【数学】浙江省诸暨市牌头中学2021-2021学年高二下学期3月月考试卷

浙江省诸暨市牌头中学2018届高三数学1月月考试题编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（浙江省诸暨市牌头中学2018届高三数学1月月考试题）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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牌头中学2017—2018学年第一学期1月考试卷高三数学试题一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

(请把选择题答案涂在答题卷上．．．．．．．．．．．．．） 1、集合{}1,2,3A =，若{}1,2A B =,{}1,2,3,4,5A B =，则集合B 中的元素个数为( ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．52、已知向量)1,1(=a ，),2(x b =，若b a +与b a -平行，则实数的值是 （ ） A ．2- B ．0 C ．1 D ．23、已知()n a f n =,则“函数()y f x =在[)1,+∞上单调递增”是“数列{}n a 是递增数列"的 .A 充分而不必要条件.B 必要而不充分条件.C 充要条件.D 既不充分也不必要条件 （ )4、在622x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为 （ ）A ．-240B ．—60C ．60D ．2405、已知函数()()cos 02f x x πϕϕ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭,4f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭是奇函数，则 （ ）A ．()f x 在,4ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减B ．()f x 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减C ．()f x 在,4ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增D ．()f x 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增6、在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难;次日脚痛减一半，如此六日过其关。

提示：用3X 3的数表证明，再在数表中取出一个 3X 3子表。

高二数学竞赛训练题（一） 2017.51、已知 A={xx 2 —4x+3c0} , B = {x21」+a 兰 0,x 2 — 2（a +7 X+5 兰 0}，若 A 匸 B ，则实数a 的取值范围是 ___________ 。

.2过点P 作斜率为的直线与双曲线交于 A B 两点，与y 轴交于点M 若PM 是 PA 与PB 的等2 比中项，则双曲线的半焦距为 —J3 _____3、在棱长为1的正方体 ABCD-ABQD 中，已知 O 是底面ABQD 的中心，M 是棱BB 上的点, 且S DBM : S O 1B 1 M - 2 ：3，则四面体OADM 的体积是4、已知 f (x )满足 f (x ) + f -------------- i = 1 + x(x 式 0,1)，则 g(x)=x —2f(x)的值域是I X 丿_ （-叫 V （0,址） ___ 。

5、 正数 a 、b 、c 满足 a E b +c E3a ，3b 2 兰 a （a + c ）兰 5b 2，则-―2c 的最小值是 _-18a 5 — 6、 已知D 是边长为1的正△ ABC 边BC 上的点，△ ABD △ ACD 的内切圆半径分别为 r 1、r 2，；3■- 6若满足r 1 + r 2 = —— 的点D 有两个（设为 D 、D 2），贝U DC 2=_—— __ 。

5 — 57、 在任何n 个连续的正整数中，使得必有一数其各位数字之和是7的倍数成立的最小的正整 数n 是 ___ 13 ____ 。

8、 已知正整数数列首项为2013，末项为1,且对任意的k 一2均有a^ a k ，则满足条件的数列共有 _________ 201 ____ 个。

9、 在（2n+1）X （ 2n+1）数表中，每行均是等差数列，每列各数平方后为等差数列。

证明：左上X 2、已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，点P （ -2，0）到其渐近线的距离为 2 6 3112右下=左下X右上。

