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一阶倒立摆模糊控制实验报告一、实验目的本实验旨在通过模糊控制方法来控制一阶倒立摆系统，实现摆杆保持竖直的稳定控制。
二、实验原理1. 一阶倒立摆系统一阶倒立摆系统由一个垂直的支撑杆和一个在杆顶端垂直摆动的杆组成。
系统的输入为杆的控制力矩，输出为杆的角度。
系统的动力学方程可以表示为：Iθ''(t) + bθ'(t) + mgl sin(θ(t)) = u(t)其中，I为倒立摆的转动惯量，b为摩擦阻尼系数，θ为倒立摆的角度，m为倒立摆的质量，l为杆的长度，g为重力加速度，u为输入的控制力矩。
2. 模糊控制方法模糊控制方法是一种基于模糊逻辑的控制方法，通过将模糊集合与模糊规则相结合，构建模糊控制器来实现对系统的控制。
在本实验中，可以使用模糊控制器来实现倒立摆系统的稳定控制。
三、实验步骤1. 搭建实验平台，包括倒立摆系统、传感器和执行器。
2. 训练模糊控制器a. 定义模糊集合：根据角度误差和角速度误差定义模糊集合，并确定模糊集合的划分方式。
b. 构建模糊规则：根据经验或系统建模，确定模糊规则。
c. 设计模糊控制器：根据模糊集合和模糊规则，设计模糊控制器，包括模糊推理和模糊解模块。
d. 调整模糊控制器参数：根据系统响应实验，根据控制效果调整模糊控制器参数。
3. 实施模糊控制a. 读取传感器数据：获取倒立摆的角度和角速度数据。
b. 计算控制器输出：根据模糊控制器和传感器数据计算控制力矩的输出。
c. 执行控制器输出：将控制力矩作用在倒立摆上。
4. 监测系统响应：实时监测倒立摆的角度和角速度，判断控制效果。
5. 调整模糊控制器参数：根据实验监测结果，调整模糊控制器参数，以提高控制效果。
四、实验结果分析通过实验，我们可以观察到倒立摆系统在模糊控制下的稳定控制效果。
通过实时监测倒立摆的角度和角速度，可以验证控制器的性能。
实验结果可以通过绘制控制力矩输入和倒立摆角度响应曲线，以及观察系统的稳态误差来分析。
智能控制技术研究报告题目：基于模糊控制的单级倒立摆系统的研究学院：电气工程学院年级专业：仪器仪表工程学号：学生姓名：日期：2014.1.3一、绪论1。
1 课题的研究背景和意义倒立摆控制系统是一个复杂的、不稳定的、非线性系统，是进行控制理论设计及测试的理想实验平台。
倒立摆系统控制涉及到机器人技术、控制理论、计算机控制等多个领域。
其被控系统本身是一个绝对不稳定、高阶次、多变量、强耦合的非线性系统，可以作为一个典型的控制对象对其进行研究。
同时,由于实际机械系统中存在的各种摩擦力，实际倒立摆系统亦具有一定的不确定性。
倒立摆系统的控制涉及到许多典型的控制问题:非线性问题、随动及跟踪问题、鲁棒性问题、非最小相位系统的镇定问题等等。
正是由于倒立摆系统的特殊性，许多不同领域的专家学者在检验新提出理论的正确性和实际可行性时，都将倒立摆系统作为实验测试平台。
再将经过测试后的控制理论和控制方法应用到更为广泛的领域中去。
如：把一级倒立摆的研究成果应用到对航空航天领域中的火箭发射推进器和卫星飞行状态控制的研究；把二级倒立摆的研究成果应道到双足机器人行走控制中。
所以说,对倒立摆系统控制理论的研究不仅具有理论研究价值，也具有相当的实际工程应用价值。
倒立摆系统的传统控制方法主要是使用经典控制理论和现代控制理论。
它们都以精确的系统数学模型为控制对象。
经典控制理论在线性定常、输入输出量较少的系统中能很好的完成控制设计指标，经典控制理论的数学基础是拉普拉斯变换，占主导地位的分析和综合方法是频率域方法。
而现代控制理论是建立在状态空间分析法上的，基本分析方法是时域分析法。
这种方法能够克服经典控制理论的缺陷：能够解决系统的输入输出变量过多、系统的非线性等问题.现代控制理论已经在工业生产过程、军事科学、航空航天等许多方面都取得了成功的应用。
例如极小值原理可以用来解决某些最优控制问题；利用卡尔曼滤波器可以对具有有色噪声的系统进行状态估计；预测控制理论可以对大滞后过程进行有效的控制。
一阶倒立摆模糊控制实验报告本次实验旨在研究一阶倒立摆系统的模糊控制方法，通过对系统进行建模、设计控制器并进行仿真，最终评估控制效果。
实验过程主要包括系统建模、控制器设计、模糊控制器参数调节和性能评价四个步骤。
