简谐振动旋转矢量法PPT课件

３、由分振动曲线求合振动
;
51
例：两同方向、同频率谐振动合成，
x1 4 cos 3t
求：合成谐振动方程
x2 2 cos( 3t / 3)
解：合成后不变， x A cos(3t )
A
A12
A
2 2
2 A1 A2
cos( 2
1 )
42 22 2 4 2 cos( / 3 0) 2 7
tg
A1 A1
sin 1 cos 1
A2 A2
sin 2 cos 2
4 4
sin cos
0 0
2 sin 2 cos
/3 /3
3 5
A M
A v t M 0
2. M 点的运动速度
ox P x
v A
在 x 轴上投影速度
v A sin( t )
;
31
3. M 点的加速度
a A2
在x轴上投影加速度
a A2 cos(t )
y
aM
A M A2 t 0
ox P x
结论：
M点运动在x轴投影，为谐振动的运动方程。
M点速度在x轴投影，为谐振动的速度。
x0 / A
x0
;
10
五、相位差
1.相位差和初相差 相位差---相位之差 对两同频率的简谐振动，相位差等于初相差
= (t + 2) - (t + 1)
= 2 - 1
2.同相和反相
当 = 2k， ( k = 0,1,2,…)，两振动步调相同，
称同相
;
11
当 = (2k+1)， ( k= 0,1,2,…)，两振动步调
2
a A 2cos t π

§ 8.3 旋转矢量法一、旋转矢量1 矢量的模等于简谐振动的振幅A长度 = A ；2 矢量绕O 点作逆时针方向匀速转动，其角速度的大小等于简谐振动的角频率以ω为角速度绕o 点逆时针旋转；3 在t = 0时，矢量A 和x 轴的夹角为ϕ ，在任意时刻t ，它与x 轴的夹角为ωt +ϕ ，矢量A 的矢端M 在x 轴上的投影点P 的坐标为 矢量端点在x 轴上的投影做简谐振动例 已知简谐振动，A =4 cm ，ν = 0.5 Hz ，t =1s 时x =-2cm 且向x 正向运动。

写出此简谐振动的表达式。

解：由题意，T = 2 s由图， ϕ = π/3，当旋转矢量A 旋转一周，投影点P 作一次完全的振动 ，旋转矢量A 的端点在x轴上的投影点P 的运动为简谐振动例8-4 一物体沿x 轴作简谐振动，振幅为0.24m ，周期为2s 。

当t = 0时，x 0= 0.12m ，且向x 轴正方向运动。

试求（1）振动方程（2）从且向x 轴负方向运动这一状态，回到平衡位置所需的时间。

已知：0.24m =A s 2=T 0.12m 0=x 00>v ∴x = 4cos(πt + ) cmπ 3t = 1s x()ϕω+=t A x cos求：解：（1）简谐振动的角频率t = 0时旋转矢量的位置如图所示振动方程为（2）令φ < 0这一状态对应的时刻为 t 1；回到平衡位置的时刻为 t 2。

t 1和t 2时刻的旋转矢量位置，如图所示例8-5 两个同方向(沿x 轴方向)、同频率的简谐振动，其频率都是2s-1。

当第一个振子从平衡位置向正方向运动0.05s 后，第二个振子正处于正方向的端点。

求这两个简谐振动的相位差。

已知：求：当第一个振子从平衡位置向正方向运动时，其旋转矢量A 1的位置如图所示经过0.05s 后，旋转矢量A 1转过一角度？）（ =t x （1） ？=∆t （2） 2π2πrad πrad 2ω T ===π3ϕ=-π0.24cos(π )m 3x t =- ()21ππ5π326t t ω-=+=215π6Δs 0.833s πt t t =-==-1212s ==νν10100,0x υ=>0.05s =∆t A x =2？=∆ϕ解： 简谐振动的角频率4π0.050.2πω t =⨯=此时，第二个振子刚好处在正方向端点，其旋转矢量A 2由图可见，两振子的相位差为第二个振子比第一个振子的相位超前二、相位差1 相位差和初相差相位差(phase difference)---相位之差。

动的叠加-----------谐波分析
•
2、非周期：利用傅立叶积分作谐波分析
• δ函数又称为单位脉冲函数-----它的性质、应用
示成一系列简谐振
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第一节：简谐振动及其表示方法
•一、简谐振动的表示方法
• （一）正弦函数表示
2、A、ω、Φ ------简谐振动三要素
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船舶的模态分析和强度分析，飞行器的结构振动和声疲劳分析等。
3） 在土木建筑、地质工程中：建筑、桥梁等结构物的模态分析，地震
引起结构物的动态响应，爆破技术的研究等。
4） 在医学、生物工程中：脑电波、心电波、脉搏波动等的信号处理等。
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2途径：
1）从具体的工程对象提炼出力学模型 2）建立数学模型------应用力学知识建立所研究问题的数学模型 3）对数学模型进行分析和计算，求出请确、近似或数值解。 4） 比较------将计算结果与工程问题的实际现象或实验研究的测试结果进行 比较，考察理论结果是否解决该工程问题，如不能解决而数学模型及求解均无错 误，则需要修改力学模型重复上述过程。
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5 随机振动
20世纪50年代，航空和航天工程的发展对振动力学提出了更高 的要求，确定性的力学模型无法处理包含随机因素的工程问题----如大气湍流引起的飞机颤振、喷气噪音导致飞行器表面结构 的声疲劳、火箭运载工具有效负荷的可靠性等。工程的需要迫使 人们用概率统计的方法研究承受非确定性载荷的机械系统和结构 的响应、稳定性和可靠性等， 从而 形成了随机振动这一振动力 学的重要组成部分。 在工程问题中振动信号的采集和处理是随机振动理论应用的前提， 由于计算机的迅速发展和快速第1傅0页/立共35叶页 变换算法的出现，随机振动

0.0707 m
v0 0 arctan （ ）= arctan （ 1 ） x0
3 0 或 4 4

由旋转矢量
运动方程
0

0.05
4
O
x
x 0.0707 cos(6.0t 天下事有难易乎,为之,则难者亦易
矣;不为,则易者亦难

4
)m
13
或

3
x 0.12 cos( t ) m 3
天下事有难易乎,为之,则难者亦易 矣;不为,则易者亦难 9

(2)与解析法同
(3)
x = -0.06m

x = -0.06m时 旋转矢量 O
x
第一次回到平衡 位置时旋转矢量
5 3 2 6
5 5 6 t 0.83 s 6 天下事有难易乎,为之,则难者亦易
矣;不为,则易者亦难


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例3、一弹簧振子 k 0.72N/m, m 20g (1)将物体从平衡位置向右拉到 x=0.05m 处释放,求谐振 动方程. (2)求物体第一次经过A/2 处时速度大小。 (3)如果物体在x=0.05m处速度大小为 v 0.30m/s ,且向 正方向运动,求运动方程。 解：(1)
天下事有难易乎,为之,则难者亦易 矣;不为,则易者亦难 1
说明：
1、旋转矢量的方向:
逆时针方向
2、旋转矢量 A 和谐振动 x A cos(t 0 ) 的对应关系
A 的长度 A 旋转的角速度 A 与参考方向x 的夹角
振幅A 角频率ω
振动相位ωt+φ0
2
天下事有难易乎,为之,则难者亦易 矣;不为,则易者亦难