等比数列前n项和

等差和等比数列前n项和公式
等差数列和等比数列是初中数学中较为基础的概念，求解前 n 项和是其重要的应用。

下面将介绍等差数列和等比数列前 n 项和的公式。

等差数列前 n 项和公式：Sn = n(a1 + an)/2，其中 Sn 表示前n 项和，a1 表示首项，an 表示末项。

由此可得，等差数列的公差 d = (an - a1)/(n - 1)。

等比数列前 n 项和公式：Sn = a1(1 - q^n)/(1 - q)，其中 Sn 表示前 n 项和，a1 表示首项，q 表示公比。

由此可得，等比数列通项公式为 an = a1q^(n-1)。

以上公式是求解等差数列和等比数列前 n 项和的基本公式，掌握了这些公式可以方便地求解各类应用问题。

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等比数列的前n 项和一．等比数列前n 项和公式1．在等比数列 {a n }的五个量a 1，q ，a n ，n ，S n 中，已知其中的三个量，通过列方程组，就能求出另外两个量，这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用． 2．在解决与前n 项和有关的问题时，首先要对公比q ＝1或q ≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论． 【例1】 在等比数列{a n }的前n 项和为S n ， (1)S 2＝30，S 3＝155，求S n ； [解] 由题意知⎩⎨⎧ a 1(1＋q )＝30，a 1(1＋q ＋q 2)＝155，解得⎩⎨⎧a 1＝5，q ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝180，q ＝－56.从而S n ＝14×5n ＋1－54或S n ＝1 080×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－56n 11.(2) a 1＋a 3＝10，a 4＋a 6＝54，求S 5； [解]法一：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 2＝10，a 1q 3＋a 1q 5＝54，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，q ＝12，从而S 5＝a 1(1－q 5)1－q＝312.法二：由(a 1＋a 3)q 3＝a 4＋a 6，得q 3＝18，从而q ＝12.又a 1＋a 3＝a 1(1＋q 2)＝10，所以a 1＝8，从而S 5＝a 1(1－q 5)1－q＝312.(3) a 1＋a n ＝66，a 2a n －1＝128，S n ＝126，求q . [解]因为a 2a n －1＝a 1a n ＝128，所以a 1，a n 是方程x 2－66x ＋128＝0的两根． 从而⎩⎨⎧ a 1＝2，a n ＝64或⎩⎨⎧a n ＝2，a 1＝64.又S n ＝a 1－a n q 1－q ＝126，所以q 为2或12.(4) a 1＝1，S 3＝34，求S 4.[解] ∵等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S 3＝34， ∴q ≠1，1－q 31－q ＝34，整理可得，q 2＋q ＋14＝0，解得，q ＝－12，则S 4＝1－q 41－q＝1－1161＋12＝58.跟踪训练1．(1) 在等比数列{a n }中，若a 1＝2，a n ＝162，S n ＝112，求n 和q ；[解] 由S n ＝a 1－a n q 1－q 得112＝2－162q1－q ，∴q ＝－2，又由a n ＝a 1q n －1得162＝2(－2)n －1，∴n ＝5. (2) 在等比数列{a n }中，S 4＝1，S 8＝17，求a n . [解] 若q ＝1，则S 8＝2S 4，不合题意，∴q ≠1， ∴S 4＝a 1(1－q 4)1－q ＝1，S 8＝a 1(1－q 8)1－q＝17，两式相除得1－q 81－q 4＝17＝1＋q 4，∴q ＝2或q ＝－2，∴a 1＝115或a 1＝－15， ∴a n ＝115·2n －1或－15·(－2)n －1.(3) 在公比为整数的等比数列{a n }中，如果a 1＋a 4＝18，a 2＋a 3＝12，则这个数列的前8项之和S 8＝________.[解] [a 1＋a 4＝a 1(1＋q 3)＝18，a 2＋a 3＝a 1(q ＋q 2)＝12，两式联立解得q ＝2或12，而q 为整数，所以q ＝2，a 1＝2，代入公式求得S 8＝2(1－28)1－2＝510.](4) 等比数列1，x ，x 2，x 3，…(x ≠0)的前n 项和S n 为________. [解] 当x ＝1时，数列为常数列，又a 1＝1，所以S n ＝n . 当x ≠1时，q ＝x ，S n ＝a 1(1－x n )1－x ＝1－x n1－x .二．错位相减法1. 推导等比数列前n 项和的方法一般地，等比数列{a n }的前n 项和可写为： S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1，① 用公比q 乘①的两边，可得qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1＋a 1q n ，② 由①－②，得(1－q )S n ＝a 1－a 1q n ， 整理得S n ＝a 1(1－q n )1－q (q ≠1)．2. 我们把上述方法叫错位相减法，(1)适用范围：一般适用于数列{a n ·b n }前n 项和的求解，其中{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，且q ≠1. (2)注意事项：①利用“错位相减法”时，在写出S n 与qS n 的表达式时，应注意使两式错对齐，以便于作差，正确写出(1－q )S n 的表达式.②利用此法时要注意讨论公比q 是否等于1的情况.【例2】 已知等比数列{a n }满足：a 1＝12，a 1，a 2，a 3－18成等差数列，公比q ∈(0,1)， (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和S n . [解] (1)设等比数列{a n }的公比为q ，a 1＝12，因为a 1，a 2，a 3－18成等差数列，所以2a 2＝a 1＋a 3－18，即得4q 2－8q ＋3＝0， 解得q ＝12或q ＝32，又因为q ∈(0,1)，所以q ＝12，所以a n ＝12·（12）n －1＝12n . (2)根据题意得b n ＝na n ＝n 2n ， S n ＝12＋222＋323＋…＋n 2n ， ①12S n ＝122＋223＋324＋…＋n 2n ＋1，② 作差得12S n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n2n ＋1，跟踪训练2(1)本例题中设c n ＝na n，求数列{c n }的前n 项和S n ′.[解] 由题意知c n ＝n ·2n ，所以S n ′＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋(n －2)×2n －2＋(n －1)×2n －1＋n ·2n ， 2S n ′＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n －2)×2n －1＋(n －1)×2n ＋n ·2n ＋1， 两式相减得：－S n ′＝1×21＋22＋23＋24＋…＋2n －1＋2n －n ·2n ＋1 ＝2(1－2n )1－2－n ·2n ＋1＝(1－n )·2n ＋1－2，所以S n ′＝(n －1)·2n ＋1＋2.(2)本例题中设d n ＝(2n －1)a n ，求数列{d n }的前n 项和T n . [解] 由题意可得：T n ＝1×12＋3×122＋…＋(2n －1)×12n ，12T n ＝1×122＋3×123＋…＋(2n －3)×12n ＋(2n －1)×12n ＋1， 两式相减得12T n ＝1×12＋2×122＋…＋2×12n －(2n －1)×12n ＋1＝12＋12×1－12n －11－12－(2n －1)×12n ＋1＝32－12n －1－2n －12n ＋1，所以T n ＝3－42n －2n －12n ＝3－2n ＋32n .三：等比数列前n 项和的性质 1．等比数列前n 项和的变式当公比q ≠1时，等比数列的前n 项和公式是S n ＝a 1(1－q n )1－q ，它可以变形为S n ＝－a 11－q ·q n ＋a 11－q ，设A ＝a 11－q ，上式可写成S n ＝－Aq n ＋A .由此可见，非常数列的等比数列的前n 项和S n 是由关于n 的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数．当公比q ＝1时，因为a 1≠0，所以S n ＝na 1是n 的正比例函数(常数项为0的一次函数)． 2．等比数列前n 项和的性质(1)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若项数为2n ，则S 偶S 奇＝q ；若项数为2n ＋1，则S 奇－a 1S 偶＝q . (2)若等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n …成等比数列(其中S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n …均不为0)．