浙江省诸暨市牌头中学高考数学 作业 理

高三放假作业一、选择题1.已知集合2{|22},{|log (1)},M x x N x y x M N =-≤<==-I 则= （ ）A ．{|20}x x -≤<B ．{|10}x x -<<C ．{|12}x x <<D ．{—2，0}2.．若函数f (x ) (x ∈R )是奇函数，函数g (x ) (x ∈R )是偶函数，则 ( ) A ．函数f (x )⋅g (x )是偶函数 B ．函数f (x )⋅g (x )是奇函数 C ．函数f (x )＋g (x )是偶函数 D ．函数f (x )＋g (x )是奇函数3.已知,αβ的终边在第一象限，则“αβ>”是“sin sin αβ>” （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分与不必要条件4. 已知0a b >>，则下列不等式中总成立的是 ( )A 11a b b a +>+ B 11a b a b +>+ C 11b b a a +>+. D 11b a b a->- 5. 已知2cos 23θ=，则44sin cos θθ-的值为 ( )A 23B 23-C 1811D 29-6.在数列{a n }中，a 1=1,a n a n-1=a n-1+(-1)n (n ≥2,n ∈N *),则35a a 的值是 ( )(A)1516(B)158(C)34(D)387.已知各项不为0的等差数列{a n }满足2a 3-27a +2a 11=0,数列{b n }是等比数列，且b 7=a 7，则b 6·b 8= ( ) (A)2(B)4(C)8(D)168．已知数列{a n }的通项公式a n =log 2 n 1n 2++(n ∈N *)，设{a n }的前n 项和为S n ,则使S n ＜-5成立的自然数n (A)有最大值63(B)有最小值63 (C)有最大值31(D)有最小值31 ( )9．若关于x 的不等式220x ax +->在区间[]1,5上有解，则实数a 的取值范围为 （ ） A ．),523(+∞-B ．]1,523[-C ．(1,+∞)D ．)1,(--∞10. 在ABC ∆中，点D 在线段BC 的延长线上，且CD BC =，点O 在线段CD 上（与点C,D 不重合）若 AC x AB x AO )1(-+=则x 的取值范围 （ ） A ． )1,0( B ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．)0,1(- D ．1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭二、填空题11．等差数列}{n a 中20131=a ，前n 项和为n S ，10121210S S -2-=，则2013S 的值为 12．在锐角△ABC 中，若A=2B ，则的取值范围是 ．13．已知2,0,()(1),0.x x f x f x x >⎧=⎨+≤⎩则4()3f -的值等于 ．14. 已知实数,a b 满足：102102210a b a b a b -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，z a b =-，则z 的最大值是___________15.如图所示，BC 3CD =u u u r u u u r ，O 在线段CD 上，且O 不与端点C 、D 重合，若()AO mAB 1m AC =+-u u u r u u u r u u u r,则实数m 的取值范围为______.16.．定义：区间)](,[2121x x x x <长度为12x x -.已知函数|log |5.0x y =定义域为],[b a ，值域为]2,0[，则区间],[b a 长度的最小值为 .17. 若至少存在一个0x >，使得关于x 的不等式22||x x a <--成立，则实数a 的取值范围为 ． 三、解答题 18．已知函数，其中=，．（1）求函数f （x ）在区间上的单调递增区间和值域；（2）在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，f （A ）=﹣1，且b=1，△ABC 的面积，求边a 的值．19．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n =2﹣a n ，n=1，2，3，…． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若数列{b n }满足b 1=1，且b n+1=b n +a n ，求数列{b n }的通项公式； （3）设c n =n （3﹣b n ），求数列{c n }的前n 项和为T n ．20．已知函数．（1）若a=1，求函数f（x）的极值；（2）若函数f（x）在[2，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围；（3）若函数f（x）在[1，e]上的最小值为3，求实数a的值．21．已知二次函数f（x）=ax2+bx+c．（1）设f（x）在[﹣2，2]上的最大值、最小值分别是M、m，集合{x|f（x）=x}={1}，且a≥1，记h（a）=M+m，求h（a）的最小值．（2）当a=2，c=﹣1时，C ，求实数b的取值范围；①设A=[﹣1，1]，不等式f（x）≤0的解集为C，且A②设g（x）=|x﹣t|﹣x2﹣bx（t∈R），求f（x）+g（x）的最小值．