二元一次不等式组与简单的线性规划问题

y>x06 y=x06
在 A 点的上方取 B(x0, y), 则 y>x06. 在 A 点的下方取 C(x0, y), 则 y<x06.
于是得结论:
o
6 y<x06
B · x 6 A · C ·
0
xy=6
x
对于不等式 y>f(x) 表示的区域在直线 y=f(x) 的上方; y<f(x) 表示的区域在直线 y=f(x) 的下方.
二元一次方程 AxByC=0 (A、B不同时为0) 在坐 标平面上表示一条直线. 二元一次不等式 AxByC > 0 (或<0) (A、B不同 时为 0 ) 在坐标平面上表示的是一个区域. 是直线 AxByC=0 一旁的区域.
操作题: 在坐标平面上画出直线 xy=6. (1) 对于方程 xy=6, 任意取 3 组解, 在坐标平面 上标出这 3 组解所表示的点, 看在什么位置? (2) 对于不等式 xy>6, 任意取 3 组解, 在坐标平 面上标出这 3 组解所表示的点, 看在什么位置? (3) 对于不等式 xy<6, 任意取 3 组解, 在坐标平 面上标出这 3 组解所表示的点, 看在什么位置? y (1) (0, 6), (1, 5), (2, 4). 在直线 xy=6上. (2) (0, 7), (2, 6), (6, 4). 在直线 xy=6 的右下边. (3) (3, 2), (0, 1), (6, 1). 在直线 xy=6 的左上边.
练习: (课本86页) 第 1、 2 题 .
(补充). 分别画出下列不等式表示的平面区域: (1) xy1<0; (2) 2xy2≤0; (3) x3y; (4) y>0.
练习: (课本86页) 1. 不等式 x2y6>0 表示的区域在直线 x2y6=0 的( B ) (A) 右上方. (B) 右下方. (C) 左上方. (D) 左下方. 解: 取原点(0, 0)检验, 得 x2y6=0206 =6>0, 满足不等式. ∴不等式 x2y6>0 表示的

1．(2015·高考陕西卷)某企业生产甲、乙两种产品均需用A，
B两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限
额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4
万元，则该企业每天可获得最大利润为( )
A.12万元
A(吨) B(吨)
甲 乙 原料限额
32
12
12
8
B．16万元
C．17万元
主干回顾 夯基固源 考点研析 题组冲关 素能提升 学科培优
课时规范训练
第3课时 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
1．会从实际情境中抽象出二元一次不等式组． 2．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二 元一次不等式组． 3．会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题， 并能加以解决．
1．(2015·高考湖南卷)若变量x，y满足约束条件
x2＋x－y≥y≤－11，， 则z＝3x－y的最小值为(
)
y≤1.
A．－7 C．1
B．－1 D．2
解析：画出可行域，如图中阴影部分所示．目标函数z＝3x－
y可化为y＝3x－z，其斜率为3，纵截距为－z，平移直线y＝3x知
当直线y＝3x－z经过点A时，其纵截距最大，z取得最小值．由
1．二元一次不等式表示的平面区域 (1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C＞0在平面直角坐标 系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有的点组成的平面区域 (半平面) 不含 边界直线，不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平 面区域(半平面)含有边界直线．
(2)对于直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有的点(x，y)，使得Ax
解析 当m≥0时，若平面区域存在，则平面区域内的点在第 二象限，平面区域内不可能存在点P(x0，y0)满足x0－2y0＝2，因此 m＜0.

