等比数列前n项和求和公式

等比数列的前n项和在数学 中的应用
第五章
在几何中的应用
勾股定理的证明：利用等比数列的前n项和，可以证明勾股定理，通过构造等 比数列，利用其前n项和的性质，可以得出勾股定理的结论。
圆的相关性质：等比数列的前n项和可以应用于圆的面积和周长的计算，通过 构造等比数列，利用其前n项和的性质，可以得出圆的面积和周长的公式。
定义：等比数列是一种特殊的数列，其中每一项与它前面的一项的比值都等于同一个常数。
通项公式：等比数列的通项公式为 a_n = a_1 * q^(n-1)，其中 a_n 是第 n 项，a_1 是第一项，q 是公 比。
性质：等比数列的性质包括对称性、递推性和周期性。对称性是指等比数列的前 n 项和等于后 n 项 和；递推性是指等比数列的每一项都可以由前一项和公比得到；周期性是指等比数列存在一个最小 正周期，任何一项都可以由前一项经过若干个周期得到。
递推法
适用范围：适用于已知数列 的前几项，需要求出数列的 通项公式的情况
定义：递推法是一种通过已 知数列的前几项，推算出数 列的通项公式的方法
求解步骤：首先确定数列的 前几项，然后根据这些项推
算出数列的通项公式
注意事项：在推算过程中需 要注意数列项的规律和特点，
避免出现错误
图像法
定义：通过绘制等比数列的图像来求解前n项和 适用范围：适用于等比数列的公比不为1的情况 求解步骤：先绘制等比数列的图像，再根据图像求出前n项和 优缺点：直观易懂，但计算精度不高
公式与其他数学知识的联系
等比数列的前n项和的求解 方法
第四章
公式法
定义：等比数列的 前n项和公式是 S_n=a1*(1q^n)/(1-q)，其中 a1是首项，q是公比
推导过程：通过等比 数列的性质和定义推 导出前n项和的公式

a11－q30 a11－q10 ∴S30＝ ＝ (1＋q10＋q20) 1－q 1－q ＝10×(1＋2＋4)＝70.
方法二：∵S10，S20－S10，S30－S20 仍成等比数列， 又 S10＝10，S20＝30， 30－102 ∴S30－S20＝S30－30＝ ， 10 即 S30＝70.
2、公式的推导方法
（重在过程）
等比数列的前n项和（二）
回顾
1、求和公式
a1 (1 q n ) 当q≠1时， Sn 1 q
当q=1时，
Sn na1
a1 an q Sn 1 q
强调： ①注意分类讨论的思想！ 等比数列求和时必须弄清q=1还是q≠1. ②运用方程的思想，五个量“知三求二”. ③注意运用整体运算的思想.
• 1.理解并掌握等比数列前n项和公式及其推导 过程． • 2.能够应用前n项和公式解决等比数列有关问 题． • 3.进一步提高解方程(组)的能力，以及整体代 换思想的应用能力.
复习:等比数列 {an}
(1) 等比数列: (2) 通项公式:
(3)a, G, b
an+1 an =q (定值) n-1 an=a1• q (a 0, q 0).
4
③
4 解得：q . 3
代入③得：n=5.
9 16 【例2】已知等比数列an 中，a1 , an , 16 9 781 Sn , 求公比q及项数n. 144
解法2
a1 an q 1. 9 16 q a1 qan 781 4 16 9 Sn 解得：q . 1 q 1 q 144 3
a1 1 q n Sn 1 q
⑵


说明：这种求和方法称为错位相减法 显然，当q=1时，

若q=1, ∴ Sn=
作 减 法
a -a q
n
Sn na1
1
若：q≠1
a1 (1 q ) Sn 1 q
n
{
a (1-q )
n
n· a1
1-q
(q=1)
(q=1)
等比数列前n项求和公式
na1 , (q 1), na1 , ( q 1) 于是 Sn a1 an q S n a1 (1 q n ) , (q 1). 1 q , (q 1). 1 q
若m+n=p+q,则 am+an=ap+aq ( a1 an ) n Sn= 2
若m+n=p+q, 则aman=apaq
？
问题提出
小林和小明做“贷款”游戏，规定：在一月（30天）中小明 第一天贷给小林1万元，第二天贷给小林2万元……以后每天比前 一天多贷1万元.而小林按这样方式还贷：第一天支付1分钱，第二 天还2分钱，第三天还4分钱……以后每天还的钱是前一天的2倍， 試计算30天后两人各得的钱数.
{bn}的公比;②将两个等式相减;③利用等比数列的前n项
和公式求和.
课堂小结：
1.等比数列前 公式的应用； 2.灵活运用等比数列求和公式进行求和，求和时注 意公比q(q是否等于1)
n 项和公式推导中蕴含的思想方法以及
3.反思推导求和公式的方法——错位相减法，
可以求形如 xn yn 的数列的和，其中 xn 为
设小林30天得到的钱数T30
T30 (1 30) 30 1 2 3 30 465(万元 ) 2
设小明30天得到的钱数S 30
S30 1 2 22 23 229 （分）

等比数列前n项和公式推导过程
因为an = a1q^(n-1)
所以sn = a1+a1*q^1+...+a1*q^(n-1) (1)
qsn =a1*q^1+a1q^2+...+a1*q^n (2)
（1）-（2）注意（1）式的第一项不变。

把（1）式的第二项乘以（2）式的第一项。

把（1）式的第三项减去（2）式的第二项。

以此类推,把（1）式的第n项乘以（2）式的第n-1项。

（2）式的.第n项不变,这叫错位相减,其目的就是消去这此公共项。

于是获得
(1-q)sn = a1(1-q^n)
即sn =a1(1-q^n)/(1-q)。

①若 m、n、p、q∈n*，且m＋n=p＋q，则am*an=ap*aq；
②在等比数列中，依次每 k项之和仍变成zhi等比数列.
“g是a、b的等比中项”dao“g^2=ab（g≠0）”.
③若（an）就是等比数列，公比为q1，（bn）也就是等比数列，公比就是q2，则
（a2n），（a3n）…是等比数列，公比为q1^2，q1^3…
（can），c就是常数，（an*bn），（an/bn)就是等比数列，公比为q1，q1q2，
q1/q2。

(5) 等比数列前n项之和sn=a1(1-q^n)/(1-q)=a1(q^n-1)/(q-1)=(a1q^n)/(q-1)-a1/(q-1)
在等比数列中，首项a1与公比q都不为零.
注意：上述公式中a^n表示a的n次方。

(6)由于首项为a1，公比为q的等比数列的通向公式可以译成an*q/a1=q^n，它的指数函数y=a^x有著紧密的联系，从而可以利用指数函数的性质去研究等比数列。