高三放假作业 班级 姓名一、选择题1.已知集合2{|22},{|log (1)},M x x N x y x M N =-≤<==-I 则= （ C ）A ．{|20}x x -≤<B ．{|10}x x -<<C ．{|12}x x <<D ．{—2，0} 2.．若函数f (x ) (x ∈R )是奇函数，函数g (x ) (x ∈R )是偶函数，则( B )A ．函数f (x )⋅g (x )是偶函数B ．函数f (x )⋅g (x )是奇函数C ．函数f (x )＋g (x )是偶函数D ．函数f (x )＋g (x )是奇函数 3.已知,αβ的终边在第一象限，则“αβ>”是“sin sin αβ>” （ D ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分与不必要条件 4. 已知0a b >>，则下列不等式中总成立的是 （ A ）A 11a b b a +>+ B 11a b a b +>+ C 11b b a a +>+. D 11b a b a->- 5. 已知2cos 23θ=，则44sin cos θθ-的值为（ B ）A 23B 23-C 1811D 29-3.（易错题）在数列{a n }中，a 1=1,a n a n-1=a n-1+(-1)n (n ≥2,n ∈N *),则35a a 的值是( )(A)1516 (B)158(C)34(D)383.【解析】选C.当n=2时，a 2·a 1=a 1+(-1)2，∴a 2=2； 当n=3时，a 3a 2=a 2+(-1)3， ∴a 3=12； 当n=4时，a 4a 3=a 3+(-1)4， ∴a 4=3；当n=5时，a 5a 4=a 4+(-1)5， ∴a 5=23， ∴35a a =34.6.已知各项不为0的等差数列{a n }满足2a 3-27a +2a 11=0,数列{b n }是等比数列，且b 7=a 7，则b 6·b 8=( D )(A)2 (B)4 (C)8 (D)163．已知数列{a n }的通项公式a n =log 2 n 1n 2++(n ∈N *)，设{a n }的前n 项和为S n ,则使S n ＜-5成立的自然数n( ) (A)有最大值63 (B)有最小值63 (C)有最大值31(D)有最小值31选B.S n =a 1+a 2+…+a n =l og 223+log 234+…+log 2n 1n 2++=log 2(23n 134n 2+⨯⨯⋯⨯+) =log 22n 2+＜-5 ∴2n 2+＜2-5,∴n+2＞26,∴n ＞62. 又n ∈N *，∴n 有最小值63.8．若关于x 的不等式220x ax +->在区间[]1,5上有解，则实数a 的取值范围为 （ A ）A ．),523(+∞- B ．]1,523[-C ．(1,+∞)D ．)1,(--∞10. 在ABC ∆中，点D 在线段BC 的延长线上，且CD BC =，点O 在线段CD 上（与点C,D 不重合）若AC x AB x AO )1(-+=则x 的取值范围 （C ） A ． )1,0( B ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．)0,1(- D ．1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭二、填空题14．等差数列}{n a 中20131=a ，前n 项和为n S ，10121210S S -2-=，则2013S 的值为 2020 10．（5分）在锐角△ABC 中，若A=2B ，则的取值范围是 （，） ．考点： 正弦定理． 专题： 解三角形． 分析： 利用正弦定理列出关系式，将A=2B 代入，利用二倍角的正弦函数公式化简，约分得到结果为2cosB ，根据三角形的内角和定理及三角形ABC 为锐角三角形，求出B 的范围，进而确定出cosB 的范围，即可得出所求式子的范围．解答： 解：∵A=2B，∴根据正弦定理=得：====2cosB ，∵A+B+C=180°，∴3B+C=180°，即C=180°﹣3B ， ∵C 为锐角，∴30°＜B ＜60°， 又0＜A=2B ＜90°， ∴30°＜B ＜45°， ∴＜cosB ＜，即＜2cosB ＜，则的取值范围是（，）．故答案为：（，）14．已知2,0,()(1),0.x x f x f x x >⎧=⎨+≤⎩则4()3f -的值等于 ．3415. 已知实数,a b 满足：102102210a b a b a b -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，z a b =-，则z 的最大值是___________答案：128.【解析】∵PA u u u r =(2,2)-(1,1)=(1,1), PB u u u r=(1,0), ∴PA u u u r -t PB u u u r=(1,1)-t(1,0)=(1-t,1),∴|PA u u u r -t PB u u u r |=()221t 15-+≤,∴(t-1)2+1≤5,∴-1≤t ≤3. 答案：［-1,3］11.如图所示，BC 3CD =u u u r u u u r ，O 在线段CD 上，且O 不与端点C 、D 重合，若()AO mAB 1m AC =+-u u u r u u u r u u u r,则实数m 的取值范围为______.9.