(3)若一个非常数列{a n }的前n 项和S n ＝Aq n －A (A ≠0，q ≠0，n ∈N *)，则数列{a n }为等比数列，即S n ＝Aq n －A (A ≠0，q ≠0，q ≠1，n ∈N *)⇔数列{a n }为等比数列． (4)若等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n +m ＝S n ＋q n S m【例3】(1) 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝a n －1(a 是不为零且不等于1的常数)，则数列{a n }( )A ．一定是等差数列B ．一定是等比数列C ．是等差数列或等比数列D ．既非等差数列，也非等比数列 [解] 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(a －1)·a n －1； 当n ＝1时，a 1＝a －1，满足上式． ∴a n ＝(a －1)·a n －1，n ∈N *.∴a n ＋1a n ＝a ，∴数列{a n }是等比数列．(2) 等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 2＝7，S 6＝91，则S 4为( )A ．28B ．32C ．21D ．28或－21 [解] [∵{a n }为等比数列，∴S 2，S 4－S 2，S 6－S 4也为等比数列，即7，S 4－7,91－S 4成等比数列， ∴(S 4－7)2＝7(91－S 4)，解得S 4＝28或S 4＝－21.∵S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 1＋a 2＋a 1q 2＋a 2q 2＝(a 1＋a 2)(1＋q 2)＝S 2(1＋q 2)>S 2， ∴S 4＝28.(3) 等比数列{a n }中，公比q ＝3，S 80＝32，则a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 80＝________. [解]设S 1＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 80，S 2＝a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 79.则S 1S 2＝q ＝3，即S 1＝3S 2.又S 1＋S 2＝S 80＝32，∴43S 1＝32，解得S 1＝24. 即a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 80＝24.](4) 设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10＝10，S 30＝70，求S 40 解：S 20＝S 10＋q 10S 10 ， S 30＝S 10＋q 10S 20＝S 10＋q 10（S 10＋q 10S 10） 即70=10+q 10（10＋10q 10）解得q 10＝2或q 10＝－3 所以S 40＝S 10＋q 10S 30＝150 跟踪训练3(1) 若{a n }是等比数列，且前n 项和为S n ＝3n －1＋t ，则t ＝________. [解]－13 [显然q ≠1，此时应有S n ＝A (q n －1)，又S n ＝13·3n ＋t ，∴t ＝－13.](2) 正数等比数列中S n ＝2，S 3n ＝14”求S 4n 的值．[解] 设S 2n ＝x ，S 4n ＝y ，则2，x －2,14－x ，y －14成等比数列，所以⎩⎨⎧ (x －2)2＝2(14－x )，(14－x )2＝(x －2)(y －14)， 所以⎩⎨⎧x ＝6，y ＝30或⎩⎨⎧x ＝－4，y ＝－40(舍去)，所以S 4n ＝30.(3) 项数为偶数的等比数列，它的偶数项之和是奇数项之和的12，又它的首项为12，且中间两项的和为3128求此等比数列的项数．[解] 设等比数列为{a n }，项数为2n ，一个项数为2n 的等比数列中，S 偶S 奇＝q .则q ＝12，又a n 和a n ＋1为中间两项，则a n ＋a n ＋1＝3128，即a 1q n －1＋a 1q n ＝3128，又a 1＝12，q ＝12，∴12·（12）n －1＋12·（12）n ＝3128⇒12·（12）n －1·（1+12）＝3128⇒n ＝6. ∴项数为2n ＝12.则此等比数列的项数为12.(4)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 4＝2，S 8＝6，求a 17＋a 18＋a 19＋a 20的值．[解] 因为S 8＝S 4＋q 4S 4即6=2+2q 4，所以q 4=2 S 16＝S 8＋q 8S 8＝30 ，S 20＝S 4＋q 4S 16＝62 所以a 17＋a 18＋a 19＋a 20＝S 20－S 16＝32. 四．分组转化求和一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列的通项公式相加组成．【例4】 已知数列{a n }构成一个新数列：a 1，(a 2－a 1)，…，(a n －a n －1)，…此数列是首项为1，公比为13的等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a n }的前n 项和S n .[解] (1)a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1) ＝1＋13＋（13）2＋…＋（13）n-1＝32[1-（13）n ](2)S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋32⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋…＋32⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＝32n －34⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＝34(2n －1)＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1.跟踪训练4．求数列214，418，6116，…，2n ＋12n ＋1，…的前n 项和S n .[解]S n ＝214＋418＋6116＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋12n ＋1＝(2＋4＋6＋…＋2n )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋18＋…＋12n ＋1＝n (2n ＋2)2＋14⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝n (n ＋1)＋12－12n ＋1.五：等比数列前n 项和公式的实际应用 解数列应用题的具体方法步骤(1)明确问题属于哪类应用问题，即明确是等差数列问题还是等比数列问题，还是含有递推关系的数列问题？是求a n ，还是求S n ？特别要注意准确弄清项数是多少.(2)抓住数量关系，联想数学知识和数学方法，恰当引入参数变量，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达.(3)将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来，列出满足题意的数学关系式.【例5】 某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n (n ∈N *)等于________.解析 设每天植树的棵数构成的数列为{a n }，由题意可知它是等比数列，且首项为2，公比为2，可得2（1－2n ）1－2≥100，即2n ≥51.而25＝32，26＝64，n ∈N *，所以最少天数n ＝6. 答案 6跟踪训练5．某厂去年产值为a ，计划在5年内每年比上一年的产值增长10%，从今年起5年内，该厂的总产值为________．[解]去年产值为a ，从今年起5年内各年的产值分别为1.1a,1.12a,1.13a,1.14a,1.15a .所以1.1a ＋1.12a ＋1.13a ＋1.14a ＋1.15a ＝a ·1.1－1.161－1.1＝11(1.15－1)a .课后作业1.等比数列12，14，18，…的前10项和等于A.11 024B.511512C.1 0231 024D.1512解析 因为数列12，14，18，…是首项为12，公比为12的等比数列，所以S 10＝21-121-12110⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛＝1 0231 024. 答案 C2.等比数列{a n }的各项都是正数，若a 1＝81，a 5＝16，则它的前5项的和是A.179B.211C.243D.275解析 因为q 4＝a 5a 1＝1681＝（23）4，各项都是正数，所以q ＝23， 因此S 5＝a 1－a 5q1－q ＝81－16×231－23＝211.答案 B3.等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝A.13B.－13C.19D.－19解析 由题意知公比q ≠1，则S 3＝a 1（1－q 3）1－q ＝a 1q ＋10a 1，得q 2＝9，又a 5＝a 1q 4＝9，则a 1＝19. 答案 C4.设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，且8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2等于A.11B.5C.－8D.－11解析 设{a n }的公比为q .因为8a 2＋a 5＝0.所以8a 2＋a 2·q 3＝0.所以a 2(8＋q 3)＝0. 因为a 2≠0，所以q 3＝－8.所以q ＝－2.所以S 5S 2＝a 1（1－q 5）1－q a 1（1－q 2）1－q ＝1－q 51－q2＝1＋321－4＝33－3＝－11. 