. 往下只要证明在()r x S ,0中A 央()r x S ,0到自身的映照. 设x ∈()r x S ,0，则()x x d ,0≤r .()Ax x d ,0≤()+00,Ax x d ()00,Ax Ax d≤ θ()r θ-1+θ()x x d ,0≤()22θθ-r =()[]211θ--r ≤r ，所以A x ∈()r x S ,0. 毕.3、设jk a ，j ,k =n ,,2,1ΛΛ为一组实数，适合条件()∑=-nj i ij ij a 1,2δ<1，其中j =k 时，jk δ=1，否则jk δ=0. 证明代数方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nn nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ22112222212********* 对任何一组固定的n b b b ,,,21ΛΛ必有唯一的一组解n x x x ,,,21ΛΛ. 证 在完备度量空间n R 中，令 T b =(n b b b ,,,21ΛΛ)，T x =(n x x x ,,,21ΛΛ)，T x '=(n x x x ''',,,21ΛΛ)，方程组的系数矩阵记作A ，则方程组可改写为 A x =b 或 A x '=b . 又可改写为x =b ()E A --x 或 x '=b ()E A --x '.令映照ϕ：ϕx =b ()E A --x ，ϕx '=b ()E A --x '，则 ()x x d 'ϕϕ,=()()()x E A b x E A b d '----, =(()()()()[]21221211111n n n x x a x x a x x a '-++'-+'--ΛΛ+()()()()[]22222211211n n n x x a x x a x x a '-++'--+'-ΛΛ+ +ΛΛΛΛΛ()()()()[]22221111x x a x x a x x a n nn n n '--++'-+'-ΛΛ)21.利用柯西不等式，得()x x d 'ϕϕ,≤()()[(21222222212121221111n n n a a a a a a a++++-+++++-ΛΛΛΛΛΛ()]2221-+++nn n a a ΛΛ()()()])⎢⎣⎡'-++'-+'-21222211n n x x x x x x ΛΛ=()211,2⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∑=nj i ij ij a δ()x x d ',. 记常数()211,2⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∑=nj i ij ij a δ=α， 由已知条件，有0<α<1. 于是对n R x x ∈'∀,，有()x x d 'ϕϕ,≤α()x x d ',，即ϕ为压缩映照. 由压缩映照原理，存在唯一x ，s.t. x =ϕx ，即x =b ()E A --x 或A x =b .附注： 如果和P 225.题与联起来，那么d 是由⋅诱导的距离，有()x x d 'ϕϕ,=()()()x E A b x E A b d '----,=()()[]x E A b x E A b '-----=()()x x E A '--≤E A -x x '-=()211,2⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∑=nj i ij ij a δ()x x d ',=α()211,2⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∑=nj i ij ij a δ()x x d ',，这就简便多了.作业： 4、设()t f ∈[]1,0C ，求方程()()()⎰+=tds s x t f t x 0λ的连续解.作业提示： 若()t f 可导，则由 ()t x '=()+'t f λ()t x ， 得()t x =te λ()()⎪⎭⎫ ⎝⎛'+⎰-t s ds sf e f 00λ=t e λ()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰-ts ds s f e f 00λλ()t f +=()+t f ()()⎰-ts t ds s f e 0λλ.若()t f 不可导，则令()t x 0=()t f ，()t x n =()t f ()⎰-+tn ds s x 01λ迭代而得()=t x 1()t f ()⎰+tds s f 0λ，()=t x 2()t f ()⎰+t ds s x 01λ=()t f ()()⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛++tsds d f s f 00ττλλ =()t f ()⎰+tds s f 0λ()⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+tsds d f 002ττλ =()t f ()⎰+tds s f 0λ()⎰⎰+ttds d f 02τττλ=()t f ()⎰+t ds s f 0λ()()⎰-+td f t 02τττλ=()t f ()⎰+t ds s f 0λ()()⎰-+tds s f s t 02λ.()t x 3=()t f ()⎰+tds s x 02λ=()t f ()()()()⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+++ts sds d f s d f s f 0002τττλττλλ=()t f ()⎰+tds s f 0λ()()⎰-+tds s f s t 02λ()()⎰-+tds s f s t 023!2λ(理由同上). 一般地有 ()t x n =()t f ()⎰+ts f 0λ()()()()ds n s t t s t n n ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--++-+-+--!1!211122λλλΛΛ→()t f ()()⎰-+ts t ds s f e 0λλ. 所以 ()=t x =()t f ()()⎰-+ts t ds s f e 0λλ.。

