高中数学第二章矩阵与变换2.2.6切变变换导学案无答案苏教版选修

一般地，对于平面上的任意一点（向量） ( x, y ), 若按照对应法则T，总能对应唯一的一个 平面点(向量） x, y ), 则称T 为一个变换，简记 （ 为 T： , y ) x, y )， (x （ 或 x x T： . y y
一般地，对于平面向量的变换T，如果变换 规则为 x x ax + by T： y , 坐标变换的形式 y cx + dy 那么，根据二阶矩阵与向量的乘法规则可以改写为 x x a b x T： y y 矩阵乘法的形式 y c d 的矩阵形式，反之亦然（a, b, c, d R ).
一般地，称形如M1,M2,M3,M4,M5这 样的矩阵为反射变换矩阵，对应的变换叫 做反射变换，其中（2）叫做中心反射， 其余叫轴反射.其中定直线叫做反射轴， 定点称为反射点.
M(l1+l2b) l1M+l2Mb 上式表明，在矩阵M的作用下，直线 l1+l2b 变成直线 l1M+l2Mb. 这种把直线变成直线的变换，通常叫做线 性变换。
切变变换
矩阵
1 k 0 1 把平面上的点P(x,
y)沿x轴方向
平移|ky|个单位: 当ky>0时，沿x轴正方向移动； 当ky<0时，沿x轴负方向移动； 当ky=0时，原地不动. 在此变换作用下，图形在x轴上的点是不动点。
像由矩阵
1 k 0 1 确定的变换通常叫做切变变换,
二阶单位矩阵一般记为E
1 M 垂直伸压变换矩阵： 0
0 1 2
2 N 0
0 1
将平面图形作沿y轴方向伸长或压缩,或作 沿x轴方向伸长或压缩的变换矩阵,通常称做沿 y轴或x轴的垂直伸压变换矩阵. 伸压变换：

2.4.2 二阶矩阵与二元一次方程组教学目标1.了解二阶行列式的定义，会用二阶行列式求逆矩阵和解方程组。

2.能用变换与映射的观点认识解线性方程组解的意义。

3.会用系数矩阵的逆矩阵求解方程组。

4.会通过具体的系数矩阵，从几何上说明线性方程组解的存在性、惟一性。

教学过程： 一、预习阅读教材，解答下列问题： 问题1、方程⎩⎨⎧=+=+n dy cx mby ax 的解是：问题2、定义：det(A) ＝dc ba ＝ 关于x , y 的二元一次方程组ax by m cx dy n +=⎧⎨+=⎩，当0≠-bc ad 时, 方程的解为md bn x ad bcan cm y ad bc -⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩,观察方程组的解的结果, 与矩阵a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦, m b n d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦, a m c n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦有何联系?思考：二阶矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a 与二阶行列式d c b a 有什么异同？二、例题讲解例1．利用行列式解方程组23104560x y x y +-=⎧⎨+-=⎩例2.用逆矩阵方法解方程组23104560x y x y +-=⎧⎨+-=⎩例3.试从几何变换的角度说明方程组1322x y y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩ 解的存在性和唯一性.例4.已知二元一次方程组B AX =, A=1010⎡⎤⎢⎥⎣⎦, B=22⎡⎤⎢⎥⎣⎦, 试从几何变换的角度研究方程组解的情况.三、课堂练习1. 甲乙两个公司均生产A ，B 两种产品，已知今年两个公司 的销售业绩如下表（单位：万件），甲公司销售额为58万元， 乙公司销售额为68万元，试求出A 产品和B 产品的销售单价。

2、已知A ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡2312，X ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x ， B ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡21，解方程AX ＝B 。

3、已知可逆矩阵A ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡372a 的逆矩阵A －1＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡--a b 72，求b a ,。

4、已知方程组AX ＝B ，A ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡2001，X ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x ，B ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡53，试从几何变换的角度研究方程组的情况。