答案 D5.已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1的前5项和为A.158或5B.3116或5C.3116D.158解析 由题意，q ≠1，由9S 3＝S 6，得9×a 1（1－q 3）1－q ＝a 1（1－q 6）1－q ，解得q ＝2，故a n ＝a 1qn －1＝2n －1，1a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，12为公比的等比数列，其前5项和为1×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1251－12＝3116.答案 C6.在等比数列{a n }中，若a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1，则a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝A.(2n －1)2B.13(4n －1)C.13(2n －1)D.4n －1解析 由a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1，得a 1＝1，a 2＝2，所以{a n }是以1为首项，2为公比的等比数列，所以{a 2n }是以1为首项，4为公比的等比数列，所以a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1×（1－4n ）1－4＝13(4n－1).答案 B7.在14与78之间插入n 个数组成等比数列，若各项和为778，则数列的项数为A.4B.5C.6D.7解析 ∵a 1＝14，a n ＋2＝78，∴S n ＋2＝14－78q1－q＝778，∴q ＝－12，∴a n ＋2＝14（－12）n ＋1＝78，∴n ＝3，∴数列共5项. 答案 B8.已知数列{a n }是公比为3的等比数列，其前n 项和S n ＝3n ＋k (n ∈N *)，则实数k 为A.0B.1C.－1D.2解析 由数列{a n }的前n 项和S n ＝3n ＋k (n ∈N *)， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3＋k ；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n ＋k －(3n －1＋k )＝2×3n －1. 因为数列{a n }是公比为3的等比数列， 所以a 1＝2×31－1＝3＋k ， 解得k ＝－1. 答案 C9.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10∶S 5＝1∶2，则S 15∶S 5＝________. 解析 在等比数列{a n }中，S 5，S 10－S 5，S 15－S 10，…成等比数列， 因为S 10∶S 5＝1∶2，所以S 5＝2S 10，S 15＝34S 5，得S 15∶S 5＝3∶4，故选A. 答案 A10.等比数列{a n }共有2n 项，它的全部各项的和是奇数项的和的3倍，则公比q ＝________.解析 设{a n }的公比为q ，则奇数项也构成等比数列，其公比为q 2，首项为a 1，偶数项之和与奇数项之和分别为S 偶，S 奇， 由题意S 偶＋S 奇＝3S 奇，即S 偶＝2S 奇， 因为数列{a n }的项数为偶数，所以q ＝S 偶S 奇＝2.答案 211.等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n .已知S 3＝74，S 6＝634，则a 8＝________.解析 设等比数列{a n }的公比为q ，当q ＝1时，S 3＝3a 1，S 6＝6a 1＝2S 3，不符合题意，∴q ≠1，由题设可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1（1－q 3）1－q ＝74，a 1（1－q 6）1－q ＝634， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝14，q ＝2，∴a 8＝a 1q 7＝14×27＝32. 答案 3212.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若有S 3＋S 6＝2S 9，则公比q 的值为________. 解析 若q ＝1，则S 3＋S 6＝3a 1＋6a 1＝9a 1≠2S 9，∴q ≠1.由已知可得：a 1·（1－q 3）1－q ＋a 1（1－q 6）1－q ＝2a 1（1－q 9）1－q .∴q 3(2q 6－q 3－1)＝0.∵q ≠0，∴2q 6－q 3－1＝0，∴(q 3－1)(2q 3＋1)＝0. 又∵q ≠1，∴q 3＝－12，∴q ＝－342.13.已知等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝1，a 2＋a 4＝10，b 2b 4＝a 5. (1)求{a n }的通项公式； (2)求和：b 1＋b 3＋b 5＋…＋b 2n －1.解析 (1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ， 则a 2＋a 4＝2a 3＝10，即a 3＝5. 故a 3－a 1＝2d ＝5－1＝4，即d ＝2. ∴a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1(n ∈N *).(2)由(1)知a 5＝9，即b 2b 4＝9，则b 21q 4＝9，q 2＝3.∵{b n }是公比为q 的等比数列，∴b 1，b 3，b 5，…，b 2n －1构成首项为1，公比为q 2＝3的等比数列， ∴b 1＋b 3＋b 5＋…＋b 2n －1＝1×（1－3n ）1－3＝3n －12(n ∈N *).14.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2＋8n ，{b n }是等差数列，且a n ＝b n ＋b n ＋1.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)令c n ＝（a n ＋1）n ＋1（b n ＋2）n.求数列{c n }的前n 项和T n .解析 (1)由题意知当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝6n ＋5，当n ＝1时，a 1＝S 1＝11，符合上式. 所以a n ＝6n ＋5. 设数列{b n }的公差为d .由⎩⎨⎧a 1＝b 1＋b 2，a 2＝b 2＋b 3，即⎩⎨⎧11＝2b 1＋d ，17＝2b 1＋3d ， 解得b 1＝4，d ＝3.所以b n ＝3n ＋1. (2)由(1)知c n ＝（6n ＋6）n ＋1（3n ＋3）n ＝3(n ＋1)·2n ＋1. 又T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ，得T n ＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n ＋1)·2n ＋1]， 2T n ＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n ＋1)·2n ＋2]，两式作差，得－T n ＝3×[2×22＋23＋24＋…＋2n ＋1－(n ＋1)·2n ＋2] ＝3×⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋4（1－2n ）1－2－（n ＋1）·2n ＋2＝－3n ·2n ＋2，所以T n ＝3n ·2n ＋2.15 已知等比数列{a n }中，首项a 1＝3，公比q >1，且3(a n ＋2＋a n )－10a n ＋1＝0(n ∈N *). (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设{b n ＋13a n }是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{b n }的通项公式和前n 项和S n .解析 (1)∵3(a n ＋2＋a n )－10a n ＋1＝0，∴3(a n q 2＋a n )－10a n q ＝0，即3q 2－10q ＋3＝0. ∵公比q >1，∴q ＝3.又首项a 1＝3，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝3n . (2)∵{b n ＋13a n }是首项为1，公差为2的等差数列，∴b n ＋13a n ＝1＋2(n －1).即数列{b n }的通项公式为b n ＝2n －1－3n －1，S n ＝－(1＋3＋32＋…＋3n －1)＋[1＋3＋…＋(2n －1)]＝－12(3n －1)＋n 2.等比数列的前n 项和一．等比数列前n 项和公式1．在等比数列 {a n }的五个量a 1，q ，a n ，n ，S n 中，已知其中的三个量，通过列方程组，就能求出另外两个量，这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用． 2．在解决与前n 项和有关的问题时，首先要对公比q ＝1或q ≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论． 【例1】 在等比数列{a n }的前n 项和为S n ，(1) S 2＝30，S 3＝155，求S n ； (2)a 1＋a 3＝10，a 4＋a 6＝54，求S 5；(4) a 1＋a n ＝66，a 2a n －1＝128，S n ＝126，求q . (4)a 1＝1，S 3＝34，求S 4.跟踪训练1．