荥阳高中高一数学期中考试

河南高一高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.若全集，则集合等于（）A．B．C．D．2.下列函数中，其定义域和值域分别与函数的定义域和值域相同的是（）A．B．C．D．3.函数的图象的大致形状是（）A．B．C．D．4.函数的图象一定经过点（）A．B．C．D．5.已知函数（且）在上单调递减，则的取值范围是（）A．B．C．D．6.若，则的定义域为（）A．B．C．D．7.三个数大小的顺序是（）A．B．C．D．8.若，规定：，例如：，则的奇偶性为（）A．是奇函数不是偶函数B．是偶函数不是奇函数C．既是奇函数又是偶函数D．既不是奇函数又不是偶函数9.已知是奇函数并且是上的单调函数，若函数只有一个零点，则实数的值是（）A．B．C．D．10.已知符号表示不超过的最大整数，函数，则以下结论正确的是（）A．函数的值域为B．函数没有零点C．函数是上的减函数D．函数有且仅有3个零点时11.已知函数满足，若函数与图像的交点为，则（）A．0B．C．D．二、填空题1.已知集合，则集合的真子集的个数是___________．2.若函数的定义域为，则实数的取值范围是____________．3.函数的单调递增区间为___________．4.已知函数，若对于任意实数与的值至少有一个为正数，则实数的取值范围是____________．三、解答题1.已知函数的定义域为集合，函数的值域为集合．（1）求；（2）若集合，且，求实数的取值范围．2.计算：（1）；（2）．3.若是定义在上的增函数，且．（1）求的值；（2）若，解不等式．4.某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元．（1）设一次订购量为个，零件的实际出厂单价为元，写出函数的表达式；（2）当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个，利润又是多少元？（工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价-成本）5.已知二次函数有两个零点0和-2，且最小值是-1，函数与的图象关于原点对称．（1）求和的解析式；（2）若在区间上是增函数，求实数的取值范围．6.已知函数，在区间上有最大值4，最小值1，设．（1）求的值；（2）不等式在上恒成立，求实数的取值范围；（3）方程有四个不同的实数解，求实数的取值范围．河南高一高中数学期中考试答案及解析一、选择题1.若全集，则集合等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】元素既不是的元素，也不是的元素，故选D.【考点】集合交集、并集和补集．【易错点晴】集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系. 在求交集时注意区间端点的取舍. 熟练画数轴来解交集、并集和补集的题目.2.下列函数中，其定义域和值域分别与函数的定义域和值域相同的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】函数的定义域为和值域为.A选项定义域和值域都是，B选项值域为，C选项定义域为，故D选项符合.【考点】定义域和值域.3.函数的图象的大致形状是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】.，排除C，D选项；，排除A，故选B.【考点】函数图象．4.函数的图象一定经过点（）A．B．C．D．【答案】A【解析】当时，，所以函数过点.【考点】对数函数过定点.5.已知函数（且）在上单调递减，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由于函数在上单调递增，所以，解得.【考点】函数的单调性.6.若，则的定义域为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】需满足被开方数大于零，所以.【考点】定义域.7.三个数大小的顺序是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，所以.【考点】比较大小.8.若，规定：，例如：，则的奇偶性为（）A．是奇函数不是偶函数B．是偶函数不是奇函数C．既是奇函数又是偶函数D．既不是奇函数又不是偶函数【答案】B【解析】，，所以函数为偶函数，不是奇函数.【考点】函数的奇偶性.9.已知是奇函数并且是上的单调函数，若函数只有一个零点，则实数的值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，，有唯一解，即有唯一解，即在函数顶点位置，，所以，.【考点】函数的奇偶性与单调性.10.已知符号表示不超过的最大整数，函数，则以下结论正确的是（）A．函数的值域为B．函数没有零点C．函数是上的减函数D．