第一章线性空间与线性映射1

请双面打印/复印(节约纸张)工程矩阵理论主讲: 张小向第一章 线性空间与线性变换第一节 线性空间的基本概念 第二节 基, 维数与坐标变换 第三节 子空间的和与交 第四节 线性映射 第五节 线性映射的矩阵 第六节 线性映射的值域与核 第七节 几何空间线性变换的例子 第八节 线性空间的同构第一章 线性空间与线性变换§1.1 线性空间的基本概念第一章 线性空间与线性变换§1.1 线性空间的基本概念§1.1 线性空间的基本概念 一. 几个具体的例子 1.n= {(a1, …, an)T | a1, …, an ∈ }.2, 3).1. n. 2. [x]. 3. Mm×n( ). 4. { f(x) | f: → }. 5. = {x∈ | x > 0}. a⊕b = ab, ∀a, b∈ +; k⊗a = ak, ∀a∈ 6. V = {α}.+, +非空集合(特例: 2. [x] ={a0+a1x+…+anxn a11 a21 … am1| a1, …, an ∈ }. .3. Mm×n( ) =a12 … a1n a22 … a2n 诸aij ∈ … …… am2 … amn共 同 点系数域 两种运算 八条规则∀k∈ .α +α = α, kα = α, ∀k∈ .第一章 线性空间与线性变换§1.1 线性空间的基本概念第一章 线性空间与线性变换§1.1 线性空间的基本概念二. 线性空间的定义与性质 定义1.1.1 线性空间V(F). V——非空集合 F——数域 加法交换律 结合律 有零元素 每个元素都有负元素 1α = α k(lα) = (kl)α (k+l)α = kα + lα k(α+β) = kα + kβ定理1.1.1. (1) 零向量唯一; (2) 任一向量的负向量唯一; (3) 0α = θ; (4) kθ = θ; (5) (−1)α = −α, (−k)α = −(kα); (6) kα = θ ⇒ k = 0或α = θ.数乘272365083@1请双面打印/复印(节约纸张)第一章 线性空间与线性变换§1.1 线性空间的基本概念第一章 线性空间与线性变换§1.1 线性空间的基本概念三. 线性组合, 线性表示 1. 设α1, …, αk ∈V(F), x1, …, xk ∈F, 则称 x1α1 + … + xkαk 为α1, …, αk的一个线性组合. 2. 设α1, …, αk, β ∈ V(F). 若∃ x1, …, xk ∈ F s.t. β = x1α1 +…+ xkαk 则称β能由向量组α1, …, αk线性表示. 3. 若β1, …, βl都能由α1, …, αk线性表示,则称向量组β1, …, βl能由α1, …, αk线性表 示.四. 形式矩阵 设α1, …, αk , β1, …, βk ∈V(F). 1. 若α1 = β1, …, αk = βk , 则记(α1, …, αk) = (β1, …, βk). 2. 规定 (α1, …, αk) + (β1, …, βk) = (α1+β1, …, αk+βk). 3. 若a ∈F, 则规定 a(α1, …, αk) = (aα1, …, aαk).第一章 线性空间与线性变换§1.1 线性空间的基本概念第一章 线性空间与线性变换§1.1 线性空间的基本概念4. 若x1, …, xk ∈F, 则记 x1α1 +…+ xkαk = (α1, …, αk) x1 . xk 5. 若A = (A1, …, As) ∈ Mk×s(F), 则规定 (α1, …, αk)A = ((α1, …, αk)A1, …, (α1, …, αk)As). …注: 设α1, …, αk , β1, …, βk ∈V(F). a, b ∈ F, A, B ∈ Mk×s(F), C ∈ Ms×t(F). 记α = (α1, …, αk), β = (β1, …, βk), 则可以验证下列等式成立: ① a(α + β) = aα + aβ, ② (a+b)α = aα + bα, ③ a(bα) = (ab)α. ④ (α + β)A = αA + βA, ⑤ α(A+B) = αA + αB, ⑥ (αA)C = α(AC), ⑦ (aα)A = a(αA) = α(aA).第一章 线性空间与线性变换§1.1 线性空间的基本概念第一章 线性空间与线性变换§1.1 线性空间的基本概念五. 线性空间的子空间 定义1.1.2 子空间, W ≤ V(F) 定理1.1.2. 设∅ ≠ W ⊆ V(F), 则 W ≤ V(F) ⇔ W关于的加法和数乘封闭. 注: V(F)的两个平凡的子空间. {θ}, V(F)六. 由子集合{α1, α2, …, αk}生成的子空间 {α1, α2, …, αk}——生成系, 生成元集i=1 k∑ xiαi —— α1, α2, …, αk的一个线性组合 组合系数 W = { ∑ xiαi | ∀xi∈ F}.k记为L[α1, α2, …, αk]或span{α1, α2, …, αk}.i=1272365083@2请双面打印/复印(节约纸张)第一章 线性空间与线性变换§1.2 基, 维数与坐标变换第一章 线性空间与线性变换§1.2 基, 维数与坐标变换§1.2 基, 维数与坐标变换 一. 向量组的线性相关性 定义1.2.1 线性相关, 线性无关. 定理1.2.1 设(I) α1, α2, …, αs线性无关, 且能由 (II) β1, β2, …, βt线性表示, 则s ≤ t. 推论1 设(I)与(II)都线性无关, 且等价, 则s = t. 推论2 设(I)能由(II)线性表示, 且s > t, 则(I)必线性相关.二. 基、维数 定义1.2.2 基, 维数. 例子. 1. n. 2. [x], [x]n = {a0+a1x+…+an−1xn−1 | …}. 3. Mm×n( ). 4. { f(x) | f: → }. 5. = {x∈ | x > 0}. a⊕b = ab, ∀a, b∈ +; k⊗a = ak, ∀a∈ +, ∀k∈ . 6. V = {θ}.+第一章 线性空间与线性变换§1.2 基, 维数与坐标变换第一章 线性空间与线性变换§1.2 基, 维数与坐标变换定理1.2.2 若dimV = n, 则V中任意 n 个线性无 关的向量都构成V的一组基. 定理1.2.3 若W ≤ V, dimV = n, α1, …, αr 为W 的一组基, 则∃αr+1, …, αn∈ V 使得 α1, …, αr, αr+1, …, αn构成V的一组 基.三. 坐标 定义1.2.3 设α1, …, αn为V的一组基, ξ ∈ V. 若ξ = x1α1 + … + xnαn, 则称有序数组(x1, …, xn)为ξ在基 α1, …, αn下的坐标, (x1, …, xn)T称为ξ的坐标向量.第一章 线性空间与线性变换§1.2 基, 维数与坐标变换第一章 线性空间与线性变换§1.2 基, 维数与坐标变换定理1.2.4 设α1, …, αn为V的一组基, (β1, …, βr) = (α1, …, αn)x11 … x1r x11 … x1r xn1 … xnr … …四. 坐标变换 V的两组基 , P, 可逆X=xn1 … xnr,p11 … p1n (β1, …, βn) = (α1, …, αn) … … … , pn1 … pnn 称P为从基α1, …, αn到β1, …, βn的过渡矩 阵.…则β1, …, βr线性无关 ⇔ 秩(X) = r.272365083@…3请双面打印/复印(节约纸张)第一章 线性空间与线性变换§1.2 基, 维数与坐标变换第一章 线性空间与线性变换§1.3 子空间的和与交四. 坐标变换 V的两组基 P, 可逆§1.3 子空间的和与交 一. 基本概念与结论 定义1.3.1 设V1, V2 ≤ V. V1与V2的和: V1 + V2 = {α1 + α2 | α1∈V1, α2∈V2}. V1与V2的交: V1∩V2 = {α∈V | α∈V1且α∈V2}. 