首先，我们对一阶倒立摆系统进行建模。
一阶倒立摆系统是一种具有非线性特性的控制系统，主要由电机、倒立摆、支撑杆等组成。
我们需要建立数学模型描述系统的动力学特性，包括倒立角度、倒立角速度、杆角度等状态变量，并考虑控制输入电压对系统的影响。
接着，我们设计模糊控制器。
模糊控制是一种基于模糊逻辑的控制方法，适用于非线性系统和模糊系统。
我们根据系统模型，设计模糊控制器的模糊规则、隶属函数等参数，以实现系统的稳定控制。
在设计过程中，我们需要考虑系统的性能指标，如超调量、稳态误差等。
第三步是模糊控制器参数调节。
通过仿真实验，我们可以对模糊控制器的参数进行调节，以使系统的性能达到最佳状态。
调节参数的过程需要考虑系统的稳定性、鲁棒性和响应速度，以达到控制效果的要求。
最后，我们对模糊控制系统进行性能评价。
通过对系统的响应曲线、稳定性、控制精度等指标进行分析，评价模糊控制器的控制效果。
我们可以比较模糊控制系统和传统控制系统的性能，探讨模糊控制在一阶倒立摆系统中的优势和局限性。
总的来说，本次实验通过研究一阶倒立摆系统的模糊控制方法，探讨了模糊控制在非线性系统中的应用。
通过实验，我们对模糊控制的基本原理和设计方法有了更深入的理解，同时也对一阶倒立摆系统的控制特性有了更清晰的认识。
希望通过实验的研究，能够为控制系统的设计和应用提供一定的参考和借鉴。
一级直线型倒立摆的模糊控制一、问题的描述在忽略了空气流动之后, 可将倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统, 如图1所示. 记小车质量为M, 摆杆质量为m, 摆杆转动图1 倒立摆系统中心到杆质心的距离为l, 作用在系统上的外力为F , 重力加速度为g, θ为摆杆偏角, 即摆杆与竖直向上方向的夹角,取顺时针方向为正方向, x 为小车水平方向位移, 取导轨中点为零点, 水平向右为正方向, 水平向左为负方向.图2为隔离体受力图。
摆杆围绕中心A 点转动方程为22d J V l sin H l cos dtθθθ=-。
式中，J 为摆杆围绕重心A 的转动惯量。
摆杆重心A 沿x 轴方向运动方程为2A 2d x m Hdt=，即22dm(x lsin )H dtθ+=。
摆杆重心A 沿y 轴方向运动方程为2A 2d y mV m gdt=-，即22dm(l c o s )V m g dtθ=-。
小车沿x 轴方向运动方程式为22=-d x M F Hdt。
以上方程为车载倒立摆系统运动方程组。
因为还有sin θ和cos θ项，所以为非线性微分方程组。
图2 隔离体受力图中间变量不易相消。
把J 的表达式代入，联合几个方程式得到如下的非线性方程组：'2''2'2''''sin cos *(sin )*(43*cos ()*(sin cos )θθθθθθθθθθ+--=-++-=+g F m l l m m M F m l x M m设，''1234[(),(),(),()][,,,]θθ==X t t x t x t x x x x则有如下非线性状态方程组：'122'1121221'342''21214sin cos *(sin )*(43*cos ()*(sin cos )=+--=-+=+-=+x x g x x F m lx x x l m x m M x x F m l x x x x x M m二，控制系统的matlab 实现 实现的步骤为： 1.划分模糊空间2.用上述的每个离散状态空间点X1, X2,…，Xn 来线性化线性车棒模型，选择合适的LQR 控制参数Q ，R ，N ，设计出线性最优控制器K1, K2,…，Kn 。
单级倒立摆的模糊控制应用摘要:随着被控对象的日趋复杂,对控制性能的要求不断提高,传统控制理论对解决复杂系统无能为力。
该文将人工智能中的模糊控制引入倒立摆控制系统,以提高控制要求,改善控制精度。
通过仿真实验表明这种控制思路是可行的,效果良好。
