（8）立体几何（文）——2021年高考数学真题模拟试题专项汇编1.【2021年新高考Ⅰ卷，3】已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为( ) A.2B.22C.4D.422.【2021年新高考Ⅱ卷，4】卫星导航系统中，地球静止同步轨道卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为36000km （轨道高度指卫星到地球表面的最短距离）.把地球看成一个球心为O ，半径为6400km 的球，其上点A 的纬度是指OA 与赤道所在平面所成角的度数，地球表面能直接观测到的一颗地球静止同步轨道卫星的点的纬度的最大值记为α.该卫星信号覆盖的地球表面面积22π(1cos )S r α=-（单位：2km ），则S 占地球表面积的百分比为( ) A.26%B.34%C.42%D.50%3.【2021年北京卷，4】某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为( )33+ B.1213+3 4.【2021年浙江卷，4】某几何体的三视图如图所示(单位：cm )，则该几何体的体积(单位：3cm )是( )A.32B.3C.322D.325.【2021年新高考Ⅱ卷，5】正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则四棱台的体积为( ) A.5623B.562C.282D.28236.【2021年浙江卷，6】如图，已知正方体1111ABCD A B C D -，,M N 分别是1A D ，1D B 的中点，则( )A.直线1A D 与直线1D B 垂直，直线//MN 平面ABCDB.直线1A D 与直线1D B 平行，直线MN ⊥平面11BDD BC.直线1A D 与直线1D B 相交，直线//MN 平面ABCDD.直线1A D 与直线1D B 异面，直线MN ⊥平面11BDD B7.【2021年北京卷，8】定义：24小时内降水在平地上积水厚度（mm ）来判断降雨程度.其中小雨（10<mm ），中雨（10mm —25mm ），大雨（25mm —50mm ），暴雨（50mm —100mm ），小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水，如图，则这天降雨属于哪个等级( )A.小雨B.中雨C.大雨D.暴雨8.【2021年全国乙卷(文)，10】在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为11B D 的中点，则直线PB 与1AD 所成的角为( ) A.π2B.π3C.π4D.π69.【2021年全国甲卷(文)，14】已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为30π，则该圆锥的侧面积为__________.10.【2021年上海卷，9】已知圆柱的底面半径为1，高为2，AB 为上底面圆的一条直径，点C 为下底底面圆周上的一个动点，点C 绕着下底底面旋转一周，则ABC △面积的取值范围为____________.11.【2021年全国乙卷(文)，16】以图①为正视图，在图②③④③中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为___________（写出符合要求的一组答案即可）.12.【2021年全国乙卷(文)，18】如图，四棱锥P ABCD -的底面是矩形，PD ⊥底面ABCD ，M 为BC 的中点，且PB AM ⊥.（1）证明：平面PAM ⊥平面PBD ；（2）若1PD DC ==，求四棱锥P ABCD -的体积.13.【2021年安徽怀宁模拟，18】如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AAC C ⊥底面11,2,ABC AA AC AC AB BC ====，且AB BC ⊥，O 为AC 的中点.（1）求证：平面11A B O ⊥平面1BCA ；（2）若点E 在1BC 上，且//OE 平面1A AB ，求三棱锥1E A BC -的体积.14.【2021年广西桂林模拟(文)，18】如图所示，在三棱锥A BCD -中，侧棱AB ⊥平面BCD ，F 为线段BD 中点，Q 为线段AB 中点，2π3BCD ∠=，3AB =，2BC CD ==.证明：（1）CF ⊥平面ABD ； （2）求点D 到平面QCF 的距离.15.【2021年全国甲卷(文)，19】已知直三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B 为正方形.2AB BC ==，E ，F 分别为AC 和1CC 的中点，11BF A B ⊥，（1）求三棱锥F EBC -的体积；（2）已知D 为棱11A B 上的点，证明：BF DE ⊥.答案以及解析1.答案：B解析：本题考查圆锥的侧面展开图.设圆锥的底面半径为r ，母线长为l .由题意可得2ππr l =，所以222l r ==. 2.答案：C解析：由题意可知，6400cos 0.1536000640036000r r α==≈++，所以从同步卫星上可望见的地球的表面积222π(1cos )2π(10.15)S r r α=-≈-，此面积与地球表面积之比约为222π(10.15)100%42%4πr r -⨯≈.3.答案：A解析：画正方体，删点，剩下的4个点就是三棱锥的顶点，如图：1333311(11)2S +=⨯⨯⨯+=表. 4.答案：A解析：本题考查几何体的三视图.该几何体是高为1的四棱柱，其底面为三个全等的直角边为1的等腰直角三角形拼成的梯形，面积为32，故其体积是32. 5.答案：D解析：本题考查棱台的体积.将正四棱台1111A B C D ABCD -补成四棱锥P ABCD -，作PO ⊥底面ABCD 于点O ，交平面1111A B C D 于点1O ，则棱台1111A B C D ABCD -的体积1111P ABCD P A B C D V V V --=-.由题意，11112142PA PO A B PA PO AB ====，易知，4PA =，22AO =22224(22)22PO PA AO --=，所以12PO =，则1322(44)223P ABCD V -=⨯⨯⨯，1111142(22)23P A B C D V -=⨯⨯，所以棱台1111A B C D ABCD -的体积111132242282P ABCD P A B C D V V V --=-==.6.答案：A解析：本题考查空间的线线关系与线面关系.易知1A D ⊥平面1ABD ，故11A D D B ⊥，排除B ，C 项；连接1AD ，可知//MN AB ，所以//MN 平面ABCD ，A 项正确；因为AB 不垂直于平面11BDD B ，//MN AB ，所以直线MN 不垂直于平面11BDD B ，D 项错误.7.答案：B解析：由相似的性质可得，小圆锥的底面半径2002502r ==，故231π5015050π3V =⨯⨯⨯=⋅小圆锥，积水厚度3250π12.5π100V h S ⋅===⋅大小圆锥圆，属于中雨，故选B. 8.答案：D解析：本题考查立体几何中的线面关系及解三角形的应用.如图，记正方体的棱长为a ，则1111112AD C B A C B D a ====，所以1122B P PC a ==，221162BP B P B B a =+=.在1BC P 中，由余弦定理得22211113cos 22PB C B PC PBC PB C B +-∠==⋅，所以1π6PBC ∠=.又因为11//AD BC ，所以1PBC ∠即为直线PB 与1AD 所成的角，所以直线PB 与1AD 所成的角为π6.9.答案：39π解析：本题考查圆锥的体积与侧面积.由题可得圆锥的体积21π12π30π3V r h h ===，可得52h =，故圆锥的母线22132l r h +，所以圆锥的侧面积π39πS rl ==. 10.答案：5]解析：本题主要考查空间几何体.上顶面圆心记为O ，下底面圆心记为O '，连接OC ，过点C 作CM AB ⊥，垂足为点M ，则12ABCSAB CM =⨯⨯，根据题意，AB 为定值2，所以ABCS 的大小随着CM 长短的变化而变化.当点M 与点O 重合时，22125CM OC ==+=，取得最大值，此时12552ABCS =⨯⨯=.当点M 与点B 重合时，CM 取最小值2，此时12222ABCS=⨯⨯=.综上所述，ABCS 的取值范围为[2,5].11.答案：②⑤或③④解析：本题考查几何体的三视图.由高度可知，侧视图只能为②或③.当侧视图为②时，则该三棱锥的直观图如图1，平面PAC ⊥平面ABC ，2PA PC ==，5BA BC =2AC =，此时俯视图为⑤；当侧视图为③时，则该三棱锥的直观图如图2，PA ⊥平面ABC ，1PA =，5AC AB ==2BC =，此时俯视图为④.12.答案：（1）因为PD ⊥底面ABCD ，AM ⊂底面ABCD ， 所以PD AM ⊥.又因为PB AM ⊥，PD PB P ⋂=，PB ，PD ⊂平面PBD ， 所以AM ⊥平面PBD .因为AM ⊂平面PAM ，所以平面PAM ⊥平面PBD .（2）由PD ⊥底面ABCD ，所以PD 即为四棱锥P ABCD -的高，DPB 是直角三角形. 由题可知底面ABCD 是矩形，1PD DC ==，M 为BC 的中点，且PB AM ⊥.设2AD BC a ==，取CD 的中点为E ，CP 的中点为F ，连接MF ，AF ， EF ，AE ，可得//MF PB ，//EF DP ，那么AM M F ⊥，AM F 为直角三角形，且12EF =，2144AE a =+，21AM a =+，222142AF EF AE a =++因为DPB 是直角三角形，所以根据勾股定理得224BP a =+，则2242a MF +=.由AM F 是直角三角形，可得222AM MF AF +=，解得22a =， 所以底面ABCD 的面积22S a ==，则四棱锥P ABCD -的体积11221333V S h =⋅⋅=⨯⨯-.13.答案：（1）1111,//,AB BC AB A B BC A B ⊥∴⊥，在1A AC 中，112AA AC AC ===，O 是AC 的中点，1AO AC ∴⊥，又平面11AAC C ⊥平面ABC ，平面11AAC C平面ABC AC =，1A O ∴⊥平面ABC .BC ⊂平面1,ABC AO BC ∴⊥. 