浙江省诸暨市牌头中学人教版高一数学必修一2.3幂函数(练习) 答案和解析

[课时作业][A组基础巩固]1．下列所给出的函数中，是幂函数的是( )A．y＝－x3B．y＝x－3C．y＝2x3D．y＝x3－1解析：由幂函数的定义可知y＝x－3是幂函数．答案：B2．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( ) A．y＝x－2 B.y＝x－1C．y＝x2D．y＝x 1 3解析：∵y＝x－1和y＝x 13都是奇函数，故B、D错误．又y＝x2虽为偶函数，但在(0，＋∞)上为增函数，故C错误．y＝x－2＝1x2在(0，＋∞)上为减函数，且为偶函数，故A满足题意．答案：A3．如图，函数y＝x 23的图象是( )解析：y＝x 23＝3x2≥0，故只有D中的图象适合．答案：D4．已知幂函数273225()(1)()t tf x t t x t N+-=-+⋅∈是偶函数，则实数t的值为( )A．0 B.－1或1 C．1 D．0或1解析：∵273225()(1)()t tf x t t x t N+-=-+⋅∈是幂函数，∴t2－t＋1＝1，即t2－t＝0，∴t＝0或t＝1.当t＝0时，f(x)＝x 75是奇函数，不满足题设；当t ＝1时，f (x )＝x 85是偶函数，满足题设．答案：C5．a ，b 满足0<a <b <1，下列不等式中正确的是( )A ．a a <a bB. b a <b b C ．a a <b a D ．b b <a b 解析：因为0<a <b <1，而函数y ＝x a 单调递增，所以a a <b a .答案：C6．若函数则f {f [f (0)]}＝________.解析：∵f (0)＝－2，∴f (－2)＝(－2＋3)12＝1，∴f (1)＝1，∴f {f [f (0)]}＝f [f (－2)]＝f (1)＝1.答案：17．下列命题中，①幂函数的图象不可能在第四象限； ②当α＝0时，函数y ＝x α的图象是一条直线；③当α>0时，幂函数y ＝x α是增函数；④当α＜0时，幂函数y ＝x α在第一象限内函数值随x 值的增大而减小．其中正确的序号为________．解析：当α＝0时，是直线y ＝1但去掉(0,1)这一点，故②错误．当α>0时，幂函数y ＝x α仅在第一象限是递增的，如y ＝x 2，故③错误．答案：①④8．已知n ∈{－2，－1,0,1,2,3}，若⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫－13n ，则n ＝________. 解析：∵－12＜－13，且⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫－13n ，∴y ＝x n 在(－∞，0)上为减函数． 又n ∈{－2，－1,0,1,2,3}，∴n ＝－1或n ＝2.答案：－1或29．点(2，2)与点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－12分别在幂函数f (x )、g (x )的图象上，问当x 为何值时，有①f (x )>g (x )；②f (x )＝g (x )；③f (x )<g (x )．解析：设f (x )＝x α，g (x )＝x β，则(2)α＝2，(－2)β＝－12，∴α＝2，β＝－1.∴f (x )＝x 2，g (x )＝x －1.分别作出它们的图象如图所示，由图象可知，当x ∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f (x )>g (x )；当x ＝1时，f (x )＝g (x )；当x ∈(0,1)时，f (x )<g (x )．10．已知幂函数y ＝x 223m m －－ (m ∈N ＋)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足(a ＋1)3m <(3a －2)3的a 的取值范围．解析： ∵函数在(0，＋∞)上单调递减，∴m 2－2m －3<0，解得－1<m <3.∵m ∈N ＋，∴m ＝1,2.又∵函数图象关于y 轴对称，∴m 2－2m －3是偶数．又∵22－2×2－3＝－3为奇数，12－2×1－3＝－4为偶数，∴m ＝1.∴原不等式等价于(a ＋1)3<(3a －2)3.又∵y ＝x 3在(－∞，＋∞)上是增函数，∴a ＋1<3a －2，∴2a >3，a >32，故a 的取值范围是a >32.[B 组 能力提升]1．设幂函数f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫13，3，设0<a <1，则f (a )与f (a －1)的大小关系是( )A ．f (a －1)<f (a )B.f (a －1)＝f (a ) C ．f (a －1)>f (a ) D ．不能确定解析：因为幂函数f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫13，3，设f (x )＝x α，因为图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫13，3，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫13α＝3，解得α＝－12，所以f (x )＝x 12-在第一象限单调递减． 因为0<a <1，所以a －1>a ，所以f (a －1)<f (a )． 答案：A2．若(a ＋1)12-<(3－2a )12-，则a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，32 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ 解析：令f (x )＝x 12-＝1x，∴f (x )的定义域是(0，＋∞)，且在(0，＋∞)上是减函数，故原不等式等价于⎩⎨⎧ a ＋1>0，3－2a >0，a ＋1>3－2a ，解得23<a <32.答案：B 3．已知(0.71.3)m <(1.30.7)m ，则实数m 的取值范围是________．解析：∵0<0.71.3<0. 70＝1,1.30.7>1.30＝1，∴0.71.3<1.30.7.而(0.71.3)m <(1.30.7)m ，∴幂函数y ＝x m 在 (0，＋∞)上单调递增，故m >0.答案：(0，＋∞)4．把⎝ ⎛⎭⎪⎫2313-，⎝ ⎛⎭⎪⎫3512，⎝ ⎛⎭⎪⎫2512，⎝ ⎛⎭⎪⎫760按从小到大的顺序排列________． 解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫760＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫2313-＞⎝ ⎛⎭⎪⎫230＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫3512＜1，⎝ ⎛⎭⎪⎫2512＜1. ∵y ＝x 12为增函数，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2512＜⎝ ⎛⎭⎪⎫3512＜⎝ ⎛⎭⎪⎫760＜⎝ ⎛⎭⎪⎫2313-.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫2512＜⎝ ⎛⎭⎪⎫3512＜⎝ ⎛⎭⎪⎫760＜⎝ ⎛⎭⎪⎫2313- 5．已知幂函数f (x )＝x 21()m m －＋ (m ∈N ＋)．(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；(2)若该函数f (x )经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围．解析：(1)∵m 2＋m ＝m (m ＋1)(m ∈N ＋)，而m 与m ＋1中必有一个为偶数，∴m 2＋m 为偶数，∴函数f (x )＝x 21()m m －＋ (m ∈N ＋)的定义域为[0，＋∞)，并且该函数在[0，＋∞)上为增函数．(2)∵函数f (x )经过点(2，2)， ∴2＝2(m 2＋m )－1，即212＝2(m 2＋m )－1，∴m 2＋m ＝2，解得m ＝1或m ＝－2，又∵m ∈N ＋，∴m ＝1，f (x )＝x 12.又∵f (2－a )>f (a －1)， ∴⎩⎨⎧ 2－a ≥0，a －1≥0，2－a >a －1，解得1≤a <32， 故函数f (x )经过点(2，2)时，m ＝1.满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围为1≤a ＜32. 6．已知函数f (x )＝(m 2＋2m )·x 21m m ＋－，求m 为何值时，f (x )是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数．解析：(1)若f (x )为正比例函数，则⎩⎨⎧m 2＋m －1＝1，m 2＋2m ≠0，解得m ＝1. (2)若f (x )为反比例函数，则⎩⎨⎧m 2＋m －1＝－1，m 2＋2m ≠0，解得m ＝－1.(3)若f (x )为二次函数，则⎩⎨⎧m 2＋m －1＝2，m 2＋2m ≠0，解得m ＝－1±132. (4)若f (x )为幂函数，则m 2＋2m ＝1， 解得m ＝－1±2.。

