三角函数与向量综合题练习

56．（2020·江苏高三其他模拟）已知实数x 、y 满足1x y +=，若不等式()4422x y x yk +≥+恒成立，则实数k 的取值范围是________.57．（2020·浙江高三其他模拟）设正数a ，b 满足， 11316a b a b ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，则a bb a +的最大值是________.58．（2020·上海高三二模）设二次函数()()2212f x m x nx m =++--，（,m n R ∈且12m ≠-）在[]2,3上至少有一个零点，则22m n +的最小值为___________.59．（2021·浙江高三其他模拟）已知函数()()44xxkf x k R =+∈为定义在R 上的偶函数，当[)0,x ∈+∞时，函数()()()122x x g x f x a a R ⎛⎫=--∈ ⎪⎝⎭的最小值为1，则a =______.60．（2017·上海）已知函数()y f x =是奇函数,且当0x ≥时,()()2log 1f x x =+.若函数()y g x =是()y f x =的反函数,则()3g -=_______.61．（2021·浙江高一期末）如图，在ABC 中，13B BCD →→=，点E 在线段AD 上移动（不含端点），若AE AB AC λμ→→→=+，则12λμ+的取值范围是_____．62．（2021·上海高三其他模拟）如图，在平面斜坐标系xOy 中，xOy θ∠=，平面上任意一点P 关于斜坐标系的斜坐标这样定义：若12OP xe ye =+(其中1e ，2e 分别是x 轴，y 轴正方向的单位向量)，则P 点的斜坐标为(),x y ，向量OP 的斜坐标为(),x y .给出以下结论：①若60θ=︒，()2,1P -，则3OP =；①若()11,P x y ，()22,Q x y ，则()1212,OP OQ x x y y +=++；①若(),P x y ，R λ∈，则(),OP x y λλλ=；①若()11,OP x y =，()22,OQ x y =，则1212OP OQ x x y y ⋅=+；①若60θ=︒，以O 为圆心，1为半径的圆的斜坐标方程为2210x y xy ++-=. 其中所有正确的结论的序号是___________.63．（2021·浙江温州中学高三其他模拟）已知向量,OA OB 垂直，且12OA OB ==，若[]0,1λ∈，则()314AB AO BO BA λλ-+--的最小值为_________． 64．（2021·浙江高三其他模拟）已知平面内不同的三点O ，A ，B 满足||||5OA AB ==，若[0,1]λ∈时，2||(1)5OB OA BO BA λλ-+--的最小值为||OB =___________.65．（2021·浙江高二期末）在锐角ABC 中，6B π=，2AB AC -=，则AB AC ⋅的取值范围为__________．66．（2021·河北高一期末）已知向量(),1a λ=，()3,5b =-，且a 与b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是___________.67．（2019·安徽高一期末）在圆心为O ，半径为2的圆内接ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()4222442220a a b c c b b c -++++=，则OBC ∆的面积为__________．68．（2021·山西高一期末）如图，在ABC 中，1cos 3BAC ∠=-，2AC =，D 是边BC 上的点，且2BD DC =，AD DC =，则AB 等于______.69．（2021·江西景德镇一中高二期末）如图，某城市准备在由ABC 和以C 为直角顶点的等腰直角三角形ACD 区域内修建公园，其中BD 是一条观赏道路，已知1AB =，BC =，则观赏道路BD 长度的最大值为______．70．（2019·湖南衡阳市一中高三月考（理））已知函数()()131log 312xf x abx =++为偶函数，()22x x a bg x +=+为奇函数，其中a 、b 为常数，则()()()()2233100100a b a b a b a b ++++++⋅⋅⋅++=___________71．（2020·河南高三一模（理））已知双曲线2222:1x y C a b -=（0a >，0b >）的左，右焦点分别为1F ，2F ，过点1F 的直线与双曲线的左，右两支分别交于A ，B 两点，若2AB AF =，27cos 8BAF ∠=，则双曲线C 的离心率为__________. 72．（2020·全国（理））已知ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，且6a =，4sin 5sin B C =，当2A C =时，ABC 的周长为________.73．（2018·上海交大附中高三其他模拟）已知底面为正方形且各侧棱长均相等的四棱锥V -ABCD 可绕着AB 任意旋转，AB ⊂ 平面α，M 是CD的中点，2,AB VA ==V 在平面α上的射影点为O ，则OM 的最大值为_______74．（2021·江苏高一课时练习）在ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c，且2cos cos )A a C =，2c =，D 为AC 上一点，:1:3AD DC =，则ABC 面积最大时，BD =____________.答案及解析56．(-∞ 【分析】由()244224x y x y +=+-，再利用参变量分离法结合基本不等式可求得实数k 的取值范围.【详解】因为()()()2244222222422x y x y x y x y x y k ++=+-⋅=+-≥+，令22x y t =+≥=240t kt --≥，t ≥恒成立， 所以244t k t t t-≤=-，函数()4f t t t =-在区间)⎡+∞⎣上单调递增，则()(min f t f ==.k ∴≤k的取值范围是(-∞.故答案为：(-∞. 【点睛】本题考查利用不等式恒成立求参数，考查了参变量分离法与基本不等式的应用，考查计算能力，属于中等题. 57．18 【分析】变形已知13(3)()16a b a b +++=，利用基本不等式构造a b b a +，由1316(3)()a b a b =+++≥.【详解】 113()16a b a b +++=，13(3)()16a b a b∴+++= 1316(3)()a b a b ∴=+++≥8∴≥3()54b a a b ∴+≤，18b a a b ∴+≤当且仅当133=8a b a b ++=即a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时等号成立.故答案为：18 【点睛】本题考查通过拼凑法利用基本不等式求最值.拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键.(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提. 58．453【分析】由()()22120f x m x nx m =++--=可得()()222120x m xn x -++-=,即变换主元,视为关于(),m n 的直线方程,则22m n +表示原点到点(),m n 的距离的平方,最小值即为原点到直线()()222120xm xn x -++-=的距离的平方,进而利用均值不等式求得2d 的最小值即可.【详解】由题,当[]2,3x ∈时,()()22120f x m x nx m =++--=有解,则可设点(),m n 在直线()()222120x m xn x -++-=上,则22m n +表示原点到点(),m n 的距离的平方,22m n +的最小值为原点到直线()()222120x m xn x -++-=的距离的平方,所以2422242424411131543144431x x x d x x x x -+-===-⋅-+-+, 令[]2131537,102t x =-∈,原式21111169484444415154814311313t t t t t =-⋅=-⋅++⎛⎫⎛⎫++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 因为484481288+81=257t t ++≥⨯,当且仅当4844t t=,即11t =时等号成立,不符合题意, 所以当37t =时,4844t t +最小,此时2d 取得最小值为453, 则22m n +的最小值为453, 故答案为:453【点睛】本题考查由零点分布求参数范围,考查点到直线距离公式的应用,考查利用均值定理求最值,考查转化思想和运算能力.