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这说明，维数是有限维线性空间的唯一的本质特征。在 同构的意义下，n维向量空间Pn并不只是线性空间V 的一 个特殊例子，而是所有的n维线性空间的代表。即每一个
1 0 C1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0
而基 ( III ) 到基 ( II ) 的过渡矩阵为
1 1 C2 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0
所以
( A , A2 , A3 , A4 ) ( E11 , E12 , E21 , E22 )C1 1 ( B1 , B2 , B3 , B4 ) ( E11 , E12 , E21 , E22 )C2
dim(V1 V2 ) dim(V1 ) dim(V2 ) dim(V1 V2 ).
在维数公式中，和空间的维数不大于子空间维数之和。那么何时等号成立呢？
V1 , V2 是数域 P 上线
性空间 V 的两个有限维子空间，则它们的交 与和
例1.4.6 设 S , K 分别是 n 阶实对称矩阵和反对称矩阵 的全体。显然容易证明 S , K 均为线性空间 R nn 的子
( III )
显然
1 A1 0 0 E11 E22 1 1 0 ( E11 , E12 , E21 , E22 ) 0 1
类似地，
1 A2 0 0 E11 E22 1 1 0 ( E11 , E12 , E21 , E22 ) 0 1 0 1 ( E11 , E12 , E21 , E22 ) 1 0
证明：
1 0 取1= 0 0
0 1 3= 0 0 2= 0 1 1 0
则1,2,3线性无关. 对线性空间V中的任一向量可表示成
a11 a12 A= a a =a11 1 +a12 2 +a22 3 12 22
理解线性空间和内积空间的概念 掌握子空间与维数定理 了解线性空间和内积空间同构的含义 掌握正交基及子空间的正交关系 掌握Gram-Schmidt正交化方法
线性空间是线性代数最基本的概念之一，
是矩阵论中极其重要的概念之一。它是向量空
间在元素和线性运算上的推广和抽象。
线性空间中的元素可以是向量、矩阵、 多项式、函数等，线性运算可以是我们熟悉的 一般运算，也可以是各种特殊的运算。
求 V1 V2 、V1 V2 的基与维数。
解 设 V1 V2
所以可令 解关于
，则
V1， V2
k11 k2 2 = l11 l2 2
k1 , k2 , l1 , l2 的齐次方程组，得
5 2 k1 0, k2 l2 , l1 l2 3 3 5 = k1 1 k2 2 l2 2 . 3
（或值域）,记为R(A)或Im(A)。
即R(A)={y|y=Ax,xRn}
注：判定非空集合是否为线性空间，要验算
运算的封闭性，以及8条运算律，相当地麻烦。
至于判定线性空间的子集是否为线性子空间，
则很方便.
下面考虑两个子空间的运算：
注意：线性空间V的两个子空间的V1,V2并一般不是V 的子空间；
间{0}和V本身。
实数域 R上的线性空间 R nn 中全体上
例1.4.2
三角矩阵集合，全体下三角矩阵集合，全体反对 称矩阵集合分别都构成
R
nn
的子空间。
例1.4.3 设ARmn，记A={a1,a2,…an},其中aiRm，则
k1a1+k2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2…+knan是Rm的子空间，称为矩阵A的列空间
( II )
1 1 B3 , 0 0 求基 ( I ) 到基 ( II ) 的过渡矩阵。
解
引入 R 22 的标准基：
E11 E 21 1 0 0 1 0 , 0 0 , 0 E12 E 22 0 0 0 0 1 , 0 0 1
从而
( B1 , B2 , B3 , B4 ) ( E11 , E12 , E21 , E22 )C2
( A , A2 , A3 , A4 )C1 1C2 1
因此基 ( I ) 到基 ( II ) 的过渡矩阵为
2 0 1 1 C C1 C2 22 0 1 1 2 0 1 1 1 1 1 1 . 0 0
0 A3 1
1 E12 E21 0
0 A4 1
1 E12 E21 0
0 1 ( E11 , E12 , E21 , E22 ) 1 0
则基 ( III ) 到基 ( I ) 的过渡矩阵为
1 , 2 , 1 , 2
的极大无关组，所以它也是
V1 V2 的基，故 dim(V1 V2 ) 3.