111,A B AO ⊂平面111111,A B O A B AO A =，BC ∴⊥平面11A B O ， 又BC ⊂平面1BCA ，∴平面1BCA ⊥平面11A B O .（2）如图，连接1B C ，设1B C 与1BC 交于点E ，连接1,OE AB ， 易得1//OE AB ，1AB ⊂平面11,ABB A OE ⊄平面11ABB A ，//OE ∴平面11ABB A ，∴满足条件的E 为1BC 的中点.11111 1122E A BCC A BC B A CC V V V ---==三棱锥三棱锥三棱锥21133212346=⨯⨯⨯⨯=， 故三棱锥1E A BC -的体积为36.14.答案：（1）AB ⊥平面BCD ，CF ，BD ⊂平面BCD ，AB CF ∴⊥，AB BD ⊥.2BC CD ==，F 为BD 中点，CF BD ∴⊥.又CF AB ⊥，AB BD B =，AB ，BD ⊂平面ABD ，CF ∴⊥平面ABD .（2）在三棱锥Q DCF -中，设D 到平面QFC 距离为d . Q DCF D QCF V V --=，1133DCFQCFQB Sd S ∴⋅⋅=⋅⋅，DCFQCFQB S d S ⋅∴=.1112π322sin 2223DCFDCBSS ==⨯⨯⨯⨯=，2π44222cos 233BD =+-⨯⨯⨯.AB BD ⊥，3AB =，Q ，F 分别为AB ，BD 的中点.22912212ADAB BD QF ++∴====.QCF 中，π2cos 13CF ==，235422CQ ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，21QF =. 25211244cos 55212QCF +-∴∠==⨯⨯，21sin QCF ∴∠=. 152121122QCFS∴=⨯⨯=. 33372221d ∴==.15.答案：（1）如图，取BC 的中点为M ，连接EM .由已知易得//EM AB ，2AB BC ==，1CF =，112EM AB ==，11//AB A B ， 由11BF A B ⊥得EM BF ⊥，又易得EM CF ⊥，BF CF F ⋂=，所以EM ⊥平面BCF ， 故1111121132323F EBC E FBC V V BC CF EM --==⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=三棱锥三棱锥.（2）连接1A E ，1B M ，由（1）知11//EM A B ， 所以ED 在平面11EMB A 内.在正方形11CC B B 中，由于F ，M 分别是1CC ，BC 的中点，所以1tan 2CF CBF BC ∠==，111tan 2BM BB M BB ∠==， 且这两个角都是锐角，所以1CBF BB M ∠=∠， 所以111190BHB BMB CBF BMB BB M ∠=∠+∠=∠+∠=︒， 所以1BF B M ⊥，又11BF A B ⊥，1111B M A B B ⋂=，所以BF ⊥平面11EMB A ， 又DE ⊂平面11EMB A ，所以BF DE ⊥.。
2021-2021年高考全国卷数学之立体几何专题训练一．选择题（共13小题）A．2B．2C．3D．2 A．12B．18C．24D．54 A．64πB．48πC．36πD．32πA．B．C．D．A．E B．F C．G D．HA．6+4B．4+4C．6+2D．4+2 A．B．C．1D．A．8πB．4πC．2πD．πA．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线A．B．C．D．A．2x+y﹣z+2＝0B．2x+y+z﹣6＝0C．2x+y+z﹣4＝0D．2x+y﹣z﹣3＝0 A．B．C．D．A．B．C．D．二．填空题（共10小题）三．解答题（共17小题）（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；（2）Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BP＝DQ＝DA，求三棱锥Q﹣ABP 的体积．（1）证明：P A⊥平面PBC；（2）求二面角B﹣PC﹣E的余弦值．（1）证明：平面P AB⊥平面P AC；（2）设DO＝，圆锥的侧面积为π，求三棱锥P﹣ABC的体积．（1）证明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F；（2）设O为△A1B1C1的中心．若AO∥平面EB1C1F，且AO＝AB，求直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值．（1）证明：点C1在平面AEF内；（2）若AB＝2，AD＝1，AA1＝3，求二面角A﹣EF﹣A1的正弦值．（1）当AB＝BC时，EF⊥AC；（2）点C1在平面AEF内．（1）证明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F；（2）设O为△A1B1C1的中心．若AO＝AB＝6，AO∥平面EB1C1F，且∠MPN＝，求四棱锥B﹣EB1C1F的体积．（1）证明：MN∥平面C1DE；（2）求点C到平面C1DE的距离．（1）证明：MN∥平面C1DE；（2）求二面角A﹣MA1﹣N的正弦值．（1）证明：BE⊥平面EB1C1；（2）若AE＝A1E，求二面角B﹣EC﹣C1的正弦值．（1）证明：BE⊥平面EB1C1；（2）若AE＝A1E，AB＝3，求四棱锥E﹣BB1C1C的体积．（1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；（2）求图2中的二面角B﹣CG﹣A的大小．（1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；（2）求图2中的四边形ACGD的面积．（1）证明：PO⊥平面ABC；（2）若点M在棱BC上，且MC＝2MB，求点C到平面POM的距离．（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；（1）证明：平面PEF⊥平面ABFD；（2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值．（1）证明：PO⊥平面ABC；（2）若点M在棱BC上，且二面角M﹣P A﹣C为30°，求PC与平面P AM所成角的正弦值．答案一．选择题（共13小题）1．【解答】解：由题意可知几何体是圆柱，底面周长16，高为：2，直观图以及侧面展开图如图：圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度：＝2．故选：B．2．【解答】解：△ABC为等边三角形且面积为9，可得，解得AB＝6，球心为O，三角形ABC的外心为O′，显然D在O′O的延长线与球的交点如图：O′C＝＝，OO′＝＝2，则三棱锥D﹣ABC高的最大值为：6，则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为：＝18．故选：B．3．【解答】解：由题意可知图形如图：⊙O1的面积为4π，可得O1A＝2，则AO1＝AB sin60°，，∴AB＝BC＝AC＝OO1＝2，外接球的半径为：R＝＝4，球O的表面积：4×π×42＝64π．故选：A．4．【解答】解：设正四棱锥的高为h，底面边长为a，侧面三角形底边上的高为h′，则依题意有：，因此有h′2﹣（）2＝ah′⇒4（）2﹣2（）﹣1＝0⇒＝（负值舍去）；故选：C．5．【解答】解：根据几何体的三视图转换为直观图：如图所示：根据三视图和几何体的的对应关系的应用，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M，在俯视图中对应的点为N，所以在侧视图中与点E对应．故选：A．6．【解答】解：由三视图可知，几何体的直观图是正方体的一个角，如图：P A＝AB＝AC＝2，P A、AB、AC两两垂直，故PB＝BC＝PC＝2，几何体的表面积为：3×＝6+2，故选：C．7．【解答】解：由题意可知图形如图：△ABC是面积为的等边三角形，可得，∴AB＝BC＝AC＝3，可得：AO1＝＝，球O的表面积为16π，外接球的半径为：R；所以4πR2＝16π，解得R＝2，所以O到平面ABC的距离为：＝1．故选：C．8．【解答】解：如图，由P A＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，可知三棱锥P﹣ABC为正三棱锥，则顶点P在底面的射影O1为底面三角形的中心，连接BO1并延长，交AC于G，则AC⊥BG，又PO1⊥AC，PO1∩BG＝O1，可得AC⊥平面PBG，则PB⊥AC，∵E，F分别是P A，AB的中点，∴EF∥PB，又∠CEF＝90°，即EF⊥CE，∴PB⊥CE，得PB⊥平面P AC，∴正三棱锥P﹣ABC的三条侧棱两两互相垂直，把三棱锥补形为正方体，则正方体外接球即为三棱锥的外接球，其直径为D＝＝＝＝．半径为，则球O的体积为．故选：D．9．【解答】解：∵点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，∴BM⊂平面BDE，EN⊂平面BDE，∵BM是△BDE中DE边上的中线，EN是△BDE中BD边上的中线，∴直线BM，EN是相交直线，设DE＝a，则BD＝，BE＝＝，∴BM＝a，EN＝＝a，∴BM≠EN，故选：B．10．【解答】解：∵正三棱锥P﹣ABC的侧面都是直角三角形，E，F分别是AB，BC的中点，∴以P为原点，P A为x轴，PB为y轴，PC为z轴，建立空间直角坐标系，设P A＝PB＝PC＝2，则A（2，0，0），B（0，2，0），C（0，0，2），E（1，1，0），F（0，1，1），＝（0，2，0），＝（1，1，0），＝（0，1，1），设平面PEF的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，﹣1，1），设PB与平面PEF所成角为θ，则sinθ＝＝＝．∴PB与平面PEF所成角的正弦值为．故选：C．11．【解答】解：设与平面2x+y﹣z+4＝0平行的平面方程为2x+y﹣z+k＝0，代入点（1，﹣1，3），得2×1﹣1﹣3+k＝0，解得k＝2，则所求的平面方程为2x+y﹣z+2＝0．故选：A．12．【解答】解以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为2，则A（2，0，0），E（0，2，1），D（0，0，0），C（0，2，0），＝（﹣2，2，1），＝（0，﹣2，0），设异面直线AE与CD所成角为θ，则cosθ＝＝＝，sinθ＝＝，∴tanθ＝．