2016-2017学年浙江省绍兴市诸暨市牌头中学高二（下）期中数学试卷（A卷）一、选择题（每小题4分，共48分）1．（4分）曲线在x=1处切线的倾斜角为（）A．1B．C．D．2．（4分）已知复数（i为虚数单位），那么z的共轭复数为（）A．B．C．D．3．（4分）一个三位自然数百位，十位，个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当a＞b，b＜c时称为“凹数”（如213），若a，b，c∈{1，2，3，4}，且a，b，c互不相同，则这个三位数为“凹数”的有（）个．A．6B．7C．8D．94．（4分）书架上有2本不同的语文书，1本数学书，从中任意取出2本，取出的书恰好都是语文书的概率为（）A．B．C．D．5．（4分）（x2﹣x+y）5的展开式中，x4y3的系数为（）A．8B．9C．10D．126．（4分）若（x∈R），则值为（）A．1B．0C．﹣D．﹣17．（4分）《中国诗词大会》（第二季）亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词，在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味．若《将进酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另确定的两首诗词排在后六场，且《将进酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有（）A．144种B．288种C．360种D．720种8．（4分）定义方程f（x）=f'（x）的实数根x0叫做函数的“新驻点”，若函数g（x）=x，h（x）=ln（x+1），t（x）=x3﹣1的“新驻点”分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．b＞a＞c 9．（4分）设函数f（0）x=sin x，定义f（1）x=f′[f（0）（x）]，f（2）（x）=f′[f（1）（x）]，…，f（n）（x）=f′[f（n﹣1）（x）]，则f（1）（15°）+f（2）（15°）+f（3）（15°）+…+f（2017）（15°）的值是（）A．B．C．0D．110．（4分）设曲线y=x n+1（n∈N*）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为x n，则log2017x1+log2017x2+…+log2017x2016的值为（）A．﹣log20172016B．﹣1C．log20172016﹣1D．111．（4分）已知（1﹣2x）2017=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a2016（x﹣1）2016+a2017（x﹣1）2017（x∈R），则a1﹣2a2+3a3﹣4a4+…﹣2016a2016+2017a2017=（）A．2017B．4034C．﹣4034D．012．（4分）8个不同的球放入三个相同的盒子中，问有多少种不同的放法？（）A．1094B．966C．5796D．6561二、填空题（每小题4分，共24分）13．（4分）与直线2x﹣6y+1=0垂直，且与曲线f（x）=x3+3x2﹣1相切的直线方程是．14．（4分）若函数f（x）=（x2+mx）e x的单调减区间是，则实数m的值为．15．（4分）二项式的展开式中所有二项式系数和为64，则展开式中的常数项为﹣160，则a=．16．（4分）若直线y=kx+b是曲线y=e x+2的切线，也是曲线y=e x+1的切线，则b=．17．（4分）若复数z1，z2满足|z1|=2，|z2|=3，3z1﹣2z2=，则z1•z2=．18．（4分）四面体的顶点和各棱中点共有10个点，取其中不共面的4点，不同的取法共有种．三、解答题（19题10分，20题，21题各12分，22题16分）19．7人站成一排，求满足下列条件的不同站法：（1）甲、乙两人相邻；（2）甲、乙之间隔着2人；（3）若7人顺序不变，再加入3个人，要求保持原先7人顺序不变；（4）甲、乙、丙3人中从左向右看由高到底（3人身高不同）的站法；（5）若甲、乙两人去坐标号为1，2，3，4，5，6，7的七把椅子，要求每人两边都有空位的坐法．20．设f（n）=（a+b）n（n∈N*，n≥2），若f（n）的展开式中，存在某连续3项，其二项式系数依次成等差数列，则称f（n）具有性质P．（1）求证：f（7）具有性质P；（2）若存在n≤2016，使f（n）具有性质P，求n的最大值．21．若不等式对一切正整数n都成立，（1）猜想正整数a的最大值，（2）并用数学归纳法证明你的猜想．22．已知函数f（x）=x2，g（x）=alnx．（1）若曲线y=f（x）﹣g（x）在x=1处的切线的方程为6x﹣2y﹣5=0，求实数a 的值；（2）设h（x）=f（x）+g（x），若对任意两个不等的正数x1，x2，都有＞2恒成立，求实数a的取值范围；（3）若在[1，e]上存在一点x0，使得f′（x0）+＜g（x0）﹣g′（x0）成立，求实数a的取值范围．2016-2017学年浙江省绍兴市诸暨市牌头中学高二（下）期中数学试卷（A卷）参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，共48分）1．（4分）曲线在x=1处切线的倾斜角为（）A．1B．C．D．【解答】解：∵，∴y′=x2，设曲线在x=1处切线的倾斜角为α，根据导数的几何意义可知，切线的斜率k=y′|x=1=12=1=tanα，∴α=，即倾斜角为．故选：C．2．（4分）已知复数（i为虚数单位），那么z的共轭复数为（）A．B．C．D．【解答】解：复数==，那么z的共轭复数为=．故选：B．3．（4分）一个三位自然数百位，十位，个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当a＞b，b＜c时称为“凹数”（如213），若a，b，c∈{1，2，3，4}，且a，b，c互不相同，则这个三位数为“凹数”的有（）个．A．6B．7C．8D．9【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①、在1，2，3，4中任选3个，作为a，b，c，有C43=4种情况，②、由于“凹数”要求a＞b，b＜c，将取出的3个数中最小的作为b，剩余2个数全排列，作为a、c，有A22=2种情况，则一共有4×2=8种情况，即有8个“凹数”；4．（4分）书架上有2本不同的语文书，1本数学书，从中任意取出2本，取出的书恰好都是语文书的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：书架上有2本不同的语文书，1本数学书，从中任意取出2本，基本事件总数n==3，取出的书恰好都是语文书包含的基本事件个数m==1，取出的书恰好都是语文书的概率为p==．故选：A．5．（4分）（x2﹣x+y）5的展开式中，x4y3的系数为（）A．8B．9C．10D．12【解答】解：由题意，含y3的为C53（x2﹣x）2y3，而（x2﹣x）2含x4的系数为1∴x4y3的系数为C53=10．故选：C．6．（4分）若（x∈R），则值为（）A．1B．0C．﹣D．﹣1【解答】解：（x∈R），令x=0，则a0=1，令x=时，（1﹣2×）2013=a0+++…+=0，∴++…+=﹣1，∴=﹣，7．（4分）《中国诗词大会》（第二季）亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词，在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味．若《将进酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另确定的两首诗词排在后六场，且《将进酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有（）A．144种B．288种C．360种D．720种【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①、将《将进酒》、《望岳》和另两首诗词的4首诗词全排列，有A44=24种顺序，由于《将进酒》排在《望岳》前面，则这4首诗词的排法有=12种，②、这4首诗词排好后，不含最后，有4个空位，在4个空位中任选2个，安排《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》，有A42=12种安排方法，则后六场的排法有12×12=144种；故选：A．8．（4分）定义方程f（x）=f'（x）的实数根x0叫做函数的“新驻点”，若函数g （x）=x，h（x）=ln（x+1），t（x）=x3﹣1的“新驻点”分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．b＞a＞c【解答】解：对于g（x）=x，构造F（x）=g（x）﹣g'（x）=x﹣1，依题意，函数F（x）的零点就是函数g（x）的“新驻点”，得a=1；对于h（x）=ln（x+1），构造G（x）=h（x）﹣h'（x）=ln（x+1）﹣，G（x）单调递增，且G（0）=﹣1＜0，G（1）=ln2﹣＞0，∴G（x）的零点b ∈（0，1）；对于t（x）=x3﹣1，构造H（x）=t（x）﹣t'（x）=x3﹣3x2﹣1，H′（x）=3x2﹣6x=3x（x﹣2），当x∈（﹣∞，0）∪（2，+∞）上，H′（x）＞0；当x∈（0，2）上，H′（x）＜0．∴H（x）的增区间为（﹣∞，0），（2，+∞）；减区间为（0，2）．∵H（0）=﹣1＜0，∴H（x）只有1个零点，∵H（3）=﹣1＜0，H（4）=15＞0，∴H（x）的零点c∈（3，4）．综上可得，c＞a＞b，故选：B．9．（4分）设函数f（0）x=sin x，定义f（1）x=f′[f（0）（x）]，f（2）（x）=f′[f（1）（x）]，…，f（n）（x）=f′[f（n﹣1）（x）]，则f（1）（15°）+f（2）（15°）+f（3）（15°）+…+f（2017）（15°）的值是（）A．B．C．0D．1【解答】解：f（0）x=sin x，则f（1）x=cos x，f（2）（x）=﹣sin x，f（3）（x）=﹣cos x，f（5）x=cos x，则f（5）x=f（1）（x），即f（n+4）（x）=f（n）（x），则f（n）（x）是周期为4的周期函数，则f（1）（x）+f（2）（x）+f（3）（x）+f（4）（x）=sin x+cos x﹣sin x﹣cos x=0，则f（1）（15°）+f（2）（15°）+f（3）（15°）+…+f（2017）（15°）=f（1）（15°）（15°）=cos15°=cos（45°﹣30°）=cos45°cos30°+sin45°sin30°=×+×=，故选：A．10．（4分）设曲线y=x n+1（n∈N*）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为x n，则log2017x1+log2017x2+…+log2017x2016的值为（）A．﹣log20172016B．﹣1C．log20172016﹣1D．1【解答】解：由y=x n+1，得y′=（n+1）x n，∴y′|x=1=n+1，∴曲线y=x n+1（n∈N*）在（1，1）处的切线方程为y﹣1=（n+1）（x﹣1），取y=0，得x n=1﹣=，∴x1x2…x2016=××…×=，则log2017x1+log2017x2+…+log2017x2016=log2017（x1x2…x2016）=log2017=﹣1．故选：B．11．（4分）已知（1﹣2x）2017=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a2016（x﹣1）2016+a2017（x﹣1）2017（x∈R），则a1﹣2a2+3a3﹣4a4+…﹣2016a2016+2017a2017=（）A．2017B．4034C．﹣4034D．0【解答】解：∵（1﹣2x）2017=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a2016（x﹣1）2016+a2017（x﹣1）2017（x∈R），∴﹣2×2017（1﹣2x）2016=a1+2a2（x﹣1）+…+2017a2017（x﹣1）2016，令x=0，则﹣4034=a1﹣2a2+3a3﹣4a4+…﹣2016a2016+2017a2017，故选：C．12．（4分）8个不同的球放入三个相同的盒子中，问有多少种不同的放法？（）A．1094B．966C．5796D．6561【解答】解：第一类：有2和空盒子，即把8个不同的球放在同一个盒子里，故有1种，第二类，有1个空盒子，8个球可以分为（1，7），（2，6），（3，5），（4，4）故有C81+C82+C83+C84=127种，第三类，没有空盒子，8个球可以分（1，1，6），（1，2，5），（1，3，4），（2，2，4），（2，3，3）故有C81C71+C81C72+C81C73+C82C62+C82C63=966种，根据分类计数原理可得共有1+127+966=1094，故选：A．二、填空题（每小题4分，共24分）13．（4分）与直线2x﹣6y+1=0垂直，且与曲线f（x）=x3+3x2﹣1相切的直线方程是3x+y+2=0．【解答】解：设所求的直线方程为y=﹣3x+m，切点为（n，n3+3n2﹣1）则由题意可得3n2+6n=﹣3，∴n=﹣1，故切点为（﹣1，1），代入切线方程y=﹣3x+m可得m=﹣2，故设所求的直线方程为3x+y+2=0．故答案为：3x+y+2=0．14．（4分）若函数f（x）=（x2+mx）e x的单调减区间是，则实数m的值为．【解答】解：∵函数f（x）=（x2+mx）e x，∴f′（x）=[x2+（m+2）x+m]e x，由题意得：﹣，1是方程x2+（m+2）x+m=0的根，∴，解得：m=﹣，故答案为：﹣．15．（4分）二项式的展开式中所有二项式系数和为64，则展开式中的常数项为﹣160，则a=1．【解答】解：由题意可得：2n=64，解得n=6．∴T r+1=26﹣r（﹣a）r C6r x3﹣r，令3﹣r=0，解得r=3．∴23（﹣a）3C63=﹣160，化为：（﹣a）3=﹣1，解得a=1．故答案为：1．16．（4分）若直线y=kx+b是曲线y=e x+2的切线，也是曲线y=e x+1的切线，则b=4﹣2ln2．【解答】解：设直线y=kx+b与y=e x+2和y=e x+1的切点分别为和，则切线分别为，，化简得：，，依题意有：，所以．故答案为：4﹣2ln2．17．（4分）若复数z1，z2满足|z1|=2，|z2|=3，3z1﹣2z2=，则z1•z2=．【解答】解：由3z1﹣2z2==可得=．故答案为．18．（4分）四面体的顶点和各棱中点共有10个点，取其中不共面的4点，不同的取法共有141种．【解答】解：从10个点中任取4个点有C104种取法，其中4点共面的情况有三类．第一类，取出的4个点位于四面体的同一个面上，有4C64种；第二类，取任一条棱上的3个点及该棱对棱的中点，这4点共面，有6种；第三类，由中位线构成的平行四边形（其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱），它的4顶点共面，有3种．以上三类情况不合要求应减掉，∴不同的取法共有C104﹣4C64﹣6﹣3=141种．故答案为141．三、解答题（19题10分，20题，21题各12分，22题16分）19．7人站成一排，求满足下列条件的不同站法：（1）甲、乙两人相邻；（2）甲、乙之间隔着2人；（3）若7人顺序不变，再加入3个人，要求保持原先7人顺序不变；（4）甲、乙、丙3人中从左向右看由高到底（3人身高不同）的站法；（5）若甲、乙两人去坐标号为1，2，3，4，5，6，7的七把椅子，要求每人两边都有空位的坐法．【解答】解：（1）（捆绑法），把甲乙二人捆绑在一起，再和其他5人全排列，故有种，（2）（捆绑法），先从5人选2人放着甲乙二人之间，并捆绑在一起，再和其他3人全排列，故有种，（3）（插空法），原先7人排列形成8个空，先插入1人，再从形成的9个空再插入1人，再从10个空中插入1人，故有种，（4）（分步计数法），从7人中任取3人，如a，b，c，则改变原位置站法有2种，b，c，a和c，a，b，固有种，（5）（定序法），先全排列，再除以顺序数，故有种，20．设f（n）=（a+b）n（n∈N*，n≥2），若f（n）的展开式中，存在某连续3项，其二项式系数依次成等差数列，则称f（n）具有性质P．（1）求证：f（7）具有性质P；（2）若存在n≤2016，使f（n）具有性质P，求n的最大值．【解答】（1）证明：f（7）的展开式中第二、三、四项的二项式系数分别为=7、=21、=35，∵+=2，即、、成等差数列，∴f（7）具有性质P；（2）解：设f（n）具有性质P，则存在k∈N*，1≤k≤n﹣1，使、、成等差数列，所以+=2，整理得：4k2﹣4nk+（n2﹣n﹣2）=0，即（2k﹣n）2=n+2，所以n+2为完全平方数，又n≤2016，由于442＜2016+2＜452，所以n的最大值为442﹣2=1934，此时k=989或945．21．若不等式对一切正整数n都成立，（1）猜想正整数a的最大值，（2）并用数学归纳法证明你的猜想．【解答】解：（1）当n=1时，，即，所以a＜26，a是正整数，所以猜想a=25．（2）下面利用数学归纳法证明，①当n=1时，已证；②假设n=k时，不等式成立，即，则当n=k+1时，有=因为所以，所以当n=k+1时不等式也成立．由①②知，对一切正整数n，都有，所以a的最大值等于25．…（14分）22．已知函数f（x）=x2，g（x）=alnx．（1）若曲线y=f（x）﹣g（x）在x=1处的切线的方程为6x﹣2y﹣5=0，求实数a 的值；（2）设h（x）=f（x）+g（x），若对任意两个不等的正数x1，x2，都有＞2恒成立，求实数a的取值范围；（3）若在[1，e]上存在一点x0，使得f′（x0）+＜g（x0）﹣g′（x0）成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）y=f（x）﹣g（x）=x2﹣alnx的导数为x﹣，曲线y=f（x）﹣g（x）在x=1处的切线斜率为k=1﹣a，由切线的方程为6x﹣2y﹣5=0，可得1﹣a=3，解得a=﹣2；（2）h（x）=f（x）+g（x）=x2+alnx，对任意两个不等的正数x1，x2，都有＞2恒成立，即为＞0，令m（x）=h（x）﹣2x，可得m（x）在（0，+∞）递增，由m′（x）=h′（x）﹣2=x+﹣2≥0恒成立，可得a≥x（2﹣x）的最大值，由x（2﹣x）=﹣（x﹣1）2+1可得最大值1，则a≥1，即a的取值范围是[1，+∞）；（3）不等式f′（x0）+＜g（x0）﹣g′（x0）等价于x0+＜alnx0﹣，整理得x0﹣alnx0+＜0，设m（x）=x﹣alnx+，则由题意可知只需在[1，e]上存在一点x0，使得m（x0）＜0．对m（x）求导数，得m′（x）=1﹣﹣==，因为x＞0，所以x+1＞0，令x﹣1﹣a=0，得x=1+a．①若1+a≤1，即a≤0时，令m（1）=2+a＜0，解得a＜﹣2．②若1＜1+a≤e，即0＜a≤e﹣1时，m（x）在1+a处取得最小值，令m（1+a）=1+a﹣aln（1+a）+1＜0，即1+a+1＜aln（1+a），可得＜ln（a+1）考察式子＜lnt，因为1＜t≤e，可得左端大于1，而右端小于1，所以不等式不能成立③当1+a＞e，即a＞e﹣1时，m（x）在[1，e]上单调递减，只需m（e）＜0，得a＞，又因为e﹣1﹣=＜0，则a＞．综上所述，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（，+∞）．。

