第3讲 空间点、直线、平面之间的位置关系, )1．四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内． 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 2．空间直线的位置关系 (1)位置关系的分类⎩⎪⎨⎪⎧共面直线⎩⎪⎨⎪⎧平行相交异面直线：不同在任何一个平面内(2)异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间中任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．②范围：⎝⎛⎥⎤0，π2．(3)定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 3．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系 (1)空间中直线与平面的位置关系1．辨明三个易误点(1)正确理解异面直线“不同在任何一个平面内”的含义，不要理解成“不在同一个平面内”．(2)不共线的三点确定一个平面，一定不能丢掉“不共线”的条件． (3)两条异面直线所成角的范围是(0°，90°]． 2．证明共线问题的两种途径(1)先由两点确定一条直线，再证其他点都在这条直线上； (2)直接证明这些点都在同一条特定直线上． 3．证明共面问题的两种途径(1)首先由条件中的部分线(或点)确定一个平面，再证其他线(或点)在此平面内； (2)将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证明这两个平面重合．1.教材习题改编 下列命题正确的是( ) A ．经过三点确定一个平面B ．经过一条直线和一个点确定一个平面C ．四边形确定一个平面D ．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面D A 选项考查公理2，即三点必须不在同一条直线上，才能确定平面；B 选项如果点在直线上，则该直线和这个点不能确定平面；C 选项中的四边形有可能是空间四边形，只有D 是正确的．2.教材习题改编 下列命题是真命题的是( )A ．m 、n 是两直线，α，β是两平面，若m ⊂α，n ⊂β，则m 、n 是异面直线B ．m 、n 、l 是三条直线，若m ⊥n ，且l 与m 成50°角，则l 与n 成40°角C ．平面α∥平面β，直线m ∥α，则m ∥βD ．在长方体的十二条棱中，将是异面关系的两条棱记为“一对异面直线”，则这十二条棱中共有24对异面直线D 对于A ，m 与n 可能平行或相交，故A 错．对于B ，l 与n 所成的角不确定，故B 错．对于C ，m 可能在平面β内，故C 错．对于D ，如图，在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，与AA 1成为一对异面直线的有BC 、DC 、B 1C 1、D 1C 1共4对．故异面直线对数为12×42＝24.故D 正确．3.教材习题改编 已知空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是( )A ．空间四边形B ．矩形C ．菱形D ．正方形B 如图所示，易证四边形EFGH 为平行四边形． 因为E ，F 分别为AB ，BC 的中点， 所以EF ∥AC . 又FG ∥BD ，所以∠EFG 或其补角为AC 与BD 所成的角． 而AC 与BD 所成的角为90°， 所以∠EFG ＝90°， 故四边形EFGH 为矩形．4．如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是( )D A，B，C图中四点一定共面，D中四点不共面．5.教材习题改编如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，AC与A1B所成角的大小为________．连接A1C1与BC1(图略)，由正方体性质知AC∥A1C1.则∠BA1C1即为AC与A1B所成的角，且A1C1＝A1B＝BC1.所以∠BA1C1＝60°.60°平面的基本性质如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点．求证：E、C、D1、F四点共面．【证明】如图所示，连接CD1、EF、A1B，因为E、F分别是AB和AA1的中点，所以EF ∥A 1B 且EF ＝12A 1B .又因为A 1D 1═ ∥BC ，所以四边形A 1BCD 1是平行四边形， 所以A 1B ∥CD 1，所以EF ∥CD 1， 所以EF 与CD 1确定一个平面α，所以E 、F 、C 、D 1∈α，即E 、C 、D 1、F 四点共面．本例条件不变，如何证明“CE ，D 1F ，DA 交于一点”？ 如图，由本例知EF ∥CD 1，且EF ＝12CD 1，所以四边形CD 1FE 是梯形，所以CE 与D 1F 必相交，设交点为P ， 则P ∈CE ，且P ∈D 1F ，又CE ⊂平面ABCD ，且D 1F ⊂平面A 1ADD 1， 所以P ∈平面ABCD ，且P ∈平面A 1ADD 1. 又平面ABCD ∩平面A 1ADD 1＝AD ，所以P ∈AD ， 所以CE 、D 1F 、DA 三线共点．共点、共线、共面问题的证明方法(1)证明点共线问题：①公理法：先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，再根据基本公理3证明这些点都在交线上；②同一法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上．