利用Excel 求解数学规划问题1、 线性规划 例1⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=≥≥≥≤+++≤+++≤++++++=4,3,2,10105000452110001001401101401100101461680..6001180310460max 214321432143214321j x x x x x x x x x x x x x x x t s x x x x z j利用Excel 求解其步骤如下：1、选择“工具”菜单中的“加载宏”选项，装入“规划求解”宏，此时，“工具”菜单中便出现“规划求解”选项。

如果“工具”菜单中已有“规划求解”选项，则直接进行第2步。

2、 按下表格式输入线性规划模型表中3、 在目标函数所在行的G3单元格内输入公式： =$B$2*B3+$C$2*C3+$D$2*D3+$E$2*E3此公式即为目标函数表达式，将该公式复制到G4,G5,G6,G7,G8单元格，即得约束条件左端表达式。

4、选择“工具”菜单的“规划求解”选项，弹出“规划求解参数”对话框，依次选定符合模型要求的项目。

（1）单击“设置目标单元格”框，将光标定位于框内，然后单击目标函数值单元格G3。

（2）在“规划求解参数”对话框的“等于”栏内，选择“最大值”选项。

（3）在“可变单元格”栏输入处，从表中选择$B$2:$E$2区域，使之出现$B$2:$E$2。

（4）在“约束”栏，单击“添加”按钮，弹出“添加约束”对话框，依次输入约束条件。

在“单元格引用位置”处，点击G4单元格，从“约束值”位置处选择约束类型“>=,<=,=,int,bin ”中的“<=”，在后面的框内点击F4单元格，按“添加”按钮，产生第一个约束条件。

类似地，添加第二、第三、第四、第五个约束条件后，按“确定”按钮，返回“规划求解参数”对话框。

（５）点击“选项”按钮，根据需要选择“假定非负”等项目后，按“确定”按钮，返回“规划求解参数”对话框（６）按“求解”按钮，弹出“规划求解结果”对话框，可根据需要选择“运算结果报告、敏感性报告、极限值报告”。