2017学年第二学期牌头中学期中考试试卷高二数学注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、单选题1．已知全集U R =，集合2{|210}M x x x =--≥， {|N x y ==，则()U C M N ⋂=（ ） A. {|1}x x ≤ B. 1{|1}2x x -<≤ C. 1{|1}2x x -<< D. 1{|1}2x x -<< 2．设,a b R ∈，则“22a b >”是“330a b >>”的 （ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件3．[2018·渭南质检]一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的体积是（ ）A. B. C. D.4．已知双曲线 的离心率为，则的渐近线方程为A. B. C. D.5．若1sin 34πα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，则cos 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A.58 B. 78- C. 58- D. 786．若圆22:4210C x y x y +--+=关于直线:20(0,0)l ax by a b +-=>>对称，则12a b+的最小值为（ ）A. 1B. 5C. 7．设函数，其中常数满足．若函数（其中是函数的导数）是偶函数，则等于 A. B. C. D.8．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足17180,0S S ><,则15121215,,,S S S a a a 中最大的项为 A. 77S a B. 88S a C. 1010S a D. 99S a9．以等腰直角三角形ABC 的斜边BC 上的中线AD 为折痕，将ABD ∆与ACD ∆折成互相垂直的两个平面，得到以下四个结论：①BD ⊥平面ACD ；②ABC ∆为等边三角形；③平面ADC ⊥平面ABC ；④点D 在平面ABC 内的射影为ABC ∆的外接圆圆心.其中正确的有（ ）A. ①②③B. ②③④C. ①②④D. ①③④10．设1,2,0,OA OB OA OB OP OA OB λμ==⋅==+， 且1λμ+=， 则OA 在OP 上的投影的取值范围（ ）A. ⎛⎤ ⎥ ⎝⎦B. ⎤⎥⎝⎦C. ⎤⎥⎝⎦D. ⎛⎤⎥ ⎝⎦第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题11．已知抛物线2y ax =的准线方程为2y =-，则实数a 的值为_______. 12．在等比数列{}n a 中，如果34a =， 716a =，那么5a 等于________．13．已知x 、y 满足约束条件20{20 20x x y x y +≥+≤-≤，则目标函数2z x y =+的最大值与最小值之和为__________．14．在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若，则ABC ∆的形状一定是_____三角形．15．设椭圆22143x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，过焦点1F 的直线交椭圆于M 、N 两点，若2MNF ∆的内切圆的面积为π，则2MNF S ∆=________.16．三棱锥A B C D -的所有顶点都在球O 的表面上， AB ⊥平面,,1,2,B C D B C C D A B B C C D ⊥===,则球O 的表面积为__________．17．已知是上的偶函数，且．若关于的方程有三个不相等的实数根，则的取值范围是__________．三、解答题18．已知曲线()3f x x ax b =++在点()2,6P -处的切线方程是13320x y --=.（1）求a ， b 的值；（2）如果曲线()y f x =的某一切线与直线l ： 134y x =-+垂直，求切点坐标与切线的方程. 19．设函数，其中向量，，．（）求的最小正周期及单调减区间．（）若，求函数的值域．（）在中，，，，求与的值．20．四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是边长为2的菱形,侧面PAD ⊥底面ABCD ,60BCD ∠=,PA PD ==E 是BC 中点,点Q 在侧棱PC 上.（Ⅰ）求证: AD PB ⊥;（Ⅱ）若Q 是PC 中点,求二面角E DQ C --的余弦值; （Ⅲ）是否存在Q ,使//PA 平面DEQ ?若存在,求出PQPC的值;若不存在,说明理由. 21．已知椭圆C ： 22221(0)x y a b a b +=>>的离心率与双曲线221412x y -=的离心率互为倒数，且过点312P ⎛⎫⎪⎝⎭，． （1）求椭圆C 的方程；（2）过P 作两条直线12l l ，与圆()22231(0)2x y r r -+=<<相切且分别交椭圆于M 、N 两点． ① 求证：直线MN 的斜率为定值；② 求△MON 面积的最大值（其中O 为坐标原点）． 22．设数列{a n }的前n 项和S n . 已知a 1=1，2121233n n S a n n n +=---，n ∈N *. (Ⅰ) 求a 2的值；(Ⅱ) 求数列{a n }的通项公式； (Ⅲ) 证明：对一切正整数n ，有1211174n a a a +++< . 参考答案1．C【解析】由题得{}11{|1}x|1{|1}22U M x x x N x C M x x =≥≤-=≤∴=-<<或 所以()U C M N ⋂= 1{|1}2x x -<<,故选C. 2．B【解析】若330a b >>，则0a b >>，有220a b >>，必要性成立； 若22a b >，当2,1a b =-=时， 38a =- 31b <=，充分性不成立； 所以“22a b >”是“330a b >>”的必要不充分条件.本题选择B 选项. 3．B【解析】根据题意得到原图是三棱锥，底面为等腰直角三角形，高为1，故得到体积为：故答案为：B 。

浙江省诸暨市牌头中学2016-2017学年高二下学期期中考试（B ）一、选择题（每小题4分，共48分） 1．曲线313y x =在1x =处的切线的倾斜角为 （ ）A. 1B. 4π-C.4π D. 54π2．曲线22y x x =+在点()1,3处的切线方程是（ ）A. 410x y --=B. 3410x y -+=C. 340x y -=D. 4310y x -+=3．设函数()f x 可导，则()()11lim3x f f x x∆→-+∆∆等于 （ ）A. ()1f -'B. ()31f 'C. ()113f -' D. ()113f '4．设()ln f x x x =，若()02f x '=，则0x 等于（ ）A ．2e B ．e C ．ln 22D ．ln 2 5．已知()()e 21xf x xf '=+，则()0f '等于（ ）A ．12e +B ．12e -C ．2e -D ．2e6．设xx y sin 12-=，则='y（ ）．A ．xx x x x 22sin cos )1(sin 2--- B ．x x x x x 22sin cos )1(sin 2-+- C ．x x x x sin )1(sin 22-+- D ．xx x x sin )1(sin 22---7．已知函数()f x 的定义域为(),a b ，导函数()f x '在(),a b 上的图象如图所示，则函数()f x 在(),a b 上的极大值点的个数为( ).A. 1B. 2C. 3D. 4 8．设函数()2ln f x x x=+，则 （ ）A ．12x =为()f x 的极大值点 B ．12x =为()f x 的极小值点 C ．2x =为()f x 的极大值点 D ．2x =为()f x 的极小值点 9．函数ln xy x=的最大值为 （ ）A ．1e -B ．eC ．2eD ．10310．函数()()3e xf x x =-的单调递增区间是（ ）A ． ()0,3B ．()1,4C ．()2,+∞D ．(),2-∞11．函数sin cos y x x x =+在(),3ππ内的单调增区间是（ ）A. 3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 35,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 5,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D. (),2ππ12．若函数1)(23+++=mx x x x f 是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是 （ ）A. ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,31 B.⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-31, C.⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,31 D. ⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-31,二、填空题（每小题4分，共24分）13．已知曲线()221f x x =+在点()00,M x y 处的瞬时变化率为8-，则点M 的坐标为__________．14．函数x e x f xln )(=在点()()1,1f 处的切线方程是__________．15．设函数13)(3+-=x x x f []2,2-∈x 的最大值为M ，最小值为m ，则M+m=__________． 16．函数b x ax x x f +++=23)(在1=x 时取得极值，则实数=a _______.17．若曲线2ln 2y x ax x =+-（a 为常数）不存在斜率为负数的切线，则实数a 的取值范围是__________．18．曲线x xe x f =)(在点()e P ,1处的切线与坐标轴围成的三角形面积为 ．三、解答题19．求下列函数的导数．（每小题3分，共9分）（1）e x y x=； （2）()()22131y x x =-+; (3) ()sin 1cos .2x y x =+-（答案写在答题纸上）20．（本小题满分12分）已知函数3431)(3+=x x f . （Ⅰ）求函数)(x f 在点)4,2(P 处的切线方程；（Ⅱ）求过点)4,2(P 的函数)(x f 的切线方程. （答案写在答题纸上）21．（本小题满分12分）设函数3()65f x x x =-+,x R ∈ （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）求函数()f x 在区间[]2,2-上的最值. （答案写在答题纸上）22．（本小题满分15分）设函数()32395f x x ax x =+-+，若()f x 在1x =处有极值.（1）求实数a 的值； （2）求函数()f x 的极值；（3）若对任意的[]4,4x ∈-，都有()2f x c <，求实数 c 的取值范围.（答案写在答题纸上）参考答案一、 选择题1-12、(CACBB,ABDAC,BC)二、 填空题13. (-2,9) 14. y=ex-e 15. 2 16. -2 17. a 》0.5 18. e/4 三、解答题19. 【解析】（1）()()222e e e 1e e e x xx x x x x x x x y x x x x '''-⋅-⎛⎫⋅-'==== ⎪⎝⎭． （2）因为()()23221316231y x x x x x =-+=+--， 所以()()()()()32322623162311843y x x x x x x xx ''''''=+--=+--=+-．(3)函数sin(1)y x =+看作sin y u =和1u x =+的复合函数，()()sin 1cos cos(1)x u xy y u u x u x '''''=⋅=⋅+==+，同样的可以求出cos 2x y =的导数1sin 22x y '=-，所以题中函数的导数为1cos(1)sin .22x y x '=++20. 试题解析：（Ⅰ）∵2')(x x f = ∴在点)4,2(P 处的切线的斜率4)2('==f k∴函数)(x f 在点)4,2(P 处的切线方程为),2(44-=-x y 即044=--y x（Ⅱ）设函数)(x f 与过点)4,2(P 的切线相切于点)3431,(300+x x A ，则切线的斜率 200')(x x f k ==∴切线方程为)()3431(02030x x x x y -=+-，即34323020+-⋅=x x x y ∵点)4,2(P 在切线上∴,3432243020+-=x x 即0432030=+-x x ∴0)2)(1(200=-+x x ，解得10-=x 或20=x ∴所求的切线方程为02=+-y x 或044=--y x21.试题解析：（Ⅰ）3()65f x x x =-+ ，2'()36f x x ∴=-令'()0,f x =x ∴='(),()f x f x x 随着的变化情况如下表：x(,-∞()+∞'()f x +0 —+()f x单调递增极大值单调递减[来极小值单调递增由上表可知()f x 的单调递增区间为(,-∞和)+∞, 单调递减区间为(.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知函数()f x 在2,⎡-⎣ 上单调递增，在⎡⎣ 上单调递减，在⎤⎦上单调递增，()f x ∴的极大值(5f ==+ ， ()f x 的极小值5f ==-又(2)15(f f =<+= ， (2)95f f -=>-=∴函数()f x 在区间[]2,2-上的最大值为5+，最小值为5-.22. 【解析】试题分析：（1）先对函数()f x 求导，因为()f x 在1x =处有极值，所以()'10f =，即可求出a 的值；（2）根据（1）可知()2'369f x x x =+-，令()'0f x =，解得123,1x x =-=，然后判断极值点左右两边()'f x 的符号，进而求出()f x 的极值；（3）对任意的[]4,4x ∈-，都有()2f x c <，则()2m a x f x c <，利用导数求出函数的最大值，求出c 的取值范围。

