平面的基本性质
一、高考要求:
理解平面的基本性质.
二、知识要点:
1.平面的表示方法:平面是无限延展的,是没有边界的.通常用平行四边形表示平面,平面一般用希腊字母α、β、γ、…来命名,还可以用表示平行四边形的对角顶点的字母来命名.
2.平面的基本性质:
(1)如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有
点都在这个平面内.这时我们说,直线在平面内或平面经过直线.用符
号语言表示为:如果A∈a,B∈a,且A∈α,B∈α,则a?α.
(2)经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面.也可简单地
说成,不共线的三点确定一个平面.它有三个推论:
推论1:经过一条直线和直线外的一点,有且只有一个平面;
推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面;
;
推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面.
(3)如果两个平面有一个公共点,那么它们就有另外的公共点,并且
这些公共点的集合是经过这个点的一条直线.这时我们称这两个平面相交. 用符号语言表示为:如果A∈α,A∈β,则α∩β= ,且A∈ .
3.有关概念:如果空间内的几个点或几条直线都在同一平面内,那么我们就说它们共面;如果构成图形的所有点都在同一平面内,则这类图形叫做平面图形;如果构成图形的点不全在同一平面内,则这类图形叫做立体图形.直线和平面都是空间的子集,直线又是平面的子集.
三、典型例题:
例1:已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD各边AB、AD、BC、CD上的点,且EF与GH 相交于点P.求证:点B、D、P在同一直线上.
证明: ∵E∈AB, F∈AD又AB∩AD=A
∴E、F∈平面ABD
∴EF?平面ABD
同理GH?平面CBD
∵EF与GH相交于点P
$
∴P∈平面ABD,P∈平面CBD, 又平面ABD∩平面ABD=BD
∴P∈BD即点B、D、P在同一直线上.
例2:如图,已知直线a∥b,直线m与a、b分别交于点A、B,
求证:a、b、m三条直线在同一平面内.
证明:∵a ∥b ∴a 、b 可以确定一个平面α.
∵m∩α=A,m∩β=B, ∴A ∈α,B ∈α又A ∈m,B ∈m
∴m ?α. ∴a 、b 、m 三条直线在同一平面内.
四、归纳小结:
1.证明点共线问题常用方法有二:(1)证明这些点都是某两个平面的公共点;(2)由其中两点确定一条直线再证明其它点在这条直线上.
2.共面问题证明常用“纳入平面法”一般分为两点:(1)确定平面;(2)证明其余点、线在确定的平面内,解题中应注意确定平面的条件.
.
五、基础知识训练:
(一)选择题:
1.下列说法正确的是( )
A.平面和平面只有一个公共点
B.两两相交的三条直线共面
C.不共面的四点中,任何三点不共线
D.有三个公共点的两平面必重合
2.在空间,下列命题中正确的是( )
A.对边相等的四边形一定是平面图形
B.四边相等的四边形一定是平面图形
C.有一组对边平行的四边形一定是平面图形
D.有一组对角相等的四边形一定是平面图形
3.过空间一点作三条直线,则这三条直线确定的平面个数是( )
个 个 个 个或3个
…
4.空间四点,其中三点共线是这四点共面的( )
A.充分条件
B.必要条件
C.充要条件
D.既非充分也非必要条件
(二)填空题:
5.空间三条直线互相平行,但不共面,它们能确定 个平面,三条直线相交于一点,它们最多可确定 个平面.
6.检查一张桌子的四条腿的下端是否在同一个平面内的方法是 .
(三)解答题:
7.已知A 、B 、C 是平面α外三点,且AB 、BC 、CA 分别与α交于点E 、F 、G,求证:E 、F 、G 三点共线.
8.已知1 ∥2 ∥3 ,且m∩1 =A 1,m∩2 = A 2,m∩3 =A 3,求证: 1 、2 、3 、m 四线共面.
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直线与直线的位置关系
一、高考要求:
1.掌握两直线的位置关系.掌握空间两条直线的平行关系、平行直线的传递性;
2.了解异面直线概念.了解异面直线的夹角、垂直和距离的概念.
二、知识要点:
1.两条直线的位置关系有三种:(1)平行:没有公共点,在同一平面内;(2)相交:有且仅有一个公共点,在同一平面内;(3)异面:没有公共点,不同在任何一个平面内.
2.平行直线的传递性:空间三条直线,如果其中两条直线都平行于第三条直线,那么这两条直线也互相平行.
3.异面直线的夹角、垂直和距离的概念:经过空间任意一点,分别作与两条异面直线平行的直线,这两条直线的夹角叫做两条异面直线所成的角.成90o角的两条异面直线叫做相互垂直的异面直线,异面直线a与b垂直,记作a⊥b.和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线,对任意两条异面直线有且只有一条公垂线,两条异面直线的公垂线夹在异面直线间的部分叫做这两条异面直线的公垂线段,公垂线段的长度叫做两条异面直线的距离.三、典型例题:
例1:已知空间四边形ABCD,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点,求证:EFGH是平行四边形.
)
思考:如果AC=BD,四边形EFGH的形状是;如果AC⊥BD, 四边形EFGH的形状是;如果AC=BD且AC⊥BD, 四边形EFGH的形状是.
例2:如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,已知AA1=1cm,AB=AD=2cm,E是AA1的中点.
(1)求证:AC1、BD1、CA1、DB1共点于O,且互相平分;
(2)求证:EO⊥BD1,EO⊥AA1;
(3)(
(4)求异面直线AA1和BD1所成角的余弦值;
(5)求异面直线AA1和BD1间的距离.
四、归纳小结:
1.平行线的传递性是论证平行问题的主要依据;等角定理表明角在空间平行移动,它的大
小不变.
2.两条异面直线所成的角θ满足0o<θ≤90o,且常用平移的方法化为相交直线所成的角,在三角形中求解.
五、基础知识训练:
>
(一)选择题:
1.在立体几何中,以下命题中真命题的个数为( )
(1)垂直于同一直线的两直线平行; (2)到定点距离等于定长的点的轨迹是圆;
(3)有三个角是直角的四边形是矩形; (4)自一点向一已知直线引垂线有且只有一条.
个个个个
2.下列命题中,结论正确的个数是( )
(1)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等;
(2)如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角或直角相等;
(3)如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直,那么这两个角相等或互补;
(4)如果两条直线同平行于第三条直线,那么这两条直线互相平行.
~
个个个个
3.下列关于异面直线的叙述错误的个数是( )
(1)不同在任何一个平面内的两条直线是异面直线;
(2)既不平行也不相交的两条直线是异面直线;
(3)连结平面内一点与平面外一点的直线和这个平面内不经过该点的任意直线是异面直线;
(4)分别和两条异面直线同时相交的两条直线一定是异面直线.
个个个个
4.下列命题中,结论正确的个数是( )
(1)若a∥b, a∥c,则b∥c; (2)若a⊥b, a⊥c,则b∥c;
(3)若a∥b, a⊥c,则b⊥c; (4)若a⊥b, a⊥c,则b⊥c;
&
个个个个
5.教室内有一直尺,无论怎样放置,在地面总有这样的直线,它与直尺所在直线( )
A.垂直
B.平行
C.相交
D.异面
6.设a、b、c为空间三条直线, a∥b, a、c异面,则b与c的位置关系是( )
A.异面
B.相交
C.不相交
D.相交或异面
7.设a、b、c为空间三条直线, 且c与a、b异面,若a与c所成的角等于b与c所成的角,则a与b的位置关系是( )
A.平行
B.平行或相交
C.平行或异面
D.平行或相交或异面
8.(2002高职-4)已知m,n是异面直线,直线 平行于直线m,则 和n( )
A.不可能是平行直线
B.一定是异面直线
C.不可能是相交直线
D.一定是相交直线
(二)填空题:
*
9.平行于同一直线的两直线的位置关系是;垂直于同一直线的两直线的位置关系是.
10.若a∥b,c⊥a,d⊥b,则c与d的关系为.
11.空间两个角α和β,若α和β两边对应平行,当α=50o时,则角β=.
(三)解答题:
12..已知A、B和C、D分别是异面直线a、b上的两点,求证:AC和BD是异面直线(要求画出图形,写出已知,求证和证明过程)
13.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1.
(1)求直线DA1与AC的夹角;
(2)求直线DA1与AC的距离.
.
14.已知空间四边形OABC的边长和对角线长都为1,D、E分别为OA、BC的中点,连结DE.
(1)求证:DE是异面直线OA和BC的公垂线;
(2)求异面直线OA和BC的距离;
(3)求点O到平面ABC的距离.
直线与平面的位置关系
一、高考要求:
1.掌握直线与平面的位置关系.
2.!
3.了解直线与平面平行的判定和性质,理解平行投影概念.掌握空间图形在平面上的表示方
法.
4.掌握直线与平面垂直的判定和性质.理解正射影和三垂线定理及其逆定理.掌握直线与平面所成的角及点到平面距离的概念.
二、知识要点:
1.直线与平面的位置关系有以下三种:(1)直线在平面内:有无数个公共点;(2)直线与平面相交:
有且只有一个公共点;(3)直线与平面平行:没有公共点.
2.直线与平面平行的判定:如果平面外一条直线与平面内一条直线平行,那么这条直线与这个平面平行.