∴异面直线AE与CD所成角的正切值为．故选：C．13．【解答】解：正方体的所有棱中，实际上是3组平行的棱，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，如图：所示的正六边形平行的平面，并且正六边形时，α截此正方体所得截面面积的最大，此时正六边形的边长，α截此正方体所得截面最大值为：6×＝．故选：A．二．填空题（共10小题）14．【解答】解：如图，∵A1、B1、C1分别为OA、OB、OC的中点，∴△A1B1C1∽△ABC，则，过O作OG⊥平面ABC，交平面A1B1C1于G1，则．∴＝＝．故答案为：．15．【解答】解：∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1，AB＝AD＝4，AA1＝8，E、F、G为AB、A1B1、DD1的中点，H为A1D1上一点，则A1H＝1，∴以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，F（4，2，8），H（3，0，8），E（4，2，0），G（0，0，4），＝（﹣1，﹣2，0），＝（﹣4，﹣2，4），设异面直线FH与EG所成角为θ，则cosθ＝＝＝．故答案为：．16．【解答】解：由已知得BD＝AB＝，BC＝2，因为D、E、F三点重合，所以AE＝AD＝，BF＝BD＝AB＝，所以CE＝CF＝1，则在△BCF中，由余弦定理得cos∠FCB＝＝＝﹣，故答案为：﹣．17．【解答】解：向量＝（1，﹣1），＝（m+1，2m﹣4），若⊥，则m＝5，故答案为：5．18．【解答】解：因为圆锥内半径最大的球应该为该圆锥的内切球，如图，圆锥母线BS＝3，底面半径BC＝1，则其高SC＝＝2，不妨设该内切球与母线BS切于点D，令OD＝OC＝r，由△SOD∽△SBC，则＝，即＝，解得r＝，V＝πr3＝π，故答案为：π．19．【解答】解：∠ACB＝90°，P为平面ABC外一点，PC＝2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为，过点P作PD⊥AC，交AC于D，作PE⊥BC，交BC于E，过P作PO⊥平面ABC，交平面ABC于O，连结OD，OC，则PD＝PE＝，∴由题意得CD＝CE＝OD＝OE＝＝1，∴PO＝＝＝．∴P到平面ABC的距离为．故答案为：．20．【解答】解：该半正多面体共有8+8+8+2＝26个面，设其棱长为x，则x+x+x＝1，解得x＝﹣1．故答案为：26，﹣1．21．【解答】解：该模型为长方体ABCD﹣A1B1C1D1，挖去四棱锥O﹣EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H，分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6cm，AA1＝4cm，∴该模型体积为：﹣V O﹣EFGH＝6×6×4﹣＝144﹣12＝132（cm3），∵3D打印所用原料密度为0.9g/cm3，不考虑打印损耗，∴制作该模型所需原料的质量为：132×0.9＝118.8（g）．故答案为：118.8．22．【解答】解：∵平面α截球O的球面所得圆的面积为π，则圆的半径为1，该平面与球心的距离d＝3，∴球半径R＝．∴球的表面积S＝4πR2＝40π．故答案为：40π．23．【解答】解：圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，△SAB的面积为8，可得：，解得SA＝4，SA与圆锥底面所成角为30°．可得圆锥的底面半径为：2，圆锥的高为：2，则该圆锥的体积为：V＝＝8π．故答案为：8π．三．解答题（共17小题）24．【解答】解：（1）证明：∵在平行四边形ABCM中，∠ACM＝90°，∴AB⊥AC，又AB⊥DA．且AD∩AC＝A，∴AB⊥面ADC，∵AB⊂面ABC，∴平面ACD⊥平面ABC；（2）∵AB＝AC＝3，∠ACM＝90°，∴AD＝AM＝3，∴BP＝DQ＝DA＝2，由（1）得DC⊥AB，又DC⊥CA，∴DC⊥面ABC，∴三棱锥Q﹣ABP的体积V＝＝××＝＝1．25．【解答】解：（1）不妨设圆O的半径为1，OA＝OB＝OC＝1，AE＝AD＝2，，，，在△P AC中，P A2+PC2＝AC2，故P A⊥PC，同理可得P A⊥PB，又PB∩PC＝P，故P A⊥平面PBC；（2）建立如图所示的空间直角坐标系，则有，E（0，1，0），故，设平面PCE的法向量为，则由，得，取x＝1，则，z＝，所以平面PCE的法向量为，由（1）可知P A⊥平面PBC，不妨取平面PBC的法向量为，故，即二面角B﹣PC﹣E的余弦值为．26．【解答】解：（1）连接OA，OB，OC，△ABC是底面的内接正三角形，所以AB＝BC＝AC．O是圆锥底面的圆心，所以：OA＝OB＝OC，所以AP＝BP＝CP＝OA2+OP2＝OB2+OP2＝OC2+OP2，所以△APB≌△BPC≌△APC，由于∠APC＝90°，所以∠APB＝∠BPC＝90°，所以AP⊥BP，CP⊥BP，由于AP∩CP＝P，所以BP⊥平面APC，由于BP⊂平面P AB，所以：平面P AB⊥平面P AC．（2）设圆锥的底面半径为r，圆锥的母线长为l，所以．由于圆锥的侧面积为π，所以，整理得（r2+3）（r2﹣1）＝0，解得r＝1．所以AB＝＝．由于AP2+BP2＝AB2，解得则：＝．27．【解答】解：（1）证明：∵M，N分别为BC，B1C1的中点，底面为正三角形，∴B1N＝BM，四边形BB1NM为矩形，A1N⊥B1C1，∴BB1∥MN，∵AA1∥BB1，∴AA1∥MN，∵MN⊥B1C1，A1N⊥B1C1，MN∩A1N＝N，∴B1C1⊥平面A1AMN，∵B1C1⊂平面EB1C1F，∴平面A1AMN⊥平面EB1C1F，综上，AA1∥MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F．（2）解：∵三棱柱上下底面平行，平面EB1C1F与上下底面分别交于B1C1，EF，∴EF∥B1C1∥BC，∵AO∥面EB1C1F，AO⊂面AMNA1，面AMNA1∩面EB1C1F＝PN，∴AO∥PN，四边形APNO为平行四边形，∵O是正三角形的中心，AO＝AB，∴A1N＝3ON，AM＝3AP，PN＝BC＝B1C1＝3EF，由（1）知直线B1E在平面A1AMN内的投影为PN，直线B1E与平面A1AMN所成角即为等腰梯形EFC1B1中B1E与PN所成角，在等腰梯形EFC1B1中，令EF＝1，过E作EH⊥B1C1于H，则PN＝B1C1＝EH＝3，B1H＝1，，sin∠B1EH＝＝，∴直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值为．28．【解答】（1）证明：在AA1上取点M，使得A1M＝2AM，连接EM，B1M，EC1，FC1，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，有DD1∥AA1∥BB1，且DD1＝AA1＝BB1．又2DE＝ED1，A1M＝2AM，BF＝2FB1，∴DE＝AM＝FB1．∴四边形B1F AM和四边形EDAM都是平行四边形．∴AF∥MB1，且AF＝MB1，AD∥ME，且AD＝ME．又在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，有AD∥B1C1，且AD＝B1C1，∴B1C1∥ME且B1C1＝ME，则四边形B1C1EM为平行四边形，∴EC1∥MB1，且EC1＝MB1，又AF∥MB1，且AF＝MB1，∴AF∥EC1，且AF＝EC1，则四边形AFC1E为平行四边形，∴点C1在平面AEF内；（2）解：在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，以C1为坐标原点，分别以C1D1，C1B1，C1C所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．∵AB＝2，AD＝1，AA1＝3，2DE＝ED1，BF＝2FB1，∴A（2，1，3），E（2，0，2），F（0，1，1），A1（2，1，0），则，，．设平面AEF的一个法向量为．则，取x1＝1，得；设平面A1EF的一个法向量为．则，取x2＝1，得．∴cos＜＞＝＝．设二面角A﹣EF﹣A1为θ，则sinθ＝．∴二面角A﹣EF﹣A1的正弦值为．29．【解答】解：（1）因为ABCD﹣A1B1C1D1是长方体，所以BB1⊥平面ABCD，而AC⊂平面ABCD，所以AC⊥BB1，因为ABCD﹣A1B1C1D1是长方体，且AB＝BC，所以ABCD是正方形，所以AC⊥BD，又BD∩BB1＝B．所以AC⊥平面BB1D1D，又因为点E，F分别在棱DD1，BB1上，所以EF⊂平面BB1D1D，所以EF⊥AC．（2）取AA1上靠近A1的三等分点M，连接D1M，C1F，MF，C1E．因为点E在DD1，且2DE＝ED1，所以ED∥AM，且ED1＝AM，所以四边形AED1M为平行四边形，所以D1M∥AE，且D1M＝AE，又因为F在BB1上，且BF＝2FB1，所以A1M∥FB1，且A1M＝FB1，所以A1B1FM为平行四边形，所以FM∥A1B1，FM＝A1B1，即FM∥C1D1，FM＝C1D1，所以C1D1MF为平行四边形，所以D1M∥C1F，所以AE∥C1F，所以A，E，F，C1四点共面．所以点C1在平面AEF内．30．【解答】证明：（1）由题意知AA1∥BB1∥CC1，又∵侧面BB1C1C是矩形且M，N分别为BC，B1C1的中点，∴MN∥BB1，BB1⊥BC，∴MN∥AA1，MN⊥B1C1，又底面是正三角形，∴AM⊥BC，A1N⊥B1C1，又∵MN∩AM＝M，∴B1C1⊥平面A1AMN，∵B1C1⊂平面EB1C1F，∴平面A1AMN⊥平面EB1C1F；解：（2）∵AO∥平面EB1C1F，AO⊂平面A1AMN，平面A1AMN∩平面EB1C1F＝NP，∴AO∥NP，∵NO∥AP，∴AO＝NP＝6，∵O为△A1B1C1的中心，∴ON＝A1C1sin60°＝×6×＝，∴ON＝AP＝，∴AM＝3AP＝3，过M作MH⊥NP，垂足为H，∵平面A1AMN⊥平面EB1C1F，平面A1AMN∩平面EB1C1F＝NP，MH⊂平面A1AMN，∴MH⊥平面EB1C1F，∵在等边三角形中＝，即EF＝＝＝2，由（1）可知四边形EB1C1F为梯形，∵∠MPN＝，∴MH＝MP sin∠MPN＝＝3，31．