函数有且仅有3个零点时【答案】D【解析】当时，，故B选项错误；当时，；当时，；当时，；依此类推函数的值域为，故A选项错误，且函数在定义域上不是单调递减函数C选项错误.综上，选D.【考点】函数的值域、零点与单调性.【思路点晴】本题考查函数的值域，考查函数的单调性，考查零点问题，考查分段函数.第一步是理解取整函数：“符号表示不超过的最大整数”，由此可知，在实数的每一个区间，都有不同的正数和其对应.所以我们从开始，对每个区间段的函数的取值情况，列举前几个，找出函数变化的规律，由此利用排除法得到答案.11.已知函数满足，若函数与图像的交点为，则（）A．0B．C．D．【答案】B【解析】依题意，函数，所以，函数为奇函数，图象关于原点对称，故函数图象关于对称.同时图象也是关于对称.所以两个函数图象交点成对，且对称点横坐标和为零，纵坐标和为，所以.【考点】函数的奇偶性与对称性.【思路点晴】本题考查函数的奇偶性，考查函数图象的对称性，考查函数图象平移.已知条件经过变形之后，变为，这个类似与奇函数的定义，但是向下平移一个单位之后是奇函数，图象关于原点对称，所以向上平移一个单位后关于对称.另一个函数也是关于对称，所以交点也关于对称，利用对称性可求得坐标和.二、填空题1.已知集合，则集合的真子集的个数是___________．【答案】【解析】当时，的元素为；当时，的元素为，所以集合有个元素，故真子集有个.【考点】真子集.2.若函数的定义域为，则实数的取值范围是____________．【答案】【解析】当时，符合题意.当时，分母恒不为零，判别式小于零，即.综上，的取值范围是.【考点】函数的定义域.3.函数的单调递增区间为___________．【答案】【解析】先求定义域，解得，由于函数开口向下，对称轴为，根据复合函数单调性同增异减可知，函数在区间上单调递增.【考点】复合函数单调性.【思路点晴】本题主要考查复合函数的单调性.本题函数是对数函数和二次函数符合而成的函数，因此，根据对数函数的定义，首先求函数的定义域，即令，解得.然后求得内部函数的对称轴为，该函数左增右减，根据复合函数单调性同增异减，对数函数是减函数，故函数在区间上单调递增.4.已知函数，若对于任意实数与的值至少有一个为正数，则实数的取值范围是____________．【答案】【解析】注意到是正数.当时，，不一定有正数.当时，函数在上为正数，在为负数，即在要恒为正数，注意到所以只需或对称轴，解得.当时，函数在上为负数，由于函数开口向下，所以一定有同时为负数的地方，不符合题意.【考点】函数的值域.【思路点晴】本题主要考查一次函数和二次函数的值域.的位置对二次函数来说，影响二次函数的开口方向和对称轴，而显然是过的；还影响一次函数的单调性.所以我们需要分类讨论函数的取值情况.当时，不一定有正数.当时，一次函数部分在为负数，需要在要恒为正数，转化为或对称轴，由此解得的范围.当时，二次函数开口向下，一定有负值，不符合题意.三、解答题1.已知函数的定义域为集合，函数的值域为集合．（1）求；（2）若集合，且，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）被开方数为非负数，对数真数大于零，由此求出.利用函数的单调性求得，所以；（2）由于，所以，分成两类，讨论的取值范围.试题解析：（1），即，解得，∴其定义域为集合；，∵，∴，集合∴（2）∵，∴．当时，，即；当时，，∴综上所述，【考点】函数的定义域与值域，子集.2.计算：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）原式；（2）原式.试题解析：（1）原式（2）原式【考点】指数和对数运算.3.若是定义在上的增函数，且．（1）求的值；（2）若，解不等式．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）令，则；（2）令求得.原不等式可化为，根据定义域和单调性，有，解得.试题解析：（1）令，则；（2）∵，令，∴，即故原不等式为：，即又在上为增函数，故原不等式等价于：得【考点】函数的单调性、用单调性和奇偶性解不等式.4.某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元．（1）设一次订购量为个，零件的实际出厂单价为元，写出函数的表达式；（2）当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个，利润又是多少元？（工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价-成本）【答案】（1）；（2）.【解析】（1）没有超过时，价格为；有优惠，价格为；超过的，价格就固定为，由此求得函数的解析式；（2）根据（1）订购个时，利用第二段表达式来计算出厂价并计算利润，订购个时，利用第三段表达式来计算利润.试题解析：（1）当时，，当时，，当时，．