用符号语言表述为:如果a∥b,b?α,a α,那么a∥α.
直线与平面平行的性质:如果一条直线平行于一个已知平面,且过这条直
线的平面和已知平面相交,那么这条直线就和交线平行.
用符号语言表述为:如果a∥α,a?β,α∩β=b,那么a∥b.
3.当直线或线段不平行于投射线时,平行射影具有下述性质:
(1)直线或线段的平行射影仍是按或线段;
(2)…
(3)平行线的平行射影仍是平行线;
(4)在同一直线或平行直线上,两条线段平行射影的比等于这两条线段的比.
4.表示空间图形的平面图形,叫做空间图形的直观图.画直观图通常用斜二测画法.
5.直线与平面垂直的判定:如果一条直线垂直于平面内两条相交直线,那么这
条直线就垂直于这个平面.
用符号语言表述为:如果 ⊥a, ⊥b, a?α,b?α,a∩b=P,那么 ⊥α.
直线与平面垂直的性质:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线
互相平行.
用符号语言表述为:如果a⊥α, b⊥α,那么a∥b.
6.斜线及其在平面内的射影:一条直线和一个平面相交但不和它垂直,这条直线称为平面的斜线,斜线和平面的交点称为斜足.从平面外一点向平面引垂线和斜线,从这点到斜足间的线段长,称为从这点到平面间的斜线的长,斜足和垂足之间的线段称为斜线在平面内的射影.这点到垂足的距离称为这个点到平面的距离.斜线和它在平面内的射影所成的角称为这条斜线与平面所成的角.
定理:从平面外一点向平面引垂线和斜线.
(1)如果两斜线的射影的长相等,那么两斜线的长相等,射影较长的斜线也较长.
(2)^
(3)如果两斜线长相等,那么射影的长也相等,斜线较长的射影也较长.
7.三垂线定理及其逆定理:
三垂线定理:平面内的一条直线,如果和一条斜线在这个平面内的射影垂直,那么这条直线也和这条斜线垂直.
用符号语言叙述为:如果PO和PA分别是平面α的垂线和斜线,AO是
斜线PA在平面α上的射影,而直线a?α,且a⊥AO,那么a⊥PA.
三垂线逆定理:平面内的一条直线,如果和在这个平面的一条斜线垂直,那
么这条直线也和这条斜线在平面内的射影垂直.
用符号语言叙述为:如果PO和PA分别是平面α的垂线和斜线,AO是
斜线PA在平面α上的射影,而直线a?α,且a⊥PA,那么a⊥AO.
三、典型例题:
例1:已知PA⊥矩形ABCD所在平面,M、N分别是AB、PC的中点.
(1)求证:MN∥平面PAD;
(2)求证:MN⊥CD;
(3)!
(4)若∠PDA=45o,求证:MN⊥平面PCD.
例2: AD、BC分别为两条异面直线上的两条线段,已知这两条异面直线所成的角为30o, AD =8cm,AB⊥BC,DC⊥BC,求线段BC的长.
…
例3:(99高职-22)(本题满分10分)已知平面α,A∈α、B∈α、P α、 ?α,在以下三个关系中:AB⊥ ,PA⊥α,PB⊥ ,以其中的两个作为条件,余下的一个作为结论,构造一个真命题(用文字语言表述,不得出现字母及符号,否则不得分),并予以证明.
四、归纳小结:
1.在直线与平面的位置关系中,注意掌握通过“线线平行”去判定“线面平行”,反过来由“线面平行”去判定“线线平行”;通过“线线垂直”去判定“线面垂直”,反过来由“线面垂直”去判定“线线垂直”.
2.平行射影的性质是假定已知线段或直线不平行于投射线得出的.如果平行于投射线,则线段或直线的像是一个点.
3.由直线和平面垂直的判定定理可推出许多关于“垂直”的重要性质,其中最重要的有两个:一个是,到两点距离相等的点的轨迹是连结这两点的线段的垂直平分面;另一个是,三垂线定理及其逆定理.这个定理是判定空间线线垂直的一个重要方法,是计算空间中两条直线的夹角和线段长度等有关问题的重要基础.它的证明的思想方法十分重要.
4.在直线和平面所成的角中要重点掌握公式:cosθ=cosθ1cosθ2.在公式的基础上得到了“斜线和它在平面内的射影所成的角是斜线和这个平面内所有直线所成的角中最小的角”的结论.直线与平面所成的角θ满足0o≤θ≤90o.
【
五、基础知识训练:
(一)选择题:
1.如图,PO ⊥平面ABC,O 为垂足,OD ⊥AB,则下列关系式不成立的是
( )
A. AB ⊥PD
B. AB ⊥PC
C. OD ⊥PC
D. AB ⊥PO
2.直线 与平面α成
3π的角,直线a 在平面α内,且与直线 异面,则 与a 所成角的取值范围是( )
A.??
????32,0π B.??????32,3ππ C. ??????2,3ππ D.??????2,3ππ 3.由距离平面α为4cm 的一定点P 向平面α引斜线PA 与平面α成30o的角,则斜足A 在平面α内的轨迹图形是( )
A.半径为34cm 的圆
B.半径为24cm 的圆
C.半径为
334cm 的圆 D.半径为22cm 的圆 \
4.设a 、b 是两条异面直线,在下列命题中正确的是( )
A.有且仅有一条直线与a 、b 垂直
B.有一个平面与a 、b 都垂直
C.过直线a 有且仅有一个平面与b 平行
D.过空间任一点必可作一条直线与a 、b 都相交
5.下列命题中正确的是( )
A.若一条直线垂直于一个平面内的两条直线,则这条直线垂直于这个平面
B.若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线,则这条直线必定垂直于这个平面
C.若一条直线平行于一个平面,则垂直于这个平面的直线必定垂直于这条直线
D.若一条直线平行于一个平面,则垂直于这条直线的另一条直线必垂直于这个平面 6.两条直线a 、b 与平面α成的角相等,则a 、b 的关系是( ) A.平行 B.相交 C.异面 D.以上三种情况都有可能 ;
,PB,PC 是从P 引出的三条射线,每两条的夹角都是60o,则直线PC 与平面PAB 所成角的余弦值为( )
A.2
1 B.36 C.33 D.23 8.直线a 是平面α的斜线,b ?α,当a 与b 成60o的角,且b 与a 在α内的射影成45o角时,a 与α所成的角是( )
o o o o
9.矩形ABCD,AB=3,BC=4,PA ⊥ABCD 且PA=1, P 到对角线BD 的距离为( )
A.513
B.517
C.921
D.1295
1 10.在△ABC 中,AB=AC=5,BC=6,PA ⊥平面ABC,PA=8,则P 到BC 的距离为( )
A.5
B.52
C.53
D.54
11.在直角三角形ABC 中, ∠B=90o,∠C=30o,D 是BC 边的中点,AC=2,DE ⊥平面ABC,且DE=1,则E 到斜边AC 的距离是( )
A.
25 B.27 C.211 D.419 》
12.已知SO ⊥平面α,垂足O, △ABC ?α,点O 是△ABC 的外心,则( )
A. SA=SB=SC
B. SA ⊥SB,且SB ⊥SC
C.∠ASB=∠BSC=∠CSA
D. SA ⊥BC
(二)填空题:
13.如图,C 为平面PAB 外一点,∠APB=90o,∠CPA=∠CPB=60o,且PA=PB=PC=1,
则C 到平面PAB 的距离为 .
14.在空间四边形ABCD 中,如果AB ⊥CD,BC ⊥AD,那么对角线AC 与BD 的位
置关系是 .
15.两条直线a 、b 在同一个平面上的射影可能是 .
(三)解答题:
16.证明直线与平面平行的判定定理.
;
17.从平面外一点P 向平面引垂线PO 和斜线PA,PB.
(1)如果PA=8cm,PB=5cm,它们在平面内的射影长OA:OB=4:3,求点P 到平面的距离;
(2)如果PO=k,PA 、PB 与平面都成30o角,且∠A PB=90o,求AB 的长;
(3)如果PO=k,∠OPA=∠OPB=∠A PB=60o,求AB 的长.
(
18.一个正三角形的边长为a,三角形所在平面外有一点P .
(1)P 到三角形三顶点的距离都是3
32a,求这点到三角形各顶点连线与三角形所在平面成的角的大小以及这点到三角形所在平面的距离;
(2)P 到三角形三条边的距离都是6
6a,求这点到三角形各边所作垂线与三角形所在平面成的角的大小以及这点到三角形所在平面的距离.
19.已知直角△ABC 在平面α上, D 是斜边AB 的中点, DE ⊥α,且DE=12cm,AC=8cm,BC=6cm,求EA,EB,EC 的长.
《
20.如图,平面α∩β=CD,EA ⊥α,EB ⊥β,且A ∈α,B ∈β.
求证:(1)CD ⊥平面EAB;(2)CD ⊥直线AB.
21.已知PO ⊥平面ABO,PB ⊥AB,又知∠PAB=α,∠PAO=β,∠OAB=γ.
求证:cosα=cosβcosγ.
¥
22. 已知正方体ABCD-A1B1C1D1.
(1)求直线DA1与AC1的夹角;
(2)求证:AC1⊥平面A1BD.