2．3幂函数班级______________座号_________学生_______________一． 选择题：1.已知，则（ ）A ． B. C. D. 2. 设1{1,1,,3}2α∈-，则使幂函数y x α=的定义域为R 且为奇函数的所有α的值为（ ）A. 1,3B. -1,1C.-1,3D.-1,1,33. 已知幂函数()a x x f =的图像经过点()2,2，函数g （x ）= log ()a x k +，若0<x 时()0≥x g 无解，则k 的范围是（ ）A.2≥kB.1-≤kC.11≤≤-kD.1≤k4．已知函数：，当时，下列选项正确的是 ( )A. B.C. D.二．填空题：5. 已知幂函数f (x )＝(m 2－2m －2) 21m m x +-的图像与坐标轴没有交点，则 m ＝__________________．6. 已知函数()()()⎩⎨⎧<≥+=01012x x x x f ，则满足不等式()()x f x f 212>-的x 的范围是_____.7. 若关于x 的一元二次方程030112=++-a x x 的两根均大于5，求实数a 的取值范围4213332,3,25a b c ===b a c <<a b c <<b c a <<c a b <<22(),()2,()log x f x x g x h x x ===(4,)a ∈+∞()()()f a g a h a >>()()()g a f a h a >>()()()g a h a f a >>()()()f a h a g a >>三．解答题：8．已知函数f（x）＝(a2－3a＋2)x a2－5a＋5(a为常数)，问a为何值时，f（x）（1）是幂函数；（2）是正比例函数；（3）是反比例函数。