定理1.3.1 V1, V2 ≤ V ⇒ V1 + V2, V1∩V2 ≤ V.p11 … p1n (β1, …, βn) = (α1, …, αn) … … … , pn1 … pnnξ = (α1, …, αn)X = (β1, …, βn)Y,(α1, …, αn)PY ⇒ X = PY, Y = P−1X. ——坐标变换公式 =第一章 线性空间与线性变换§1.3 子空间的和与交第一章 线性空间与线性变换§1.3 子空间的和与交注: ① 子空间V1∩V2与集合V1∩V2是一致的. ② 一般情况下, V1+V2 ≠ V1∪V2. 例如V =3,zOV1 = xOy平面, V2 = yOz平面, V1+V2 = V, V1∩V2 = y轴.定理1.3.2 (维数定理) 设V1, V2是V的两个有限维子空间, 则 dimV1 + dimV2 = dim(V1+V2) + dim(V1∩V2). 证明: (关键步骤) y(1) 取V1∩V2的一组基α1, …, αr ; (2) 把α1, …, αr扩充成V1的一组基 α1, …, αr, βr+1, …, βs ; (3) 把α1, …, αr扩充成V2的一组基 α1, …, αr, γr+1, …, γt ; (4) 验证α1, …, αr, βr+1, …, βs, γr+1, …, γt 线性无关(从而构成V1+V2的一组基).x③ V1+V2 = V1∪V2 的充分必要条件是 V1⊆V2 或 V2⊆V1.第一章 线性空间与线性变换§1.3 子空间的和与交第一章 线性空间与线性变换§1.3 子空间的和与交k1α1+…+krαr+kr+1βr+1+…+ksβs+lr+1γr+1+…+ltγt = 0 ⇒ lr+1γr+1+…+ltγt = −k1α1−…−krαr−kr+1βr+1−…−ksβs ∈ V1∩V2 ⇒ ∃l1, …, lr s.t. lr+1γr+1+…+ltγt = l1α1+…+lrαr i.e. l1α1+…+lrαr −lr+1γr+1−…−ltγt = 0 ⇒ l1 = … = lr = lr+1 = … = lt = 0 ⇒ k1α1+…+krαr+kr+1βr+1+…+ksβs = 0 ⇒ k1 = … = kr = kr+1 = … = ks = 0dimV1 + dimV2 = dim(V1+V2) + dim(V1∩V2) 例1(1) V = 3, V1 = xOy平面, V2 = yOz平面, V1+V2 = V, V1∩V2 = y轴, dimV1 = dimV2 = 2, dim(V1+V2) = 3, dim(V1∩V2) = 1. zOyx272365083@4请双面打印/复印(节约纸张)第一章 线性空间与线性变换§1.3 子空间的和与交第一章 线性空间与线性变换§1.3 子空间的和与交例1(2) V = V2 =2×2,V1 =x y z tx = y ≤ V,例1(3) V = V2 =2×2,V1 =x −x y −yx, y ∈ ≤ V,≤ V,x y z tx + y + z = 0 ≤ V,x y z tx y x yx, y ∈0 0V1+V2 = ______. V1∩V2 =x=y且x+y+z=0 ,则 0 0 , 构成V1的一组基, 1 −11 0 0 1 , 构成V2的一组基, 1 0 0 11 −1dimV1 = dimV2 = 3, dim(V1∩V2) = 2, 故dim(V1+V2) = 3 + 3 − 2 = 4 = dimV, 可见V1+V2 = V.故dimV1 = dimV2 = 2.x −x y −y ∈V2 ⇔ x = y. x −x 故V1∩V2 = x −x x ∈.第一章 线性空间与线性变换§1.3 子空间的和与交第一章 线性空间与线性变换§1.3 子空间的和与交可见1 −1 构成V1∩V2的一组基, 1 −1dim(V1∩V2) = 1. 故dim(V1+V2) = dimV1 + dimV2 − dim(V1∩V2) = 2 + 2 − 1 = 3. 事实上,1 0 0 1 1 −1 0 0 , , 1 0 , 0 1 线性相关, 0 0 1 −1二. 子空间的直和 定义1.3.2 设V1, V2 ≤ V. 若对于∀α∈V1+V2, ∃| α1∈V1, α2∈V2, s.t. α = α1 + α2, 则称V1 + V2为V1与V2的直和, 记为V1⊕V2.其中任意3个都线性无关, 因而构成V1+V2的 一组基.α = α1 + α2, α1∈V1, α2∈V2 ⇒ α = β1 + β2, β1∈V1, β2∈V2 α1 = β1, α2 = β2.第一章 线性空间与线性变换§1.3 子空间的和与交第一章 线性空间与线性变换§1.3 子空间的和与交定理1.3.3 设V1, V2 ≤ V, 则下列条件等价: (1) V1 + V2是直和; (2) V1 + V2中0分解式唯一, 即 0 = α1+α2 (αi∈Vi) ⇒ α1 = α2 = 0; (3) V1∩V2 = {0}; 当dimV1, dimV2 < ∞时, 上述条件还等价于 (4) dim(V1+V2) = dimV1 + dimV2.定理1.3.4 设V1 ≤ V, dimV = n, dimV1 = r, 则存在V的n−r维子空间V2使得 V = V1⊕V2. 定义1.3.3 设V1, …, Vs ≤ V, 则V1, …, Vs的和 V1 + … + Vs = {α1 +…+ αs | αi∈Vi}. 若对于∀α ∈ V1 + … + Vs , ∃| αi∈Vi (i = 1, …, s) s.t. α = α1 + … + αs , 则称V1 +…+ Vs为V1, …, Vs的直和, 记为V1⊕…⊕Vs .272365083@5请双面打印/复印(节约纸张)第一章 线性空间与线性变换§1.3 子空间的和与交第一章 线性空间与线性变换§1.3 子空间的和与交定理1.3.5 设Vi ≤ V (i = 1, …, s), 则TFAE: (1) V1 + … + Vs是直和; (2) V1 + … + Vs中0分解式唯一; (3) Vk∩Σi≠kVi = {0}, k = 1, …, s; 当dimVi < ∞ (i = 1, …, s)时, 上述条件还等价于 (4) Σ dimVi = dim( Σ Vi).i=1 i=1 s s例2. 设A2 = A ∈ Fn×n, V1 = {X ∈ Fn | AX = 0}, V2 = {X∈Fn | AX = X}. 证明: Fn = V1⊕V2. 证明: (1) 容易验证V1, V2 ≤ Fn. (2) ∀α∈Fn, 有α = (α − Aα) + Aα, A(α − Aα) = Aα − A2α = 0, A(Aα) = A2α = Aα. 可见α ∈ V1+V2. 这就证明了Fn ⊆ V1+V2. 又因为V1+V2 ⊆ Fn, 所以Fn = V1+V2.第一章 线性空间与线性变换§1.3 子空间的和与交第一章 线性空间与线性变换§1.4 线性映射例2. 设A2 = A ∈ Fn×n, V1 = {X ∈ Fn | AX = 0}, V2 = {X∈Fn | AX = X}. 证明: Fn = V1⊕V2. 证明: (1) 容易验证V1, V2 ≤ (2) Fn = V1+V2. (3) 若α∈V1∩V2, 则α = Aα = 0. Fn. 可见V1∩V2 ⊆ {0}. 又因为{0} ⊆ V1∩V2, 所以V1∩V2 = {0}. 综上所述, Fn = V1⊕V2.§1.4 线性映射 一. 映射 定义1.4.1 像 原像 • • • 映射 • • • • • • 满射 • •第一章 线性空间与线性变换§1.4 线性映射第一章 线性空间与线性变换§1.4 线性映射• • 单射 注:• • •• • • 双射• • •f:→; a → |a| ;a→ √a2(∀a∈ ) (∀a∈ )g: →f = g —— ∀a∈ , f(a) = g(a) 一般地, 若映射f, g: A → B满足 f(a) = g(a) (∀a∈A) 则称映射f与g相等, 记为f = g.