>
(
平面和平面的位置关系
一、高考要求:
1.掌握平面和平面的位置关系.
2.了解平面与平面的判定与性质,理解二面角概念,掌握平面与平面垂直的判定与性质.
二、知识要点:
1.平面和平面有以下两种位置关系:(1)平行:没有公共点;(2)相交:有一条公共直
线.
2.平面与平面平行的判定:如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平
面,那么这两个平面互相平行.
)
用符号语言表述为:如果a∩b≠Φ, a?α,b?α,且a∥β,b∥β,那么α∥β.
平面与平面平行的性质:如果两个平行平面同时与第三个平面相交,则它们的交
线平行.
用符号语言表述为:如果α∥β,γ∩α=a,γ∩β=b,那么a∥b.
3.二面角:由一条直线引两个半平面所组成的图形称为二面角,这条直线称为二面
角的棱,构成二面角的两个半平面称为二面角的面.在二面角的棱上任取一点,
过这点在二面角的两个半平面内分别作棱的垂线,这两条垂线相交所成的角称
为二面角的平面角.二面角的大小可用它的平面角来度量.平面角是直角的二面
角叫做直二面角.
4.平面与平面垂直的判定:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直.
用符号语言表述为:如果直线AB?平面α,AB⊥β,垂足为B,那么α⊥β.
平面与平面垂直的性质:如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直
于它们交线的直线垂直于另一个平面.
用符号语言表述为:如果α⊥β, α∩β=CD,AB?α, AB⊥CD,B为垂足,那么AB⊥β.
三、典型例题:
例1:试证明:如果两个平面垂直,那么在一个平面内,垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.
`
例2:已知二面角α- -β的平面角是锐角θ,若点C∈α,C到β的距离为3,C到棱AB的距离为4,试求sin2θ的值.
例3:已知平面β⊥平面α,平面γ⊥平面α,且平面β∩平面γ=a,求证:a⊥α.
四、归纳小结:
1.在平面与平面的位置关系中,注意掌握通过“线面(或线线)平行”去判定“面面平行”,反过来由“面面平行”去判定“线线平行”;通过“线线垂直”去判定“线面垂直”,反过来由“线面垂直”去判定“线线垂直”.
2.二面角θ满足0o≤θ≤180o.求二面角的大小分两步:(1)找出二面角的平面角;(2)在三角形中求解平面角.
}
五、基础知识训练:
(一)选择题:
1.设a、b、c表示直线,α、β、γ表示平面,下面四个命题中,;
①若a⊥c, b⊥c,则a∥b ②若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β
③若a ⊥c, b ⊥α,则a ∥α ④若a ⊥α, a ⊥β,则α∥β
A.①和②
B.③和④
C.②
D.④
2. 如图,木工师傅在检查工件相邻的两个面是否垂直时,常用曲尺的一边紧靠在
工件的一个面上,另一边在工件的另一个面上转动一下,观察尺边是否和这个
面密合就可以了.这种检查方法的依据是( )
A.平面的基本性质
B.三垂线定理
C.平面和平面垂直的判定定理
D.直线和平面垂直的判定定理
3. 已知直线 ⊥平面α,直线m ?平面β,有下面四个命题:
,
①α∥β? ⊥m;② ∥m ?α⊥β;③α∥β? ∥m;④ ⊥m ?α∥β.其中正确的两个命题是
( )
A.①与②
B.③与④
C.②与④
D.①与③
4. 如果直线 ,m 与平面α、β、γ满足: =β∩γ, ∥α,m ?α和m ⊥γ,那么必有( )
A.α⊥γ且 ⊥m
B.α⊥γ且m ∥β
C. m ∥β且 ⊥m
D.α∥β且α⊥γ
5. 对于平面α、β和直线 、m,则α⊥β的一个充分条件是( )
A. ⊥m, ∥α,m ∥β
B. ⊥m,α∩β= ,m ?α
C. ∥m, m ⊥β, ?α
D. ∥m, ⊥α,m ⊥β
6. 若异面直线a 、b, a ?α, b ?β,则平面α、β的位置关系一定是( )
A.平行
B.相交
C.平行或相交
D.平行或相交或重合
7. 下列命题中,正确的是( )
&
(1)平行于同一直线的两平面平行 (2)平行于同一平面的两平面平行
(3)垂直于同一直线的两平面平行 (4)垂直于同一平面的两平面平行
A.(1)(2)
B.(2) (3)
C.(3)(4)
D.(2)(3)(4)
8. 过平面外一点P ,
(1)存在无数个平面与平面α平行 (2)存在无数个平面与平面α垂直
(3)存在无数条直线与平面α垂直 (4)只存在一条直线与平面α平行
其中正确的有( )
个 个 个 个
9. 设正方形ABCD 的边长为64,PA ⊥平面AC,若PA=12,则二面角P-BD-C 的大小为( )
A.
3π B.4π C.2π D.32π |
(二)填空题:
10. 已知二面角是60o,在它的内部有一点到这个二面角的两个半平面的垂线段长都是a,则两个垂足间的距离是 .
11. 在二面角的一个面内有一个已知点A,它到棱的距离是它到另一个面的距离的2倍,则这个二面角的度数是 .
12. 有如下几个命题:①平面α与平面β垂直的充分必要条件是α内有一条直线与β垂直; ②平面α与平面β平行的一个必要而不充分的条件是α内有无数条直线与β平行; ③直线a 与平面β平行的一个充分而不必要的条件是β内有一条直线与直线a 平行. 其中正确命题的序号是 .
13. 设m 、 为直线,α、
β为平面,给出下列命题: ① 垂直于α内的两条相交直线,则 ⊥α;②若m ∥α,则m 平行于α内的所有直线;③若 ⊥α,α∥β,则 ⊥β;④若m ?α, ?β,且 ⊥m ,则α⊥β;⑤若m ?α, ?β,且α∥β,则m ∥ .其中正确的命题是(只写序号) .
14. 已知直线 和平面α、β,给出三个论断:① ⊥α,② ∥β,③α⊥β,以其中的二个论断作为条件,余下的一个作为结论,写出你认为正确的一个命题 .
15. α、β是两个不同的平面,m 、n 是平面α及β之外的两条不同直线,给出四个论断: ①m ⊥n ;②α⊥β;③n ⊥β;④m ⊥α,以其中三个论断作为条件,余下一个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题: .
16. 、
17. 设X,Y ,Z 是空间不同的直线或平面,对下面四种情形,使“X ⊥Z 且Y ⊥Z ?X ∥Y”为真命题的是 .
①X,Y ,Z 是直线; ②X,Y 是直线,Z 是平面; ③X,Y 是平面,Z 是直线; ④X,Y ,Z 是平面. 设两个平面α、β相交于m,且直线a ∥α,a ∥β则直线a 与m 的关系是 .
18. 如图,直线AC 、DF 被三个平行平面α、β、γ所截,AC=15cm,DE=5cm,AB:BC=1:3,则AB 的长是 ,EF 的长是 .
19. 二面角α- -β的度数为θ(0≤θ≤2
),在α面内有△ABC, △ABC 在β内的正射影为△A′B′C′, △ABC 的面积为S,则△A′B′C′的面积S′= .
(三)解答题:
20. 已知一个二面角是60o,在它的内部一点到这个二面角的两个半平面的距离都是3,求两个垂足间的距离.
21. 已知:在60o二面角的棱上,有两个点A 、B ,AC 、BD 分别在这个二面角的两个面内,且垂直于线段AB,且AB=4cm,AC=6cm,BD=8cm,求CD 的长.
翻折问题
|
一、高考要求:
掌握立体几何中图形翻折问题的解法.
二、知识要点:
解决翻折问题要求:①根据题意作出折叠前、后的图形; ②分析折叠前、后边、角及其之间的关系哪些发生变化,哪些未发生变化;③寻找解决问题的方法并正确解答问题.
三、典型例题:
例1:已知△ABC中,AB=AC=2,且∠A=90o(如图(1)所示),以BC边上的高
AD为折痕使∠BDC=90o.(如图(2)所示)
①求∠BAC;
②求点C到平面ABD的距离;
③求平面ABD与平面ABC所成的二面角的正切值.
!
例2:已知等腰梯形ABCD,AB∥CD,上底=4,下底=6,高=3,沿它的对角线AC折成60o的二面角,求B、D两点之间的距离.
…
四、归纳小结:
1.折叠前一般是平面图形,用平面几何知识解答即可,折叠后是立体图形,要用立体几何知识解答;
2.未发生变化的量可在折叠前的图形中解答,发生变化的量在折叠后的图形中解答.
五、基础知识训练:
(一)选择题:
1.以等腰直角△ABC斜边BC上的高AD为折痕,折叠时使二面角B-AD-C为90o,此时∠BAC为( )
o o o o
2. 把边长为a 的正△ABC 沿高AD 折成60o的二面角,则点A 到BC 的距离是( )
A.a
B.a 26
C.a 33
D.a 4
15 3. 已知边长为a 的菱形ABCD,∠A=60o,将菱形沿对角线BD 折成120o的二面角,则AC 的长为
( )
A.a 22
B.a 23
C.a 2
3 D.a 2 (二)填空题:
4. E 、F 分别是正方形ABCD 的边AB 和CD 的中点,EF 交BD 于O,以EF 为棱将正方形折成直二面角,则∠BOD= .
5. 如图,ABCD 是正方形,E 是AB 的中点,如将△DAE 和
△CBE 分别沿虚线DE 和CE 折起,使AE 与BE 重合,
记A 与B 重合后的点为P ,则面PCD 与面ECD 所成
的二面角为 度.
