(2020年整理)中职升高职数学历年真题回编—立体几何.doc

学校______________班级______________专业______________考试号______________姓名______________数学试题 立体几何． 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分100分, 考试时间90分钟, 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回．． 本次考试允许使用函数型计算器, 凡使用计算器的题目, 最后结果精确到0.01．第Ⅰ卷（选择题, 共60分）30小题, 每小题2分, 共60分．在每小题列出的四个选项中, 只有一, 请将符合题目要求的选项选出） ． 三条直线共面的条件是 A ．互相平行 B ．一条直线和其他两条直线都相交 C ．三线共点D ．两两相交且不共点． 过直线外一点和这条直线平行的直线有 A ．1条B ．2条C ．无数条D ．不存在． 两异面直线所成的角的范围是 A ．()090︒︒，B ．[]090︒︒，C ．(]090︒︒，D ．[)090︒︒，． 分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是 A ．异面B ．平行C ．相交D ．以上都有可能． 如果直线//m 平面α, 则m 平行于α内的 A ．无数条相交的直线 B ．无数条互相平行的直线 C ．任意一条直线D ．唯一确定的一条直线． 下列各命题中是假命题的是 A ．平行于同一个平面的两条直线平行 B ．平行于同一条直线的两条直线平行C ．过平面外一点有无数条直线与该平面平行D ．过直线外一点有无数个平面与该直线平行． 若平面α外一条直线l 和平面α内的两条平行直线垂直, 则下面结论正确的是 A ．l 一定垂直于α B ．l 一定平行于αC ．l 一定与α相交D ．上述情况都有可能8． 直线//a 平面α, 点A α∈, 则过点A 且平行于直线a 的直线 A ．只有一条, 但不一定在平面α内 B ．只有一条, 且在平面α内C ．有无数条, 但都不在平面α内D ．有无数条, 且都在平面α内9． 空间两条直线平行的充分条件是 A ．两条直线平行于同一个平面 B ．两条直线垂直于同一条直线C ．两条直线分别垂直于两个平行平面D ．两条直线与同一个平面所成角相等10． 直线a 与平面α斜交, 则在平面α内与直线a 垂直的直线A ．有0条B ．有一条C ． 有无数条D ．是α内所有直线11． 如果平面α外A B 、两点到α的距离()0d d >相等, 则直线AB 与平面α的位置关系是A ．平行B ．相交C ．在面内D ．相交或平行12． 已知直二面角l αβ--, 在α内的直线PA l ⊥, 在内的直线PB 与l 不垂直, 则APB ∠是A ．锐角B ．钝角C ．锐角或钝角D ．直角13． 不能确定两个平面一定垂直的情况是A ．两个平面相交, 所成二面角是直二面角B ．一个平面经过另一个平面的一条垂线C ．一个平面垂直于另一个平面内的一条直线D ．平面α内的直线a 与平面β内的直线b 是垂直的14． 已知两个平面互相垂直, 一条直线与两个平面相交, 那么这条直线与两个平面所成的角的和是A ．小于90︒B ．等于90︒C ．大于90︒D ．不大于90︒15． 已知直线a b 、, 平面αβ、, 能推出//αβ的是A ．a b αβ⊂⊂，//a b ，B ．////a b a b ααββ⊂⊂，，，C ．a b αβ⊥⊥，D ．//a b a b αβ⊥⊥，， 16． 一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面是这两个平面平行的PlABαβ学校______________班级______________专业______________考试号______________姓名______________A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．不充分不必要条件． 在长方体1111ABCD A B C D -中,143AB AD AA ===，，则1AC 与BD 夹角的余弦值为 A．10B ．14C D．． 平行六面体1111ABCD A B C D -中, 12AB AD AA ===，1BAD BAA ∠=∠1DAA =∠60=︒, 则1AC 的长为A ．B ．C ．D ．． 给出下列命题：① 平行于同一条直线的两条直线平行；② 平行于同一个平面的两条直线平行 ③ 平行于同一个平面的两个平面平行；④ 平行于同一条直线的两个平面平行 以上命题正确的是A ．①②B ．①③C ．③④D ．②④． 在空间中, 平行于同一条直线的两条直线 A ．相交B ．垂直C ．平行D ．不相交不平行． 若//////a b a b αβ，，, 则α与β的位置关系是 A ．平行B ．相交C ．平行或相交D ．一定垂直． 与不共面的四点距离相等的平面有 A ．7个B ．4个C ．3个D ．1个． 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中, 中, 顶点A 到平面1A BD 的距离等于AB．2C D． 直线a 在平面α内, 则平面α平行于平面β是直线a 平行于平面β的A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．不充分不必要条件25． 下面各命题中正确的是A ．直线a b ，异面, a b αβ⊂⊂，，则//αβB ．直线a b //异面, a b αβ⊂⊂，，则//αβC ．直线a b ⊥异面, a b αβ⊥⊥，，则αβ⊥D ．直线a b αβ⊂⊂，，//αβ, 则a b ，异面 26． 下列命题错误的是 A ．垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边 B ．垂直于梯形两腰的直线一定垂直于两底 C ．垂直于同一条直线的两条直线平行D ．垂直于同一个平面的两条直线平行27． 一条直线和平面所成的角为θ, 那么θ的取值范围是A ．()090︒︒，B ．[]090︒︒，C ．[]0180︒︒，D ．[)0180︒︒，28． 直线与平面平行的充要条件是这条直线与平面内的 A ．一条直线不相交B ．两条直线不相交C ．任意一条直线都不相交D ．无数条直线不相交29． 一条直线和两条异面直线中的一条平行, 则它和另一条直线的位置关系是A ．平行B ．相交C ．异面D ．相交或异面30． 平行于同一条直线的所有直线 A ．都相交B ．互相平行C ．既不相交也不平行D ．都在同一个平面内学校______________班级______________专业______________考试号______________姓名______________第Ⅱ卷（非选择题, 共40分）4小题, 每小题3分, 共12分）． 三条直线两两相交, 最多能确定的平面个数为_______________________．． 如果两条直线分别垂直于两个相交平面, 则这两条直线的位置关系是_______________． ． 三条直线a b c ，，中, //a b ，b 与c 相交, 那么a 与c 的位置关系是______________．． 已知二面角l αβ--的度数是60︒, 平面α内一点A 到棱l的距离为 则点A 到面β的距离是_______________________．4小题, 共28分）． 如图, 正三棱柱111ABC A B C -的棱长都等于2, 求直线1AC 与1A B 所成的角的余弦值．． 如图, 空间四边形ABCD 中, AB BC CD DA a ====，对角线AC BD ==，, 求二面角A BD C --的大小． 37． 已知空间四边形ABCD , 连结对角线AC BD ，, AB AC DB DC M ==，，为BC 的中点, 求证：BC ⊥平面AMD ．38． 已知E F 、分别是正方形ABCD 的边AD AB 、的中点, EF 交AC 于点M , GC ⊥平面ABCD , 求证：EF ⊥平面GMC ．A 1A CBB 1C 1AB D CM CD ABGFE MNABDCO。

