01南航戴华《矩阵论》第一章线性空间与内积空间

Q[ x] {an x a1 x a0 a0 , a1 ,, an F , an 0}
n
不是线性空间
例5 [a , b]区间上连续实函数全体所构成的集合C a, b 对通常函数的加法和数乘运算构成相应实数域 R 上 的线性空间，称为实函数空间，记为 C a, b ( R)
（1）幂等律：A∪A＝A
（2）交换律：A∪B＝B∪A
（3）结合律：(A∪B)∪C＝A∪(B∪C) (A∩B)∩C＝A∩(B∩C) （4）分配律：(A∩B)∪C＝(A∪C)∩(B∪C) (A∪B)∩C＝(A∩C)∪(B∩C) （5）DeMongan 律： A ( B C ) ( A B) ( A C )
（3）称既单且满的映射为双射或者一一映射。
定理 3 设 A, B, C 是三个集合，f：A B 是由 A 到 B 的映射， g：B C 是由 B 到 C 的映射，对于 A 中的 每一个元素 x ，有 C 中唯一确定的元素 z 满足：
g ( f ( x)) z 。 即存在一个 A C 的映射， 记为：g f ；
1）若数集F中任意两个数作某一运算的结果仍在F 中，则说数集F对这个运算是封闭的． 2）数域的等价定义：如果一个包含0，1在内的数 集F 对于加法，减法，乘法与除法（除数不为0） 是封闭的，则称集 F为一个数域．
例1．证明：数集 是一个数域．
Q( 2 ) a b 2 | a , b Q
类似可证 Q( i ) a bi a , b Q , i 1 是数域.


定理5 任意数域F都包括有理数域Q． 即:有理数域为最小数域．
证明： 设F为任意一个数域．由定义可知，
0 F， 1 F . 于是有 m Z , m 1 1 1 F

x x1 x2 x y1 y2
k1
xn
k2
kn
k1 t1
k2
A
t2kn tn t1 源自ynt2x1
x2
t1
xn
A
t2
tn
tn
不同基之间过渡矩阵的求法：
已知两组基 (I )x1, x2 , , xn ( II ) y1, y2 , , yn
基 (III )到基 (I ) 的过渡矩阵 C1 为：
1 1 1 1
C1
0 0
1 0
1 1
1 1
0 0 0 1
基 (III )到基 (II )的过渡矩阵 C2 为：
1 0 1 1
C2
0 1
1 1
1 1
1
0
1 1 0 1
则由基 (I ) 到基 (II ) 的过渡矩阵 C 为：
1 1 1 11 1 0 1 1
③求V1 的V基2 与维数。
分析： 设V的两个子空间为
求 x1, x2, , xm , y1, y2, , yn
的最大无关组： 的基。
V1
V2
V1 L( x1, x2 , , xm ) V2 L( y1, y2 , , yn )
解： ⑴先将 V表1 示成生成子空间 x1 x2 x3 x4 0 的基础解系为
k1x1 k2 x2 kn xn 构成的集合形成V 的一个子空间，称之为由该向量组生 成的子空间。记为 W L( x1, x2 , , xn )
定义3 （子空间的和）
设 W1,W2 是 V L(P) 的两个子空间，称集合
W W1 W2 x y x W1, y W2
为子空间 W1 和 W2 的和。

分析： 设 dimV n, 1, 2, , n 是V的一组基，
线性变换 在这组基下的矩阵为A.
设 0是 的特征值，它的一个特征向量 在基
1,2,
, n 下的坐标记为
x01 ,
x0n
则 ( )在基 1, 2 ,
, n下的坐标为
x01 A ,
x0n
x01
而0
的坐标是
0
x0n
21 11
k 1 k
k k 1
.
例. 在线性空间 P3 中，线性变换 定义如下：
(1 ) (2 )
( 5, 0, (0, 1,
3) 6)
,
(3 ) (5, 1,9)
其中, 12((01,,10,,12)) 3 (3, 1,0)
（1）求 在标准基 1, 2 , 3 下的矩阵. （2）求 在 1,2 ,3 下的矩阵.
② 若 是 的属于特征值 0的特征向量，则 k (k P,k 0) 也是 的属于0 的特征向量.
(k ) k ( ) k(0 ) 0(k )
由此知，特征向量不是被特征值所唯一确定的， 但是特征值却是被特征向量所唯一确定的，即
若 ( ) 且 ( ) ，则 .
2、特征值与特征向量的求法
5 0 5
因而，
AX
0 3
1 6
1 9
,
5 0 5
5 0 5 1 0 3 1
A
0 3
1 6
1 9
X
1
0 3
1 6
1 9
0 2
1 1
1 0
1 7
5 4 27
20 5 18
20
2 24
（2）设 在1,2 ,3下的矩阵为B，则A与B相似，且

1. 数学推理能力，计算能力。

过渡矩阵，变换矩阵，度量矩阵。

2. 线性空间，线性变换。

Euclid 空间即实内积空间，酉空间复内积空间。

映射和函数。

集合，空，子，并，和，延伸为变换，然后用矩阵表示线性变换。

运算变换可以理解为一种约束。

3. 线性空间，在某种运算下某空间是某数域的线性空间。

加法交换律和结合律，乘法结合律和分配律。

1，V是个非空的，它里面的元素叫向量，2，这些向量必须满足一些性质，对加法运算封闭对乘法运算封闭，还要满足八条性质。

线性空间零元素唯一，负元素唯一。

向量线性相关，向量线性无关。

最大无关组的向量的个数，叫线性空间的维数。

4. 基，基分量，坐标，基变换，坐标变换。

各个基分量之间线性无关。

复数域是实数的2维空间。

基1和j 。

基变换，坐标变换，过渡矩阵。

线性子空间，V 1是V 的一个非空子集，并且满足线性空间的条件可加性数乘性。

零空间。

基张成子空间。

子空间的交也是子空间。

子空间都有零元素。

和空间也是子空间。

并空间不一定是子空间。

维数公式说明和空间的维数会有交叉量相关量维数小于空间维数之和，少的部分由交集补上。

核空间即零空间，零度。

秩与零度相加等于N 。

直和无交。

零元素有不同表达方式。

齐次方程的通解，0元素在任何基下的坐标是0向量，但是非0元素在任何基下可能是0向量。

生成子空间，值域，核零空间，特征子空间。

空间越小越可能不成为线性空间，不满足对加法乘法运算封闭。

两个行列式为零的同阶方阵之和不一定行列式为零，两个幂等矩阵之和不一定是幂等矩阵。

空间的并不对元素运算，只对空间相加；空间的和是对元素作加法而形成的新空间。

原本线性无关，扩大数域可能会变成线性相关。

矩阵的值域的基是矩阵的列向量的一个最大无关组。

零空间的基是齐次方程组的一个基础解系。

求空间的基和维数，矩阵的一般形式。

变换的值域的基和维数。

矩阵的。

最大无关组。

求空间的和与交。

没有要求空间的并的吗？和与直和的概念有点象。

过渡矩阵的求法。