• • •• • •• •• • •不是映射不是映射272365083@6请双面打印/复印(节约纸张)第一章 线性空间与线性变换§1.4 线性映射第一章 线性空间与线性变换§1.4 线性映射• • • f • • •• • •• • • g • • • gf• • •注① 映射的复合运算满足结合律: f: A → B, g: B → C, h: C → D (hg)f = h(gf). A B f b• g C c• h D d•• • •a•[(hg)f](a) = (hg)[f(a)] = (hg)(b) = h[g(b)] = h{g[f(a)]} = h[(gf)(a)] = [h(gf)](a)f: A → B与g: B → C的乘积 gf: A → C定义为 ( gf )(a) = g[ f(a)] (∀a∈A).第一章 线性空间与线性变换§1.4 线性映射第一章 线性空间与线性变换§1.4 线性映射注② 1A: A → A, f: A → B, 1B: B → B f⋅1A = f, A a• 1A A a• f 1B⋅f = f. B b• 1B B b• • • • 双射f • • • • • • • • •f的逆映射( f⋅1A)(a) = f [1A(a)] = f(a) (1B⋅f )(a) = 1B[ f(a)] = f(a)若映射f: A → B, g: B → A满足 gf = 1A, fg = 1B, 则称g为f 的逆映射, 记为g = f −1. 注① g = f −1 ⇒ f = g−1. 注② f: A → B有逆映射⇔ f: A → B为双射.第一章 线性空间与线性变换§1.4 线性映射第一章 线性空间与线性变换§1.4 线性映射注② f: A → B有逆映射⇔ f: A → B为双射.证明: (⇒) 设f: A → B有逆映射g: B → A, 则 (1) ∀x, y ∈ A, 由 f(x) = f(y)可得 x = 1A(x) = gf(x) = gf(y) = 1A(y) = y. 可见 f: A → B为单射. (2) ∀b ∈ B, ∃a = g(b) ∈ A s.t. f(a) = f[g(b)] = fg(b) = 1B(b) = b. 可见 f: A → B为满射. 所以 f: A → B为双射.注② f: A → B有逆映射⇔ f: A → B为双射.证明: (⇐) 设 f: A → B为双射, 则 ∀b ∈ B, ∃| a ∈ A s.t. f(a) = b. 令g(b) = a, 可得 映射g: B → A. 而且 (1) ∀b ∈ B, 有 fg(b) = f[g(b)] = f(a) = b. 这就是说, fg = 1B. (2) ∀a ∈ A, 令b = f(a) ∈ B, 按g的定义, gf(a) = g[ f(a)] = g(b) = a. 这就是说, gf = 1A, 可见 f: A → B有逆映射g: B → A.272365083@7请双面打印/复印(节约纸张)第一章 线性空间与线性变换§1.4 线性映射第一章 线性空间与线性变换§1.4 线性映射例1. 设A为数域F上的n阶方阵, Fn = {(a1, …, an)T | a1, …, an∈F}. 映射f: Fn→ Fn定义为 f(x) = Ax. 证明下列条件等价: (1) f: Fn→ Fn为单射; (2) f: Fn→ Fn为满射; (3) A可逆.证明: (1)⇒(3) 假设A不可逆, 则|A| = 0, 故r(A) < n, 因而Ax = 0有非零解, 即存在x ≠ 0使得Ax = 0, 于是f(x) = Ax = 0 = A0 = f(0). 这与“f: F n→ F n为单射”矛盾. 所以A可逆. (3)⇒(1) 对于任意的x, y ∈ F n, 若f(x) = f(y), 即Ax = Ay, 因为A可逆, 所以x = A−1Ax = A−1Ay = y. 可见 f: F n→ F n为单射.第一章 线性空间与线性变换§1.4 线性映射第一章 线性空间与线性变换§1.4 线性映射证明: (2)⇒(3) 因为f: F n→ F n是满射, 所以存在n阶方阵B = (ξ1, …, ξn)使得 AB = (Aξ1, …, Aξn) = ( f(ξ1), ..., f(ξn)) = (e1, …, en) = I. 从而|A|×|B| = |AB| = |I| = 1, 故|A| ≠ 0, 因而A可逆. (3)⇒(2) 对于任意的y ∈ F n, 令x = A−1y, 则x ∈ F n, 而且f(x) = Ax = AA−1y = y. 可见f: F n→ F n为满射.二. 线性映射与线性变换 定义1.4.2 设U, V为数域F上的线性空间. 若映射 f: V → U保持加法和数乘, 即 f(α+β) = f(α) + f(β), f(kα) = kf(α), ∀α, β ∈ V, k ∈ F, 则称 f 为线性映射. 特别地, 当U = V时, 称线性映射 f: V → V为V上的线性变换. 注① f(kα+lβ) = kf(α) + lf(β), ∀α, β ∈ V, k ∈ F.第一章 线性空间与线性变换§1.4 线性映射第一章 线性空间与线性变换§1.4 线性映射注② Hom(V, U) = { f: V → U | f为线性映射}. 注③ 若 f ∈ Hom(V, U), 则 f(0V) = 0U; f(−α) = −f(α); f(x1α1+…+xsαs) = x1 f(α1) +…+ xs f(αs); α1, …, αs线性相关 ⇒ f(α1), …, f(αs)线性相关. 注④ 若 f: V → U 满足 f(α) = 0, ∀α∈V, 则 f ∈ Hom(V, U), 称为零映射, 记为0.注⑤ 若 f: V → V 满足 f(α) = α, ∀α∈V, 则 f ∈ Hom(V, V), 称为V上的恒等变换, 记为 I 或 IdV . 注⑥ 对于 f ∈ Hom(V, U), 可以把 ( f(α1), …, f(αs))记为f(α1, …, αs). 相应地, 可以把 f(x1α1+…+xsαs) = x1 f(α1) +…+ xs f(αs) 改写成 ( α1, ), …, f(α f((α1, …, αs)X) = f(f(α1…, αs)X. s))X272365083@8请双面打印/复印(节约纸张)第一章 线性空间与线性变换§1.4 线性映射第一章 线性空间与线性变换§1.4 线性映射三. 线性映射的运算 定义1.4.3 (1) 线性运算 设 f, g ∈ Hom(V, U), k ∈ F. 定义 ( f + g)(α) = f(α) + g(α), (kf )(α) = kf(α), ∀α∈V. (2) 复合运算 设 f∈Hom(V, U), g∈Hom(U, W). 定义 (gf )(α) = g[ f(α)], ∀α∈V.注: 对于V上的线性变换 f 及正整数s, 定义 f 0 = I, f 1 = f, f 2 = ff, …, f s = ff s−1. 定理1.4.1(1) 设 f, g ∈ Hom(V, U), k ∈ F, 则 f + g, kf ∈ Hom(V, U). (2) 设 f∈Hom(V, U), g∈Hom(U, W), 则 gf∈ Hom(V, W). 证明: (2) (gf )(kα+lβ) = g[ f(kα+lβ)] = g[kf(α) + lf(β)] = kg[ f(α)] + lg[ f(β)] = k(gf )(α) + l(gf )(β).第一章 线性空间与线性变换§1.4 线性映射第一章 线性空间与线性变换§1.5 线性映射的矩阵定理1.4.2 设 f ∈ Hom(V, U). 