2021-2022学年浙江省绍兴市诸暨中学高二上学期10月月考数学试题一、单选题1．在数列{}n a 中，1111,12n na a a +==-，则5a =（ ） A ．2 B ．3 C ．1- D ．12【答案】C【分析】根据数列的递推式，即可求得前面几项，可知数列为周期数列，由此可得答案. 【详解】由题意可得()234123*********,1112,1122a a a a a a =-=-=-=-=--==-=-= , 数列{}n a 是周期为3的周期数列，521a a ∴==- ， 故选：C.2．若直线2x ay +=与直线1ax y a +=+平行，则a 的值为（ ） A ．1 B ．﹣1C ．±1D ．0【答案】B【分析】两直线平行表示斜率相同或者都垂直x 轴，即1a a-=-． 【详解】当0a =时，两直线分别为：2x =与直线1y =，不平行， 当0a ≠时，直线2x ay +=化为：12y x a a =-+直线1ax y a +=+化为：1y ax a =-++, 两直线平行，所以，1a a-=-， 解得：1a =±，当1a =时，两直线重合，不符， 所以，1a =-【点睛】直线平行即表示斜率相同，且截距不同，如果截距相同则表示同一条直线． 3． 已知直线l 过点(2,1),且在两坐标轴上的截距互为相反数,则直线l 的方程为 A ．10x y --=B ．30x y +-=或20x y -=C ．10x y --=或20x y -=D ．30x y +-=或10x y --=【答案】C【详解】此题考查直线方程的求法、分类讨论思想的应用；当坐标轴上的截距都为0时，直线过原点，所以方程为1202y x x y =⇒-=；当坐标轴上的截距互为相反数且不等于0时，设直线方程为1x y a a+=-，把点(2,1)代入求出110a x y =⇒--=；所以选C ；此题的易错点容易忽略横纵截距都为0的情况，错选为A 答案；产生错误的原因是忽略了直线方程截距式适用的条件； 4．经过点(2,1)的直线l 到(1,1)A ，(3,5)B 两点的距离相等，则直线l 的方程为 A ．230x y --= B ．2x = C ．230x y --=或2x = D ．都不对【答案】C【详解】当直线l 的斜率不存在时，直线2x =显然满足题意； 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的斜率为k 则直线l 为()12y k x -=-，即120kx y k -+-= 由A 到直线l 的距离等于B 到直线l 的距离得：化简得：4k k -=-或4k k =-（无解），解得2k = ∴直线l 的方程为230x y --=综上，直线l 的方程为230x y --=或2x = 故选C5．已知点(1,2),(3,3)M N -，若直线:210l kx y k ---=与线段MN 相交，则k 的取值范围是 A ．[4,)+∞ B ．(,1]-∞-C ．(,1][4,)-∞-⋃+∞D ．[1,4]-【答案】C【分析】先求出定点，再结合图形即可求解.【详解】直线方程可化为1(2)y k x +=-，则直线过定点(2,1)P -，又1,4PM PN k k =-=，令直线l 绕着定点转可知k 的取值范围是(,1][4,)-∞-⋃+∞． 故选：C.6．已知定点()2,0P -和直线()()():131225l x y R λλλλ+++=+∈，则点P 到直线l 的距离的最大值为（ ） A ．3B 10 C 14D ．15【答案】B【分析】根据直线l 的方程先确定出直线所过的定点Q ，然后判断出点P 到直线l 的距离的最大值为PQ ，结合点的坐标求解出结果.【详解】将()()131225x y λλλ+++=+变形得()()23250x y x y λ+-++-=， 所以l 是经过两直线50x y +-=和3250x y +-=的交点的直线系.设两直线的交点为Q ，由20,3250,x y x y +-=⎧⎨+-=⎩得交点()1,1Q ，所以直线l 恒过定点()1,1Q ， 于是点P 到直线l 的距离()()22210110d PQ ≤=--+-=即点P 到直线l 10故选：B.7．若动点()11,A x y ．()22,B x y 分别在直线1:70l x y +-=和2:50l x y +-=上移动，则线段AB 的中点M 到原点的距离的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】先分析出M 的轨迹，再求M 到原点的距离的最小值.【详解】由题意可知：M 点的轨迹为平行于直线1l 和2l 且到1l 、2l 距离相等的直线l ，故其方程为：60x y +-=，故M=故选：C【点睛】解析几何中与动点有关的最值问题一般的求解思路： ①几何法：利用图形作出对应的线段，利用几何法求最值； ②代数法：把待求量的函数表示出来，利用函数求最值.8．过点()1,2P -作圆()22:11C x y -+=的两条切线，切点分别为A ，B ，则AB 所在直线的方程为（ ）A ．y =B ．12y =-C ．y =D ．14y =-【答案】B【分析】先由圆C 方程得到圆心和半径，求出PC 的长，以及PC 的中点坐标，得到以PC 为直径的圆的方程，由两圆方程作差整理，即可得出AB 所在直线方程. 【详解】因为圆()22:11C x y -+=的圆心为()1,0C ，半径为1r =，所以2PC =，PC 的中点为1,1，则以PC 为直径的圆的方程为()()22111x y -++=， 所以AB 为两圆的公共弦，因此两圆的方法作差得AB 所在直线方程为210y +=，即12y =-.故选：B.【点睛】本题主要考查求两圆公共弦所在直线的方法，属于常考题型.二、多选题9．如图，直线1l ，2l ，3l 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，倾斜角分别为1α，2α，3α，则下列选项正确的是（ ）A ．132k k k <<B ．321k k k <<C ．132ααα<<D ．321ααα<<【答案】AD【分析】根据直线的图象特征，结合查直线的斜率和倾斜角，得出结论.【详解】解：如图，直线1l ，2l ，3l 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，倾斜角分别为1α，2α，3α， 则230k k >>，10k <， 故2302παα>>>，且1α为钝角，故选：AD.【点睛】本题考查直线的倾斜角与斜率，考查数形结合思想，是基础题. 10．过点(2,0)作圆222690x y x y +--+=的切线l ，则直线l 的方程为（ ） A ．3460x y +-= B ．4380x y +-= C ．20x -= D ．20x +=【答案】BC【分析】先化圆方程的圆心与半径，再设直线l 的方程（注意讨论斜率不存在情况），利用圆心到切线距离等于半径列式求解，即得结果. 【详解】22222690(1)(3)1x y x y x y +--+=∴-+-=圆心(1,3)到直线2x =距离等于1，所以直线l 的方程可以为2x = 当直线l 的斜率存在时，设:(2)l y k x =- 2441:(2)4380331k l y x x y k =∴=-∴=--∴+-=+故选：BC【点睛】本题考查圆的切线方程，考查基本分析求解能力，属基础题.11．圆221:20+-=Q x y x 和圆222:240++-=Q x y x y 的交点为A ，B ，则（ ）A ．公共弦AB 所在直线的方程为0x y -=B ．线段AB 中垂线方程为10x y +-=C ．公共弦ABD ．P 为圆1Q 上一动点，则P 到直线AB 1 【答案】ABD【分析】两圆方程作差后可得公共弦方程，从而可判断A 的正误，求出圆1Q 的圆心坐标后求出垂直平分线的方程后可判断B 的正误，利用垂径定理计算弦长后可判断C 的正误，求出1Q 到直线的距离后可求动点到直线距离的最大值，从而可判断D 的正误.【详解】对于A ，因为圆221:20+-=Q x y x ，222:240++-=Q x y x y ，两式作差可得公共弦AB 所在直线的方程为440x y -=，即0x y -=，故A 正确；对于B ，圆221:20+-=Q x y x 的圆心为（1，0），1AB k =，则线段AB 中垂线的斜率为1-，即线段AB 中垂线方程为()011y x -=-⨯-， 整理可得10x y +-=，故B 正确；对于C ，圆心()11,0Q 到0x y -=的距离为d =又圆1Q 的半径1r =，所以AB =，故C 不正确；对于D ，P 为圆1Q 上一动点，圆心()11,0Q 到0x y -=的距离为d =又圆1Q 的半径1r =，所以P 到直线AB 1，故D 正确. 故选：ABD.12．下列结论错误的是（ ）A ．直线()()34330m x y m m R ++-+=∈恒过定点()3,3--B 10y ++=的倾斜角为150°C ．圆224x y +=上有且仅有3个点到直线l ：0x y -的距离都等于1D ．与圆()2222x y -+=相切，且在x 轴､y 轴上的截距相等的直线有两条【答案】ABD【分析】A.将()()34330m x y m m R ++-+=∈化为()()33430m x x y m R +++-=∈，得到303430x x y +=⎧⎨+-=⎩即可求出结果判断；B. 将直线的方程转化为斜截式得到斜率即可求出倾斜角；C. 求出圆心到直线的距离，进而分别判断优弧及劣弧上存在点的个数即可得出结论；D.分截距不为0，和截距为0两种情况，结合圆心到直线的距离等于半径即可求出结果.【详解】A. 因为()()34330m x y m m R ++-+=∈，即()()33430m x x y m R +++-=∈，则303430x x y +=⎧⎨+-=⎩，解得33x y =-⎧⎨=⎩，所以直线()()34330m x y m m R ++-+=∈恒过定点()3,3-，故A 错误；B. 10y ++=，即1y =-10y ++=的倾斜角为α，则tan α=)0,180α⎡∈⎣，则120α=10y ++=的倾斜角为120°，故B 错误；C. 圆224x y +=的圆心为()0,0，半径为2，则圆心到直线0x y -的距离为1d ==，所以劣弧上到直线0x y -+的距离等于1的点有1个，而优弧上到直线0x y -的距离等于1的点有2个，所以圆224x y +=上有且仅有3个点到直线l ：0x y -+的距离都等于1，故C 正确；D.因为圆()2222x y -+=的圆心为()2,0，当截距不为0，故设切线方程为1x ya a +=，即0x y a +-==0a =（舍）或4a =，即40x y +-=；当截距为0时，故设切线方程为y kx =，即0kx y=解得1k =±，即y x =±，则与圆()2222x y -+=相切，且在x 轴､y 轴上的截距相等的直线有三条，故D 错误； 故选：ABD.三、填空题13．已知数列{}n a 的前n 项和32nn S =+，则n a =______．【答案】1*5,1{2,2n n n a n n N -==≥∈且【详解】试题分析：当时，，当时，，经验证，当时，，所以数列的通项公式是1*5,1{2,2nn n a n n N -==≥∈且 【解析】已知求14．