2013年福建南平一中高一自主招生数学试题(含答案)

数学试题 第1页（共4页） 2013年福建南平一中高一自主招生

数 学 试 题

（满分：100分 考试时间：90分钟）

一、选择题（每小题3分，共10题，在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知6,5xyyx,则22yx( )

A. 1 B. 13 C. 17 D. 25

2．已知圆锥的底面半径为9㎝，母线长为30㎝，则圆锥的侧面积为（ ）

A．270cm2 B．360cm2 C．450cm2 D．540cm2

3.代数式5432xx的值等于7，则5342xx的值为（ ）

A. 7 B. 12 C. 1 D. -1

4．x、y都是正数，并且成反比，若x增加了p﹪，设y减少的百分数为q﹪，则q的值为（ ）

A.1001%pp B. 100%p C. 100pp D. 100100pp

5．下列命题：

①若0cba，则042acb；

②若cab，则一元二次方程02cbxax有两个不相等的实数根；

③若cab32，则一元二次方程02cbxax有两个不相等的实数根；

④若042acb，则二次函数cbxaxy2的图象与坐标轴的公共点的个数是2或3.

正确命题的个数有（ ）

A.1 B.2 C.3 D.4

6．一个几何体是由一些大小相同的小正方块摆成的，其俯视图

与主视图如图所示，则组成这个几何体的小正方块最多．．有（ ）

A．4个 B．5个

C．6个 D．7个

7．如图，∠ACB＝60○，半径为2的⊙0切BC于点C，若将⊙O在CB

上向右滚动，则当滚动到⊙O与CA也相切时，圆心O移动的水平

距离为（ ） 俯视图 主视图

（第6题图）

第7题图BAco 数学试题 第2页（共4页） A．2 B．4 C．32 D．4

8．父亲每天都爱带报纸去上班，父亲离开家的时间记为x，送报人来的时间记为y，若00:830:7x，00:800:7y，则父亲能拿不到报纸上班的概率为（ ）

A. 41 B. 31 C. 21 D. 43

9．在平面直角坐标系中，已知点A（4，0），B（2，0），若点C在一次函数221xy 的图象上，且△ABC为直角三角形，则满足条件的点C有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

10．如图，AB为半⊙O的直径，C为半圆弧的三等分点，过B，C两点的02cbxax半⊙O的切线交于点P，若AB的长是2a，则PA的长是（ ）

A. a25 B.a7 C. a22 D.a3

二、填空题（每小题4分，共5小题）

11．分解因式：2242xx ．

12．从一副扑克牌中取出的两组牌，一组为黑桃1、2、3，另一组为方块1、2、3，分别随机地从这两组牌中各摸出一张，那么摸出的两张牌的牌面数字之和是奇数的概率是 ．

13．对于实数ba、定义一种运算“*”为：ababa)(，则关于x的方程0)(xmx)1(m的解是_________________．

14．如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC，E为垂足，若cosB54，

EC＝2，P是AB边上的一个动点，则线段PE的长度的

最小值是__________．

15．如图，已知点F的坐标为（3，0），点AB，分别是某函数图象与x轴、y轴的交点，点P是此图象上的一动点．．．设点P的横坐标为x，PF的长为d，且d与x之间满足关系：355dx（05x≤≤），则结论：①2AF；A B O P

C

（第10题图）

A

B C D

E P

x y

O A F B P

（第15题图） 数学试题 第3页（共4页） ②5BF；③5OA；④3OB中，正确结论的序号是 ．

三、解答题（6小题，满分50分）

16．（本题满分5分）计算：02)1(60tan1132x+ 45cos214

17．（本题满分5分）先化简，再求值

2113,124xxxxxx其中21x

18．（本题满分10分）

某大型超市元旦假期举行促销活动，规定一次购物不超过100元的不给优惠；超过100元而不超过300元时，按该次购物全额9折优惠；超过300元的其中300元部分仍按9折优惠，超过部分按8折优惠.小美两次购物分别用了94.5元和282.8元，现小丽决定一次购买小美分两次购买的同样的物品，则小丽应该付款多少元？