2.3　幂函数课后篇巩固提升基础巩固1.函数y=3x α-2的图象过定点( )A.(1,1)B.(-1,1)C.(1,-1)D.(-1,-1)2.在下列幂函数中,既是奇函数又在区间(0,+∞)上是增函数的是( )A.f (x )=x -1B.f (x )=x -2C.f (x )=x 3D.f (x )=x 123.下列结论中,正确的是( )A.幂函数的图象都过点(0,0),(1,1)B.幂函数的图象可以出现在第四象限C.当幂指数α取1,3,时,幂函数y=x α都是增函数12D.当幂指数α=-1时,幂函数y=x α在其整个定义域上是减函数4.已知当x ∈(1,+∞)时,函数y=x α的图象恒在直线y=x 的下方,则α的取值范围是( )A.0<α<1 B.α<0C.α<1D.α>1α<1.5.已知a=1.,b=0.,c=,则( )2129-121.1A.c<b<a B.c<a<b C.b<a<c D.a<c<b0.,c==1.,9-12=(910)-12=(109)121.1112∵>0,且1.2>>1.1,12109∴1.>1.,即a>b>c.212>(109)121126.如图是幂函数y=x m 与y=x n 在第一象限内的图象,则( )A.-1<n<0<m<1B.n<-1,0<m<1C.-1<n<0,m>1D.n<-1,m>1y=x m 在(0,+∞)上单调递增,且为上凸函数,故0<m<1.由于y=x n 在(0,+∞)上单调递减,且在直线x=1的右侧时,y=x n 的图象在y=x -1的图象的下方,故n<-1.故选B .7.若(a+1<(3-2a ,则a 的取值范围是 .)13)13f (x )=的定义域为R ,且为单调递增函数,x 13所以由不等式可得a+1<3-2a ,解得a<.23-∞,23)8.已知幂函数f (x )=(m ∈Z )的图象关于y 轴对称,并且f (x )在第一象限内是单调递减函数,则m= .x m 2-2m -3f (x )=(m ∈Z )的图象关于y 轴对称,所以函数f (x )是偶函数,所以m 2-2m-3为偶数,所x m 2-2m -3以m 2-2m 为奇数.又因为f (x )在第一象限内是单调递减函数,故m=1.9.为了保证信息的安全传输,有一种密钥密码系统,其加密、解密原理为:发送方由明文到密文(加密),接收方由密文到明文(解密).现在加密密钥为y=x α(α为常数),如“4”通过加密后得到密文“2”.若接收方接到密文“3”,则解密后得到的明文是 .y=x α(α是常数)是一个幂函数模型,所以要想求得解密后得到的明文,就必须先求出α的值.由题意,得2=4α,解得α=,则y=.由=3,得x=9,即明文是9.12x 12x 1210.已知函数y=(a 2-3a+2)(a 为常数),问:x a 2-5a +5(1)当a 为何值时,此函数为幂函数?(2)当a 为何值时,此函数为正比例函数?(3)当a 为何值时,此函数为反比例函数?.由题意知a 2-3a+2=1,即a 2-3a+1=0,解得a=.3±52(2)由题意知解得a=4.{a 2-5a +5=1,a 2-3a +2≠0,(3)由题意知解得a=3.{a 2-5a +5=-1,a 2-3a +2≠0,11.已知幂函数f (x )=(2m 2-6m+5)x m+1为偶函数.(1)求f (x )的解析式;(2)若函数y=f (x )-2(a-1)x+1在区间(2,3)上为单调函数,求实数a 的取值范围.由f (x )为幂函数知2m 2-6m+5=1,即m 2-3m+2=0,得m=1或m=2,当m=1时,f (x )=x 2,是偶函数,符合题意;当m=2时,f (x )=x 3,为奇函数,不合题意,舍去.故f (x )=x 2.(2)由(1)得y=x 2-2(a-1)x+1,函数的对称轴为x=a-1,由题意知函数在(2,3)上为单调函数,∴a-1≤2或a-1≥3,相应解得a ≤3或a ≥4.能力提升1.已知幂函数g (x )=(2a-1)x a+2的图象过函数f (x )=32x+b 的图象所经过的定点,则b 的值等于( )A.-2B.1C.2D.4g (x )=(2a-1)x a+2为幂函数,则2a-1=1,∴a=1,函数的解析式为g (x )=x 3,幂函数过定点(1,1),在函数f (x )=32x+b 中,当2x+b=0时,函数过定点,据此可得-=1,故b=-2.故选A .(-b 2,1)b 22.函数f (x )=(m 2-m-1)是幂函数,对任意x 1,x 2∈(0,+∞),且x 1≠x 2,满足>0,若a ,b ∈R ,且xm 2+m -3f (x 1)-f (x2)x 1-x 2a+b>0,ab<0,则f (a )+f (b )的值( )A.恒大于0B.恒小于0C.等于0D.无法判断f (x )=(m 2-m-1)是幂函数,可得m 2-m-1=1,解得m=2或m=-1,x m 2+m -3当m=2时,f (x )=x 3,当m=-1时,f (x )=x -3,对任意的x 1,x 2∈(0,+∞),且x 1≠x 2,满足>0,f (x 1)-f (x 2)x1-x 2函数是单调增函数,所以m=2,此时f (x )=x 3.又a+b>0,ab<0,可知a ,b 异号,且正数的绝对值大于负数的绝对值,则f (a )+f (b )恒大于0,故选A .3.已知幂函数f (x )=mx n 的图象过点(,2),设a=f (m ),b=f (n ),c=f (ln 2),则( )22A.c<b<a B.c<a<bC.b<c<aD.a<b<cf (x )=mx n 的图象过点(,2),则所以幂函数的解析式为f (x )=x 3,且函数f (x )为22{m =1,(2)n =22⇒{m =1,n =3,单调递增函数.又ln 2<1<3,所以f (ln 2)<f (1)<f (3),即c<a<b ,故选B .4.给出幂函数:①f (x )=x ;②f (x )=x 2;③f (x )=x 3;④f (x )=;⑤f (x )=.其中满足条件f (x 2>x 1>0)x 1x (x 1+x 22)>f (x 1)+f (x 2)2的函数的个数是( )A.1B.2C.3D.4,只有上凸的函数才满足题中条件,所以只有④满足,其他四个都不满足,故选A .5.若幂函数y=(m ,n ∈N *且m ,n 互质)的图象如图所示,则下列说法中正确的是 . x m n①m ,n 是奇数且<1;②m是偶数,n 是奇数,且>1;③m 是偶数,n 是奇数,且<1;④m ,n 是偶数,且>1.m n m n m n m n ,函数y=为偶函数,m 为偶数,n为奇数,又在第一象限向上“凸”,所以<1,选③.x mn m n 6.幂函数f (x )=(m 2-3m+3)·在区间(0,+∞)上是增函数,则实数m= . x m 2-2m +1f (x )=(m 2-3m+3)是幂函数,得m 2-3m+3=1,解得m=2或m=1.当m=2时,f (x )=x 是增函数;当x m 2-2m +1m=1时,f (x )=1是常函数.7.已知函数f (x )=若关于x 的方程f (x )=k 有两个不同的实根,则实数k 的取值范围是 .{2x ,x ≥2,(x -1)3,x <2.,则当0<k<1时,关于x 的方程f (x )=k 有两个不同的实根.8.已知幂函数f (x )=(m-1)2在(0,+∞)上单调递增,函数g (x )=2x -k.x m 2-4m +2(1)求实数m 的值;(2)当x ∈(1,2]时,记ƒ(x ),g (x )的值域分别为集合A ,B ,若A ∪B=A ,求实数k 的取值范围.依题意得(m-1)2=1.∴m=0或m=2.当m=2时,f (x )=x -2在(0,+∞)上单调递减,与题设矛盾,舍去.∴m=0.(2)由(1)可知f (x )=x 2,当x ∈(1,2]时,函数f (x )和g (x )均单调递增.∴集合A=(1,4],B=(2-k ,4-k ].∵A ∪B=A ,∴B ⊆A.∴{2-k ≥1,4-k ≤4.∴0≤k ≤1.∴实数k 的取值范围是[0,1].9.已知幂函数f (x )=x (2-k )(1+k ),k ∈Z ,且f (x )在(0,+∞)上单调递增.(1)求实数k 的值,并写出相应的函数f (x )的解析式.(2)若F (x )=2f (x )-4x+3在区间[2a ,a+1]上不单调,求实数a 的取值范围.(3)试判断是否存在正数q ,使函数g (x )=1-qf (x )+(2q-1)x 在区间[-1,2]上的值域为,若存在,求出q 的值;[-4,178]若不存在,请说明理由.由题意知(2-k )(1+k )>0,解得-1<k<2.又k ∈Z ,∴k=0或k=1,分别代入原函数,得f (x )=x 2.(2)由已知得F (x )=2x 2-4x+3.要使函数在区间[2a ,a+1]上不单调,则2a<1<a+1,则0<a<.12(3)由已知,g (x )=-qx 2+(2q-1)x+1.假设存在这样的正数q 符合题意,则函数g (x )的图象是开口向下的抛物线,其对称轴为x==1-<1,因而,函数g (x )在[-1,2]上的最小值2q -12q 12q 只能在x=-1或x=2处取得,又g (2)=-1≠-4,从而必有g (-1)=2-3q=-4,解得q=2.此时,g (x )=-2x 2+3x+1,其对称轴x=∈[-1,2],∴g (x )在[-1,2]上的最大值为g =-2×+3×+1=,符合题34(34)(34)234178意.∴存在q=2,使函数g (x )=1-qf (x )+(2q-1)x 在区间[-1,2]上的值域为.[-4,178]。