【解析】设CO kBC =u u u r u u u r ，则k ∈(0,13)∴AO AC CO AC kBC AC k(AC AB)=+=+=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r=(1+k)AC uuu r -k AB u u u r 又()AO mAB 1m AC =+-u u u r u u u r u u u r∴m=-k ∵k ∈(0,13),∴m ∈(13-,0). 答案：（13-，0）16.(P182B-4)12．定义：区间)](,[2121x x x x <长度为12x x -.已知函数|log |5.0x y =定义域为],[b a ，值域为]2,0[，则区间],[b a 长度的最小值为 .43 17. 若至少存在一个0x >，使得关于x 的不等式22||x x a <--成立，则实数a 的取值范围为 ．9(2,)4- 三、解答题16．已知函数，其中=，．（1）求函数f （x ）在区间上的单调递增区间和值域；（2）在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，f （A ）=﹣1，且b=1△ABC 的面积，求边a 的值．考点： 正弦函数的定义域和值域；三角函数中的恒等变换应用；解三角形． 专题： 计算题． 分析： （1）利用向量的数量积，二倍角公式两角差的余弦函数化简函数的表达式，然后结合余弦函数的单调增区间求函数的单调递增区间，确定函数 在上的单调增区间，单调减区间，然后求出函数的最大值最小值，即可确定函数的值域． （2））由于f （A ）=﹣1，求得又求得c=4最后由余弦定理得a 值即可． 解答： 解：（1）==（2分） 由得，又∴单调增区间为．（4分）由∴﹣1≤f（x ）≤2∴f（x ）∈[﹣1，2]（6分） （2）∵f（A ）=﹣1，∴，（8分） 又，∴c=4（10分）由余弦定理得a 2=b 2+c 2﹣2bccosA=13（12分）17．（15分）设数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n =2﹣a n ，n=1，2，3，…． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若数列{b n }满足b 1=1，且b n+1=b n +a n ，求数列{b n }的通项公式； （3）设c n =n （3﹣b n ），求数列{c n }的前n 项和为T n ．考点： 数列的求和；数列的函数特性；等比数列的通项公式． 专题： 计算题． 分析：（1）利用数列中a n 与 Sn 关系解决．（2）结合（1）所求得出b n+1﹣b n =．利用累加法求b n（3）由上求出c n=n （3﹣b n）=，利用错位相消法求和即可．解答：解：（1）因为n=1时，a1+S1=a1+a1=2，所以a1=1．因为S n=2﹣a n，即a n+S n=2，所以a n+1+S n+1=2．两式相减：a n+1﹣a n+S n+1﹣S n=0，即a n+1﹣a n+a n+1=0，故有2a n+1=a n．因为a n≠0，所以=（ n∈N*）．所以数列{a n}是首项a1=1，公比为的等比数列，a n=（ n∈N*）．（2）因为b n+1=b n+a n（ n=1，2，3，…），所以b n+1﹣b n=．从而有b2﹣b1=1，b3﹣b2=，b4﹣b3=，…，b n﹣b n﹣1=（ n=2，3，…）．将这n﹣1个等式相加，得b n﹣b1=1+++…+==2﹣．又因为b1=1，所以b n=3﹣（ n=1，2，3，…）．（3）因为c n=n （3﹣b n）=，所以T n=．①=．②①﹣②，得=﹣．故T n=﹣=8﹣﹣=8﹣（ n=1，2，3，…）．点评：本题考查利用数列中a n与 Sn关系求数列通项，累加法、错位相消法求和，考查转化、变形构造、计算能力．19．（16分）已知函数．（1）若a=1，求函数f（x）的极值；（2）若函数f（x）在[2，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围；（3）若函数f（x）在[1，e]上的最小值为3，求实数a的值．考点：函数模型的选择与应用；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（1）把a=1代入函数解析式，求导后由导函数等于0把定义域分段，判断出各区间段内的导函数的符号，由导函数的符号得到原函数的单调性，从而判断出极值点并求出极值；（2）求出原函数的导函数，由导函数在[2，+∞）大于等于0恒成立得到x﹣2a≥0在[2，+∞）恒成立，分离变量a后即可得到a的取值范围；（3）由原函数的导函数等于0求出导函数的零点，由零点对定义域分段，然后根据原函数的极值点与给出的区间端点值得大小关系分析原函数在区间[1，e]上的单调性，由单调性求得原函数在[1，e]上的最小值，由最小值等于3解得a的值．解答：解：（1）当a=1时，f（x）=lnx+，定义域为（0，+∞），．所以，当x∈（0，2）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；当x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，所以在（0，+∞）上f（x）有极小值，极小值为f（2）=1+ln2；（2）由，所以．若函数f（x）在[2，+∞）上是增函数，则在[2，+∞）恒成立，即x﹣2a≥0在[2，+∞）恒成立，也就是在[2，+∞）恒成立，所以a≤1．