若 f 可逆, 则 f −1 ∈ Hom(U, V). 证明: ∀ξ, η ∈ U, k, l ∈ F, 令α = f −1(ξ ), β = f −1(η)∈ V, 则 f [ f −1(kξ + lη)] = kξ + lη = kf(α) + lf(β) = f(kα + lβ), 故 f −1(kξ + lη) = kα + lβ = kf −1(ξ ) + lf −1(η).§1.5 线性映射的矩阵 一. 线性映射在给定的基偶下的矩阵 设α1, …, αn为V的一组基, β1, …, βs为U的一组基, f ∈ Hom(V, U), 则存在A = (aij)s×n使得 ( f(α1), …, f(αn)) = (β1, …, βs)a11 … a1n as1 … asn,简记为 f(α1, …, αn) = (β1, …, βs)A. 称为 f 在基偶{α1, …, αn}与{β1, …, βs}下 的矩阵表示. A —— f 在基偶…下的矩阵.……第一章 线性空间与线性变换§1.5 线性映射的矩阵第一章 线性空间与线性变换§1.5 线性映射的矩阵特别地, 设α1, …, αn为V的一组基, f ∈ Hom(V, V), 则存在A = (aij)n×n使得 ( f(α1), …, f(αn)) = (α1, …, αn)a11 … a1n an1 … ann注① 零映射在任意基偶下的矩阵都是O; 恒等变换在任一组基下的矩阵都是I. 注② 设α1, …, αn为V的一组基, ,…简记为 f(α1, …, αn) = (α1, …, αn)A. 称为 f 在基{α1, …, αn}下的矩阵表示. A —— f 在基{α1, …, αn}下的矩阵.…β1, …, βs为U的一组基, f(α1, …, αn) = (β1, …, βs)A. 若ξ = x1α1 + … + xnαn = (α1, …, αn)X, 则 f(ξ) = f(x1α1 + … + xnαn) = x1 f(α1) + … + xn f(αn) = ( f(α1), …, f(αn))X = f(α1, …, αn)X = (β1, …, βs)AX.272365083@9请双面打印/复印(节约纸张)第一章 线性空间与线性变换§1.5 线性映射的矩阵第一章 线性空间与线性变换§1.5 线性映射的矩阵例2. 在 [x]n中, D[p(x)] = p′(x), D(1, x, x2, …, xn−2, xn−1)0 0 0 . 0 … 0 1 0 … 0 0 0 2 … 0 … 2, …, xn−2, xn−1) 0 0 0 = (1, x, x n−2 0 0 0 … 0 0 0 0 … 0 … … …例3. D: [x]n → D(1, x, x2,[x]n−1, D[p(x)] = p′(x), …, xn−2, xn−1)0 0 0 . …0 1 0 … 0 0 0 2 … 0 = (1, x, x2, …, xn−2) 0 0 0 … … … ……n−1…0 0 0 … 0 n−1n−2例4. 设A ∈F s×n, f: F n → F s, f(X) = AX. f(e1, …, en) = (Ae1, …, Aen) = AIn = A = IsA = (ε1, …, εs)A.第一章 线性空间与线性变换§1.5 线性映射的矩阵第一章 线性空间与线性变换§1.5 线性映射的矩阵二. 线性映射在两对基偶下的矩阵间的联系 定理1.5.1 设 f ∈ Hom(V, U), 其中 V的一组基α1, …, αn到另一组基 β1, …, βn的过渡矩阵为P; U的一组基ξ1, …, ξs到另一组基 η1, …, ηs的过渡矩阵为Q. 若 f(α1, …, αn) = (ξ1, …, ξs)A, f(β1, …, βn) = (η1, …, ηs)B, 则B = Q−1AP.证明: (β1, …, βn) = (α1, …, αn)P (η1, …, ηs) = (ξ1, …, ξs)Q f(α1, …, αn) = (ξ1, …, ξs)A f(β1, …, βn) = (η1, …, ηs)B⇒(ξ1, …, ξs)AP = f(α1, …, αn)P = f((α1, …, αn)P) = f(β1, …, βn) = (η1, …, ηs)B = (ξ1, …, ξs)QB ⇒ AP = QB ⇒ B = Q−1AP.第一章 线性空间与线性变换§1.5 线性映射的矩阵第一章 线性空间与线性变换§1.5 线性映射的矩阵定理1.5.2 设 f ∈ Hom(V, V), 其中 V的一组基α1, …, αn到另一组基 β1, …, βn的过渡矩阵为P. 若 f(α1, …, αn) = (α1, …, αn)A, f(β1, …, βn) = (β1, …, βn)B, 则B = P−1AP.三. 线性变换运算的矩阵 设V的一组基为α1, …, αn , 线性变换 f: V→V在这组基下的矩阵记为 [ f ]. 定理1.5.3 设 f, g ∈ Hom(V, V), k ∈ F, 则 (1) [ f + g] = [ f ] + [g]. (2) [kf ] = k[ f ]. (3) [ fg] = [ f ][g]. (4) f 可逆⇒[ f −1] = [ f ]−1.272365083@10请双面打印/复印(节约纸张)第一章 线性空间与线性变换§1.5 线性映射的矩阵第一章 线性空间与线性变换§1.5 线性映射的矩阵证明: (1)( f + g)(α1, …, αn) = (( f + g)(α1), …, ( f + g)(αn)) = ( f(α1)+g(α1), …, f(αn)+g(αn)) = ( f(α1), …, f(αn)) + (g(α1), …, g(αn)) = f(α1, …, αn) + g(α1, …, αn) = (α1, …, αn)[ f ] + (α1, …, αn)[g] = (α1, …, αn){[ f ]+[g]}.证明: (2)(kf )(α1, …, αn) = ((kf )(α1), …, (kf )(αn)) = (kf(α1), …, kf(αn)) = k( f(α1), …, f(αn)) = kf(α1, …, αn) = k{(α1, …, αn)[ f ]} = (α1, …, αn){k[ f ]}.第一章 线性空间与线性变换§1.5 线性映射的矩阵第一章 线性空间与线性变换§1.5 线性映射的矩阵证明: (3)( fg)(α1, …, αn) = (( fg)(α1), …, ( fg)(αn)) = ( f(g(α1)), …, f(g(αn))) = f(g(α1), …, g(αn)) = f(g(α1, …, αn)) = f((α1, …, αn)[g]) = f(α1, …, αn)[g] = ((α1, …, αn)[ f ])[g] = (α1, …, αn)([ f ][g]).证明: (4) 设[ f −1] = B, 即 f −1(α1, …, αn) = (α1, …, αn)B, 则(α1, …, αn) = ( ff −1)(α1, …, αn) = f( f −1(α1, …, αn)) = f((α1, …, αn)B) = f(α1, …, αn)B = ((α1, …, αn)[ f ])B = (α1, …, αn)([ f ]B), 由此可得[ f ]B = I, 因而[ f −1] = B = [ f ]−1.第一章 线性空间与线性变换§1.5 线性映射的矩阵第一章 线性空间与线性变换§1.5 线性映射的矩阵例5. 设dimV = n, f ∈ Hom(V, V), f 2 = I. 证明: [ f ]相似于 Ir O (0 ≤ r ≤ n). O −In−r证明: 令V1 = {α∈V | f(α) = α}, V2 = {α∈V | f(α) = −α}, 则V1, V2 ≤ V 且V1∩V2 = {0}. 