(1) 在等比数列{a n }中，若a 1＝2，a n ＝162，S n ＝112，求n 和q ；(2)在等比数列{a n }中，S 4＝1，S 8＝17，求a n .(3)在公比为整数的等比数列{a n }中，如果a 1＋a 4＝18，a 2＋a 3＝12，则这个数列的前8项之和S 8＝________.(4)等比数列1，x ，x 2，x 3，…(x ≠0)的前n 项和S n 为________.二．错位相减法1. 推导等比数列前n 项和的方法一般地，等比数列{a n }的前n 项和可写为： S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1，① 用公比q 乘①的两边，可得qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1＋a 1q n ，② 由①－②，得(1－q )S n ＝a 1－a 1q n ， 整理得S n ＝a 1(1－q n )1－q(q ≠1)．3. 我们把上述方法叫错位相减法，(1)适用范围：一般适用于数列{a n ·b n }前n 项和的求解，其中{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，且q ≠1. (2)注意事项：①利用“错位相减法”时，在写出S n 与qS n 的表达式时，应注意使两式错对齐，以便于作差，正确写出(1－q )S n 的表达式.②利用此法时要注意讨论公比q 是否等于1的情况.【例2】 已知等比数列{a n }满足：a 1＝12，a 1，a 2，a 3－18成等差数列，公比q ∈(0,1)， (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和S n .跟踪训练2(1)本例题中设c n ＝na n，求数列{c n }的前n 项和S n ′.(2) 本例题中设d n ＝(2n －1)a n ，求数列{d n }的前n 项和T n .三：等比数列前n 项和的性质 1．等比数列前n 项和的变式当公比q ≠1时，等比数列的前n 项和公式是S n ＝a 1(1－q n )1－q ，它可以变形为S n ＝－a 11－q ·q n ＋a 11－q ，设A ＝a 11－q ，上式可写成S n ＝－Aq n ＋A .由此可见，非常数列的等比数列的前n 项和S n 是由关于n 的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数．当公比q ＝1时，因为a 1≠0，所以S n ＝na 1是n 的正比例函数(常数项为0的一次函数)． 2．等比数列前n 项和的性质(1)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若项数为2n ，则S 偶S 奇＝q ；若项数为2n ＋1，则S 奇－a 1S 偶＝q . (2)若等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n …成等比数列(其中S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n …均不为0)．(3)若一个非常数列{a n }的前n 项和S n ＝Aq n －A (A ≠0，q ≠0，n ∈N *)，则数列{a n }为等比数列，即S n ＝Aq n －A (A ≠0，q ≠0，q ≠1，n ∈N *)⇔数列{a n }为等比数列． (4)若等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n +m ＝S n ＋q n S m【例3】(1) 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝a n －1(a 是不为零且不等于1的常数)，则数列{a n }( )A ．一定是等差数列B ．一定是等比数列C ．是等差数列或等比数列D ．既非等差数列，也非等比数列 (2)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 2＝7，S 6＝91，则S 4为( )A ．28B ．32C ．21D ．28或－21(3)等比数列{a n}中，公比q＝3，S80＝32，则a2＋a4＋a6＋…＋a80＝________.(4) 设等比数列{a n}的前n项和为S n，若S10＝10，S30＝70，求S40跟踪训练3(1)若{a n}是等比数列，且前n项和为S n＝3n－1＋t，则t＝________.(2) 正数等比数列中S n＝2，S3n＝14”求S4n的值．(3) 项数为偶数的等比数列，它的偶数项之和是奇数项之和的12，又它的首项为12，且中间两项的和为3128求此等比数列的项数．(4)设等比数列{a n}的前n项和为S n ，已知S4＝2，S8＝6，求a17＋a18＋a19＋a20的值．四．分组转化求和一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列的通项公式相加组成．【例4】已知数列{a n}构成一个新数列：a1，(a2－a1)，…，(a n－a n－1)，…此数列是首项为1，公比为13的等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a n }的前n 项和S n .跟踪训练4．求数列214，418，6116，…，2n ＋12n ＋1，…的前n 项和S n .五：等比数列前n 项和公式的实际应用 解数列应用题的具体方法步骤(1)明确问题属于哪类应用问题，即明确是等差数列问题还是等比数列问题，还是含有递推关系的数列问题？是求a n ，还是求S n ？特别要注意准确弄清项数是多少.(2)抓住数量关系，联想数学知识和数学方法，恰当引入参数变量，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达.(3)将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来，列出满足题意的数学关系式.【例5】 某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n (n ∈N *)等于________.跟踪训练5．某厂去年产值为a ，计划在5年内每年比上一年的产值增长10%，从今年起5年内，该厂的总产值为________．课后作业1.等比数列12，14，18，…的前10项和等于A.11 024B.511512C.1 0231 024D.15122.等比数列{a n }的各项都是正数，若a 1＝81，a 5＝16，则它的前5项的和是A.179B.211C.243D.2753.等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝A.13B.－13C.19D.－194.设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，且8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2等于A.11B.5C.－8D.－115.已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1的前5项和为A.158或5B.3116或5C.3116D.1586.在等比数列{a n }中，若a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1，则a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝A.(2n－1)2B.13(4n－1)C.13(2n－1) D.4n －17.在14与78之间插入n 个数组成等比数列，若各项和为778，则数列的项数为A.4B.5C.6D.78.已知数列{a n }是公比为3的等比数列，其前n 项和S n ＝3n ＋k (n ∈N *)，则实数k 为A.0B.1C.－1D.29.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10∶S 5＝1∶2，则S 15∶S 5＝________. 10.等比数列{a n }共有2n 项，它的全部各项的和是奇数项的和的3倍，则公比q＝________.11.等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n .已知S 3＝74，S 6＝634，则a 8＝________.12.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若有S 3＋S 6＝2S 9，则公比q 的值为________.13.已知等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝1，a 2＋a 4＝10，b 2b 4＝a 5.(1)求{a n }的通项公式；(2)求和：b 1＋b 3＋b 5＋…＋b 2n －1.14.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2＋8n ，{b n }是等差数列，且a n ＝b n ＋b n ＋1.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)令c n ＝（a n ＋1）n ＋1（b n ＋2）n.求数列{c n }的前n 项和T n .15 已知等比数列{a n }中，首项a 1＝3，公比q >1，且3(a n ＋2＋a n )－10a n ＋1＝0(n ∈N *).(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设{b n＋13a n}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{b n}的通项公式和前n项和S n.。