所以（2）设工厂获得的利润为元，当订购500个时，元；当订购1000个时，元因此，当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6000元；如果订购1000个，利润是11000元【考点】函数应用问题.5.已知二次函数有两个零点0和-2，且最小值是-1，函数与的图象关于原点对称．（1）求和的解析式；（2）若在区间上是增函数，求实数的取值范围．【答案】（1）,；（2）.【解析】（1）依题意，设，对称轴是，所以，所以，即.与关于原点对称，所以.（2）化简，当时，满足在区间上是增函数；当时，函数开口向下，只需对称轴大于或等于；当时，函数开口向上，只需对称轴小于或等于.综上求得实数的取值范围．试题解析：（1）依题意，设，对称轴是，∴，∴，∴由函数与的图象关于原点对称，∴（2）由（1）得①当时，满足在区间上是增函数；②当时，图象在对称轴是，则，又∵，解得③当时，有，又∵，解得综上所述，满足条件的实数的取值范围是【考点】函数的单调性与最值.【方法点晴】本题主要考查二次函数的解析式的求法，考查二次函数单调性.第一问待定系数法求解析式，主要根据题目给定的条件是函数的零点，所以设二次函数的零点式，根据函数的对称轴和极值，就可以求得二次函数的解析式.第二问是引入一个新的函数，它是一个含有参数的函数，所以根据二次项系数和对称轴进行分类讨论实数的取值范围.6.已知函数，在区间上有最大值4，最小值1，设．（1）求的值；（2）不等式在上恒成立，求实数的取值范围；（3）方程有四个不同的实数解，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】（1）函数的对称轴为，当时，在上为增函数，根据最值求得，当时，在上为减函数，无解，故；（2）原不等式分离参数得，利用配方法求得右边函数的最小值为，所以；（3）先化简原方程得，利用换元法和二次函数图象与性质，求得.试题解析：（1），对称轴，当时，在上为增函数，∴，当时，在上为减函数，∴，∵，∴，即（2）方程可化为，∴，令，∵，∴，记，∴，∴（3）方程，可化为，即，，令，则方程可化为，∵方程有四个不同的实数解，由的图像可知，有两个根，令，∴【考点】函数的单调性与最值，恒成立问题.【方法点晴】本题主要考查函数的单调性与最值，恒成立问题.第一问利用函数的单调性待定系数.由于函数的对称轴是一个定值，且在题目所给区间的左边，所以只需根据开口方向，判断函数在区间上的单调性，结合最值，就可以取出的值.第二问恒成立问题，采用的是分离参数法，即将参数分离出来，利用配方法求得右边函数的最值，从而求得参数的取值范围.。

高一年级上学期数学期中考试试卷 一、选择题 (3＇⨯10=30＇)1. 已知集合A={x │x ≤5，x ∈N}，B={x │x ＞1，x ∈N}，那么A ∩B 等于 ( )A. {1，2，3，4，5}B. {2，3，4，5}C. {2，3，4}D.{ x ∈R │1＜x ≤}2. 已知全集∪={a ，b ，c ，d ，e ，f ，g ，h}，A={c ，d ，e} B={a ，c ，f}那么集合{b ，g ，h} 等于（ ）A. A ∪BB. A ∩BC. （C u A ）∪（C u B ）D. (C u A)∩（C u B ）3. 若ax 2+ax+a+3＞0对于一切实数x 恒成立，则实数a 的取值范围（ ）A. （-4，0）B. （-∞，-4）∪（0，+∞）C. [0，+∞]D.（-∞，0）4. 设命题P ：关于x 的不等式a 1x 2+b 1x+c 1＞0与a 2x 2+b 2x+c 2＞0的解集相同：命题Q ： 212121c c b b a a ==，则命题P 是命题Q 的（ ） A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5. 已知：（1，2）∈（A ∩B ），A={（x ，y ）│y 2=ax+b,}B={(x,y)│x 2-ay-b=0}则（ ）A. a=-3B. a=-3C. a=3D. a=3b=7 b=-7 b=-7 b=76. 已知ax 2+bx+c=0的两根为-2，3，且a ＞c 那么ax 2+bx+c ＞0的解集为（ ）A. {x │x ＜-2或x ＞3＝}B. {x │x ＜-3或x ＞2＝}C. {x │-2＜x ＜3＝＝}D. {x │-3＜x ＜2＝7. 已知集合A=B=R ，x ∈A ，y ∈B, f ：x →ax+b ，若4和10的象分别为6和9，则19在f 作用下的象为（ ）A. 18B. 30C. 227 D. 28 8. 如下图可以作为y=f (x)的图象的是（ ）9. 已知函数y=1-x +1(x ≥1)的反函数是（ ）A. y=x 2-2x+2（x ＜1＝）B. y=x 2-2x+2（x ≥1）C. y=x 2-2x （x ＜1＝）D. y=x 2-2x （x ≥1）10. 下列函数中是指数函数人个数为（ ）①y= (21)x ②y=-2x ③y=3-x ④y= (x 1)101 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4二、填空题 （4＇⨯=16＇）11. 