专题七 不等式第二十讲 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题答案部分1．C 【解析】不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线35y x =-．平移该直线，当经过点C 时，z 取得最大值，由15x y x y -+=⎧⎨+=⎩，得23x y =⎧⎨=⎩，即(2,3)C ，所以max 325321a =⨯+⨯=，故选C ．2．A 【解析】如图为可行域结合目标函数的几何意义可得函数在点()6,3B --处取得最小值，最小值为min 12315z =--=-．故选A ．3．D 【解析】目标函数为四边形ABCD 及其内部，其中3(0,1),(0,3),(,3)2A B C -，24(,)33D -，所以直线z x y =+过点B 时取最大值3，选D.4．C 【解析】不等式组表示的可行域如图阴影部分，x当目标函数过(3,4)-时取得最大值，即max 3245z =-+⨯=．选C ． 5．D 【解析】不等式组可行域如图阴影部分，x目标函数2z x y =+过点(3,3)C 时，取得最大值max 3239z =+⨯=，故选D. 6．D 【解析】如图阴影为可行域，可知在(2,1)A 时，min 4z =，无最大值．x所以2z x y =+的取值范围是[4,)+∞．选D ．7．C 【解析】作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，设(,)P x y 为平面区域内任意一点，则22x y +表示2||OP ．显然，当点P 与点A 合时，2||OP ，即22x y +取得最大值，由2239x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得31x y =⎧⎨=-⎩，故(3,1)A -．所以22x y +的最大值为223(1)10+-=．故选C ．98．C 【解析】作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，过点,C D 分别作直线20x y +-=的垂线，垂足分别为,A B ，则四边形ABDC 为矩形；又(2,2)C -，(1,1)D -，所以22||||(21)(21)32AB CD ==++--=，故选C ．9．B 【解析】如图，已知约束条件20,2360,3290.x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩所表示的平面区域为图中所示的三角形区域ABC(包含边界)，其中A(0，2)，B(3，0)，C(l ，3)．根据目标函数的几何意义，可知当直线255zy x =-+过点B(3，0)时，z 取得最小值23506⨯+⨯=．10．D 【解析】设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为x 、y 吨，则利润34z x y =+．由题意可列32122800x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，其表示如图阴影部分区域：当直线340x y z +-=过点(2,3)A 时，z 取得最大值， 所以max 324318z =⨯+⨯=，故选D ．11．C 【解析】作出可行域(图略)，可知目标函数过点(0,3)时，z 取得最大值18． 12．A 【解析】画出可行域，如图所示，目标函数变形为2y x z =-，当z 最小时，直线2y x z =-的纵截距最大，故将直线2y x =经过可行域，尽可能向上移 到过点1(1,)2B -时，z 取到最小值，最小值为152(1)22z =⨯--=-，故选A ．13．B 【解析】 由z ax y =+得y ax z =-+，借助图形可知：当1a -≥，即1a ≤-时在0x y ==时有最大值0，不符合题意； 当01a ≤-<，即10a -<≤时在1x y ==时有最大值14,3a a +==， 不满足10a -<≤；当10a -<-≤，即01a <≤时在1x y ==时有最大值14,3a a +==，不满足01a <≤；当1a -<-，即1a >时在2,0x y ==时有最大值24,2a a ==，满足1a >． 14．C 【解析】画出可行域如图中阴影部分所示，由图可知，当目标函数2z x y =+经过可行域内的点A （2，-1）时，取得最小值0，故20x y +≥，因此12,p p 是真命题，选C ．15．D 【解析】解法一由题中条件画出可行域，可知三交点(0,2)A ，(2,0)B ，(2,2)C --，则2A z =，2B z a =-，22C z a =-，要使目标函数取得最大值的最优解不唯一，只要A B C z z z =>或A C B z z z =>或B C A z z z =>，解得1a =-或2a =．解法二 目标函数z y ax =-可化为y ax z =+，令0l ：y ax =，平移0l ，则当0l AB ∥ 或0l AC ∥时符合题意，故1a =-或2a =．16．C 【解析】平面区域Ω为如图所示的阴影部分的△ABD ，因圆心(,)C a b ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，所以点C 在如图所示的线段MN 上，线段MN 的方程为1y =（-2≤x ≤6），由图形得，当点C 在点(6,1)N 处时，22a b +取得最大值226137+=，故选C ．17．