破“定”有方之基本不等式求最值 高中数学课件

变 :若x 0, y 0且 4 9 1,则x y有 最_小_ 值 是__25__ . xy
“1”的妙用
练习1：若 x 值是____。

0,
y

0, 满足
x 2y

1,则
1 x

1 y
的最小
练习2：若 x 0, y 0, 2x 8 y xy 0,则 x y最小值
2.若a 0, b 0,2a 3b 10,则 3b 2a的最 大 值 是_2___5.
3.函 数y x 1 3 x的 最 大 值 是_______.
4.若a 0, b 0且 a b m a b恒成立, 则m的 最 小 值 是____2__ .
基本练习
是_____。
基本不等式
例1 :若a 0, b 0且ab a b 8,求ab的范围. 求a b的范围.
变1 :若x 0, y 0, x 2 y 2xy 8,则x 2 y的
最 小 值 是__4___.
变2 :若x 0, y 0, x 2 y xy 30,则x y的
a x2 y2 2xy ab 4mnxy
b m2 n2 2mn mx ny 2 mnxy (mx ny)2 4mnxy
mx ny ab
1.若 直 角 三 角 形 的 周 长 为定 值L,则 面 积 的 最 大 值 是_____ .
2.若ABC的 三 边 满 足2b a c,则B的 取 值 范 围 是______.
3.函 数y

2 4x
x3
8
的
最
大
值
是______

把握基本不等式成立的三个条件： 1.不具备“正值”条件时，需将其转化为正值； 2.不具备“定值”条件时，需构造定值条件； （构造：互为相反数、互为倒数） 3.不具备“相等”条件时，需进行适当变形或利 用函数单调性求值域.
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1.批评对作品的意义不言而喻。好的 批评如 同灯光 ，指引 着作品 从暗处 走向前 台。近 些年的 诗歌批 评中， 不乏这 样的经 典或中 肯之作 。
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2.但与此同时，诗歌批评庸俗化的趋 势越来 越明显 ，不少 诗歌批 评为了 应酬需 要，违 心而作 ，学术 含量可 疑，甚 至堕落 为诗人 小圈子 里击鼓 传花的 游戏道 具。这 类批评 对诗歌 创作来 说类同 饮鸩止 渴，还 不如索 性没有 的好。
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3.批评文章却写得天花乱坠，一再上 演“皇 帝的新 衣”闹 剧。这 些批评 牵强附 会、肆 意升华 ，外延 无限扩 张，乃 至另起 炉灶， 使批评 成为原 创式的 畅想， 早已失 去了与 原作品 的联系 。
解: 因为x>3,所以x-3>0, 1 >0. x-3
所以y=x+x1-3=x-3+x1-3+32
(x-3)·1 +3=2+3=5, x-3
当且仅当x-3=x1-3,即x=4时,ymin =5.
(2)构造和为定值，利用基本不等式求最值
例 3已 知 0 x 1 ,求 函 数 y x (1 3 x )的 最 大 值 . 3
xy x
y
=3+yx+2yx3+2 2,
当且仅当
y x
2x y
,
即 y 2 x 时取“=”号.
而 y
2x,
x
1 2
, 2

1 由(1)可知(－x)＋ ≥2，当且仅当 x＝－1 时等号成立。 x
所以－ x

1 1 ≤－ 2 ，即 y ＝ x ＋ ≤－2 x x
综上，可知|y|≥2
例 3 如图 1，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间。一面可利用原有的墙，其
他各面用钢筋网围成。
图1
(1)现有可围 36 m 长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？ (2)若使每间虎笼面积为 24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网 总长最小？
探索新知
例如：你可以把一段 16 cm 长的细铁丝弯成形状不同的矩形，如边长为 4 cm 的正方形；
长 5 cm 宽 3 cm 的矩形；长 6 cm 宽 2 cm 的矩形……，你会发现边长为 4 cm 的那 个正方形的面积最大。这是因为：设矩形的长为 x cm，宽为 y cm，则 x＋y＝8，这 时，由 基本 解方程组 得 2 x 3 y 18 y 3
答：每间虎笼设计长、宽分别为 4.5 m 和 3 m 时，可使面积最大。
(2)学生解答。
例4
某种汽车，购车费用是 10 万元，每年使用的保险费、养路费、汽油费约为 0.9
万元，年维修费第一年是 0.2 万元，以后逐年递增 0.2 万元，问这种汽车使用多少年时，它 的年平均费用最少？
北京师范大学出版社 | 必修五
第三单元 · 不等式
基本不等式与最大 ( 小 ) 值
新课导入
回忆上节课我们探究的基本不等式：
ab ab (当且仅当 a＝b 时等号成立) 如果 a，b 是正数，那么 2
a +b 为 a，b 的算术平均数， ab 为 a，b 的几何平均数 2

提示:①AB 表示圆的直径;②������+2������表示线段 OD;③ ������������对应线段 CD; ④圆的半径大于或等于 CD,即������+2������ ≥ ������������.基本不等式的几何意义是 “半径不小于半弦”.
一二
课前篇 自主预习
2.填空
我们称不等式 ������������ ≤ ������+2������为基本不等式,其中 a>0,b>0,当且仅当 a=b 时,等号成立.
∴xy≤4,当且仅当 x=y=2 时,等号成立, ∴xy 的最大值为 4.
答案:(1)4 (2)4
课前篇 自主预习
探究一
探究二
探究三 随堂演练
基本不等式的理解
例1下列命题正确的是( )
A.若 x≠0,则 x+4������≥4
B.若 a,b∈R,且 ab>0,则������������ + ������������≥2
课堂篇 探究学习
探究一
探究二
探究三 随堂演练
变式训练2(1)已知a,b,c,d都是正数,求证:(ab+cd)(ac+bd)≥4abcd.
(2)已知 a>0,b>0,且 a+b=2,求证:1������ + 1������≥2. 证明(1)因为 a,b,c,d 都是正数,所以
ab+cd≥2 ������������������������,ac+bd≥2 ������������������������,
C.
������2 + 2 +
1 的最小值为
������2+2
2