【解答】解法一：证明：（1）连结B1C，ME，∵M，E分别是BB1，BC的中点，∴ME∥B1C，又N为A1D的中点，∴ND＝A1D，由题设知A1B1DC，∴B1C A1D，∴ME ND，∴四边形MNDE是平行四边形，MN∥ED，又MN⊄平面C1DE，∴MN∥平面C1DE．解：（2）过C作C1E的垂线，垂足为H，由已知可得DE⊥BC，DE⊥C1C，∴DE⊥平面C1CE，故DE⊥CH，∴CH⊥平面C1DE，故CH的长即为C到平面C1DE的距离，由已知可得CE＝1，CC1＝4，∴C1E＝，故CH＝，∴点C到平面C1DE的距离为．解法二：证明：（1）∵直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．∴DD1⊥平面ABCD，DE⊥AD，以D为原点，DA为x轴，DE为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，M（1，，2），N（1，0，2），D（0，0，0），E（0，，0），C1（﹣1，，4），＝（0，﹣，0），＝（﹣1，），＝（0，），设平面C1DE的法向量＝（x，y，z），则，取z＝1，得＝（4，0，1），∴MN∥平面C1DE．解：（2）C（﹣1，，0），＝（﹣1，，0），平面C1DE的法向量＝（4，0，1），∴点C到平面C1DE的距离：d＝＝＝．32．【解答】（1）证明：如图，过N作NH⊥AD，则NH∥AA1，且，又MB∥AA1，MB＝，∴四边形NMBH为平行四边形，则NM∥BH，由NH∥AA1，N为A1D中点，得H为AD中点，而E为BC中点，∴BE∥DH，BE＝DH，则四边形BEDH为平行四边形，则BH∥DE，∴NM∥DE，∵NM⊄平面C1DE，DE⊂平面C1DE，∴MN∥平面C1DE；（2）解：以D为坐标原点，以垂直于DC得直线为x轴，以DC所在直线为y轴，以DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则N（，，2），M（，1，2），A1（，﹣1，4），，，设平面A1MN的一个法向量为，由，取x＝，得，又平面MAA1的一个法向量为，∴cos＜＞＝＝＝．∴二面角A﹣MA1﹣N的正弦值为．33．【解答】证明：（1）长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，B1C1⊥平面ABA1B1，∴B1C1⊥BE，∵BE⊥EC1，∵B1C1∩EC1＝C1，∴BE⊥平面EB1C1．解：（2）以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设AE＝A1E＝1，则BE＝EB1，∵BE⊥平面EB1C1，∴BE⊥EB1，∴BE2+EB12＝2BE2＝＝4，∴BE2＝2，∵AE2+AB2＝1+AB2＝BE2＝2，∴AB＝1，则E（1，1，1），A（1，1，0），B1（0，1，2），C1（0，0，2），C（0，0，0），∵BC⊥EB1，∴EB1⊥面EBC，故取平面EBC的法向量为＝＝（﹣1，0，1），设平面ECC1的法向量＝（x，y，z），由，得，取x＝1，得＝（1，﹣1，0），∴cos＜＞＝＝﹣，∴二面角B﹣EC﹣C1的正弦值为．34．【解答】解：（1）证明：由长方体ABCD﹣A1B1C1D1，可知B1C1⊥平面ABB1A1，BE⊂平面ABB1A1，∴B1C1⊥BE，∵BE⊥EC1，B1C1∩EC1＝C1，∴BE⊥平面EB1C1；（2）由（1）知∠BEB1＝90°，由题设可知Rt△ABE≌Rt△A1B1E，∴∠AEB＝∠A1EB1＝45°，∴AE＝AB＝3，AA1＝2AE＝6，∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1∥平面BB1C1C，E∈AA1，AB⊥平面BB1C1C，∴E到平面BB1C1C的距离d＝AB＝3，∴四棱锥E﹣BB1C1C的体积V＝×3×6×3＝18．35．【解答】证明：（1）由已知得AD∥BE，CG∥BE，∴AD∥CG，∴AD，CG确定一个平面，∴A，C，G，D四点共面，由已知得AB⊥BE，AB⊥BC，∴AB⊥面BCGE，∵AB⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面BCGE．解：（2）作EH⊥BC，垂足为H，∵EH⊂平面BCGE，平面BCGE⊥平面ABC，∴EH⊥平面ABC，由已知，菱形BCGE的边长为2，∠EBC＝60°，∴BH＝1，EH＝，以H为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所求的空间直角坐标系H﹣xyz，则A（﹣1，1，0），C（1，0，0），G（2，0，），＝（1，0，），＝（2，﹣1，0），设平面ACGD的法向量＝（x，y，z），则，取x＝3，得＝（3，6，﹣），又平面BCGE的法向量为＝（0，1，0），∴cos＜＞＝＝，∴二面角B﹣CG﹣A的大小为30°．36．【解答】解：（1）证明：由已知可得AD∥BE，CG∥BE，即有AD∥CG，则AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面；由四边形ABED为矩形，可得AB⊥BE，由△ABC为直角三角形，可得AB⊥BC，又BC∩BE＝B，可得AB⊥平面BCGE，AB⊂平面ABC，可得平面ABC⊥平面BCGE；（2）连接BG，AG，由AB⊥平面BCGE，可得AB⊥BG，在△BCG中，BC＝CG＝2，∠BCG＝120°，可得BG＝2BC sin60°＝2，可得AG＝＝，在△ACG中，AC＝，CG＝2，AG＝，可得cos∠ACG＝＝﹣，即有sin∠ACG＝，则平行四边形ACGD的面积为2××＝4．37．【解答】（1）证明：∵AB＝BC＝2，AC＝4，∴AB2+BC2＝AC2，即△ABC是直角三角形，又O为AC的中点，∴OA＝OB＝OC，∵P A＝PB＝PC，∴△POA≌△POB≌△POC，∴∠POA＝∠POB＝∠POC＝90°，∴PO⊥AC，PO⊥OB，OB∩AC＝O，∴PO⊥平面ABC；（2）解：由（1）得PO⊥平面ABC，PO＝，在△COM中，OM＝＝．＝××＝，S△COM＝＝．设点C到平面POM的距离为d．由V P﹣OMC＝V C﹣POM⇒，解得d＝，∴点C到平面POM的距离为．38．【解答】（1）证明：矩形ABCD所在平面与半圆弦所在平面垂直，所以AD⊥半圆弦所在平面，CM⊂半圆弦所在平面，∴CM⊥AD，M是上异于C，D的点．∴CM⊥DM，DM∩AD＝D，∴CM⊥平面AMD，CM⊂平面CMB，∴平面AMD⊥平面BMC；（2）解：存在P是AM的中点，理由：连接BD、AC交于O，取AM的中点P，连接OP，连接PD，PB，可得MC∥OP，MC⊄平面BDP，OP⊂平面BDP，所以MC∥平面PBD．39．【解答】（1）证明：由题意，点E、F分别是AD、BC的中点，则，，由于四边形ABCD为正方形，所以EF⊥BC．由于PF⊥BF，EF∩PF＝F，则BF⊥平面PEF．又因为BF⊂平面ABFD，所以：平面PEF⊥平面ABFD．（2）在平面PEF中，过P作PH⊥EF于点H，连接DH，由于EF为面ABCD和面PEF的交线，PH⊥EF，则PH⊥面ABFD，故PH⊥DH．在三棱锥P﹣DEF中，可以利用等体积法求PH，因为DE∥BF且PF⊥BF，所以PF⊥DE，又因为△PDF≌△CDF，所以∠FPD＝∠FCD＝90°，所以PF⊥PD，由于DE∩PD＝D，则PF⊥平面PDE，故V F﹣PDE＝，因为BF∥DA且BF⊥面PEF，所以DA⊥面PEF，所以DE⊥EP．设正方形边长为2a，则PD＝2a，DE＝a在△PDE中，，所以，故V F﹣PDE＝，又因为，所以PH＝＝，所以在△PHD中，sin∠PDH＝＝，即∠PDH为DP与平面ABFD所成角的正弦值为：．40．【解答】（1）证明：连接BO，∵AB＝BC＝2，O是AC的中点，∴BO⊥AC，且BO＝2，又P A＝PC＝PB＝AC＝4，∴PO⊥AC，PO＝2，则PB2＝PO2+BO2，则PO⊥OB，∵OB∩AC＝O，∴PO⊥平面ABC；（2）建立以O坐标原点，OB，OC，OP分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：A（0，﹣2，0），P（0，0，2），C（0，2，0），B（2，0，0），＝（﹣2，2，0），设＝λ＝（﹣2λ，2λ，0），0＜λ＜1则＝﹣＝（﹣2λ，2λ，0）﹣（﹣2，﹣2，0）＝（2﹣2λ，2λ+2，0），则平面P AC的法向量为＝（1，0，0），设平面MP A的法向量为＝（x，y，z），则＝（0，﹣2，﹣2），令z＝1，则y＝﹣，x＝，即＝（，﹣，1），∵二面角M﹣P A﹣C为30°，∴cos30°＝||＝，即＝，解得λ＝或λ＝3（舍），则平面MP A的法向量＝（2，﹣，1），＝（0，2，﹣2），PC与平面P AM所成角的正弦值sinθ＝|cos＜，＞|＝||＝＝．。
2021届河北衡水密卷新高考仿真考试（十一）数学试题★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。