1 1 ∀α∈V, 令β = −(α +f(α)), γ = −(α −f(α)), 2 2 则由f 2 = I 可得 f(β) = β, f(γ) = γ, 故β ∈V1, γ ∈V2, α = β + γ ∈V1 + V2. 可见V1 + V2 ⊆ V ⊆ V1 + V2.因而V = V1 + V2 = V1⊕V2 . 设V1的一组基为α1, …, αr , V2的一组基为βr+1, …, βn , f 在V的基α1, …, αr , βr+1, …, βn下的矩阵为 Ir O . O −In−r 由定理1.5.2可知, [ f ]相似于 Ir O . O −In−r272365083@11请双面打印/复印(节约纸张)第一章 线性空间与线性变换§1.5 线性映射的矩阵第一章 线性空间与线性变换§1.5 线性映射的矩阵四. 不变子空间 定义1.5.1 设 f ∈ Hom(V, V), W ≤ V. 若∀α∈W, 有 f(α)∈W, 则称W为V的关于 f 的不变子空间, 简称为 f 的不变子空间. 此时, 定义 f |W: W → W; α → f(α), 则 f |W ∈ Hom(W, W), 称为f 在W上 的限制.例如: ① 例5中, f ∈ Hom(V, V), f 2 = I, 则 V1 = {α∈V | f(α) = α}, V2 = {α∈V | f(α) = −α} 都是 f 的不变子空间. ② ∀ f ∈ Hom(V, V), {0}和V都是 f 的不变子空间.第一章 线性空间与线性变换§1.5 线性映射的矩阵第一章 线性空间与线性变换§1.6 线性映射的值域与核注: 设dimV = n, f ∈ Hom(V, V), V = U⊕W, 其中U, W都是 f 的不变子空间, U的一组基为α1, …, αr , W的一组基为βr+1, …, βn , 则 f |U(βi) = 0, i = r+1, …, n, f |W(αi) = 0, i = 1, …, r. 设 f |U在U的基α1, …, αr下的矩阵为A, f |W在W的基βr+1, …, βn下的矩阵为B, 则 f 在V的基α1, …, αr , βr+1, …, βn下的矩 A O 阵为 O B .§1.6 线性映射的值域与核 一. 定义 设 f ∈ Hom(V, U), 则称 f(V) = { f(α) |α∈V}为 f 的值域, 记为R( f ); 称K( f ) = {α∈V | f(α) = 0}为 f 的核. VK( f )U f → f(V) 0U第一章 线性空间与线性变换§1.6 线性映射的值域与核第一章 线性空间与线性变换§1.6 线性映射的值域与核二. 性质 定理1.6.1 设 f ∈ Hom(V, U), 则 (1) R( f ) ≤ U. (2) K( f ) ≤ V. (3) 当U = V时, R( f )和K( f )都是 f 的不变子空间. VK( f )U f → f(V) 0U例1. 设A ∈ Fs×n, f: Fn→ Fs定义为 f(X) = AX. 则R( f ) = {AX | X ∈ Fn} ≤ Fs, 这是A的列空间, 也称为A的值域, 记为R(A); K( f ) = {X ∈ Fn | AX = 0}, 这是AX = 0的解空间, 也称为A的核, 记为K(A).272365083@12请双面打印/复印(节约纸张)第一章 线性空间与线性变换§1.6 线性映射的值域与核第一章 线性空间与线性变换§1.6 线性映射的值域与核定理1.6.2 设 f ∈ Hom(V, U), dimV < ∞, 则 dimR( f ) + dimK( f ) = dimV. VK( f )U f → f(V) 0U ...... ...证明: 设α1, …, αk为K( f )的一组基, α1, …, αk, αk+1, …, αn为V的一组基, 则R( f ) = span{ f(αi) | i = 1, …, n} = span{ f(αi) | i = k+1, …, n}. 若ck+1 f(αk+1) + … + cn f(αn) = 0, 则 f(ck+1αk+1 + … + cnαn) = 0, 即ck+1αk+1 + … + cnαn ∈ K( f ), 故存在c1, …, ck使得 ck+1αk+1 + … + cnαn = c1α1 + … + ckαk , 即c1α1 + … + ckαk − ck+1αk+1 − … − cnαn = 0, 由此可得ck+1 = … = cn = 0. 可见 f(αk+1), …, f(αn) 线性无关, 故dimR( f ) + dimK( f ) = dimV.第一章 线性空间与线性变换§1.6 线性映射的值域与核第一章 线性空间与线性变换§1.6 线性映射的值域与核例2. 设A = 1 1 , f(X) = AX, ∀X∈ 2×2. (1) 分别求R( f )及K( f )的一组基, (2) R( f ) + K( f )是否为直和. 解: 取 2×2的一组基E11, E12, E21, E22. 则R( f ) = span{ f(E11), f(E12), f(E21), f(E22)}, 其中 f(E11) = f(E21) = E11 + E21, f(E12) = f(E22) = E12 + E22, 且E11 + E21, E12 + E22线性无关, 因此, E11 + E21, E12 + E22构成R( f )的一组 基.1 1设X = x1 x2 , 则 3 4 AX ⇔ x1 + x3 = x2 + x4 = 0 ⇔ X = x1(E11 − E21) + x2(E12 − E22). 又因为E11 − E21, E12 − E22线性无关, 可见E11 − E21, E12 − E22构成K( f )的一组基. (E11 + E21, E12 + E22, E11 − E21, E12 − E22)1 0 1 0x x= (E11, E12, E21, E22) 0 1 0 1 ,1 0 −1 0 0 1 0 −1第一章 线性空间与线性变换§1.6 线性映射的值域与核第一章 线性空间与线性变换§1.6 线性映射的值域与核(E11 + E21, E12 + E22, E11 − E21, E12 − E22)1 = (E11, E12, E21, E22) 0 1 0 1 0 1 0 0 其中r 0 1 −1 1 = 4. 1 0 0 0 1 0 −1 0 1 0 1 1 0 −1 0 0 1 , 0 −1故E11 + E21, E12 + E22, E11 − E21, E12 − E22线性 无关, 因而R( f ) + K( f )为直和.事实上, 若B ∈ R( f ) ∩ K( f ), 则存在X∈ 2×2 使得B = AX, 而且AB = O. 于是可得 2AX = A2X = A(AX) = AB = O, 故B = AX = O. 可见R( f ) ∩ K( f ) = {O}, 因此R( f ) + K( f )为直和.272365083@13请双面打印/复印(节约纸张)第一章 线性空间与线性变换§1.6 线性映射的值域与核第一章 线性空间与线性变换§1.6 线性映射的值域与核例3. 设A = 0 0 , f(X) = AX, ∀X∈ 2×2. (1) 分别求R( f )及K( f )的一组基, (2) R( f ) + K( f )是否为直和. 解: 取 2×2的一组基E11, E12, E21, E22. 则R( f ) = span{ f(E11), f(E12), f(E21), f(E22)}, 其中 f(E11) = f(E12) = O, f(E21) = E11, f(E22) = E12, 且 E11, E12 线性无关, 因此, E11, E12构成R( f )的一组基.0 1设X = x1 x2 , 则 3 4 AX ⇔ x3 = x4 = 0 ⇔ X = x1E11 + x2E12. 