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理论力学 第六章 弯曲应力

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第6章 弯曲应力

第6章 弯曲应力

称为抗弯截面系数
只有一根对称轴的横截面形状: yt，max yc，max O y
O y
z
t,max
My t ,max Iz
c,max
Myc,max Iz
z
简单截面的弯曲截面系数 b h ⑴ 矩形截面
z
bh3 Iz 12 b3h Iy 12
⑵ 圆形截面
y d
Iz bh2 Wz h/2 6 Iy b2h Wy 源自/2 63()
Ⅱ .纯弯曲理论的推广 对于细长梁（ l/h > 5 ），纯弯曲时的正应力计算 公式用于横力弯曲情况，其结果仍足够精确。 F
l
M ( x) y Iz
Fl
4
max
M ( x) Wz
解：
由弯曲曲率公式 可得：
M EIz
M EI z
1
代入弯曲正应力公式：
M EIZ Ed 533.3MPa WZ WZ 2
3.正应力的正负号与弯矩 及点的坐标 y的正负号有关。实际计算中，可根 据截面上弯矩的方向，直接判断中性 轴的哪一侧产生拉应力，哪一侧产生 压应力，而不必计及M和y的正负。
三、最大弯曲正应力 有两根对称轴的横截面形状: b h
z
y y
z
max
M M Mymax I z Wz Iz y max

基本假设2:
梁内各纵向纤维无挤压 假设，纵向纤维间无正应 力。

中性层与中性轴
纵向对称面 中性层 Z 中性轴
中性层 根据变形的连续性 可知，梁弯曲时从其凹 入一侧的纵向线缩短区 到其凸出一侧的纵向线 伸长区，中间必有一层 纵向无长度改变的过渡 层，称为中性层 。 中性轴: 中性层与横截面的交 线就是中性轴。

理论力学 第6章-弯曲变形

理论力学 第6章-弯曲变形
单辉祖,材料力学教程
在x1 =x2 =a 处 w =w2 ，1 在x1 =x2 =a 处 ，
dw dw 1 =− 2 dx1 dx2
15
在x1 =a 处 w =0 ，1
例 3-3 绘制挠曲轴的大致形状
F=qa
F=qa
单辉祖,材料力学教程
16
§4 计算梁位移的奇异函数法
奇异函数 弯矩通用方程 梁位移通用方程 例题
单辉祖,材料力学教程 4
挠度与转角
转角
－挠度
挠度－横截面形心在垂直于梁轴方向的位移 挠度 横截面形心在垂直于梁轴方向的位移
w= w(x)－挠曲轴方程 =
转角－横截面的角位移 转角 横截面的角位移
θ =θ(x) －转角方程 挠度与转角的关系
忽略剪力影响） θ =θ′（忽略剪力影响）
θ' ≈ tanθ' =
w－弯矩引起的挠度 σmax < σp
单辉祖,材料力学教程 7
挠曲轴近似微分方程
w′′ M( x) =± 3/2 EI ′2 ] [1+ w
小变形时： 小变形时： w′2 << 1
d2w M( x) =± －挠曲轴近似微分方程 2 dx EI
d2w=M(x) dx2 EI
应用条件： 应用条件： σmax ≤ σp 小变形 坐标轴 w 向上
d2w EI 2 = MF ( x) → w = wF ( x) dx d2w EI 2 = Mq ( x) → w = wq ( x) dx
故： = wF ( x) + wq ( x) w
叠加法适用条件：小变形， 叠加法适用条件：小变形，比例极限内
单辉祖,材料力学教程 27
逐段分析求和法