若实数x ，y 满足22(2)3x y -+=，那么yx的最大值是______ 【答案】【详解】解：满足等式（x-2）2+y 2=3的图形如下图所示：yx表示圆上动点与原点O 连线的斜率， 由图可得动点与B 重合时，此时OB 与圆相切，yx取最大值， 连接BC ，在Rt △OBC 中，3OC=2 易得∠BOC=60° 此时yx315．若直线:420l kx y k -++=与曲线24y x -k 的取值范围是______.【答案】31,4⎡⎫--⎪⎢⎣⎭【分析】先求出直线l 所过定点(2,4)A -，再将曲线24y x -224(0)x y y +=≥，可知其为半圆，结合图像，即可求出k 的取值范围.【详解】由题意得，直线l 的方程可化为(2)40x k y +-+=，所以直线l 恒过定点(2,4)A -，又曲线24y x =-可化为224(0)x y y +=≥，其表示以(0,0)为圆心，半径为2的圆的上半部分，如图.当l 与该曲线相切时，点(0,0)到直线的距离24221kd k +==+，解得34k =-，设(2,0)B ，则40122AB k -==---， 由图可得，若要使直线l 与曲线24y x =-有两个交点，须得314k -≤<-，即31,4k ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭.故答案为：31,4⎡⎫--⎪⎢⎣⎭.16．如果圆()()228x a y a -+-=2则实数a 的取值范围是__________． 【答案】[][]3,11,3--⋃【详解】圆心(,)a a 2a ，圆()()228x a y a -+-=2的点，2232,13a ≤≤≤≤ ，则31a -≤≤- 或13a ≤≤.四、解答题17．已知直线l 过点(2,1)M ，且与x 轴、y 轴的正方向分别交于A ，B 两点，分别求满足下列条件的直线方程：(1)2BM AM =时，求直线l 的方程． (2)当AOB 的面积最小时，求直线l 的方程． 【答案】(1)30x y +-= (2)240x y +-=.【分析】（1）根据条件2BM AM =可知点M 是AB 的三等分点，构造直角三角形，利用相似三角形比值关系即可求出A ，B 两点坐标，继而求出方程;（2）利用截距式找出两截距关系，再根据代入三角形面积计算中即可找出面积的最小值，继而求出方程.【详解】（1）作MN OA ⊥，则(2,0)N .由三角形相似，13AM AN AB AO ==，可求得(3,0)A ，(0,3)B ， ∴AB 方程为133x y+=，即30x y +-=；（2）根据题意，设直线l 的方程为1x ya b+=，由题意，知2a >，1b >，∵l 过点(2,1)M ，∴211a b +=，解得2a b a =-，∴AOB 的面积11222aS ab a a ==⋅-，化简，得2240a aS S -+=.①∴24160S S ∆=-，解得4S 或0S （舍去）. ∴S 的最小值为4，将4S =代入①式，得28160a a -+=，解得4a =， ∴22ab a ==-.∴直线l 的方程为240x y +-=. 18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 点为圆心的圆22:1412600M x y x y +--+=及其上一点(4,2)A .（1）设圆N 与y 轴相切，与圆M 外切，且圆心在直线6y =上，求圆N 的标准方程； （2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点且BC OA =，求直线l 的方程.【答案】（1）22(1)(6)1x y -+-=（2）2150x y -+=或250x y --=.【分析】（1）根据由圆心在直线y =6上，可设()0,6N x ，再由圆N 与y 轴相切，与圆M 外切得到圆N 的半径为0x 和0075-=+x x 得解.（2）由直线l 平行于OA ，求得直线l 的斜率，设出直线l 的方程，求得圆心M 到直线l 的距离，再根据垂径定理确定等量关系，求直线方程.【详解】（1）圆M 的标准方程为22(7)(6)25-+-=x y ，所以圆心M （7，6），半径为5,. 由圆N 圆心在直线y =6上，可设()0,6N x因为圆N 与y 轴相切，与圆M 外切所以007<<x ，圆N 的半径为0x从而0075-=+x x解得01x =.所以圆N 的标准方程为22(1)(6)1x y -+-=.（2）因为直线l 平行于OA ，所以直线l 的斜率为201402-=-. 设直线l 的方程为12y x m =+，即220x y m -+= 则圆心M 到直线l 的距离==d因为==BC OA 而2222⎛⎫=+ ⎪⎝⎭BC MC d 所以2(25)2555-=+m 解得152m = 或52m =-. 故直线l 的方程为2150x y -+=或250x y --=.【点睛】本题主要考查了直线方程，圆的方程，直线与直线，直线与圆，圆与圆的位置关系，还考查了运算求解的能力和数形结合的思想，属于中档题.19．在平面直角坐标系xOy 中，设ABC 顶点坐标分别为(0,)A a ，(B ，C ，(0,)Q b ，（其中0a >，0b >），圆M 为ABC 的外接圆．(1)当9a =时，求圆M 的方程；(2)当a 变化时，圆M 是否过某一定点？若是，求出定点的坐标，若不是，请说明理由；【答案】(1)224450x y y +--=(2)过定点(0,5)-，理由见解析【分析】（1）由待定系数法求解即可；（2）由圆M 过某一定点得225050x y y y ⎧++=⎨+=⎩，求解即可 【详解】（1）设圆M 的方程为：220x y Dx Ey F ++++=.∵(0,)A a，(B，C 在圆M 上，∴205050a aE F a F a F ⎧++=⎪⎪+=⎨⎪++=⎪⎩，解得0D =，5E a =-，5F a =-，圆M 的方程为：22(5)50x y a y a ++--=当9a =时，圆M 的方程为：224450x y y +--=.（2）由（1）圆M 的方程可化为：225(5)0x y y a y ++-+=，要使圆M 过某一定点，∴225050x y y y ⎧++=⎨+=⎩，解得0x =，5y =-， ∴圆M 过定点(0,5)-.20．已知3(2,)A -，直线:10l x y -+=.求：（1）直线l 关于点A 的对称直线1l 的方程；（2）直线230x y --=关于直线l 的对称直线2l 的方程.【答案】（1）110x y --=；（2）260x y -+=.【解析】（1）设1l 上任一点的坐标为(,)x y ，可求得(,)x y 关于点3(2,)A -的对称点，再将对称点带入l 即可求得直线l 关于点A 的对称直线1l 的方程；（2）设2l 上任一点坐标为(,)x y ，可求得点(,)x y 关于直线l 的对称点的坐标，再将坐标代入直线230x y --=，即可求得对称直线2l 的方程.【详解】（1）设1l 上任一点的坐标为(,)x y ，则(,)x y 关于点3(2,)A -的对称点的坐标为(4,6)x y ---，而点(4,6)x y ---在l 上，所以(4)(6)10x y ----+=，化简可得对称直线1l 的方程为110x y --=.（2）设2l 上任一点坐标为(,)x y ，则点(,)x y 关于直线l 的对称点的坐标为(1,1)y x -+，它在直线230x y --=上，所以2(1)(1)30y x --+-=，即2:260l x y -+=.【点睛】本题考查了直线关于点、直线关于直线的对称方程求法，属于基础题.21．已知在平面直角坐标系xOy 中，点()0,3A ，直线l ：24y x =-.圆C 的半径为1，圆心C 在直线l 上.（1）若直线34120x y +-=与圆C 相切，求圆C 的标准方程；（2）已知动点(),M x y ，满足2=MA MO ，说明M 的轨迹是什么？若点M 同时在圆C 上，求圆心C 的横坐标a 的取值范围.【答案】(1) 22(3)(2)1x y -+-=或22232()()11111x y -+-=（2）120,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】(1）设圆心C 为（a ，2a -4)，利用直线与圆相切，求解a ，得到圆心坐标，求出圆的方程.(2)由2=MA MO ，求出动点M 的轨迹方程，说明轨迹，通过点M 同时在圆C 上，说明圆C 与圆D 有公共点，利用两个圆的位置关系，转化求解圆心C 的横坐标a 的取值范围即可．【详解】（1）因为圆心C 在直线l 上，所以圆心C 可设为(a ，2a -4)，|1128|15a -==，即|1128|5a -=， 所以11285a -=±，解得3a =或2311a =， 所以圆心C 的坐标为(3，2)或232,1111⎛⎫ ⎪⎝⎭, 所以圆C 的标准方程为22(3)(2)1x y -+-=或22232()()11111x y -+-=(2) 由2=MA MO ,=化简得：22230x y y ++-=，即22(1)4x y ++=，所以动点M 的轨迹是以D (0，-1)为圆心，半径是2的圆，若点M 同时在圆C 上，则圆C 与圆D 有公共点，则21||21CD -≤≤+，即1 3.≤≤整理得：2251280,5120a a a a ⎧-+≥⎨-≤⎩解得1205a ≤≤， 所以圆心C 的横坐标a 的取值范围为[0，125]. 【点睛】关键点点睛：判断两圆位置关系式，只需求出两圆圆心的距离，比较与两圆半径的关系即可，本题根据两圆有公共点可得21||21CD -≤≤+，解不等式即可求解,属于中档题.22．已知圆C 的圆心C 在x 轴的正半轴上，半径为2，且被直线3440x y --=截得的弦长为(1)求圆C 的方程；(2)设P 是直线50x y ++=上的动点，过点P 作圆C 的切线P A ，切点为A ，证明：经过A ，P ，C 三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标.【答案】(1)22(3)4x y -+=(2)证明见解析，定点为(3,0)与(1,4)--.【分析】(1)利用直线被圆截得的弦长公式即可求解；(2)求出过,,A P C 的圆的方程，求解定点.【详解】（1）设圆心(,0)a ，则圆心到直线3440x y --=的距离为|34|5a -.因为圆被直线截得的弦长为22|34|45a -⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 解得3a =或13a =-（舍），故圆C ：22(3)4x y -+=. （2）已知P 是直线50x y ++=上的动点，设(,5)P m m --，∵PA 为切线，∴PA AC ⊥，∴过,,A P C 三点的圆是以PC 为直径的圆.又PC 中点坐标为35,22m m ++⎛⎫- ⎪⎝⎭，且||PC =∴经过,,A P C 三点的圆的方程为222235(3)(5)224m m m m x y ++-++⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即22(3)(5)30x y m x m y m +-++++=. 若过定点，即定点与m 无关，将方程整理得2235(3)0x y x y m x y +-+---=， 令2235030x y x y x y ⎧+-+=⎨--=⎩，解得30x y =⎧⎨=⎩或14x y =-⎧⎨=-⎩，所以定点为(3,0)与(1,4)--.。

