二级倒立摆系统的模糊控制
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一
摆 掣
图 １ 二 级 倒 立 摆 示 意 图
Ｆｉ ．１ Ｔ —ｔ ｇ ｎ ｕ ｕ ｓ ｈ ｍａｉ ｉｇ ａ ｇ ｗｏ ｓａ ｅ ｐｅ ｄ ｌ ｍ ｃ ｅ ｔｃ ｄ ａ ｒ ｍ
表 １ 倒 立 摆 参 数 定 义
Ｔａ ． Ｐａ ａ ｅ ｅ ｅ ｎｅ ｆｔ ｎｖ ｒ ｅ ｅ ｕ ｕ ｂ１ ｒ ｍ ｔｒｄ ｆ ｓｏ ｉ ｈｅ ｉ ｅ ｔ ｄ ｐ ｎｄ ｌ ｍ
ｃ ｎ ｒ ｌ ｆｄ ｕ ｌ ｖ ￣ ｄ ｐ ｎ ｕｕ ｒ ａ－ ｍｅｃ ｎｒ ｌ ｒ ｂ ｅ ，ｄ ｓｇ ｚ ｙ ｃ ｎ ｒｌｅ ｏ ｔｏ ｅ ｓ ｂ ｌ ｙ ｏ ｅ ｉｖ ￣ｅ ｏ ｔｏ ｏ ｂ ｅ ｉ ｅ ｅ ｅ ｄ ｌ ｍ ｅ ｌ ｉ ｏ ｔ ｏ ｌｍ ｏ ｎ ｔ ｏｐ ｅ ｉｎ ａｆ ｚ ｏ ｔｏｌｒｔ ｃ ｎ ｒ ｌ ｈ ｔ ｉ ｔ ｆ ｈ ｎ ｅ ｄ ｕ ｏ ｔ ａ ｉ ｔ
＋ ＋ ＋ （） ２
合 误 差 变 化 率 （ 车 的 速 度 、 摆 的角 速 度 、 摆 的 角 速 度 ） 小 上 下
Ｅ Ｃ作 为 输 入变 量 ， 电机 的控 制 力 ｕ 为输 出变 量１ 作 ３ １ 。
利 用命 令 Ｋ ｌ （ Ｂ， Ｒ）得 到 反 馈 矩 阵 ： ＝ｑ Ａ， Ｑ， ， ｒ
９ ９－
作 者 简 介 ： 灵侠 （ ９ ３ ） 女 ， 西 西安 人 ， 士 ， 教 。研 究方 向 ： 制 理 论 与 控 制 工程 。 焦 １８ 一 ， 陕 硕 助 控
－
《 电子设计 工程 ￣ ０ ２年 第 １ ２１ ６期
坐标 上 的外 力 。系 统 的广 义 坐 标 有 ３个 ， 别 为 ，。０。 分 ｏ，２ 系统 的动 能 ：
ｕ ｓ ｂ 、 ｌ－ａ ａｌ、 ｒ ｇ ｏ ｐｉ ｎ Ｏ ｎ Ｉ ｒｃｕｅ ｓ ｉ ｉ ｒ ｓ ｏｔ ｌｂｅｔｎ ｎ ｉｅｒ ｇ ｎｔｉｐｐ ｒ ａ ｕｚ ｎｔ ｌ ｍｕｔｖｒ ｂｅｓ ｏ － ｕ ｌ ｇａｄＳ ．ｔｓ ｕｔｒ ｍｌ ｎｒ ｊｃ ｇ ｅ ｎ． ｓ ａ ｅ， ｚｙ ａｅ ｉ ｉ ｔｎ ｃ ｎ ｏ ｓｔ ｉ ｓ ａ ａ ｃ ｏｏ ｉｅ ｎ ｉ Ｉ ｈ ｆ
ｌｌ（［ 一３品 】 ） Ｅ＝ 一 一 一６ ｃ ） 吕 ＝ （ ９
一 ２） 一 ｕ隶属 度 函数 的设 计 ｄ出 Ｅ、 ＥＣ、
一
＝
１ ￣ ２ １ ＂ ｍ
ｔ
ｍ ・
（ ）ｄ））ｍ （ ２ ｄ） ＋￣ １砰 （Ｐ ＼ ＋ ｒ １
盟 一 一 舰 硼 哦
＋
￣２（） ） ｍ／２ ‘１ （ｘ２ ） （ ）ｍ ｄ ＋ ＋
ｌ
ｍ ３
＋
（（ ２ ｔ３ ） ｄ ｘ
．
） ）
（ ３ ）
（） ４
５
系统 的势 能 为 ：
Ｖ＝Ｖ ＋ ＋ ＝， Ｙｌ ｌ ＋ｍ２ ２ ｙ ｍ ＋， ３ ３
图 ２ Ｅ和 Ｅ Ｃ隶 属 度 函 数 曲线
一
３ 模 糊 推 理 ）
０，
●
０ ０
＋
采 用 Ｍａ ｄ ｎ 最 小 运算 规 则 。 ｍ ａｉ
４） 糊 控 制 规 则 模
１
０
●
根 据 输 入 ， 出 论域 上 的模 糊 语 言 变 量 划 分 Ｎ （ 大 ） 输 Ｂ 负 ， Ｎ 负 中 ）Ｎ （ 小 ） Ｚ 零 ） Ｐ （ 小 ） Ｐ 正 中 ） Ｐ 正 Ｍ（ ，Ｓ 负 ， Ｏ（ ， Ｓ 正 ， Ｍ（ ， Ｂ（