材料力学第6章弯曲应力

材料力学第6章弯曲应力

图6.5
页 退出
材料力学
出版社 理工分社
例6.1如图6.6所示，矩形截面悬臂梁受集中力和集中力偶作用。试求Ⅰ—Ⅰ 截面和固定端Ⅱ—Ⅱ截面上A，B，C，D ４点处的正应力。
图6.6
页 退出
材料力学
出版社 理工分社
解矩形截面对中性轴的惯性矩为 对于Ⅰ—Ⅰ截面，弯矩MⅠ=20 kN·m，根据式(6.2)，各点正应力分别为
页 退出
材料力学
出版社 理工分社
(1)变形几何关系 弯曲变形前和变形后的梁段分别表示于图6.4(a)和(b)。以梁横截面的对称 轴为y轴且向下为正(见图6.4(c))。以中性轴为z轴，但中性轴的位置尚待确 定。在中性轴尚未确定之前，x轴只能暂时认为是通过原点的横截面的法 线。根据弯曲平面假设，变形前相距为dx的两个横截面，变形后各自绕中性 轴相对旋转了一个角度dθ ，且仍然保持为平面。这就使得距中性层为y的纵 向纤维bb的长度变为
式中积分
是横截面对y轴和z轴的惯性积。由于y轴是横截面的对
称轴，必然有Iyz=0(见附录)。所以式(g)是自然满足的。 将式(b)代入式(e)，得
式中积分∫Ay2dA=Iz是横截面对z轴(中性轴)的惯性矩。于是式(h)改写为 式中 ——梁轴线变形后的曲率。
页 退出
材料力学
出版社 理工分社
式(6.1)表明，EIz越大，则曲率 越小，故EIz称为梁的抗弯刚度。从式 (6.1)和式(b)中消去 ，得
而对于变截面梁，虽然是等截面梁但中性轴不是横截面对称轴的梁，在计算 最大弯曲正应力时不能只注意弯矩数值最大的截面，应综合考虑My/Iz的值 (参看例6.5和例6.8)。
页 退出
材料力学
出版社 理工分社
引用记号

弯曲应力(工程力学)

弯曲应力(工程力学)

t 1 QS
其中：Q为截面剪力；
z
bIz
Sz 为计算点所在作用层以下的面积对中性轴之面积矩；
Iz为整个截面对z（中性轴）轴之惯性矩；
b 为计算点处截面宽度。
2、几种常见截面的弯曲剪应力 ①工字钢截面： 腹板：
t min t max
QS t bIZ
*
结论： 翼缘部分tmax« 腹板上的tmax，只计算腹板上的tmax。 铅垂剪应力主要腹板承受（95~97%），且tmax≈ tmin Q 故工字钢最大剪应力 tmax ; Af
§6–1 梁的纯弯曲 §6–2 纯弯曲时的正应力 §6–3 横力弯曲时的正应力 §6–4 弯曲切应力
§6–5 提高弯曲强度的措施
§6－１ 梁的纯弯曲 1、横力弯曲 q
横截面上既有剪力Q又有 弯矩M的情况
2、横力弯曲构件横截面上的（内力）、应力 剪力Q 剪应力t 正应力s
内力
弯矩M
a A Q
P
P
目录
F
l
100 50 z50 50
4.按胶合面强度条件 计算许可载荷
Q
M
Fl


F
h F b * Q SZ 4F 3 tg t g 3 bh IZb 3bh b 12 3bht g 3 100 150 10 6 0.34 106 F 4 4 3825N 3.825kN
解：求支座反力
RA 2.5kN ; RB 10.5kN
②画弯矩图并求危面内力
拉应力及最大压应力。
P1=9kN
P2=4kN
A
1m M
C
1m 2.5kNm
B
1m
D
M C 2.5kNm(下拉、上压 )

工程力学B(二)第10讲第六章弯曲应力

工程力学B(二)第10讲第六章弯曲应力
1

Ey


M EI z

My Iz
三、最大弯曲正应力
max
Mymax M Iz Iz ymax
Iz Wz , 抗弯截面系数 ymax
max
M Wz
最大弯曲正应力与弯矩成正比，与抗弯截面 系数成反比。抗弯截面系数综合反映了横截 面形状与尺寸对弯曲正应力的影响。
b
h h 2 2
min

o
max
y
min
上下盖的切应力很小，强度计算不予考虑。
三、圆形截面梁的弯曲切应力 圆截面上的最大弯曲切应力仍发生在中性轴上，并 可近似认为各点处的切应力均平行于剪力，且沿中 性轴均匀分布。
Fs
Fs
max
z
2d 3
C
z

m
y
d
n
y
S z， max
d 2 2d d 3 8 3 12
d
C
z
bh2 Wz 6
C
z
Wz
d 3
32
y
y
例1 如图承受矩为Me=20KN.m的力偶作用，试计算梁内的最 大弯曲正应力与梁的曲率半径。梁用工字形标准型钢， 其牌号为No18，钢的弹性模量E=200GPa。
Me
l
z
y
解：
1 内力与应力分析
M M e 20.0kN.m M max 108 .1MPa Wz

b1 dx
1 2
dA

y
z
m
1
第三节 弯曲切应力
Fx 0 'bdx ( y )bdx dF 1 dF ( y) b dx M F dA Iz

理论力学 第六章 弯曲应力[研究材料]