【分析】根据偶函数的定义可得1k =，从而利用换元法：令122xxu =-()0u ≥，将原问题转化为含参数a 的二次函数最值即可求解. 【详解】解：由题意得()()f x f x -=，即4444x x x x k k --+⋅=+⋅，即()()1440x xk ---=，所以1k =，所以()144xxf x =+， ()21111422224222xx x x x x x x g x a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--=---+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.令122xxu =-，()22h u u au =-+. 因为122xxu =-在[)0,+∞上是增函数，所以当[)0,x ∈+∞时，0u ≥. 因为()g x 在[)0,+∞上的最小值是1，所以()h u 在[)0,+∞上的最小值是1. 当0a ≥时，()2min2124a a h u h ⎛⎫==-+= ⎪⎝⎭，解得2a =或2a =-（舍去）；当0a <时，()()min 021h u h ==≠，不合题意，舍去. 综上，2a =. 故答案为：2. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是观察出144xx +与122x x -的关系，然后利用换元法将原问题等价转化为二次函数最值来解决. 60．7- 【分析】根据反函数与原函数的关系，可知反函数的定义域是原函数的值域，且反函数与原函数奇偶性一致，即可求解. 【详解】解：由函数()y f x =是奇函数,则其反函数()y g x =也为奇函数，则(3)(3)g g -=-， 设2log (1)3x +=，则7x =，则(3)7g =，故(3)(3)7g g -=-=-，故答案为7-. 【点睛】本题考查了反函数与原函数奇偶性一致，重点考查了反函数的定义域是原函数的值域，属基础题. 61．(10,3)+∞【分析】根据题意，设()01AE mAD m =<<，根据向量的线性运算，利用AB AC →→、表示出AE →，求出λ和μ，然后利用双钩函数的单调性求出12λμ+的取值范围. 【详解】解：由题可知，13B BCD →→=，设()01AE mAD m =<<， 则13AE m AB BC ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()13m AB BA AC ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦，所以2133AE m AB m AC →→→=+，而AE AB AC λμ→→→=+，可得：21,33m m λμ==， 所以1323m mλμ+=+()01m <<，设()33m f x m=+()01m <<， 由双钩函数性质可知，()f x 在()0,1上单调递减， 则()()1101333f x f >=+=，所以12λμ+的取值范围是(10,3)+∞.故答案为：(10,3)+∞.【点睛】本题考查平面向量的线性运算和平面向量的基本定理的应用，还涉及双钩函数的单调性，考查转化思想和运算能力. 62．①①①①. 【分析】在①中，()21224OP e e =-=；在①中，()()11122122121122OP OQ x e y e x e y e x x e y y e +=+++=+++； 在①中，()11121112OP x e y e x e y e λλλλ=+=+；在①中，()()()()111221221212121212OP OQ x e y e x e y e x x y y x x y y e e ⋅=+⋅+=+++⋅； 在①中，设(),P x y )2121xe ye +=，化为222cos 601x y xy ++︒=，从而满足条件的圆的斜坐标方程为2210x y xy ++-=. 【详解】①①60θ=︒，()2,1P -，①()21224OP e e =-==①正确；①①()11,P x y ，()22,Q x y ，①()()11122122121122OP OQ x e y e x e y e x x e y y e +=+++=+++， ①1212OP OQ x x y y ⋅=+，故①正确； ①①(),P x y ，R λ∈，①()11121112OP x e y e x e y e λλλλ=+=+， ①(),OP x y λλλ=，故①正确；①()()()()111221221212121212OP OQ x e y e x e y e x x y y x x y y e e ⋅=+⋅+=+++⋅，故①错误； ①若60θ=︒，以O 为圆心，1为半径的圆满足1OP =， 设(),P x y )2121xe ye +=，化为222cos 601x y xy ++︒=， ①2210x y xy ++-=.故满足条件的圆的斜坐标方程为2210x y xy ++-=.故①正确. 故答案为：①①①①. 63．15【分析】作正方形OACB ，取AB 上一点D ，设AD AB λ=，取OB 上一点E ，满足3OE =，则可得()314AB AO BO BA OD DE CD DE λλ-+--=+=+，即求EC 长度. 【详解】如图，作正方形OACB ，取AB 上一点D ，设AD AB λ=，[]0,1λ∈， 则AB AO AD AO OD λ-=-=，取OB 上一点E ，满足3OE =，则()()3114BO BA BE BA DE λλ--=--=，则()314AB AO BO BA OD DE CD DE λλ-+--=+=+， 易得()min1215CD DE EC +==.故答案为：15.【点睛】关键点睛：本题考查利用几何图形解决向量问题，解题的关键是画出图形，将所求转化为CD DE +.64．【分析】由题设，将平面向量转化为平面几何图形，B 在以A 为圆心5为半径的圆上，利用向量加减、数乘的几何意义分别确定D 、E 使(1)B BD O λ=-、25BA BE =，进而可知2||(1)5OB OA BO BA λλ-+--表示AD ED +，若A '是A 关于OB 的对称点，可知,,A D E '共线时AD ED +最小，①A BE '中应用余弦定理求cos EBA '∠，即可求||OB . 【详解】由题设，如下图示，若OD OB λ=，25BE BA =，则(1)B BD O λ=-，AD OB OA λ=-，25BA BE =，即2(1)5O B ED B A λ=--，①2||(1)||||5OB OA BO BA AD ED λλ-+--=+，即AD ED +，若A '是A 关于OB 的对称点，①A D AD '=，即AD ED A D ED '+=+，如下图示，当且仅当,,A D E '共线时，即A D ED A E ''+== ①||||5OA AB ==，即5A B '=，2BE =， ①此时，①A BE '中，254413cos 2525EBA +-'∠==-⨯⨯，而2cos 2cos 1EBA ABO '∠=∠-且ABO ∠为锐角，①cos ABO ∠=，而||2cos OB AB ABO =∠=故答案为：【点睛】关键点点睛：根据平面向量加减、数乘的几何意义，将题设条件转化为平面几何中的点线距离最短问题. 65．40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】以B 为原点，BA 所在直线为x 轴建立坐标系，得到C 的坐标，找出三角形为锐角三角形的A 的位置，计算所求的取值范围． 【详解】解：以B 为原点，BA 所在直线为x 轴建立坐标系，建立平面直角坐标系，如图所示：因为6B π=，||||2AB AC CB -==，所以C 1)， 设点(,0)A x ，因为ABC 是锐角三角形， 所以56A C π+=，且32A ππ<<，过点C 作CD x ⊥轴与点D ，过点C 作CF BC ⊥，交x 轴于点F ， 则A 在线段DF 上（不与D 、F 重合），x (,0)AB x =-，(3AC x =，1)，则223)(4AB AC x x x x ⋅=-==-，由二次函数的性质知，x =20x =，x =243x =，所以AB AC ⋅的取值范围是4(0,)3．故答案为：4(0,)3．66．5{|3λλ<，且3}5λ≠-.【分析】考虑0a b ⋅>和a ，b 同向两种情况可得结果. 【详解】由350a b λ⋅=-+>得53λ<，又当35λ=-时，a ，b 同向，故λ的取值范围是53λλ⎧<⎨⎩，且35λ⎫≠-⎬⎭.故答案为：53λλ⎧<⎨⎩，且35λ⎫≠-⎬⎭.67【分析】已知条件中含有22()b c +这一表达式，可以联想到余弦定理2222cos a b c bc A =+-进行条件替换；利用同弧所对圆心角为圆周角的两倍，先求出角A 的三角函数值，再求BOC ∠的正弦值,进而即可得解. 