数学1（必修）第三章 函数的应用（含幂函数）[基础训练A 组] 一、选择题1．若)1(,,)1(,1,4,)21(,2522>==-=+====a a y x y x y x y x y y x y xx 上述函数是幂函数的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2．已知)(x f 唯一的零点在区间(1,3)、(1,4)、(1,5)内，那么下面命题错误的（ ） A ．函数)(x f 在(1,2)或[)2,3内有零点 B ．函数)(x f 在(3,5)内无零点 C ．函数)(x f 在(2,5)内有零点 D ．函数)(x f 在(2,4)内不一定有零点3．若0,0,1a b ab >>>，12log ln 2a =，则log a b 与a 21log 的关系是（ ）A ．12log log a b a < B ．12log log a b a =C ．12log log a b a > D ．12log log a b a ≤4． 求函数132)(3+-=x x x f 零点的个数为 （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．45．已知函数)(x f y =有反函数，则方程0)(=x f （ ） A ．有且仅有一个根 B ．至多有一个根 C ．至少有一个根 D ．以上结论都不对6．如果二次函数)3(2+++=m mx x y 有两个不同的零点，则m 的取值范围是（ ） A ．()6,2- B ．[]6,2- C ．{}6,2- D ．()(),26,-∞-+∞7．某林场计划第一年造林10000亩，以后每年比前一年多造林20%，则第四年造林（ ） A ．14400亩 B ．172800亩 C ．17280亩 D ．20736亩二、填空题1．若函数()x f 既是幂函数又是反比例函数,则这个函数是()x f = 。

