2016高中数学人教A版必修四第一章 41单位圆与任意角的正弦函数余弦函数的定义42单位圆与周期性 练习题含答

2016高中数学人教A版必修四第一章 4．1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义、4．2单位圆与周期性 Word练习题含答案 §4 正弦函数与余弦函数的定义与诱导公式 4、1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义 4、2 单位圆与周期性

, ) 1、问题导航 (1)角α的正弦值与余弦值都就是唯一的不？ (2)正弦值、余弦值的符号变化有什么规律？ (3)一个周期函数一定有最小正周期,对不？ 2、例题导读 2、例题导读 P15例1、通过本例学习,学会根据角α的终边上一点的坐标,求角α的三角函数值、 试一试:教材P23习题1－4 A组T1您会不？ P15例2、通过本例学习,学会在直角坐标系中作出已知角,并能求出其终边与单位圆的交点坐标、 试一试:教材P17练习T4您会不？

1、任意角的正弦、余弦函数的定义 如图所示,在直角坐标系中,作以坐标原点为圆心的单位圆,对于任意角α,使角α的顶点与原点重合,始边与x轴非负半轴重合,终边与单位圆交于唯一的点P(u,v),我们把点P的纵坐标v定义为角α的正弦函数,记作v＝sin_α;点P的横坐标u定义为角α的余弦函数,记作u＝cos_α、

对于给定的角α,点P的纵坐标v、横坐标u都就是唯一确定的,所以正弦函数、余弦函数都就是以角为自变量,以单位圆上点的坐标为函数值的函数、在给定的单位圆中,对于任意角α可以就是正角、负角或就是零角,所以,正弦函数v＝sin α,余弦函数u＝cos α的定义域为全体实数、 2016高中数学人教A版必修四第一章 4．1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义、4．2单位圆与周期性 Word练习题含答案 2、正弦函数、余弦函数在各象限的符号

象限 三角函数 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限

sin α ＋ ＋ － － cos α ＋ － － ＋ 注:按正值简记为:正弦一、二象限全为正;余弦偏在一、四中、 3、终边相同的角的正、余弦函数 (1)公式:sin(x＋k·2π)＝sin_x,k∈Z; cos(x＋k·2π)＝cos_x,k∈Z、 (2)意义:终边相同的角的正弦函数值、余弦函数值分别相等、 4、周期函数 (1)定义:对于函数f(x),如果存在非零实数T,对定义域内的任意一个x值,都有f(x＋T)＝f(x),则称f(x)为周期函数,T称为这个函数的周期、 (2)正弦函数与余弦函数都就是周期函数,它们的最小正周期均就是2π、

1、判断正误、(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若sin α>0,则角α的终边在第一或第二象限、( ) (2)若sin α＝sin β,则α＝β、( ) (3)若sin(60°＋60°)＝sin 60°,则60°就是正弦函数y＝sin x的一个周期、( ) (4)若T就是函数f(x)的周期,则kT,k∈N＋也就是函数f(x)的周期、( ) 解析:(1)错误、因为sin α>0,所以角α的终边还有可能在y轴的正半轴上、 (2)错误、正弦值相等,但两角不一定相等,如sin 60°＝sin 120°,但60°≠120°、 (3)错误、举反例,sin(40°＋60°)≠sin 40°,所以60°不就是正弦函数y＝sin x的一个周期、 (4)正确、根据周期函数的定义知,该说法正确、 答案:(1)× (2)× (3)× (4)√

2、若角α的终边与单位圆相交于点22－22,则sin α的值为( ) A、22 B、－22 C、12 D、－12

解析:选B、利用任意角三角函数的定义可知,点22－22到原点的距离为1,则sin α＝－221＝－22,故选B、

3、对于任意的x∈R都有f(x＋2)＝f(x),则f(x)的一个周期为________、 解析:由周期函数的定义知f(x)的一个周期为2、 答案:2(答案不唯一)

1、对正弦函数、余弦函数定义的理解 (1)定义中,α就是一个任意角,同时它也可以就是一个实数(弧度数)、 2016高中数学人教A版必修四第一章 4．1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义、4．2单位圆与周期性 Word练习题含答案 (2)角α的终边与单位圆O交于点P(u,v),实际上给出了两个对应关系,即 实数α(弧度)对应于点P的纵坐标v――→对应 正弦 实数α(弧度)对应于点P的横坐标u――→对应 余弦 (3)三角函数可以瞧成以实数为自变量,以单位圆上的点的坐标为函数值的函数、角与实数就是一对一的、角与实数与三角函数值之间就是多对一的,如图所示、

(4)sin α就是一个整体,不就是sin与α的乘积,单独的“sin”“cos”就是没有意义的、 2、正弦函数、余弦函数定义的拓展 上面利用单位圆,给出了任意角的正弦、余弦函数的定义,实际上,我们可以把这一定义进一步拓展,通过角的终边上任意一点的坐标来定义正弦、余弦函数、 设α就是一个任意角,α的终边上任意一点P的坐标就是(x,y),它与原点的距离就是r(r＝x2＋y2>0),如下图,