中职数学立体几何测试题（时间：60 分钟 总分：100 分） 得分：_________一、 单选题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分)1、直线 L 与平面内的两条直线垂直，那么 L 与平面的位置关系是 （ ）A、平行B、LC、垂直D、不确定2、如果直线 ab，且 a平面，则 （ ）A、b//平面B、b C、b平面 D、b//平面或 b3、已知 直线a,b和平面，若b  , a  ,b a ，那么（）A、b B、 b⊥平面 C、b//平面 D、不确定4、圆柱的轴截面面积为 4 ，则它的侧面积为 （）A． 4  3B． 2C． 4D． 85、下列命题正确的是（ ）A、空间任意三点确定一个平面；B、两条垂直直线确定一个平面；C、一条直线和一点确定一个平面； D、两条平行线确定一个平面6、在一个二面角的一个面内有一点，它到棱的距离等于它到另一面的距离的 2 33倍，那么这个二面角的度数是 （ ）A、30oB、45oC、60oD、90o7、空间四面体 A-BCD, AC=BD,E、F、G、H 分别为 AB、BC、CD、DA 的中点，则四边形 EFGH 是 （ ）A、平行四边形 B、矩形 C、菱形 D、正方形8、如果直线 ab，且 a平面，则 （ ）A、b//平面 B、b   C、b平面 D、b//平面或 b9、如图，是一个正方体，则 B1AC=A、30oB、45oC、60o（） D、75o10、如果平面的一条斜线段长是它在这平面上射影的 3 倍，那么这条斜线与平面所 成角的正切值为 （ ）A． 2B． 2C． 4D． 2 2二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)11、垂直于同一条直线的两个平面的位置关系是_________ 12、已知平面//，且、间的距离为 1，直线 L 与、成 60o 的角，则夹在、之间的线段长为。