等比数列的前n 项和 一、等比数列的前n 项和公式 1．乘法运算公式法∵S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1＝a 1(1＋q ＋q 2＋…＋q n －1)＝a 1·1－q 1＋q ＋q 2＋…＋q n －11－q ＝a 11－q n1－q， ∴S n ＝a 11－q n1－q. 2．方程法 ∵S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1＝a 1＋q (a 1＋a 1q ＋…＋a 1q n －2)＝a 1＋q (a 1＋a 1q ＋…＋a 1q n －1－a 1q n －1)＝a 1＋q (S n －a 1q n －1)，∴(1－q )S n ＝a 1－a 1q n .∴S n ＝a 11－q n1－q. 3．等比性质法∵{a n }是等比数列，∴a 2a 1＝a 3a 2＝a 4a 3＝…＝a n a n －1＝q . ∴a 2＋a 3＋…＋a n a 1＋a 2＋…＋a n －1＝q ， 即S n －a 1S n －a n ＝q 于是S n ＝a 1－a n q 1－q ＝a 11－q n1－q. 二、等比数列前n 项和公式的理解(1)在等比数列的通项公式及前n 项和公式中共有a 1，a n ，n ，q ，S n 五个量，知道其中任意三个量，都可求出其余两个量．(2)当公比q ≠1时，等比数列的前n 项和公式是S n ＝a 11－q n 1－q ，它可以变形为S n ＝－a 11－q ·q n ＋a 11－q ，设A ＝a 11－q，上式可写成S n ＝－Aq n ＋A .由此可见，非常数列的等比数列的前n 项和S n 是由关于n 的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数．当公比q ＝1时，因为a 1≠0，所以S n ＝na 1是n 的正比例函数(常数项为0的一次函数)．等比数列前n 项和性质（1）在等比数列{a n }中，连续相同项数和也成等比数列，即：S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…仍成等比数列．（2）当n 为偶数时，偶数项之和与奇数项之和的比等于等比数列的公比，即S 偶S 奇＝q . （3）若一个非常数列{a n }的前n 项和S n ＝－Aq n ＋A (A ≠0，q ≠0，n ∈N *)，则数列{a n }为等比数列，即S n ＝－Aq n ＋A ⇔数列{a n }为等比数列．题型一 等比数列前n 项和公式的基本运算（在等比数列{a n }的五个量a 1，q ，a n ，n ，S n 中，a 1与q 是最基本的元素，当条件与结论间的联系不明显时，均可以用a 1和q 表示a n 与S n ，从而列方程组求解，在解方程组时经常用到两式相除达到整体消元的目的，这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用；在解决与前n 项和有关的问题时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论．）1、在等比数列{a n}中，(1)若S n＝189，q＝2，a n＝96，求a1和n；(2)若q＝2，S4＝1，求S8.2、设等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3＋S6＝2S9，求数列的公比q.题型二等比数列前n项和性质的应用3、一个等比数列的首项为1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项和为170，求出数列的公比和项数．4、等比数列{a n}中，若S2＝7，S6＝91，求S4.题型三等比数列前n项和的实际应用5、借贷10 000元，以月利率为1%，每月以复利计息借贷，王老师从借贷后第二个月开始等额还贷，分6个月付清，试问每月应支付多少元？(1.016≈1.061,1.015≈1.051)[规范解答] 方法一设每个月还贷a元，第1个月后欠款为a0元，以后第n个月还贷a元后，还剩下欠款a n元(1≤n≤6)，则a0＝10 000，a1＝1.01a0－a，a2＝1.01a1－a＝1.012a0－(1＋1.01)a，……a6＝1.01a5－a＝……＝1.016a0－[1＋1.01＋…＋1.015]a.由题意，可知a6＝0，即1.016a0－[1＋1.01＋…＋1.015]a＝0，a＝1.016×1021.016－1.因为1.016＝1.061，所以a＝1.061×1021.061－1≈1 739.故每月应支付1 739元．方法二一方面，借款10 000元，将此借款以相同的条件存储6个月，则它的本利和为S1＝104(1＋0.01)6＝104×(1.01)6(元)．另一方面，设每个月还贷a元，分6个月还清，到贷款还清时，其本利和为S2＝a(1＋0.01)5＋a(1＋0.01)4＋…＋a＝a[1＋0.016－1]1.01－1＝a[1.016－1]×102(元)．由S1＝S2，得a＝1.016×1021.016－1. 以下解法同法一，得a≈1 739.故每月应支付1 739元．方法技巧错位相减法求数列的和若数列{a n}为等差数列，数列{b n}为等比数列，由这两个数列的对应项乘积组成的新数列为{a n b n}，当求该数列的前n项的和时，常常采用将{a n b n}的各项乘以公比q，并向后错位一项与{a n b n}的同次项对应相减，即可转化为特殊数列的求和，所以这种数列求和的方法称为错位相减法．6、已知等差数列{a n}的前3项和为6，前8项和为－4.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n ＝(4－a n )q n －1(q ≠0，n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和S n .数列归纳整合一、数列的概念及表示方法(1)定义：按照一定顺序排列着的一列数．(2)表示方法：列表法、图象法、通项公式法和递推公式法．(3)分类：按项数有限还是无限分为有穷数列和无穷数列；按项与项之间的大小关系可分为递增数列、递减数列、摆动数列和常数列．(4)a n 与S n 的关系：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ S 1n ＝1，S n －S n －1n ≥2. 等差数列 等比数列性质 ①设{a n }是等差数列，若s ＋t ＝m ＋n ，则a s＋a t ＝a m ＋a n ；②从等差数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等差数列；③等差数列中连续m 项的和组成的新数列是等差数列，即：S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…是等差数列 ①设{a n }是等比数列，若s ＋t ＝m ＋n ，则a s ·a t ＝a m ·a n ； ②从等比数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等比数列； ③等比数列中连续m 项的和组成的新数列是等比数列，即：S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…是等比数列(注意：当q ＝－1且m 为偶数时，不是等比数列)函数特性 ①等差数列{an}的通项公式是n 的一次函数，即an ＝an ＋b(a≠0，a ＝d ，b ＝a1－d)； ②等差数列{an}的前n 项和公式是一个不含常数项的n 的二次函数，即Sn ＝an2＋bn(d≠0) ①等比数列{an}的通项公式是n 的指数型函数，即an ＝c·qn ，其中c≠0，c ＝a1q ； ②等比数列{an}的前n 项和公式是一个关于n 的指数型函数，即Sn ＝aqn －a(a≠0，q≠0，q≠1)三、等差数列、等比数列的判断方法(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (常数)⇔{a n }是等差数列；a n ＋1a n＝q (q 为常数，q ≠0)⇔{a n }是等比数列． (2)中项公式法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2⇔{a n }是等差数列；a n ＋12＝a n ·a n ＋2(a n ≠0)⇔{a n }是等比数列．(3)通项公式法：a n ＝an ＋b (a ，b 是常数)⇔{a n }是等差数列；a n ＝c ·q n (c ，q 为非零常数)⇔{a n }是等比数列．(4)前n 项和公式法：S n ＝an 2＋bn (a ，b 为常数，n ∈N *)⇔{a n }是等差数列；S n ＝aq n －a (a ，q 为常数，且a ≠0，q ≠0，q ≠1，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列．专题一 数列通项公式的求法数列的通项公式是数列的核心之一，它如同函数中的解析式一样，有解析式便可研究函数的性质，而有了数列的通项公式，便可求出数列中的任何一项及前n 项和．常见的数列通项公式的求法有以下几种：(1)观察归纳法求数列的通项公式就是观察数列的特征，横向看各项之间的关系结构，纵向看各项与序号n 的内在联系，结合常见数列的通项公式，归纳出所求数列的通项公式．(2)利用公式法求数列的通项公式数列符合等差数列或等比数列的定义，求通项时，只需求出a 1与d 或a 1与q ，再代入公式a n ＝a 1＋(n －1)d 或a n ＝a 1q n －1中即可．(3)利用a n 与S n 的关系求数列的通项公式如果给出的条件是a n 与S n 的关系式，可利用a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ S 1n ＝1，S n －S n －1n ≥2，先求出a 1＝S 1，再通过计算求出a n (n ≥2)的关系式，检验当n ＝1时，a 1是否满足该式，若不满足该式，则a n 要分段表示．(4)利用累加法、累乘法求数列的通项公式形如：已知a 1，且a n ＋1－a n ＝f (n )(f (n )是可求和数列)的形式均可用累加法；形如：已知a 1，且a n ＋1a n＝f (n )(f (n )是可求积数列)的形式均可用累乘法． (5)构造法(利用数列的递推公式研究数列的通项公式)若由已知条件直接求a n 较难，可以通过整理变形等，从中构造出一个等差数列或等比数列，从而求出通项公式．1、已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n ＋3n ＋2且a 1＝2，求a n .2、数列{a n }中，若a 1＝1，a n ＋1＝n ＋1n ＋2a n (n ∈N *)，求通项公式a n . 3、已知数列{a n }满足a n ＋1＝3a n ＋2(n ∈N *)，a 1＝1，求通项公式．4、设S n 为数列{a n }的前n 项的和，且S n ＝32(a n －1)(n ∈N *)，求数列{a n }的通项公式． 专题二 数列求和求数列的前n 项和S n 通常要掌握以下方法：1、公式法：直接由等差、等比数列的求和公式求和，注意对等比数列q ≠1的讨论．2、错位相减法：主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广．3、分组转化法：把数列的每一项分成两项，使其转化为几个等差、等比数列再求和．4、裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．5、倒序相加法：把数列正着写和倒着写再相加(即等差数列求和公式的推导过程的推广)．1、求数列214，418，6116，…，2n ＋12n ＋1的前n 项和S n . 2、在数列{a n }中，a n ＝1n ＋1＋2n ＋1＋…＋n n ＋1，又b n ＝2a n ·a n ＋1，求数列{b n }的前n 项的和． 3、求和S n ＝x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n .专题三 数列的交汇问题数列是高中代数的重点内容之一，也是高考的必考内容及重点考查的范围，它始终处在知识的交汇点上，如数列与函数、方程、不等式等其他知识交汇进行命题．1、已知单调递增的等比数列{a n }满足a 2＋a 3＋a 4＝28，且 a 3＋2是a 2，a 4的等差中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n log 12a n ，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，对任意正整数n ，S n ＋(n ＋m )a n ＋1<0恒成立，试求m 的取值范围． 2、数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2＋2n ，数列{b n }的前n 项和T n ＝2－b n .(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)设c n ＝a n 2·b n ，证明：当且仅当n ≥3时，c n ＋1<c n .。