又因为E11, E12 线性无关, 可见E11, E12构成K( f )的一组基. 因为R( f ) = span{E11, E12} = K( f ), 因此R( f ) + K( f )不是直和.x x第一章 线性空间与线性变换§1.7 几何空间线性变换的例子第一章 线性空间与线性变换§1.7 几何空间线性变换的例子§1.7 几何空间线性变换的例子 一. 辐射相似变换 f:3二. 平行于某矢量的投影变换 对于任意的OP ∈P e23,e3→3OP → kOP (k > 0).设OP = x1e1 + x2e2 + x3e3, 令 f(OP) = x1e1 + x2e2, 则 f ∈ Hom(3, 3),e3 P O e1 1 0 0 0 0 0 e2O e1f在3的任意一组基下的矩阵都是kI.OP − f(OP) // e3,→ 0<k<1 压缩→ k>1 放大f 在e1, e2, e3下的矩阵为 0 1 0 , R( f ) = span{e1, e2}, K( f ) = span{e3}.第一章 线性空间与线性变换§1.7 几何空间线性变换的例子第一章 线性空间与线性变换§1.7 几何空间线性变换的例子三. 平行于某一方向的压缩(或延伸) 对于任意的OP ∈3,四. 平行于某一方向的推移 对于任意的OP ∈P e23,e3e3P e2设OP = x1e1 + x2e2 + x3e3,f(OP) = x1e1 + x2e2 + ax3e3, O (a > 0).e13, 3),设OP = x1e1 + x2e2 + x3e3,O e1f(OP) = (x1+ax2)e1 + x2e2 + x3e3, (a ≠ 0). 则 f ∈ Hom(3, 3),则 f ∈ Hom(OP − f(OP) // e3,1 0 0 0 0 a→OP − f(OP) // e1, f 在e1, e2, e3下的矩阵为 0 1 0 .0 0 1 1 a 0f 在e1, e2, e3下的矩阵为 0 1 0 .272365083@14请双面打印/复印(节约纸张)第一章 线性空间与线性变换§1.7 几何空间线性变换的例子第一章 线性空间与线性变换§1.7 几何空间线性变换的例子五. 旋转变换 见下一章. 六. 镜像变换 见下一章.平面上的例子:0 • 7 • 5 7 0 • 7 • 5 6• 0 5 x 7 0 y5 0 1 0 −0.2 1 0 5 x 7 0 y • 5 −1第一章 线性空间与线性变换§1.7 几何空间线性变换的例子第一章 线性空间与线性变换§1.7 几何空间线性变换的例子平面上的例子:平面上的例子:β αAβ = 0.5β2 0 A = 0 0.5β αcosφ sinφ B = −sinφ cosφ π/6Aα = 2 α第一章 线性空间与线性变换§1.7 几何空间线性变换的例子第一章 线性空间与线性变换§1.8 线性空间的同构平面上的例子: Cβ = β§1.8 线性空间的同构 一. 定义 设V, U都是数域F上的线性空间. 若∃双射σ∈ Hom(V, U), 则称V与U同构, 记为V ≅ U. 并且称σ为V到U的一个同构映射.βCα = − αα0 C = −1 1 0272365083@15请双面打印/复印(节约纸张)第一章 线性空间与线性变换§1.8 线性空间的同构第一章 线性空间与线性变换§1.8 线性空间的同构→二. 性质 定理1.8.1 设σ为线性空间V到U的同构映射, 则中向量α1, …, αk线性无关 ⇔ σ(α1), …, σ(αk)线性无关. 证明: (⇒) 设α1, …, αk线性无关, 则 c1σ(α1) + … + ckσ(αk) = 0 ⇒ σ(c1α1 + … + ckαk) = 0 = σ(0) ⇒ c1α1 + … + ckαk = 0 ⇒ c1 = … = ck = 0. 可见σ(α1), …, σ(αk)线性无关.→→第一章 线性空间与线性变换§1.8 线性空间的同构第一章 线性空间与线性变换§1.8 线性空间的同构二. 性质 定理1.8.1 设σ为线性空间V到U的同构映射, 则中向量α1, …, αk线性无关 ⇔ σ(α1), …, σ(αk)线性无关. 证明: (⇐) 设σ(α1), …, σ(αk)线性无关, 则 c1α1 + … + ckαk = 0 ⇒ c1σ(α1) + … + ckσ(αk) = σ(c1α1 + … + ckαk) = σ(0) = 0 ⇒ c1 = … = ck = 0. 可见α1, …, αk线性无关.三. 判定 定理1.8.2 设V与U是数域F上的有限维线性空 间, 则V ≅ U ⇔ dimV = dimU. 证明: (⇒) 设σ为V到U的一个同构映射, 则R(σ) = U, K(σ) = {0}. 故dimV = dimR(σ) + dimK(σ) = dimU.第一章 线性空间与线性变换§1.8 线性空间的同构第一章 线性空间与线性变换§1.8 线性空间的同构(⇐) 设dimV = dimU = n, α1, …, αn为V的一组基, ξ1, …, ξn为U的一组基. 对于任意的α = a1α1 + … + anαn ∈ V, 令σ(α) = a1ξ1 + … + anξn, 则 (1) σ : V → U为单射. 事实上, … (2) σ : V → U为单射. 事实上, … (3) σ ∈ Hom(V, U). 事实上, … 故V ≅ U.(1) σ : V → U为单射. 事实上, 若α = a1α1 +…+ anαn, β = b1α1 +…+ bnαn, 且σ(α) = σ(β), 则 a1ξ1 + … + anξn = b1ξ1 + … + bnξn, 故(a1−b1)ξ1 + … + (an−bn)ξn = 0, 由此可得 a1−b1 = … = an−bn = 0, 即(a1, …, an) = (b1, …, bn), 因而α = a1α1 +…+ anαn = b1α1 +…+ bnαn = β.272365083@16请双面打印/复印(节约纸张)第一章 线性空间与线性变换§1.8 线性空间的同构第一章 线性空间与线性变换§1.8 线性空间的同构(2) σ : V → U为满射. 事实上, ∀ξ∈U, 设ξ = a1ξ1 + … + anξn, 于是令α = a1α1 +…+ anαn, 则α ∈ V 且σ(α) = a1ξ1 + … + anξn = ξ.(3) σ ∈ Hom(V, U). 事实上, ∀α = a1α1 +…+ anαn, β = b1α1 +…+ bnαn, k, l ∈ F, 有 σ(kα + lβ) = σ((ka1+ lb1)α1 +…+ (kan+ lbn)αn) = (ka1+ lb1)ξ1 + … + (kan+ lbn)ξn = k(a1ξ1 +…+ anξn) + l(b1ξ1 +…+ bnξn) = kσ(α) + lσ(β).第一章 线性空间与线性变换§1.8 线性空间的同构第一章 线性空间与线性变换§1.8 线性空间的同构四. 例子 1. [x]n = {a0+…+an−1xn−1 | a0, …, an−1x∈ }. dim [x]n = n = dim 事实上, 容易验证n,2. dimM2×3( ) = 6, 故M2×3( ) ≅ 事实上, 容易验证6.故 [x]n ≅n;n.σ : M2×3( ) →a11 a12 a13 a21 a22 a236;σ : [x]n →a0+…+an−1xn−1 → 为同构映射.a0 an−1 …a11 a12 a → a13 21 a22 a23为同构映射.第一章 线性空间与线性变换§1.8 线性空间的同构3.= {x∈ | x > 0}. a⊕b = ab, ∀a, b∈ +; k⊗a = ak, ∀a∈ +, ∀k∈ . dim + = 1, 故 + ≅ . 事实上, 容易验证 → ; x → logax++为同构映射.272365083@17。