【详解】()4222442220a a b c c b b c -++++=，()()24222222220a a b c b c b c -++-∴+=，(1)在ABC ∆中，2222222cos 2cos a b c bc A b c a bc A =+-⇒+=+代入（1）式得： ()()242222222cos 2cos 0a a a bc A a bc A b c -+++-=，整理得：211cos ,cos ,sin 42A A A =⇒=±=圆周角等于圆心角的两倍，2BOC A ∴∠=， （1）当1cos 2A =时， 3A π=，23BOC π=∴∠，121sin 22232OBC S OB OC π∆∴=⋅⋅=⋅⋅=（1）当1cos 2A =-时，23A π=，点O 在ABC ∆的外面，此时，23BOC π∠=，OBC S ∆∴． 【点睛】本题对考生的计算能力要求较高，对解三角形和平面几何知识进行综合考查. 68．3 【分析】设AD =m ，在,,ABC ADB ADC 中利用余弦定理建立三个关系式，联立即可作答. 【详解】设AD =m ，则有CD =m ，BD =2m ，BC =3m ，ABC 中，由余弦定理2222cos BC AB AC AB AC BAC =+-⋅∠得：224943m AB AB =++， ADB △中，由余弦定理2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠得：2254cos AB m m ADC =+∠， ADC 中，由余弦定理2222cos AC AD CD AD CD ADC =+-⋅∠得：2422cos m m ADC =-∠，消去cos ADC ∠得：2289AB m +=，从而得224843AB AB AB +=++，解得3AB =， 所以AB 等于3. 故答案为：3 【点睛】关键点睛：条件较隐含的解三角形问题，根据题意设出变量，再选择恰当的三角形，借助正余弦定理列出方程、方程组是解题的关键.691 【分析】设ACB θ∠=，在①ABC 中应用正余弦定理可得sin sin ABCACθ∠=、224CD AC ABC ==-∠，在①BCD 中有90ACB BCD ∠∠=+︒且2222cos BD CD BC CD BC BCD =+-⋅⋅∠，结合诱导公式、辅助角公式及正弦型函数的性质即可求BD 的最大值. 【详解】 设ACB θ∠=，在①ABC 中，由正弦定理得1sin sin AC ABC θ=∠，则sin sin ABCACθ∠=，由余弦定理得22221214CD AC ABC ABC ==+-⨯∠=-∠，①在①BCD 中，90ACB BCD ∠∠=+︒，①2222cos 7sin BD CD BC CD BC BCD ABC CD θ=+-⋅⋅∠=-∠+⋅=)277714ABC ABC ABC π⎛⎫-∠+∠=+∠-≤+ ⎪⎝⎭，当34ABC π∠=时等号成立． ①BD1. 【点睛】关键点点睛：应用正余弦定理得到相关边角与ACB ∠、2CD 、2BD 与ABC ∠的关系，结合诱导公式、三角恒等变换及正弦型函数的性质求最值. 70．1- 【分析】由奇偶函数的定义列出关于a 、b 的方程组，求出它们的和与积的值，在转化为对应一元二次方程的根，进而求出复数a 和b ，再利用和与积的值和331a b ==求出22a b +，33+a b ，44a b +等，找出具有周期性T 为3，再利用周期性求出式子的和．【详解】 解：()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，∴(1)(1)(0)0f fg =-⎧⎨=⎩， 即1(1)(31)33311log log 2210ab ab a b ++⎧+=-+⎪⎨⎪++=⎩， 解得11ab a b =⎧⎨+=-⎩；∴复数a 、b 是方程210x x ++=的两个根，解得，12a =-，12b =-； 331a b ∴==已知1a b +=-，1ab =；则222()21a b a b ab +=+-=-，332a b +=，同理可求441a b +=-，551a b +=-，662a b +=，⋯，归纳出有周期性且3T =，22331001002233()()()()99[()()()]()1a b a b a b a b a b a b a b a b ∴++++++⋯++=+++++++=-故答案为：1-． 【点睛】本题考查了奇（偶)函数的定义和复数的运算，再求复数的值时用到转化思想，求和式的值时利用331a b ==找出每项的和的周期，利用周期性求所求和式的值． 71【分析】设22,BF n AF m ==，由双曲线的定义得出：112,2BF a n AF m a =+=-，由2AB AF =得2ABF 为等腰三角形，设22ABF AF B θ∠=∠=，根据27cos 8BAF ∠=，可求出2211122cos =4BF n AF m θ==，得出2m n =，再结合焦点三角形12BF F ∆，利用余弦定理：求出a 和c 的关系，即可得出离心率.【详解】解：设22,BF n AF m ==， 由双曲线的定义得出：1212,2BF BF a BF a n -==+则， 2112,2AF AF a AF m a -==-则， 由图可知：114AB BF AF a n m =-=+-， 又2AB AF =，即4a n m m +-=， 则24m a n =+， ∴2ABF ∆为等腰三角形， 27cos 8BAF ∠=， 设22ABF AF B θ∠=∠=，22BAF θπ∴+∠=，则22BAF θ=π-∠，()227cos 2cos cos 8BAF BAF θπ∴=-∠=-=-，即27cos 22cos 18θθ=-=-，解得：1cos 4θ=，则22112cos =4BF AF θ=，1124nm ∴=，解得：2m n =， 44,34n a n n a ∴=+=即，解得：43n a =， 83m a ∴=，在12BF F △中，由余弦定理得：22121212121cos cos 24BF BF F F F BF BF BF θ+-∠===， 即：()()()222241224a n n c a n n ++-=⇒+⋅22210441331044233a a c a a ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⨯⨯，解得： 2229636c e a ==，即c e a ==. 【点睛】本题考查双曲线的定义的应用，以及余弦定理的应用，求双曲线离心率. 72．15 【分析】运用正弦定理可得45b c =，再次根据正弦定理以及()2sin3sin 4cos 1C C C =-可得cos C 的值，进而得sin C 和sin A ，再次运用正弦定理即可得到所求周长. 【详解】由6a =，4sin 5sin B C =，2A C =，可得3B C π=-， 由正弦定理可得45b c =，可得54cb =， 而()sin3sin 2cos cos2sin C C C C C =+()2sin cos cos cos2sin C C C C C =+()()22sin 2cos cos2sin 4cos 1C C C C C =+=-由sin sin b c B C =，可得()25544sin(3)sin sin 4cos 1c cc C C C C π==--， 由sin 0C ≠，可得：254cos 41C -=，解得：3cos 4C =或3 4-（舍去），sin C ==可得3sin 2sin cos 24A C C ==⨯，4c =，5b =，则15a b c ++=， 故答案为：15. 【点睛】本题考查三角形的正弦定理的运用，考查三角函数的恒等变换，考查转化思想和运算能力，属于难题 73．1【分析】先计算得到二面角C -AB -V 的大小为60°，设二面角C -AB -O 的大小为θ，则()24260OM θ=-+︒，计算得到答案.【详解】如图所示：简单计算可得二面角C -AB -V 的大小为60°设二面角C -AB -O 的大小为θ，则60VNO θ∠=-︒，()2cos 60NO θ=-︒ 在MNO ∆中，利用余弦定理得到：()()()2244cos 60222cos 60cos 4260OM θθθθ=+-︒-⋅⋅-︒⋅=-+︒故当105θ=︒时，OM取得最大值为1故答案为：1【点睛】本题考查了立体几何中的线段的最值问题，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.74【分析】将2c =代入2cos cos )A a C =，得b = ，以AB 为x 轴，AB 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，求出三角形ABC 的顶点C 的轨迹方程，根据图形得出三角形ABC 的面积何时最大，进而求出此时BD 的长. 【详解】将2c =代入2cos cos )A a C =得：cos cos )c A a C ⋅=，由正弦定理有：sin cos sin cos )C A A C ⋅=,即sin cos +cos sin C A C A A ⋅⋅，则sin()A C A +=,即sin B A ,所以b = .以AB 为x 轴，AB 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系， 则(1,0),(1,0)A B -，设(,)C x y由b ，即|||AC BC =,所以2222(1)2[(1)]x y x y ++=-+，即22(3)8(0)x y y -+=≠如图，顶点C 在圆22(3)8(0)x y y -+=≠上,设圆心为(3,0)E显然当CE AB ⊥时，三角形ABC 的面积最大, 由:1:3AO OE =,又:1:3AD DC =所以//OD CE ,又因为CE AB ⊥，即D 点在y 轴上(如图)4CE OD ==,1OB =所以BD =【点睛】本题考查正弦定理和和角公式，数形结合思想，本题还可以直接用余弦定理结合面积公式直接求解三角形ABC 的面积，从而得解，属于难题.。