19．（本题满分15分，第（1）小题6分，第（2）小题3分，第（3）小题6分）

在半径为4的⊙O中，点C是以AB为直径的半圆的中点，OD⊥AC，垂足为D，点E是射线AB上的任意一点，DF//AB，DF与CE相交于点F，设EF=x，DF=y．

（1） 如图1，当点E在射线OB上时，求y关于x的函数解析式，并写出函数定义域；

（2） 如图2，当点F在⊙O上时，求线段DF的长；

（3） 如果以点E为圆心、EF为半径的圆与⊙O相切，求线段DF的长．

20. （本题满分15分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题6分）

如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8．点P，Q都是斜边AB上的动点，点P从B 向A运动（不与点B重合），点Q从A向B运动，BP=AQ．点D，E分别是点A，B以Q，P为对称中心的对称点， HQ⊥AB于Q，交AC于点H．当点E到达顶点A时，P，Q同时停止运动．设BP的长为x，△HDE的面积为y．

（1）求证：△DHQ∽△ABC；

（2）求y关于x的函数解析式并求y的最大值； A B E F C

D

O

（第19题图1） A B E F C

D

O

（第19题图2）

（第20题） DEQBACPH 数学试题 第4页（共4页） （3）当x为何值时，△HDE为等腰三角形？ 数学试题 第5页（共4页） 数学试题参考答案

一、选择题（每小题3分，共10题，在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10

答案 B A D C B C C A D

B

二、填空题（每小题4分，共5小题）

11．2)1(2x； 12．94； 13．1,0221mmxx；

14．532； 15．①②③.

三、解答题（共5小题，共50分）

16．(本题满分5分)

解：原式=222231)13(13 „ „„„3分

=3+2 „„„„„„„„„„„„„„„5分

17.解：原式=212131222xxxxxxxx

= 2222122123xxxxxxxxx

=322123xxxxxx

=21xx „„„„4分

把21x代入上式得：

原式=2122332122112 „„„„5分

18．（本题满分为10分）

解：因为100×0.9＝90＜94.5＜100，300×0.9＝270＜282.8，所以有两种情况：

设小美第二次购物的原价为x元，

则（x－300）×0.8＋300×0.9＝282.8

解得，x＝316„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„4分

情况1：小美第一次购物没有优惠，第二次购物原价超过300元

则小丽应付（316＋94.5－300）×0.8＋300×0.9＝358.4（元）„„„7分

情况2：小美第一次购物原价超过100元，第二次购物原价超过300元；

则第一次购物原价为：94.5÷0.9＝105（元） 数学试题 第6页（共4页） 所以小丽应付（316＋105－300）×0.8＋300×0.9＝362.8（元）．„„10分

19．（本题满分15分，第（1）小题6分，第（2）小题3分，第（3）小题6分）

解：（1）连结OC，

∵AC是⊙O的弦，OD⊥AC，∴OD=AD． „„„„„„„1分

∵DF//AB，∴CF=EF，∴DF=AE21=)(21OEAO． „„„„„„„„„2分

∵点C是以AB为直径的半圆的中点，∴CO⊥AB． „„„„„„„„„„3分

∵EF=x，AO=CO=4,∴CE=2x,OE=421642222xxOCCE.„4分

∴42)424(2122xxy. 定义域为2x． „„„„„„„„6分

（2）当点F在⊙O上时，联结OC、OF，EF=421OFCE，

344822OE „„„„„„„7分

∴DF=)(21OEAO=2+442=2+23． „„„„„„„„„„9分

（3）当⊙E与⊙O外切于点B时，BE=FE．∵222COOECE，

∴,4)4()2(222xx 032832xx，

∴1x3744，2x舍去(3744） „„„„„„„„„„„„10分

∴DF=37214)37448(21)(21BEAB． „„„„„„„11分

当⊙E与⊙O内切于点B时，BE=FE．∵222COOECE，

∴,4)4()2(222xx 032832xx，

∴1x3744，2x舍去(3744）． „„„„„„„„„„„12分

∴DF=37214)37448(21)(21BEAB． „„„„„„„„13分

当⊙E与⊙O内切于点A时，AE=FE．∵222COOECE，

∴,4)4()2(222xx 032832xx，