关键词:倒立摆;模糊控制;模糊推理系统;仿真The applica tion of a fuzzy con trol theory to a single inverted pendulumCHEN J in,QU Cheng2ming, J IANGMing, CHEN Qi2gong (Anhui Provincial Key Laboratory of Electrical Transm ission and Control,Anhui University of Technology and Science, AnhuW uhu 241000, China)Abstract:As the controlled objects become more and more comp lex and the requirement of controlperformance is higher and higher, the conventional control theory is inefficiency. The paper p resents theapp lication of the fuzzy control theory of artificial intelligent to an inverted pendulum control system. It canimp rove the control requrement and accuracy. Simulations show that this control concep tion is p ractical.Key words: inverted pendulum; fuzzy control; F IS; simulation 引言倒立摆系统是一个复杂的非线性系统。
系统仿真课程设计报告题目：一阶倒立摆系统的双闭环模糊控制方案专业、班级：自动本091班学生姓名：学号：0905404125指导教师：分数:2012 年 6 月9 日目录摘要： (2)一、引言 (2)二、设计目的 (3)三、设计要求 (3)四、设计原理 (3)五、设计步骤 (3)1、单级倒立摆系统的构成........................ 错误！未定义书签。
2、单级倒立摆的数学模型 (4)3、模糊控制器的设计 (6)3.1单阶倒立摆模糊控制的基本思路 (6)3.2隶属函数的定义 (6)3.3模糊控制器规则 (7)3.4解模糊 (8)4、仿真实验 (8)4.1MATLAB模糊逻辑工具箱 (8)4.2系统数字仿真模型的建立 (11)5、基于MATLAB的数字仿真结果 (12)六、结论 (13)七、感想和建议 (13)八、致谢 (14)九、参考文献 (15)摘要：通过对单阶倒立摆的双闭环的控制数学模型的分析，采用模糊控制理论对倒立摆的控制系统进行计算机仿真。
其中，内环控制倒立摆的角度，外环控制倒立摆的位置。
在Matlab环境下的仿真步骤包括：定义隶属函数及模糊控制规则集，解模糊。
结果表明，摆杆角度和小车位置的控制过程均具有良好的动态性能和稳定性能。
关键词：倒立摆；模糊逻辑控制；计算机仿真；MATLABAbstract：based on the ChanJie inverted pendulum double closed loop control mathematical model analysis, the fuzzy control theory of the inverted pendulum control system by computer simulation. Among them, the inner loop control the point of view of the inverted pendulum, outside loop control the position of the inverted pendulum. In the Matlab environment simulation steps include: definition membership function and fuzzy control rule sets, solution is fuzzy. The results show that, swinging rod Angle and the car position control process are good dynamic performance and stable performance.Keywords: inverted pendulum; Fuzzy logic control; The computer simulation; Matlab一、引言在人类自然科学的发展历史上，人们总是以追求事物的精确描述为目的来进行研究，并取得了大量的成果。