高中三角函数专题练习题（附答案）一、填空题1．平面向量i a 满足：1(0,1,2,3)i a i ==，且310i i a ==∑．则012013023a a a a a a a a a ++++++++的取值范围为________．2．已知函数()sin()(0,)R f x x ωϕωϕ=+>∈在区间75,126ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，且满足73124f f ππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．有下列结论： ①203f π⎛⎫= ⎪⎝⎭； ②若5()6f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则函数()f x 的最小正周期为π； ③关于x 的方程()1f x =在区间[)0,2π上最多有4个不相等的实数解； ④若函数()f x 在区间213,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恰有5个零点，则ω的取值范围为8,33⎛⎤⎥⎝⎦． 其中所有正确结论的编号为________．3．已知()()()cos sin 3cos 0f x x x x ωωωω=+>，如果存在实数0x ，使得对任意的实数x ，都有()()()002016f x f x f x π≤≤+成立，则ω的最小值为___________.4．已知函数()2sin()f x x ωφ=+(0>ω，||φπ<)的部分图象如图所示，()f x 的图象与y 轴的交点的坐标是(0,1)，且关于点(,0)6π-对称，若()f x 在区间14(,)333ππ上单调，则ω的最大值是___________.5．已知函数()sin 2sin 23f x x x a π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭同时满足下述性质：①若对于任意的()()()123123,0,,4,x x x f x f x f x π⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦恒成立；②236f a π⎛⎫- ⎪⎝⎭，则a 的值为_________.6．在ABC 中，AB BC ≠，O 为ABC 的外心，且有233AB BC AC +=，sin (cos 3)cos sin 0C A A A -+=，若AO x AB y AC =+，,x y R ∈，则2x y -=________．7．在ABC 中，sin 2sin B C =，2BC =.则CA CB ⋅的取值范围为___________.（结果用区间表示）8．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.将函数()y f x =的图象向右平移4π个单位，得到()y g x =的图象，则下列有关()f x 与()g x 的描述正确的有___________（填序号）.①()2sin 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；②方程()()360,2f x g x x π⎫⎛⎫+∈ ⎪⎪⎝⎭⎭所有根的和为712π； ③函数()y f x =与函数()y g x =图象关于724x π=对称. 9．在三棱锥P ABC -中，4AB BC ==，8PC =，异面直线PA ，BC 所成角为π3，AB PA ⊥，AB BC ⊥，则该三棱锥外接球的表面积为______．10．已知O 为△ABC 外接圆的圆心，D 为BC 边的中点，且4BC =，6AO AD ⋅=，则△ABC 面积的最大值为___________.二、单选题11．设150a =，112ln sin cos 100100b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，651ln 550c =，则a ，b ，c 的大小关系正确的是（ ） A ．a b c << B ．a c b << C ．b c a <<D ．b a c <<12．已知函数π()sin (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有3个零点，则ω的取值范围是（ ）A ．81114,4,333⎡⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭B ．111417,4,333⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭C ．111417,5,333⎡⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭D ．141720,5,333⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭13．已知函数()21ln e 1xf x x -⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭，a ，b ，c 分别为ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，且222446,a b c ab +-=则下列不等式一定成立的是（ ） A ．()()sin cos f A f B ≤ B ．f (cos A )≤f (cos B ) C ．f (sin A )≥f (sin B )D ．f (sin A )≥f (cos B )14．已知ABC 的内角分别为,,A B C ，23cos 1sin 26A A =-，且ABC 的内切圆面积为π，则AB AC ⋅的最小值为（ ） A ．6B ．8C ．10D ．1215．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos sin sin()sin B C AA C bc C ⎛⎫++=⎪⎝⎭，3B π=，则a c +的取值范围是（ ） A ．3,32⎛⎤⎥ ⎝⎦B ．3,32⎛⎤⎥⎝⎦C ．3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦16．如图，将矩形纸片ABCD 折起一角落()EAF △得到EA F '△，记二面角A EF D '--的大小为π04θθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，直线A E '，A F '与平面BCD 所成角分别为α，β，则（ ）．A ．αβθ+>B ．αβθ+<C ．π2αβ+>D ．2αβθ+>17．在ABC 中，60BAC ∠=，3BC =，且有2CD DB =，则线段AD 长的最大值为（ ） A 13B ．2 C 31 D ．318．已知函数2log ,0,(),0,x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩函数()g x 满足以下三点条件：①定义域为R ；②对任意x ∈R ，有()()2g x g x π+=；③当[0,]x π∈时，()sin g x x =．则函数()()y f x g x =-在区间[4,4]ππ-上零点的个数为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．919．设函数242,0()sin ,60x x x f x x x ⎧-+≥=⎨-≤<⎩，对于非负实数t ，函数()y f x t =-有四个零点1x ，2x ，3x ，4x ．