7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}220M x x x =-<，{}2,1,0,1,2N =--，则MN =（ ）．A. ∅B. {}1C. {}0,1D. {}1,0,1-【答案】B 【解析】 【分析】首先求出集合M ，然后再利用集合的交运算即可求解.【详解】由集合{}{}22002M x x x x x =-<=<<，{}2,1,0,1,2N =--，所以M N ={}1.故选：B【点睛】本题考查了集合的交运算、一元二次不等式的解法，属于基础题. 2.已知复数13aiz i+=+为纯虚数（其中i 为虚数单位），则实数a =（ ） A. 3-B. 3C. 13- D.13【答案】A 【解析】 【分析】化简复数z 的代数形式，根据复数为纯虚数，列出方程组，即可求解. 【详解】由题意，复数()()()()1313313331010ai i ai a a z i i i i +-++-===+++-， 因为复数z 为纯虚数，可得30310a a +=⎧⎨-≠⎩，解得3a =-.故选：A.【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，以及复数的分类及其应用，着重考查计算能力，属于基础题. 3.己知0a b >>，1c >，则下列各式成立的是（ ） A. ln ln a b < B. c c a b < C. a b c c >D.11c c b a--< 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性和特殊值法，逐一对选项进行判断即可. 【详解】解：对于A 选项：因为函数ln y x =在0,上单调递增，所以0a b >>时，ln ln a b >，故A选项错误；对于C 选项：因为()1xy cc =>在R 单调递增函数，所以0a b >>，a b c c >，故C 选项正确；对于B 选项：因为0a b >>，1c >，可取2a =，1b =，2c =，此时，2224,11cca b ====，所以c c a b >，故B 选项错误；对于D 选项：因为0a b >>，1c >，可取2a =，1b =，2c =，此时，12112111,122c c b a ----====，所以11c c b a，故D 选项错误.故选：C.【点睛】本题主要考查利用对数函数与指数函数的单调性比较大小，属于基础题.4.《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中国古代流传下来的两幅神秘图案，蕴含了深奥的宇宙星象之理，被誉为“宇宙魔方”，是中华文化阴阳术数之源.河图的排列结构如图所示，一与六共宗居下，二与七为朋居上，三与八同道居左，四与九为友居右，五与十相守居中，其中白圈为阳数，黑点为阴数，若从阳数和阴数中各取一数，则其差的绝对值为5的概率为（ ）A.15B.625C.825D.25【答案】A 【解析】 【分析】根据阳数为1，3，5，7，9；阴数为2，4，6，8，10，利用古典概型的概率求法求解. 【详解】∵阳数为1，3，5，7，9；阴数为2，4，6，8，10， ∴从阳数和阴数中各取一数的所有组合共有5525⨯=个，满足差的绝对值为5的有()1,6，()3,8，()5,10，()7,2，()9,4共5个， 则其差的绝对值为5的概率为51255p ==. 故选：A .【点睛】本题主要考查古典概型的概率求法，还考查了分析求解问题的能力，属于基础题. 5.函数||1()e sin 28x f x x =的部分图象大致是（ ） A. B.C. D.【答案】C 【解析】 【分析】判断函数的性质，和特殊值的正负，以及值域，逐一排除选项. 【详解】()()f x f x -=-，∴函数是奇函数，排除D ，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x >，,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x <，排除B ，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()sin 20,1x ∈，2111,888x e e π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0,1⊂ 0,2x π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭时，()()0,1f x ∈，排除A ，C 符合条件，故选C.【点睛】本题考查了根据函数解析式判断函数图象，属于基础题型，一般根据选项判断函数的奇偶性，零点，特殊值的正负，以及单调性，极值点等排除选项.6.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，()22xf x x a =+-，则()1f -=（ ）A. 3B. -3C. -2D. -1【答案】B 【解析】 【分析】由(0)10f a =-=，可求a ，代入可求(1)f ，然后结合奇函数的定义得(1)(1)f f -=-，进而求得()1f -的值. 【详解】()f x 是定义在R 上的奇函数，且0x 时，()22x f x x a =+-，(0)10f a ∴=-=，1a ，(1)43f a =-=，则(1)(1)f f -=-3=-. 故选：B.【点睛】本题考查奇函数性质，即若函数()f x 为奇函数且在0x =有定义，则(0)0f =，理解这一知识点是求解本题的关键．7.如图，已知双曲线22221(0)x y b a a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过右焦点作平行于一条渐近线的直线交双曲线于点A ，若12AF F △的内切圆半径为4b，则双曲线的离心率为（ ）A.33B.54C.53D.322【答案】C 【解析】 【分析】设双曲线的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，设双曲线的一条渐近线方程为by x a=，可得直线2AF 的方程为()by x c a=-，联立双曲线的方程可得A 的坐标，设1||AF m =，2||AF n =，运用三角形的等积法，以及双曲线的定义，结合锐角三角函数的定义，化简变形可得a ，c 的方程，结合离心率公式可得所求值．【详解】设双曲线的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ， 设双曲线的一条渐近线方程为by x a=， 可得直线2AF 的方程为()b y x c a =-，与双曲线22221(0)x y b a a b-=>>联立，可得22(2c aAc+，22())2b a cac-，设1||AF m=，2||AF n=，由三角形的面积的等积法可得2211()(2)22422b b c a m n c c ac-⋅++=⋅⋅，化简可得2442cm n a ca+=--①由双曲线的定义可得2m n a-=②在三角形12AF F中22()sin2b c anacθ-=，(θ为直线2AF的倾斜角），由tanbaθ=，22sin cos1θθ+=，可得22sinbca bθ==+，可得222c ana-=，③由①②③化简可得223250c ac a--=，即为(35)()0c a c a-+=，可得35c a=，则53cea==．故选：C.【点睛】本题考查直线与双曲线的位置关系、双曲线的定义、坐标求解、离心率求解，考查方程思想的运用及三角形等积法，考查运算求解能力，属于难题．8.如图，体积为V的大球内有4个小球，每个小球的球面过大球球心且与大球球面有且只有一个交点，4个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的4个顶点，1V为小球相交部分（图中阴影部分）的体积，2V为大球内、小球外的图中黑色部分的体积，则下列关系中正确的是A.12VV= B.22VV=C. 12V V >D. 12V V <【答案】D 【解析】 【分析】先设大球半径为R ，小球半径为2R，根据题中条件，分别表示出21,,V V V ，进而可作差比较大小． 【详解】设大球半径为R ，小球半径为2R，根据题意3312444()332R V R V V ππ==⋅-+， 所以333214424()033232R VV V R R πππ-=-⋅==>． 故选：D ．【点睛】本题主要考查球的体积的相关计算，熟记公式即可，属于常考题型．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分.9.2019年10月31日，工信部宣布全国5G 商用正式启动，三大运营商公布5G 套餐方案，中国正式跨入5G 时代.某通信行业咨询机构对我国三大5G 设备商进行了全面评估和比较，其结果如雷达图所示(每项指标值满分为5分，分值高者为优)，则（ ）A. P 设备商的研发投入超过Q 设备商与R 设备商B. 三家设备商的产品组合指标得分相同C. 在参与评估的各项指标中，Q 设备商均优于R 设备商D. 除产品组合外，P 设备商其他4项指标均超过Q 设备商与R 设备商 【答案】ABD 【解析】【分析】根据雷达图中是越外面其指标值越优，由图可知ABD 均正确. 【详解】雷达图中是越外面其指标值越优，P 设备商的研发投入在最外边，即P 设备商的研发投入超过Q 设备商与R 设备商，故A 正确； 三家设备商的产品组合指标在同一个位置，即三家设备商的产品组合指标得分相同，故B 正确； R 设备商的研发投入优于Q 设备商，故C 错误；除产品组合外，P 设备商其他4项指标均在最外边，故D 正确； 故选：ABD.【点睛】本题主要考查对数表的综合观察能力，属于基础题.10.已知F 是椭圆2212516x y +=的右焦点，椭圆上至少有21个不同的点()1,2,3,i P i =⋅⋅⋅，12,,FP FP 3,FP ⋅⋅⋅组成公差为()0d d >的等差数列，则（ ） A. 该椭圆的焦距为6 B. 1FP 的最小值为2 C. d 的值可以为310 D. d 的值可以为25【答案】ABC 【解析】 【分析】先由椭圆2212516x y +=，得到焦距，判断A 是否正确，椭圆上的动点P ，分析1||PF 的取值范围，判断BCD 是否正确，得到答案.【详解】由椭圆2212516x y +=，得5a =，4b =，3c =，故A 正确； 椭圆上的动点P ，1a c PF a c -≤≤+，即有12||8PF ≤≤， 故1FP 的最小值为2，B 正确；设1FP ，2FP ，3FP ，…组成的等差数列为{}n a ，公差0d >，则12,8n a a ≥≤， 又11n a a d n -=-，所以663121110d n ≤≤=--，所以3010d <≤，所以d 的最大值是310， 故C 正确，D 错误. 故选：ABC.【点睛】本题以椭圆知识为载体，考查了椭圆的几何性质，等差数列的相关知识，属于中档题. 11.对于四面体ABCD ，下列命题正确的是（ ）A. 由顶点A 作四面体的高，其垂足是BCD 的垂心B. 分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点C. 若分别作ABC 和ABD △的边AB 上的高，则这两条高所在直线异面D. 最长棱必有某个端点，由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱 【答案】BD 【解析】 【分析】依题意画出图形，数形结合一一分析可得；【详解】解：如图取AB 、AC 、AD 、BC 、BD 、DC 的中点,,,,,F E I J H G对于A .三角形的垂心是三条高线的交点，而A 点的位置可以任意变化，故A 错误；对于B.////EI CD JH ，////JE AB IH ，JEIH 为平行四边形，同理EFGH 也是平行四边形，FG ，EH 的交点为平行四边形EFGH 对角线EH 的中点，EH ，JI 的交点为平行四边形JEIH 对角线EH 的中点，故三条线段交于一点，故B 正确；若四面体为正四面体，则两条高线刚好相交于AB 的中点，故C 为错误；对于D.