第六章 弯曲应力
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• 单– 第击二此级处编辑母版文d本θ 样ρ式Afateardeformaytiodn：
• 第三级
O
– 第四O级y o
a
»a第五级 a
dx
o y
a
Conclusion：
the longitudinal
normal strain varies
( y)d d y linearly with the distance y
Compare with :
x
y
max
My
Iz
Aanxdiaclotmenpsrioenssion: max
FN ,max A
Study method
式
• 单观– 第击察• 二第此变–三级处形第级»四编第级G五辑级eo母m几版e何trP文i关chry本系esliac样atilo式rnelat应ion变分物 理 关 系布
应力表达式
静力学关系
应力分布
Static relation
Chapter 6
1. Geomet单ric r击elat此ion处编辑 —母Btheef版orraed标diuesf题oorfma样artcioOnO： 式 aa dx d
对横截面上单的击内力此系处,有:编M辑e 母版标题样
z
Fx
dA 0
A
式 E y
M• 单y击A此(处dA编)辑z 母0版文本样式
x
σdA
M z–第•A二第(三级d级A) y M
y
static moment w.r.t. z-axis
–
dA
A
第A»四第级E五y级dA
E
A
ydA
E
S
z
0
Sz 0
中性层与横– 第截四面级 的交线。
z
中性层、横截» 面第五及级纵
向对称面两两正交。
x
y
neutral axis
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Chapter 6
§6–2 单No击rm纯此a弯l s处t曲re时编ss的d辑u正ri母n应g力版pur标e b题end样ing
some angles.
• 单—击Pl此ane处a编ssu辑mp母tio版n 文平面本假样设式
–T第h二ere级are only normal stresses on cross sections. Long•it第ud三in级al fibers of the beam do not press on each other–. 第T四he级refore, an arbitrary point in the beam is at an unia»xi第al五s级tressed state.
•m单em击be此r: 处编辑母版文本样式
S–he第ar二in级g force Fs
Shearing stress
Bend• i第ng三m级oment M
?
– 第四级
2. The concep»t 第of五p级ure bending
纯弯曲概念
The beam in which there are
only bending moment (弯矩）
E– 第二yz级dA A• 第三级
E
I yz 0
y
products of inertia w.r.t yz axes
Since y-axis–
(dA) y
A
i第s »四th第级eE五a级xyi2sdoAf
A
symmetry of the
E y 2dA A
cross section
E
I z M
Pa
+
x
x
There is only M and no FS in the cross section.
Segment CA and BD: FS 0 , M 0
transverse bending 横力弯曲
Chapter 6
3. T纯he弯d曲efo变单rm形击a特tio征此n ch处ara编cter辑du母ring版pu标re b题end样ing 式 ① Experiment of pure bending
• 第三级 （正），凹入的一侧受压（负）。
– 第四z级
» 第五级由于推导过程并未用到矩形截
面条件，因而对截面为其它对称
M
形状的梁也都适用。
Chapter 6
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§6–3 No单rma击横l s力此tre弯s处s曲d编u时ri的n辑g正t母r应an版力sve标rse题be样nding
to b–e e第lo二ng级ated nor to be shorten• e第d 三an级d they are neither su–b第je四ct级to tension nor compression.» 第五级
梁内必有一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤 维层不受拉应力和压应力。
This layer is called the neutral layer. 中性层
Lateral lines are still normal to longitudinals lines
after deformation.
Chapter 6
② Assumption and deduction:
The cros单s se击ctio此ns r处ema编in s辑till母版标题样 式 planes and only rotate through
Chapter 6
①TNhienukt:rIasl单tlahye击enreu中此tr性a处l层 编辑母版标题样
layer in the middle？
式
②
•
N单eu击tr此al a处xi编s 中辑性母轴版文本样式
Tnehue–trina第t•le二l第rasy三级eecr级tiwonithofatnhye cross section.
Chapter 6
§6–5 So单me击mea此sur处eme编nts辑imp母rov版ing标the题ben样ding
式 strength of beam
GO
提高梁弯曲强度的措施
• 单击此处编辑母版文本样式
–E第xe二rc级ise lessons about the stresses in bending
– 第二1级x 2
through some angles
• 第三级
–1 第四2 级
a »b第五级
c
d
Longitudinal straight lines change into curves with upper fibers constructed
1
2
and lower fibers elongated.