若1234x x x x <<<，则1234x x x x ++的取值范围中的整数个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．320．已知1F ，2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b ab-=>>的左、右焦点，过点1F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若2ABF 是钝角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（ ） A ．(21,)-+∞B ．(12,)++∞C ．(1,12)D ．(31,)++∞三、解答题21．函数()sin y x ωϕ=+与()cos y x ωϕ=+（其中0>ω，2πϕ<）在520,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的图象恰有三个不同的交点,,P M N ，PMN ∆为直角三角形，求ϕ的取值范围．22．（1）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，R 表示ABC ∆的外接圆半径. ①如图，在以O 圆心、半径为2的圆O 中，BC 和BA 是圆O 的弦，其中2BC =，45ABC ∠=︒，求弦AB 的长；②在ABC ∆中，若C ∠是钝角，求证：2224a b R +<；（2）给定三个正实数a 、b 、R ，其中b a ≤，问：a 、b 、R 满足怎样的关系时，以a 、b 为边长，R 为外接圆半径的ABC ∆不存在、存在一个或存在两个（全等的三角形算作同一个）？在ABC ∆存在的情况下，用a 、b 、R 表示c . 23．已知()sin ,2cos a x x =，()2sin ,sin b x x =，()f x a b =⋅ （1）求()f x 的解析式，并求出()f x 的最大值；（2）若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()f x 的最小值和最大值，并指出()f x 取得最值时x 的值.24．如图所示，在平面四边形ABCD 中，1,2,AB BC ACD ==∆为正三角形.（1）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若sin(2)3sin A C C +=，求角B 的大小；（2）求BCD ∆面积的最大值.25．已知函数()23sin 212cos f x x x =+-. （1）求()f x 的对称轴； （2）将()f x 的图象向左平移12π个单位后得到函数()g x 的图象，当0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()g x 的值域.26．如图，半圆的直径2AB =，O 为圆心，C ，D 为半圆上的点.（Ⅰ）请你为C 点确定位置,使ABC ∆的周长最大，并说明理由； （Ⅱ）已知AD DC =，设ABD θ∠=，当θ为何值时， （ⅰ）四边形ABCD 的周长最大，最大值是多少? （ⅱ）四边形ABCD 的面积最大，最大值是多少 27．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c . 已知10sin 2C =（1）若4a =，210c =ABC ∆的面积； （2）若ABC ∆91522213sin sin sin 16A B C +=，求c 的值.28．已知函数())233sin cos 0f x x x x ωωωω=+>的最小正周期为π.将函数()y f x =的图象上各点的横坐标变为原来的4倍，纵坐标变为原来的2倍，得到函数()y g x =的图象.（1）求ω的值及函数()g x 的解析式； （2）求()g x 的单调递增区间及对称中心29．已知函数()()()24sin sin cos sin cos sin 142x f x x x x x x π⎛⎫=+++-- ⎪⎝⎭.（1）求函数()f x 的最小正周期； （2）若函数()()()12122g x f x af x af x a π⎡⎤⎛⎫=+---- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦在,42ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最大值为2，求实数a 的值.30．已知a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，S 为ABC 的面积，()222sin SB C a c +=-． （1）证明：2A C =；（2）若2b =，且ABC 为锐角三角形，求S 的取值范围．【参考答案】一、填空题1．4⎡⎤⎣⎦2．①②④．3．140324．115．06．4333-7．8,83⎛⎫ ⎪⎝⎭8．①③9．80π 10．二、单选题 11．D 12．C 13．D 14．A 15．A 16．A 17．C 18．A 19．B 20．B 三、解答题21．,44ππϕ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦【解析】且为等腰三角形，由此可确定周期，进而得到ω的知；采用整体对应的方式可知若为三个交点只需95,,442πππϕϕ⎡⎤⎡⎤⊂+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，由此可构造不等式求得结果. 【详解】令t x ωϕ=+，结合sin y t =与cos y t =图象可知：sin y t =与cos y t =，其交点坐标分别为4π⎛ ⎝⎭，5,4π⎛ ⎝⎭，94π⎛ ⎝⎭，13,4π⎛ ⎝⎭，．．．，PMN ∆为等腰三角形．PMN ∆∴斜边长为2T πω==，解得，ω=；52553244T T=⋅<，∴两图象不可能四个交点； 由x ⎡∈⎢⎣⎦，有5,2t πϕϕ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，两图象有三个交点只需95,,442πππϕϕ⎡⎤⎡⎤⊂+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 由45924πϕπϕπ⎧≤⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩得：,44ππϕ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查根据三角函数的交点与性质求解解析式中的参数范围的问题，关键是能够利用正余弦函数的性质类比得到正弦型和余弦型函数的交点所满足的关系，从而根据两函数交点个数确定不等关系.22．（1）②证明见解析，（2）见解析. 【解析】 【分析】（1）①由正弦定理知2sin sin sin AB b aR C B A===，根据题目中所给的条件可求出AB 的长； ②若C ∠是钝角，则其余弦值小于零，由余弦定理得2222(2)a b c R +<<，即可证出结果；（2）根据图形进行分类讨论判断三角形的形状与两边,a b 的关系，以及与直径的大小的比较，分三类讨论即可. 【详解】（1）①解：因为1sin 22a A R ==，角A 为锐角，所以30A =︒因为45ABC ∠=︒，所以105C =︒由正弦定理得，2sin1054sin 75AB R =︒=︒②证明：因为C ∠是钝角，所以cos 0C <，且cos 1C ≠-所以222cos 02a b c C ab +-=<，所以2222(2)a b c R +<<， 即2224a b R +<（2）当2a R >或2a b R ==时，ABC ∆不存在当2a R b a =⎧⎨<⎩时，90A =︒，ABC ∆存在且只有一个所以c =当2a R b a <⎧⎨=⎩时，A B ∠=∠且都是锐角，sin sin 2a A B R ==时，ABC ∆存在且只有一个所以2sin c R C ==当2b a R <<时，B 总是锐角，A ∠可以是钝角，可以是锐角 所以ABC ∆存在两个当90A ∠<︒时，c =当90A ∠>︒时， c =【点睛】此题考查三角形中的几何计算，综合考查了三角形形状的判断然，三角形的外接圆等知识，综合性强，属于难题.23．（1）()f x 214x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭1.（2）0x =时，最小值0.38x π=1. 【解析】 【分析】（1）利用数量积公式、倍角公式和辅助角公式，化简()f x ，再利用三角函数的有界性，即可得答案； （2）利用整体法求出32444x πππ-≤-≤，再利用三角函数线，即可得答案. 