已知方程x 2-px+15=0与x 2-5x+q=0的解集分别为s ，M ，且S ∩M={3}则实数p+q=_________.12. 函数f (x)=2x 2-mx+3，当x ∈[-2，+∞]时是增函数，当x ∈[-∞，-2]时是减函数，则f(1)=____________.13. 不等式x 2-5x+4≤0的解集用区间表示为______________.14. 已知函数f (2x+1)=x 2+2x+3，则f (1)=____________.三、解答题：15. 解下列不等式（5＇⨯2=10＇）（1）25--x x ≥0 （2）│x-5│-│2x+3│＜1. 16. 已知：A={x │x 2-5x+6＜0＝}，B={x │x 2-4ax+3a 2＜0＝}（a ＞0）且A ⊆B ，试求实数a 的取值范围（10分）17. （12分）已知函数f (x)=x 2-2x+3（x ∈R ）（1）写出函数f (x)的单调增区间，并用定义加以证明.（2）设函数f (x)=x 2-2x+3（2≤x ≤3）试利用（1）的结论直接写出该函数的值域（用区间表示）18. （12分）已知函数f (x)=1-252+ax 的定义城为[-5，0]，它的反函数为y=f –1（x ）， 且点P （-2，-4）在y=f –1（x ）的图象上。

高一第一学期数学期中考试（时间：120分钟 满分150分）一、单选题（本题共8小题，每题5分，计40分）1.已知集合{2,1,0,1,2,3}U =--，{1,0,1},{1,2},A B =-=则()B A C U =（ ） A. {2,3}- B. {2,2,3}- C. {2,1,0,3}-- D. {2,1,0,2,3}--2.已知函数()⎩⎨⎧<-≥=2,32,x x x x x f 则((1))f f -等于（）A. 4B. 2-D. 23.已知集合{|21,}S s s n n Z ==+∈，{|41,}T t t n n Z ==+∈，则S T ⋂=（ ） A. ∅ B. S C. T D. Z4.设x R ∈，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.设a R ∈，若关于x 的不等式210x ax -+在区间[1,2]上有解，则 （ ）A.2≤aB.2≥aC. 25≥aD.25≤a6.已知x ，(0,)y ∈+∞，且141x y+=，则x y +的最小值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 7.下列说法正确的是.（ ） A. 若0a b >>，则22ac bc > B. 若a b >，则22a b > C. 若0a b <<，则22a ab b >>D. 若a b <，则11a b> 8.已知函数()f x 满足()2()3f x f x x +-=，则(1)f 等于（ ）A. 3-B. 3C. 1-D. 1二、多选题（本题共4小题，全部选对得5分，少选得3分，多选或选错不得分，满分20分）9.关于函数()1xf x x=-，下列结论正确的是 ( ) A. ()f x 的图象过原点B. ()f x 是奇函数C. ()f x 在区间(1,)+∞上单调递增D. ()f x 是定义域上的增函数10.已知正数a ，b ，则下列不等式中恒成立的是( ) A. 221≥++abb a B.()411≥⎪⎭⎫⎝⎛++b ab aC. ab abb a 222≥+D.2aba b>+11.设2{|8150}A x x x =-+=，{|10}B x ax =-=，若A B B ⋂=，则实数a 的值可以为( )A.15 B. 0 C. 3D. 1312.给定函数()1f x x =+，2()(1),g x x x R =+∈，用()M x 表示()f x ，()g x 中较大者，记为()max{(),()}M x f x g x =，则下列错误的说法是（ ）A ．(2)3M =B ．1x ∀≥，()2M x ≥C ．()M x 有最大值D ．()M x 最小值为0三、填空题（每题5分，计20分）13.如果函数2()2(1)2f x x a x =--+在区间(,4]-∞上是减函数，则实数a 的取值范围是_________.14.方程2(1)0x p x q --+=的解集为A ，方程2(1)0x q x p +-+=的解集为B ，已知{2}A B ⋂=-，则A B ⋃=__________.15.已知1x >-，则函数27101x x y x ++=+的值域为________.16.已知正实数x ，y 满足+=2x yxy，则2+x y 的最小值为______. 四、解答题：本大题共6道小题，满分70分（第17题10分，其余题目12分）.17．设全集U =R ，集合4{|1}1A x x =<+，集合{|123}B x a x a =-<<+. (1)若B =∅，求实数a 的取值范围(2)若“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，，求实数a 的取值范围.18．