D 【解析】作出线性约束条件20200x y kx y y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，的可行域．当0k >时，如图(1)所示，此时可行域为y 轴上方、直线20x y +-=的右上方、直线20kx y -+=的右下方的区域，显然此时z y x =-无最小值．当1k <-时．z y x =-取得最小值2； 当1k =-时，z y x =-取得最小值-2，均不符合题意， 当10k -<<时，如图(2)所示，此时可行域为点A (2，0)，B （-2k，0），C (0，2)所围成的三角形区域，当直线z y x =-经过点B （-2k，0）时，有最小值， 即2()4k --=-，所以得12k =-．故选D ．18．B 【解析】由23z x y =-得32y x z =-，即233zy x =-．作出可行域如图，平移直线233z y x =-，由图象可知当直线233z y x =-经过点B 时，直线233zy x =-的截距最大，此时z 取得最小值，由103x y x -+=⎧⎨=⎩得34x y =⎧⎨=⎩，即(3,4)B ,代入直线23z x y=-得32346z =⨯-⨯=-，选B ．y x–1–212341234CBO19．A 【解析】2||==y x y 与的图像围成一个三角形区域，3个顶点的坐标分别是 (0,0)，(-2,2)，(2,2)．且当取点(-2,2)时，2x – y =－6取最小值．所以选A ．20．C 【解析】作出可行域，如图，则在A 点取得最大值16，在B 点取得最小值8-，则24a b -=，选C ．21．B 【解析】约束条件对应ABC ∆边际及内的区域：53(2,2),(3,2),(,)22A B C则3[8,11]z x y =+∈22．C 【解析】约束条件对应ABC ∆边际及内的区域：(1,0),(1,2),1,2)A B C ---则2[5,3]z x y =+∈-．23．A 【解析】作出可行域，直线03=-y x ，将直线平移至点)0,2(处有最大值，点)3,21(处有最小值，即362z -，应选A ．24．B 【解析】由题意，230y xx y =⎧⎨+-=⎩，可求得交点坐标为（1，2）要使直线y =2x 上存在点（x ，y ）满足约束条件30230x y x y x m +-⎧⎪--⎨⎪⎩，如图所示．则m m 23≥-，可得m ≤1，∴实数m 的最大值为1，故选B ． 25．B 【解析】做出不等式对应的可行域如图，由y x z 23-=得223zx y -=，由图象可知当直线223z x y -=经过点)2,0(C 时，直线223zx y -=的截距最大，而此时y x z 23-=最小为423-=-=y x z ，选B ．xyC BA –1–2–3–4–512–1–2123O26．D 【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由图知目标函数过点()5,15A 时，2+3x y 的最大值为55，故选D ．27．B 【解析】画出区域D 如图所示，而z =OM ·OA 2x y +，所以2y x z =-+，令0l ：2y x =，平移直线0l 过点2,2)时，z 取得最大值，故max 2224z =．28．B 【解析】如图先画出不等式||||1x y +≤表示的平面区域，易知当0x =，1y =时，2x y +取得最大值2，当0,1x y ==-时，2x y +取得最小值－2，选B．29．A 【解析】 画出可行域，可知5z x y =+在点1(,)11m m m++取最大值，由21211m m m+<++解得11m <<． 30．B 【解析】当直线z =2x -5y 过点B 时，min 14z =-，当直线z =2x -5y 过点D (0,-4)时，max 20z =，所以z=2x -5y 的取值范围为（－14，20），点D 的坐标亦可利用AB DC=求得．31．A 【解析】作出满足约束条件的可行域，如图所示，可知当直线34z x y =-平移到点（5，3）时，目标函数34z x y =-取得最大值3； 当直线34z x y =-平移到点（3，5）时， 目标函数34z x y =-取得最小值-11，故选A ．32．3【解析】作出不等式组21y xx y⎧⎨+⎩≤≤，所表示的平面区域如图中阴影部分所示，yxOy=12x y=x+1y=2x A令2z y x =-，作出直线20y x -=，平移该直线，当直线过点(1,2)A 时，2y x -取得最小值，最小值为2213⨯-=．33．6【解析】作出可行域为如图所示的∆ABC 所表示的阴影区域，作出直线320+=x y ，并平移该直线，当直线过点(2,0)A 时，目标函数32z x y =+取得最大值：且max 32206=⨯+⨯=z ．34．9【解析】画出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示．作出直线0x y +=，平移该直线，当直线过点(5,4)B 时，z 取得最大值，max 549z =+=．=035．−2；8【解析】由题可得，该约束条件表示的平面区域是以(2,2)，(1,1)，(4,2)-为顶点的三角形及其内部区域（图略）．由线性规划的知识可知，目标函数3z x y =+在点(2,2) 处取得最大值，在点(4,2)-处取得最小值，则最小值min 462z =-=-，最大值max 268z =+=．36．5-【解析】不等式组的可行域如图阴影部分，易得(1,1)A -，11(,)33B --，11(,)33C代入32z x y =-，可求得在(1,1)A -时目标函数取得最小值5-．