理论力学 第六章 弯曲应力[研究材料]

m
（受拉）
-m
当dx 微段的弯曲上凸（即该段的下半 部受压）时,横截面m-m上的弯矩为负.
调研学习
m
（受压）
31
调研学习
32
[例]：求图（a）所示梁1--1、2--2截面处的内力。
qL 1 1a
2q 2b
图（a） qL
A
M1
x1Fs1
图（b）
解（1）确定支座反力（可省略）
（2）截面法求内力。 1--1截面处截取的分离体
为剪力；梁的横截面上作用
在纵向平面内的内力偶矩是与
梁的弯曲相对应，故称为弯 矩。
调研学习
28
2、剪力、弯矩符号规定
为使无论取横截面左边或右边为分离体，求得同一横截面 上的剪力和弯矩其正负号相同，剪力和弯矩的正负号要以 其所在横截面处梁的微段的变形情况确定，如图。
调研学习
29
1.剪力符号
+m FS
FAY
FBY
FAX =0 以后可省略不求
FBY
Fa , l
FAY
F(l a) l
调研学习
25
②求内力
m FAX A
FAY
x
m
A
Fs
C
FAY
Fs
M C
F B
FBY
M F
研究对象：m - m 截面的左段：
Y 0, FAY Fs 0.
Fs
FAY
F(l a) l
mC 0, M FAY x 0.
1 2
q(x2
a)2
0
M2
1 2
q(x2
a)2
qLx2
调研学习
2 1
1a
2b

材力06弯曲应力详解


M y
(sdA)z
A
Eyz
E
dA
A
yzdA EI yz 0
A
（Iyz＝0）
2020/9/29
材料力学 第六章 弯曲应力
10
M z
(sdA) y
A
Ey 2 dA E
A
y 2dA EI z M
A
1 Mz
EI z
… …(3)
由式（2）和（3）
s M y
x
Iz
...... (4)
2020/9/29
材料力学 第六章 弯曲应力
1
主要内容
§6–1 梁的纯弯曲 §6–2 纯弯曲时的正应力 §6–3 横力弯曲时的正应力 §6–4 弯曲切应力 §6–5 提高弯曲强度的措施
2020/9/29
材料力学 第六章 弯曲应力
2
§6–1 梁的纯弯曲
弯曲构件横截面上的（内力）应力
内力
剪力Q 弯矩M
剪应力t 正应力s
平面弯曲时横截面只有s
纯弯曲梁(横截面上只有M而无Q的情况)
平面弯曲时横截面既有s又有t
横力弯曲(横截面上既有Q又有M的情况)
例如：
P1
P2
纵向对称面
aP A
Q
Pa
纯弯曲(Pure Bending):
B 某段梁的内力只有弯矩
没有剪力时，该段梁的变 形称为纯弯曲。如AB段。 x
x M
F
B
D
1m
FBY=10.5KN
弯矩图 M
弯矩图
2.5KN· m
X
2020/9/29
4KN·m
材料力学 第六章 弯曲应力
15
B截面和C截面应力分布规律图

