一种滑动轴承非线性油膜力变分近似计算方法

第２３卷第２期
摩擦学学报
ｖ。１ ２３，Ｎ。２
２００３年３月ＴＲＩＢＯＬＯＧＹ
Ｍａｒｃｈ。２００３
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一种滑动轴承非线性油膜力变分近似计算方法
孟志强，张功学，朱均，袁小阳
（西安交通大学润滑理论及轴承研究所，陕西西安７１００４９）
摘要：基于变分原理，在”油膜假设条件下，利用无限长轴承的压力解，给出了滑动轴承非线性油膜力的近似表达式， 同时在实际轴承参数条件下，对比分析了计算结果及数值解，发现该计算结果具有较高精度． 关键词：非线性油膜力｝变分原理｝滑动轴承 中圉分类号：ＴＨｌ３３．３ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００４—０５９５（２００３）０２—０１４１—０４
在滑动轴承一转子系统非线性动力学研究中，非 线性油膜力的建模是基础环节．数值算法［“２３的精度 较非线性油膜力数据库法［３“１的高，但二者各自存在 其局限性．目前非线性转子动力学研究中大都采用” 油膜假设下无限短Ｉｓ，６］或无限长轴承［７３的非线性油膜 力模型．Ｚｈａｎｇ等”３改进了”油膜假设，给出了１种 无限短轴承非线性油膜力表达式，但在实际轴承参数 下，使用简化的短轴承和长轴承会导致计算结果误差 增大，所以其仅适用于定性研究．早期有关学者把 Ｇａｌｅｒｋｉｎ法或变分原理应用于轴承静态油膜力近似 计算口““，获得了较好的效果．就非线性油膜力而 言，由于Ｒｅｙｎｏｌｄｓ方程中出现了瞬态项，其边界条件 及解的形式都有很大变化，因此其求解过程较静态情 况下的复杂得多；而目前国内外针对变分近似法在非 线性油膜力的解析或半解析近似解法中的应用研究 还不多见． 本文在”油膜假设基础上，取长轴承解作为轴承 的压力表达式的周向分布函数，利用变分原理求出有 限长轴承非线性油膜力的近似表达式，并与数值解进 行对比，以验证其精度．
中：Ｐ为油膜压力，ｅ、口分别为偏心率和偏位角，Ｈ为 油膜厚度，Ｈ一１＋Ｅｃｏｓ但为了表达方便，将式（１）写
成： Ｌ（Ｐ）＝厂
（２）
其中，Ｌ（Ｐ）＝一；（Ｈ３蓑）一（缶）。矗（Ⅳ３詈），
，一３￡（１—２口’）ｓｉｎ尹６ｅ’ｃｏｓＴ．
设Ｈ１（ｎ）是Ｓｏｂｌｅｖ空间，Ｂ（“，口）是Ｈ１（ｎ）× Ｈ１（０）上强制对称连续双线性泛函：
Ｂ（ｕ，ｖ）＝Ⅱ∥３［面。ｕ面ａｖ十ｔ面Ｌ）２豢卦ｏ，
Ｖ“，口∈一Ｈ１（ｎ）．
（３）
，ｏ）是Ｈ１（ｎ）上线性连续泛函： ，（口）一ＪＪ ｆｖｄｎ，Ｖ Ｆ∈日１６０）． 检验函数集Ｋ是Ｈ１（ｎ）中非空闭凸集． 定义二次泛函： Ｊｏ）一÷Ｂｏ，口）－－ｆ（ｖ）．
（５） “）
根据润滑力学第一变分原理ｍ］，满足式（１）的解Ｐ也 满足泛函极值问题（求ＰＥ足），则：
，（Ｐ）。∈ｒ＝ｍｉｎｄ（ｖ）． （６）
１变分原理应用
以非定常工况Ｒｅｙｎｏｌｄｓ方程为数学模型计算非 线性油膜力，其无量纲形式为：