37．1-【解析】不等式组的可行域如图阴影部分．x目标函数34z x y =-在点(1,1)A 取得最小值31411z =⨯-⨯=-．38．216 000【解析】由题意，设产品A 生产x 件，产品B 生产y 件，利润2100900z x y =+，线性约束条件为 1.50.51500.390536000,0x y x y x y x y +⎧⎪+⎪⎨+⎪⎪⎩，作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，又由x N ∈，y N ∈，可知取得最大值时的最优解为(60，100)，所以max 210060900100216000z =⨯+⨯=（元）．39．32【解析】约束条件对应的平面区域是以点1(1,)2、(0,1)和(2,1)--为顶点的三角形，当目标函数y x z =-+经过点1(1,)2时，z 取得最大值32．40．4[,13]5【解析】不等式组所表示的平面区域是以点(0,2)，(1,0)，(2,3)为顶点的三角形及其内部，如图所示，因为原点到直线220x y +-=的距离为25， 所以22min 4()5x y +=，又当(,)x y 取点(2,3)时，22x y +取得最大值13， 故22x y +的取值范围是4[,13]5．41．3【解析】作出可行域（图略），可知在点(1,3)处，yx取得最大值3． 42．32【解析】 作出可行域（图略），可知在点1(1,)2处，z 取得最大值，且max 32z ． 43．4【解析】如图阴影部分，可知12(22)42ABC S ∆=⨯⨯+=xy –2–11212345678O44．3[1,]2【解析】由线性规划的可行域，求出三个交点坐标分别为3(1,0),(1,),(2,1)2，都代入14ax y +≤≤，可得312a ≤≤．45．－2【解析】画出可行域（图略），由题意可知不等式组表示的区域为一三角形，平移参照直线20x y +=，可知在点(,)k k 处2z x y =+取得最小值，故26z k k =+=-．解得2k =-．46．3【解析】做出可行域可知，当3,3x y ==的时候z 有最大值347．2【解析】此不等式表示的平面区域如图所示，其中(2,0)C ，(2,3)A ，(4,4)B ．当0k >时，直线0l ：y kx =-平移到B 点时目标函数取最大值，即4+4=12k ， 所以2k =；当0k <时，直线0l ：y kx =-平移到A 或B 点时目标函数取最大值， 此时2312k +<或4412k +<，所以不满足题意．所以2k =，所以填2．48．6【解析】画出可行区域，即为五边形区域，平移参照直线0x y +=，x y +在点(4，2)处取得最大值，此时()max 426x y +=+=．49．[3,3]-【解析】约束条件对应四边形OABC 边际及内的区域：(0,0),(0,1),(1,2),(3,0)O A B C 则2[3,3]z x y =-∈-．50．3【解析】不等式组表示的平面区域如图中阴影所示，把目标函数化为155zy x =-+，显然只有155zy x =-+在y 轴上的截距最大时z 值最大，根据图形，目标函数在点A 处取得最大值，由1y mx x y =⎧⎨+=⎩，得1(,)11m A m m ++，代入目标函数，即15411mm m +=++，解得3m =．51．1【解析】目标函数2z x y =-，当0x =时，z y =-，所以当y 取得最大值时，z 的值最小；移动直线20x y -=，当直线移动到过点A 时，y 最大，即z 的值最小， 此时2111z =⨯-=． 52．－6【解析】根据32969x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩得可行域，根据2z x y =+得22x zy =-+，平移2xy =-，易知在点(4,5)-处z 取得最小值－6． 53．4【解析】不等式表示的区域是一个四边形，4个顶点是1(0,0),(0,2),(,0),(1,4)2，易见目标函数在(1,4)取最大值8，所以844ab ab =+⇒=，所以24a b ab +≥=， 在2a b ==时是等号成立．所以a b +的最小值为4.54．15【解析】设购买铁矿石A 和B 各x ，y 万吨，则购买铁矿石的费用y x z 63+=x ，y 满足约束条件0.50.7 1.90.520,0x y x y x y +⎧⎪+⎨⎪⎩≥≤≥≥，表示平面区域（图略）则当直线y x z 63+=过点B （1,2）时，购买铁矿石的最少费用z=15．55．【解析】设为该儿童分别预订,x y 个单位的午餐和晚餐，共花费z 元，则 2.54z x y =+，且满足以下条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥+≥+≥+0,54106426664812y x y x y x y x ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥+≥+≥+0,275371623y x y x y x y x ，做出可行域（图略）作直线:2.540l x y +=， 平移直线l 至0l ，当0l 经过C 点时，可使z 达到最小值． 由⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+=+3472753y x y x y x 即(4,3)C ，z=⨯+⨯=，此时 2.544322答: 午餐和晚餐分别预定4个单位和3个单位，花费最少z=22元．。