线性空间上的线性映射理论线性映射是线性空间中的重要概念，它在各种数学和应用领域中都有着广泛的应用。

本文将介绍线性空间上的线性映射的定义、性质和相关定理，以及它在代数、几何和物理等领域中的应用。

1. 线性空间的定义线性空间是指一个集合，其中包含了一个数域（通常是实数域或复数域）的所有元素，同时满足一些特定的条件。

这些条件包括封闭性、加法运算的结合律和交换律、标量乘法的结合律和分配律等。

2. 线性映射的定义线性映射是指一个线性空间到另一个线性空间的映射，它保持向量的线性组合和标量乘法。

具体来说，设V和W是两个线性空间，f是从V到W的映射。

如果对于V中的任意两个向量u和v，以及任意的标量a，满足以下条件：- f(u + v) = f(u) + f(v) （保持向量的线性组合）- f(av) = af(v) （保持标量乘法）那么称f是一个线性映射。

3. 线性映射的性质线性映射有许多重要性质，其中一些是：- 零映射是一个线性映射，它将线性空间V中所有向量映射成零向量。

- 线性映射保持零向量：f(0) = 0。

- 恒等映射是一个线性映射，它将线性空间V中的任何向量映射为其自身。

- 线性映射的像是一个线性空间，它包含在目标空间W中。

- 线性映射的核是一个线性空间，它包含在起始空间V中。

- 线性映射在向量加法和标量乘法下保持封闭性。

4. 线性映射的相关定理线性映射具有许多重要的定理，其中一些是：- 利用矩阵表示：对于线性映射f，可以通过一个矩阵A来表示，称为线性映射的矩阵表示。

这个矩阵可以用来计算线性映射的像和核，以及进行线性变换等操作。

- 像空间和核空间的维数定理：对于线性映射f，其像空间和核空间的维数之和等于起始空间V的维数。

- 一一映射和满射：若线性映射f是一一映射，则其核为空空间，如果f是满射，则其像为目标空间。

- Rn和Rm之间的线性映射：对于线性映射f从Rn到Rm，可以通过线性变换矩阵来表示，这个矩阵可以用来计算矩阵的秩和零空间等。

第一章 线性空间与线性映射 习题一 (43-45)1、（1）对于V y x ∈∀,，x y x y x y x y y x y x y x y x +=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+112211112211；（2）对于V z y x ∈∀,,，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++++++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=++))()(1111112221111112112211121112211z y z x y x z y x z y x y x z z y x y x z y x z z y x y x y x z y x ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++++++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=++))()(1111112221111111122211111221121z y z x y x z y x z y x z y x z y z y x z y x z y z y z y x x z y x ，即)()(z y x z y x ++=++。

（3）对于⎪⎪⎭⎫⎝⎛=00θ和V x ∈∀，显然x x x x x x x =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=+21121000θ； （4）对于V x ∈∀，令⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=2211x x x y ， 则θ=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+0021221211221121x x x x x x x x x x x y x ，即x y -=。