(三)解答题:
6. 一个直角三角形的两条直角边各长a 与b,沿其斜边上的高h 折成直二面角,试求此时a 与b 两边夹角α的余弦.
7. 把长宽各为4与3的长方形ABCD 沿对角线AC 折成直二面角,试求顶点B 与D 的距离.
8. 已知等腰梯形ABCD,AB ∥CD,上底=4,下底=6,高=3,沿它的对角线AC 折成90o的二面角,求
B 、D 两点之间的距离.
空间图形性质的应用
一、高考要求:
掌握空间图形的性质在测量和实际问题中的应用.
二、知识要点:
1.空间图形的性质在测量中的应用;
2.空间图形的性质在实际问题中的应用.
三、典型例题:
例1:如图,道路 旁有一条河,对岸有一铁塔CD高a米,如果你手中只有测角器和皮尺(刻度米尺),不渡河能否测量出塔顶C与道路的距离.请说出你的测量方法,并求出该距离.
例2:斜坡平面α与水平平面β相交于坡脚 ,且成30o的二面角,在平面α内沿一条与 垂直的小路上坡,每前进100米升高多少米如果沿一条与坡脚 成45o角的小路上坡,仍升高这么高,前进了多少米
四、归纳小结:
空间图形的性质在测量和实际问题中的应用,重点在于理解题意,画好能正确表示题意的图形,并运用空间图形的性质解题.
五、基础知识训练:
(一)填空题:
1.正方体的棱长为a,有一小虫,在正方体的表面上从顶点A爬到顶点
C′,则小虫爬行的最短距离是.
2.在一长方体形的木块的面A1C1上,有一点P,过点P在平面A1C1内画
一条直线和CP垂直.
(二)解答题:
3.如图,所测物体BB′垂直于水平面α于点B′,底端B′不能到达.在α内取一点
A,测得∠BAB′=θ1,引基线AC,使∠B′AC=θ2,在AC上取一点D,使BD⊥AC,又测
得AD=a,求物体BB′的高度.
高三第一次月考数学卷 (时间120分钟,满分120分) 一、选择题(本大题有15个小题,每小题3分,共45分) 1.下列说法正确的是( ) A.平面和平面只有一个公共点 B.两两相交的三条直线共面 C.不共面的四点中,任何三点不共线 D.有三个公共点的两平面必重合 2.在空间,下列命题中正确的是( ) A.对边相等的四边形一定是平面图形 B.四边相等的四边形一定是平面图形 C.有一组对边平行的四边形一定是平面图形 D.有一组对角相等的四边形一定是平面图形 3.过空间一点作三条直线,则这三条直线确定的平面个数是( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.1个或3个 4.下列命题中,结论正确的个数是( ) (1)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等; (2)如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成锐角或直角相等; (3)如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直,那么这两个角相等或互补; (4)如果两条直线同平行于第三条直线,那么这两条直线互相平行. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5.下列关于异面直线的叙述错误的个数是( ) (1)不同在任何一个平面内的两条直线是异面直线; (2)既不平行也不相交的两条直线是异面直线; (3)连结平面内一点与平面外一点的直线和这个平面内不经过该点的任意直线是异面直线; (4)分别和两条异面直线同时相交的两条直线一定是异面直线. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 6.设a、b、c为空间三条直线, a∥b, a、c异面,则b与c的位置关系是( ) A.异面 B.相交 C.不相交 D.相交或异面
课题8.2.2直线的倾斜角与斜率课型新授第几 课时 1 课 时 教 学 目 标(三维) 教学重点与 难点 1.掌握直线的倾斜角的概念,知道直线的倾斜角的范围. 2.理解直线的斜率,掌握过两点的直线的斜率公式,了解倾斜角与斜率之间的关系. 3.让学生从学习中体会到用代数方法解决几何问题的优点,能够从不同角度去分析问题,体会代数与几何结合的数学魅力. 教学重点: 直线的倾斜角和斜率. 教学难点: 直线的斜率 教学这节课主要采用讲练结合的教学法.本节首先通过观察同一坐标系中的两条直线引入了直 方法线倾斜角的定义,在明确了倾斜角范围后,定义了直线的斜率,最后讨论了直线斜率与直线上与两个不同点坐标之间的关系.直线的倾斜角和斜率是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的,手段是研究两条直线位置关系的重要依据,要引导学生正确理解概念. 使 用 教 材 的 构 想
α y ☆补充设计☆ 教师行为 学生行为 设计意图 导入; 教师提出问题,学生讨论回 引入本节 1.由一点能确定一条直线吗? 2.观察并回答问题: y A 答. 课题. 由直观图 形引入问题,激 发学生学习兴 师:从图中可以看出,直线 趣. B C 1 AC 比直线 AB 更陡一些.在数学 -1 O 1 x 中,我们用倾斜角和斜率来衡量 在图中,直线 AB ,AC 都经过哪一点? 直线相对于 x 轴的倾斜程度. 它们相对于 x 轴的倾斜程度相同吗? 新课: 1.直线倾斜角的定义 一般地,平面直角坐标系内,直线向 上的方向与 x 轴正方向所成的最小正角α叫 做这条直线的倾斜角. y l α x O 特别地,当直线与 y 轴垂直时,规定 这条直线的倾斜角为 0?. 2.倾斜角的范围 0?≤ <180?. 3.直线斜率的定义 倾斜角不是 90?的直线,它的倾斜角的 教师对定义进行三方面的诠 释: (1)直线向上的方向; (2)x 轴的正方向; (3)最小的正角. 学生结合图形理解倾斜角的 概念. 教师强调与 y 轴垂直的直线 (包括 x 轴)的倾斜角. 教师强调倾斜角是 90?的直 明确直线 倾斜角的定义. 倾斜角与 正切值叫做这条直线的斜率,通常用 k 表 线的斜率不存在.应当使学生明 斜率的关系. 示,即 k =tan α. 练习一 已知直线的倾斜角,求对应的斜率 k : (1)α=0?; (2)α=30?; (3)α=135?;(4)α=120?. 探究一 (1)由不同的两点 P 1(x 1, 1)和 P 2(x 2, y 2)能否确定一条直线? 确所有的直线都有倾斜角,但与 x 轴垂直的直线的斜率不存在. 学生练习,教师巡视点评. 教师指明,当倾斜角是锐角 时,斜率 k 为正值;当倾斜角是 钝角时,斜率 k 为负值. 教师投影探究问题,学生分 使学生通 过练习感悟倾 斜角的变化对 斜率的影响.
第7章立体几何习题 练习9.1.1 1、判断题,下列语句说法正确的打“√”,错误的打“Χ” (1)一个平面长是4cm ,宽是2cm ( ); (2)10个平面重叠在一起比5个平面重叠在一起要厚( ); (3)一个平面将空间分成两部分( )。 2、选择题(每题只有一个正确答案) (1)以下命题中,正确的个数是( ) ①平面是没有边界且光滑的图形,②四条线段首首尾连接,所得图形一定是平面图形,③画两个相交平面时,一定要画出交线。 A .0 B .1 C .2 D .3 (2)下列说法中,正确的是( ) A .教室里的黑板面就是平面 B .过一条直线的平面只有1个 C .一条线段在一个平面内,这条线段的延长线可以不在这个平面内 D .平面是没有厚薄之分的 3、如图,在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,请表示出该图形的6个平面(要求用各面的四个顶点来表示) 参考答案: 1、(1)Χ(2)Χ(3)√ 2、(1)C (2)D 3、平面ABCD ,平面A 1B 1C 1D 1,平面ADD 1 A 1,平面BCC 1 B 1,平面ABB 1 A 1,平面D CC 1D 1 练习9.1.2 1、选择题(每题只有一个正确答案) (1)下列说法中有错误的是( ) ①三个点可以确定一个平面,②若两个平面有一个公共点,则它们有无数多个公共点,③空间任意两条直线可以确定一个平面,④直线与直线外一点可以确定一个平面。 A .①② B .①③ C .②④ D .③④ (2)下列图形中不一定是平面图形的是( ) A .三角形 B .平行四边形 C .四条线段首尾连接而成的四边形 D .梯形 (3)用符号表示语句“直线a ,b 相交于平面α内一点M ”,正确的是( ) A .,,a b M a b αα=??B .,a b M M α=∈ C .,,a b M a b ααα=∈ D .,,,M M a b a b ααα∈∈ 2、用符号表示下列语句 (1)点A 在直线a 上,直线a 在平面α内 (2)平面β过直线b 及b 外一点M ,点N 在平面β外,直线c 过点M ,N 3、如图所示,对于长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1,回答下列问题。 (1)直线AC 是否在平面ABCD 内? (2)四点A 、A 1、C 、C 1是否在同一平面内?