假设D 错误，设AB 最长，则AC AD AB +≤，BC BD AB +≤，相加得2AC AD BC BD AB +++≤，在ABC ，ABD △中，AC BC AB +>，AD BD AB +>，所以2AC AD BC BD AB +++>矛盾， 故D 正确. 故选：BD.【点睛】本题考查异面直线，棱锥的结构特征，考查空间想象能力逻辑思维能力，属于中档题． 12.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如：[]3.54-=-，[]2.12=.己知函数()421xxe f x e =-+，则（ ）A. x R ∀∈，[][]1x x x ≤<+B. ()()g x f x =⎡⎤⎣⎦是偶函数C. ,x y R ∀∈，[][][]x y x y +≤+D. 若()f x 的值域为集合M ，t M ∃∈，使得31t ⎡⎤=⎣⎦，42t ⎡⎤=⎣⎦，53t ⎡⎤=⎣⎦，…，2n t n ⎡⎤=-⎣⎦同时成立，则正整数n 的最大值是5 【答案】ACD 【解析】 【分析】由取整函数的定义判断.【详解】由定义得[][]1x x x ≤<+，故 A 正确；因为()442211x x xe f x e e =-=-++.易知()421x f x e =-+在R 上是增函数； ∵0x e >，∴11x e +>，∴()22f x -<<，∴()()g x f x =⎡⎤⎣⎦的值域为{}2,1,0,1--，故B 错误.,x y R ∀∈，[]x x a =+，[]y y b =+，[),0,1a b ∈，∴[][]x y x a y b +=+++，[][][]x y x y +=++[]a b +， ∴[][][]x y x y +≤+，故C 正确；若t M ∃∈，()2,2M =-，使得31t ⎡⎤=⎣⎦，42t ⎡⎤=⎣⎦，53t ⎡⎤=⎣⎦，…，2n t n ⎡⎤=-⎣⎦同时成立，则1t ≤<，t ≤<t ≤<t ≤<，…t ≤<=若6n ≥，则不存在t 同时满足1t ≤<t ≤<.只有5n ≤时，存在t ∈故D 正确； 故答案为：ACD .【点睛】本题主要考查函数的新定义，还考查了分析求解问题的能力，属于中档题.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知tan 1α=，则2cos sin cos 3sin αααα+=+______.【答案】34【解析】 【分析】利用商数关系，由tan 1α=得到sin cos αα=代入2cos sin cos 3sin αααα++求解.【详解】方法一：sin tan 1sin cos cos ααααα==⇒=，则2cos sin 2cos cos 3cos 3sin cos 3cos 4αααααααα++==++. 方法二：分子分母同除cos α，得2cos sin 2tan 213cos 3sin 13tan 134αααααα+++===+++. 故答案为：34【点睛】本题主要考查同角三角函数基本关系式的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 14.已知单位向量a ，b 满足3a b -=，则向量a 与b 的夹角为______. 【答案】23π 【解析】 【分析】首先根据平面向量的运算律求出a b ⋅，再根据夹角公式计算可得；【详解】解：由单位向量a ，b 满足3a b -=，得23a b -=，所以2223a a b b -⋅+=，12a b ⋅=-，所以1cos ,2a ba b a b⋅==-⋅，又[],0,πa b ∈,所以2,3a b π=. 故答案为：23π 【点睛】本题考查平面向量的数量积的运算律以及夹角的计算，属于基础题.15.设函数()()142302x x xf x x +-+=≤的最小值为m ，且()()()1101112mx x a a x +++=+++()()()2101121011222a x a x a x ++⋅⋅⋅++++，则m =______，1a =______.【答案】 (1). 2 (2). 9 【解析】【分析】化简函数()f x ，换元后利用32y t t=+-的单调性求出最小值即可得出2m =，将()()21111x x +++转化为()()2112121x x +-++-，再利用展开式的通项即可得到答案.【详解】由()142332222x x xx xf x +-+==+-， 令(]20,1xt =∈，因为函数32y t t=+-，(]0,1t ∈为减函数， 所以当1t =时，min 2y =， 即2m =，所以()()()()11211112121mx x x x +++=+-++-，因为()1121x +-的展开式通项为：()()111121rrrC x -+⨯-，所以当111r -=，即10r =时，展开式的项为()112x +， 又()()()22212221x x x +-=+-++，所以11129a =-=. 故答案为：2；9【点睛】本题主要考查了函数的单调性，二项展开式，项的系数，换元法，转化思想，属于中档题. 16.已知函数()cos2f x x =，将函数()y f x =的图象向右平移4π个单位，所得的图象上每一点的纵坐标不变，再将横坐标伸长为原来的2倍后所得到的图象对应的函数记作yg x ，己知常数R λ∈，*n N ∈，且函数()()()F x f x g x λ=+在()0,n π内恰有2021个零点，则n =______. 【答案】1347 【解析】 【分析】先求出()sin g x x =，()22sin sin 1F x x x λ=-++，令[]sin 1,1t x =∈-，得2210t t λ--=，则关于t的二次方程2210t t λ--=必有两不等实根1t ，2t ，又1212t t =-，则1t 、2t 异号，再对1t 、2t 分四种情况讨论得解.【详解】将函数()cos2y f x x ==的图象向右平移4π个单位，得到函数 cos 2cos 2sin 242y x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍后所得到的图象对应的函数为()sin g x x =，令()()()2cos2sin 2sin sin 1F x f x g x x x x x λλλ=+=+=-++，令()0F x =，可得22sin sin 10x x λ--=，令[]sin 1,1t x =∈-，得2210t t λ--=，280λ∆=+>， 则关于t 的二次方程2210t t λ--=必有两不等实根1t ，2t ， 又1212t t =-，则1t 、2t 异号， （ⅰ）当101t <<且201t <<时，则方程1sin x t =和2sin x t =在区间()()*0,n n π∈N 均有偶数个根，从而方程22sin sin 10x x λ--=在()()*0,n n π∈N 有偶数个根，不合题意；（ⅱ）当101t <<且21t >时，则方程1sin x t =在区间()()*0,n n π∈N 有偶数个根，2sin x t =无解，从而方程22sin sin 10x x λ--=在()()*0,n n π∈N 有偶数个根，不合题意；（ⅲ）当11t =，则2102t =-<，当()0,2x π∈时，1sin x t =只有一根，2sin x t =有两根， 所以，关于x 的方程22sin sin 10x x λ--=在0,2上有三个根，由于202136732=⨯+，则方程22sin sin 10x x λ--=在()0,1346π上有36732019⨯=个根，由于方程1sin x t =在区间()1346,1347ππ上只有一个根，在区间()1347,1348ππ上无实解，方程2sin x t =在区间()1346,1347ππ上无实数解，在区间()1347,1348ππ上有两个根，因此，关于x 的方程22sin sin 10x x λ--=在区间()0,1347π上有2020个根，在区间()0,1348π上有2022个根，不合题意； （ⅳ）当11t =-时，则212t =， 当()0,2x π∈时，1sin x t =只有一根，2sin x t =有两根，所以，关于x 的方程22sin sin 10x x λ--=在0,2上有三个根，由于202136732=⨯+，则方程22sin sin 10x x λ--=在()0,1346π上有36732019⨯=个根，由于方程1sin x t =在区间()1346,1347ππ上无实数根，在区间()1347,1348ππ上只有一个实数根，方程2sin x t =在区间()1346,1347ππ上有两个实数解，在区间()1347,1348ππ上无实数解，因此关于x 的方程22sin sin 10x x λ--=在区间()0,1347π上有2021个根，在区间()0,1348π上有2022个根， 此时，()()2211110λλ⨯--⨯--=+=，得1λ=-. 所以1347n =. 故答案为：1347.【点睛】本题主要考查三角函数的图象的变换，考查正弦函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.四、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知等差数列{}n a 满足36a =，前7项和为749.S = （Ⅰ）求{}n a 的通项公式（Ⅱ）设数列{}n b 满足(3)3nn n b a =-⋅，求{}n b 的前n 项和n T .【答案】(1) 3.n a n =+(2) 1(21)334n n n T +-⨯+=.【解析】试题分析：（1）根据等差数列的求和公式可得()17747=7=492a a S a ⨯+=，得4=7a ，然后由已知36a =可得公差，进而求出通项；（2）先明确()33nn n b a =-⋅= 3n n ⋅，为等差乘等比型通项故只需用错位相减法即可求得结论. 解析： （Ⅰ）由()17747=7=492a a S a ⨯+=，得4=7a因为36a =所以1d =14,3n a a n ==+所以（Ⅱ）()33=3nnn n b a n =-⋅⋅()12313233331n n T n =⨯+⨯+⨯+⋯+⨯所以 ()234+1313233332n n T n =⨯+⨯+⨯+⋯+⨯()()123+1+13312233333=313n nn n n T n n +---=++++-⨯-⨯-由得： ()+121334n nn T -⨯+=所以18.