已知0,0,230x y x y xy >>++=，求 (1)xy 的最大值； (2)2x y +的最小值.19．已知函数()223f x x bx =-+，R b ∈.当[]1,2x ∈-时，函数()y f x =的最小值为1，求当[]1,2x ∈-时，函数()y f x =的最大值.20．已知函数2()(1)1f x x a x =-++(1)若关于x 的不等式()0f x <的解集为{}|2x m x <<，求m a ,的值.(2)设关于x 不等式()0f x >在[0]1，上恒成立，求实数a 的取值范围.21．为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在2022年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量（即该厂的年产量）x 万件与年促销费用t （0t ≥）万元满足42+1k x t -=（k 为常数）．如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件．已知2022年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分）． (1)求常数k 的值；(2)将该厂家2022年该产品的利润y 万元表示为年促销费用t 万元的函数（利润=总销售额-产品成本-年促销费用）；(3)该厂家2022年的年促销费用投入多少万元时厂家利润最大？22．已知函数()f x(1)若函数()f x 定义域为R ，求a 的取值范围； (2)若函数()f x 值域为[)0,+∞，求a 的取值范围.答案：1.A2.D3.C4.B5.D6.D7.C8.A9.AC 10.ABC 11.ABD 12.AC 13.[5,+)∞ 14.{2,1,1}-- 15.[9,)+∞16.3217．（1）集合{|123}B x a x a =-<<+.若B =∅，则231a a +≤-，解得4a ≤- （2）由41,1x <+可得410,1x ->+化简得30,1x x ->+即(3)(1)0,x x -+>解得3x >或1x <-，{A =3x >或1x <-} 由B A ⊆.又集合{|1A x x =<-或3}x >①若B =∅，由（1）可知4a ≤-，此时满足B A ⊆，符合题目要求②若B ≠∅，要满足B A ⊆，则1<2+32+31a a a -≤-⎧⎨⎩或1<2+313a a a --≥⎧⎨⎩，解得42a -<≤-或4a ≥综上所述可得实数a 的取值范围是2a ≤-或4a ≥.18．（1）因为>0,>0x y根据基本不等式，30=+2+x y xy xy ≥（当且仅当26x y ==取等号）(>0)t t，则2300t -≤，解得t -≤>0t，所以0<t ≤≤0<18xy ≤，故xy 的最大值为18.（2）由230x y xy ++=可知，30=>0,0<<302+x y x x -30322+=2+=2(+2)+55=112+2+x x y x x x x --≥，当且仅当322(2)2x x+=+即=2x 时取等号，所以2+11x y ≥，19．因为2()23f x x bx =-+是开口向上，对称轴为x b =的二次函数，①若1b ≤-，则()f x 在[]1,2-上是增函数，∴min ()(1)421f x f b =-=+=，解得32b =-，∴max ()(2)7413f x f b ==-=；②若2b ≥，则()f x 在[]1,2-上是减函数，∴min ()(2)741f x f b ==-=，解得32b =（舍）； ③若12b -<<，则()f x 在[]1,b -上是减函数，在(],2b 上是增函数；∴2min ()()31f x f b b ==-=，解得b =b =∴max ()(1)424f x f b =-=+=+综上，当1b ≤-时，()f x 的最大值为13，当12b -<<时，()f x 最大值为4+20．（1）∴关于x 的不等式()0f x <的解集为{}|2x m x <<，所以,2m 是2(+1)+1=0x a x -的两个实数根，则根据根与系数关系得+2=+12=1m a m ⎧⎨⎩，解得13,22m a ==；（2）关于x 不等式2()=(+1)+1>0f x x a x -在[0]1，上恒成立，当=0x 时，原不等式为10>恒成立； 当(01]x ∈，时，可整理得11a x x +<+恒成立，∴1+x x ≥（当且仅当1x =x 即=1x 时，取等号）∴12a +<解得1a <， ∴综上所述，a 的取值范围是{}|1a a < 21．