2．幂函数()f x 的图象过点（，则()f x 的解析式是_____________。

〖2.3〗幂函数（1）幂函数的定义 一般地，函数y x α=叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数．（2）幂函数的图象（3）幂函数的性质①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．②过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)． ③单调性：如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数．如果0α<，则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与y 轴．④奇偶性：当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数．当q pα=（其中,p q 互质，p 和q Z ∈），若p 为奇数q 为奇数时，则q py x=是奇函数，若p 为奇数q 为偶数时，则q py x=是偶函数，若p 为偶数q 为奇数时，则qpy x=是非奇非偶函数．⑤图象特征：幂函数,(0,)y x x α=∈+∞，当1α>时，若01x <<，其图象在直线y x =下方，若1x >，其图象在直线y x =上方，当1α<时，若01x <<，其图象在直线y x =上方，若1x >，其图象在直线y x =下方．2.3幂函数的图象及性质1．下列函数中，其定义域和值域不同的函数是( )A ．y ＝x 13 B ．y ＝x －12 C ．y ＝x 53D ．y ＝x 232．如图，图中曲线是幂函数y ＝x α在第一象限的大致图象．已知α取－2，－12，12，2四个值，则相应于曲线C1，C 2，C 3，C 4的α的值依次为( )A ．－2，－12，12，2B ．2，12，－12，－2C ．－12，－2,2，12D ．2，12，－2，－123．以下关于函数y ＝x α当α＝0时的图象的说法正确的是( )A ．一条直线B ．一条射线C ．除点(0,1)以外的一条直线D ．以上皆错 4．函数f(x)＝(1－x)0＋(1－x)12的定义域为________． 5．已知幂函数f(x)的图象经过点(2，22)，则f(4)的值为( ) A ．16 B.116 C.12D ．26．下列幂函数中，定义域为{x|x ＞0}的是( ) A ．y ＝x 23 B ．y ＝x 32 C ．y ＝x －13D ．y ＝x －347．已知幂函数的图象y ＝x m2－2m －3(m ∈Z ，x≠0)与x ，y 轴都无交点，且关于y 轴对称，则m 为( )A ．－1或1B ．－1,1或3C ．1或3D ．3 8．下列结论中，正确的是( )①幂函数的图象不可能在第四象限②α＝0时，幂函数y ＝x α的图象过点(1,1)和(0,0) ③幂函数y ＝x α，当α≥0时是增函数④幂函数y ＝x α，当α<0时，在第一象限内，随x 的增大而减小 A ．①② B ．③④ C ．②③ D ．①④9．在函数y ＝2x 3，y ＝x 2，y ＝x 2＋x ，y ＝x 0中，幂函数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．幂函数f(x)的图象过点(3，3)，则f(x)的解析式是________ ．11．函数f(x)＝(m 2－m －5)x m －1是幂函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，试确定m 的值．12．已知函数f(x)＝(m 2＋2m)·x m2＋m －1，m 为何值时，f(x)是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数？13．已知幂函数y ＝x m2－2m －3(m ∈Z)的图象与x 、y 轴都无公共点，且关于y 轴对称，求m 的值，并画出它的图象．答案1. 解析：选D.y ＝x 23＝3x 2，其定义域为R ，值域为[0，＋∞)，故定义域与值域不同． 2.解析：选B.当x ＝2时，22＞212＞2－12＞2－2，即C 1：y ＝x 2，C 2：y ＝x 12，C 3：y ＝x －12，C 4：y ＝x －2.3.解析：选C.∵y ＝x 0，可知x≠0，∴y ＝x 0的图象是直线y ＝1挖去(0,1)点．4.解析：⎩⎪⎨⎪⎧1－x≠01－x≥0，∴x<1.答案：(－∞，1)5 解析：选C.设f(x)＝x n ，则有2n ＝22，解得n ＝－12，即f(x)＝x －12，所以f(4)＝4－12＝12.6 解析：选D.A.y ＝x 23＝3x 2，x ∈R ；B.y ＝x 32＝x 3，x≥0；C.y ＝x －13＝13x，x≠0；D.y ＝x－34＝14x 3，x ＞0.7 解析：选B.因为图象与x 轴、y 轴均无交点，所以m 2－2m －3≤0，即－1≤m≤3.又图象关于y 轴对称，且m ∈Z ，所以m 2－2m －3是偶数，∴m ＝－1,1,3.故选B.8 解析：选D.y ＝x α，当α＝0时，x≠0；③中“增函数”相对某个区间，如y ＝x 2在(－∞，0)上为减函数，①④正确．9 解析：选B.y ＝x 2与y ＝x 0是幂函数．10 解析：设f(x)＝x α，则有3α＝3＝312⇒α＝12.答案：f(x)＝x 1211 解：根据幂函数的定义得：m 2－m －5＝1，解得m ＝3或m ＝－2，当m ＝3时，f(x)＝x 2在(0，＋∞)上是增函数；当m ＝－2时，f(x)＝x －3在(0，＋∞)上是减函数，不符合要求．故m ＝3.12 解：(1)若f(x)为正比例函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝1m 2＋2m≠0⇒m ＝1. (2)若f(x)为反比例函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝－1m 2＋2m≠0⇒m ＝－1. (3)若f(x)为二次函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝2m 2＋2m≠0⇒m ＝－1±132.(4)若f(x)为幂函数，则m 2＋2m ＝1，∴m ＝－1±213 解：由已知，得m 2－2m －3≤0，∴－1≤m≤3. 又∵m ∈Z ，∴m ＝－1,0,1,2,3.当m ＝0或m ＝2时，y ＝x －3为奇函数，其图象不关于y 轴对称，不适合题意． ∴m ＝±1或m ＝3.当m ＝－1或m ＝3时，有y ＝x 0，其图象如图(1)．当m ＝1时，y ＝x －4，其图象如图(2)．.。