【详解】（1）()22sin 2sin cos f x x x x =+1cos2sin2x x =-+214x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭∴sin 214x π⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，()f x ∴1.（2）由（1）得()214f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，32444x πππ∴-≤-≤.sin 214x π⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭， ∴当244x ππ-=-时，即0x =时，()f x 取最小值0.当242x ππ-=，即38x π=时，()f x 1. 【点睛】本题考查向量数量积、二倍角公式、辅助角公式、三角函数的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意整体法的应用.24．（1）23B π=；（21. 【解析】 【分析】（1）由正弦和角公式,化简三角函数表达式,结合正弦定理即可求得角B 的大小;（2）在ABC ∆中,设,ABC ACB αβ∠=∠=,由余弦定理及正弦定理用,αβ表示出CD .再根据三角形面积公式表示出∆BCD S ,即可结合正弦函数的图像与性质求得最大值. 【详解】 （1）由题意可得：sin2cos cos2sin 3sin A C A C C +=∴()22sin cos cos 12sin sin 3sin A A C A C C +-=整理得sin (cos cos sin sin )sin A A C A C C -= ∴sin cos()sin A A C C += ∴sin cos sin A B C -= ∴sin 1cos sin 2C c B A a =-=-=- 又(0,)B π∈ ∴23B π=（2）在ABC ∆中,设,ABC ACB αβ∠=∠=,由余弦定理得：22212212cos 54cos AC αα=+-⨯⨯=-, ∵ACD ∆为正三角形, ∴2254cos CD C A α=-=, 在ABC ∆中,由正弦定理得：1sin sin ACβα=, ∴sin sin AC βα=, ∴sin sin CD βα=,∵()222222(cos )1sin sin 54cos sin CD CD CD ββααα=-=-=--2(2cos )α=-,∵BAC β<∠,∴β为锐角,cos 2cos CD βα=-, 12sin sin 233BCD S CD CD ππββ∆⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1cos sin 2CD ββ=+,1cos )sin sin 23πααα⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭, ∵(0,)απ∈∴当56πα=时,()max 1BCD S ∆=. 【点睛】本题考查了三角函数式的化简变形,正弦定理与余弦定理在解三角形中的应用,三角形面积的表示方法,正弦函数的图像与性质的综合应用,属于中档题. 25．（1）23k x ππ=+(k Z ∈)（2）[]0,2 【解析】（1）利用三角恒等变换，化简函数解析式为标准型，再求对称轴； （2）先求平移后的函数解析式，再求值域. 【详解】（1）()222cos 1f x x x =-+2cos 2x x =-2sin 26x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭令：262x k πππ-=+，得23k x ππ=+， 所以()f x 的对称轴为23k x ππ=+(k Z ∈). （2）将()f x 的图象向左平移12π个单位后得到函数()g x ，所以()12g x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2sin 22sin 2126x x ππ⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦当0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，有220,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故[]sin 20,1x ∈， ()g x ∴的值域为[]0,2. 【点睛】本题考查利用三角恒等变换化简函数解析式，求解函数性质，同时涉及三角函数图象的平移，以及值域的求解问题.属三角函数综合基础题.26．（Ⅰ）点C 是半圆的中点，理由见解析； （Ⅱ）（ⅰ）6πθ=时，最大值5（ⅱ）6πθ=时，最大面积是334【解析】(Ⅰ)设BC a =,AC b =,AB c =,法一:依题意有222+=a b c ,再利用基本不等式求得2a b c +,从而得出结论;法二:由点C 在半圆上,AB 是直径,利用三角函数求出cos a c α=⋅,sin b c α=⋅,再利用三角函数的性质求出结论;(Ⅱ)(ⅰ)利用三角函数值表示四边形ABCD 的周长p ,再求p 的最大值;(ⅱ)利用三角函数值表示出四边形ABCD 的面积s ,再结合基本不等式求s 的最大值. 【详解】(Ⅰ)点C 在半圆中点位置时,ABC ∆周长最大.理由如下: 法一:因为点C 在半圆上,且AB 是圆的直径, 所以2ACB π∠=,即ABC ∆是直角三角形,设BC a =,AC b =,AB c =,显然a ,b ,c 均为正数,则222+=a b c , 因为222a b ab +≥,当且仅当a b =时等号成立,所以()()2222222a b a b ab a b +≥++=+,所以()2222a b a b c +≤+=, 所以ABC ∆的周长为()21222a b c c ++≤+=+,当且仅当a b =时等号成立,即ABC ∆为等腰直角三角形时,周长取得最大值,此时点C 是半圆的中点. 法二:因为点C 在半圆上,且AB 是圆的直径, 所以2ACB π∠=,即ABC ∆是直角三角形,设BC a =,AC b =,AB c =,02ABC παα⎛⎫∠=<< ⎪⎝⎭,则cos a c α=⋅,sin b c α=⋅,a b c ++cos sin c c c αα=⋅+⋅+()2cos sin 2αα=++22sin 24πα⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,因为02πα<<,所以3444πππα<+<, 所以当42ππα+=,即4πα=时, ABC ∆周长取得最大值222+,此时点C 是半圆的中点.(Ⅱ)(ⅰ)因为AD DC =,所以ABD DBC θ∠=∠=, 所以sin AD DC AB θ==⋅,cos2CB AB θ=⋅, 设四边形ABCD 的周长为p , 则p AD DC CB AB =+++2sin cos22AB AB θθ=++()2214sin 212sin 254sin 2θθθ⎛⎫=+-+=-- ⎪⎝⎭,显然0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以当6πθ=时,p 取得最大值5;(ⅱ)过O 作OE BC ⊥于E ,设四边形ABCD 的面积为s ,四边形AOCD 的面积为1s ,BOC ∆的面积为2s ,则 121122s s s AC OD BC OE =+=⋅+⋅ 11sin 21cos 2sin 222AB AB θθθ=⋅+⋅ sin 2cos2sin 2θθθ=+⋅()sin 21cos2θθ=+, 所以()222sin 21cos2s θθ=+()()221cos 21cos 2θθ=-+()()31cos21cos2θθ=-+()()331cos 21cos 23θθ=-+()()()2231cos 21cos 211cos 232θθθ-++⎡⎤≤+⎢⎥⎣⎦()()()231cos 21cos 211cos 232θθθ-++⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦()()()2231cos 21cos 21cos 21232θθθ⨯-++⎡⎤++⎢⎥≤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦()()()431cos 21cos 221cos 2134θθθ-++++⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 413273216⎛⎫==⎪⎝⎭; 当且仅当()31cos21cos2θθ-=+,即1cos 22θ=时,等号成立, 显然04πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,所以202πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,所以此时6πθ=,所以当6πθ=时,s =,即四边形ABCD 【点睛】本题考查解三角形的应用问题,考查三角函数与基本不等式的应用,需要学生具备一定的计算分析能力,属于中档题.27．