反之，若Ｐ是式（６）的解，且ＰＥ－Ｃ２（０），则Ｐ也可以 是式（１）的解，Ｃ２（０）表示定义在０上二阶连续可导 函数的全体． 在实际轴承中，油膜不能承受负压，当压力低于 某临界值Ｐ。时，油膜会破裂，即式（１）在ｎ上仅部分
（１）
Ｈ３薏川呈，２矗ｃＨ３蔷，一
一３￡（１－－２＃’）ｓｉｎ升６ｅ
７
ｃｏｓＴ．
成立，为此需对上述变分原理进行修正． 为推导方便，我们采用”油膜假设，即认为油膜
方程定义于平面（ｐ，＾）内有界区域Ｄ，边界为ｒ．式
基金项目ｔ国家自然科学基金重大项目资助（１９９９０５１０）．
收稿日期ｌ ２００２—０４—２９｝体回日期；２００２—０７一ｚ＇ｔ／联系人盂志强．ｅ＿ｍａｉｌｌ ｑｊｍｅｎｇ＠ｍａｉｌ．ｘｉｔｕ 作者简介：盂志强，男，１９７０年生，博士生，主要从事摩擦学、润蒲理论及转于动力学研究．
ｅｄｕ．ｃｎ．
万 方数据

摩擦学学报
第２３卷
压力只存在于油膜收敛区，则变分式（６）仅在ｏ≤《＂
范围内成立．
舢）＝ｎｉＢ以料譬（鼽垂铲）２
叭Ｐ）一Ａ（２）２≮堂＋蒯卅ｃ砘（１１）
２有限长轴承非线性油膜力变分近似解法
与有限元法类似，我们可以通过构造１个定义在 ”上的试验函数来逼近式（１）的解．为了实现求解，选 取合适的试验函数非常关键，试验函数选取适当，就 容易得到较好结果． 采用无限长轴承压力解作为试验函数的周向分 布，忽略宽度方向压力流，保留油膜压力周向分布的 全部特征，用长轴承模型可以求出符合Ｒｅｙｎｏｌｄｓ边 界条件的解，而这种处理方法难以用于无限短轴承． 我们重点讨论变分近似解法，为推导方便，仍采用” 油膜假设． 对于式（１），若Ｌ》Ｄ，则＾方向压力梯度可忽略， 方程变为常微分方程：
堂旱笋～Ｂ【Ｌ）。［。（＾）一１］一ｏ． （Ⅲ７ ｄｒ Ａ）２１ Ｄ
、７
ＬｗＶＶ
１Ｊ”’
未（日ｓ警）＝一３ｅ（１—２０’）ｓｉｎ升６￡’ｃ。ｓ弘（７）
应用Ｓｏｍｍｅｒｆｅｌｄ变换ｒ”］，对式（７）积分并引入边 界条件可得：
砌一１豢．㈣３ｃｈ／２
∞（＾）＝一——等—等＿一．
ｒ詈（等）ｔ］
（１）
尸。＿３（１—２０’）杀渺｛２ｔｇ“［（幕）１／ｚｔｇ詈］ 一ｅ（１－ｄ∥２ｒ嚣‰卜６ ｉ丽１丽‘
［止铲讹’法筹］・
！堡－！丛！二￡２：７ １（！±塑塑业、
。
（（２ｗ）ｔｇ－１［（需）ｌ，２ｔｓ詈ｎｅ等鬈挚
肛ｓｆｚ蝶黪］．
（８）
｛（１＿２０’，弭蒜习＋老筹譬器｝（１ｓ）
粕ｅ。（再—言丽。３南・
Ⅱ及一１≤Ａ≤１内，Ｐ应满足式（６）．
２（１－＋－ｓｃｏｓ§ｖ）２
假定试验函数Ｐ—Ｐ。ｍ（Ａ），其中“（＾）是关于Ａ
的未知函数．采用ｚ油膜假定，在有界区域Ｄ：ｏ≤《
阽＋甏嚣辨］． ７’弭寂三≯＋揣…－－一ｓ２）｝（１６）
｛（１—２０
３计算结果验证
以Ｐ）＿Ｌｄａ小等Ⅳ∽（警）２
＋（尝）２ｐ ｚ（垫竽）２］＋，Ｐ“川如
令： （９）
Ａ—ｊ。Ｈ３ｐ一２慨
Ｂ—ｐ（篙）２ｄｒ，
ｃ一』：，尸如
式（９）可以变为：
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