1．下列函数中，是幂函数的为( )A ．y ＝－x 12B ．y ＝3x 2C ．y ＝1xD ．y ＝2x解析：幂函数的形式为y ＝x α，A是y ＝－1×x 12；B 是y ＝3×x 2；D 是指数函数，故A 、B 、D 都不是幂函数.只有C ：y ＝1x＝x －1符合幂函数的定义． 答案：C2．给出四个说法：①当α＝0时，y ＝x α的图象是一个点；②幂函数的图象都经过点(0，0)，(1，1)；③幂函数的图象不可能出现在第四象限；④幂函数y ＝x α在第一象限为减函数，则α<0.其中正确的说法个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 解析：显然①错误；②中y ＝x －1的图象不过(0，0)；根据幂函数图象可知，③④正确． 答案：B3．设α∈{－2，－1，－12，13，12，1，2，3}，则使f (x )＝x α为奇函数且在(0，＋∞)上单调递减的α的值的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：∵f (x )＝x α为奇函数，∴α＝－1，13，1，3. 又∵f (x )在(0，＋∞)上为减函数，∴α＝－1.答案：A4．函数f (x )＝(m 2－m ＋1)x m 2＋2m －3是幂函数，且在x ∈(0，＋∞)时是减函数，则实数m ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．0或1解析：由m 2－m ＋1＝1，得m ＝0或m ＝1，再把m ＝0和m ＝1分别代入m 2＋2m －3<0检验，得m ＝0.答案：A5．已知幂函数y ＝f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫2，22，则f (9)＝________． 解析：设幂函数f (x )＝x α.∵过点⎝⎛⎭⎫2，22，∴2α＝22， ∴α＝－12，∴f (x )＝x 12-， ∴f (9)＝912-＝13. 答案：13 6．已知幂函数f (x )＝x12-，若f (a ＋1)<f (10－2a )，则a 的取值范围是________． 解析：∵f (x )＝x 12-＝1x(x >0)，故易知f (x )在(0，＋∞)上为减函数.又f (a ＋1)<f (10－2a )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1>0，10－2a >0，a ＋1>10－2a ，解得⎩⎨⎧a >－1，a <5，a >3.∴3<a <5.答案：(3，5)7．比较下列各组数中两个数的大小：(1)(25)0.5与(13)0.5； (2)(－23)－1与(－35)－1； (3)(23)34与(34)23.解：(1)∵幂函数y ＝x 0.5在(0，＋∞)上是单调递增的， 又25>13，∴(25)0.5>(13)0.5. (2)∵幂函数y ＝x －1在(－∞，0)上是单调递减的，又－23<－35， ∴(－23)－1>(－35)－1. (3)∵函数y 1＝(23)x 为减函数， 又34>23，∴(23)23>(23)34. 又∵幂函数y 2＝x 23在(0，＋∞)上是增函数，且34>23， ∴(34)23>(23)23. ∴(34)23>(23)34. 8．已知函数y ＝(m 2－3m ＋3)x 213m -为幂函数，求其解析式，并讨论函数的单调性和奇偶性． 解：由题意得m 2－3m ＋3＝1，即m 2－3m ＋2＝0. ∴m ＝1或m ＝2.当m ＝2时，y ＝x 13,定义域为R ， y ＝x 13在(－∞，＋∞)上是增函数且是奇函数． 当m ＝1时，y ＝x23-，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)． 因为y ＝x 23-＝1x 23＝13x 2,∴函数y ＝x 23-为偶函数．又－23<0，∴y ＝x 23-在(0，＋∞)上是减函数，在(－∞，0)上是增函数．。

高一数学幂函数试题答案及解析1.如图所示，函数的图像大致为（）．A B C D【答案】C【解析】的定义域为,，图像关于轴对称，可排除选项A,B；又因为当时，，所以选C.【考点】函数的图像与性质.2.幂函数的图象经过点，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为函数的图象经过点，则有，解得，所以．【考点】幂函数的解析式与图象．3.已知幂函数的图像过点，则【答案】【解析】因为幂函数的图像过点，所以得，因此故.【考点】幂函数的解析式.4. .（填“”或“”）.【答案】【解析】幂函数在上单调递增，，所以【考点】幂函数的性质5.对于幂函数，若，则，大小关系是（）A．B．C．D．无法确定【答案】A【解析】根据幂函数在（0，+∞）上是增函数，图象是上凸的，则当0＜x1＜x2时，应有成立，故答案选A.【考点】幂函数的单调性点评：本题主要考查幂函数的单调性，幂函数的图象特征，属于中档题．6.三个数，，之间的大小关系为（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．b＜c＜a【答案】C【解析】因为对于比较大小，先分析各自的大致范围，然后确定大小关系。

由于根据指数函数和幂函数和对数函数的性质可知，，，，那么可知选择C.【考点】本试题主要是考查了幂函数、对数函数与指数函数的单调性，以及值域的应用。

属于基础题。

点评：解决该试题的核心是对于幂值、对数值和指数值范围的判定，先分类，再在各个类里面比较大小，注意常用中间变量0，1来比较大小。

7.设f(x)=,用二分法求方程=0在内近似值的过程中得f(1) < 0,f(1.5) > 0,f (1.25) < 0,则方程的根落在区间（）A．（1，1.25）B．（1.25，1.5）C．（1.5，2）D．不能确定【答案】B【解析】因为f(1) < 0,f(1.5) > 0,f (1.25) < 0,所以由函数零点存在定理知，方程的根落在区间（1.25，1.5），选B.【考点】本题主要考查函数零点存在定理。