在①2a =，②4B π=，③=c 这三个条件中任选两个，补充在下面的问题中，并解决该问题.在ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且满足()())sin sin sin b a B A c B C -+=-.（1）求A 的大小；（2）已知______，______，若ABC 存在，求ABC 的面积；若ABC 不存在，说明理由. 【答案】（1）6A π=；（2）答案不唯一，具体见解析.【解析】 【分析】（1）由题中的条件，根据正弦定理，得到222b c a +-=，再由余弦定理，即可求出结果；（2）方案一：选条件①和②，先由正弦定理求出b =712C π=，进而求出7sin124π=，进而可求出三角形面积；方案二：选条件①和③，先由余弦定理求出2b =，进而得到c =，进而可求出三角形的面积；方案三：选条件②和③，由条件得sin 1C >，不成立，所以三角形不存在.【详解】（1）因为()())sin sin sin b a B A c B C -+=-，又由正弦定理sin sin sin a b cA B C==，得()())b a b ac c -+=-，即222b c a +-=，所以222cos 222b c A bc bc a +===-，因为0A π<<，所以6A π=.（2）方案一：选条件①和②.由正弦定理sin sin a b A B=，得2sin sin 22sin 4sin 6a b B A ππ===. 76412C A B πππππ=--=--=. 7212326sinsin 124322224πππ+⎛⎫=+=⨯+⨯= ⎪⎝⎭ 所以ABC 的面积1126sin 22231224S ab C +==⨯⨯⨯=+. 方案二：选条件①和③.由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得222433b b b =+-，则24b =，所以2b =. 所以323c b ==，所以ABC 的面积111sin 2233222S bc A ==⨯⨯⨯=. 方案三：选条件②和③，这样的三角形不存在，理由如下： 在三角形中，因为3=c b 由正弦定理得26sin 3sin 3sin 31422C B π===⨯=>，不成立，所以这样的三角形不存在.【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理、面积公式，考查学生的计算能力及对公式的掌握程度，属于中档题.19.如图所示，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为1的菱形，60BCD ∠=︒，E 是CD 的中点，PA ⊥底面ABCD ，2PA =.（1）证明：平面PBE ⊥平面PAB ；（2）求平面PAD 和平面PBE 所成二面角（锐角）的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）155. 【解析】 【分析】（1）连接BD ，根据ABCD 是菱形且60BCD ∠=︒，得到BCD 是等边三角形，由E 是CD 的中点，得到AB BE ⊥，再由PA ⊥平面ABCD ，得到PA BE ⊥，利用线面垂直的判定定理证明得到BE ⊥平面PAB ，然后利用面面垂直的判定定理证明即可.（2）在平面ABCD 内，过点A 作AB 的垂线，以A 为原点建立空间直角坐标系.分别求得平面PBE 的一个法向量()1111,,n x y z =和平面PAD 的一个法向量()2222,,n x y z =，由公式121212cos ,n n n n n n ⋅=求解.【详解】（1）如图所示，连接BD ，因为ABCD 是菱形且60BCD ∠=︒， 所以BCD 是等边三角形. 因为E 是CD 的中点， 所以BE CD ⊥，又//AB CD ， 所以AB BE ⊥.又因为PA ⊥平面ABCD ，BE ⊂平面ABCD ， 所以PA BE ⊥.而PA AB A =，所以BE ⊥平面PAB . 又BE ⊂平面PBE ， 所以平面PBE ⊥平面PAB .（2）在平面ABCD 内，过点A 作AB 的垂线，如图所示，以A 为原点，建立空间直角坐标系.则()0,0,0A ，()1,0,0B ，332C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，132D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()002P ,,，3E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.所以()1,0,2PB =-，3BE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()0,0,2PA =-，132AD ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭设()1111,,n x y z =是平面PBE 的一个法向量，则由1100n PB n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得111111020,3000.2x y z x y z +⨯-=⎧⎪⎨⨯++⨯=⎪⎩令11z =，得()12,0,1n =.设()2222,,n x y z =是平面PAD 的一个法向量，则由2200n PA n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得2222220020,1300.2x y z x y z ⨯+⨯-=⎧⎪⎨+⨯=⎪⎩， 所以20z =，223x =-. 故可取()23,1,0n =-.于是1212122315cos ,55n n n n n n ⋅===⨯所以平面PAD 和平面PBE 所成二面角（锐角）的余弦值为155. 【点睛】本题主要考查线面垂直，面面垂直的判定定理以及向量法求二面角问题，还考查了转化化归的思想和逻辑推理，运算求解的能力，属于中档题.20.如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，A 为抛物线上异于原点的任意一点，以AO 为直径作圆Ω，当直线OA 的斜率为1时，||42OA =.（1）求抛物线C 的标准方程；（2）过焦点F 作OA 的垂线l 与圆Ω的一个交点为M ，l 交抛物线于P ，Q （点M 在点P ，Q 之间），记OAM △的面积为S ，求23||2S PQ +的最小值. 【答案】（1）24y x =（2）23 【解析】 【分析】（1）求得直线OA 的方程y x =，联立抛物线方程，解得A 的坐标，由两点的距离公式可得p ，进而得到所求抛物线方程；（2）求得(1,0)F ，设1(A x ，1)y ，0(M x ，0)y ，2(P x ，2)y ，3(Q x ，3)y ，且2114y x =，由向量垂直的坐标表示可得22001x y x +=，由三角形的勾股定理和三角形的面积公式可得221111(3)4S x x x =+，设:1PQ x ky =+，联立抛物线方程，运用韦达定理和弦长公式可得||PQ ，再由两直线垂直的条件，以及构造函数法，求得导数和单调性，计算可得所求最小值． 【详解】（1）当直线OA 的斜率为1时，可得直线OA 的方程为y x =，联立抛物线方程22y px =，解得2x p =，即(2,2)A p p ，||22OA ==2p =， 抛物线的方程为24y x =； （2）由（1）可得(1,0)F ，设11(,)A x y ，00(,)M x y ，22(,)P x y ，33(,)Q x y ，且2114y x =，由题意可得0OA FM ⋅=，即101010x x y y x +-=，又0OM AM ⋅=，即220100100x x x y y y -+-=，整理可得22001x y x +=，又22222222110011||||||()3AM OA OM x y x y x x =-=+-+=+，则222110011||||322SAMOM x x x y =⋅=+⋅+，即221111(3)4S x x x =+， 又PQ 的斜率存在且不为0，:1PQ x ky =+，联立抛物线方程可得2440y ky --=， 可得234y y k +=，234y y =-，则222222323||1()4116164(1)PQ k y y y y k k k =++-=+⋅+=+，由PQ OA ⊥，可得11PQx k y =-，即11y k x =-，可得212114||4(1)4(1)y PQ x x =+=+，则221111314||(3)6(1)24S PQ x x x x +=+++， 可令214()(3)6(1)4f x x x x x =+++，4323232()4x x f x x+-'=⋅， 显然43()232g x x x =+-在0x >递增，且(2)0=g ， 当02x <<时，()0<g x ，2x >时，()0>g x ， 可得()f x 在(0,2)递减，在(2,)+∞递增， 可得2x =时，()f x 取得最小值23． 即求23||2S PQ +的最小值为23． 【点睛】本题考查抛物线的方程和运用，考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理，以及向量垂直的坐标表示，考查函数方程思想和化简运算能力，属于难题．21.为了提高某生产线的运行效率，工厂对生产线的设备进行了技术改造.为了对比技术改造前后的效果，采集了该生产线的技术改造前后各20次连续正常运行的时间长度（单位：天）数据，并绘制了如下茎叶图：（1）设所采集的40个连续正常运行时间的中位数为m ，并将连续正常运行时间超过m 和不超过m 的次数填入上面的列联表，试写出a ，b ，c ，d 的值；根据列联表，能否有95％的把握认为生产线技术改造与连续正常运行时间的中位数有关；（2）工厂的一个生产周期为60天，生产线的运行需要进行维护.一个生产周期需设置几个维护周期，每个维护周期相互独立.