第一章§1.1 命题与量词1.1.2 量 词学习目标XUEXIMUBIAO1.理解全称量词与存在量词的含义.2.理解并掌握全称命题和存在性命题的概念.3.能判定全称命题和存在性命题的真假并掌握其判断方法.NEIRONGSUOYIN内容索引自主学习题型探究达标检测1自主学习PART ONE知识点一 全称量词、全称命题1.概念短语“ ”“ ”在陈述中表示所述事物的全体，在逻辑中通常叫做 量词，并用符号“ ”表示.含有全称量词的命题，叫做 .2.表示将含有变量x 的语句用p (x )，q (x )，r (x )，…表示，变量x 的取值范围用M 表示.那么，全称命题“对M 中任意一个x ，有p (x )成立”可用符号简记为 ，读作“对任意x 属于M ，有p (x )成立”.3.全称命题的真假判定要判定全称命题是真命题，需要对集合M 中每个元素x ，证明p (x )成立，但要判所有的任意一个全称∀全称命题∀x ∈M ，p (x )知识点二 存在量词、存在性命题1.概念短语“ ”“ ”在陈述中表示所述事物的个体或部分，在逻辑中通常叫做 量词，并用符号“”表示.含有存在量词的命题，叫做 .2.表示存在性命题“存在M 中的元素x ，使p (x )成立”可用符号简记为 ，读作“存在M 中的元素x ，使p (x )成立”.3.存在性命题的真假判定要判定一个存在性命题是真命题，只需在集合M 中找到一个元素x ，使p (x )成存在一个至少有一个存在存在性命题∃x ∈M ，p (x )∃1.“有些”“某个”“有的”等短语不是存在量词.( )2.全称命题一定含有全称量词，存在性命题一定含有存在量词.( )3.存在性命题中的量词一定不能省略.( )4.全称量词的含义是“任意性”，存在量词的含义是“存在性”.( )思考辨析 判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU××√√2题型探究PART TWO题型一 全称命题与存在性命题的辨析例1 判断下列命题是全称命题还是存在性命题.(1)梯形的对角线相等；(2)存在一个四边形有外接圆；(3)二次函数都存在零点；(4)过两条平行线有且只有一个平面.解 命题(1)完整的表述应为“任意一个梯形的对角线相等”，很显然为全称命题.命题(2)为存在性命题.命题(3)完整的表述为“所有的二次函数都存在零点”，故为全称命题.命题(4)是命题“过任意两条平行线有且只有一个平面”的简写，故为全称命题.反思感悟 判断一个命题是全称命题还是存在性命题的关键是看量词.由于某些全称命题的量词可能省略，所以要根据命题表达的意义判断，同时要会用相应的量词符号正确表达命题.跟踪训练1 下列命题中，是全称命题的是________，是存在性命题的是_____.(填序号)①正方形的四条边相等；②有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形；③正数的平方根不等于0；④至少有一个正整数是偶数.①②③④题型二 全称命题与存在性命题的真假判断例2 判断下列命题的真假：(1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P；解 真命题.(2)存在一个函数，既是偶函数又是奇函数；解 真命题，如函数f(x)＝0，既是偶函数又是奇函数.(3)每一条线段的长度都能用正有理数来表示；(4)存在一个实数x，使得等式x2＋x＋8＝0成立；解 假命题，方程x2＋x＋8＝0的判别式Δ＝－31<0，故方程无实数解.(5)∀x∈R，x2－3x＋2＝0；解 假命题，只有当x＝2或x＝1时，等式x2－3x＋2＝0才成立. (6)∃x∈R，x2－3x＋2＝0.解 真命题，x＝2或x＝1，都能使等式x2－3x＋2＝0成立.反思感悟 要判断全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)都成立；如果在集合M中找到一个元素x，使得p(x)不成立，那么这个全称命题就是假命题.要判断存在性命题“∃x∈M，p(x)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x，使p(x)成立即可；如果在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在，那么这个存在性命题就是假命题.