第二章 2.31．下列函数是幂函数的是( ) A ．y ＝5xB ．y ＝x 5C ．y ＝5xD ．y ＝(x ＋1)3解析：函数y ＝5x 是指数函数，不是幂函数；函数y ＝5x 是正比例函数，不是幂函数；函数y ＝(x ＋1)3的底数不是自变量x ，不是幂函数；函数y ＝x 5是幂函数． 答案：B2．函数y ＝x 43 的图象是( )解析：y ＝x 43 为偶函数，图象关于y 轴对称，又43＞1，在第一象限内，图象为下凸递增的．答案：A3．下列命题中，不正确的是( )A ．幂函数y ＝x －1是奇函数B ．幂函数y ＝x 2是偶函数C ．幂函数y ＝x 既是奇函数又是偶函数D ．y ＝x 12 既不是奇函数，又不是偶函数解析：∵x －1＝1x ，1－x ＝－1x，∴A 正确； (－x )2＝x 2，∴B 正确；－x ＝x 不恒成立，∴C 不正确；y ＝x 12 定义域为[0，＋∞)，不关于原点对称，∴D 正确．故选C.答案：C4．已知函数f (x )＝ax 3－2x 的图象过点(－1,4)，则a ＝________.解析：f (－1)＝－a ＋2＝4，所以a ＝－2.答案：－25．幂函数f (x )＝x α的图象过点(3,9)，那么函数f (x )的单调增区间是________． 解析：由题设知f (3)＝9，即3α＝9，∴α＝2.∴f (x )＝x 2，其增区间为[0，＋∞)．答案：[0，＋∞)6．已知函数y ＝(a 2－3a ＋2)x a 2－5a ＋5(a 为常数)．问：(1)a 为何值时此函数为幂函数？(2)a 为何值时此函数为正比例函数？解：(1)根据幂函数的定义，得a 2－3a ＋2＝1，即a 2－3a ＋1＝0，解得a ＝3±52. (2)根据正比例函数的定义，得 ⎩⎪⎨⎪⎧a 2－5a ＋5＝1，a 2－3a ＋2≠0， 解得a ＝4.。

A 级 基础巩固一、选择题1．下列函数中不是幂函数的是( )A ．y ＝xB ．y ＝x 3C ．y ＝22xD ．y ＝x －1解析：显然C 中y ＝22x ＝4x ，不是y ＝x α的形式，所以不是幂函数，而A ，B ，D 中的α分别为12，3，－1，符合幂函数的结构特征． 答案：C2．下列函数中既是偶函数又在(－∞，0)上是增函数的是( )A ．y ＝x 43B ．y ＝x 32 C ．y ＝x －2 D ．y ＝x －14解析：对于幂函数y ＝x α，如果它是偶函数，当α<0时，它在第一象限为减函数，在第二象限为增函数，则C 选项正确．答案：C3．幂函数y ＝x 2，y ＝x －1，y ＝x 13，y ＝x －12在第一象限内的图象依次是图中的曲线( )A ．C 2，C 1，C 3，C 4B ．C 4，C 1，C 3，C 2 C ．C 3，C 2，C 1，C 4D ．C 1，C 4，C 2，C 3解析：由于在第一象限内直线x ＝1的右侧时，幂函数y ＝x α的图象从上到下相应的指数α由大变小，故幂函数y ＝x 2在第一象限内的图象为C 1，同理，y ＝x －1在第一象限的图象为C 4，y ＝x 13在第一象限内的图象为C 2，y ＝x －12在第一象限内的图象为C 3.答案：D4．已知幂函数y ＝f (x )的图象过(4，2)点，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝( ) A. 2B.12C.14D.22解析：设幂函数f (x )＝x α，由图象经过点(4，2)，可得4α＝2，即22α＝2，所以2α＝1，α＝12， 即f (x )＝x 12.故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212＝22. 答案：D5．设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2525，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2535，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3525，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a <b <cB ．b <a <cC ．c <a <bD ．b <c <a 解析：由于函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25x 在它的定义域R 上是减函数，所以a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2525>b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2535>0.由于函数y ＝x 25在它的定义域R 上是增函数，且35>25，故有c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3525>a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2525，故a ，b ，c 的大小关系是b <a <c . 答案：B二、填空题6．给出下面四个条件：①f (m ＋n )＝f (m )＋f (n )；②f (m ＋n )＝f (m )·f (n )；③f (mn )＝f (m )·f (n )；④f (mn )＝f (m )＋f (n )．如果m ，n 是幂函数y ＝f (x )定义域内的任意两个值，那么幂函数y ＝f (x )一定满足的条件的序号为________．解析：设f (x )＝x α，则f (m ＋n )＝(m ＋n )α，f (m )＋f (n )＝m α＋n α，f (m )·f (n )＝m α·n α＝(mn )α，f (mn )＝(mn )α，所以f (mn )＝f (m )·f (n )一定成立，其他三个不一定成立，故填③.答案：③7．幂函数f (x )＝x 3m －5(m ∈N)在(0，＋∞)上是减函数，且f (－x )＝f (x )，则m 等于________．解析：因为幂函数f (x )＝x 3m －5(m ∈N)在(0，＋∞)上是减函数，所以3m －5<0，即m <53，又m ∈N ， 所以m ＝0或m ＝1，因为f (－x )＝f (x )，所以函数f (x )是偶函数，当m ＝0时，f (x )＝x －5，是奇函数；当m ＝1时，f (x )＝x －2，是偶函数．所以m ＝1.答案：18．若f (x )＝x α是幂函数，且满足f （4）f （2）＝3，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝________． 解析：因为f （4）f （2）＝3，所以4α2α＝3，即2α＝3， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝2－α＝3－1＝13. 答案：13三、解答题9．已知函数f (x )＝(m 2－m －1)x －5m －3，m 为何值时：(1)f (x )是幂函数？(2)f (x )是正比例函数？(3)f (x )是反比例函数？(4)f (x )是二次函数？解：(1)因为f (x )是幂函数，故m 2－m －1＝1，即m 2－m －2＝0，解得m ＝2或m ＝－1.(2)若f (x )是正比例函数，则－5m －3＝1，解得m ＝－45. 此时m 2－m －1≠0，故m ＝－45. (3)若f (x )是反比例函数，则－5m －3＝－1，则m ＝－25，此时m 2－m －1≠0， 故m ＝－25. (4)若f (x )是二次函数，则－5m －3＝2，即m ＝－1，此时m 2－m －1≠0，故m ＝－1.10．已知幂函数f (x )的图象过点(25，5)．(1)求f (x )的解析式；(2)若函数g (x )＝f (2－lg x )，求g (x )的定义域、值域．解：(1)设f (x )＝x α，则由题意可知25α＝5，所以α＝12，所以f (x )＝x 12. (2)因为g (x )＝f (2－lg x )＝2－lg x ，所以要使g (x )有意义，只需2－lg x ≥0，即lg x ≤2，解得0<x ≤100.所以g (x )的定义域为(0，100]，又2－lg x ≥0，所以g (x )的值域为[0，＋∞)．B 级 能力提升1．对于幂函数f (x )＝x 45，若0<x 1<x 2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，f （x 1）＋f （x 2）2的大小关系是( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22>f （x 1）＋f （x 2）2 B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22<f （x 1）＋f （x 2）2 C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＝f （x 1）＋f （x 2）2 D ．无法确定 解析：幂函数f (x )＝x 45在(0，＋∞)上是增函数，大致图象如图所示．设A (x 1，0)，C (x 2，0)，其中0<x 1<x 2，则AC 的中点E 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 1＋x 22，0，|AB |＝f (x 1)，|CD |＝f (x 2)，|EF |＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 1＋x 22. 因为|EF |>12(|AB |＋|CD |)， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 1＋x 22>f （x 1）＋f （x 2）2. 答案：A2．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧a x，x ≤03a －x 12，x >0(a >0，且a ≠1)是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是________．解析：当x ≤0时，由f (x )＝a x 为减函数，知0<a <1；当x >0时，由f (x )＝3a －x 12为减函数，知a ∈R ，且要满足a 0≥3a ，解得a ≤13.综上，可知实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13. 答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13 3．已知幂函数f (x )＝x 1m 2＋m(m ∈N *)． (1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；(2)若该函数还经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围．解：(1)因为m 2＋m ＝m (m ＋1)，m ∈N *，所以m 与m ＋1必定有一个为偶数，所以m 2＋m 为偶数，所以函数f (x )＝x 1m 2＋m (m ∈N *)的定义域为[0，＋∞)，并且该函数在其定义域上为增函数．(2)因为函数f (x )经过点(2，2)， 所以2＝21m 2＋m ，即212＝21m 3＋m ，所以m 2＋m ＝2，即m 2＋m －2＝0.所以m ＝1或m ＝－2.又因为m ∈N *，所以m ＝1.因为f (x )在[0，＋∞)上是增函数，所以由f (2－a )>f (a －1)得⎩⎪⎨⎪⎧2－a ≥0，a －1≥0，2－a >a －1，解得1≤a <32. 故m 的值为1，满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32.。