证控 制 理论 ． 且 与 工 程 中的 控 制 对 象具 有 类 似 的 结 构 。 中采 用模 糊控 制研 究 二 级倒 立摆 系统 的 实 时控 制 问题 ， 并 文 设
计模 糊 控 制 器控 制倒 立摆 系统 的稳 定 。 实践 证 明 ． 糊 控 制 方 法 控 制 二 级 倒 立摆 系统 的 稳 定 是 可行 的 。 模 关 键 词 ：倒 立 摆 ；模 型 ；模 糊 ；实时 控 制 ；稳 定
中 图分 类 号 ： Ｐ ７ Ｔ ２３
文献标识码 ： Ａ
文 章 编 号 ：１ ７ — ２ ６ ２ １ ） ６ ０ ９ — ３ ６ ４ ６ ３ （０２ １— ０９ ０
Ｆｕｚ ｙ ｃ ｎ ｒ ｌｏ ｏ ｂｌ ｎ ｅ ｔ ｄ ｅ ｄｕ ｕｍ ｙ ｔ ｍ ｚ ｏ ｔ ｏ ｆｄ ｕ ｅ ｉ ｖ ｒ ｅ ｐ ｎ ｌ ｓ ｓｅ
带人 参 数 值 ． 系统 的状 态 方 程 为
Ｏ ０ ０ ｌ ０ ０ ０ ０ ０ １ ０ ０ ０ ０ １ Ｏ ０ ０ ０ Ｏ ０ ８ ６９ ６． ２１６２ ０ ． ０ ０ ４０． ３ ４５ ０ ０ ３１ ９． ０
将 其 在 平 衡 位ห้องสมุดไป่ตู้置 附 近进 行 泰 勒 级 数 展 开 ， 线 性 化 ， ： 并 有
ＯＵｔ ｕｔ Ｖ ａｂＩ “” Ｄ ａｒｌ ｅ”
『 上＝
（ ６）
图 ３ “的 隶 属 度 函数 曲线
Ｆ ｇ ３ Ｍｅ ｅ ｓ ｉ ｕ ｃ ｉｎ ｃ ｒ ｅ ｆＭ ｉ． ｍｂ ｒｈ ｐ ｆ ｎ ｔｏ ｕ ｖ ｓｏ
（ ７）
－
６６ ．４
－
０
００８ ． ８
大 ） 设 计 模 糊 推 理 规 则如 表 ２所 示 。 ，
表 ２ 模 糊 控 制 规 则
Ｔａ ．２ Ｒｕ ｅ ｆ ｆ ｚ ｙ ｃ ｎ ｒ ｌ ｂ ｌｓｏ ｚ ｏ ｔｏ ｕ
． ． ¨ ： ＝ 一
其中 ， ， ， 分 别 为 小 车 的动 能 ，摆 杆 １的 动 能 ， 摆 杆 ２的动 能 和 质 量 块 的 动 能 。 系统 的动 能 为 ：
＋ ＋ ＋
ｄ
一
Ｋ ［２ ６ １． ８— ２ ． ２ ４ ．７ ３ ． ｌ（ ） ＝２ ． １ｌ８ ２ ２ ３６ ２ ． ７２１９６— ６５ ｌ８ ３ ０ ２ ９ ６ 综 合误 差 Ｅ和 综 合误 差 变 化 率 Ｅ 。 Ｃ
Ａｂ ｔ ａ ｔ Ａｓａｔｐ ｃ ｌ ｘ ｅ ｍｅ ｔ ｅ ｉｅ ｎ ｅ ｅ ｅ ｄ ｌ ｍ ｙ ｔ ｍ ａ ｎ ｈ ｒ ｃ ｅ ｉｔ ｓ ｕ ｈ ａ ｉｈ ｏ ｄ ｒ ｎ ｎ ｉ ｅ ｒ ｓ ｒ ｃ ： ｉａ ｐ ｒ ｎ ｖｃ ，ｉ ｖ ￣ ｄ ｐ ｎ ｕ ｕ ｓ ｓｅ ｈ ｓｍａ ｙ ｃ ａ ａ ｔ ｒ ｉ ，ｓ ｃ ｓｈ ｇ －ｒ ｅ 、 ｏ ｌ ａ 、 ｙ ｅ ｉ ｄ ｓｃ ｎ
ＪＡＯ ｉ ｇ ｘａ ，ＲＥ Ｈａ － ｏ ，ＧＵＯ Ｍｉ Ｉ Ｌ ｎ — ｉ Ｎ ｉｂ ｎ