跟踪训练2 判断下列命题的真假：(1)有一些奇函数的图象过原点；解 该命题中含有“有一些”，是存在性命题.如y＝x是奇函数，其图象过原点，故该命题是真命题.(2)∃x∈R,2x2＋x＋1<0.解 该命题是存在性命题.∴不存在x∈R，使2x2＋x＋1<0.故该命题是假命题.题型三 由含量词的命题求参数例3 对于任意实数x，不等式sin x＋cos x>m恒成立.求实数m的取值范围.解 令y＝sin x＋cos x，x∈R，又∵∀x∈R，sin x＋cos x>m恒成立，引申探究若将本例条件改为：存在实数x，不等式sin x＋cos x>m有解，求实数m的取值范围.解 令y＝sin x＋cos x，x∈R，又∵∃x∈R，sin x＋cos x>m有解，反思感悟 (1)含参数的全称命题为真时，常转化为不等式的恒成立问题来处理，最终通过构造函数转化为求函数的最值问题.(2)含参数的存在性命题为真时，常转化为方程或不等式有解问题来处理，最终借助根的判别式或函数等相关知识获得解决.跟踪训练3 (1)已知关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，求实数a的取值范围；解 关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，∴Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，即4a－7≥0，即|sin x－cos x|＝sin x－cos x，∴sin x≥cos x.典例 f (x )＝x 2－2x ，g (x )＝ax ＋2(a >0)，∀x 1∈[－1，2]，∃x ∈[－1，2]，使f (x 1)＝g (x )，则a 的取值范围是核心素养之数学抽象HEXINSUYANGZHISHUXUECHOUXIANG 全称命题与存在性命题的应用√解析 由于函数f(x)在定义域[－1,2]内是任意取值的，且必存在x∈[－1,2]，使得f(x1)＝g(x)，因此问题等价于函数f(x)的值域是函数g(x)值域的子集．函数f(x)的值域是[－1,3]，函数g(x)的值域是[2－a，2＋2a]，素养评析 (1)本例通过对抽象的数学符号任意与存在的理解，可转化为两函数值域之间的关系.(2)将抽象的数学符号语言具体化，是解决数学问题的基本思路，有利于提升学生的数学抽象素养.3达标检测PART THREE1.下列命题中，不是全称命题的是A.任何一个实数乘以0都等于0B.自然数都是正整数C.每一个向量都有大小√D.一定存在没有最大值的二次函数解析 D选项是存在性命题.2.命题p：∃x∈N，x3<x2；命题q：∀a∈(0,1)∪(1，＋∞)，函数f(x)＝log a(x－1)的图象过点(2,0)，则√A.p假q真B.p真q假C.p假q假D.p真q真解析 ∵x3<x2，∴x2(x－1)<0，∴x<0或0<x<1，故命题p为假命题，易知命题q为真命题，故选A.3.下列全称命题中真命题的个数为①负数没有对数；②对任意的实数a，b，都有a2＋b2≥2ab；③二次函数f(x)＝x2－ax－1与x轴恒有交点；④∀x∈R，y∈R，都有x2＋|y|>0.A.1B.2√C.3D.4解析 ①②③为真命题，当x＝y＝0时，x2＋|y|＝0，④为假命题.4.给出下列四个命题：①a⊥b⇔a·b＝0；②矩形都不是梯形；③∃x，y∈R，x2＋y2≤1；④任意互相垂直的两条直线的斜率之积等于－1.①②④其中全称命题是________.(填序号)解析 ①②省略了量词“所有的”，④含有量词“任意”.5.若命题“∀x∈R，x2＋mx＋2m－3≥0”为真命题，则实数m的取值范围是[2,6]______.解析 由已知“∀x∈R，x2＋mx＋2m－3≥0”为真命题，得Δ＝m2－4×1×(2m－3)＝m2－8m＋12≤0，解得2≤m≤6，即实数m的取值范围是[2,6].课堂小结KETANGXIAOJIE1.判断全称命题的关键：一是先判断是不是命题；二是看是否含有全称量词.2.判定全称命题的真假的方法：定义法：对给定的集合的每一个元素x，p(x)都为真；代入法：在给定的集合内找出一个x，使p(x)为假，则全称命题为假.3.判定存在性命题真假的方法：代入法，在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)为真，否则命题为假.。