高一数学幂函数试题答案及解析1. (1)化简；(2)已知且，求的值.【答案】(1)1; (2)【解析】(1)注意根式与分数指数幂的关系:,将所求式子全用分数指数幂来表示,再利用幂的运算法则:可化简已知式子;(2)注意到,将已知代入即可求得所求式子的平方值,再注意到,所以>0,从而就可得到所求式子的值．试题解析：原式.(2)．又因为，所以故知：．【考点】根式与分数指数幂的运算．2.若上述函数是幂函数的个数是（）A．个B．个C．个D．个【答案】C【解析】形如的函数，是幂函数。

所以幂函数有，共两个，故选C。

【考点】本题主要考查幂函数的概念。

点评：简单题，形如的函数，是幂函数。

3.当时，幂函数为减函数，则实数( )A．m＝2B．m＝－1C．m＝2或m＝－1D．【答案】A【解析】因为，当时，幂函数为减函数，所以或，解得，m＝2，故选B。

【考点】本题主要考查幂函数的概念及其性质。

点评：简单题，注意形如为常数）的函数是幂函数。

4.已知幂函数在增函数，则的取值范围 .【答案】(0,10)【解析】根据已知表达式可知，幂函数在增函数，首先分析对数式y=lga中真数大于零，即a>0，同时要满足在增函数，说明了幂指数为正数，即1-lga>0，得到lga<1=lg10,a<10,这样结合a>0，可知实数a的取值范围是(0,10)。

【考点】本试题主要是考查了幂函数的单调性与幂指数的正负之间的关系的应用，属于基础题。

点评：解决该试题关键是理解幂函数在y轴右侧的单调性是增，说明了幂指数为正，如果在y轴右侧为减，说明幂指数为负数。

同时对数真数大于零是易忽略点。

5.设幂函数的图像经过点，设，则与的大小关系是（）A．B．C．D．不能确定【答案】A【解析】因为幂函数的图像经过点，设因为图像经过点，所以，解得，所以在第一象限单调递减.因为，所以，所以.【考点】本小题主要考查幂函数的图象和性质，考查利用幂函数的单调性比较两个函数值的大小. 点评：幂函数的定义是形式定义，是形如的函数，当时，函数在第一象限单调递增.6.若函数是幂函数，则的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】函数是幂函数，则即。