中职升高职数学真题汇编—立体几何 李远敬整理一．选择题1.20210八、假设平面α∥平面β，直线 ⊆平面α，直线 ⊆平面β，那么直线，的位置关系是（ ）平行 异面 平行或异面 相交 2.202110、以下命题中正确的选项是（ ）∥平面，直线∥平面则∥⊥直线，直线⊥直线则∥⊥平面，直线⊥平面则∥⊥平面，平面⊥平面则∥3.202110在正方形ABCD 中，2AB =，PA ⊥平面ABCD ，且1PA =，那么P 到直线BD 的距离是（ ）A B 2 C D 34.202108 正方体1111D C B A ABCD -中，直线1BC 与直线11D B 所成的角（ ） A 90 B 60 C 45 D 305.20210八、以下说法：①γβαγβγα⊥⇒=⋂⊥⊥l l ,, ②ba b b ⊥⇒αα,//,//③b a b a ⊥⇒⊥αα,//, ④b a b a ⊥⇒⊥⊥αα,, ⑤ββαα//,,a a ⇒⊥⊥ 说法正确的有（ ）A 、①②③B 、③④⑤C 、②③④D 、①③⑤ 二．填空题6.202119．假设直线m ⊥平面α，直线n ⊥平面α，那么直线m 与n 的位置关系是7.20211八、直二面角βα--l 内一点S ，S 到两个平面的距离别离为5和4，那么S 到 l 的距离为 . 8.202119 正方体1111D C B A ABCD -中，平面11D ABC 与平面ABCD 所成二面角的大小是_______________。

9.20211八、在长方体－中，＝3，＝４，，那么对角线所成的角是10.20211八、在空间，通过直线外一点与这条直线垂直的直线有 条. 三．解答题11.202126证明（10分） 已知：如题26图，是正方形所在平面外一点，是正方形对角线与的交点，底面，为中点，为中点。

⑴ 求证：直线∥平面；⑵ 假设正方形边长为4，，求：直线与平面的所成角的大小.P12.202126证明（10分）如题26图，是二面角内一点，是垂足。

第九章 立体几何一、 判断题：（每小题2分，共20分）1．三个点确定一个平面。

（ ）2．三角形是一个平面。

（ ）3．经过一点和一条直线有且只有一个平面。

（ ）4．平行于同一条直线的两条直线平行。

（ ）5．过直线外一点和这条直线平行的直线有且只有一条。

（ ）6．一条直线和一个平面内的一条直线平行，一定和这个平面平行。

（ ）7．一条直线和一个平面平行，就和这个平面内的所有直线都没有公共点。

（ ）8．若一个平面内有一条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行。

（ ）9．若两个平面没有公共点，则这两个平面平行。

（ ）10．矩形的平行射影一定是矩形。

（ ）一、判断下列命题的真假：（每小题2分，共20分）1、在空间一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