江苏省洪泽中等专业学校数学单元试卷(立体几何) 时间120分钟 满分150分 一.选择题(每题5分,共50分) 1、一条直线和直线外两点可确定平面的个数是( ) A 、1 B 、2 C 、3 D 、1或2 2、若直线L ⊥平面a ,直线m ?a ,则L 与的关系是( )。 A 、L ⊥m B 、L ∥m C 、L 与m 异面 D 、无法确地 3、如果空间中两条直线互相垂直,那么它们( ) A 、一定相交 B 、是异面直线 C 、是共面直线 D 、一定不平行 4、.棱长都是1的三棱锥的表面积为( ) A. 3 B. 23 C. 33 D.4 3 5、两个球的表面积之比为1:4,则它们的体积之比是( )。 A 、1:64 B 、1:16 C 、1:8 D 、1:32 6、正方体的全面积是18,则正方体的体积是( )。 A 、9 3 B 、9 C 、33 D 、27 7、正方体1111ABCD A B C D -中,上底面对角线11A C 与侧面对角线1B C 所成的角为( )。 A 、30° B 、45° C 、60° D 、90° 8、圆锥的轴截面是一个等腰直角三角形,母线长为2,则它的侧面积为( )。 A 、4π B 、22π C 、4 2 π D 、8π 9、长方体1111ABCD A B C D -中,AB=3,BC=3,AA 1=4,则二面角D 1-AB-D 的余弦值是( )。 A 、53 B 、54 C 、22 D 、4 3 10、正三棱锥中,底面边长为33,侧棱长为5,则它的高为是( )。 A 3 B 、4 C 、26 D 、23 二、填空题(每题5分,共30分)
平面的基本性质 一、高考要求: 理解平面的基本性质. 二、知识要点: 1.平面的表示方法:平面是无限延展的,是没有边界的.通常用平行四边形表示平面,平面一般用希腊字母α、β、γ、…来命名,还可以用表示平行四边形的对角顶点的字母来命名. 2.平面的基本性质: (1)如果一条直线上的两点在一个平面,那么这条直线上的所有点都在这个平面.这时我们说,直线在平面或平面经过直线.用符号语言表示为:如果A∈a,B∈a,且A∈α,B∈α,则a?α. (2)经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面.也可简单地说成,不共线的三点确定一个平面.它有三个推论: 推论1:经过一条直线和直线外的一点,有且只有一个平面; 推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面; 推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面. (3)如果两个平面有一个公共点,那么它们就有另外的公共点,并且这些公共点的集合是经过这个点的一条直线.这时我们称这两个平面相交. 用符号语言表示为:如果A∈α,A∈β,则α∩β=λ,且A∈λ. 3.有关概念:如果空间的几个点或几条直线都在同一平面,那么我们就说它们共面;如果构成图形的所有点都在同一平面,则这类图形叫做平面图形;如果构成图形的点不全在同一平面,则这类图形叫做立体图形.直线和平面都是空间的子集,直线又是平面的子集. 三、典型例题: 例1:已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD各边AB、AD、BC、CD上的点,且EF与GH相交于点P.求证:点B、D、P在同一直线上. 证明: ∵E∈AB, F∈AD又AB∩AD=A ∴E、F∈平面ABD ∴EF?平面ABD 同理GH?平面CBD ∵EF与GH相交于点P ∴P∈平面ABD,P∈平面CBD, 又平面ABD∩平面ABD=BD ∴P∈BD即点B、D、P在同一直线上. 例2:如图,已知直线a∥b,直线m与a、b分别交于点A、B, 求证:a、b、m三条直线在同一平面. 证明:∵a∥b ∴a、b可以确定一个平面α. ∵m∩α=A,m∩β=B, ∴A∈α,B∈α又A∈m,B∈m
动物科技学院数学课程技术理论教学教案
(2)错误表示法:{实数集};{全体实数} 例3 用描述法表示下列集合 (1)不等式2x+1《=0的解集 (2)所有奇数组成的集合 (3)由第一象限内所有的点组成的集合 3、文氏图:用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法。 注:何时用列举法?何时用描述法? (1) 有些集合的公共属性不明显,难以概括,不便用描述法表示,只能用列举法。 如:集合{1000以内的质数} (2) 有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来,或者不便于、不需要一一列举出来,常 用描述法。 如:集合}1|),{(2+=x y y x ;集合{1000以内的质数} 五、集合与集合的关系 1. 元素与集合之间的关系是什么? 元素与集合是从属关系,即对一个元素x 是某集合A 中的元素时,它们的关系为x ∈A .若一个对象x 不是某集合A 中的元素时,它们的关系为x A . 2. 集合有哪些表示方法? 列举法,描述法,Venn 图法. 数与数之间存在着大小关系,那么,两个集合之间是不是也存在着类似的关系呢?先看下面两个集合:A ={1,2,3},B ={1,2,3,4,5}.它们之间有什么关系呢? 两集合相等:如果集合A 中的每一个元素都是集合B 中的元素,即A B ,反过来,集合B 的每 一个元素也都是集合A 中的元素,即B 》A ,那么就说集合A 等于集合B ,记作A =B . 3. 子集、真子集的有关性质 由子集、真子集的定义可推知: (1)对于集合A ,B ,C ,如果A B ,B C ,那么A C . (2)对于集合A ,B ,C ,如果A B ,B C ,那么A C . (3)A A .
【课题】6.1 数列的概念 【教学目标】 知识目标: (1)了解数列的有关概念; (2)掌握数列的通项(一般项)和通项公式. 能力目标: 通过实例引出数列的定义,培养学生的观察能力和归纳能力. 【教学重点】 利用数列的通项公式写出数列中的任意一项并且能判断一个数是否为数列中的一项.【教学难点】 根据数列的前若干项写出它的一个通项公式. 【教学设计】 通过几个实例讲解数列及其有关概念:项、首项、项数、有穷数列和无穷数列.讲解数列的通项(一般项)和通项公式. 从几个具体实例入手,引出数列的定义.数列是按照一定次序排成的一列数.学生往往不易理解什么是“一定次序”.实际上,不论能否表述出来,只要写出来,就等于给出了“次序”,比如我们随便写出的两列数:2,1,15,3,243,23与1,15,23,2,243,3,就都是按照“一定次序”排成的一列数,因此它们就都是数列,但它们的排列“次序”不一样,因此是不同的数列. 例1和例3是基本题目,前者是利用通项公式写出数列中的项;后者是利用通项公式判断一个数是否为数列中的项,是通项公式的逆向应用. 例2是巩固性题目,指导学生分析完成.要列出项数与该项的对应关系,不能泛泛而谈,采用对应表的方法比较直观,降低了难度,学生容易接受. 【教学备品】 教学课件. 【课时安排】 2课时.(90分钟) 【教学过程】 教学过程教师 行为 学生 行为 教学 意图 时 间 *揭示课题 6.1 数列的概念. *创设情境兴趣导入 介绍了解0
教学过程教师 行为 学生 行为 教学 意图 时 间 将正整数从小到大排成一列数为 1,2,3,4,5,….(1 ) 将2的正整数指数幂从小到大排成一列数为 2345 2,2,2,2,2,.(2 )当n从小到大依次取正整数时,cosπ n的值排成一列数为 -1,1,-1,1,….(3 )取无理数π的近似值(四舍五入法),依照有效数字的个数,排成一列数为 3,3.1,3.14,3.141,3.1416,….(4)播放 课件 质疑 引导 分析 观看 课件 思考 自我 分析 从实 例出 发使 学生 自然 的走 向知 识点 5 *动脑思考探索新知 【新知识】 象上面的实例那样,按照一定的次序排成的一列数叫做数列.数列中的每一个数叫做数列的项.从开始的项起,按照自左至右的排序,各项按照其位置依次叫做这个数列的第1项(或首项),第2项,第3项,…,第n项,…,其中反映各项在数列中位置的数字1,2,3,…,n,分别叫做对应的项的项数.只有有限项的数列叫做有穷数列,有无限多项的数列叫做无穷数列. 【小提示】 数列的“项”与这一项的“项数”是两个不同的概念.如数列(2)中,第3项为32,这一项的项数为3. 【想一想】 上面的4个数列中,哪些是有穷数列,哪些是无穷数列? 总结 归纳 仔细 思考 理解 带领 学生 分析
§6.1 数列的概念 【教学目标】 知识目标: (1)了解数列的有关概念; (2)掌握数列的通项(一般项)和通项公式. 能力目标: 通过实例引出数列的定义,培养学生的观察能力和归纳能力. 【教学重点】 利用数列的通项公式写出数列中的任意一项并且能判断一个数是否为数列中的一项.【教学难点】 根据数列的前若干项写出它的一个通项公式. 【教学设计】 通过几个实例讲解数列及其有关概念:项、首项、项数、有穷数列和无穷数列.讲解数列的通项(一般项)和通项公式. 从几个具体实例入手,引出数列的定义.数列是按照一定次序排成的一列数.学生往往不易理解什么是“一定次序”.实际上,不论能否表述出来,只要写出来,就等于给出了“次 序”,比如我们随便写出的两列数:2,1,15,3,243,23与1,15,23,2,243,3,就 都是按照“一定次序”排成的一列数,因此它们就都是数列,但它们的排列“次序”不一样, 因此是不同的数列. 【教学过程】 *揭示课题6.1 数列的概念. *创设情境兴趣导入 将正整数从小到大排成一列数为1,2,3,4,5,….(1 ) 2,2,2,2,2, .(2 )将2的正整数指数幂从小到大排成一列数为2345 当n从小到大依次取正整数时,cosπ n的值排成一列数为 -1,1,-1,1,….(3 )取无理数π的近似值(四舍五入法),依照有效数字的个数,排成一列数为 3,3.1,3.14,3.141,3.1416,….(4) *动脑思考探索新知 【新知识】按照一定的次序排成的一列数叫做数列.数列中的每一个数叫做数列的项.从开始的项起,按照自左至右的排序,各项按照其位置依次叫做这个数列的第1项(或首项),第2项,第3项,…,第n 项,…,其中反映各项在数列中位置的数字1,2,3,…,n,分别叫做对应的项的项数.