（5）对于R ∈∀μλ,和V x ∈∀，有x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x )()()]()[(21)()()2(21)()()]1()1([21)1(21)1(2121212212122212121221121212121μλμλμλμλμλμλμλμλμλμλμλλμμμλλμλμλμμμμλλλλμλ+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-++++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+++++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-+++=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+（6）对于R ∈∀λ和V y x ∈∀,，有⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-++++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+211112211112211))(1(21)()()(y x y x y x y x y x y x y x y x λλλλλλ， ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-++-++++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-++=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+211112211112212211122111122122121121212121))(1(21)()()1(21)1(21)()1(21)1(21)1(21)1(21y x y x y x y x y x y y x y x y x y x y x y y x x y x y y y x x x y x λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ，即y x y x λλλ+=+)(。

线性代数中的线性空间和线性映射线性代数是数学中重要的一门学科，它的研究范围包括向量空间、线性变换、矩阵论等多个方面。

其中，线性空间和线性映射是线性代数的重要概念，本文将从这两个方面入手，探讨它们的定义、性质及应用。

一、线性空间线性空间又称向量空间，是线性代数中的基本概念之一。

它是一个具有加法和数乘运算的集合，满足以下条件：1.对于任意两个向量，其和仍为向量；2.对于任意一个向量和任意一个标量，它们的积仍为向量；3.加法和数乘运算遵从结合律和分配律；4.存在一个零向量，满足加法运算返回自身。

线性空间的定义具有很强的普遍性，它可以适用于实数、复数、函数以及其他更广泛的对象集合。

下面举一个实数向量空间的例子。

考虑一个三维实数向量空间，它包含所有形如 $(x,y,z)$ 的三元组，其中 $x,y,z$ 均为实数。

我们可以定义向量的加法和数乘运算如下：$$(x_1, y_1, z_1) + (x_2, y_2, z_2) = (x_1+x_2, y_1+y_2,z_1+z_2)$$$$k(x, y, z) = (kx, ky, kz)$$显然，这样定义的加法和数乘运算符合上述线性空间的定义，因此该三维实数向量空间是一个线性空间。

除了上述基本性质外，线性空间还有许多衍生的性质，如基和维数的概念等。

具体来说，一个线性空间的基是指它的极大线性无关组，而线性空间的维数是其基的元素个数。

这些概念在矩阵论等应用中有广泛的应用。

二、线性映射线性映射是一种特殊的函数，它将一个向量空间映射到另一个向量空间，并保持加法和数乘运算的线性性。

考虑两个向量空间 $V$ 和 $W$，一个从 $V$ 到 $W$ 的线性映射 $T$ 应该满足以下条件：1.对于任意向量 $u,v\in V$，有 $T(u+v) = T(u) + T(v)$；2.对于任意向量 $u\in V$ 和标量 $k$，有 $T(ku) = kT(u)$；3.存在一个零向量 $0$，满足 $T(0)=0$。

线性空间上的线性映射理论线性映射是线性空间中的一个重要概念，它在数学和工程领域中扮演着关键角色。

本文将深入探讨线性空间上的线性映射理论，重点介绍线性映射的性质、定义以及与矩阵的关系。

一、线性映射的定义与性质在介绍线性映射之前，我们先来了解线性空间的概念。

线性空间是指在加法和标量乘法下构成一个向量空间的集合。

线性映射是指一个向量空间到另一个向量空间的映射，它保持向量的线性组合性质。

具体地，设V和W是两个线性空间，一个从V到W的线性映射L 满足以下两个条件：1. 对于任意的u和v属于V，L(u+v) = L(u) + L(v)，即L保持向量的加法运算性质。

2. 对于任意的u属于V和任意的c属于标量域，L(cu) = cL(u)，即L保持向量的标量乘法性质。

线性映射的性质包括可加性和齐次性。

即线性映射对于向量的加法和标量乘法操作都是保持的，这一点在定义中已经强调。

线性映射还具有零映射的性质，即L(0) = 0。

二、线性映射与矩阵的关系线性映射与矩阵之间存在着密切的关系。

事实上，对于给定的线性映射L，我们可以找到一个矩阵A，使得L(u) = Au，其中u是向量。

具体地，假设V是n维线性空间，W是m维线性空间，选择V和W的基，分别为{v1,v2,...,vn}和{w1,w2,...,wm}。

对于L中的向量u，我们有u = a1v1 + a2v2 + ... + anvn，其中a1,a2,...,an是标量。

那么L(u)可以表示为L(u) = c1w1 + c2w2 + ... + cmwm，其中c1,c2,...,cm是标量。

将L(u)和u表示为矩阵形式，我们有：⎡L(v1) L(v2) ... L(vn)⎤⎡a1⎤⎢L(u) = ⎢⎥ = ⎢a2⎥⎢⎣L(vn) ⎥⎣...⎦⎡w1⎤⎢⎥⎢w2⎥⎢⎥⎢...⎥⎣wm⎦定义矩阵A为⎡L(v1) L(v2) ... L(vn)⎤，向量u为⎡a1⎤，我们可以得到L(u) = Au的形式。

线性空间与线性映射（⼀）
关于线性空间也叫向量空间的理解
⾸先,客观上,从本质上来讲线性空间就是⽤来研究某⼀类事物在矩阵代数⾥的抽象的表⽰,线性空间也就是以向量为元素的集合,所以线性空间⾸先满⾜集合的概念和基本运算.
在集合基本运算中重点提⼀下笛卡尔积(叉乘),定义上讲X和Y的笛卡尔积就是两个集合中所有元素的有序对(x,y),平⾯就是两个直线的卡式积.通过笛卡尔积可以从映射的⾓度定义⼀下集合的加、减和数乘,例如:
给定⾮空集合V和数域F,若映射σ:V×V→V,即 (V1,V2)|→σ(V1,V2)则称σ为V上的加法,也就是从V和⾃⼰的卡式积中取出来的有序对经过映射σ后的出的元素还在V⾥⾯
若映射σ:V×F→V,即(V1,F1)|→σ(V)则称σ为V上的乘法,也就是从V和数域F的卡式积中的有序对经过映射σ后的出的元素在V⾥⾯.绕这么多的弯就是想要在这门学科中把加减乘除理解成为⼀个映射.
上⾯⼜引⼊了⼀个“域”的概念,域就是在集合的基础上要做到对加减乘除的封闭,例如⾃然数集N不是⼀个域因为他不对减法和除法封闭(1-2和3/2都不是⾃然数),有理数集R就是⼀个域对加减乘除都封闭.
所以,线性空间不仅要是向量的集合还要满⾜两个封闭性,还要满⾜加法和乘法的⼋条公理.
加法公理:交换律、结合律、有零元、有负元.
标量乘法公理:交换律、左分配律、右分配律、有1元.(其中,左分配律是指:对于标量a,向量x,yŒV,(x+y)a=xa+ya)。