2019版3年高考2年模拟专题攻略高考文科数学二轮复习课标版中档解答题规范练(四)
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中档解答题规范练(四)
解答题
1.在三棱锥P－ABE中,PA⊥底面ABE,AB⊥AE,AB=AP=12AE=2,D是AE的中点,C是线段BE上的一点,且AC=√5,连接PC,PD,CD.
(1)求证:CD∥平面PAB;
(2)求点E到平面PCD的距离.
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2.某校高一年级共有1 000名学生,其中男生400名,女生600名,该校组织了一次口语模拟考试(满分为100分).为研究这次口语考试成绩为高分是否与性别有关,现按性别采用分层抽样法抽取100名学生的成绩,按从低到高分成[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]七组,并绘制成如图所示的频率分布直方图.已知[40,50)的频率等于[80,90)的频率,[80,90)的频率与[90,100]的频率之比为3∶2,成绩高于80分的为“高分”.
(1)估计该校高一年级学生在口语考试中,成绩为“高分”的人数;
(2)请你根据已知条件将下列2×2列联表补充完整,并判断是否有99.9%的把握认为“该校高一年级学生在本次口语考试中成绩及格(60分以上(含60分)为及格)与性别有关”?
口语成绩及格 口语成绩不及格 合计
男生 a=18 b=
女生 c= d=
合计 n=100
附临界值表:
P(K2≥k0) 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001
k0 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
K2=𝑛(𝑎𝑑－𝑏𝑐)2(𝑎+𝑏)(𝑐+𝑑)(𝑎+𝑐)(𝑏+𝑑). 2019版《3年高考2年模拟》（二轮）专有资源
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3.选做题(二选一)
(Ⅰ)选修4—4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程是{𝑥=2+4𝑡,𝑦=1－𝑡(t为参数).以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,圆C以极坐标系中的点(2,π3)为圆心,3为半径.
(1)求圆C的极坐标方程;
(2)判断直线l与圆C之间的位置关系.
(Ⅱ)选修4—5:不等式选讲
已知函数f(x)=|x+a|+|x－2|.
(1)当a=0时,解不等式f(x)≤3;
(2)若关于x的不等式f(x)≥|x－3|在R上恒成立,求实数a的取值范围.
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答案精解精析
解答题
1.解析 (1)证明:因为12AE=2,所以AE=4.
又AB=2,AB⊥AE,
所以在Rt△ABE中,由勾股定理,
得BE=√𝐴𝐵2+A𝐸2=√22+42=2√5.
因为AC=√5=12BE,
所以AC是Rt△ABE的斜边BE上的中线.
所以C是BE的中点.
又因为D是AE的中点,
所以CD是Rt△ABE的中位线,
所以CD∥AB.
又因为CD⊄平面PAB,AB⊂平面PAB,
所以CD∥平面PAB.
(2)由(1)得CD=12AB=1.
又因为DE=12AE=2,DE⊥CD,
所以S△CDE=12CD·DE=12×1×2=1.
又因为AP=2,
所以V三棱锥P－CDE=13S△CDE·AP=13×1×2=23.
易知PD=2√2,且PD⊥CD,
所以S△CDP=12CD·PD=12×1×2√2=√2.
设点E到平面PCD的距离为d, 2019版《3年高考2年模拟》（二轮）专有资源
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则由V三棱锥P－CDE=V三棱锥E－PCD,
得13S△CDP·d=23,
即13×√2×d=23,
解得d=√2,即点E到平面PCD的距离为√2.
2.解析 (1)设[80,90)的频率为3x,
则[40,50)的频率为3x,[90,100]的频率为2x.
则10×(0.002+0.016+0.026+0.024)+3x+3x+2x=1,解得x=0.04.
故[80,90)的频率为0.12,[90,100]的频率为0.08.
故估计该校高一年级学生在口语考试中,成绩为“高分”的频率为0.12+0.08=0.20.
故估计该校高一年级学生在口语考试中,成绩为“高分”的人数为1 000×0.20=200.
(2)根据已知条件得列联表如下:
口语成绩及格 口语成绩不及格 合计
男生 a=18 b=22 40
女生 c=52 d=8 60
合计 70 30 n=100
因为K2=100×(18×8－22×52)240×60×70×30≈19.841>10.828,
所以有99.9%的把握认为“该校高一年级学生在本次口语考试中成绩及格与性别有关”.
3.解析 (Ⅰ)(1)极坐标(2,π3)化为直角坐标是(1,√3),
故以点(1,√3)为圆心,3为半径的圆C的直角坐标方程是(x－1)2+(y－√3)2=32.
将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入上式,
可得圆C的极坐标方程是ρ2－2ρcos θ－2√3ρsin θ－5=0. 2019版《3年高考2年模拟》（二轮）专有资源
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(2)由{𝑥=2+4𝑡,𝑦=1－𝑡得𝑥－24=1－y,得x+4y－6=0,故直线l的直角坐标方程为x+4y－6=0.
因为圆心C(1,√3)到直线l:x+4y－6=0的距离
d=|1+4√3－6|√17=|4√3－5|√17<3=r,
所以直线l与圆C相交.
(Ⅱ)(1)当a=0时, f(x)=|x|+|x－2|.
f(x)≤3即|x|+|x－2|≤3.
当x≤0时,－x－x+2≤3,所以－12≤x≤0;
当0 当x>2时,x+x－2≤3,所以2 综上,当a=0时,不等式f(x)≤3的解集为{𝑥|－12≤x≤52}. (2)由f(x)≥|x－3|,得|x+a|≥|x－3|－|x－2|. 令g(x)=|x－3|－|x－2|={ 1,𝑥≤2,5－2𝑥,2<𝑥<3,－1,𝑥≥3. 作出g(x)的图象如图所示. 由题意知g(x)的图象恒在y=|x+a|的图象的下方. 由图可知,当y=|x+a|的图象经过点(2,1)时,解得a=－3或a=－1. 当a=－1时,y=|x+a|的图象经过点(1,0),显然不成立; 当a=－3时,y=|x+a|的图象经过点(3,0),成立, 所以a≤－3,即实数a的取值范围为(－∞,－3].