关于一级倒立摆的模糊控制班级：12级电气工程及其自动化2班学号：2012330301139姓名：吕杰1.倒立摆模糊控制的研究倒立摆一般有两种起始状态的控制。
一种是在摆杆自然下垂，竖直向下为起始状态，通过不断的摆动,最终使其稳定在竖直向上的不稳定点,这种控制叫做起摆稳定控制,也即DOWN-UP控制；另一种是用手提起摆杆,在不稳定平衡点处开始实行控制,称作稳定控制,也即UP-UP控制。
倒立摆系统也是一个复杂的、非线性的、不稳定的高阶系统。
倒立摆的控制一直是控制理论及应用的典型课题。
为了解决这个问题，张乃尧等提出双闭环的倒立摆模糊控制方案，内环控制倒立摆的角度，外环控制倒立摆的位移。
范醒哲等人将这一方法推广到三级倒立摆控制系统中，并提出两种模糊串级控制方案，用来解决倒立摆这类多变量系统模糊控制时的规则爆炸问题。
2.位置模糊控制器的设计位置模糊控制器是二维模糊控制器，以小车位移误差e和小车速度误差ec为该模糊控制器的输入，u为输出量。
位移误差e,控制输出速度误差ec，u的论域均选为｛6,4,2,0,2,4,6｝采用七级分割，表示为[NB,NM,NS.ZO,PS,PM,PB]。
图1-1模糊关系的建立在进行模糊推理运算时，采用Mamdani的max-min合成算法，而输出量的解模糊运算则采用常用的重心法。
通过该模糊控制规则,实现了小车的位移和速度的输入到虚拟角的输出。
从而间接控制了小车的位置。
还要注意到,由于位置控制器先运行,然后是角度控制器工作,两者串行工作,很好的解决了实时性的问题。
图1-2模糊规则的确定图1-3 模糊规则的建立位移误差e的实际范围为[-0.6,0.6]，单位为m,规定Kel=10。
速度误差ec实际范围为[-1,1],单位为m/s规定Kecl=1。
只讨论平衡点附近30°的倒立摆的稳定，输出量（虚拟角）实际范围为[-30°,30°]，[-0.52,0.52],单位rad,规定Kul=0.09。
一级直线倒立摆系统之宇文皓月创作模糊控制器设计实验指导书目录1 实验要求..................................................... ....................................................... . (3)1.1 实验准备..................................................... ....................................................... . (3)1.2 评分规则..................................................... ....................................................... . (3)1.3 实验陈述内容..................................................... ....................................................... .. (3)1.4平安注意事项............................................................................................................ .. (3)2 倒立摆实验平台介绍..................................................... ....................................................... .. (4)2.1 硬件组成..................................................... ....................................................... . (4)2.2 软件结构..................................................... ....................................................... . (4)3 倒立摆数学建模（预习内容）................................................... ....................................................... .. 