（1）2）c = 【解析】 【分析】（1）先根据sin2C =sin C 与cos C ，再利用余弦定理求出b 边，最后利用1sin 2ABC S ab C ∆=求出答案；（2）利用正弦定理将等式化为变得关系，再利用余弦定理化为2c 与ab 的关系式，再结合面积求出c 的值． 【详解】解：（1）因为sin2C =所以2101cos 12sin122164C C =-=-⨯=-．又()0,C π∈，所以sin C =．因为4a =，c =2222cos c a b ab C =+-， 所以214016244b b ⎛⎫=+-⨯⨯- ⎪⎝⎭，解得4b =，所以11sin 4422ABC S ab C ∆==⨯⨯= （2）因为22213sin sin sin 16A B C +=，由正弦定理，得2221316a b c +=． 又2222cos a b ab C c +-=，所以283c ab =．又1sin 2ABC S ab C ∆=，得18ab =，所以248c =，所以c =【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，属于基础题．28．（1）1ω=，()2sin()23x g x π=+；（2）单调递增区间为54,433k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈，对称中心为2(2,0)()3k k ππ-∈Z . 【解析】 【分析】（1）整理()f x 可得：()sin(2)3f x x πω=+，利用其最小正周期为π即可求得：1ω=，即可求得：()sin(2)3f x x π=+，再利用函数图象平移规律可得：()2sin()23x g x π=+，问题得解. （2）令222232x k k πππππ-≤+≤+，k Z ∈，解不等式即可求得()g x 的单调递增区间；令23x k ππ+=，k Z ∈，解方程即可求得()g x 的对称中心的横坐标，问题得解. 【详解】解：（1）1()2sin 2sin(2)23f x x x x πωωω=+=+， 由22ππω=,得1ω=. 所以()sin(2)3f x x π=+.于是()y g x =图象对应的解析式为()2sin()23x g x π=+.（2）由222232x k k πππππ-≤+≤+,k Z ∈得 54433k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈ 所以函数()g x 的单调递增区间为54,433k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. 由23x k ππ+=，解得22()3x k k ππ=-∈Z . 所以()g x 的对称中心为2(2,0)()3k k ππ-∈Z . 【点睛】本题主要考查了二倍角公式、两角和的正弦公式应用及三角函数性质，考查方程思想及转化能力、计算能力，属于中档题． 29．(1) 2T π=；(2)2a =-或6a = 【解析】 【分析】（1）根据二倍角公式进行整理化简可得()2sin f x x =，从而可得最小正周期；（2）将()g x通过换元的方式变为21112y t at a =-+--，1t ≤；讨论对称轴的具体位置，分别求解最大值，从而建立方程求得a 的值. 【详解】（1）()2221cos sin cos sin 12f x x x x x π⎡⎤⎛⎫=-++-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()222sin sin 12sin 12sin x x x x =++--= ∴最小正周期2T π=（2）()1sin2sin cos 12g x a x a x x a =+---令sin cos x x t -=，则()22sin 21sin cos 1x x x t =--=-22221111122242a a y t at a t at a t a ⎛⎫∴=-+--=-+-=--+- ⎪⎝⎭sin cos 4t x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭由42x ππ-≤≤得244x πππ-≤-≤1t ≤①当2a<a <-当t =max 122y a ⎫=--⎪⎭由1222a ⎫--=⎪⎭，解得()817a ==->-)②当12a≤，即2a -≤时 当2a t =时，2max 142a y a =- 由21242a a -=得2280a a --=，解得2a =-或4a =（舍去） ③当12a>，即2a >时 当1t =时，max 12a y =-，由122a-=，解得6a = 综上，2a =-或6a = 【点睛】本题考查正弦型函数最小正周期的求解、利用二次函数性质求解与三角函数有关的值域问题，解题关键是通过换元的方式将所求函数转化为二次函数的形式，再利用对称轴的位置进行讨论；易错点是忽略了换元后自变量的取值范围.30．（1）见解析；（2）2⎫⎪⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）利用三角形面积公式表示S ，结合余弦定理和正弦定理，建立三角函数等式，证明结论，即可．（2）结合三角形ABC 为锐角三角形，判定tanC 的范围，利用tanC 表示面积，结合S 的单调性，计算范围，即可． 【详解】(1)证明：由()222sin S B C a c +=-，即222sin SA a c =-，22sin sin bc A A a c∴=-，sin 0A ≠，22a c bc ∴-=， 2222cos abc bc A =+-，2222cos a c b bc A ∴-=-， 22cos b bc A bc ∴-=，2cos b c A c ∴-=，sin 2sin cos sin B C A C ∴-=，()sin 2sin cos sin A C C A C ∴+-=，sin cos cos sin sin A C A C C ∴-=， ()sin sin A C C ∴-=，A ，B ，()0,C π∈，2A C ∴=．(2)解：2A C =，3B C π∴=-，sin sin3B C ∴=．sin sin a b A B =且2b =， 2sin2sin3Ca C∴=， ()212sin2sin 2sin2sin 2tan2tan 4tan 4sin 32sin 2sin2cos cos2sin tan2tan 3tan tan tan C C C C C C C S ab C C C C C C C C C CC C∴======+++--，ABC 为锐角三角形，20,230,20,2A C B C C ππππ⎧⎛⎫=∈ ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫∴=-∈⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫∈⎪⎪⎝⎭⎩，,64C ππ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，tan C ⎫∴∈⎪⎪⎝⎭， 43tan tan S CC=-为增函数，2 S ⎫∴∈⎪⎪⎝⎭．【点睛】考查了正弦定理，考查了余弦定理，考查了三角形面积公式，考查了函数单调性判定，难度偏难．。