（ ． ｉ伽 Ｔｃ ｎｌ ｉ ｌＵ ｉ ｒ ｔ Ｎ Ａ ｎｔｕｅ ｆＩ ｏｍ ｔ ｎＥ ｇｎｅ ｎ １Ｘ ’ ｅｈ ｏ ｇｃ ｎｖ ｓｙ ｏ ｈＩｓｔｔ ｏ ｎ ｒ ａｉ ｎｉｅｒ ｇＸｉ ７ ０ ３ ， ｈｎ ； ｏ ａ ｅ ｉ ｉ ｆ ｏ ｉ ’ １０ ２ Ｃ ｉ 帆 ａ ２ Ｎ ａ ｗ ｓＩ ｔｕ Ｍｅｈｎｃｌ Ｅｅｔｃｌ ｎ ｎｅｉｇＸｉ ｙ ｇ７ ２ ９ ， ｈｎ ； ． ｏ ｈ ｅｔ ｎ ｉ ｔ ｏ ｓ ｔ ｅｆ ｃａ ｉ ＆ ｌ ｒ ａ Ｅ ｇ ｅｒ ， ａ ａ １０ ９ Ｃ ｉ ａ ｃｉ ｉ ｎ ｎｎ ａ ３ Ｃ ｌｇ Ｅ ｒ ｎ ｎｅｉｇ Ｙ ｌ ｎｖｒｔ， ｕｉ １０ ０ Ｃ ｉ ） ． ｏ ｅｅ ｌ ｏ ｎ ｇ Ｅ ｇｅ ｒ ， ｕ ｎＵ ｉｅ ｉ Ｙ ｌ ７ ９ ０ ， ｎ ｆ ｅ ｙ ｉ ｎ ｉ ｓｙ ｎ ｈ ａ
６期 第 ２ ０卷 第 １
Ｖ０ ．０ １ ２ Ｎｏ １ ．６
电 子 设 计 工 程
Ｅｌｃ ｒ ｎ ｃ Ｄｅ ｉｎ Ｅｎ ｉ ｅ ｉｇ ｅ ｔｏ ｉ ｓｇ ｇｎｅ ｒｎ
２１ ０ ２年 ８月
Ａｕ ． ０１ ｇ２ ２
二 级倒 立摆 系统 的模 糊 控 制
焦灵侠 ，任 海波 ，郭 敏
ｄ ｔ 一６
ｑＩ
Ｊ ｉ
㈩
其 中 为 拉 格 朗 日算 子 ， ｑ为 系 统 的广 义 坐 标 ， 为 系 统 ７ １
的动 能 ， 为 系 统 的势 能 ， １２ ３ ： 系 统 在 第 ｉ 广 义 ｉ ， ，…ｎ ，为 ＝ 个
收 稿 日期 ： ０ ２ ０ — ５ ２ １ — ５ １ 稿 件 编 号 ：０ ２ ５ ８ ２ １０ ０９
摆 杆２ ＼
质量块
，
使其稳定 ， 同时 它 也 是 检 验各 种 控 制 理 论 的实 验 平 台 。倒 立 摆 系 统 涉 及 控 制 理论 、 算 机 控 制 、 器 人 技 术 等 多 个 领 域 ． 计 机
并 且 结 合 了 多种 技 术 ， 此 可 以 看 作 是 典 型 的被 控 对 象 供 科 因 研 人 员 研 究 。 立 摆 系 统 被 广 泛 应 用 于 双 足 机 器 人 行 走 及 火 倒 箭 稳 定 发 射 及 飞 行 方 面 ， 于 多级 倒 立 摆 和 复 杂 结 构 的 倒 立 对 摆 进 行 控 制 更 是 近年 来 各 科 学 领 域 不 断 研 究 ， 新 的 问 题 之 创
，
所 以对 于 倒 立 摆 系 统 的研 究 具 有 深 远 的 意 义 Ⅲ 。
１ 二 级 倒 立 摆 系 统 数 学模 型 的 建 立
在 忽 略 了空 气 阻 力 和 各 种 摩擦 ， 认 为 摆 杆 为 刚体 。二 并 级 倒 立 摆 示 意 图 如 图 １所示 利用 拉格 朗 日方程 推导 运 动学 方 程 ： 拉 格 朗 日方 程 为 ： （ ， ） ｇ ｑ 一 （ ， ￡ ｑ ｑ ＝ （ ， ） Ｖ ｑ ）
倒 立 摆 是 一 种 典 型 的 高 阶 非 线 性 、 变 量 、 耦 合 、 对 多 强 绝 不稳定 的实验装置 ， 它具 有 结 构 简 单 、 本 低 廉 、 于 调 整 等 成 易
特 点 ， 为 这 样 一 个 被 控 对 象 ， 有 有 效 的 控 制 策 略 才 能 够 作 只