平面的基本性质 一、高考要求: 理解平面的基本性质、 二、知识要点: 1、平面的表示方法:平面就是无限延展的,就是没有边界的、通常用平行四边形表示平面,平面一般用希腊字母α、β、γ、…来命名,还可以用表示平行四边形的对角顶点的字母来命名、 2、平面的基本性质: (1)如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有 点都在这个平面内、这时我们说,直线在平面内或平面经过直线、用 符号语言表示为:如果A∈a,B∈a,且A∈α,B∈α,则a?α、 (2)经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面、也可简单 地说成,不共线的三点确定一个平面、它有三个推论: 推论1:经过一条直线与直线外的一点,有且只有一个平面; 推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面; 推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面、 (3)如果两个平面有一个公共点,那么它们就有另外的公共点,并且 这些公共点的集合就是经过这个点的一条直线、这时我们称这两个平 面相交、用符号语言表示为:如果A∈α,A∈β,则α∩β=λ,且A∈λ、 3、有关概念:如果空间内的几个点或几条直线都在同一平面内,那么我们就说它们共面;如果构成图形的所有点都在同一平面内,则这类图形叫做平面图形;如果构成图形的点不全在同一平面内,则这类图形叫做立体图形、直线与平面都就是空间的子集,直线又就是平面的子集、 三、典型例题: 例1:已知E、F、G、H分别就是空间四边形ABCD各边AB、AD、BC、CD上的点,且EF与GH 相交于点P、求证:点B、D、P在同一直线上、 证明: ∵E∈AB, F∈AD又AB∩AD=A ∴E、F∈平面ABD ∴EF?平面ABD 同理GH?平面CBD ∵EF与GH相交于点P ∴P∈平面ABD,P∈平面CBD, 又平面ABD∩平面ABD=BD ∴P∈BD即点B、D、P在同一直线上、 例2:如图,已知直线a∥b,直线m与a、b分别交于点A、B, 求证:a、b、m三条直线在同一平面内、
数学教学大纲 一、课程性质与任务 数学是研究空间形式和数量关系的科学,是科学和技术的基础,是人类文化的重要组成部分。 数学课程是中等职业学校学生必修的一门公共基础课。本课程的任务是:使学生掌握必要的数学基础知识,具备必需的相关技能与能力,为学习专业知识、掌握职业技能、继续学习和终身发展奠定基础。 二、课程教学目标 1. 在九年义务教育基础上,使学生进一步学习并掌握职业岗位和生活中所必要的数学基础知识。 2. 培养学生的计算技能、计算工具使用技能和数据处理技能,培养学生的观察能力、空间想象能力、分析与解决问题能力和数学思维能力。 3. 引导学生逐步养成良好的学习习惯、实践意识、创新意识和实事求是的科学态度,提高学生就业能力与创业能力。 三、教学内容结构 本课程的教学内容由基础模块构成。 1. 基础模块是各专业学生必修的基础性内容和应达到的基本要求。
2.基础模块分上下两册,分两学年学习,每学年128课时。 四、教学内容与要求 (一)本大纲教学要求用语的表述 1. 认知要求(分为三个层次) 了解:初步知道知识的含义及其简单应用。 理解:懂得知识的概念和规律(定义、定理、法则等)以及与其他相关知识的联系。掌握:能够应用知识的概念、定义、定理、法则去解决一些问题。 2. 技能与能力培养要求(分为三项技能与四项能力) 计算技能:根据法则、公式,或按照一定的操作步骤,正确地进行运算求解。 计算工具使用技能:正确使用科学型计算器及常用的数学工具软件。 数据处理技能:按要求对数据(数据表格)进行处理并提取有关信息。 观察能力:根据数据趋势,数量关系或图形、图示,描述其规律。 空间想象能力:依据文字、语言描述,或较简单的几何体及其组合,想象相应的空间图形;能够在基本图形中找出基本元素及其位置关系,或根据条件画出图形。 分析与解决问题能力:能对工作和生活中的简单数学相关问题,作出分析并运用适当的数学方法予以解决。
课 题:集合-集合的概念(1) 教学目的: (1)使学生初步理解集合的概念,知道常用数集的概念及记法 (2)使学生初步了解“属于”关系的意义 (3)使学生初步了解有限集、无限集、空集的意义 教学重点:集合的基本概念及表示方法 教学难点:运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法,正确表示一些简单的集合 课时安排:5课时 教学过程: 一、复习引入: 1.简介数集的发展,复习最大公约数和最小公倍数,质数与和数; 2.教材中的章头引言; 3.集合论的创始人——康托尔(德国数学家) 4.“物以类聚”,“人以群分”; 5.教材中例子 二、讲解新课: 阅读教材第一部分,问题如下: (1)有那些概念?是如何定义的? (2)有那些符号?是如何表示的? (3)集合中元素的特性是什么? (一)集合的有关概念: 由一些数、一些点、一些图形、一些整式、一些物体、一些人组成的.我们说,每 一组对象的全体形成一个集合,或者说,某些指定的对象集在一起就成为一个集合, 也简称集.集合中的每个对象叫做这个集合的元素. 定义:一般地,某些指定的对象集在一起就成为一个集合. 1、集合的概念 (1)集合:某些指定的对象集在一起就形成一个集合(简称集) (2)元素:集合中每个对象叫做这个集合的元素 2、常用数集及记法 (1)非负整数集(自然数集):全体非负整数的集合记作N ,{} ,2,1,0=N (2)正整数集:非负整数集内排除0的集记作N *或N + ,{ } ,3,2,1*=N (3)整数集:全体整数的集合记作Z , {} ,,,210±±=Z (4)有理数集:全体有理数的集合记作Q , {} 整数与分数=Q (5)实数集:全体实数的集合记作R , {} 数数轴上所有点所对应的=R 注:(1)自然数集与非负整数集是相同的,也就是说,自然数集包括数0 (2)非负整数集内排除0的集记作N *或N + Q 、Z 、R 等其它数集内排除0的集, 也是这样表示,例如,整数集内排除0的集,表示成Z * 3、元素对于集合的隶属关系 (1)属于:如果a 是集合A 的元素,就说a 属于A ,记作a ∈A (2)不属于:如果a 不是集合A 的元素,就说a 不属于A ,记作A a ? 4、集合中元素的特性 (1)确定性:按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里,或者不在,不能模棱两可
第7章 立体几何习题 练习9.1.1 1、判断题,下列语句说法正确的打“√”,错误的打“Χ” (1)一个平面长是4cm ,宽是2cm ( ); (2)10个平面重叠在一起比5个平面重叠在一起要厚( ); (3)一个平面将空间分成两部分( )。 2、选择题(每题只有一个正确答案) (1)以下命题中,正确的个数是( ) ①平面是没有边界且光滑的图形,②四条线段首首尾连接,所得图形一定是平面图形,③画两个相交平面时,一定要画出交线。 A .0 B .1 C .2 D .3 (2)下列说法中,正确的是( ) A .教室里的黑板面就是平面 B .过一条直线的平面只有1个 C .一条线段在一个平面内,这条线段的延长线可以不在这个平面内 D .平面是没有厚薄之分的 3、如图,在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,请表示出该图形的6个平面(要求用各面的四个顶点来表示) 参考答案: 1、(1)Χ(2)Χ(3)√ 2、(1)C (2)D 3、平面ABCD ,平面A 1B 1C 1D 1,平面ADD 1 A 1,平面BCC 1 B 1,平面ABB 1 A 1,平面D CC 1D 1 练习9.1.2 1、选择题(每题只有一个正确答案) (1)下列说法中有错误的是( ) ①三个点可以确定一个平面,②若两个平面有一个公共点,则它们有无数多个公共点,③空间任意两条直线可以确定一个平面,④直线与直线外一点可以确定一个平面。 A .①② B .①③ C .②④ D .③④ (2)下列图形中不一定是平面图形的是( ) A .三角形 B .平行四边形 C .四条线段首尾连接而成的四边形 D .梯形 (3)用符号表示语句“直线a ,b 相交于平面α内一点M ”,正确的是( ) A .,,a b M a b αα=?? B .,a b M M α=∈ C .,,a b M a b ααα=∈刎 D .,,,M M a b a b ααα∈∈刎 2、用符号表示下列语句 (1)点A 在直线a 上,直线a 在平面α内 (2)平面β过直线b 及b 外一点M ,点N 在平面β外,直线c 过点M ,N
9.1平面的基本性质 ㈠点、直线、平面之间平面的位置关系 1 立体几何中图形语言、文字语言和符号语言的转化 A∈a B a A∈α Bα aα bα 直线 直线 平面 ★2 平面的基本性质 公理一:如果一条直线上有两点在一个平面内,那么直线在平面内。 公理二:不共线的三点确定一个平面。 推论一:直线与直线外一点确定一个平面。 推论二:两条相交直线确定一个平面。 推论三:两条平行直线确定一个平面。 公理三:如果两个平面有一个公共点,那么它们还有公共点,这些公共点的集合是一条直线(两个平面的交线)。
