破除思维“潜规则”

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破除思维“潜规 

王向红 

数学教学应注意引导学生思维发散,强调发展学生 

思维的灵活性,以此发展学生思维的探索性和创新性。 

思维灵活,生命灵动.这应当成为我(Ild ̄学数学课堂教 

学追求的“新常态”。这就必须有意破除课堂思维中存 

在的一些无意识的“潜规则”。 

比如,圆柱体积计算公式的推导,是在圆的面积计 

算公式推导的基础上,借助于将圆的底面等分为若干份, 

化曲为直拼凑成一个长方形;然后沿着竖直方向把圆柱 

切开,拼凑成一个长方体。教学推导中,师生把圆柱转 

换为一个长方体后,运用底面积乘高的思路,计算出圆 

柱的体积为底面圆的面积乘高(如下图)。 

长方体的体积:毫誓识×毒 l l l _拄・悯 寰 耀 则’’ 

细细思量我发现,其实在这一推导过程中,其实还 

存在定势思维,局限了对于圆柱体积计算公式的发散思 

考和灵活创意的充分表达。这里存在两个方面的思维“潜 

规则”:一是把圆柱的摆放呈现只是局限于圆面为底面、 

圆柱的高为竖直方向直立的摆放呈现,使得转化成的长 

方体也仍然是以原来的底面圆转化成的长方形为底面; 

二是将圆柱底面圆的面积“ ,^”作为一个不予分开的 

表达整体。这样的僵化思维,长期束缚了师生的头脑。 

一般圆柱体积计算的新授教学,都是运用教学具演 

示,引导学生观察、演示,动手操作,发现和理解上述 

传统思路。出现圆柱体积计算公式v=百, 这一公式之 

后,教师往往随即安排将新推导的公式带进数据运用, 

练习计算,巩固公式,然后圆满结束教学过程。我在教 

学这一课时不是到此为止,而是继续采取措施,让学生 

分析公式,使公式右边成为“×r×rX h”的连乘形式, 

有意识地打破底面面积密不可分的思维“潜规则”。然 

后,我刻意启发、引导学生: “这一公式中有几个不同 

的因数?能否将它们改变为不同的表达形式啊?”学生 

迅疾回答: “可以运用乘法的交换律和结合律,进行不 

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改变得数的形式变化。”我随即作出肯定性的引导: 

“对啊!运用乘法交换律和结合律,可以进行等积 

变形。如何变化?请同学们说说看!” 

学生议论纷纷,争先恐后地说出,将公式中的字母, 

实现两、三结合一起的不同组合,成为以下的表达形式: 

V:1T,X h (1) 

=(叮r X r)X(h X r)(2) 

:(盯X rX h)X,. (3) 

形式化地推导出来后,关键在于理解。我要求学生 

就自己新推的圆柱体积公式的不同表达形式,加以解释, 

寻求其合理性,使之在头脑中接纳、内化。学生积极查 

找图示,分别从图上弄清楚了r、h和h X r以及X,.、 

X,.X h等字母和不同字母组合的实际意义。 

我让几个学生上前,指着黑板上的圆柱图及其分解、 

转化拼凑演示的教具长方体模型,分别一一地找出上列 

字母和字母组合在图示和教具模型上所代表的线段,并 

逐一标出底面(侧面)的面积字母表达式。通过指图对应、 

填图标注出字母表达式,学生不但知道字母r和h分别 

代表圆柱底面圆的半径和圆柱的高,而且他们还弄明白 

了一下内容: 

hX r就是圆柱分解拼凑长方体中的一个侧面;也 

是平分圆柱经过两底圆心剖面的一半面积。 

丌×,.是底面圆周长的一半,也是分解拼凑长方体 

底面长方形的长。 

不但表示圆柱底面圆的面积;它也可写成: (X r)X r,也表示拼凑长方体中一个长方形立面的面积。 

而,×h就是圆柱侧面积的一半,它也就是圆柱分 

解拼凑成的长方体“横躺”着的一个上(或下)底面的 

面积大小。 

学生把这些字母和字母组合,分别在图上或者学具 

模型上找出与之对应的线段和立面大小,在圆柱分解拼 

凑图的图上找出各个侧面或者底面的表达式。这就分辨 

清楚了各自的字母和字母组合的实际意义。这是学生理 

解中关键的一步。然后,再让学生回到他们自己推导出 

的公式形式(1)(2)(3)中来。孩子们通过查对图 

形和实物模型终于弄明白了—— 

公式(1)字母表达式,表示圆柱体积等于圆柱的 

底面圆面积乘高; 

公式(2)字母表达式,表示圆柱体积也等于分解 

拼凑图中侧面长方形的面积乘底面圆周长的一半; 

而公式(3)字母表达式,则表示圆柱体积还等于 

___圈款育税毋智慧教学z。 e年第 。期 圆柱侧面积的一半乘底面圆半径。 

这需要将拼凑成的长方体,以不同方位摆放呈现, 

使之以不同的面为底面。本课教学通过多途径、多种表 

达形式的变化理解,使得学生对于圆柱体积计算公式的 

推导,打破了通常的囿于一法一式的局限,而变得十分 

灵活,多途径、多角度、多样式地实现了对于圆柱体积 

计算方法的掌握。学生从中感受到灵活变化、推理学习 

的乐趣,加深了对于圆柱体积计算公式的理解,并学会 

了通过字母公式的恒等变形,来牵引出对于字母公式新 

理解的推理方法。 

实现这样的灵活教学,关键在于打破公式推导思路 

中的两个“潜规则”:使得圆柱体教具的展示呈现不是 

一个方位放置不变,除了上下“直立”放置外,也可以“横 

躺”或者“侧立”着放置。这也就是说,除了基于圆形 

的底面(叮r, )作为下立面外,也可以将长方形的底 

面(r X,)为下底面;还可以将圆柱半侧面为下底面, 

或者将(h X,)的侧面为下底面。还得打破对于字母公 

式形式固化表达的“潜规则”。“h”的字母表达式不 

应是僵化不可改变的。要有意识地强调运用乘法交换律 

和结合律,实施对于其中几个因数任意自由的多形式结 

合。即使学生出现h X,. 这样的不合理思维也无所谓。 

我们完全可以借助圆周率的意义,让学生理解高与r。 

不可直接相乘组合的道理,从而将其顺利剔除。思维“潜 

规则”的打破,定势的有意识破除,创新的思维和思维 

的创新成果,以及具有新意的解法思路才会奔流出来。 

创新总是产生于对固化形态的破除之中。钻研教材 

教法,教师应当求活思变,多问几个为什么。对于教材 

的处理、知识的呈现、思考套路的设计等,我们要破除 

熟视无睹的教学“潜规则”,不应当实行“几十年一贯制”。 

在备课钻研中要善于追问:是不是只有这一个(种)? 

为什么要这样理解和处理?还有没有别的方式方法表达 

了?教师多思、多问了,教学的设计就会出现灵光一闪 

的新颖教学格局,课堂中的学生思维就会灵活多变,数 

学学习就会出新意、有发现、生光彩。 

(王向红,江苏省海安县教师进修学校附属小 

学。邮编:226600)