（1）解：由题意可知，当=0t 时=1x ，所以141k=-，解得=3k ；（2）解：由于=3k ，故3421x t =-+，∴()6121.5612xy x x t x +=⨯⨯-+-()1612632x t x t =+⨯-=+-()1827021t t t =--≥+； （3）解：由（2）知：18912727.527.521.512122y t t t t ⎡⎤⎢⎥⎛⎫=--=-++≤-⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎢⎥+⎣⎦当且仅当91122t t =++，即 2.5t =时取等号. 所以当2022年的年促销费用投入2.5万元时，该厂家利润最大. 22．（1）因为函数()f x 定义域为R ，所以2(1)430a x x +-+≥在R 上恒成立， 当=0a 时，34304x x -+≥⇒≤，不符合题意； 当0a ≠时，要想2(1)430a x x +-+≥在R 上恒成立，即2430ax x a -++≥在R 上恒成立，只需2>01Δ=(4)4(3+)0a a a a ⇒≥--≤⎧⎨⎩，所以a 的取值范围为[1,)+∞； （2）当=0a 时，34304x x -+≥⇒≤，()f x =0a ≠时，要想函数()f x 值域为[)0,+∞，只需2>00<1Δ=(4)4(3+)0a a a a ⇒≤--≥⎧⎨⎩，综上所述：a 的取值范围为[0,1].。

河南高一高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.“”是“直线与直线互相垂直”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2.已知等差数列的前项和为，若，则等于（）A．18B．36C．54D．723.中，分别是内角的对边，且，，则等于（）A．B．C．D．4.设，则下列不等式成立的是（）A．B．C．D．5.已知点满足，点在圆上，则的最大值与最小值为（）A．6，3B．6，2C．5，3D．5，26.已知，则的最小值是（）A．2B．C．4D．7.设，，为坐标原点，若三点共线，则的最小值是（）A．2B．4C．8D．128.已知点，椭圆与直线交于点，则的周长为（）A．8B．10C．12D．169.已知数列的通项为，我们把使乘积为整数的叫做“优数”，则在内的所有“优数”的和为（）A．1024B．2003C．2026D．204810.已知椭圆的离心率为，过右焦点且斜率为的直线与相交于两点，若，则等于（）A．1B．C．D．2二、解答题1.设分别是椭圆的左、右焦点，已知点（其中为椭圆的半焦距），若线段的中垂线恰好过点，则椭圆离心率的值为（）A．B．C．D．2.已知两个命题，如果对与有且仅有一个是真命题，求实数的取值范围．3.已知等比数列中，公比，设．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和．4.两地分别生产同一规格产品12千吨、8千吨，而三地分别需要8千吨、6千吨、6千吨，每千吨的运价如下表，怎样确定调动方案，使总的运费为最小？最小费用为多少？到到到从4567从5.西北西康羊皮手套公司准备投入适当的广告费，对生产的羊皮手套进行促销．在1年内，据测算年销售量（万双）与广告费（万元）之间的函数关系为，已知羊皮手套的固定投入为3万元，每生产1万元羊皮手套仍需再投入16万元．（年销售收入=年生产成本的150%+年广告费的50%）（1）试将羊皮手套的年利润（万元）表示为年广告费（万元）的函数；（2）当年广告费投入为多少万元时，此公司的年利润最大，最大利润为多少？（年利润=年销售收入-年广告费）6.已知椭圆经过点，且离心率.（1）求椭圆的方程；（2）过点能否作出直线，使与椭圆交于两点，且以为直径的圆经过坐标原点？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．7.已知各项均为正数的数列中，，是数列的前项和，对任意，均有.（1）求常数的值；（2）求数列的通项公式；（3）记，求数列的前项和．三、填空题1.已知条件，条件，则非是非的________条件．2.双曲线上一点到右焦点的距离是实轴两端点到右焦点距离的等差中项，则点到左焦点的距离为________．3.设数列的前项和为，对于所有，且，则_________．4.已知线段的两个端点分别为为线段上不与端点重合的一个动点，则的最小值为________．河南高一高中数学期中考试答案及解析一、选择题1.“”是“直线与直线互相垂直”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】“”可以得出“直线与直线互相垂直”，但是“直线与直线互相垂直”推出“或”，故选A.【考点】充要条件.2.已知等差数列的前项和为，若，则等于（）A．18B．36C．54D．72【答案】D【解析】由得，，.【考点】等差数列的性质.3.中，分别是内角的对边，且，，则等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由已知得，解得（舍）或，又因为，所以，由正弦定理得.【考点】1、倍角公式；2、正弦定理.4.