材料力学第六章弯曲应力

3l/8 H
CD
Bx
l/4 l/4
x

1 ql
8
1 ql2 32
x
D
知正应力、正应变最 大值发生在H截面。
应用下述关系求应力与内力
应力～变形 关系：
E y
max

E
ymax

内力～变形或内力～应力关系：
1 M
EI z
或
M maxW
Page 15
第六章 弯曲应力
2. 应力计算
max

E
ymax

D d 0.701m
22
ymax
d
2
1.0 103 m
Page 5
第六章 弯曲应力
二、 组合变形
杆件的一般变形通常可分解为拉压、 扭转与弯曲变形的两种或三种基本 变形的组合。
三、 梁横截面上的弯曲应力 弯曲正应力 M 弯曲切应力 FS
四、 对称弯曲 梁具有对称截面，且在 纵向对称面承受横向外 力（或外力的合力）时 的受力与变形形式。
对称截面
Page 7
第六章 弯曲应力
§6-2 弯曲正应力
一、实验观测与假设（动画） 1. 外部变形观测
•纵向线：成圆弧线,上方纵向线 缩短，下方伸长
•横向线：保持直线，与横线正交 •顶与底部纵、横线变形比：符合 单向受力泊松效应
2. 内部变形假设
•平面假设：变形后横截面保持平面，仍与纵线正交 •单向受力假设
A
S y
zdA
A
分别称为对坐标轴x和y的静矩 或一次矩。
静矩的量纲： L3
o
y
z
z
dA

理论力学 第六章 弯曲应力解析


F
l 3
2 9
Fl
对于C右截面：
FSC右
FA
F
F 3
M C右
FA
l 3
2 9
Fl
FSC左 FSC右, MC左＝MC右
负号表示假设方向与实际方向相反。
求下图所示简支梁1-1与2-2截面的剪力和弯矩。
F=8kN
q=12kN/m
A 2m
FA 1.5m
1 1 1.5m
2
B
2
1.5m
FB
3m
解： 1、求支反力
MB
0
FA
6
F
4.5
q 3
3 2
0
FA
15kN
Fy 0 FA FB F q 3 0 FB 29kN
(也可由 M A 0求FB或校核FB的正误)
2、计算1-1截面的内力
FS1 FA F 7kN M1 FA 2 F (2 1.5) 26kN m FA
F=8kN
如图所示的简支梁，试求1－1及C左右截面上的内力。
解：1.求支座反力
Fy M
0, FA
A (F ) 0,
FB FB
l
F
0 Fl
3
0
得
FA
2 3
F, FB
1 3
F
2.求截面1－1上的内力
FS D
FA
2 3
F
MD
FA
a
2 3
Fa
同理,对于C左截面：
FSC左
FA
2 3
F
M
C左＝
2 3
• §6-3 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
q
反映梁的横截面上的剪力和弯

材料力学第6章-弯曲应力概要

Iz
21
M y 正应力在横截面上的分布规律
I
22
6.1.2 横截面上的正应力公式 3. 正应力公式使用注意点
M y
Iz
（1）弹性范围内使用
M y
Iz
（2）由所考虑位置处拉
压性质直接确定应力正负
纯弯曲
M (x)y
Iz
横力弯曲
（3）L/h﹥5时，横力弯曲梁的
A
y dA
E
Sz
0
x Sz 0 重要结论：中性轴必定过形心
E E y
2) 第二式：
M y
z dA
A
E
A
y zdA
E
I yz
0
平面弯曲条件： I yz 0 y轴是形心主惯性轴
弯曲发生在各截面的形心主惯性轴 y 所组成的平面内
19
2. 正应力公式推导
y
静力学关系 ( 横截面上轴力、弯矩与正
（4）ρ/h≥5的曲梁弯曲正应力计算可近似 用公式，其误差在工程允许的范围内
M EI W W
23
M (x)y Iz
分析和讨论
梁在有的区段是中性层上侧受拉而下侧受 压，有的区段则是上侧受压而下侧受拉。这 种情况与弯矩图有什么规律性的联系？
M M
x
x
结论 弯矩坐标向上为正的规定使弯矩图始终画在梁的受压
确定中性轴位置 中性层曲率表达式及正应力表达式
15
2. 正应力公式推导
d y
几何关系 ( 平截面假设 )
mn dx d mn ( y)d
z
dx
dx
x
mn mn ( y)d d
mn
d
y
d y
m' n'
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Fs 2 q( x2 a L)
qL
图（a） B M2 x2 Fs2
mB (Fi ) 0 , 1 qLx2 M 2 q( x2 a)2 0 2
M2
1 q( x2 a)2 qLx2 2
图（c）
从上面例题的计算过程，可以总结出如下 规律： (1) 横截面上的剪力在数值上等于截面 左侧或右侧梁段上外力的代数和。 左侧梁段上向上的外力或右侧梁段上 向下的外力将引起正值的剪力；反之，则
x
Fab l
Fa l
x
M
a
F
C
l
b * 在 集中力F 作用 处，剪力图有突变， 突变值为集中力的 大小；弯矩图有尖 角转折
A
x Fb l
FS
Fa l
x
Fab l
x
M
a b l / 2时，M max
Fl 为极大值。 4
讨论 由剪力图可见，在梁上 的集中力(包括集中荷载和约
束力)作用处剪力图有突变，
y
F
2.求截面1－1上的内力
FS D
2 FA F 3
2 M D FA a Fa 3
同理,对于C左截面： 2 FSC左 FA F 3 2 l 2 M C左＝ F Fl 3 3 9 对于C右截面：
F l 2 FSC右 FA F M C右 FA Fl 3 3 9 FSC左 FSC右 , M C左＝M C右
M2
FS2
FB
建议：求截面FS和M时，均按规定正向假设，这 样求出的剪力为正号即表明该截面上的剪力为正 的剪力，如为负号则表明为负的剪力。对于弯矩 正负号也作同样判断。
•
§6-3 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
q
A B L
剪力方程 弯矩方程
FS FS ( x)
M M (x)