高二数学抛物线的几何性质练习卷（2-2）1、已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)px p y =>的准线分别交于A , B 两点, O为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB 的面积为3, 则p = （ ）A ．1B ．32C ．2D ．32、已知抛物线2:8C y x =与点()2,2M -,过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于,A B 两点,若0MA MB =u u u r u u u rg ,则k = （ ）A ．12B ．22C ．2D ．23、已知抛物线1C :212y x p =(0)p >的焦点与双曲线2C :2213x y -=的右焦点的连线交1C 于第一象限的点M .若1C 在点M 处的切线平行于2C 的一条渐近线,则p = （ ） A ．3 B ．3 C ．23 D ．434、设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ,点M 在C 上,5MF =,若以MF 为直径的圆过点)2,0(,则C 的方程为 （ ）A ．24y x =或28y x =B ．22y x =或28y x =C ．24y x =或216y x =D ．22y x =或216y x =5、已知 A B 、为平面内两定点,过该平面内动点M 作直线AB 的垂线,垂足为N .若2MN AN NB λ=⋅u u u u r u u u r u u u r,其中λ为常数,则动点M 的轨迹不可能是 （ ）A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．双曲线6、抛物线22(0)x py p =>的焦点为F,其准线与双曲线22133x y -=相交于,A B 两点,若ABF ∆为等边三角形,则P =_____________7、已知直线y a =交抛物线2y x =于,A B 两点.若该抛物线上存在点C ,使得ABC ∠为直角,则a 的取值范围为_____________8、抛物线2x y =在1=x 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D (包含三角形内部与边界).若点),(y x P 是区域D 内的任意一点,则y x 2+的取值范围是__________.9、设F 为抛物线x y C 4:2=的焦点,过点)0,1(-P 的直线l 交抛物线C 于两点B A ,,点Q 为线段AB 的中点,若2||=FQ ,则直线的斜率等于________.班级：姓名：10、如图,在正方形OABC 中,O 为坐标原点,点A 的坐标为(10,0),点C 的坐标为(0,10).分别将线段OA 和AB 十等分,分点分别记为129,,....A A A 和129,,....B B B ,连结i OB ,过i A 做x 轴的垂线与i OB 交于点*(,19)i P i N i ∈≤≤.(1)求证:点*(,19)iP i N i ∈≤≤都在同一条抛物线上, 并求该抛物线E 的方程;(2)过点C 做直线与抛物线E 交于不同的两点,M N , 若OCM ∆与OCN ∆的面积比为4:1,求直线的方程.12、已知抛物线C 的顶点为原点,其焦点()()0,0F c c >到直线l :20x y --=的距离为32.设P 为直线l 上的点,过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ,其中,A B 为切点. (Ⅰ) 求抛物线C 的方程;(Ⅱ) 当点()00,P x y 为直线l 上的定点时,求直线AB 的方程; (Ⅲ) 当点P 在直线l 上移动时,求AF BF ⋅的最小值.参考答案1、已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)px p y =>的准线分别交于A , B 两点, O为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB 的面积为3, 则p = （ ）A ．1B ．32C ．2D ．3【答案】C2、已知抛物线2:8C y x =与点()2,2M -,过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于,A B 两点,若0MA MB =u u u r u u u rg ,则k =（ ）A ．12B ．22C ．2D ．2【答案】D3、已知抛物线1C :212y x p =(0)p >的焦点与双曲线2C :2213x y -=的右焦点的连线交1C 于第一象限的点M .若1C 在点M 处的切线平行于2C 的一条渐近线,则p = （ ）A ．316B ．38C ．233D ．433【答案】D4、设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ,点M 在C 上,5MF =,若以MF 为直径的圆过点)2,0(,则C 的方程为 （ ）A ．24y x =或28y x =B ．22y x =或28y x =C ．24y x =或216y x =D ．22y x =或216y x =【答案】C5、已知 A B 、为平面内两定点,过该平面内动点M 作直线AB 的垂线,垂足为N .若2MN AN NB λ=⋅u u u u r u u u r u u u r,其中λ为常数,则动点M 的轨迹不可能是（ ）A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．双曲线【答案】C6、抛物线22(0)x py p =>的焦点为F,其准线与双曲线22133x y -=相交于,A B 两点,若ABF ∆为等边三角形,则P =_____________【答案】67、已知直线y a =交抛物线2y x =于,A B 两点.若该抛物线上存在点C ,使得ABC ∠为直角,则a 的取值范围为_____________【答案】),1[+∞8、抛物线2x y =在1=x 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D (包含三角形内部与边界).若点),(y x P 是区域D 内的任意一点,则y x 2+的取值范围是__________.【答案】⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,29、设F 为抛物线x y C 4:2=的焦点,过点)0,1(-P 的直线l 交抛物线C 于两点B A ,,点Q 为线段AB 的中点,若2||=FQ ,则直线的斜率等于________. 【答案】1±10、如图,在正方形OABC 中,O 为坐标原点,点A 的坐标为(10,0),点C 的坐标为(0,10).分别将线段OA 和AB 十等分,分点分别记为129,,....A A A 和129,,....B B B ,连结i OB ,过i A 做x 轴的垂线与i OB 交于点*(,19)i P i N i ∈≤≤.(1)求证:点*(,19)i P i N i ∈≤≤都在同一条抛物线上,并求该抛物线E 的方程;(2)过点C 做直线与抛物线E 交于不同的两点,M N ,若OCM ∆与OCN ∆的面积比为4:1,求直线的方程.【答案】解:(Ⅰ)依题意,过*(,19)∈≤≤i A i N i 且与x 轴垂直的直线方程为=x i(10,)Q i B i ,∴直线i OB 的方程为10=iy x 设i P 坐标为(,)x y ,由10=⎧⎪⎨=⎪⎩x ii y x 得:2110=y x ,即210=x y ,∴*(,19)∈≤≤i P i N i 都在同一条抛物线上,且抛物线E 方程为210=x y(Ⅱ)依题意:直线的斜率存在,设直线的方程为10=+y kx由21010=+⎧⎨=⎩y kx x y得2101000--=x kx 此时2100+4000∆=>k ,直线与抛物线E 恒有两个不同的交点,M N设:1122(,)(,)M x y N x y ,则121210100+=⎧⎨⋅=-⎩x x kx x4∆∆=Q OCM OCN S S ∴124=x x又120⋅<Q x x ,∴124=-x x分别带入21010=+⎧⎨=⎩y kx x y,解得32=±k直线的方程为3+102=±y x ,即32200-+=x y 或3+2200-=x y 11、过抛物线2:2(0)E x py p =>的焦点F 作斜率分别为12,k k 的两条不同的直线12,l l ,且122k k +=,1l E 与相交于点A,B,2l E 与相交于点C,D.以AB,CD 为直径的圆M,圆N (M,N 为圆心)的公共弦所在的直线记为l .(I)若120,0k k >>,证明;22FM FN P <u u u u r u u u r g ;(II)若点M 到直线l 的距离的最小值为755,求抛物线E 的方程. 【答案】解: (Ⅰ) ，设),(),,(),,(),,(),,(),,().2,0(3434121244332211y x N y x M y x D y x C y x B y x A pF 02,221211=++-+=p x pk x E px k y l ：方程联立，化简整理得与抛物线方程：直线),(2,20,2211211212112221121p k p k p p k y p k x x x p x x p k x x -=⇒+==+=⇒=-=⋅=+⇒),(2,2,222223422134p k p k FN p p k y p k x x x -=⇒+==+=⇒同理.)1(2121222221221+=+=⋅⇒k k k k p p k k p k k FN FM222121221212121212)11(1)1(,122,,0,0p p k k k k p FN FM k k k k k k k k k k =+⋅⋅<+=⋅∴≤⇒≥+=≠>>Θ所以,22p <⋅成立. (证毕) (Ⅱ),)]2(2[21)]2()2[(21,212121121p p k p p k p y p y p r r r N M +=++=+++=⇒的半径分别为、设圆,2同理,221211p p k r p p k r +=+=⇒.,21r r N M 的半径分别为、设圆则21212212)()(r y y x x N M =-+-的方程分别为、,的方程为：，直线l r y y x x 22234234)()(=-+-0-)(2)(2222123421223421212341234=+-+-+-+-r r y y x x y y y x x x .0))(-())(())(()(2)(212123412341234123412212212=++--+--+-+-⇒r r r r y y y y x x x x y k k p x k k p2))((1))(()(2)(2)(2222121222222122212212212212=++-+++-+-+-+-⇒k k k k p k k k k p k k p y k k p x k k p 0202)(1)(222212221=+⇒=+++++--+⇒y x k k p k k p p y x55758751)41()41(2|512||52|),(212112121212==+-+-⋅≥++⋅=+=p p k k p y x d l y x M 的距离到直线点y x p 1682=⇒=⇒抛物线的方程为.12、已知抛物线C 的顶点为原点,其焦点()()0,0F c c >到直线l :20x y --=的距离为32.设P 为直线l 上的点,过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ,其中,A B 为切点. (Ⅰ) 求抛物线C 的方程;(Ⅱ) 当点()00,P x y 为直线l 上的定点时,求直线AB 的方程; (Ⅲ) 当点P 在直线l 上移动时,求AF BF ⋅的最小值. 【答案】(Ⅰ) 依题意,设抛物线C 的方程为24x cy =,由023222c --=结合0c >,解得1c =. 所以抛物线C 的方程为24x y =. (Ⅱ) 抛物线C 的方程为24x y =,即214y x =,求导得12y x '= 设()11,A x y ,()22,B x y (其中221212,44x x y y ==),则切线,PA PB 的斜率分别为112x ,212x , 所以切线PA 的方程为()1112x y y x x -=-,即211122x x y x y =-+,即11220x x y y --= 同理可得切线PB 的方程为22220x x y y --=因为切线,PA PB 均过点()00,P x y ,所以1001220x x y y --=,2002220x x y y --= 所以()()1122,,,x y x y 为方程00220x x y y --=的两组解. 所以直线AB 的方程为00220x x y y --=.(Ⅲ) 由抛物线定义可知11AF y =+,21BF y =+, 所以()()()121212111AF BF y y y y y y ⋅=++=+++联立方程0022204x x y y x y--=⎧⎨=⎩,消去x 整理得()22200020y y x y y +-+=由一元二次方程根与系数的关系可得212002y y x y +=-,2120y y y =所以()221212000121AF BF y y y y y x y ⋅=+++=+-+ 又点()00,P x y 在直线l 上,所以002x y =+,所以22220000001921225222y x y y y y ⎛⎫+-+=++=++ ⎪⎝⎭所以当012y =-时, AF BF ⋅取得最小值,且最小值为92. 13、已知动圆过定点A (4,0), 且在y 轴上截得的弦MN 的长为8.(Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹C 的方程;(Ⅱ) 已知点B (-1,0), 设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P , Q , 若x 轴是PBQ ∠的角平分线, 证明直线l 过定点. 【答案】解:(Ⅰ) A (4,0),设圆心C2222,2),,(EC ME CM CA MNME E MN y x +===，由几何图像知线段的中点为x y x y x 84)422222=⇒+=+-⇒（(Ⅱ) 点B (-1,0), 222121212122118,8,00),,(),,(x y x y y y y y y x Q y x P ==<≠+，由题知设.080)()(88811211221212222112211=+⇒=+++⇒+-=+⇒+-=+⇒y y y y y y y y y yy y x y x y 直线PQ 方程为:)8(1)(21121112121y x y y y y x x x x y y y y -+=-⇒---=-1,088)(8)()(122112112==⇒=++⇒-=+-+⇒x y x y y y y x y y y y y y所以,直线PQ 过定点(1,0)14、如图,抛物线()2212:4,:20C x y C x py p ==->,点()00,M x y 在抛物线2C 上,过M 作1C 的切线,切点为,A B (M 为原点O 时,,A B 重合于O )012x =,切线.MA 的斜率为12-. (I)求p 的值;(II)当M 在2C 上运动时,求线段AB 中点N 的轨迹方程.(),,.A B O O 重合于时中点为【答案】15、已知抛物线24C y x =：的焦点为F . (1)点 A P 、满足2AP FA =-u u u r u u u r.当点A 在抛物线C 上运动时,求动点P 的轨迹方程;(2)在x 轴上是否存在点Q ,使得点Q 关于直线2y x =的对称点在抛物线C 上?如果存在,求所有满足条件的点Q 的坐标;如果不存在,请说明理由.【答案】(1)设动点P 的坐标为( )x y ，,点A 的坐标为( )A A x y ，,则( )A A AP x x y y =--u u u r，, 因为F 的坐标为(1 0)，,所以(1 )A A FA x y =-u u u r，,由2AP FA =-u u u r u u u r得( )2(1 )A A A A x x y y x y --=--，，. 即2(1)2A A A A x x x y y y -=--⎧⎨-=-⎩ 解得2A Ax xy y =-⎧⎨=-⎩代入24y x =,得到动点P 的轨迹方程为284y x =-.(2)设点Q 的坐标为( 0)t ，.点Q 关于直线2y x =的对称点为( )Q x y '，,则122yx t y x t ⎧=-⎪⎪-⎨⎪=+⎪⎩ 解得3545x t y t⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩若Q '在C 上,将Q '的坐标代入24y x =,得24150t t +=,即0t =或154t =-. 所以存在满足题意的点Q ,其坐标为(0 0)，和15( 0)4-，.。