设，则下列不等式成立的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，根据不等式的性质，在不等式两边同乘一个正数，不等号方向不变得，，故A、D不成立；函数在上单调递减，故，B不成立；C成立.【考点】不等式的性质.5.已知点满足，点在圆上，则的最大值与最小值为（）A．6，3B．6，2C．5，3D．5，2【答案】B【解析】的最大值与最小值分别为可行域内的点到圆心的距离的最值加减半径的值，结合图形可知最小值为圆心到直线的距离减半径的值，等于，最大值为直线与直线的交点之间的距离加半径的值，等于，故选B.【考点】线性规划.6.已知，则的最小值是（）A．2B．C．4D．【答案】C【解析】由得，．【考点】基本不等式.【方法点睛】不等式是高中数学的重要内容之一,利用均值不等式求最值以及证明不等式是重中之重.有关利用基本不等式求最值的问题，有时必须使用的代换来解决，可以大大简化运算.利用基本不等式求最值，需要注意三点：①利用时的条件：必须是正；②注意等号取得的条件；③一般情况下，连续使用基本不等式，需要慎重（主要是等号成立的条件可能会不一致）.7.设，，为坐标原点，若三点共线，则的最小值是（）A．2B．4C．8D．12【答案】C【解析】,若三点共线，则，整理得，，故的最小值是，选C.【考点】1、向量共线；2、基本不等式.8.已知点，椭圆与直线交于点，则的周长为（）A．8B．10C．12D．16【答案】A【解析】直线过定点，由题设知是椭圆的焦点，由椭圆定义知：，．的周长为,故选A．【考点】椭圆定义．9.已知数列的通项为，我们把使乘积为整数的叫做“优数”，则在内的所有“优数”的和为（）A．1024B．2003C．2026D．2048【答案】C【解析】因为数列的通项为，所以，又因为，，所以在内最大的“优数”为，即，在内的所有“优数”的和为．【考点】对数的运算．【方法点睛】由题意可得,,因为，，若使为整数,则在内最大的“优数”为，则在内的所有“优数”可求，进而利用分组求和及等比数列的求和公式可求解.本题以新定义"优数"为切入点,主要考查了对数的换底公式及对数的运算性质的应用,属于中档试题.10.已知椭圆的离心率为，过右焦点且斜率为的直线与相交于两点，若，则等于（）A．1B．C．D．2【答案】B【解析】设直线为椭圆的右准线，为离心率，过分别作垂直于，为垂足，过作垂直于于，由第二定义得，,由得，，所以，，故.【考点】椭圆的性质与第二定义.【方法点睛】本试题主要考察椭圆的性质与第二定义. 设直线为椭圆的右准线，为离心率，过分别作垂直于，为垂足，过作垂直于于，由第二定义得，,由得，求出，利用同角三角函数基本关系式得，，故.二、解答题1.设分别是椭圆的左、右焦点，已知点（其中为椭圆的半焦距），若线段的中垂线恰好过点，则椭圆离心率的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设在轴上的射影点为，可得，∵线段的中垂线恰好过点，∴，即，由此建立关于的关系式，化简可得，∴该椭圆的离心率，故选D.【考点】1、椭圆的几何性质；2、椭圆的离心率．【方法点睛】设在轴上的射影点为，可得，∵线段的中垂线恰好过点，∴，由此建立关于的关系式，再根据椭圆中这个式子，把用表示出来，联立方程，得到关于的齐次方程，化简可得，利用椭圆离心率的定义即可得到该椭圆的离心率．2.已知两个命题，如果对与有且仅有一个是真命题，求实数的取值范围．【答案】或．【解析】先求出当是真命题时实数的取值范围，再求出为真命题时实数的取值范围．如果对与有且仅有一个是真命题，有两种情况：①当为真，为假；②当为假，为真.分别求出的取值范围，取并集即可.试题解析：∵，∴当是真命题时，．又∵对为真命题，即恒成立，有，∴．∴当为真，为假时，，同时，即，当为假，为真时，，即，综上所述，的取值范围是或．【考点】1、三角函数求值域；2、二次函数恒成立.3.已知等比数列中，公比，设．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由等比数列的性质得：，得到关于的方程组，求出的值，利用等比数列的通项公式求出，得；（2）由（1）知：，数列为等差乘等比型数列．用错位相减法可以求出数列的前项和．试题解析：（1）由题意知：，解方程组：，∵，∴，∴，∴.（2）由（1）知：．∴①②∴①-②得：∴．【考点】1、等比数列的性质；2、错位相减法.4.两地分别生产同一规格产品12千吨、8千吨，而三地分别需要8千吨、6千吨、6千吨，每千吨的运价如下表，怎样确定调动方案，使总的运费为最小？最小费用为多少？运价（万元/千吨）到到到从4567从【答案】从到运千吨，从到运千吨，可使总的运费最少，最小费用为此时．【解析】设从到运千吨，则从到运千吨；从到运千吨，则从到运千吨；从到运千吨，从到运千吨，列出线性约束条件及线性目标函数，作出可行域，可观察出目标函数在点取到的最小值，可使总的运费最少，计算出最小费用．