（ ）2、空间两个向量一定共面，三向量不一定共面。

（ ）3、长方体的对角线相等。

（ ）4、过平面外一点可以作无数条直线与这个平面平行。

（ ）5、两个平面只要三点重合，那么这两个平面一定重合为一个平面。

（ ）6、如果两个平面相交，那么它们的交点不一定在交线上。

（ ）7、已知直线a//平面α，且直线b//平面α，则a//b 。

（ ）8、任给三个向量，空间任一向量都可用这三个向量表示。

（ ）9、过平面外一点可以作无数个平面与这个平面平行。

（ ）10、正方形的平行射影一定是菱形。

（ ）1、两条直线无公共点是这两条直线平行的（ ）A 、充分而非必要条件B 、必要而非充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件2、在空间四边形ABCD 中，如果E 、H 分别是AB 、AD 边上的点，且41==HD AHEB AE，F 、G 分别是BC 、CD 的中点。

那么四边形EFGH 是（ ）A 、平行四边形B 、梯形C 、矩形D 、菱形3、三条直线相交于一点，可以确定的平面个数是（ ）A 、1个B 、3个C 、4个D 、1个或3个4、下列正确的命题是（ ）A 、矩形的平行射影一定是矩形B 、过平面外一条直线可作无数个平面与该平面平行C 、在空间，若OA//O 1A 1，OB//O 1B 1，则∠AOB=∠A 1O 1B 1D 、空间四条直线a,b,c,d ，若a//b ，c//d ，且a//b,则b//c.5、三条直线两两垂直，则下列命题中正确的是（ ）A 、三条直线必共点B 、其中必有两条直线异面C 、三条直线不可能在同一平面内D 、其中必有两条直线在同一平面内6、四面体ABCD 的每条棱长都等于a ，F ，G 分别是AD 、DC 的中点，则FG •BA=（ ） A 、a B 、-221a C 、-241a D 、241a 7、在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，三个向量共面的是（ ）A 、1，1，BB 1 B 、AB ，AD ，AA 1C 、B 1B ，AC 1，DB 1D 、AD ，A 1B 1，CC 18、在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，下列不正确的是（ ）A 、＜AC CD 1＞=60ºB 、＜AB ，C 1A 1＞=135ºC 、＜AB ，AD ＞=90º D 、＜AB ，BA ＞=180º9、已知A （3，-2，1），B （-2，3，5）两点，有一点P 在0 轴上，且|PA|=|PB|，则P 的坐标是（ ）A 、（-512，0，0） B 、（-1，0，0） C 、（-52，0，0） D 、（2，0，0） 10、在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AC 1•BC=（ ）A 、0B 、1C 、3D 、26、空间中的四点，如果其中任意三点都不共线，那么经过其中三点的平面（ ）A 、 可能有三个，也可能有一个B 、可能有二个，也可能有三个C 、可能有四个，也可能有一个D 、可能有4个，也可能有两个7、异面直线a 、b 分别在两个平面上α、β，α∩β=C ，则直线C （ ）A、与a、b都相交B、与a、b都不相交C、至少与a、b中的一条相交D、至多与a、b中的一条相交8、已知直线L⊥平面α，直线m⊂平面β，有下列四个命题（1）α∥∥m （2）α⊥β⊥m（3）L∥m α⊥β（4）α∥β⊥m其中正确命题是（）A、(1)(2)B、(3)(4)C、(2)(4)D、(1)(3)9、下列命题中错误的是（）A、若一直线垂直于一平面，则此直线必垂直于这平面上的所有直线B、若一平面通过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直C、若一直线垂直于一个平面的一条垂线，则此直线平行于这个平面D、若一平面内的一条直线和这个平面的一条斜线的射影垂直，则它也和这条斜线垂直。