64模糊控制实验..................................................... ....................................................... (8)4.1 模糊控制器设计（预习内容）................................................... . (8)4.2 模糊控制器仿真..................................................... ....................................................... (12)4.3 模糊控制器实时控制实验..................................................... ....................................................... .. 125附录：控制理论中经常使用的MATLAB 函数..................................................... . (13)6参考文献..................................................... ....................................................... .. (14)1 实验要求1.1 实验准备实验准备是顺利完成实验内容的需要条件。
单级倒立摆系统中模糊控制理论的应用1.引言倒立摆系统是研究控制理论的一种典型实验平台，其具有成本低廉，结构简单，物理参数和结构易于调整等优点，是一个高阶次、极不稳定、多变量、非线性和强耦合的不稳定系统。
在对倒立摆系统的控制过程中，它能有效地反映诸如可镇定性、随动性、鲁棒性以及跟踪等许多控制中关键性的问题，是检验各种控制理论的理想模型。
迄今人们已经利用经典控制理论、现代控制理论以及各种智能控制理论实现了对多种倒立摆系统的稳定性的控制。
同时倒立摆系统的动态过程与人类的行走姿态类似，平衡过程与火箭的发射姿态调整类似，因此倒立摆的研究在实现双足机器人直立行走、火箭发射过程的姿态调整以及直升机飞行控制领域中都有着重要的现实意义，有关的科研成果已经应用到航天科技和机器人学等诸多领域当中。
1.1倒立摆简介倒立摆系统按摆杆数量的不同，可分为一级，二级，三级倒立摆等，多级摆的摆杆之间属于自由连接（即无电动机或其他驱动设备）。
现在由中国的师大学洪兴教授领导的“模糊系统与模糊信息研究中心”暨复杂系统智能控制实验室采用变论域自适应模糊控制成功的实现了对四级倒立摆的控制。
使我国称为了世界上第一个成功完成四级倒立摆实验的国家。
按其形式分，倒立摆还分为，悬挂式倒立摆、平行倒立摆、环形倒立摆、平面倒立摆。
按控制电机数量，又可分为单电机倒立摆和多级电机倒立摆等等。
图 1-1 为集中倒立摆系统的，实物照片。
图 1-1各类倒立摆系统照片本文所采用的倒立摆模型，直线单极倒立摆。
1.2倒立摆控制方法简介对倒立摆系统这样一个典型的非线性、强耦合、极不稳定的复杂的被控对象进行研究，无论在理论上还是在方法上都具有其重要的意义，各种控制理论，控制方法都可以在这里得到充分的实践，并且可以促成各种不同方法之间的有机结合。
当前，倒立摆的控制方法大致可以分为线性控制、预测控制和智能控制三大类。
下面本文将对现阶段应用较为广的几种控制方法进行简要介绍。
(1)常规 PID 控制：该方法是最早发展起来的一种控制方法，由于其算法简单、鲁棒性好、速度快、可靠性高等优点，至今仍广泛应用于工业过程控制中 [1] 。