2012中山二中高一第二学期三角与向量综合复习重点题型1．若向量),sin ,(cos ),sin ,(cos ββαα==b a 则与一定满足 （ ）（A ）b a 与的夹角等于βα- (B))(+⊥)(- ( C) a ∥b ( D) a ⊥b 2. 已知313sin =⎪⎭⎫⎝⎛-πα，则=⎪⎭⎫⎝⎛+απ6cos （ ） （A ）31-（B ） 31（C ） 332 （D ）332-3 在ABC △中，已知D 是AB 边上一点，若123AD DB CD CA CB λ==+，，则λ=（ ） （A ）．23（B ）．13 （C ）．13-（D ）．23-4．已知函数cos 223y x π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，按向量a 平移所得图象的解析式为()y f x =，当()y f x =为奇函数时，向量a 可以是（ ） （A ）,26π⎛⎫-- ⎪⎝⎭ （B ）,26π⎛⎫⎪⎝⎭ （C ）,212π⎛⎫-- ⎪⎝⎭（D ）,212π⎛⎫-⎪⎝⎭5．已知→a ＝(cos40︒，sin40︒)，→b ＝(cos20︒，sin20︒)，则→a ·→b ＝（ ）A ．1B ．32C ．12D ．226．将函数y ＝2sin2x －π2的图象按向量(π2，π2)平移后得到图象对应的解析式是 （ ）A ．2cos2xB ．－2cos2xC ．2sin2xD ．－2sin2x 7．已知△ABC 中，＝，＝，若·＜0，则△ABC 是（ ）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．任意三角形 8．设→a ＝(32,sin α)，→b ＝(cos α,13)，且→a ∥→b ，则锐角α为（ ）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．75︒9．已知→a ＝(sin θ，1＋cos θ)，→b ＝(1，1－cos θ)，其中θ∈(π，3π2)，则一定有（ ） A ．→a ∥→bB ．→a ⊥→bC ．→a 与→b 夹角为45°D ．|→a |＝|→b |10．已知向量a →＝(6，－4)，b →＝(0，2),c →＝a →＋λb →，若C 点在函数y ＝sin π12x 的图象上,实数λ＝（ ）A ．52 B ．32C ．－52D ．－3211．由向量把函数y ＝sin(x ＋5π6)的图象按向量→a ＝(m ，0)(m ＞0)平移所得的图象关于y 轴对称，则m 的最小值为（ ）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π612．设0≤θ≤2π时，已知两个向量＝(cos θ，sin θ)，＝(2＋sin θ，2－cos θ)，则向量长度的最大值是（ ）A ． 2 B ． 3 C ．3 2 D ．2 313．若向量→a ＝(cos α,sin α)，→b ＝(cos β,sin β)，则→a 与→b 一定满足（ ）A ．→a 与→b 的夹角等于α－βB ．→a ⊥→bC ．→a ∥→bD ．(→a ＋→b )⊥(→a －→b )14．已知向量→a ＝(cos25︒,sin25︒)，→b ＝(sin20︒,cos20︒)，若t 是实数，且→u ＝→a ＋t →b ，则|→u |的最小值为（ ）A ．2B ．1C ．22D ．1215．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是该平面上不共线的3个点，一动点P 满足：→OP＝→OA ＋λ(→AB ＋→AC)，λ∈(0,＋∞)，则直线AP 一定通过△ABC 的 （ ） A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心16．对于非零向量→a 我们可以用它与直角坐标轴的夹角α,β(0≤α≤π,0≤β≤π)来表示它的方向，称α,β为非零向量→a 的方向角，称cos α,cos β为向量→a 的方向余弦，则cos 2α＋cos 2β＝（ ） A ．1B ．32C ．12D ．017．已知向量→m ＝(sin θ，2cos θ)，→n ＝(3,－12).若→m ∥→n ，则sin2θ的值为____________．18．已知在△OAB(O 为原点)中，→OA＝(2cos α，2sin α)，→OB ＝(5cos β，5sin β)，若→OA ·→OB ＝－5，则S △AOB 的值为_____________.19．将函数f (x )＝tan(2x ＋π3)＋1按向量a 平移得到奇函数g(x )，要使|a |最小，则a ＝20．已知向量＝(1，1)向量与向量夹角为3π4，且·＝－1.则向量＝__________．21．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若→AB·→AC ＝→BA ·→BC ＝k(k ∈R). （Ⅰ）判断△ABC 的形状；（Ⅱ）若c ＝2，求k 的值．22．已知向量→m ＝(sinA,cosA)，→n ＝(3,－1)，→m ·→n ＝1，且A 为锐角.(Ⅰ)求角A 的大小；(Ⅱ)求函数f(x)＝cos2x ＋4cosAsinx(x ∈R)的值域．23．在△ABC 中，A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，已知向量→m ＝(1，2sinA)，→n ＝(sinA ，1＋cosA)，满足→m ∥→n ，b ＋c ＝3a.(Ⅰ)求A 的大小；(Ⅱ)求sin(B ＋π6)的值．24．已知A 、B 、C 的坐标分别为A （4，0），B （0，4），C （3cos α，3sin α）.（Ⅰ）若α∈(－π，0)，且|→AC|＝|→BC|，求角α的大小； （Ⅱ）若→AC ⊥→BC ，求2sin 2α＋sin2α1＋tan α的值．25．△ABC 的角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，→m ＝(2b －c ，a)，→n ＝(cosA ，－cosC)，且→m⊥→n ．(Ⅰ)求角A 的大小；(Ⅱ)当y ＝2sin 2B ＋sin(2B ＋π6)取最大值时，求角B 的大小.26．已知→a ＝(cosx ＋sinx ，sinx)，→b ＝(cosx －sinx ，2cosx)，（Ⅰ）求证：向量→a 与向量→b 不可能平行；（Ⅱ）若f(x)＝→a ·→b ，且x ∈[－π4,π4]时，求函数f(x)的最大值及最小值．27 把函数y ＝sin2x 的图象按向量→a ＝(－π6，－3)平移后，得到函数y ＝Asin(ωx ＋ϕ)(A ＞0，ω＞0，|ϕ|＝π2)的图象，则ϕ和B 的值依次为（ ）A ．π12，－3B ．π3，3C ．π3，－3D ．－π12，328 已知A 、B 、C 为三个锐角，且A ＋B ＋C ＝π.若向量→p ＝(2－2sinA ，cosA ＋sinA)与向量→q ＝(cosA －sinA ，1＋sinA)是共线向量.（Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）求函数y ＝2sin 2B ＋cosC －3B2的最大值. 29 已知向量→a ＝(3sin α,cos α)，→b ＝(2sin α，5sin α－4cos α)，α∈(3π2，2π)，且→a ⊥→b ．（Ⅰ）求tan α的值；（Ⅱ）求cos(α2＋π3)的值．30已知向量→a ＝(cos α,sin α)，→b ＝(cos β,sin β)，|→a －→b |＝25 5.(Ⅰ)求cos(α－β)的值；(Ⅱ)若－π2＜β＜0＜α＜π2，且sin β＝－513，求sin α的值.31 设函数f(x)＝→a ·→b.其中向量→a ＝(m ，cosx)，→b ＝(1＋sinx ，1)，x ∈R ，且f(π2)＝2.（Ⅰ）求实数m 的值；（Ⅱ）求函数f(x)的最小值.32． 如图，已知AB ＝（6，1），CD ＝（－2，－3），设BC ＝（x ，y ）， （Ⅰ）若四边形ABCD 为梯形，求x 、y 间的函数的关系式； （Ⅱ）若以上梯形的对角线互相垂直，求BC 。

29．函数 的最小值为（ ）
A． B．0 C． D．1
30．在 中，角 对应的边分别为 ，若 ，则角 等于（ ）
A．30° B．60°
C．30°或150° D．60°或120°
31．设直线 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，则 的一个充分条件是（ ）
A. B.
C. D.
32．已知函数 ，若 且 ，则 的取值围是（ ）
三、解答题（题型注释）
43．在 中，角 的对边分别是 已知向量
,且 .
（1）求角 的大小；
（2）若 面积的最大值。
44．已知函数f（x）=2sin ωx cos ωx+ cos 2ωx（ω>0）的最小正周期为π.
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间.
45．已知等比数列 中， .若 ，数列 前 项的和为 .
（Ⅰ）若 ，求 的值；
（Ⅱ）求不等式 的解集.
（Ⅲ）设 ,求数列 的前n项的和Tn。
46．已知数列 与 满足 .
（1）若 数列 的通项公式；
（2）若 且 对一切 恒成立,数 的取值围.
47．设 是数列 的前 项和，已知 ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）令 ，求数列 的前 项和 .
48．(本小题共13分)
A. 143B. 156C. 168D. 195
8．已知数列｛ n｝是等比数列， 1=1，并且 2， 2+1， 3成等差数列，则 4=（ ）
A、－1 B、－1或4 C、 －1或8 D、8
9． 在△ABC中， ， ，A=120°，则B等于
A.30°B.60°C.150°D. 30°或150°[来源:ZXXK]
10．在 中， 、 、 分别是角A、B、C所对的边， ，则 的面积 （ ）