专题09立体几何1.（2021年河南对口高考）圆柱的轴截面是面积为4的正方形，则其体积为.2.（2021年河南对口高考）如图，已知直三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA C C 是边长为4的正方形，3AB =，5BC =，求证：11AC A ABB ⊥平面.3.（202136的体积为．4.（2020年河南对口高考）已知直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 中，1AB AD ==，2BC =，2DC =，且AB AD ⊥.求证：1111BDD B BCC B 平面.5.（2020年河南对口）已知某正方体外接球的表面积为3π，则该正方体的棱长为.6.（2020年河南对口）如图，已知点P 是△ABC 所在平面外的一点，且PA ⊥平面ABC ，平面PAC ⊥平面PBC ，过点A 做线段PC 的垂线AD ，求证：BC ⊥AC ．7.（2019年河南对口高考）三棱柱111C B A ABC -的侧棱长和两个底面的边长都为2，侧棱垂直于底面，E,F 分别为AB ，11C A 的中点，直线EF 与C C 1所成角的余弦值为（）A.22 B.55 C.552 D.238.（2019年河南对口高考）已知正三棱锥的侧棱和底面边长都为1，则它的体积为.9.（2019年河南对口高考）已知矩形ABCD ，点E 为平面ABCD 外一点，EAD ABCD ⊥平面平面,且AE DE ⊥.求证：EAB ECD ⊥平面平面.10.（2018年河南对口高考）下列命题中，错误的是（）A.平面内一个三角形各边所在的直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行B.平行于同一平面的两个平面平行C.若两个平面平行，则位于这两个平面内的直线也互相平行D.若两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面11.（2018年河南对口高考）如图，在四棱锥ABCD P -中，ABCD 是边长为2的菱形，oABC 60=∠，⊥PC 底面ABCD ，2=PC ，E ，F 分别是P A ，AB 的中点.（1）证明：EF ∥平面PBC ；（2）求三棱锥PBC E -的体积.12.（2018年河南对口）若圆锥的底面面积为π，母线长为2，则该圆锥的体积为.13.（2017年河南对口高考）将一个球的体积扩大到原来的2倍，则它的半径为原来的_______倍.14.（2017年河南对口高考）如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1.（1）求111A C AB 与所成的角；（2）求三棱锥1B ACB -的体积.15.（2017年河南对口）如图，已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是菱形，PA ⊥平面ABCD ，点E 为PC 的中点.（1）求证：//PA 平面BDE ；（2）求证：PC BD ⊥.16.（2016年河南对口高考）在空间中垂直于同一条直线的两条直线一定是（）A.平行B ．相交C ．异面D ．前三种情况都有可能17.（2016年河南对口高考）将正方形ABCD 沿对角线AC 折成直二面角后，DAB ∠=.18.（2016年河南对口高考）在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中（如下图所示），求证：直线1AC DBB ⊥平面.19.（2015年河南对口高考）垂直于同一个平面的两个平面（）A．互相垂直B．互相平行C．相交D．前三种情况都有可能20.（2015年河南对口高考）正方体1111ABCD A B C D -中AC 与1AC 所成角的正弦值为.21.（2015年河南对口）已知圆锥的侧面展开图是一个半径为3、圆心角为43π的扇形，则该圆锥的高是（）AB ．2CD 22.（2014年河南对口）已知平面α⊥平面β，直线l ⊥平面α，则l 与β的位置关系是（）A ．垂直B ．平行C ．l ⊂βD ．平行或l ⊂β23.（2014年河南对口高考）三个平面最多把空间分成部分.24.（2014年河南对口高考）已知正方体1111ABCD A B C D -棱长是a ，求证：三角形1ACB 为等边三角形.25.（2013年河南对口高考）平行于同一条直线的两条直线一定（）A ．垂直B ．平行C ．异面D ．平行或异面26.（2013年河南对口高考）若长方体的长、宽、高分别为1，2，3，则其对角线长为．27.（2013年河南对口）如图，在三棱锥P ABC -中，PC ⊥平面,10,6,8ABC AB BC AC PC ====，E ，F 分别是,PA PC 的中点，求证：（1）//AC 平面BEF ；（2）PA ⊥平面BCE ．28.（2012年河南对口高考）在正方体1111ABCD A B C D -中,二面角1D AB D --的大小是（）A ．30︒B ．60︒C ．45︒D ．90︒29.（2012年河南对口高考）已知正方体1111ABCD A B C D -,证明:直线1AC 与直线11A D 所成角的余弦值为3.30.（2012年河南对口）已知两条不同的直线m ､l 和两个不同的平面αβ，，下列命题是真命题的为（）A ．若m ∥α，l ⊥m ，则l ⊥αB ．若α∥β，l ⊥α，m β⊂，则l ⊥mC ．若m ∥α，α⊥β，则m ⊥βD ．若m ∥l ，l α⊂，则m ∥α。