等比数列前n 项和公式本节课主要学习等比数列前n 项和公式的有关内容. (一)等比数列前n 项和公式111(1)11n n n a qS a q q q =⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩(二)等比数列前n 项和的性质 1、S n ＋m =S n ＋q n S m 2、若项数为2n ,则S q S =偶奇3、S n , S 2n －S n , S 3n －S 2n 成等比数列.例1、在等比数列{a n }的前n 项中,a 1最小,且a 1＋a n =66, a 2a n －1=128,前n 项和S n =126,求n 和公式q .例2、已知等比数列{a n }中，S 10=10, S 20=30,求S 30.例3、已知数列{a n }是等比数列,S n 是其前n 项的和,a 1, a 7,a 4成等差数列,求证：2S 3, S 6, S 12－S 6成等比数列.例4、已知数列{a n }是等差数列,公差d ≠0, {a n }中的部分项组成的数列12,,,,n k k k a a a 恰为等比数列,其k 1=1, k 2=5, k 3=17, (Ⅰ)求k n ；(Ⅱ)求证：k 1＋k 2＋…＋k n =3n －n －1.例5、某市2003年共有1万辆燃油型公交车.有关部门计划于2004年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%，试问：(1)该市在2010年应该投入多少辆电力型公交车？(2)到哪一年后，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的13？演练与检测一、选择题1、等比数列{a n }的首项为1,公比为q ,前n 项之和为S,则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项之和是( ) 1111A. B. C. D.n n S S S q S q-- 2、数列1、2、4、8、…、2n －1、…的前n 项和S n 满足100＜S n ＜200，那么n 等于( )A ．9B ．8C ．7D ．63、在公比为整数的等比数列{a n }中，如果a 1＋a 4=18，a 2＋a 3=12，那么该数列的前8项之和是( )A ．513B ．512C ．510D ．22584、等比数列{a n }中，a 1＋a 2=20，a 3＋a 4=40，则S 6等于( ) A ．80B ．120C ．140D ．1805、若数列{a n }的前n 项和S n =5n ＋m ，那么使{a n }为等比数列的实数m 的值为( ) A ．可取一些实数B ．只能取0C ．只能取－1D ．不存在6、设等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 2002=2S 2001＋6,a 2003=2S 2002＋6,则数列{a n }的公比q 为( )A ．2B ．4C ．5D ．37、在等比数列{a n }中,设前n 项和为S n ,则22223,()n n n n n x S S y S S S =+=+的大小关系是( ) A ．x ＞yB ．x =yC ．x ＜yD ．不确定8、设数列{a n }是公比为a (a ≠1)首项为b 的等比数列,S n 是前n 项和，对任意的n ∈N ﹡，点(S n , S n ＋1)( )A ．在直线y =ax －b 上B ．在直线y =bx ＋a 上C ．在直线y =bx －a 上D ．在直线y =ax ＋b 上 二、填空题9、数列1234,,,,24816…的前n 项和S n =_________. 10、在等比数列{a n }中，如果a 1=4，q =5，使S n ＞102的最小值n =________.11、在等比数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3=18，a 2＋a 3＋a 4=－9，S n =a 1＋a 2＋…＋a n ，则S n =_______.12、某科研单位，欲拿出一定的经费奖励科研人员，第一名得全部奖金的一半多一万元，第二名得剩下的一半多一万元，以名次类推都得到剩下的一半多一万元，到第七名恰好将奖金分完，则需拿出奖金_______万元. 三、解答题13、已知等比数列{a n }的前n 项和为10，前3n 项的和为70，求其前2n 项的和.14、设数列{a n }的首项a 1=1,前n 项和S n 满足关系式,3tS n －(2t ＋3)S n －1=3t (t ＞0,n =2,3,4,…). (1)求证：数列{a n }是等比数列，并求出a n ；(2)设数列{a n }的公比为f (t )，作数列{b n }，使b 1=1，11(2,3,4,),n n b f n b -⎛⎫== ⎪⎝⎭求b n .15、设数列{a n }是以a 为首项,t 为公比的等比数列,令b n =1＋a 1＋a 2＋…＋a n ；c n =2＋b 1＋b 2＋…＋b n ，n ∈N ﹡.(Ⅰ)试用a ,t 表示b n 和c n ；(Ⅱ)若a ＞0，t ＞0且t ≠1，试比较c n 与c n ＋1(n ∈N ﹡)的大小；(Ⅲ)是否存在实数对(a ,t )，其中t ≠1，使{c n }成等比数列，若存在，求出实数对(a ,t )和{c n }，若不存在说明理由.等差数列与等比数列、例题剖析例1、(1)等比数列中q =2，S 99=77，求a 3＋a 6＋…＋a 99； (2)等差数列中a 9＋a 10=a ，a 19＋a 20=b ，求a 99＋a 100.例2、设{a n }是等差数列，1231231211(),,,288n an b b b b b b b =++==已知求通项公式a n .例3、有一等差数列{a n }和等比数列{b n }，已知a 1=b 1=a ＞0，a 2n ＋1=b 2n ＋1，比较a n ＋1与b n ＋1的大小.例4、已知数列{a n }中，S n 是它的前n 项和，并且S n ＋1=4a n ＋2(n =1,2,…)，a 1=1. (1)设b n =a n ＋1－2a n (n =1,2,…)，求证数列{b n }是等比数列； (2)设(1,2,)2nn na c n == ，求证：数列{c n }是等差数列； (3)求数列{a n }的通项公式及前n 项和公式.例5、设各项均为正数的数列{a n }和{b n }满足15,5,5n n n a b a+成等比数列，lg b n ，lg a n ＋1，lg b n＋1成等差数列，且a 1=1，b 1=2，a 2=3，求通项a n ，b n .一、选择题1、等差数列{a n }的首项a 1=1，公差d ≠0，若a 1，a 2，a 5成等比数列，则d 等于( )A ．3B ．2C ．－2D ．2或－22、等差数列{a n }中的公差d ≠0,若a 1,a 3，a 9成等比数列,则1392410a a a a a a ++++的值等于( )7101613A.B. C. D.10713163、已知下列命题，其中正确命题的个数为( )①等差数列{a n }有如下性质：若m ＋n =p ＋q ，则a m ＋a n =a p ＋a q ；②等比数列{a n }有如下性质：若m ＋n =p ＋q ，则a m ·a n =a p ·a q ； ③如果a ,b ,c 成等比数列，那么lg a ，lg b ，lg c 成等差数列；④首项为a 1，公比为q 的等比数列的前n 项和1(1).1n n a q S q-=-A ．1B ．2C ．3D ．44、各项都是正数的等比数列{a n }的公比q ≠1，且a 2，31,2a a 1成等差数列，则3445a a a a ++的值是( ) 5151155151A.B. C. D.22222+--+-或5、数列{a n }中，a 1, a 2, a 3成等差数列，a 2, a 3, a 4成等比数列，a 3, a 4, a 5的倒数成等差数列.若a 1≠a 3，则下列命题中真命题的个数是( )①a 1, a 3, a 5成等差数列 ②a 1, a 3, a 5成等比数列 ③135111,,a a a 成等差数列 ④135111,,a a a 成等比数列 A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个答案：B6、已知x ＞0，y ＞0,且x ,a ,b ,y 成等差数列，x ,c ,d ,y 成等比数列，2(),a b cdα+=则α的取值范围是( )A ．(0,＋∞)B ．(0,4]C ．[4, ＋∞)D ．(4, ＋∞)答案：C7、若S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n =n 2，则{a n }是( )A ．等比数列，但不是等差数列B ．等差数列，但不是等比数列C ．等差数列，而且也是等比数列D ．既非等比数列又非等差数列 答案：B8、根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的12个月内累积的需求量S n (万件)近似的满足2(215)(1,2,3,,12)90n nS n n n =--= 按此预测，在本年度内需求量超过1.5万件的月份是( )A ．5月，6月B ．6月，7月C ．7月，8月D ．8月，9月二、填空题9、设{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和，若{S n }是等差数列，则q =_____. 10、互不相等的三个正数a ,b ,c 成等比数列,且lg c a ，lg b c ，lg a b 成等差数列，则公差d=_____.11、数列{a n }中,当n 为奇数时,a n =4n －1,当n 为偶数时,23,nn a =则a 1＋a 2＋…＋a 2n = ______.12、设{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和，若{S n }是等差数列，则q =____. 三、解答题13、三个数成等比数列，若第二个数加4，它们就成等差数列，再把这个等差数列的第三项加32，它们又成等比数列，求这三个数.14、在等比数列{a n }中，a 1=1000，11,10n q b n==又设(lg a 1＋lg a 2＋…＋lg a n )，求数列{b n }的前n 项和的最大值.15、设数列{a n }和{b n }满足a 1= b 1=6，a 2= b 2=4，a 3= b 3=3，且数列{ a n ＋1－a n }(n ∈N ﹡)是等差数列，数列{b n －2}(n ∈N ﹡)是等比数列. (Ⅰ)求数列{a n }和{b n }的通项公式； (Ⅱ)是否存在k ∈N ﹡，使a k －b k ∈(0,12)？若存在，求出k ；若不存在，说明理由.。