试题解析：设从到运千吨，则从到运千吨；从到运千吨，则从到运千吨；从到运千吨，从到运千吨，则线性约束条件为，线性目标函数为，作出可行域，可观察出目标函数在点取到的最小值，即从到运千吨，从到运千吨，从到运千吨，从到运千吨，可使总的运费最少，此时．【考点】线性规划.5.西北西康羊皮手套公司准备投入适当的广告费，对生产的羊皮手套进行促销．在1年内，据测算年销售量（万双）与广告费（万元）之间的函数关系为，已知羊皮手套的固定投入为3万元，每生产1万元羊皮手套仍需再投入16万元．（年销售收入=年生产成本的150%+年广告费的50%）（1）试将羊皮手套的年利润（万元）表示为年广告费（万元）的函数；（2）当年广告费投入为多少万元时，此公司的年利润最大，最大利润为多少？（年利润=年销售收入-年广告费）【答案】（1）；（2）当年广告费投入为万元时，此公司的年利润最大，最大利润为万元．【解析】（1）由题意知，羊皮手套的年成本为万元，年销售收入为，年利润，把代入得年利润；（2）由，当且仅当，即时，有最大值为，因此，当年广告费投入为万元时，此公司的年利润最大，最大利润为万元．试题解析：（1）由题意知，羊皮手套的年成本为万元，年销售收入为，年利润，即，又，得．（2）由当且仅当，即时，有最大值为，因此，当年广告费投入为万元时，此公司的年利润最大，最大利润为万元．【考点】1、数学建模；2、基本不等式.6.已知椭圆经过点，且离心率.（1）求椭圆的方程；（2）过点能否作出直线，使与椭圆交于两点，且以为直径的圆经过坐标原点？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．【答案】（1）（2）或．【解析】（1）由已知，，点在椭圆上，得到关于的方程组，解方程组得椭圆方程；（2）先验证当直线的斜率不存在时以为直径的圆不经过坐标原点．当直线的斜率存在时，可设的方程为：，两交点，由，得，，因为以为直径的圆经过坐标原点，所以，得到关于的方程，解得，求出的方程．试题解析：（1）由已知，即，所以，椭圆方程为，将代入得：，解得，可知，所以，椭圆的方程为．（2）因为直线经过椭圆内的点，所以直线与椭圆恒有两个不同的交点．当直线的斜率不存在时，其方程是：，代入，得，可知，，所以以为直径的圆不经过坐标原点．当直线的斜率存在时，可设的方程为：，两交点由，得，，因为以为直径的圆经过坐标原点，所以．可得．即，解得．综上所述，存在过点的直线，使得以被椭圆截得的弦为直径的圆经过原点，的方程为或．【考点】1、椭圆的几何性质；2、直线与椭圆.【方法点睛】（1）由已知，，点在椭圆上，得到关于的方程组，解方程组得椭圆方程．（2）先验证当直线的斜率不存在时以为直径的圆不经过坐标原点．当直线的斜率存在时，可设的方程为：，两交点，联立直线与椭圆，得，因为以为直径的圆经过坐标原点，所以，得到关于的方程，解得，求出的方程．7.已知各项均为正数的数列中，，是数列的前项和，对任意，均有.（1）求常数的值；（2）求数列的通项公式；（3）记，求数列的前项和．【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】（1）由及，得：．∴；（2）由得，根据，得，即．数列是首项为1，公差为的等差数列，得的通项公式；（3）由，得：．∴．∴，利用错位相减求和法得数列的前项和.试题解析：（1）由及，得：．∴．（2）由①得②由②---①得，，即．∴．由于数列各项均为正数，∴，即．∴数列是首项为1，公差为的等差数列，∴数列的通项公式是．（3）由，得：．∴．∴，，，所以【考点】1、等差数列；2、数列求和.【方法点睛】（1）由及，得：．∴．（2）由得，根据，得，即．数列是首项为1，公差为的等差数列，得的通项公式．（3）由，得：．∴，利用错位相减求和法得数列的前项和.三、填空题1.已知条件，条件，则非是非的________条件．【答案】充分不必要【解析】由条件得或；由条件得，.因为原命题与逆否命题互为等价命题，所以非是非的充分不必要条件．【考点】1、命题的否定；2、充分必要条件.2.双曲线上一点到右焦点的距离是实轴两端点到右焦点距离的等差中项，则点到左焦点的距离为________．【答案】【解析】由，得.设左焦点为，右焦点为，则，由双曲线的定义得点到左焦点的距离：．故答案为：．【考点】双曲线的几何性质.3.设数列的前项和为，对于所有，且，则_________．【答案】【解析】,解得.【考点】数列的前项和公式.【方法点睛】本题主要考查数列的前项和公式的定义，因为数列的前项和：，对于所有，所以，，两式相减，得，从而得到一个关于的方程：，解方程可得.任意数列知道了前项和都可以求任意一项.4.已知线段的两个端点分别为为线段上不与端点重合的一个动点，则的最小值为________．【答案】【解析】由题意三点共线，可得，故，故化简可得，故当取最大值时，所求的式子取最小值．【考点】1、向量共线；2、对勾函数.【方法点睛】由三点共线，利用向量共线的坐标表示，可得，且，利用基本不等式可得.可化简整理成关于的对勾函数，利用对勾函数在上的单调性，可知当取最大值时，所求的式子取最小值，代入得的最小值为．。