(2)证明线共点问题：先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过该点． (3)证明点、直线共面问题：①纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内；②辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α、β重合．已知空间四边形ABCD (如图所示)，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，G 、H分别是BC 、CD 上的点，且CG ＝13BC ，CH ＝13DC .求证：(1)E 、F 、G 、H 四点共面； (2)三直线FH 、EG 、AC 共点．(1)连接EF 、GH ，因为E 、F 分别是AB 、AD 的中点， 所以EF ∥BD .又因为CG ＝13BC ，CH ＝13DC ，所以GH ∥BD ， 所以EF ∥GH ，所以E 、F 、G 、H 四点共面．(2)易知FH 与直线AC 不平行，但共面， 所以设FH ∩AC ＝M ，所以M ∈平面EFHG ，M ∈平面ABC . 又因为平面EFHG ∩平面ABC ＝EG ， 所以M ∈EG ，所以FH 、EG 、AC 共点．空间两直线的位置关系(1)在图中，G ，N ，M ，H 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH ，MN 是异面直线的图形有________．(填上所有正确答案的序号)(2)如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH所在直线在原正方体中互为异面的对数为________对．【解析】(1)图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M∉面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G，M，N共面，但H∉面GMN，因此GH与MN异面．所以在图②④中，GH与MN异面．(2)平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则AB，CD，EF和GH在原正方体中，显然AB与CD，EF与GH，AB与GH都是异面直线，而AB与EF相交，CD与GH相交，CD与EF平行．故互为异面的直线有且只有3对．【答案】(1)②④(2)31．若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是( )A．l与l1，l2都不相交B ．l 与l 1，l 2都相交C ．l 至多与l 1，l 2中的一条相交D ．l 至少与l 1，l 2中的一条相交D 由直线l 1和l 2是异面直线可知l 1与l 2不平行，故l 1，l 2中至少有一条与l 相交． 2. 如图，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为棱C 1D 1，C 1C 的中点，有以下四个结论：①直线AM 与CC 1是相交直线； ②直线AM 与BN 是平行直线； ③直线BN 与MB 1是异面直线； ④直线AM 与DD 1是异面直线．其中正确的结论为________(把你认为正确的结论的序号都填上)． 直线AM 与CC 1是异面直线，直线AM 与BN 也是异面直线，故①②错误． ③④异面直线所成的角空间四边形ABCD 中，AB ＝CD 且AB 与CD 所成的角为30°，E 、F 分别为BC 、AD的中点，求EF 与AB 所成角的大小．【解】 取AC 的中点G ，连接EG 、FG ，则EG ═∥12AB ，FG ═∥12CD ， 由AB ＝CD 知EG ＝FG ，所以∠GEF (或它的补角)为EF 与AB 所成的角，∠EGF (或它的补角)为AB 与CD 所成的角．因为AB 与CD 所成的角为30°， 所以∠EGF ＝30°或150°. 由EG ＝FG 知△EFG 为等腰三角形， 当∠EGF ＝30°时，∠GEF ＝75°； 当∠EGF ＝150°时，∠GEF ＝15°. 故EF 与AB 所成的角为15°或75°.直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC ＝CA ＝CC 1，则BM 与AN 所成角的余弦值为( )A ．110 B ．25 C ．3010D ．22C 如图，取BC 的中点D ， 连接MN ，ND ，AD ，由于MN ═ ∥12B 1C 1═ ∥BD ， 因此有ND ═ ∥BM ，则ND 与NA 所成角即为异面直线BM 与AN 所成角． 设BC ＝2，则BM ＝ND ＝6，AN ＝5，AD ＝5，因此cos ∠AND ＝ND 2＋NA 2－AD 22ND ·NA ＝3010., )——构造直观模型判断空间线面位置关系已知m ，n 是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，有下列四个命题： ①若m ⊥α，n ⊥β，m ⊥n ，则α⊥β； ②若m ∥α，n ∥β，m ⊥n ，则α∥β； ③若m ⊥α，n ∥β，m ⊥n ，则α∥β； ④若m ⊥α，n ∥β，α∥β，则m ⊥n . 其中所有正确的命题是( ) A ．①④ B ．②④ C ．①D ．