2017-2018学年浙江省诸暨市牌头中学高二数学下学期期末复习卷（一）一、单选题1．是函数在点处取极值的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】试题分析：由函数在点处取极值可得成立，反之不成立，所以是函数在点处取极值的必要不充分条件【考点】函数导数与极值2．直线（为常数）与正切曲线（为常数）相交的相邻两点间的距离是（）A．B．C．D．与值有关【答案】C【解析】利用图象知，直线y＝a与正切曲线y＝tanωx相交的两相邻交点间的距离，就是此正切曲线的一个最小正周期值，因此距离为，∴应选C.3．记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（）A．1440种B．720种C．960种D．480种【答案】C【解析】【分析】因为两位老人不排在两端，所以从5名志愿者中选2名排在两端，因为2位老人相邻，所以把2位老人看作一个整体，与其他元素进行排列，注意整体之间的排列.【详解】可分三步：第一步，排两端，先从5名志愿者中选2名排在两端有种排法；第二步，因为两位老人相邻，把两位老人看作一个整体，与剩下的3名志愿者排列，有种排法；第三步，2名老人之间的排列，有种排法；最后按照分步乘法计数原理，得到共有种排法，故选C.【点睛】该题考查的是有关有特殊条件的排列数的求解问题，在解题的过程中，注意老人不占两端，需要先将两端安排好，再者就是两位老人要相邻，对应的相邻问题捆绑法，注意分步计数原理的熟练应用.4．若二项式的展开式的第5项是二项式系数最大的项，则自然数的值为（）A．6 B．8 C．9 D．11【答案】B【解析】【分析】首先利用二项展开式的通项，将其通项写出，找到其二项式系数是谁，结合组合数的性质，求得结果.【详解】的展开式的通项为，所以，因为展开式的第五项是二项式系数最大的项，所以最大，从而得到，故选B.【点睛】该题考查的是有关二项展开式中二项式系数最大项的问题，注意对二项展开式的通项要用好，再者就是需要明确组合数的性质，从而得到结果.5．已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（）A．B．-2或3 C．- 2 D．3【答案】D【解析】【分析】求出函数的定义域和导数，利用导数是切线的斜率进行求解即可得结果.【详解】函数的定义域是，则函数的导数为，令，即，解得或（舍），故切点的横坐标为3，故选D.【点睛】该题考查的是有关导数的几何意义的问题，在解题的过程中，需要先确定函数的定义域，并对函数求导，令其导数等于，求得满足条件的自变量，从而求得结果.6．已知的三个顶点及所在平面内一点满足,则点与的关系（）A．在内部B．在外部C．在边上D．在边上【答案】D【解析】【分析】利用向量的运算法则将等式变形，得到，据三点共线的充要条件得出结论.【详解】因为,所以，所以，所以P是AC的一个三等分点，【点睛】该题考查的是有关点的位置的问题，涉及到的知识点有向量的减法运算法则，向量共线的条件等，属于简单题目.7．已知函数在内单调递增，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】求出的导函数，由函数在上单调递增，则在上恒成立，转化为求函数的最值恒成立即可，从而求得结果.【详解】因为，所以，要使在上单调递增，则在上恒成立，在上，，所以，故选A.【点睛】该题考查的是有关参数取值范围的问题，涉及到的知识点是导数与函数单调性的关系，在解题的过程中，需要明确函数在某个区间上单调递增的等价条件是导数在相应的区间上大于等于零恒成立，之后转化为最值来处理即可求得结果.8．（题文）函数的大致图像为（）A．B．C．D．【解析】试题分析：∵函数f（x）=xlnx只有1一个零点，∴可以排除CD答案又∵当x∈（0，1）时，lnx＜0，∴f（x）=xlnx＜0，其图象在x轴下方∴可以排除B答案【考点】函数图像。