C单h击此a处p编t辑式e母版r 标6题样
• 单击此处编辑母版文本样式
– 第二级
• 第三级
– 第四级 » 第五级
Bilingual Edition
return
exit
C单ha击pter此6弯处S曲t编re应ss辑e力s 母in b版end标ing题样
§6–1 Pure bending
式
• 单击纯此弯处曲编辑母G版O文本样式
z 轴通过形心
The neutral axis must passe section. 中性轴通过横截面形心
Chapter 6
MMA• (z单yd击AAA)此((z单d处dA击A编)Ay)辑zE此母My0处z版dA编文M本e辑式样母式版E 标y 题样σdAzx
–第E二y级( • 第三级
P)
Neutral layer
z
x
y– 第四级
y
The stresses v»a第ry五l级inearly along Me
the height of the beam.
沿截面高度，弯曲正应力按
Neutral layer
线性规律变化。
Chapter 6
3. Static relation
d
z
x
M IZ
——–thMb第ee•onc二m第droi–en三级sn第gs级tI»四smoe第z级fco五timino级eenrnttiainw.r.t.
z-axis
y
a
y
a
y — the distance from z-axis Me
The scope of application of the
1 M
Moment of inertia w.r.t. z-axis
EIz
截面对z 轴的惯性矩
Chapter 6
1
M EI z
单E击Iz—此f梁le处x的u抗ra编l弯ri刚辑gid度i母ty o版f th标e be题am样
Su•bs单tit击ute此it处iM nt编oy辑母版文M本式e 样式
of the beam 梁的纯弯曲实验:
• 单击此处编辑母版文本样式
– 第二级
• 第三级
– 第四级 » 第五级
Chapter 6
单击此处编辑母版标题样
12
式 After deformation
• 单击此ac 处编bd 辑母版文Ls本tarat样eirgah式ltlliinneess(aacn、d rbodt）atkeeep
式 横力弯曲时，横截面上有切应力
• 单击此处编辑母版文本样式
平面假设 不再成立
此外–,第横二力级弯曲时纵向纤维无挤压假设也不成立.
由弹性•力第学三的级理论，有结论： 当梁的长度– 第l四与级横截面的高度h的比值:
• 第三级
O
– 第四O级y o
a
»a第五级 a
dx
o y
a
Conclusion：
the longitudinal
normal strain varies
( y)d d y linearly with the distance y
Compare with :
x
y
max
My
Iz
Aanxdiaclotmenpsrioenssion: max
FN ,max A
Study method
式
• 单观– 第击察• 二第此变–三级处形第级»四编第级G五辑级eo母m几版e何trP文i关chry本系esliac样atilo式rnelat应ion变分物 理 关 系布
应力表达式
静力学关系
应力分布
Static relation
Chapter 6
1. Geomet单ric r击elat此ion处编辑 —母Btheef版orraed标diuesf题oorfma样artcioOnO： 式 aa dx d
对横截面上单的击内力此系处,有:编M辑e 母版标题样
z
Fx
dA 0
A
式 E y
M• 单y击A此(处dA编)辑z 母0版文本样式
x
σdA
M z–第•A二第(三级d级A) y M
y
static moment w.r.t. z-axis
–
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A
第A»四第级E五y级dA
E
A
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E
S
z
0
Sz 0
中性层与横– 第截四面级 的交线。
z
中性层、横截» 面第五及级纵
向对称面两两正交。
x
y
neutral axis
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§6–2 单No击rm纯此a弯l s处t曲re时编ss的d辑u正ri母n应g力版pur标e b题end样ing
some angles.
• 单—击Pl此ane处a编ssu辑mp母tio版n 文平面本假样设式
–T第h二ere级are only normal stresses on cross sections. Long•it第ud三in级al fibers of the beam do not press on each other–. 第T四he级refore, an arbitrary point in the beam is at an unia»xi第al五s级tressed state.
•m单em击be此r: 处编辑母版文本样式
S–he第ar二in级g force Fs
Shearing stress
Bend• i第ng三m级oment M
?