（． 安 工 业 大 学 北 方信 息 工 程 学 院 陕 西 西安 ７ ０ ３ ； ． 北 机 电工 程 研 究所 陕 西 成 阳 ７ ２ ９ １西 １０ ２ ２ 西 １０ ９ ３ 榆 林 学 院 能 源 工程 学 院 ，陕 西 榆 林 ７ ９０ ） ． １０ ０ 摘 要 ： 立摆 系 统 作 为 一 种 典 型 的 实验 装 置 ， 具有 高 阶 次 、 线 性 、 稳 定 、 变量 、 耦 合 等 特 点 ， 以很 好 的 验 倒 它 非 不 多 强 可
摆 掣
图 １ 二 级 倒 立 摆 示 意 图
Ｆｉ ．１ Ｔ —ｔ ｇ ｎ ｕ ｕ ｓ ｈ ｍａｉ ｉｇ ａ ｇ ｗｏ ｓａ ｅ ｐｅ ｄ ｌ ｍ ｃ ｅ ｔｃ ｄ ａ ｒ ｍ
表 １ 倒 立 摆 参 数 定 义
Ｔａ ． Ｐａ ａ ｅ ｅ ｅ ｎｅ ｆｔ ｎｖ ｒ ｅ ｅ ｕ ｕ ｂ１ ｒ ｍ ｔｒｄ ｆ ｓｏ ｉ ｈｅ ｉ ｅ ｔ ｄ ｐ ｎｄ ｌ ｍ
ｃ ｎ ｒ ｌ ｆｄ ｕ ｌ ｖ ￣ ｄ ｐ ｎ ｕｕ ｒ ａ－ ｍｅｃ ｎｒ ｌ ｒ ｂ ｅ ，ｄ ｓｇ ｚ ｙ ｃ ｎ ｒｌｅ ｏ ｔｏ ｅ ｓ ｂ ｌ ｙ ｏ ｅ ｉｖ ￣ｅ ｏ ｔｏ ｏ ｂ ｅ ｉ ｅ ｅ ｅ ｄ ｌ ｍ ｅ ｌ ｉ ｏ ｔ ｏ ｌｍ ｏ ｎ ｔ ｏｐ ｅ ｉｎ ａｆ ｚ ｏ ｔｏｌｒｔ ｃ ｎ ｒ ｌ ｈ ｔ ｉ ｔ ｆ ｈ ｎ ｅ ｄ ｕ ｏ ｔ ａ ｉ ｔ
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合 误 差 变 化 率 （ 车 的 速 度 、 摆 的角 速 度 、 摆 的 角 速 度 ） 小 上 下
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作 者 简 介 ： 灵侠 （ ９ ３ ） 女 ， 西 西安 人 ， 士 ， 教 。研 究方 向 ： 制 理 论 与 控 制 工程 。 焦 １８ 一 ， 陕 硕 助 控
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坐标 上 的外 力 。系 统 的广 义 坐 标 有 ３个 ， 别 为 ，。０。 分 ｏ，２ 系统 的动 能 ：
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系统 的势 能 为 ：
Ｖ＝Ｖ ＋ ＋ ＝， Ｙｌ ｌ ＋ｍ２ ２ ｙ ｍ ＋， ３ ３
图 ２ Ｅ和 Ｅ Ｃ隶 属 度 函 数 曲线
一
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４） 糊 控 制 规 则 模
１
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根 据 输 入 ， 出 论域 上 的模 糊 语 言 变 量 划 分 Ｎ （ 大 ） 输 Ｂ 负 ， Ｎ 负 中 ）Ｎ （ 小 ） Ｚ 零 ） Ｐ （ 小 ） Ｐ 正 中 ） Ｐ 正 Ｍ（ ，Ｓ 负 ， Ｏ（ ， Ｓ 正 ， Ｍ（ ， Ｂ（
证控 制 理论 ． 且 与 工 程 中的 控 制 对 象具 有 类 似 的 结 构 。 中采 用模 糊控 制研 究 二 级倒 立摆 系统 的 实 时控 制 问题 ， 并 文 设
计模 糊 控 制 器控 制倒 立摆 系统 的稳 定 。 实践 证 明 ． 糊 控 制 方 法 控 制 二 级 倒 立摆 系统 的 稳 定 是 可行 的 。 模 关 键 词 ：倒 立 摆 ；模 型 ；模 糊 ；实时 控 制 ；稳 定