目录一工程地震勘探发展背景及现状 (1)二泛函分析基本原理 (3)1 空间与算子 (3)2 工程反问题一般涉及两个方面的问题 (4)3 算子的三种收敛性 (5)三工程地震应用 (6)1 工程检测裂缝 (6)1.1 裂缝简支梁模型 (6)1.2估计裂缝参数的泛函分析 (7)2 工程检测弹性简支梁 (9)2．1 线弹性简支梁 (9)2.2泛函分析识别裂缝参数 (9)3 基于模型地震反演[37] (10)3.1方法原理 (10)3.2应用与限制 (11)四结论 (12)参考文献： (13)工程地震勘探中的泛函分析一工程地震勘探发展背景及现状工程、环境地震勘探有其特殊要求,通常对环境和成本比较苛求,施工要求不扰民、不破坏、成本低、速度快,否则不如钻探.同时,又对绝对精度和正确率要求非常高.因为深度浅,目标小,打钻或开挖验证非常及时,容错率范围小,动辄牵涉到工程事故,不能有半点差错.因此,工程、环境地震勘探对仪器和技术提出了更高的要求.我国工程地震勘探已经历了一个较长的发展时期，是一门年轻的正在蓬勃发展的勘探地球物理学科。

它是根据人工激发的地震波在介质中传播的物理特性来研究地下岩土体或地层的地震参数与岩土物性参数及结构参数之间的关系,确定各种地质界面的空间位置、形态,解决非均匀复杂小构造地质体的形态、性质、结构以及对地下介质进行综合评价[1]。

我国的工程地震勘探从20世纪70年代中期浅层反射波法才逐渐兴起,但进展速度较快,与发达国家同时进人实用阶段, 在此期间面波勘探、长时微动测量等新技术的出现,丰富了工程地震勘察手段,扩大了它的应用范围。

80年代初随着信号增强型浅层地贡仪的出现，有了较大规模的系统发展。

近些年来,随着我国城市建设的深入发展,交通、水利等基础建设投入的加大,各种工程地质和工程质量问题,不仅影响了基础建设的发展,还危害到国家和人民的生命财产安全。

因此,如何准确地对地下不良地质体或地质界面进行有效的探测成为各种基础建设的前提条件。

应用泛函分析教案第一章：泛函分析引言1.1 泛函分析的概念介绍泛函分析的基本概念，例如赋范线性空间、内积空间、巴拿赫空间等。

解释泛函分析与其他数学分支的关系，例如微积分、线性代数等。

1.2 泛函分析的应用探讨泛函分析在数学物理中的重要作用，例如偏微分方程、量子力学等。

介绍泛函分析在工程和计算机科学中的应用，例如信号处理、机器学习等。

第二章：赋范线性空间2.1 赋范线性空间的基本概念定义赋范线性空间，介绍范数的性质和例子。

解释赋范线性空间中的距离和角度概念。

2.2 赋范线性空间的主要结果介绍赋范线性空间中的基本定理，例如三角不等式、平行四边形法则等。

探讨赋范线性空间中的极限和连续性概念。

第三章：内积空间3.1 内积空间的基本概念定义内积空间，介绍内积的性质和例子。

解释内积空间中的正交性和角度概念。

3.2 内积空间的主要结果介绍内积空间中的基本定理，例如帕施-柯尔莫哥洛夫定理、正交基等。

探讨内积空间中的谱理论和量子力学中的应用。

第四章：巴拿赫空间4.1 巴拿赫空间的基本概念定义巴拿赫空间，介绍巴拿赫空间的特点和例子。

解释巴拿赫空间中的弱收敛和紧性概念。

4.2 巴拿赫空间的主要结果介绍巴拿赫空间中的主要定理，例如巴拿赫-魏尔斯特拉斯定理、Riesz表示定理等。

探讨巴拿赫空间在函数逼近论和泛函积分中的应用。

第五章：泛函分析的应用实例5.1 信号处理中的应用介绍泛函分析在信号处理中的应用，例如希尔伯特空间、正交函数等。

探讨泛函分析在信号滤波和去噪等问题的解决中的作用。

5.2 机器学习中的应用介绍泛函分析在机器学习中的应用，例如核函数、支持向量机等。

探讨泛函分析在特征选择和优化算法中的作用。

第六章：赋范线性空间的operators6.1 算子概念定义算子和赋范线性空间中的算子，例如线性映射、紧算子、有界算子等。

解释算子的性质和例子，例如线性、连续、可逆等。

6.2 算子的基本理论介绍算子的基本定理，例如谱定理、弗雷德孙定理、盖尔丹定理等。