等比数列的通项与前n项和等比数列是指从第二个数开始，每个数都是前一个数与一个固定比例的乘积。

通常用字母a表示首项，q表示公比，那么等比数列的通项公式可以表示为an=a1*q^(n-1)。

前n项和公式可以表示为Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)。

等比数列的通项与前n项和在数学中有着广泛的应用，下面将对其计算方法进行详细介绍。

一、等比数列的通项求解对于等比数列的通项公式an=a1*q^(n-1)，我们可以通过已知的首项a1和公比q，来求解任意项的值。

以求解第n项an为例，假设我们已知等比数列的首项a1和公比q，则可以利用公式an=a1*q^(n-1)进行计算。

其中，n为所求项的位置。

例如，如果首项a1=2，公比q=3，我们想要求解第5项的值an。

根据通项公式可得：a5 = a1*q^(5-1) = 2*3^(5-1) = 2*3^4 = 162因此，等比数列的第5项的值为162。

二、等比数列的前n项和求解等比数列的前n项和可由前n项的通项公式进行计算。

前n项和公式为Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)，其中a1为首项，q为公比。

以求解前5项和Sn为例，假设等比数列的首项a1=2，公比q=3，则可以利用公式Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)进行计算。

我们要求解的是前5项和，即n=5。

代入公式可以得到：S5 = a1*(1-q^5)/(1-q) = 2*(1-3^5)/(1-3) = 2*(-242)/(2) = -242因此，等比数列的前5项和为-242。