– 第四级
2. The concep»t 第of五p级ure bending
纯弯曲概念
The beam in which there are
only bending moment (弯矩）
E– 第二yz级dA A• 第三级
E
I yz 0
y
products of inertia w.r.t yz axes
Since y-axis–
(dA) y
A
i第s »四th第级eE五a级xyi2sdoAf
A
symmetry of the
E y 2dA A
cross section
E
I z M
Pa
+
x
x
There is only M and no FS in the cross section.
Segment CA and BD: FS 0 , M 0
transverse bending 横力弯曲
Chapter 6
3. T纯he弯d曲efo变单rm形击a特tio征此n ch处ara编cter辑du母ring版pu标re b题end样ing 式 ① Experiment of pure bending
• 第三级 （正），凹入的一侧受压（负）。
– 第四z级
» 第五级由于推导过程并未用到矩形截
面条件，因而对截面为其它对称
M
形状的梁也都适用。
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§6–3 No单rma击横l s力此tre弯s处s曲d编u时ri的n辑g正t母r应an版力sve标rse题be样nding
to b–e e第lo二ng级ated nor to be shorten• e第d 三an级d they are neither su–b第je四ct级to tension nor compression.» 第五级
梁内必有一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤 维层不受拉应力和压应力。
This layer is called the neutral layer. 中性层
Lateral lines are still normal to longitudinals lines
after deformation.
Chapter 6
② Assumption and deduction:
The cros单s se击ctio此ns r处ema编in s辑till母版标题样 式 planes and only rotate through
Chapter 6
①TNhienukt:rIasl单tlahye击enreu中此tr性a处l层 编辑母版标题样
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式
②
•
N单eu击tr此al a处xi编s 中辑性母轴版文本样式
Tnehue–trina第t•le二l第rasy三级eecr级tiwonithofatnhye cross section.
Chapter 6
§6–5 So单me击mea此sur处eme编nts辑imp母rov版ing标the题ben样ding
式 strength of beam
GO
提高梁弯曲强度的措施
• 单击此处编辑母版文本样式
–E第xe二rc级ise lessons about the stresses in bending
– 第二1级x 2
through some angles
• 第三级
–1 第四2 级
a »b第五级
c
d
Longitudinal straight lines change into curves with upper fibers constructed
1
2
and lower fibers elongated.
C单h击此a处p编t辑式e母版r 标6题样
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– 第二级
• 第三级
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C单ha击pter此6弯处S曲t编re应ss辑e力s 母in b版end标ing题样
§6–1 Pure bending
式
• 单击纯此弯处曲编辑母G版O文本样式
z 轴通过形心
The neutral axis must passe section. 中性轴通过横截面形心
Chapter 6
MMA• (z单yd击AAA)此((z单d处dA击A编)Ay)辑zE此母My0处z版dA编文M本e辑式样母式版E 标y 题样σdAzx
–第E二y级( • 第三级
P)
Neutral layer
z
x
y– 第四级
y
The stresses v»a第ry五l级inearly along Me
the height of the beam.
沿截面高度，弯曲正应力按
Neutral layer
线性规律变化。
Chapter 6
3. Static relation
d
z
x
M IZ
——–thMb第ee•onc二m第droi–en三级sn第gs级tI»四smoe第z级fco五timino级eenrnttiainw.r.t.
z-axis
y
a
y
a
y — the distance from z-axis Me
The scope of application of the
1 M
Moment of inertia w.r.t. z-axis
EIz
截面对z 轴的惯性矩
Chapter 6
1
M EI z
单E击Iz—此f梁le处x的u抗ra编l弯ri刚辑gid度i母ty o版f th标e be题am样
Su•bs单tit击ute此it处iM nt编oy辑母版文M本式e 样式
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• 单击此处编辑母版文本样式
– 第二级
• 第三级
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Chapter 6
单击此处编辑母版标题样
12
式 After deformation
• 单击此ac 处编bd 辑母版文Ls本tarat样eirgah式ltlliinneess(aacn、d rbodt）atkeeep
式 横力弯曲时，横截面上有切应力
• 单击此处编辑母版文本样式
平面假设 不再成立
此外–,第横二力级弯曲时纵向纤维无挤压假设也不成立.
由弹性•力第学三的级理论，有结论： 当梁的长度– 第l四与级横截面的高度h的比值:
