空间直线与平面

第十一章空间直线与平面第43讲平面的基本性质一、填空题1.空间中有四个点，如果其中任意三个点都不共线，那么经过其中三个点的平面个数是________.2.空间中有7个点，其中有3个点在同一直线上，此外再无任何三点共线.由这7个点可以确定________条直线，最多可确定________个平面.3.边长为2的正方形的斜二测直观图的面积为________.4.下列命题正确的有________（填序号）.①若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内；②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；③若直线l与平面α相交，则l与平面α内的任意直线都是异面直线；④如果两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线一定与该平面相交；⑤若直线l与平面α平行，则l与平面α内的直线平行或异面.5.如图所示的正方体中，点P，Q，M，N分别是所在棱的中点，则这四个点共面的图形是________（把正确图形的序号都填上）.6.正方体各面所在平面将空间分成________部分.二、选择题7.如果空间的三个平面两两相交，那么（）A.不可能只有两条交线B.必相交于一点C.必相交于一条直线D.必相交于三条平行线8.有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，如图，∠ABC=45°，AB=2，AD=1，DC⊥BC，则这块菜地的面积为（）A.2+B.4+C.2D .1三、解答题9.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点M ，N ，E ，F 分别是棱CD ，AB ，DD 1，AA 1上的点.若MN 与EF 交于点Q ，求证：D ，A ，Q 三点共线.10.如图，四边形ABEF 和ABCD 都是直角梯形，∠BAD =∠FAB =90°，12BC AD ‖，12BE FA ‖，G ，H 分别为FA ，FD 的中点.（1）求证：四边形BCHG 是平行四边形. （2）C ，D ，F ，E 四点是否共面？为什么？11.在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是D 1C 1，B 1C 1的中点，AC BD P =，11AC EF Q =.（1）求证：D ，B ，F ，E 四点共面；（2）若A 1C 交平面DBFE 于点R ，则P ，Q ，R 三点共线吗？走近高考已知A ，B 是两个不同的点，m ，n 是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则 ①m α⊂，A m A α∈⇒∈；②m n A =，A α∈，B m B α∈⇒∈； ③m α⊂，n β⊂，m n αβ⇒‖‖； ④m α⊂，m βαβ⊥⇒⊥. 其中真命题为（ ）A.①③B.②③C.①④D.②④第44讲 空间两条直线的位置关系一、填空题1.到两条互相垂直的异面直线的距离相等的点的个数是________个.2.[改编题]如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，直线B 1C 与直线AD 1所成的角为________.3.已知空间中有三条线段AB ，BC 和CD ，且∠ABC =∠BCD ，下列说法正确的是________. ①AB ∥CD ；②AB 与CD 异面；③AB 与CD 相交；④以上都有可能.4.若Rt △ABC 的斜边AB =5，BC =3，BC 在平面α内，A 在平面α内的射影为O ，AO =2，则异面直线AO 与BC 之间的距离为________.5.如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中： ①BM 与DE 平行；②CN 与BE 是异面直线；③CN 与BM 成60°角；④CN 与AF 垂直.以上四个命题中，正确的是________.6.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，∠BCA =90°，点D 1，F 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，若BC =CA =CC 1=1，则BD 1与AF 所成角的余弦值为________.7.已知空间四边形ABCD ，AB =CD =2，且AB 与CD 所成的角为3π，设E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则EF 的长度为________. 二、选择题8.“两条直线没有公共点”是“两条异面直线”的（ ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件9.异面直线a ，b 成80°角，点P 是a ，b 外的一个定点，若过P 点有且仅有2条直线与a ，b 所成的角相等且等于θ，则θ的范围为（ ）A.0°<θ<90°B.40°<θ<90°C.40°<θ<50°D.80°<θ<90° 三、解答题10.如图，已知两个正方形ABCD 和DCEF 不在同一平面内，M ，N 分别为AB ，DF 的中点.用反证法证明：直线ME 与BN 是两条异面直线.11.[改编题]如图，S 是圆锥的顶点，O 是底面圆的圆心，AB ，CD 是底面圆的两条直径，且AB ⊥CD ，SO =4，OB =2，P 为SB 的中点，求异面直线SA 与PD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.12.如图，在直三棱柱111ABC A B C 中，∠BAC =90°，AB =AC =AA 1.若D 为B 1C 1的中点，求异面直线AD 与A 1B 所成角的大小.走近高考如图，在三棱锥A -BCD 中，AB =AC =BD =CD =3，AD =BC =2，点M ，N 分别为AD ，BC 的中点，则异面直线AN ，CM 所成角的余弦值是________.第45讲直线与平面的位置关系一、填空题1.如果直线a与平面α不垂直，那么平面α内与直线a垂直的直线有________条.2.如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD上的点，且::1:4==，又AE EB AF FDH，G分别为BC，CD的中点，则下列说法中错误的是________.①BD∥平面EFG，且四边形EFGH是平行四边形；②EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形；③HG∥平面ABD，且四边形EFGH是平行四边形；④EH∥平面ADC，且四边形EFGH是梯形.3.在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，PA⊥平面ABCD，且PA=1，则点P到对角线BD的离是________.4.在△ABC中，∠ACB=90°，AB=8，∠ABC=60°，PC⊥平面ABC，PC=4，M是AB上一个动点，则PM的最小值为________.5.《九章算术》中的“邪田”意为直角梯形，上、下底称为畔，高称为正广，非高腰边称为邪.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为邪田，两畔CD，AB分别为1，3，正广AD为，PD ⊥平面ABCD，则邪田ABCD的邪长为________；邪所在直线与平面PAD所成角的大小为________.6.在△ABC中，已知AB=6，BC=8，AC=10，SB=5且SB⊥平面ABC，则S到AC距离为________.7.若长为26的线段AB的端点到平面α的距离分别为7和17，则AB在平面α上的射影长为________.二、选择题8.已知直线a ，b 和平面M ，N ，且a ⊥M ，则下列说法正确的是（ ） A.b M b a ⇒⊥‖ B.b a b M ⊥⇒‖ C.N M a N ⊥⇒‖D.a 不在平面N 上MN ⇒≠∅9.设α，β，γ为两两不重合的平面，l ，m ，n 为两两不重合的直线，给出下列四个命题： ①若αγ⊥，βγ⊥，则αβ‖；②若m α⊂，n α⊂，m β‖，n β‖，则αβ‖； ③若αβ‖，l α⊂，则l β‖； ④若l αβ=，m βγ=，n γα=，l γ‖，则m n ‖.其中真命题的个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 三、解答题10.如图，已知直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB =1，BC =2，1CD =A 作AE ⊥CD ，垂足为E ，现将△ADE 沿AE 折叠，使得DE ⊥E C.求证：BC ⊥平面CDE .11.如图，在三棱锥P -ABC 中，∠PAC =∠BAC =90°，PA =PB ，点D ，F 分别为BC ，AB 的中点.求证：（1）直线DF ∥平面PAC ； （2）PF ⊥A D.12.如图，在圆锥SO 中，AB 为底面圆O 的直径，点C 为弧AB 的中点，SO =AB . （1）证明：AB ⊥平面SOC ；（2）若点D 为母线SC 的中点，求AD 与平面SOC 所成角的正切值.走近高考如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，已知AC ⊥BC ，BC =CC 1，设AB 1的中点为D ，11B C BC E =.求证：（1）DE ∥平面AA 1C 1C ； （2）BC 1⊥AB 1.第46讲 两平面的位置关系一、填空题1.如图，已知AB ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，则图中互相垂直的平面有________对.2.设两个不同的平面α，β，两条不同的直线a ，b ，且a α⊂，b α⊂，则“a β‖，b β‖”是“αβ‖”的________条件.3.过两平行平面α，β外且不位于α，β之间的一点P 作两条直线，分别交α于A ，C 两点，交β于B ，D 两点，若PA =6，AC =4，PB =15，则BD 的长为________.4.已知m ，n 为直线，α，β为平面，给出下列命题：①m n m n αα⊥⎫⇒⎬⊥⎭‖；②m m n n ββ⊥⎫⇒⎬⊥⎭‖；③m m ααββ⊥⎫⇒⎬⊥⎭‖；④m n m n αβαβ⎫⎪⇒⎬⎪⎭‖‖‖‖. 其中正确命题的序号是________.5.如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD =AB ，∠BCD =45°，∠BAD =90°.将△ADB 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，构成三棱锥A -BCD ，则在三棱锥A -BCD 中，下列命题正确的是________.①AD ⊥平面BCD ；②AB ⊥平面BCD ；③平面BCD ⊥平面ABC ；④平面ADC ⊥平面ABC .6.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，l 是平面AB 1D 1与平面ABCD 的交线，则点D 1到l 的距离是________.7.正三棱锥的一个侧面与底面的面积之比为2:3，则这个三棱锥的侧面和底面所成二面角的平面角的大小为________. 二、选择题8.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段AD 1上运动，给出以下命题：①异面直线C 1P 与B 1C 所成的角为定值； ②二面角P -BC 1-D 的大小为定值； ③三棱锥D -BPC 1的体积为定值； ④异面直线A 1P 与BC 1间的距离为定值.. 其中真命题的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.49.已知直二面角l αβ--，点A α∈，AC ⊥l ，C 为垂足，B β∈，BD ⊥l ，D 为垂足.若AB =2，AC =BD =1，则点D 到平面ABC 的距离等于（ ）D.1三、解答题10.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，S 是B 1D 1的中点，E ，F ，G 分别是BC ，DC ，SC 的中点，求证：（1）直线EG ∥平面BDD 1B 1； （2）平面EFG ∥平面BDD 1B 1.11.如图，在三棱锥S-ABC中，SC⊥平面ABC，点P，M分别是SC和SB的中点，设PM=AC=1，∠ACB=90°，直线AM与直线SC所成的角为60°.（1）求证：平面MAP⊥平面SAC；（2）求二面角M-AC-B的平面角的正切值.12.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，M为PD的中点，∠ADC=45°，AD=AC=1，PO=a.（1）求证：DA⊥平面PAC；（2）如果二面角M-AC-D的正切值为2，求a的值.走近高考如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥E C.求证：平面AEC⊥平面AF C.。

空间直线与平面的平行关系【提纲挈领】主干知识归纳1． 直线与平面平行的判定定理和性质定理2．平面与平面平行的判定定理和性质定理规律方法总结：1．平行问题中的转化关系2．判断线面平行的两种常用方法面面平行判定的落脚点是线面平行，因此掌握线面平行的判定方法是必要的，判定线面平行的两种方法：(1)利用线面平行的判定定理；(2)利用面面平行的性质，即当两平面平行时，其中一平面内的任一直线平行于另一平面．【指点迷津】【类型一】线面平行、面面平行的基本问题【例1】有互不相同的直线m ，n ，l 和平面α，β，给出下列四个命题： ①若m ⊂α，l ∩α＝A ，A ∉m ，则l 与m 不共面；②若m ，l 是异面直线，l ∥α，m ∥α，且n ⊥l ，n ⊥m ，则n ⊥α； ③若m ，n 是相交直线，m ⊂α，m ∥β，n ⊂α，n ∥β，则α∥β； ④若l ∥α，m ∥β，α∥β，则l ∥m. 其中真命题有( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个解析：选B 由异面直线的判定定理，易知①是真命题；由线面平行的性质知，存在直线l ′⊂α，m ′⊂α，使得l ∥l ′，m ∥m ′，∵m ，l 是异面直线，∴l ′与m ′是相交直线，又n ⊥l ，n ⊥m ，∴n ⊥l ′，n ⊥m ′，故n ⊥α，②是真命题；由线面平行的性质和判定知③是真命题；满足条件l ∥α，m ∥β，α∥β的直线m ，l 或相交或平行或异面，故④是假命题，于是选B.【例2】过三棱柱ABC -A 1B 1C 1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB 1A 1 平行的直线共有________条．解析：过三棱柱ABC -A 1B 1C 1的任意两条棱的中点作直线，记AC ，BC ，A 1C 1，B 1C 1的中点分别为E ，F ，E 1，F 1，则直线EF ，E 1F 1，EE 1，FF 1，E 1F ，EF 1均与平面ABB 1A 1平行，故符合题意的直线共6条．答案：6【类型二】直线与平面平行的判定与性质【例2】如图，直三棱柱ABC -A1B 1C 1中，D ，E 分别是AB ，BB 1的中点．(1)证明：BC 1∥平面A 1CD ；(2)设AA 1＝AC ＝CB ＝2，AB ＝22，求三棱锥C -A 1DE 的体积． [解] (1)证明：连接AC 1交A 1C 于点F ，则F 为AC 1中点． 又D 是AB 中点，连接DF ，则BC 1∥DF.因为DF ⊂平面A 1CD ，BC 1⊄平面A 1CD ，所以BC 1∥平面A 1CD.(2)因为ABC -A 1B 1C 1是直三棱柱，所以AA 1⊥CD.由已知AC ＝CB ，D 为AB 的中点，所以CD ⊥AB.又AA 1∩AB ＝A ，于是CD ⊥平面ABB 1A 1.由AA 1＝AC ＝CB ＝2，AB ＝22得∠ACB ＝90°，CD ＝2，A 1D ＝6，DE ＝3，A 1E ＝3， 故A 1D 2＋DE 2＝A 1E 2，即DE ⊥A 1D. 所以VC -A 1DE ＝13×12×6×3×2＝1.思考：在本例条件下，线段BC 1上是否存在一点M 使得DM ∥平面A 1ACC 1？ 解：存在．当M 为BC 1的中点时成立． 证明如下：连接DM ，在△ABC 1中， D ，M 分别为AB ，BC 1的中点 ∵DM 綊12AC 1，又DM ⊄平面A 1ACC 1AC1⊂平面A1ACC1，∴DM∥平面A1ACC1.【类型三】平面与平面平行的判定与性质【例1】如图，四棱柱ABCD -A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O是底面中心，A1O⊥底面ABCD，AB＝AA1＝ 2.(1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1；(2)求三棱柱ABD -A1B1D1的体积．[解](1)证明：由题设知，BB1∥DD1且BB1=DD1，∴四边形BB1D1D是平行四边形，∴BD∥B1D1.又BD⊆平面CD1B1，∴BD∥平面CD1B1.∵A1D1∥B1C1∥BC且A1D1=B1C1=BC，∴四边形A1BCD1是平行四边形，∴A1B∥D1C.又A1B⊆平面CD1B1，∴A1B∥平面CD1B1.又∵BD∩A1B＝B，∴平面A1BD∥平面CD1B1.(2)∵A1O⊥平面ABCD，∴A1O是三棱柱ABD -A1B1D1的高．又∵AO＝12AC＝1，AA1＝2，∴A1O＝AA21－OA2＝1.又∵S△ABD＝12×2×2＝1，∴V ABD -A1B1D1＝S△ABD×A1O＝1.【例2】如图，在直四棱柱ABCD -A1B1C1D1中，底面是正方形，E，F，G分别是棱B1B，D1D，DA的中点．求证：平面AD1E∥平面BGF证明：∵E，F分别是B1B和D1D的中点，∴D1F綊BE.∴四边形BED1F是平行四边形，∴D1E∥BF；又∵D1E⊄平面BGF，BF⊂平面BGF，∴D1E∥平面BGF.∵FG是△DAD1的中位线，∴FG∥AD1；又AD1⊄平面BGF，FG⊂平面BGF，∴AD1∥平面BGF.又∵AD1∩D1E＝D1，∴平面AD1E∥平面BGF.【例3】如图1,AB 是圆O 的直径，PA 垂直圆O 所在的平面，C 是圆O 上一点，设Q 为PA 的中点，G 为ΔAOC 的重心，求证：QG//平面PBC解：如图2连接OG 交AC 于点E ，连接QE ∵点G 为ΔAOC 的重心 ∴点E 为AC 的中点 又点Q 为PA 的中点 ∴QE 为ΔPAC 的中位线 ∴QE ∥PCPBC PC PBC QE 平面，平面⊆⊄∴QE ∥平面PBC 同理OE ∥平面PBC 由E OEQE =⋂得平面QEO//平面PBCQEO QG 平面⊂∴QG//平面PBC【同步训练】【一级目标】基础巩固组1．已知直线a ，b ，平面α，则以下三个命题：①若a ∥b ，b ⊂α，则a ∥α； ②若a ∥b ，a ∥α，则b ∥α； ③若a ∥α，b ∥α，则a ∥b. 其中真命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选A 对于①，若a ∥b ，b ⊂α，则应有a ∥α或a ⊂α，所以①不正确；对于②，若a ∥b ，a ∥α，则应有b ∥α或b ⊂α，因此②不正确；对于③，若a ∥α，b ∥α，则应有a ∥b 或a 与b 相交或a 与b 异面，因此③是假命题．综上，在空间中，以上三个命题都是假命题．2．下列四个正方体图形中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥平面MNP 的图形的序号是( )E图2图1A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④解析：选C 对于图形①，平面MNP 与AB 所在的对角面平行，即可得到AB ∥平面MNP ；对于图形④，AB ∥PN ，即可得到AB ∥平面MNP ；图形②③无论用定义还是判定定理都无法证明线面平行，故选C.3．(2014·济南模拟)平面α∥平面β的一个充分条件是( ) A ．存在一条直线a ，a ∥α，a ∥β B ．存在一条直线a ，a ⊂α，a ∥βC ．存在两条平行直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥αD ．存在两条异面直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α解析：选D 若α∩β＝l ，a ∥l ，a ⊄α，a ⊄β，则a ∥α，a ∥β，故排除A.若α∩β＝l ，a ⊂α，a ∥l ，则a ∥β，故排除B.若α∩β＝l ，a ⊂α，a ∥l ，b ⊂β，b ∥l ，则a ∥β，b ∥α，故排除C.故选D.4．a 、b 、c 为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合的平面，现给出四个命题 ①⎭⎬⎫α∥c β∥c ⇒α∥β ②⎭⎬⎫α∥γβ∥γ⇒α∥β ③⎭⎬⎫α∥c a ∥c ⇒a ∥α ④⎭⎬⎫a ∥γα∥γ⇒α∥a 其中正确的命题是( )A ．①②③B ．①④C ．②D ．①③④解析：选C ②正确．①错在α与β可能相交．③④错在a 可能在α内．5．如图所示，在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别是棱CC 1、C 1D 1、D 1D 、DC 的中点，N 是BC 的中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，则M 满足条件______时，有MN ∥平面B 1BDD 1.解析：由平面HNF ∥平面B 1BDD 1知，当M 点满足在线段FH 上有MN ∥平面B 1BDD 1.答案：M ∈线段FH6.如图所示，在四面体ABCD 中，M ，N 分别是△ACD ，△BCD 的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是________．解析：连接AM 并延长，交CD 于E ，连接BN ，并延长交CD 于F ，由重心性质可知，E ，F 重合为一点，且该点为CD 的中点E ，由EM MA ＝EN NB ＝12，得MN ∥AB.因此，MN ∥平面ABC 且MN ∥平面ABD.答案：平面ABC 、平面ABD7.（2016江苏．16，节选（1））如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，,D E 分别为,AB BC 的中点，点F 在侧棱1B B 上，且11B D A F ⊥，1111AC A B ⊥．求证：⑴ 直线//DE 平面11A C F ；⑵ 平面1B DE ⊥平面11A C F ．解：,D E 为中点，DE ∴为ABC ∆的中位线 //DE AC ∴又111ABC A B C -为棱柱，11//AC AC ∴ 11//DE AC ∴又11AC ⊂平面11A C F ，且11DE AC F ⊄//DE ∴平面11A C F ；8. 如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，AC ，A 1B 1，A 1C 1的中点， 求证： (1)B ，C ，H ，G 四点共面；(2)平面EFA 1∥平面BCHG . 证明：(1)∵GH 是△A 1B 1C 1的中位线， ∴GH ∥B 1C 1.又∵B 1C 1∥BC ，∴GH ∥BC. ∴B ，C ，H ，G 四点共面． (2)∵E ，F 分别为AB ，AC 的中点，∴EF ∥BC.∵EF ⊄平面BCHG ，BC ⊂平面BCHG ， ∴EF ∥平面BCHG . ∵A 1G ∥EB 且A 1G ∥EB ∴四边形A 1EBG 是平行四边形． ∴A 1E ∥GB.∵A 1E ⊄平面BCHG ，GB ⊂平面BCHG . ∴A 1E ∥平面BCHG . ∵A 1E ∩EF ＝E∴平面EFA 1∥平面BCHG .【二级目标】能力提升题组1．若平面α∥平面β，直线a ∥平面α，点B ∈β，则在平面β内且过B 点的所有直线中( )A ．不一定存在与a 平行的直线FEC BAC 1B 1A 1B．只有两条与a平行的直线C．存在无数条与a平行的直线D．存在唯一与a平行的直线解析：选A当直线a在平面β内且过B点时，不存在与a平行的直线，故选A.2．已知α，β是两个不同的平面，给出下列四个条件：①存在一条直线a，a⊥α，a⊥β；②存在一个平面γ，γ⊥α，γ⊥β；③存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α；④存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α.可以推出α∥β的是()A．①③B．②④C．①④D．②③解析：选C对于②，平面α与β还可以相交；对于③，当a∥b时，不一定能推出α∥β，所以②③是错误的，易知①④正确，故选C.3．已知直线l∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于直线l的直线()A．只有一条，不在平面α内B．只有一条，且在平面α内C．有无数条，不一定在平面α内D．有无数条，一定在平面α内解析：选B由直线l与点P可确定一个平面β，则平面α，β有公共点，因此它们有一条公共直线，设该公共直线为m，因为l∥α，所以l∥m，故过点P且平行于直线l的直线只有一条，且在平面α内，选B.4．如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，且PQ∥AC，则下列命题中，错误的是()A．AC⊥BDB．AC∥截面PQMNC．AC＝BDD．异面直线PM与BD所成的角为45°解析：选C由题意可知PQ∥AC，QM∥BD，PQ⊥QM，所以AC⊥BD，故A正确；由PQ∥AC可得AC∥截面PQMN，故B正确；由PN∥BD可知，异面直线PM与BD所成的角等于PM与PN所成的角，又四边形PQMN为正方形，所以∠MPN＝45°，故D正确；而AC＝BD不确定，故选C．5.如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD＝NB＝1，G为MC的中点．则下列结论中不正确的是()A．MC⊥ANB．GB∥平面AMNC．平面CMN⊥平面AMND．平面DCM∥平面ABN解析：选C显然该几何图形为正方体截去两个三棱锥所剩的几何体，把该几何体放置到正方体中(如图)，作AN的中点H，连接HB，MH，GB，则MC∥HB，又HB⊥AN，所以MC⊥AN，所以A正确；由题意易得GB∥MH，又GB⊂平面AMN ，MH ⊂平面AMN ，所以GB ∥平面AMN ，所以B 正确；因为AB ∥CD ，DM ∥BN ，且AB∩BN ＝B ，CD∩DM ＝D ，所以平面DCM ∥平面ABN ，所以D 正确．6．已知m ，n 是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的有________． ①若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β； ③若m ∥α，m ∥β，则α∥β；④若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n.解析：若m ∥α，n ∥α，m ，n 可以平行，可以相交，也可以异面，故①不正确；若α⊥γ，β⊥γ，α，β可以相交，故②不正确；若m ∥α，m ∥β，α，β可以相交，故③不正确；若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n ，④正确．答案：④7．在正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 是DD 1的中点，设Q 是CC 1上的点，则点Q 满足条件________时，有平面D 1BQ ∥平面PAO.解析：假设Q 为CC 1的中点，因为P 为DD 1的中点，所以QB ∥PA.连接DB ，因为P ，O 分别是DD 1，DB 的中点，所以D 1B ∥PO ，又D 1B ⊄平面PAO ，QB ⊄平面PAO ，所以D 1B ∥平面PAO ，QB ∥平面PAO ，又D 1B ∩QB ＝B ，所以平面D 1BQ ∥平面PAO.故Q 满足条件Q 为CC 1的中点时，有平面D 1BQ ∥平面PAO.答案：Q 为CC 1的中点8．设α，β，γ为三个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m ，n ⊂γ，且________，则m ∥n ”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．①α∥γ，n ⊂β；②m ∥γ，n ∥β；③n ∥β，m ⊂γ. 可以填入的条件有________．解析：由面面平行的性质定理可知，①正确；当n ∥β，m ⊂γ时，n 和m 在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．答案：①或③9．已知直三棱柱ABC -A ′B ′C ′满足∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝12AA ′＝2，点M ，N 分别为A ′B ，B ′C ′的中点．(1)求证：MN ∥平面A ′ACC ′； (2)求三棱锥C -MNB 的体积．解：(1)证明：如图，连接AB ′，AC ′， ∵四边形ABB ′A ′为矩形，M 为A ′B 的中点，∴AB ′与A ′B 交于点M ，且M 为AB ′的中点，又点N 为B ′C ′的中点， ∴MN ∥AC ′，又MN ⊄平面A ′ACC ′，且AC ′⊂平面A ′ACC ′， ∴MN ∥平面A ′ACC ′. (2)由图可知V C -MNB ＝V M -BCN ，∵∠BAC ＝90°，∴BC ＝AB 2＋AC 2＝22，又三棱柱ABC -A ′B ′C ′为直三棱柱，且AA ′＝4， ∴S △BCN ＝12×22×4＝4 2.∵A ′B ′＝A ′C ′＝2，∠B ′A ′C ′＝90°，点N 为B ′C ′的中点，∴A ′N ⊥B ′C ′，A ′N ＝ 2.又BB ′⊥平面A ′B ′C ′， ∴A ′N ⊥BB ′， ∴A ′N ⊥平面BCN. 又M 为A ′B 的中点， ∴M 到平面BCN 的距离为22， ∴V C -MNB ＝V M -BCN ＝13×42×22＝43.10．如图，在三棱锥S -ABC 中，平面SAB ⊥平面SBC ，AB ⊥BC ，AS ＝AB.过A作AF ⊥SB ，垂足为F ，点E ，G 分别是棱SA ，SC 的中点．求证：(1)平面EFG ∥平面ABC ； (2)BC ⊥SA.证明：(1)因为AS ＝AB ，AF ⊥SB ，垂足为F ，所以F 是SB 的中点．又因为E 是SA 的中点，所以EF ∥AB.因为EF ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ， 所以EF ∥平面ABC.同理EG ∥平面ABC.又EF ∩EG ＝E ， 所以平面EFG ∥平面ABC.(2)因为平面SAB ⊥平面SBC ，且交线为SB ，又AF ⊂平面SAB ，AF ⊥SB ，所以AF ⊥平面SBC.因为BC ⊂平面SBC ，所以AF ⊥BC.又因为AB ⊥BC ，AF ∩AB ＝A ，AF ⊂平面SAB ，AB ⊂平面SAB ，所以BC ⊥平面SAB. 因为SA ⊂平面SAB ，所以BC ⊥SA.【高考链接】1．（2016北京理．17），14分，节选（3）） 如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，PA PD =，AB AD ⊥，1AB =，2AD =，AC CD ==（1）求证：PD ⊥平面PAB ；（2）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值； （3）在棱PA 上是否存在点M ，使得//BM 平面PCD ？若存在，求AMAP的值；若不存在，说明理由.解：设M 是棱PA 上一点，则存在]1,0[∈λ使得λ=.因此点),,1(),,1,0(λλλλ--=-M .因为⊄BM平面PCD ，所以∥BM 平面PCD 当且仅当0=⋅BM ，∵平面PCD 的一个法向量)2,2,1(-=n即0)2,2,1(),,1(=-⋅--λλ，解得41=λ. 所以在棱PA 上存在点M 使得BM ∥平面PCD ，此时41=AP AM .2．（2016新课标Ⅲ．文19，12分）如图，四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥地面ABCD ，AD ∥BC ，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M 为线段AD 上一点，AM=2MD ，N 为PC 的中点.（I ）证明MN ∥平面PAB; （II ）求四面体N-BCM 的体积.【解析】 (1)取PB 中点Q ，连接AQ 、NQ ， ∵N 是PC 中点，NQ//BC ，且NQ=12BC ，又22313342AM AD BC BC ==⨯=，且//AM BC ， ∴//QN AM ，且QNAM=．∴AQNM是平行四边形．∴//MN AQ ．又MN ⊄平面PAB ，AQ ⊂平面PAB ，∴//MN平面PAB ．(2)由(1)//QN平面ABCD．∴1122N BCM Q BCM P BCM P BCA V V V V ----===．∴11142363N BCM ABCV PA S-∆=⨯⋅=⨯⨯=．。

空间几何中的平面与直线的夹角与垂直关系
的计算
空间几何是几何学的一个分支，研究三维空间中的几何对象和它们
的性质。

在这个领域中，与平面和直线的夹角和垂直关系有关的概念
和计算方法是非常重要的。

本文将介绍如何计算平面和直线之间的夹
角以及它们的垂直关系。

1. 平面与直线的夹角
平面与直线的夹角是指从一个垂直于该平面的向量到该直线的向量
所形成的角度。

用符号“∠(平面，直线)”表示。

计算平面与直线的夹角
需要用到向量的内积和模长的概念。

具体计算方法如下：
首先，找到垂直于平面的单位向量n，用点A表示直线上的一个点，用向量a表示直线的方向，则向量a是垂直于直线的单位向量。

然后，计算向量a和向量n的内积 a·n，得到cos(∠(平面，直线))的值，即cos(∠(平面，直线))=a·n。

最后，通过反余弦函数acos()求得∠(平面，直线)的值。

2. 平面与直线的垂直关系
平面与直线的垂直关系是指该直线与平面上的所有向量都垂直。

用
符号“直线⊥平面”表示。

计算平面与直线的垂直关系需要用到向量的
内积概念。

具体计算方法如下：
首先，找到平面的法向量n，用向量a表示直线的方向，则 a·n=0。

然后，将直线上的一个点A代入平面的方程，得到点A到平面的距离，如果距离为0，则直线与平面垂直，否则不垂直。

以上是平面与直线的夹角和垂直关系的计算方法，在实际应用中，可以通过这些方法来解决空间几何中的实际问题，比如计算两个物体间相对角度、判断两个物体是否垂直等问题。

《空间平面与直线方程》教学设计公共教学部数学教研室余黎1.教材内容分析：本教学设计所使用的教材是《高等数学应用教程》许艾珍、黄丽萍、李明主编，航空工业出版社2010年8月第一版。

本节是第七章空间解析几何与向量代数中的第三节内容。

前面已经学习了向量的相关知识并已经建立了空间直角坐标系，本节内容是向量和立体几何的第一次“结合”，同时也为下面继续学习曲面曲线方程等打下基础。

因此，本节的学习有着极其重要的地位。

2. 学情分析：目前数学都是大班上课，相对小班上课学生注意力不容易集中，需要教学更加“跌宕起伏”来吸引学生的注意力。

目前教材内容多课时少，每节课的容量巨大，而本校的学生学习的自觉性较差，很少有学生会课后预习或复习，甚至不能独立完成作业。

这就要求教师充分利用好课堂45分钟，合理安排每个环节，增加学生课堂练习巩固的时间。

3. 设计思想结合学生学情和本教材的特点使用情景教学的方法。

首先构造数学思维活动的情节，以探索启发为主，运用合理的推理和拟真推理进行教学；设计教学活动过程联系学生的情感、意志、水平，使学生在兴奋状态下经历潜伏——存疑——豁然开朗的过程，也就是提出问题——试一试——不断尝试中增强信心——下决心证明——得到正确结果的过程。

在新课一开始就提出了富有挑战性的问题，激发学生的浓厚兴趣和积极的求知态度。

但情景只是手段、不是目的，是开端、不是终点；良好的开端是成功的一半，情景的创设不应只在课的开始阶段，而是存在于整个知识的发生、发展、规律的揭示、形成和应用过程中，也就是说在整个课堂教学过程中，都根据具体情况创设合理的情景来进一步激发学生的参与热情。

4. 教学目标：我确定教学目标的依据有以下三条：（1）教学大纲、考试大纲的要求（2）教材的特点：例题简单，练习有一定难度（3）所教学生的实际情况已有的认知结构及心理特征：学生观察力已具有一定的目的性、精细性、持久性，有意识记占主导地位、意义识记以占重要地位，同时概念理解能力、推理能力有所提高，具有一定的掌握和运用逻辑法则的能力，但由于认知水平的不同，学生掌握和运用逻辑法则的能力存在不平衡性。