中职数学试卷：立体几何XXX数学单元试卷（立体几何）时间：120分钟，满分：150分一、选择题（共10题，每题5分，共50分）1、一条直线和直线外两点可确定平面的个数是（）A、1.B、2.C、3.D、1或2解析：一条直线和直线外两点可以确定一个平面，但如果这两个点在直线上，则只能确定一个平面，所以答案为D。

2、若直线L⊥平面a，直线m a，则L与m的关系是（）。

A、L⊥m。

B、L∥m。

C、L与m异面D、无法确定解析：直线L与平面a垂直，而直线m在平面a内，所以L与m一定是相交的，答案为A。

3、如果空间中两条直线互相垂直，那么它们（）A、一定相交B、是异面直线C、是共面直线D、一定不平行解析：两条直线互相垂直，说明它们在同一个平面内，所以它们一定是共面直线，答案为C。

4、棱长都是1的三棱锥的表面积为（）A.3B。

23C。

33D.43解析：三棱锥的表面积为底面面积加上三个侧面积之和。

底面是个正三角形，面积为√3/4，每个侧面是个等腰三角形，面积为1/2，所以表面积为3√3/4+3/2=3√3/2，答案为B。

5、两个球的表面积之比为1:4，则它们的体积之比是（）。

A、1:64.B、1:16.C、1:8.D、1:32解析：设两个球的半径分别为r和R，则它们的表面积之比为4πR^2：4πr^2=1:4，所以R:r=1:2，体积之比为(4/3)πR^3:(4/3)πr^3=8:1，答案为D。

6、正方体的全面积是18，则正方体的体积是（）。

A、9.B、3.C、3√2.D、27解析：正方体的全面积=6a^2，所以a=√3/2，体积为a^3=(√3/2)^3=9√3/4，答案为A。

7、正方体ABCD A1B1C1D1中，上底面对角线A1C1与侧面对角线B1C所成的角为（）。

A、30°B、45°C、60°D、90°解析：由勾股定理可知，A1C1=√2AC=√2a，B1C=√2BC=√2a，所以cos∠A1CB1=AC/AB1=1/√3，所以∠A1CB1=30°，答案为A。