Fs ( x) qx, (0 x l )
a
F C
l
b
A FAy
x
B FBy
解：1、求支反力
Fb FAy l
Fa FBy l
2、列剪力方程和弯矩方程 由于集中力作用，两端方程不一样，需分两段列出
a
F C
l
b
A FAy AC段 A FAy
x x
B FBy
M(x) FS(x)
Fb 0 x a FS x l Fb M x x0 x a l
F (l a) x l
F (l a) l
M FAY x
C
Fs
M
F
∴ 弯曲构件内力： s －剪力， M －弯矩。 F
若研究对象取m - m 截面的右段：
M C
FBY
Y 0, m 0,
C
Fs F FBY 0.
FBY (l x) F (a x) M 0.
(a)集中荷载
F1
集中力
M
(b)分布荷载
q(x) q
集中力偶
任意分布荷载
均布荷载
静定梁与超静定梁 静定梁：由静力学方程可求出支反力，如上述三种基本 形式的静定梁。
超静定梁：由静力学方程不可求出支反力或不能求出全
部支反力。
静定梁的基本形式
悬臂梁
简支梁
外伸梁
超静定梁
在竖直荷载作用下，图a，b，c所示梁的约束力均可由
这是由于集中力实际上是将 作用在梁上很短长度x范围 内的分布力加以简化所致。若将分布力看作在x范围内是 均匀的(图a),则剪力图在x范围内是连续变化的斜直线(图
b)。从而也就可知，要问集中力作用处梁的横截面上的剪
力值是没有意义的。
例 图示简支梁在C点受矩为Me 的集中力偶作用。试 作梁的剪力图和弯矩图。 Me a b B A C FA FB l
q
A
B
l
FAy x FBy
ql FAy FBy 2
解：1、求支反力
2、列剪力方程和弯矩方程
q A FA
x
2 x qlx qx 2 FS(x) M x FA x qx 2 2 2
M(x) F x F qx ql qx S A
3、作剪力图和弯矩图
M
当dx 微段的弯曲下凸（即该段的下半部 受拉 ）时,横截面m-m上的弯矩为正；
m
（受拉）
当dx 微段的弯曲上凸（即该段的下半 部受压）时,横截面m-m上的弯矩为负.
-
m
m
（受压）
[例]：求图（a）所示梁1--1、2--2截面处的内力。 q 解（1）确定支座反力（可省略） （2）截面法求内力。 1--1截面处截取的分离体 如图（b）示。
解: 1、求支反力
M
A
0
M e FA l 0
Me FB l
Me FA l
AX
A BY AY BY
FBY
FAX =0 以后可省略不求
Fa F (l a) , FAY l l
②求内力
m
FAX A FAY A FAY m x
Fs
F B FBY
研究对象：m - m 截面的左段： Y 0, FAY Fs 0.
m
Fs FAY
C
0,
M FAY x 0.
2、计算1-1截面的内力
F=8kN
FS1 FA F 7kN M 1 FA 2 F (2 1.5) 26 kN m
FA
M1
FS1
3、计算2-2截面的内力
q=12kN/m
FS2 q 1.5 FB 11kN M 2 FB 1.5 q 1.5 1.5 30 kN m 2
qL
2
1
1 a 2 b
图（a） qL A M1 x1 Fs1
F
y
0 qL Fs1 0
Fs1 qL
m
A
( Fi ) 0 qLx1 M 1 0
M 1 qLx1
图（b）
2--2截面处截取的分离体如图（c）
qL
2 1 1 a 2 b
F
y
0