这种方法方法虽然可以用来实现对倒立摆系统的控制但由于其线性的本质，对于一个非线性、绝对不稳定的系统是不能达到满意的控制效果的，振荡会比较厉害。
若结合其它控制算法一起使用可发挥出取长补短的作用。
(2)状态反馈控制：状态反馈的极点配置法便是众多倒立摆控制方法中的一种最基本的策略。
极点配置法就是通过设计状态反馈控制器，然后将多变量系统的闭环系统极点配置在期望的位置之上，从而使系统满足实际应用当中所要求的瞬态和稳态的性能指标[2]。
(3)线性二次型 (LQR)：这种系统的状态方程是线性的，指标函数是状态变量和控制变量的二次型[3]。
这种方法是针对状态方程X Ax Bu 通过去顶最佳控制量u tKx t 中的矩阵K，使得控制性能指标达到极小值[4] ：J1x T Qx u T Ru dt（1-1 ）2 0将LQR控制方法应用于倒立摆系统当中，首先应该考虑的问题便是其平衡问题，因此需引入全状态反馈。
线性二次型 (LQR)最优控制，可以实现对倒立摆系统的平衡控制，而且设计方案很简单、超调量也较小、响应速度较快；但是，LQR控制的抗干扰性能和鲁棒性不强，当存在大扰动时，小车的跟随能力有限，存在滞后[5] ，尤其对多级倒立摆进行稳定控制时，其困难更大。
(4)变结构控制：变结构控制系统的运动可以分为两个阶段，分别为能达阶段和滑动阶段。
其控制也分为两个部分：滑动模态域设计以及变结构控制律设计[6] 。
变结构控制方法对系统参数摄动和对外部扰动具有很强的鲁棒性，但是由于抖振的存在，使得在一定程度上影响了其控制效果。
抖振和鲁棒性是变结构控制方法的两大基本特点，也是变结构控制系统中的一对主要矛盾。
因而在实际应用中必须考虑到如何才能消除抖振带来的负面影响，否则不仅会影响控制效果，而且对仪器设备也会造成一定的破坏。
(5)自适应神经模糊推理系统 (ANFIS) ：这种方法是基于 Sugeno 模糊模型，并采用类似于神经网络的结构，因此该方法既具有模糊控制方法不要求掌握精确的被控对象数学模型的优点，又具有神经网络控制方法可以自学习的特点，而且计算量小、收敛快，比较适合在微控制器的计算能力较差的场合下使用[7]。
将ANFIS控制器应用在倒立摆控制系统当中，在保证摆角较小的情况下 ( 即小于± 10° ) ，可有效地控制倒立摆系统，并且能跟踪目标位置信号、响应速度快、系统超调量较小[8]，但这种方法的鲁棒性较差不如基于遗传算法所设计。
(6)神经网络控制：神经网络控制能够任意充分地逼近各种极其复杂的非线性关系，能够学习并且适应严重不确定性系统的动态特性，因此具有很强的鲁棒性与容错性，也可以将 Q学习算法与 BP神经网络算法有机的结合在一起，可以对实现状态未离散化倒立摆系统的无模型学习控制。
这种控制方法存在的主要问题就是缺乏一种专门的，适合于控制问题的动态的神经网络，而且多层网络层数的确定、隐层神经元的数量、激发函数类型的选择等也缺乏有指导性原则等[9] 。
(7)模糊控制：在倒立摆系统的稳定控制的众多方法中，模糊控制方法无疑是其中一种比较优秀的解决途径，它的鲁棒性较好[10]。
但是一般的模糊控制器的设计方法存在着很大的局限性，首先就建立一组比较完善的多维的模糊控制规则而言，就是一个很难解决的问题，即使凑成了一组不完整并且很粗糙的模糊控制规则，在实际控制过程中其控制效果也难以得到保证。
如果模糊控制方法能有效的结合其它控制方法就很有可能会产生比较理想的控制效果。
例如[11]：师大学已经采用模糊自适应控制理论成功的研制了三级倒立摆装置并对四级倒立摆系统做了仿真实验。
(8)遗传算法：遗传算法是美国密歇根大学 Holland 教授倡导发展起来的，是模拟生物学中的自然遗传和达尔文进化理论而提出的并行随机优化算法。
其基本思想是：随着时间的更替，只有最适合的物种才能得以进化[12]。
对于倒立摆系统，需要找到一个可以使系统稳定，且由噪声产生的输出量最小的非线性控制器，也就是要得到的最优解。
有关研究表明，遗传算法具有较好的抗干扰特性，但是计算量较大，适合于微控制器计算能力较强的场合。
由于本文所采用的倒立摆系统模型为单级倒立摆系统模型，所以通过对上述各种控制方法之间，优缺点的比较，最终本文采用了模糊控制方法。