第 1 页共 3 页 2020-1-14 SZM例1:已知正三棱锥 A 一 BCD , AB = 4 , BC = 6 , E 为CD 中点 ①求证：CD _平面ABE例2:在正三角形ABC 中，AD_ BC 于D ，如图所示，沿AD 折成二面角B-AD-C1 后,BC 6AB，求二面角B "D — C 的大小*例3:已知SA_正方形ABCD 所在平面，0为AC 与BD 的交 点，AB = 2,2，SC = 5 （1）求证：BD _ SC立体几何重点例题⑤ 求：AB 与平面BCD 所成角的余弦值②求证：平面ACD _平面ABE③ 求：二面角A-CD-B 的余弦值④求：点A 到平面BCD 的距离D ECC第 2 页 共 3 页 2020-1-14 SZM(6)求：直线SB 与平面ABCD 所成角的正切值(7)求：平面SAB 与平面SAC 所成的二面角的度数例4:已知正方体 ABCD - ABQQ ,中，E 是AB 的中点(1)求BA 与CG 夹角的度数;(5)求：直线SC 与AB 所成角的余弦值(3)求：点S 到平面ABCD 的距离(4)求：点S 到直线BC 的距离(2)求证：平面SBC_平面SAB(2)求BA i与CB i夹角的度数; 例5:已知正方体ABCD - AB i C i D i中，0是底面ABCD对角线的交点(1) 求证：CO/ /平面AB1D1(2) 求证：A1C _ 平面AB1D1(3)求AE与CB1夹角的余弦第3 页共 3 页2020-1-14 SZM第 4 页 共 3 页 2020-1-14 SZM立体几何重点例题答案例1 已知正三棱锥 A — BCD ,AB=4 ,BC=6 , E 为CD 中点①求证：CD _平面ABE. 连接BE , AE ，因为E 为CD 中点，在正三棱锥中 AC = AD ，BC 二BD所以 AE _ CD , BE _ CD 且 AE 门 BE 二 E可得 BF BE 3丿3= 2'. 3 , AF = ■- AB - BF = , 16- 12= 2 3 3 所以所求点 A 到平面BCD 的距离为2.⑤ 求：AB 与平面BCD 所成角的余弦值 —解：由上题可知,AF _平面BCD故BF 为AB 在平面BCD 内的射影 所以.ABF 即AB 与平面BCD 所成的角2 1 所以可知sin . ABF = 4 2所以所求二面角 A - CD - B 的余弦值为7④求：点A 到平面BCD 的距离.解：过点A 作AF _ BE 于点F由CD _平面ABE ，得CD _ AF ，又因为BEp|CD =E 所以AF _平面BCD 所以AF 即所求点A 到平面BCD 的距离 由正三棱锥的定义可得，F 是 BCD 的中心，也是重心所以CD _平面ABE.所以.ABF 二 30 ,cos_ ABF 二cos30②求证：平面ACD 丄平面ABE. 证明：由上题可知， CD _平面ABE 又CD 二平面ACD 所以平面 ACD 丄平面ABE. ③ 求：二面角A-CD-B 的余弦值. 解：由 AE _CD , BE _CD 例2:在正三角形ABC 中，AD_ BC 于D ，如图所示，沿AD 折成二面角B-AD-C1后，BC = AB ，求二面角B-AD-C 的大小.2解：由已知可得BD _ AD ,CD _ AD所以.BDC 即二面角B-AD-C 的平面角 由正三角形ABC 可得，所以.AEB 即二面角A-CD -B 的平面角 在 Rt ACE 中，可求得 AE hJ AC ? -CE ? f -9 »7 ,在BCD 中，可求得BE 6 = 33所以 cos AEB 二AE 2 BE 2 - AB 2 2UAE_BE=7 27-16 21 2 、7 3.3 711 BD = DC AB ，又因为 BC AB22所以BD = DC = BC ，所以厶BDC 为等边三角形 故 BDC =60所以所求二面角B - AD - C 为60 .例3:已知SA_正方形ABCD 所在平面，O 为AC 与BD 的交点，AB = 2 2 , SC =5(1)求证：BD _ SC.证明：因为SA_正方形ABCD 所在平面所以SA_ BD又四边形ABCD 为正方形所以 BD _ AC ，又 SA! AC 二 A 所以BD _平面SAC 所以BD — SC(2)求证：平面 SBC 丄 平面SAB.