注意到例 1.4.5 中
dim(V1 V2 ) dim(V1 V2 ) dim(V1 ) dim(V2 ).
这并不是偶然的。 定理1.4.7（维数公式） 设 都是有限维的，并且
即A可由1,2,3线性表出。所以 Dim（V）=3
注: （1）若把线性空间V 看作无穷个向量组成的向 量组，那么 V 的基就是向量组的极大无关组, V 的 维数就是向量组的秩. （2）个数与线性空间 V 的维数相等的线性无 关组都是 V 的基.
例1.3.1 线性空间 C 是实数域 R 上的二维空间， 其基可取为 {1, i } ，即C中任一复数k=a+bi a （a,bR）都有a+bi=(1,i)( ),所以(a,b) T即为k的坐 b 标。
例 1.3.2
实数域 R上的线性空间R [x]n中的向量组 1，x， x2 ,… xn-1
是 基底， R [x]n的维数为 n。
例1.3.3 实数域 R上的线性空间
R
nn
的维数为
nn，标准基为Eij：（i=1,2…n;j=1,2…n） 第i行第j列的元素为1，其它的都为0。
例1.3.4 在线性空间 P[ x] 中，显然 3
因此
所以
V1 V2 的基为 2 ，维数为 dim(V1 V2 ) 1.
由例1.4.4 由前得
V1 V2 span(1 , 2 , 1 , 2 )
5 2 0 1 l2 2 l 2 1 l 2 2 3 3 5 2 即 2 0 1 2 1 3 3 然而 1 , 2 , 1 线性无关，这样 1 , 2 , 1 是
例4 次数不超过 n 的所有实系数多项式按通常多项 式加法和数与多项式的乘法，构成线性空间 R[ x]n
例5
集合 V { x x [ x1 , x2 ,1] , x1 , x2 R} 不是
T
一个线性空间。因为加法不封闭。
例6
线性非齐次方程组 Ax b 的解集
n mn
V { R | C11 Cnrnr , A R
由题， 在基 1 , 2 , 3 下的坐标为
1 2 4 P 0 1 4 0 0 1
x (3, 2,4)
T
而且，基 1 , 2 , 3 到基 1 , 2 , 3 的过渡矩阵为
所以
1 0 1 yP x 0
令 k11+k22+k33
1 0 1 0 0 0 0 0 k1 0 0 k 2 1 1 k3 1 1 0 0
则有k1-k2=0, k2 +k3=0 该方程组有非零解，所以1,2,3线性相关.
例1.4.4 设 V1 , V2 是线性空间 V 的子空间，且
V1 span(1 , , s ), V2 span( 1 , , t ),
则
V1 V2 span(1 ,, s , 1 ,, t )
证明
由子空间和的定义，有
V1+V2=span(1,2…s)+span(1, 2…t) ={(k11+k22…+kss)+(l11+l2 2…+ ltt)| ki,lj P}
1 1, 2 x, 3 x
是 P[ x]3 的一组基，此时多项式
2
3 2x 4 x2
在这组基下的坐标就是
(3, 2, 4)T .
2
证明 1 1, 2 ( x 2), 3 ( x 2) 也是 P[ x]3 的基,并求 1 , 2 , 3 及 在此基下的坐标。
}
不构成线性空间，这里 1 ,, n r 是对应齐次方程
组 Ax 的一个基础解系， 为 Ax b 的一 个特解。
向量的线性相关性：
线性代数中关于向量的线性组合、线性表示、 线性相关、线性无关、秩等定义和结论都可以推 广到一般线性空间。
证明：取k1 ，k2 ，k3∈R，
=span(1,2…s,1, 2…t)
例1.4.5
设
1 (2,1, 3,1) , 2 (1,1, 3,1) ,
T T T T
1 (4,5, 3, 1) , 2 (1,5, 3,1) ,
V1 span(1 , 2 ),V2 span( 1 , 2 ).
空间。试证明 Rnn S K
证明：因为任意实方阵可以分解为一个实对称矩阵
和一个实反对称矩阵的和，即
1 ( A AT ) 1 ( A AT ), A 2 2
又
nn 2
A R
nn
dim( R ) n n( n 1) / 2 n( n 1) / 2 dim( S ) dim( K ) , 根据定理1.4.9可知结论成立。