1.3国外研究现状对倒立摆系统的研究最早开始于二十世纪五十年代，由麻省理工大学的电机工程系设计出了单级倒立摆系统这个实验设备，并投入使用。
在此后的发展过程中，人们又在此基础上进行拓展，创造出了各式各样与众不同的倒立摆实验设备。
自从倒立摆产生以后，国外的专家学者就不断对它进行研究，其研究主要集中在下面两个方面：倒立摆系统的稳定控制的研究和倒立摆系统的自起摆控制研究从目前的研究情况来看，大部分研究成果又都集中在第一方面即倒立摆系统的稳定控制的研究。
早在上个世纪五十年代，国外就开始了倒立摆的研究，我国学者也从 80年代初开始倒立摆系统的研究。
1966年Schaefer 和cannon就应用 bang-bang控制理论，将一个曲轴稳定于倒置位置，实现了单级倒立摆的稳定控制。
在 60年代后期，作为一个典型的不稳定、严重非线性证例，倒立摆的概念被提出，并将其用于检验控制方法对不稳定、非线性和快速性系统的控制能力，受到世界各国许多科学家的重视，并寻找不同的控制方法实现对倒立摆的控制[13]。
2.倒立摆系统特性分析和单级倒立摆数学建模本章分析了倒立摆系的统特性，建立了单级倒立摆系统的数学模型，利用力学分析方法和 Lagrange 方程建立了倒立摆系统的动态方程。
2.1倒立摆系统特性分析倒立摆系统作为一种典型的机械电子系统，无论是那种类型的倒立摆系统它们都具有一下的几种特性。
(1)欠冗余性：一般的说来倒立摆控制系统都采用单电机驱动，因而它与冗余机构有较大的不同之处，比如说冗余机器人。
我们之所以采用欠冗余的设计主要是要在不失去系统可靠性的前提下，节约成本或者节约空间。
研究者常常都是希望通过对倒立摆控制系统的研究从而获得性能较为突出的新型控制器的设计方法，并同时验证其有效性以及控制性能。
(2)仿射非线性系统：倒立摆控制系统作为一种典型的仿射非线性系统，因此我们在对它进行的分析时可以应用微分几何方法进行分析。
(3)不确定性：倒立摆系统的不确定性，主要是指我们建立系统数学模型的时候设置的一些参数上误差，以及量测噪声、机械传动过程中的一些非线性因素导致的难以量化的部分。
(4)耦合特性：倒立摆的摆杆与小车之间，以及在多级倒立摆系统中，上下摆杆之间都是强耦合的。
这就是为什么可以采用单个电机驱动倒立摆系统的原因，也是为什么使得控制系统的设计以及控制器参数调节变得很复杂的原因。
(5)开环不稳定系统：倒立摆系统拥有两个平衡状态，也就是竖直向下和竖直向上两种平衡状态。
竖直向下的平衡状态是系统本身稳定的平衡点，而竖直向上的平衡状态是系统本身不稳定的平衡点，开环的时候即使是微小的扰动都会使得系统离开竖直向上的平衡状态进而转入到竖直向下的平衡状态中去。
针对以上几种倒立摆系统的特性，因此在建模时，为了简单起见，我们一般忽略掉系统中那些次要的往往难以建模的因素，例如：空气阻力、伺服电机因为安装而产生的静摩擦力、倒立摆系统在连接处的松弛程度、摆杆连接处质量的分布不均匀、传动皮带自身的弹性、 传动齿轮的间隙问题等等。
因此我们将小车抽象成一个质点， 摆杆抽象成一个匀质的刚体， 摆杆绕着转轴转动， 这样就可以通过力学原理建立起一个较为精确的数学模型。
为了方便大家对倒立摆系统控制方法的研究， 所以建立一个较为精确的倒立摆系统的 “线性的倒立摆系统模糊控制算法的研究模型” 是必不可少的。
就目前而言，人们对倒立摆系统的建模一般采用以下两种方法 [14] ：牛顿力学分析方法以及欧拉—拉格朗日原理。
应用欧拉—拉格朗目原理[15]可得如下方程：d L L D （ 2-1 ）dtq iq iQ i ， L q,q T q,q V q, qq i其中， L 是拉格朗日算子， q i 是系统的广义坐标， q 是广义变量， Q i 是系统沿该广义坐标方向上的广义外力。
T 就是系统的动能， V 就系统的势能， D 就是系统的耗散能。
在建立系统数学模型时候所定义的坐标系、原点、及方向等，都应与实际当中的物理系统的方向一一对应。
建模中我们发现，单级倒立摆系统拥有四个状态变量，二级倒立摆系统拥有六个状态变量。
一般说来， N 级倒立摆系统就拥有 2 N 1 个状态变量。
因此通过定义状态变量我们可以将所建立起来的数学模型写成， 仿射非线性系统的形式：x f xg i x u i（2-2 ）iyh x其中 xq, q T 是系统的状态变量，一般输出是 y q T ， u i 是系统的控制量。