所以使函数f（x）在[2，+∞）上是增函数的实数a的取值范围是（﹣∞，1]；（3）由（2）知，以，若a≤0，则f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上为增函数，f（x）在[1，e]上的最小值为f（1）=2a=3，，不合题意；若a＞0，由f′（x）=0，得x=2a．当x∈（0，2a）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数，当x∈（2a，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，所以当2a≤1，即时，f（x）在[1，e]上为增函数，最小值为f（1）=2a=3，，不合题意；当2a≥e，即a≥时，f（x）在[1，e]上为减函数，最小值为f（e）=1+=3，a=e，符合题意；当1＜2a＜e，即时，f（x）在[1，e]上的最小值为f（2a）=ln2a+1=3，a=不合题意．综上，使函数f（x）在[1，e]上的最小值为3的实数a的值为e．点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数在闭区间上的最值，考查了分类讨论的数学思想方法，训练了利用分离变量法求参数的范围，解答的关键是会求基本初等函数的导函数和对变量的正确分类，是难题．20．（16分）已知二次函数f（x）=ax2+bx+c．（1）设f（x）在[﹣2，2]上的最大值、最小值分别是M、m，集合{x|f（x）=x}={1}，且a≥1，记h（a）=M+m，求h（d）的最小值．（2）当a=2，c=﹣1时，①设A=[﹣1，1]，不等式f（x）≤0的解集为C，且C⊆A，求实数b的取值范围；②设g（x）=|x﹣t|﹣x2﹣bx（t∈R），求f（x）+g（x）的最小值．考点：二次函数在闭区间上的最值；集合的包含关系判断及应用；函数的值域．专题：函数的性质及应用．分析：（1）由题意可得方程ax2+bx+c=x存在两等根x1=x2=1，可得 b=1﹣2a，c=a，由此可得f（x）的解析式，可得 h（a）=M+m=f（﹣2）+f（1﹣）=9a﹣﹣1，再利用单调性求出 h（a）的最小值．（2）①由不等式f （x ）≤0的解集为C ，且C ⊆A ，可得 ，由此解得 b 的范围． ②根据f （x ）+g （x ）=x 2+|x ﹣t|﹣1，分t ＜﹣时、当﹣≤t≤ 时、t ＞ 时三种情况分别求得f （x ）+g （x ）的最小值．解答： 解：（1）由题意可得方程ax 2+bx+c=x 存在两等根x 1=x 2=1，可得 b=1﹣2a ，c=a ．∴f（x ）=a +1﹣，它的对称轴为 x=1﹣∈[，1]． ∵x∈[﹣2，2]，∴h（a ）=M+m=f （﹣2）+f （1﹣）=9a ﹣﹣1， ∵a≥1，故函数 h （a ）为增函数，∴函数 h （a ）的最小值为 h （1）=． （2）当a=2，c=﹣1时，f （x ）=2x 2+bx ﹣1，①由不等式f （x ）≤0的解集为C ，且C ⊆A ，可得，解得 b ∈[﹣1，1]．②f（x ）+g （x ）=x 2+|x ﹣t|﹣1=．当 t ＜﹣时，最小值为﹣t ﹣， 当﹣≤t≤ 时，最小值为 t 2﹣1，当t ＞ 时，最小值为t ﹣．点评： 本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质的应用，集合间的包含关系，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．.22. (本题满分15分) 已知函数()ln f x x x a x =--，a ∈R . (Ⅰ)若2a =，求函数()f x 在区间[]1e ，上的最值； (Ⅱ)若()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围.注：e 是自然对数的底数. 解：(Ⅰ) 若2a =，则()2ln f x x x x =--.当[2]x e ∈，时，()22ln f x x x x =--，()22211220x x f x x x x--'=--=>， 所以函数()f x 在[]2e ，上单调递增；当[]12x ∈，时，()22ln f x x x x =-+-， ()22211220x x f x x x x -+-'=-+-=<. 所以函数()f x 在区间[]12，上单调递减， 所以()f x 在区间[]12，上有最小值()2ln 2f =-，又因为()11f =， ()()21f e e e =--，而()211e e --<，所以()f x 在区间[]1e ，上有最大值()11f =. (Ⅱ) 函数()f x 的定义域为()0+∞，． 由()0f x ≥，得ln x x a x-≥． （*） （ⅰ）当()01x ∈，时，0x a -≥，ln 0x x<， 不等式（*）恒成立，所以a ∈R ；（ⅱ）当1x ≥时，①当1a ≤时，由ln x x a x -≥得ln x x a x -≥，即ln x a x x≤-， 现令()ln x h x x x =-， 则221ln ()x x h x x-+'=， 因为1x ≥，所以()0h x '≥，故()h x 在[)1+∞，上单调递增， 从而()h x 的最小值为1，因为ln x a x x<-恒成立等价于()min a h x ≤， 所以1a ≤；②当1a >时，x a -的最小值为0，而()ln 01x x x>>，显然不满足题意. 综上可得，满足条件的a 的取值范围是(]1-∞，.。