9.2 空间图形的位置关系 1 空间直线的位置关系(相交、平行、异面) 1.1 平行线的传递公理:平行于同一直线的两条直线相互平行。 即:a ∥b ,b ∥c a ∥c 1.2 等角定理:如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补。 1.3 异面直线 ⑴ 定义:不在任何一个平面内的两条直线称为异面直线。 ⑵ 判定定理:连平面内的一点与平面外一点的直线与这个平面内不过此点的直线为异面直线。 1.4 异面直线所成的角 ⑴ 异面直线成角的范围:(0°,90°]. ⑵ 作异面直线成角的方法:平移法。 注意:找异面直线所成角时,经常把一条异面直线平移到另一条异面直线的特殊点(如中点、端点等),形成异面直线所成的角。 2 直线与平面的位置关系(直线在平面内、相交、平行) 9.3直线与平面的位置关系 1 线面平行 1.1 线面平行的定义:平面外的直线与平面无公共点,则称为直线和平面平行。 1.2 判定定理: 1.3 性质定理: 1 线面垂直 1.1 线面垂直的定义:若一条直线垂直于平面内的任意一条直线,则这条直线垂直于平面。 1.2 线面垂直的判定定理: 图2-2 直线与平面的位置关系
x x 职业技术教育中心 教案
复习引入: 新授: 1. 平面及其表示 常见的平面形象大都是矩形状的,当我们从适当的角度和距离去观察这些平面时,感到它们与平行四边形是一致的,因此,通常画一个平行四边形来 表示平面.图5-27(1)表示平放的平面,图5-27(2) 表示 竖直的平面.请注意它们画法之间的区别. 如果要画相交的两个平面,可以按图5-28所示的步 骤进行. 一个平面通常用小写希腊字母 α、β、γ、…表示,写在表示平面的平行四边形某一个顶角内部,记作“平面 α”、“平面β”,…,或用表示平面的平行四边形对角的两个大写英文字母标明,记作“平面AC ”或“平面BD ”,当然也可记作平面 ABCD (如图5-27).应该注意,正像平面几何中直线是可以无限延伸一样,平面也是可以无限延展的,也就是说,它是没有边界的,我们用平行四边形仅仅表示了平面的一部分. 空间图形也可看作是空间点的集合,因此点、线、面的关系可用集合的关系来表示: ①点A 在直线l 上,记作A ∈l ,点A 不在直线l 上,记作A ?l ; ②点A 在平面α内,记作A ∈α,点A 不在平面α内,记作A ?α; ③直线l 在平面α内,记作l ?α; ④直线l 与直线m 交于点N ,记作l ?m ={N },直线l 与直线m 没有交点,记作l ?m =?; ⑤直线l 与平面α交于点N ,记作l ?α={N },直线l 与平面α没有交点,记作l ?α=?; ⑥平面α与平面β交于直线l ,记作α?β=l ,平面α与平面β不相交,记作α?β=?. 在以后的学习中,我们将经常用到这些记号. 课内练习1 1. 能不能说一个平面长2米,宽1米,为什么? 2. 画一个平行四边形表示平面,并分别用希腊字母和大写英文字母表示这个平面. 3. 分别用大写字母表示图示长方体的六个面所在的平面. 4. 用符号表示下列点、线、面间的关系: (1)点A 在平面α内,但在平面β外; (2)直线l 经过平面α外的一点N ; (3)直线l 与直线m 相交于平面α内的一点N ; (4)直线l 经过平面α内的两点M 和N . 5. 下面的写法对不对,为什么? (1)点A 在平面α内,记作A ?α; (2)直线l 在平面α内,记作l ∈α; (3)平面α与平面β相交,记作α?β; (4)直线l 与平面α相交,记作l ?α≠?. 2. 平面的基本性质 基本性质: 图5-28 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 (第3题图) 图5-27(2) β D A B C D 图5-27(1) A D B C α
动物科技学院数学课程技术理论教学教案 NO: 1 【学情分析】 【本节教学内容目标要求】 教学内容: 1 、集合的概念 2 、集合的表示方法 3 、集合与集合的表示方法目标要求: 知识目标:(1)理解集合、元素及其关系; (2)掌握集合的列举法与描述法,会用适当的方法表示集合. 能力目标:通过集合语言的学习与运用,培养学生的数学思维能力? 教学重点:集合的表示法. 教学难点:集合表示法的选择与规范书写 【主要能力点与知识点应达到的目标水平】 在目标水平的具体要求上打V 【教学过程组织】 一、导入新课: 1、复习初中接触过的常见数集、不等式组的解集、一元二次方程的根。 2、班级里共有25个人,这25个人组成一个集合 3、讲桌上有书、粉笔、粉笔盒组成一个集合
二、知识讲解 集合的概念:有某些确定的对象组成的整体叫做集合,简称集。组成集合的对象叫做集合的元素。集合一般有大写字母来表示,元素用小写字母来表示。 集合的性质:1、确定性 2、无序性 3、互异性 集合与元素的关系: A是集合A的元素,就是a属于A记作a € A.如果a不属于A就说a€ A 例1 下列对象能否组成集合 1、所有小于10的自然数 2、某班个子高的同学 3、方程x2-1=0的所有解 4、不等式x-2 > 0的所有解 数集的概念:由数组成的集合 解集:由方程的接组成的集合 特定的数集: 有限集:集合中含有限个元素无限集:集合中含无限个元素 三、实训演练 2、下列各组对象能确定一个集合吗? (1)所有很大的实数。(不确定) (2)好心的人。(不确定) (3)1, 2, 2, 3, 4, 5.(有重复) 四、集合的表示方法 1、列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合的方法。 例如,由方程x2-1=0的所有解组成的集合,可以表示为{-1,1} 注:(1)有些集合亦可如下表示:从51到100的所有整数组成的集合:{51 , 52, 53 , (100) 所有正奇数组成的集合:{1 , 3, 5, 7,…} (2) a与{a}不同:a表示一个元素,{a}表示一个集合,该集合只有一个元素。 例2用列举法表示下列集合 (1)大于-4且小于12的所有偶数组成的集合 (2)方程x2-5x-6=0组成的集合 2、描述法:用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合,并把这个条件写在大括号内表示集合的方法。 格式:{x € A| P (x) } 含义:在集合A中满足条件P (x)的x的集合。 例如,不等式x-2 >0的解集可以表示为:{x| x>2}
中职数学《立体几何》单元检测 一.选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 1、直线L 与平面α内的两条直线垂直,那么L 与平面α的位置关系是 ( ) A 、平行 B 、L ?α C 、垂直 D 、不确定 2、如果直线a ⊥b ,且a ⊥平面α,则 ( ) A 、b//平面α B 、b ?α C 、b ⊥平面α D 、b//平面α或b ?α 3、已知,b ,,a b a b a ααα ?? P 直线和平面, 若,那么( ) A 、b ?α B 、 b ⊥平面α C 、b//平面α D 、不确定 4、圆柱的轴截面面积为4,则它的侧面积为 ( ) A .π34 B .π2 C .π4 D .π8 5.长方体1111D C B A ABCD -中,直线AC 与平面1111D C B A 的关系( ) A.平行 B.相交 C.垂直 D.无法确定 6、下列命题正确的是( ) A 、空间任意三点确定一个平面; B 、两条垂直直线确定一个平面; C 、一条直线和一点确定一个平面; D 、两条平行线确定一个平面 7、在一个二面角的一个面内有一点,它到棱的距离等于它到另一面的距离的233 倍, 那么这个二面角的度数是 ( ) A 、30o B 、45o C 、60o D 、90o 8、空间四面体A-BCD, AC=BD,E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点,则四边形EFGH 是 ( ) A 、平行四边形 B 、矩形 C 、菱形 D 、正方形 9、如图,是一个正方体,则∠ B 1AC= ( ) A 、30o B 、45o C 、60o D 、75o 10、如果平面的一条斜线段长是它在这平面上射影的3倍, 那么这条斜线与平面所成角的正切值为( ) A.2 B .2 C . D .22 第5题 第9题
§ 6 . 1数列的概念 【教学目标】 知识目标: (1 )了解数列的有关概念; (2 )掌握数列的通项(一般项)和通项公式. 能力目标: 通过实例引出数列的定义,培养学生的观察能力和归纳能力. 【教学重点】 利用数列的通项公式写出数列中的任意一项并且能判断一个数是否为数列中的一项. 【教学难点】 根据数列的前若干项写出它的一个通项公式. 【教学设计】 通过几个实例讲解数列及其有关概念:项、首项、项数、有穷数列和无穷数列?讲解数列的通项(一般项)和通项公式. 从几个具体实例入手,引出数列的定义?数列是按照一定次序排成的一列数?学生往往不 易理解什么是“一定次序” ?实际上,不论能否表述出来,只要写出来,就等于给出了“次序”,比如我们随便写出的两列数:2, 1 , 15, 3, 243 , 23与1 ,15 , 23 , 2, 243 , 3 , 就都是按照“一定次序”排成的一列数,因此它们就都是数列,但它们的排列“次序”不一 样,因此是不同的数列. 【教学过程】 创设情境兴趣导入 将正整数从小到大排成一列数为 1 , 2 , 3, 4, 5,….(1 )