④【解析】 借助于长方体模型来解决本题，对于①，可以得到平面α，β互相垂直，如图(1)所示，故①正确；对于②，平面α、β可能垂直，如图(2)所示，故②不正确；对于③，平面α、β可能垂直，如图(3)所示，故③不正确；对于④，由m ⊥α，α∥β可得m ⊥β，因为n ∥β，所以过n 作平面γ，且γ∩β＝g ，如图(4)所示，所以n 与交线g 平行，因为m ⊥g ，所以m ⊥n ，故④正确．【答案】 A(1)此类空间位置关系的判断是一个难点，本题通过构造长方体模型，将已知条件中的线、面分别与长方体中的某些棱、面对应，从而使问题得以解决．(2)构造法实质上是结合题意构造合题意的直观模型，然后将问题利用模型直观地作出判断，这样减少了抽象性，避免了因考虑不全面而导致解题错误．(3)对于线面、面面平行、垂直的位置关系的判定，可构造长方体或正方体化抽象为直观去判断．1.已知空间三条直线l ，m ，n ，若l 与m 异面，且l 与n 异面，则( )A ．m 与n 异面B ．m 与n 相交C ．m 与n 平行D．m与n异面、相交、平行均有可能D 在如图所示的长方体中，m，n1与l都异面，但是m∥n1，所以A，B错误；m，n2与l都异面，且m，n2也异面，所以C错误．2．在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1、CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线有________条．法一：如图，在EF上任意取一点M，直线A1D1与M确定一个平面，这个平面与CD有且仅有一个交点N，当M取不同的位置时就确定不同的平面，从而与CD有不同的交点N，而直线MN与这三条异面直线都有交点，所以在空间中与这三条直线都相交的直线有无数条．法二：在A1D1上任取一点P，过点P与直线EF作一个平面α，因为CD与平面α不平行，所以它们相交，设它们交于点Q，连接PQ(图略)，则PQ与EF必然相交，即PQ为所求直线．由点P的任意性，知有无数条直线与三条直线A1D1，EF，CD都相交．无数,)1．四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定的平面个数有( )A．4个B．3个C．2个D．1个A 首尾相连的四条线段每相邻两条确定一个平面，所以最多可以确定四个平面．2．(2016·高考山东卷)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内．则“直线a 和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A 若直线a，b相交，设交点为P，则P∈a，P∈b.又a⊂α，b⊂β，所以P∈α，P∈β，故α，β相交．反之，若α，β相交，则a，b可能相交，也可能异面或平行．故“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．3．已知l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( )A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面B 在空间中，垂直于同一直线的两条直线不一定平行，故A错；两条平行直线中的一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线，B正确；相互平行的三条直线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱，故C错；共点的三条直线不一定共面，如三棱锥的三条侧棱，故D错．4．若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是( )A．l1⊥l4B．l1∥l4C．l1与l4既不垂直也不平行D．l1与l4的位置关系不确定D 如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，记l1＝DD1，l2＝DC，l3＝DA，若l4＝AA1，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，此时l1∥l4，可以排除选项A和C.若l4＝DC1，也满足条件，可以排除选项B.故选D.5. 如图，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且C∉l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必经过( )A．点A B．点BC．点C但不过点M D．点C和点MD 因为AB⊂γ，M∈AB，所以M∈γ.又α∩β＝l，M∈l，所以M∈β.根据公理3可知，M在γ与β的交线上．同理可知，点C也在γ与β的交线上．6．(2017·郑州模拟) 如图所示，ABCD A 1B 1C 1D 1是正方体，O 是B 1D 1的中点，直线A 1C 交平面AB 1D 1于点M ，则下列结论正确的是( )A ．A ，M ，O 三点共线B ．A ，M ，O ，A 1不共面C ．A ，M ，C ，O 不共面D ．B ，B 1，O ，M 共面A 连接A 1C 1，AC (图略)，则A 1C 1∥AC ，所以A 1，C 1，A ，C 四点共面，所以A 1C ⊂平面ACC 1A 1. 因为M ∈A 1C ，所以M ∈平面ACC 1A 1. 又M ∈平面AB 1D 1，所以M 在平面ACC 1A 1与平面AB 1D 1的交线上， 同理A ，O 在平面ACC 1A 1与平面AB 1D 1的交线上． 所以A ，M ，O 三点共线．7. 如图，平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中既与AB 共面又与CC 1共面的棱有________条．