中 图分 类 号 ： Ｐ ７ Ｔ ２３
文献标识码 ： Ａ
文 章 编 号 ：１ ７ — ２ ６ ２ １ ） ６ ０ ９ — ３ ６ ４ ６ ３ （０２ １— ０９ ０
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图 ３ “的 隶 属 度 函数 曲线
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６６ ．４
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大 ） 设 计 模 糊 推 理 规 则如 表 ２所 示 。 ，
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电 子 设 计 工 程
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其 中 为 拉 格 朗 日算 子 ， ｑ为 系 统 的广 义 坐 标 ， 为 系 统 ７ １
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并 且 结 合 了 多种 技 术 ， 此 可 以 看 作 是 典 型 的被 控 对 象 供 科 因 研 人 员 研 究 。 立 摆 系 统 被 广 泛 应 用 于 双 足 机 器 人 行 走 及 火 倒 箭 稳 定 发 射 及 飞 行 方 面 ， 于 多级 倒 立 摆 和 复 杂 结 构 的 倒 立 对 摆 进 行 控 制 更 是 近年 来 各 科 学 领 域 不 断 研 究 ， 新 的 问 题 之 创
，
所 以对 于 倒 立 摆 系 统 的研 究 具 有 深 远 的 意 义 Ⅲ 。
１ 二 级 倒 立 摆 系 统 数 学模 型 的 建 立
在 忽 略 了空 气 阻 力 和 各 种 摩擦 ， 认 为 摆 杆 为 刚体 。二 并 级 倒 立 摆 示 意 图 如 图 １所示 利用 拉格 朗 日方程 推导 运 动学 方 程 ： 拉 格 朗 日方 程 为 ： （ ， ） ｇ ｑ 一 （ ， ￡ ｑ ｑ ＝ （ ， ） Ｖ ｑ ）
倒 立 摆 是 一 种 典 型 的 高 阶 非 线 性 、 变 量 、 耦 合 、 对 多 强 绝 不稳定 的实验装置 ， 它具 有 结 构 简 单 、 本 低 廉 、 于 调 整 等 成 易
特 点 ， 为 这 样 一 个 被 控 对 象 ， 有 有 效 的 控 制 策 略 才 能 够 作 只
（． 安 工 业 大 学 北 方信 息 工 程 学 院 陕 西 西安 ７ ０ ３ ； ． 北 机 电工 程 研 究所 陕 西 成 阳 ７ ２ ９ １西 １０ ２ ２ 西 １０ ９ ３ 榆 林 学 院 能 源 工程 学 院 ，陕 西 榆 林 ７ ９０ ） ． １０ ０ 摘 要 ： 立摆 系 统 作 为 一 种 典 型 的 实验 装 置 ， 具有 高 阶 次 、 线 性 、 稳 定 、 变量 、 耦 合 等 特 点 ， 以很 好 的 验 倒 它 非 不 多 强 可