工厂对生产线的生产维护费用包括正常维护费和保障维护费两种，对生产线设定维护周期为20天，即从开工运行到第20天()*k N∈进行正常维护，正常维护费为2千元/周期；在每个维护周期内，若生产线能连续运行，则不收取保障维护费；若生产线不能连续运行，则收取保障维护费，保障维护费在一个维护周期内只收费一次，第一个需保障维护的周期收费为1千元，在后面的维护周期中，如出现保障维护，收取的保障维护费在上次收取的保障维护费的基础上增加1千元.以生产线在技术改造后一个维护周期内能连续正常运行的频率作为概率，求一个生产周期内生产维护费X 的分布列及其期望.附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++【答案】（1）填表见解析；6a =，14b =，14c =，6d =；有95%的把握认为生产线技术改造与连续正常运行时间的中位数有关；（2）分布列见解析；期望为11116. 【解析】 【分析】（1）根据中位数的定义直接计算中位数，再填写列联表，并计算2χ，并且和3.841比较大小后解答；（2）由茎叶图可知生产线需保障维护的概率为14p =，设一个生产周期内需保障维护的次数为ξ次，则13,4B ξ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，生产维护费为()2162X ξξ=++千元，然后然后列出离散型随机变量的分布列，并求期望.【详解】（1）由茎叶图知212221.52m +==，根据茎叶图可得：6a =，14b =，14c =，6d =. 由于()2240661414 6.4 3.84120202020χ⨯-⨯==>⨯⨯⨯，所以有95%的把握认为生产线技术改造与连续正常运行时间的中位数有关.（2）当一个维护周期为20天时，生产周期内有3个维护周期，一个维护周期内，生产线需保障维护的概率为14p =.设一个生产周期内需保障维护的次数为ξ次，则正常维护费为236⨯=千元，保障维护费为()()2111222ξξξξξ⨯+++⋅⋅⋅+==+千元. 故一个生产周期内需保障维护ξ次时的生产维护费为()2162X ξξ=++千元. 由于13,4B ξ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，设一个生产周期内的生产维护费为X 千元，则X 的可能取值为6，7，9，12 ()3033276464P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()2131********P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()22313994464P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， ()3331112464P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭则分布列为故()272791111679126464646416E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查独立性检验的实际应用，以及离散型随机变量的分布和期望，本题的关键是读懂题意，并能抽象出数学问题，属于中档题型.22.已知函数()()210ax f x b bx+=>.（1）求()f x 的单调区间； （2）设()()()()()21ln ln 11x x x x g x f x x --+=⋅+，()0,x ∀∈+∞都有()()12f x f ≥=成立，证明：()0,x ∀∈+∞，都有()21g x e -<+.【答案】（1）当0a >时，函数()f x 的单调递增区间为,⎛-∞ ⎝⎦，⎫+∞⎪⎪⎣⎭，单调递减区间为⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭，⎛ ⎝⎦；当0a ≤时，函数()f x 的单调递减区间为(),0-∞，()0,∞+，无单调递增区间；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求导数，对a 分类讨论即可求解.（2）先由()0,x ∀∈+∞都有()()12f x f ≥=成立，确定1a=，1b =，则可求出()()()1ln ln 1x x xx g x x--+=，则()21g x e -<+转化为证明()()211ln ln 1x e x x xx -+--<+， 再证明21ln 1x x x e---≤+和()1ln 1xx >+即可. 【详解】解：（1）函数()f x 的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，()221ax f x bx -'=当0a ≤时，()2210ax f x bx-'=<，()f x 在(),0-∞，()0,∞+上分别递减. 当0a >时，()221ax f x bx -'== 令()0f x '>，得x <或x >，令()0f x '<，得0x <<或0x <<， 所以函数()f x 在,a ⎛-∞- ⎝⎦，a ⎫+∞⎪⎪⎣⎭上单调递增，在a ⎡⎫-⎪⎢⎪⎣⎭，0,a ⎛ ⎝⎦上单调递减.综上所述：当0a >时，函数()f x 的单调递增区间为,⎛-∞ ⎝⎦，⎫+∞⎪⎪⎣⎭，单调递减区间为⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭，⎛ ⎝⎦； 当0a ≤时，函数()f x 的单调递减区间为(),0-∞，()0,∞+，无单调递增区间. （2）证明：对任意的0x >，都有()()12f x f ≥=成立，即有12a b +=， 由（1）知，若0a ≤，则()f x 对()0,x ∀∈+∞不存在最小值2，必有0a >，由()11f x ax b x b ⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭，即2b≥，所以1a +≤，即)210≤解得1a =，1b =.所以()1f x x x=+()()()()()()()21ln ln 11ln ln 11x x x x x x x x g x f x xx--+--+=⋅=+，0x >.对任意0x >，()21g x e -<+等价于()()211ln ln 1x e x x x x -+--<+，令()()1ln 0F x x x x x =-->，则()ln 2F x x '=--， 令()ln 20F x x '=--=得2x e -=， 所以当()20,x e-∈时，()0F x '>，()F x 单调递增；当()2,x e -∈+∞时，()0F x '<，()F x 单调递减，所以()F x 的最大值为()221F ee--=+，即21ln 1x x x e ---≤+.设()()ln 1G x x x =-+，则()01xG x x '=>+， 所以当()0,x ∈+∞时，()G x 单调递增，()()00G x G >=，故当()0,x ∈+∞时，()()ln 10G x x x =-+>，即()1ln 1xx >+，∴()()2211ln 1ln 1x e x x x e x --+--≤+<+，所以对任意0x >，都有()21g x e -<+.【点睛】考查求含参数的函数的单调性和证明不等式恒成立，求含参数的函数的单调性通常需要分类讨论；证明不等式通常转化为求函数的最值，这时需要构造新函数，研究新函数的值域；本题是难题.。
2021衡水名师原创数学专题卷 专题十三《圆锥曲线与方程》考点40：椭圆及其性质(1-3题，9-11题，13,14题) 考点41：双曲线及其性质（4,5题，6-10题，15题） 考点42：抛物线及其性质（6,7题，16题） 考点43：直线与圆锥曲线的位置关系（17-22题） 考点44：圆锥曲线的综合问题（8题，16题，17-22题）考试时间：120分钟 满分：150分说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上第I 卷（选择题）一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1.已知直线210kx y -+=与椭圆2219x y m+=恒有公共点，则实数m 的取值范围( )A. (]1,9B. [)1,+∞C. [)()1,99,+∞ D.()9,+∞2.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点为A ，上顶点为B ，右焦点为F ，若90ABF ∠=︒，则椭圆C 的离心率为( )ABCD3.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的短袖长为2，上顶点为A ，左顶点为12,,B F F 分别是椭圆的左、右焦点，且1F AB △的面积为22-，点P 为椭圆上的任意一点，则1211PF PF +的取值范围为（ ） A.[]1,2B.C.⎤⎦D.[]1,44.设点P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与圆2222x y a b +=+在第一象限的交点,12,F F 分别是双曲线的左、右焦点,且123PF PF =,则双曲线的离心率为( )5.若直线:1l y kx =+与双曲线22:21C x y -=的右支交于不同的两点,A B ,则实数k 的取值范围是( )A.2k -<<B.22k -<<C.k <<D.20k -<<6.已知F 是抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点，抛物线C 上动点,A B 满足4AF FB =，若,A B 在准线上的射影分别为,M N ，且MFN △的面积为5，则||AB =( ) A.94B.134C.214D.2547.已知抛物线252y x =与直线:12l y kx k =+-交于,A B 两点.若90AOB ∠=︒(O 为坐标原点),则实数k =( ) A.4-B.2-C.1D.28.已知点12,F F 是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>与双曲线22221(0,0)x y m n m n-=>>的公共焦点,点P 是它们在第一象限的公共点,满足2211()0F P F F PF +⋅=.若椭圆的离心率为1e ,双曲线的离心率为2e ,则12142e e e +的取值范围为( )A.)+∞B.)+∞C.[3,)+∞D.[6,)+∞二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。