依题意，与AB 和CC 1都相交的棱有BC ；与AB 相交且与CC 1平行有棱AA 1，BB 1；与AB 平行且与CC 1相交的棱有CD ，C 1D 1.故符合条件的有5条．58．如图所示，在空间四边形ABCD 中，点E 、H 分别是边AB 、AD 的中点，点F 、G 分别是边BC 、CD 上的点，且CF CB ＝CG CD ＝23，则下列说法正确的是________．①EF 与GH 平行； ②EF 与GH 异面；③EF 与GH 的交点M 可能在直线AC 上，也可能不在直线AC 上； ④EF 与GH 的交点M 一定在直线AC 上．连接EH ，FG ，依题意，可得EH ∥BD ，FG ∥BD ，故EH ∥FG ，所以E 、F 、G 、H 共面．因为EH ＝12BD ，FG ＝23BD ，故EH ≠FG ，所以EFGH 是梯形，EF 与GH 必相交，设交点为M .因为点M 在EF 上，故点M 在平面ACB 上．同理，点M 在平面ACD 上，所以点M 是平面ACB 与平面ACD 的交点，又AC 是这两个平面的交线，所以点M 一定在直线AC 上．④9. 如图所示，正方体的棱长为1，B ′C ∩BC ′＝O ，则AO 与A ′C ′所成角的度数为________．连接AC .因为A ′C ′∥AC ，所以AO 与A ′C ′所成的角就是∠OAC (或其补角)． 因为OC ⊥OB ，AB ⊥平面BB ′C ′C ， 所以OC ⊥AB .又AB ∩BO ＝B ， 所以OC ⊥平面ABO .又OA ⊂平面ABO ，所以OC ⊥OA . 在Rt △AOC 中，OC ＝22，AC ＝2， sin ∠OAC ＝OC AC ＝12，所以∠OAC ＝30°.即AO 与A ′C ′所成角的度数为30°. 30°10．已知a ，b ，c 为三条不同的直线，且a ⊂平面α，b ⊂平面β，α∩β＝c . ①若a 与b 是异面直线，则c 至少与a ，b 中的一条相交； ②若a 不垂直于c ，则a 与b 一定不垂直； ③若a ∥b ，则必有a ∥c ； ④若a ⊥b ，a ⊥c ，则必有α⊥β. 其中正确的命题为________．①中若a 与b 是异面直线，则c 至少与a ，b 中的一条相交，故①正确；②中平面α⊥平面β时，若b ⊥c ，则b ⊥平面α，此时不论a ，c 是否垂直，均有a ⊥b ，故②错误；③中当a ∥b 时，则a ∥平面β，由线面平行的性质定理可得a ∥c ，故③正确；④中若b ∥c ，则a ⊥b ，a ⊥c 时，a 与平面β不一定垂直，此时平面α与平面β也不一定垂直，故④错误．①③11. 如图所示，A 是△BCD 所在平面外的一点，E ，F 分别是BC ，AD 的中点．(1)求证：直线EF 与BD 是异面直线； (2)若AC ⊥BD ，AC ＝BD ，求EF 与BD 所成的角．(1)证明：假设EF 与BD 不是异面直线，则EF 与BD 共面，从而DF 与BE 共面，即AD 与BC 共面，所以A ，B ，C ，D 在同一平面内，这与A 是△BCD 所在平面外的一点相矛盾．故直线EF 与BD 是异面直线．(2)取CD 的中点G ，连接EG ，FG ，则AC ∥FG ，EG ∥BD ，所以相交直线EF 与EG 所成的角，即为异面直线EF 与BD 所成的角．又因为AC ⊥BD ，则FG ⊥EG .在Rt △EGF 中，由EG ＝FG ＝12AC ，求得∠FEG ＝45°，即异面直线EF 与BD 所成的角为45°.12．设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，2和a ，且长为a 的棱与长为2的棱异面，则a 的取值范围是________．构造四面体ABCD ，使AB ＝a ，CD ＝2，AD ＝AC ＝BC ＝BD ＝1，取CD 的中点E ，则AE ＝BE ＝22， 所以22＋22>a ，所以0<a < 2. 0<a < 213．如图，在三棱锥P ABC 中，PA ⊥底面ABC ，D 是PC 的中点．已知∠BAC ＝π2，AB ＝2，AC ＝23，PA ＝2.求：(1)三棱锥P ABC 的体积；(2)异面直线BC 与AD 所成角的余弦值．(1)S △ABC ＝12×2×23＝23，三棱锥P ABC 的体积为V ＝13S △ABC ·PA ＝13×23×2＝433.(2)如图，取PB 的中点E ，连接DE ，AE ，则ED ∥BC ，所以∠ADE (或其补角)是异面直线BC 与AD 所成的角．在△ADE 中，DE ＝2，AE ＝2，AD ＝2， cos ∠ADE ＝22＋22－22×2×2＝34.故异面直线BC 与AD 所成角的余弦值为34.14. 如图，平面ABEF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 与四边形ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠FAB ＝90°，BC ═ ∥12AD ，BE ═ ∥12FA ，G ，H 分别为FA ，FD 的中点．(1)求证：四边形BCHG 是平行四边形； (2)C ，D ，F ，E 四点是否共面？为什么？ (1)证明：由题设知，FG ＝GA ，FH ＝HD ， 所以GH ═ ∥12AD .又BC ═ ∥12AD ， 故GH ═ ∥BC .所以四边形BCHG 是平行四边形． (2)C ，D ，F ，E 四点共面． 理由如下：由BE ═ ∥12FA ，G 是FA 的中点知，BE ═ ∥GF ， 所以EF ═ ∥BG . 由(1)知BG ∥CH ，所以EF ∥CH ，故EC 、FH 共面． 又点D 在直线FH 上， 所以C ，D ，F ，E 四点共面．。