将2的正整数指数幕从小到大排成一列数为2,22,23,24,25,川. (2 ) 当n从小到大依次取正整数时,cos n二的值排成一列数为-1 , 1 , -1 , 1,….(3 ) 取无理数二的近似值(四舍五入法),依照有效数字的个数,排成一列数为 3,3.1,3.14,3.141,3.1416, (4) *动脑思考探索新知 【新知识】按照一定的次序排成的一列数叫做数列.数列中的每一个数叫做数列的项.从开始的项起,按照自左至右的排序,各项按照其位置依次叫做这个数列的第1项(或首项),第2项,第3项,…,第n 项,…,其中反映各项在数列中位置的数字1, 2, 3,…,n,分别叫做对应的项的项数. 只有有限项的数列叫做有穷数列,有无限多项的数列叫做无穷数列. 【新知识】 由于从数列的第一项开始,各项的项数依次与正整数相对应,所以无穷数列的一般形式可以写作 a1,a2,a3,|l(,a n,(. (n ? N) 简记作{a n}.其中,下角码中的数为项数,a1表示第1项,a2表示第2项,….当n由小至大依次取正整 数值时,a n依次可以表示数列中的各项,因此,通常把第n项a.叫做数列{a.}的通项或一般项. *运用知识强化练习 1?说出生活中的一个数列实例. 2. 数列1,2,3,4,5”与数列“,4,3,2,1 ”是否为同一个数列? 3. 设数列{a n}为-'5,-3,-1,1,3, 5,…”,指出其中a3、a6各是什么数? *创设情境兴趣导入 【观察】
练习1 姓名:得分: 一、选择题: 1、直线L与平面α内的两条直线垂直,那么L与平面α的位置关系是() A、平行 B、L?α C、垂直 D、不确定 2、如果直线a⊥b,且a⊥平面α,则() A、b//平面α B、b?α C、b⊥平面α D、b//平面α或b?α 3、空间同垂直于一条直线的两条直线的位置关系() A、一定是异面直线 B、不可能平行 C、不可能相交 D、异面、共面都有可能 4、一个正三棱锥的底面边长为6,侧棱长为√15,这个三棱锥的体积是() A、9 B、9/2 C、27/2 D、9√3/2 5、若直线L上有两点到平面α的距离相等且L?α,则直线L与α的位置关系为() A、平行 B、相交 C、平行与相交 D、不能确定 6、如图,是一个正方体,则∠ B1AC= () A、30o B、45o C、60o D、75o 7、如图是一个棱长为1的正方体,则A1B与B1C所成的角为() A、30o B、45o C、60o D、75o 8、空间四面体A-BCD,AC=BD,E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点,则四边形EFGH是() A、平行四边形 B、矩形 C、菱形 D、正方形 二、填空题 9、共点的三条线段OA,OB,OC两两垂直,则OA与BC的位置关系是。
10、如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=a,BB1=BC=b,则CD1与BB1所成角的余弦值是;BC1与A1C所成的角的度数是。 三、解答题 11.如图,在直角三角形ABC中,∠ACB=90o,AC=BC=1,若PA⊥平面ABC,且PA=√2,(1)证明BC⊥PC (2)求直线BP与平面PAC所成的角。 12、四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2a的菱形,∠BAD=60o,侧棱PA⊥平面ABCD 且PA=√3a,求: (1)二面角P-BD-A的大小。 (2)点A到平面PBD的距离。
《数学》教学大纲 课程编号:课程类型:基础课 课程名称:数学英文名称: Mathematics 学分: 3 适用专业:中专各专业 第一部分大纲说明 一、课程的性质、目的和任务 《中专数学》是中等职业教育的一门必修的基础课程,是学生提高文化素质和学习有关专业知识、专门技术的重要基础。本课程包括函数、解析几何及平面向量等部分知识本课程教学大纲的制定是以中等职业教育的培养目标、教学计划为依据,遵循“必需、够用”为度的原则,适应于中专类专业对本课程的要求,是提高学生素质的一个重要途径。 二、课程的基本要求 中专数学是专科各专业一门重要的基础理论课,它的主要内容为代数和解析几何。通 过这门课程的学习,要使学生系统地获得数学的基本知识,掌握常用的运算方法,具备一 定的数学解题能力、逻辑推理能力,以及运用数学方法分析、解决实际问题的能力,为学 习后续课程和进一步扩大数学知识奠定必要的数学基础。 三、本课程与相关课程的联系 本课程本学期一共有五章,主要内容有:数列、平面向量、直线与圆的方程、立体几何、概率统计。学习本课程的考生应该具备初中数学及物理的知识基础。通过本课程的学习,将为各个专业的基础课和专业课奠定必要的数学基础 四、学时分配 教学内容与学时安排 序号章目名称学时 分配 1 数列9 2 平面向量9 3 直线与圆的方程14 4 立体几何8 5 概率统计8 五、教材与参考书 教材:
《数学》主编:马复王巧林江苏教育出版社 六、教学方法与手段建议 教学方法主要以讲授为主 七、课程考核方式与成绩评定办法 该课程考核方式:考试(闭卷) 课程成绩评定办法:平时分占30% 卷面分70% 第二部分课程内容大纲 (1)数列 1、教学内容 数列、等差数列、等比数列、数列的实际应用。 2、教学要求 (1)理解数列的有关概念和几种简单的表示方法(列表法、图像法、解析法)。 (2)理解等差数列的定义、等差数列的通项公式及前n项和公式,会求数列的等差中项。 (3)理解等比数列的定义、等比数列的通项公式及前n项和公式,会求数列的等比中项。 (4)通过实例,了解数列在实际生活和生产方面的应用,并能利用数列的有关知识解决实际问题。 (5)通过建立数列模型以及应用数列模型解决实际问题的过程,培养学生分析、解决问题的能力,提高学生的基本数学素养,为后续的学习奠定良好的数学基础。 3、重点与难点 教学重点:数列的概念和数列的表示法,等差数列、等比数列的概念及通项公式和前n 项和公式。 教学难点:等差数列、等比数列的概念及通项公式和前n项和公式,建立数学模型并应用数列模型解决生活中的实际问题。 。 (2)平面向量 1、教学内容 平面向量的概念、平面向量的加减法、数乘向量、平面向量的坐标表示、平面向量的
§4.3指数函数教学设计 一、教材内容分析 本小节是学习了函数概念和基本性质的基础上,由整数指数幂扩充到实数指数幂,先由幂函数的学习再引入指数函数的学习,而指数函数是本章的重要内容。学生在初中已经初步探讨了正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等简单的函数,对函数有了一定的感性认识,初步了解了函数的意义。本节通过学习研究指数函数的概念、性质,帮助学生进一步认识函数,熟悉函数的思想方法,并初步培养学生的函数应用意识。 二、设计思想 新课程的数学教学提倡学生动手实践,自主探索,合作交流,深刻地理解基本结论的本质,体验数学发现和创造的历程,力求对现实世界蕴涵的一些数学模式进行思考,作出判断;同时要求教师从知识的传授者向课堂的设计者、组织者、引导者、合作者转化,从课堂的执行者向实施者、探究开发者转化。本课尽力追求新课程要求,利用师生的互动合作,提高学生的数学思维能力,发展学生的数学应用意识和创新意识,深刻地体会数学思想方法及数学的应用,激发学生探究数学、应用数学知识的潜能。 三、教学方法 “授人以鱼,不如授人以渔”。在教学过程中,不但要传授学生课本知识,还要培养学生动手操作、主动观察、主动思考、自我发现、合作交流等学习能力,增强学生的综合素质,从而达到教学的终极目标。教学中,教师创设疑问,学生想办法解决疑问,通过教师的启发与点拨,在积极的双边活动中,学生找到了解决疑问的方法,找准解决问题的关键。 这节课主要采用的教学方法是:发现法、探究法、讨论法. 四、教学目标 1、知识与能力目标: ①理解指数函数的概念,能根据定义判断一个函数是否为指数函数; ②理解指数函数的图像和性质,能根据图像归纳出指数函数的性质; ③掌握指数函数性质的简单应用。 2、方法与过程目标: 通过生活中的实例引出指数函数的定义,培养学生观察分析抽象概括能力;通过学生自己画图提炼函数性质,培养了学生的动手能力、归纳总结等系统的逻辑思维能力和简约直观的思维方法和良好的思维品质。 3、情感、态度价值观目标: 通过作图,教师有意识地向学生渗透抽象与具体、联系与转化、特殊与一般、个性与共性等辩证唯物主义的观点和方法,并注意通过设问、追问、反问、分组讨论等主动参与教学的活动,培养学生的自尊、自强、自信、自主等良好的心理潜能和主人翁意识和集体主义精神。 五、教学重点与难点 教学重点:指数函数的图像与性质。 教学难点:指数函数性质的应用。