qL Fs 2 q ( x2 a ) 0
q l
A FS ql 2
ql B FS x 2 qx qlx qx 2 M x 2 2
FS,max
ql 2
M max
M
l/2
ql 8
2
由剪力图与弯矩图可知，在靠近、支座的横截面上剪力的绝对值最大， 在梁的中央截面上，剪力为0，弯矩最大
ql2 8
例6.4 图示简支梁受集中荷载F作用。试作梁的剪力 图和弯矩图。
CB段 B FBy
Fa FS x FBy a x l M(x) l Fa M x FBy (l x) l x l FS(x) a x l
3、作剪力图和弯矩图 F b a A C x l FAy
FS
Fb l
Fb FS1 x l Fa B FS2 x l FBy Fb M 1 x x l Fa l x M 2 ( x) l
以平行于梁轴的横坐标x表示横截面的位置,以纵坐标表示相
应截面上的剪力和弯矩.这种图线分别为剪力图和弯矩图
x
O FS 图的坐标系
x
剪力图为正值画在 x 轴上侧,负值画在x 轴下侧 弯矩图为正值画在 x 轴下侧（受拉侧）,负值画在x 轴上侧 符号可以不表示
O M(x)
M 图的坐标系
FS(x)
例6.3 图示简支梁受集度为q的均布荷载作用。试作梁的剪 力图和弯矩图。
1.剪力符号
使dx 微段有左端向上而右端向下的相对 错动时,横截面m-m上的剪力为正.或使dx微段 有顺时针转动趋势的剪力为正. 使dx微段有左端向下而右端向上的相对 错动时,横截面m-m上的剪力为负.或使dx微 段有逆时针转动趋势的剪力为负.
+
m
FS
FS
m
dx
-
m
FS
m dx
2.弯矩符号
+
M m
RA
M
NB
弯曲实例
起重机大梁
1
镗刀杆
车削工件
火车轮轴
楼房的横梁：
阳台的挑梁：
对称弯曲：若梁上所有外力都作用在纵向对称面内 ，梁变形后轴线形成的曲线也在该平面内的弯曲。 非对称弯曲：若梁不具有纵向对称面，或梁有纵向 对称面上但外力并不作用在纵向对称面内的弯曲。 对称弯曲时和特定条件下的非对称弯曲时，梁的挠 曲线与外力所在平面相重合，这种弯曲称为平面弯 曲。
引起负值的剪力。
•“左上右下”为正 •（左右段上的外力）
(2) 横截面上的弯矩在数值上等于截面左侧或右侧梁 段上外力对该截面形心的力矩之代数和。
“左顺右逆”为正（左右段上的外力）
•截面左侧梁上的外力对该截面形心的 矩为顺时针转向(或右侧梁上的外力对 该截面形心的矩为逆时针转向)为正， 反之为负。
剪力值=截面左侧（或右侧）所有外力的代数和
第六章 弯曲内力
§6-1 概述 §6-2 剪力和弯矩
§6-3 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
§6-4 载荷集度、剪力和弯矩间的关系
§6-5 平面刚架与曲梁内力
§6-1 概述
一、弯曲变形的概念
受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线。 变形特点——杆轴线由直线变为一条平面的曲线。 P q 主要产生弯曲变形的杆--- 梁。
F1
q
F2
M
纵向对称面
平面弯曲
受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线，且都在 梁的纵向对称平面内（通过或平行形心主轴上且过 弯曲中心）。 变形特点——杆的轴线在梁的纵向对称面内由直线变为一条平 面曲线。