2016-2017学年浙江省绍兴市诸暨市牌头中学高二（下）期中数学试卷（B卷）一、选择题（每小题4分，共48分）1．（4分）曲线在x=1处切线的倾斜角为（）A．1 B．C．D．2．（4分）曲线y=x2+2x在点（1，3）处的切线方程是（）A．4x﹣y﹣1=0 B．3x﹣4y+1=0 C．3x﹣4y+1=0 D．4y﹣3x+1=03．（4分）设函数f（x）可导，则等于（）A．﹣f'（1）B．3f'（1） C．D．4．（4分）设f（x）=xlnx，若f′（x0）=2，则x0等于（）A．e2B．e C． D．ln25．（4分）已知f（x）=e x+2xf′（1），则f′（0）等于（）A．1+2e B．1﹣2e C．﹣2e D．2e6．（4分）若y=，则y′=（）A．B．C．D．7．（4分）已知函数f（x）的定义域为（a，b），导函数f′（x）在（a，b）上的图象如图所示，则函数f（x）在（a，b）上的极大值点的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．48．（4分）设函数f（x）=+lnx，则（）A．为f（x）的极小值点B．x=2为f（x）的极大值点C．为f（x）的极大值点D．x=2为f（x）的极小值点9．（4分）函数的最大值为（）A．e﹣1B．e C．e2D．10．（4分）函数f（x）=（x﹣3）e x的单调递增区间是（）A．（0，3） B．（1，4） C．（2，+∞）D．（﹣∞，2）11．（4分）函数y=xsinx+cosx在（π，3π）内的单调增区间是（）A．B．C．D．（π，2π）12．（4分）若函数y=x3+x2+mx+1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是（）A．（，+∞）B．（﹣∞，]C．[，+∞）D．（﹣∞，）二、填空题（每小题4分，共24分）13．（4分）已知曲线f（x）=2x2+1在点M（x0，y0）处的瞬时变化率为﹣8，则点M的坐标为．14．（4分）函数f（x）=e x lnx在点（1，f（1））处的切线方程是．15．（4分）设函数f（x）=x3﹣3x+1，x∈[﹣2，2]的最大值为M，最小值为m，则M+m=．16．（4分）函数f（x）=x3+ax2+x+b在x=1时取得极值，则实数a=．17．（4分）若曲线y=lnx+ax2﹣2x（a为常数）不存在斜率为负数的切线，则实数a的取值范围是．18．（4分）曲线f（x）=xe x在点P（1，e）处的切线与坐标轴围成的三角形面积为．三、解答题19．（9分）求下列函数的导数．（1）；（2）y=（2x2﹣1）（3x+1）；（3）．20．（12分）已知函数f（x）=x3+（Ⅰ）求函数f（x）在点P（2，4）处的切线方程；（Ⅱ）求过点P（2，4）的函数f（x）的切线方程．21．（12分）设函数f（x）=x3﹣6x+5，x∈R（1）求函数f（x）的单调区间；（2）求函数f（x）在区间[﹣2，2]上的最值．22．（15分）设函数f（x）=x3+3ax2﹣9x+5，若f（x）在x=1处有极值（1）求实数a的值（2）求函数f（x）的极值（3）若对任意的x∈[﹣4，4]，都有f（x）＜c2，求实数c的取值范围．2016-2017学年浙江省绍兴市诸暨市牌头中学高二（下）期中数学试卷（B卷）参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，共48分）1．（4分）曲线在x=1处切线的倾斜角为（）A．1 B．C．D．【解答】解：∵，∴y′=x2，设曲线在x=1处切线的倾斜角为α，根据导数的几何意义可知，切线的斜率k=y′|x=1=12=1=tanα，∴α=，即倾斜角为．故选：C．2．（4分）曲线y=x2+2x在点（1，3）处的切线方程是（）A．4x﹣y﹣1=0 B．3x﹣4y+1=0 C．3x﹣4y+1=0 D．4y﹣3x+1=0【解答】解：y=x2+2x的导数为y′=2x+2，∴曲线y=x2+2x在点（1，3）处的切线斜率为4，切线方程是y﹣3=4（x﹣1），化简得，4x﹣y﹣1=0．故选：A．3．（4分）设函数f（x）可导，则等于（）A．﹣f'（1）B．3f'（1） C．D．【解答】解：由=﹣=﹣f′（1），∴=﹣f′（1），故选：C．4．（4分）设f（x）=xlnx，若f′（x0）=2，则x0等于（）A．e2B．e C． D．ln2【解答】解：∵f（x）=xlnx，∴f′（x）=lnx+1，由f′（x0）=2，得lnx 0+1=2，即lnx0=1，则x0=e，故选：B．5．（4分）已知f（x）=e x+2xf′（1），则f′（0）等于（）A．1+2e B．1﹣2e C．﹣2e D．2e【解答】解：由f（x）=e x+2xf′（1），得：f′（x）=e x+2f′（1），取x=1得：f′（1）=e+2f′（1），所以，f′（1）=﹣e．故f′（0）=1﹣2f′（1）=1﹣2e，故选：B．6．（4分）若y=，则y′=（）A．B．C．D．【解答】解：∵，∴y′==故选：A．7．（4分）已知函数f（x）的定义域为（a，b），导函数f′（x）在（a，b）上的图象如图所示，则函数f（x）在（a，b）上的极大值点的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：导函数f′（x）在（a，b）上的图象如图所示，由函数取得极大值点x0的充要条件是：在x0左侧的导数大于0，右侧的导数小于0，由图象可知：函数f（x）只有在点A，C处取得最大值，而在B点处取得极小值，而在点O处无极值．故选：B．8．（4分）设函数f（x）=+lnx，则（）A．为f（x）的极小值点B．x=2为f（x）的极大值点C．为f（x）的极大值点D．x=2为f（x）的极小值点【解答】解：f′（x）=﹣=，当0＜x＜2时，f′（x）＜0；当x＞2时f′（x）＞0，所以x=2为f（x）的极小值点，故选：D．9．（4分）函数的最大值为（）A．e﹣1B．e C．e2D．【解答】解：令，当x＞e时，y′＜0；当x＜e时，y′＞0，，在定义域内只有一个极值，所以，故选：A．10．（4分）函数f（x）=（x﹣3）e x的单调递增区间是（）A．（0，3） B．（1，4） C．（2，+∞）D．（﹣∞，2）【解答】解：函数f（x）=（x﹣3）e x，∴f′（x）=e x+（x﹣3）e x=（x﹣2）e x，令f′（x）=0，解得x=2；当x＞2时，f′（x）＞0，f（x）是单调增函数，∴f（x）的单调增区间是（2，+∞）．故选：C．11．（4分）函数y=xsinx+cosx在（π，3π）内的单调增区间是（）A．B．C．D．（π，2π）【解答】解：∵y=xsinx+cosx，∴y'=xcosx，令y'=xcosx＞0，且x∈（π，3π），∴cosx＞0，且x∈（π，3π），∴x∈，∴函数y=xsinx+cosx在（π，3π）内的单调增区间是．故选：B．12．（4分）若函数y=x3+x2+mx+1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是（）A．（，+∞）B．（﹣∞，]C．[，+∞）D．（﹣∞，）【解答】解：若函数y=x3+x2+mx+1是R上的单调函数，只需y′=3x2+2x+m≥0恒成立，即△=4﹣12m≤0，∴m≥．故选：C．二、填空题（每小题4分，共24分）13．（4分）已知曲线f（x）=2x2+1在点M（x 0，y0）处的瞬时变化率为﹣8，则点M的坐标为（﹣2，9）．【解答】解：∵y=2x2+1，∴y′=4x，令4x0=﹣8，则x0=﹣2，∴y0=9，∴点M的坐标是（﹣2，9），故答案为：（﹣2，9）．14．（4分）函数f（x）=e x lnx在点（1，f（1））处的切线方程是y=ex﹣e．【解答】解：函数f（x）=e x lnx的导数为f′（x）=e x（lnx+），可得f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为e（ln1+1）=e，切点为（1，0），即有f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣0=e（x﹣1），即为y=ex﹣e．故答案为：y=ex﹣e．15．（4分）设函数f（x）=x3﹣3x+1，x∈[﹣2，2]的最大值为M，最小值为m，则M+m=2．【解答】解：由f（x）=x3﹣3x+1，得f′（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1），当x∈（﹣2，﹣1）∪（1，2）时，f′（x）＞0，当x∈（﹣1，1）时，f′（x）＜0．∴函数f（x）的增区间为（﹣2，﹣1），（1，2）；减区间为（﹣1，1）．∴当x=﹣1时，f（x）有极大值3，当x=1时，f（x）有极小值﹣1．又f（﹣2）=﹣1，f（2）=3．∴最大值为M=3，最小值为m=﹣1，则M+m=3﹣1=2．故答案为：2．16．（4分）函数f（x）=x3+ax2+x+b在x=1时取得极值，则实数a=﹣2．【解答】解：∵f（x）=x3+ax2+x+b，f′（x）=3x2+2ax+1，又∵f（x）在x=1时取得极值，∴f′（1）=3+2a+1=0，∴a=﹣2．故答案为：﹣2．17．（4分）若曲线y=lnx+ax2﹣2x（a为常数）不存在斜率为负数的切线，则实数a的取值范围是[，+∞）．【解答】解：y′=，x∈（0，+∞），∵曲线y=lnx+ax2﹣2x（a为常数）不存在斜率为负数的切线，∴y′=≥0在（0，+∞）上恒成立，∴a≥恒成立，x∈（0，+∞）．令f（x）=，x∈（0，+∞），则f′（x）=，∴当0＜x＜1时，f′（x）＞0，当x＞1时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，∴当x=1时，f（x）=取得最大值f（1）=，∴a．故答案为[，+∞）．18．（4分）曲线f（x）=xe x在点P（1，e）处的切线与坐标轴围成的三角形面积为．【解答】解：f′（x）=e x+xe x=e x（x+1），∴切线斜率k=f′（1）=2e，∴f（x）在（1，e）处的切线方程为y﹣e=2e（x﹣1），即y=2ex﹣e，∵y=2ex﹣e与坐标轴交于（0，﹣e），（，0）．∴y=2ex﹣e与坐标轴围成的三角形面积为S==．故答案为：．三、解答题19．（9分）求下列函数的导数．（1）；（2）y=（2x2﹣1）（3x+1）；（3）．【解答】解（1）．（2）因为y=（2x2﹣1）（3x+1）=6x3+2x2﹣3x﹣1，所以y'=（6x3+2x2﹣3x﹣1）′=（6x3）′+（2x2）′﹣（3x）′﹣（1）′=18x2+4x﹣3．（3）函数y=sin（x+1）看作y=sinu和u=x+1的复合函数，，同样的可以求出的导数，所以题中函数的导数为．20．（12分）已知函数f（x）=x3+（Ⅰ）求函数f（x）在点P（2，4）处的切线方程；（Ⅱ）求过点P（2，4）的函数f（x）的切线方程．【解答】解：（Ⅰ）∵f′（x）=x2，∴在点P（2，4）处的切线的斜率k=f′（2）=4，∴函数f（x）在点P处的切线方程为y﹣4=4（x﹣2），即4x﹣y﹣4=0（Ⅱ）设函数f（x）与过点P（2，4）的切线相切于点，则切线的斜率∴切线方程为，即∵点P（2，4）在切线上∴4=2﹣+即：﹣3+4=0，∴（x0+1）=0，解得：x0=﹣1或x0=2，∴所求的切线方程为x﹣y+2=0或4x﹣y﹣4=0．21．（12分）设函数f（x）=x3﹣6x+5，x∈R（1）求函数f（x）的单调区间；（2）求函数f（x）在区间[﹣2，2]上的最值．【解答】解：（1）∵f（x）=x3﹣6x+5，∴f′（x）=3x2﹣6．令f′（x）=0，解得，f′（x），f（x）随着x的变化情况如下表：由上表可知f（x）的单调递增区间为和，单调递减区间为．（2）由（1）可知函数f（x）在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，∴f（x）的极大值=，f（x）的极小值=．又∵，，∴函数f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值为，最小值为．22．（15分）设函数f（x）=x3+3ax2﹣9x+5，若f（x）在x=1处有极值（1）求实数a的值（2）求函数f（x）的极值（3）若对任意的x∈[﹣4，4]，都有f（x）＜c2，求实数c的取值范围．【解答】解：（1）f′（x）=3x2+6ax﹣9，由已知得f′（1）=0，即3+6a﹣9=0，解得a=1．（2）由（1）得：f（x）=x3+3x2﹣9x+5，则f′（x）=3x2+6x﹣9，令f′（x）=0，解得x1=﹣3，x2=1，当x∈（﹣∞，﹣3），f′（x）＞0，当x∈（﹣3，1），f′（x）＜0，当x∈（1，+∞），f′（x）＞0，所以f（x）在x=﹣3处取得极大值，极大值f（﹣3）=32，在x=1处取得极小值，极小值f（1）=0；（3）由（2）可知极大值f（﹣3）=32，极小值f（1）=0，又f（﹣4）=25，f（4）=81，所以函数f（x）在[﹣4，4]上的最大值为81，对任意的x∈[﹣4，4]，都有f（x）＜c2，则81＜c2，解得c＞9或c＜﹣9．即有c的范围为（﹣∞，﹣9）∪（9，+∞）．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.O DAB CEAOD CB2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。