§2矩阵与变换章节复习教学目标：知识与技能：1.对本章的知识进行归纳和梳理2.熟练进行图形的变换和矩阵运算3.能运用矩阵解决实际问题.过程与方法：情感、态度与价值观：教学重点：本章的知识教学难点：进行图形的变换和矩阵运算、能运用矩阵解决实际问题. 教学过程：一、知识梳理:二、例题分析：例1、已知M=1225⎡⎤⎢⎥⎣⎦, 试求在M对应的变换T M作用下对应得到P(1 , 0) , Q(0 , 1)的原象点.例2、已知. a , b∈R , 若M=1b-⎡⎢⎣3a⎤⎥⎦所对应的变换T M把直线l: 2x－y=3变换为自身, 求实数a , b的值.例3、已知M=24⎡⎢-⎣13-⎤⎥⎦, N=43⎡⎢-⎣11-⎤⎥⎦, J=54⎡⎢⎣12-⎤⎥⎦.(1)试求满足方程MX=N 的二阶方阵X ;(2)试求满足方程NYM=J 的二阶方程Y .例4、已知M=12⎡⎢⎣ 5x -⎤⎥⎦为可逆矩阵, 求x 的取值范围及M -1 .例5、给定矩阵M=26⎡⎢⎣ 51⎤⎥⎦及向量α=29-⎡⎤⎢⎥⎣⎦.(1)求M 的特征值及对应的特征向量;(2)确定实数a , b , 使α=ae 1+be 2 ;(3)利用(2)计算M 3α, M n α.例6、已知点列P 1 (x 1 , y 1) , P 2(x 2 , y 2), … , P n (x n , y n ), 满足1120.530.5n n n n n nx x y y x y ++=-⎧⎨=-⎩ 且x 1=1 , y 1=－2, n=1 , 2 , 3 , … , 问: 当n 逐渐变大时, P n (x n , y n )有何变化趋势.三、课外作业：1.已知变换T 把平面上的点(2 , －1), (－1, 2)分别变换成点(3 , －4) , (0 , 5), 试求变换T 对应的矩阵M .2.变换矩阵0110⎡⎤⎢⎥⎣⎦把曲线y=lgx变换成什么几何图形?3.判断下列矩阵是否存在逆矩阵, 若存在, 求出逆矩阵.(1)3001⎡⎤⎢⎥⎣⎦(2)1001-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦(3)1011⎡⎤⎢⎥⎣⎦4.已知矩阵M=2313⎡⎢⎢⎢-⎢⎣1323⎤-⎥⎥⎥⎥⎦, N=2112⎡⎤⎢⎥⎣⎦及向量σ 1 =11⎡⎤⎢⎥⎣⎦, σ 2 =11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦.(1)证明M和N互为逆矩阵;(2)证明σ 1 和σ 2 同时是M和N的特征向量.5.设A=4532-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦, 利用矩阵的特征值和特征向量计算A3 .6.矩阵A=1102⎡⎤⎢⎥⎣⎦有特征向量α1 =11⎡⎤⎢⎥⎣⎦,α2 =1⎡⎤⎢⎥⎣⎦.(1)求出α1 ,α2对应的特征值;(2)对向量α=31⎡⎤⎢⎥⎣⎦, 计算A4α, A20α, A nα.。

2.5 特征值与特征向量教学目标1.掌握矩阵特征值与特征向量的定义，能从几何变换的角度说明特征向量的意义。

2.会求二阶矩阵的特征值与特征向量。

3.利用矩阵A 的特征值、特征向量给出A nα简单表示。

考纲要求：二阶矩阵的特征值与特征向量（B 级） 教学过程： 一、预习阅读教材，解答下列问题：问题：已知伸压变换矩阵M=10102⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 向量α=10⎡⎤⎢⎥⎣⎦和β=01⎡⎤⎢⎥⎣⎦在M 对应的变换作用下得到的向量α'和β'分别与βα,有什么关系? 对伸压变压矩阵N=2001⎡⎤⎢⎥⎣⎦呢?归纳：①特征值与特征向量定义：设A 是一个二阶矩阵，如果对于实数λ,存在一个非零向量α，使得λαα=A , 那么称λ为A 的一个特征值,而α称为A 的属于特征值λ的一个特征向量. ②特征向量的几何意义：特征向量的方向经过变换矩阵A 的作用后，保持在同一条直线上，这时特征向量或者方向不变（0>λ），或者方向相反（0<λ），特别地，当0=λ时， 特征向量就变成了零向量.二、建构数学 特征值与特征向量求解 1. 特征多项式 设λ是二阶矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=d c b a A 的一个特征值，它的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=y x α，则 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x y x A λ，即⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x 满足二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+y dy cx x by ax λλ，⎩⎨⎧=-+-=--0)(,0)(y d cx by x a λλ（*） 由特征向量的定义知0=/α，因此y x ,不全为0，即要上述二元一次方程组有不全为0的解，则必须有0=D ，即0=----dcbaλλ，把行列式dcbaf ----=λλλ)(2λ=bc ad d a -++-λ)(称为A 的特征多项式.2. 特征值与特征向量求解方法（Ⅰ）写出矩阵A 的特征多项式)(λf ;（Ⅱ）求方程0)(=λf 的根,即为矩阵特征值; （Ⅲ）将λ的值代入二元一次方程组⎩⎨⎧=-+-=--0)(,0)(y d cx by x a λλ，得到特征向量.注: 如果向量α是属于λ的特征向量, 那么t α(t∈R , t≠0)也是属于λ的特征向量. 三、例题讲解例1．求矩阵A=10⎡⎢⎣ 01⎤⎥-⎦的特征值和特征向量。