那么,比值yr叫作α的正弦,记作sin α,即sin α＝yr;比值xr叫作α的余弦,记作cos α,即cos α＝xr、

3、终边落在坐标轴上的角的正弦、余弦值 利用正弦函数、余弦函数的定义可知,当α的终边落在坐标轴上时,正弦函数、余弦函数的取值情况如下表: 函数名称 终边位置 正弦函数 余弦函数

x轴正半轴 0 1 x轴负半轴 0 －1 y轴正半轴 1 0 y轴负半轴 －1 0 4、对周期函数的概念的理解 (1)定义域:在周期函数y＝f(x)中,T就是周期,若x就是定义域内的一个值,则x＋kT也一定属于定义域,因此周期函数的定义域一定就是无限集、 (2)“对定义域内的任意一个x”这句话中“任意一个x”的含义就是指定义域内所有的x值,即如果存在一个x0,使f(x0＋T)≠f(x0),那T就不就是函数f(x)的周期、 (3)周期函数的周期有无限多个、若T就是周期,则对定义域中任意x,总有f(x＋kT)＝f(x＋(k－1)T)＝f(x＋(k－2)T)＝…＝f(x)都成立,即f(x＋kT)＝f(x),所以kT(k∈Z,k≠0)也就是周期、 (4)值域:由于对定义域中任意x,总有f(x＋T)＝f(x)成立,则周期函数y＝f(x)的值域与函数y＝f(x)在一个周期内的值域相同、 2016高中数学人教A版必修四第一章 4．1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义、4．2单位圆与周期性 Word练习题含答案

利用正、余弦函数的定义求值 已知角α的终边落在射线y＝2x(x≥0)上,求sin α,cos α的值、 (链接教材P15例1) [解] 法一:设射线y＝2x(x≥0)与单位圆的交点为P(x0,y0),

则y0＝2x0x20＋y20＝1x0≥0解得x0＝55y0＝255

即P55255,所以sin α＝y0＝255, cos α＝x0＝55、 法二:设点P(a,2a)就是角α终边上任意一点,其中a>0、 因为r＝|OP|＝a2＋4a2＝5a,

所以sin α＝yr＝2a5a＝255,cos α＝xr＝a5a＝55、

本例中条件“角α的终边落在射线y＝2x(x≥0)上”若换为“ 角α的终边落在直线y＝2x上”,其她条件不变,其结论又如何呢？ 解:(1)若α终边在第一象限内,设点P(a,2a)(a>0)就是其终边上任意一点,因为r＝|OP|＝a2＋4a2＝5a,

所以sin α＝yr＝2a5a＝255,cos α＝xr＝a5a＝55、 (2)若α终边在第三象限内,设点P(a,2a)(a<0)就是其终边上任意一点,因为r＝|OP|＝a2＋4a2＝－5a(a<0),

所以sin α＝yr＝2a－5a＝－255,

cos α＝xr＝a－5a＝－55、 方法归纳 求任意角的三角函数值的两种方法 方法一:根据定义,寻求角的终边与单位圆的交点P的坐标,然后利用定义得出该角的正弦、余弦、正切值、 方法二:第一步,取点:在角α的终边上任取一点P(x,y)(P与原点不重合); 第二步,计算r:r＝|OP|＝x2＋y2(r>0);

第三步,求值:由sin α＝yr,cos α＝xr求值、

1、(1)设角α的终边上有一点P(4,－3),则2sin α＋cos α的值就是( ) A、－25 B、25

C、－25或25 D、1 (2)已知α就是第二象限角,P(x,5)为其终边上一点,且cos α＝24x,则sin α＝________、 2016高中数学人教A版必修四第一章 4．1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义、4．2单位圆与周期性 Word练习题含答案 (3)已知α的终边在直线3x＋4y＝0上,求sin α,cos α的值、

解:(1)选A、由三角函数的定义可知sin α＝－342＋(－3)2＝－35,cos α＝442＋(－3)2＝45,

所以2sin α＋cos α＝2×－35＋45＝－25,故选A、 (2)因为r＝|OP|＝x2＋5, 所以cos α＝xx2＋5＝24x、 又因为α就是第二象限角,所以x<0, 所以x＝－3,所以sin α＝5x2＋5＝104、故填104、 (3)因为α的终边在直线3x＋4y＝0上,所以在角α的终边上任取一点P(4t,－3t)(t≠0),则x＝4t,y＝－3t,r＝x2＋y2＝(4t)2＋(－3t)2＝5|t|,

当t>0时,r＝5t,sin α＝yr＝－3t5t＝－35,cos α＝xr＝4t5t＝45;

当t<0时,r＝－5t,sin α＝yr＝－3t－5t＝35,cos α＝xr＝4t－5t＝－45、 综上可知,sin α＝－35,cos α＝45或sin α＝35,cos α＝－45、

单位圆中的角 在直角坐标系的单位圆中,已知α＝83π、 (1)画出角α; (2)求出角α的终边与单位圆的交点坐标; (3)求出角α的正弦函数值、 (链接教材P15例2)

[解] (1)因为α＝83π＝2π＋23π,

所以角α的终边与23π的终边相同、 如图,以原点为角的顶点,以x轴非负半轴为角的始边,逆时针旋转83π,与单位圆交于点P,则角α如图所示、 (2)因为α＝83π,所以点P在第二象限,

由(1)知∠AOP＝2π3,过点P作PM⊥x轴于点M、 则在Rt△OMP中,∠OMP＝π2,∠MOP＝π3, OP＝1, 由直角三角形的边角关系,得OM＝12,MP＝32,

所以得点P的坐标为－1232、 (3)根据正弦函数的定义有sin 8π3＝32、 方法归纳