证明：因为SA_正方形ABCD 所在平面证明:所以SA_BC，又因为BC_AB , ABp|BC=B所以BC _平面SAB又BC 平面SBC，所以平面SBC _平面SAB. (3)求：点S到平面ABCD的距离.解：因为SA_正方形ABCD所在平面所以SA即所求点S到平面ABCD的距离在Rt SBC 中，SB 二SC2 - BC?二•. 25二8 二.17所以在Rt SAB 中，SA 二、SB2 - AB2二.17 -8 二3因此所求点S到平面ABCD的距离为3.(4)求：点S到直线BC的距离.解：由前面所证可知BC _平面SAB，所以BC _ SB 所以SB即所求点S到直线BC的距离由前可知SB = 17所以点S到直线BC的距离为.17 .(5)求：直线SC与AB所成角的余弦值.解：因为AB//CD所以.SCD即SC与AB所成的角由前可知SD=：』32• 2*2彳=、、17(7)求：平面SAB与平面SAC所成的二面角的度数解：因为SA 止方形ABCD所在平面所以SA_ AC ,SA_ AB所以.CAB即二面角C - SA- B的平面角因为ABCD为正方形，所以.CAB = 45即所求平面SAB与平面SAC所成的二面角的度数为45 .例4:已知正方体ABCD - AB1C1D1中，E是AB的中点(1)求BA1与CG夹角的度数；(2)求BA1与CB1夹角的度数；(3)求A1E与CB1夹角的余弦.解：(1)因为BB1 //CC1所以.B1BA1即所求BA1与CC1的夹角因为四边形BAA1B1为正方形所以.B1BA^ 45即所求BA1与CG夹角的度数为45(2)连接CD1, B1D1所以cos SCD 二S C2严］®22LSCJCD 25 8-17 2、2 2 5 2.2 52x12因此所求直线SC与AB所成角的余弦值为 J兰.5(6)求：直线SB与平面ABCD所成角的正切值.解：因为SA_正方形ABCD所在平面所以AB即为SB在平面ABCD内的射影所以• SBA即所求的直线SB与平面ABCD所成的角Q A O Q IQ Q / Q 在Rt SAB中，tan• SBA二——二—=—，即所求角的正切值为—.AB 22 4 4因为AD1 //BC且AD1 二BC所以四边形A1D1CB为平行四边形所以BA1/ /CD1所以• B1CD1即所求BA1与CB1所成的角易证B1D1 = CD1 = B1C所以• B1CD1=60，即所求的BA1与CB1所成的角为60A1 DC1A1D第5 页共 3 页2020-1-14 SZM所以OC i 与平面AB i D i 没有公共点第 6 页 共 3 页 2020-1-14 SZM(3)连接 A i D , ED ，易证 AD //BQ所以.DA i E 即所求的AE 与CB i 所成的角 设正方体的棱长为 2 则 ED = ,i222 —、5 ,AD 二 22 2^^ 2 ,AE 二 I 2 22所以cos DA E2 2 2AD AE -DE _ _8_5二5_ _ _I0 2 AD A I E 2 2 ~2 .55即所求角的余弦为io 5（1）求证：GO//平面 AB 1D 1.D i（2）求证：AC 丄平面AB i D i . A i证明：（1）连接BC i ，DC i:D /一 _/ _二因为 DD i =BB i 且 DD i //BB iz例5:已知正方体ABCD -A i BQ i D i 中，O 是底面ABCD 对角线的交点所以四边形 BB 1D 1D 为平行四边形 iC所以 D 1B 1//DB又因为 D i C i 二 AB 且 D i C i //AB 所以四边形AD i C i B 为平行四边形 所以 AD i //BC i所以可得平面 AB i D i //平面BDC i 所以两平面没有公共点 又因为00 平面BDC i所以OC i 〃平面AB i D i （2）连接A i D由已知可知正方形 ADD i A I 中，A0 _ AD 又因为CD _平面ADD i A i ，所以AQ _ CD 所以AD i _平面A i DC ，所以AD i _ AC 同理，连接A 1C 1可以证得 B 1D^ AC 1 , _ CC 1所以B 1D^平面A6C所以B 1D^ AC 所以AC _平面AB 1D 1.。