综上所述，等比数列的通项与前n项和可以通过相应的公式进行计算。

知道了等比数列的首项和公比，我们就能得到任意项的值以及前n 项的和。

计算等比数列的前n项和在数学中，等比数列是一种特殊的数列，其中每一项与前一项的比值保持不变。

等比数列可以用以下公式表示：an = a1 * r^(n-1)其中，an表示数列的第n项，a1表示数列的首项，r表示公比（任意一项与它的前一项的比值）。

现在，我们来计算等比数列的前n项和。

首先，我们需要确定数列的首项a1、公比r和要计算的项数n。

假设a1=2，r=3/2，n=5，那么我们就需要计算等比数列2，3，9/2，27/4，81/8 的前5项和。

计算公式如下：Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)将我们的数值代入公式中：Sn = 2 * (1 - (3/2)^5) / (1 - 3/2)接下来，我们进行具体的计算：计算(3/2)^5：(3/2)^5 = 3^5 / 2^5 = 243 / 32 = 7.59375计算(1 - (3/2)^5)：1 - (3/2)^5 = 1 - 7.59375 = -6.59375计算(1 - 3/2)：1 - 3/2 = -1/2计算2 * (1 - (3/2)^5) / (1 - 3/2)：2 * (-6.59375) / (-1/2) = -13.1875 / (-1/2) = 26.375因此，等比数列 2，3，9/2，27/4，81/8 的前5项和为 26.375。

同样的步骤，我们可以计算任意等比数列的前n项和。

只需要将数列的首项a1、公比r和项数n代入计算公式中即可。

通过上述计算，我们可以快速准确地计算等比数列的前n项和。

这对于许多实际问题的建模和解决提供了很大的便利性。

在金融、工程、经济学等领域中，等比数列的运用非常广泛，例如货币的利息计算、成本的估算和市场需求的分析等。

希望本文所介绍的计算等比数列的前n项和的方法能对您有所帮助。

如果您在计算过程中遇到任何问题，可以随时咨询数学专家或使用数学软件来进行计算。

等比数列前n项和公式怎么求等比数列是高中数学重点知识之一，那么等比数列前n项和公式怎么求呢?下面是由小编为大家整理的“等比数列前n项和公式怎么求”，仅供参考，欢迎大家阅读。

等比数列前n项和公式怎么求等比数列前n项和公式：Sn=a1(1-q^n)/(1-q)。

推导如下：因为an=a1q^(n-1)所以Sn=a1+a1*q^1+...+a1*q^(n-1)(1)qSn=a1*q^1+a1q^2+...+a1*q^n(2)(1)-(2)注意(1)式的第一项不变。

把(1)式的第二项减去(2)式的第一项。

把(1)式的第三项减去(2)式的第二项。

以此类推,把(1)式的第n项减去(2)式的第n-1项。

(2)式的第n项不变,这叫错位相减,其目的就是消去这此公共项。

于是得到(1-q)Sn=a1(1-q^n)即Sn=a1(1-q^n)/(1-q)。

拓展阅读：等比数列的概念(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列.数学语言表达式：=q(n≥2，q为非零常数).(2)如果三个数a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，其中G=±。

2.等比数列的通项公式及前n项和公式(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an=a1qn-1;通项公式的推广：an=amqn-m.(2)等比数列的前n项和公式：当q=1时，Sn=na1;当q≠1时，Sn==。

3.等比数列的性质已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和.(1)若k+l=m+n(k，l，m，n∈N*)，则有ak·al=am·an。

(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak+m，ak+2m，…仍是等比数列，公比为qm。

(3)当q≠-1，或q=-1且n为奇数时，Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，…仍成等比数列，其公比为qn。

等比数列的前n项和等比数列的前n项和公式：一、等比数列的前n项和【知识梳理】推导过程：（1）利用等比性质由等比数列的定义，有根据等比性质，有∴．（2）错位相减法等比数列的前n项和，①当时，；②当时，由得：∴∴．即．【说明】①错位相减法是一种非常常见和重要的数列求和方法，适用于一个等差数列和一个等比数列对应项的积组成的数列求和问题，要求理解并掌握此法；②在求等比数列前项和时，要注意区分和；③当时，等比数列的两个求和公式，共涉及五个量，已知其中任意三个量，通过解方程组，便可求出其余两个量．【例题精讲】例1．已知等比数列首项为，公比为,求（1）该数列的前项和。

（2）若q≠1，证明数列{a n+1} 不是等比数列例2．设，则( )A. -85B. 21C. 43D. 171例3．等比数列中，，前3项之和，则公比q的值为（）A.B. 1或C. 1或－1D. 1例4．设等比数列的前n项和为，且，，则( )A. 5B. 7C. 9D. 11例5．若等比数列的前项和则等于（）A.B.C. -1D. 1例6．（本题满分10分）已知是等差数列，是各项为正数的等比数列，且，，. （Ⅰ）求和通项公式；（Ⅱ）若，求数列的前项和.例7．在数列中，，且满足.（Ⅰ）求及数列的通项公式；（Ⅱ）设求数列的前项和.例8．（本小题12分）若数列的前n 项和S n满足：S n= 2a n+1.（1）求，，；（2）求的通项公式.例9．远望巍巍塔七层，红灯向下成倍增，共灯三百八十一，塔顶共有灯__________ 盏.例10．设数列满足：.（1）求证：数列是等比数列（要指出首项与公比）；（2）求数列的通项公式.例11．已知是公差不为零的等差数列，，且是和的等比中项，求：（1）数列的通项公式；（2）【巩固练习】1．等比数列的前n项和为，已知，则＝（）A.B.C.D.2．（本小题满分12分）设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，，（Ⅰ）求，的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和．3．已知数列中，前项和为，且点在一次函数的图象上，则=（）A.B.C.D.4．设正项等比数列的前项和为，若，则__________ 5．已知数列的通项，则（）A. 0B.C.D.6．已知等比数列的前项和为，若，且，则__________ . 7．已知数列的前n项和，那么数列（）A. 是等差数列但不是等比数列B. 是等比数列但不是等差数列C. 既是等差数列又是等比数列D. 既不是等差数列也不是等比数列8．等差数列的前项和记为，已知；（1）求数列的通项（2）若，求（3）令，求数列的前项和9．（本小题满分12分）已知等差数列的前n项和为，且，．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前n项和．10．设数列{a n}的前n项和为s n，点（n，）（n∈N*）均在函数y=x+1的图象上．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若{b n}为正项等比数列，且b1=1，b1b2b3=8，求{b n}的通项公式和前n项和G n；（3）求{a n•b n}的前n项和T n．11．{a n}是公比大于l的等比数列，S n是{a n}的前n项和．若S3=7，且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列．（Ⅰ）求{a n}的通项公式．（Ⅱ）令b n=log2a2n，求数列{b n}的前n项和T n．课后巩固1．已知是等比数列，前n项和为，，则( )A.B.C.D.2．等比数列的前项和为40,前项和为120,则它的前项和是( )A. 280B. 480C. 360D. 5203．在数列中，已知，则等于（）A.B.C.D.4．设等比数列{a n}的前n项和为S n，若a2=2，，则S4的值为（）A.B.C.D.5．（本小题满分12分）在数列中，为常数，，且成公比不等于1的等比数列.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设，求数列的前项和6．在等差数列中，。