2015届高三物理暑期微训练《“等时圆”模型》

1等时圆模型一、何谓“等时圆”例：如图1所示，ad 、bd 、cd 是竖直面内三根固定的光滑细杆，a 、b 、c 、d 位于同一圆周上，a 点为圆周的最高点，d 点为最低点。

每根杆上都套有一个小滑环（图中未画出），三个滑环分别从a 、b 、c 处释放（初速为0），用t 1、t 2、t 3依次表示各滑环到达d 所用的时间，则（ ） A.t 1<t 2<t 3 B.t 1>t 2>t 3 C .t 3>t 1>t 2 D.t 1=t 2=t 3解析：选任一杆上的环为研究对象，受力分析并建立坐标如图所示，设圆半径为R ，由牛顿第二定律得，ma mg =θcos ①再由几何关系，细杆长度θcos 2R L = ②设下滑时间为t ，则221at L = ③由以上三式得，gRt 2= 可见下滑时间与细杆倾角无关，所以D 正确。

由此题我们可以得出一个结论。

结论：物体沿着位于同一竖直圆上的所有光滑弦由静止下滑，到达圆周最低点的时间相等。

推论：若将图1倒置成图2的形式，同样可以证明物体从最高点由静止开始沿不同的光滑细杆到圆周上各点所用的时间相等。

像这样的竖直圆我们简称为“等时圆”。

关于它在解题中的应用，我们看下面的例子：二、“等时圆”的应用1、 可直接观察出的“等时圆”例1：如图3，通过空间任一点A 可作无限多个斜面，若将若干个小物体从点A 分别沿这些倾角各不相同的光滑斜面同时滑下，那么在同一时刻这些小物体所在位置所构成的面是（ ） A.球面 B.抛物面 C.水平面 D.无法确定 答案：A例2：如图4，位于竖直平面内的固定光滑圆轨道与水平面相切于M 点，与竖直墙相切于点A ，竖直墙上另一点B 与M 的连线和水平面的夹角为600，C 是圆环轨道的圆心，D 是圆环上与M 靠得很近的一点（DM 远小于CM ）。

已知在同一时刻：a 、b 两球分别由A 、B 两点从静止开始沿光滑倾斜直轨道运动到M 点；c 球由C 点自由下落到M 点；d 球从D 点静止出发沿圆环运动到M 点。

动力学中的九类常见问题等时圆模型【模型解读】“等时圆”描述了一个物体沿着位于同一竖直圆上的所有光滑细杆 (或光滑斜面)由静止下滑，到达圆周的最低点(或从最高点到达同一圆周上各点)的时间相等，这个时间等于物体沿直径做自由落体运动所用的时间。

这个模型在物理计算中有着重要的应用，特别是在研究物体的运动轨迹和时间关系时。

由2R ·sin θ=12·g sin θ·t 2，可推得t 1=t 2=t 3。

“等时圆”模型的基本特性在于，它揭示了物体在不同路径上运动时，如果路径都在同一个竖直圆上，那么物体到达圆周最低点的时间是相等的。

这一特性不仅适用于光滑细杆，也适用于光滑斜面。

此外，如果物体的运动路径的端点在圆外，那么质点运动的时间会长一些；反之，如果端点在圆内，质点运动的时间则会短一些。

这个模型的应用不仅限于物理学科，它也体现了数学和物理之间的紧密联系。

通过“等时圆”模型，我们可以更好地理解物体在不同条件下的运动规律，以及这些规律如何影响物体的运动时间和路径。

物体在“两类”光滑斜面上的下滑时间的比较第一类：等高斜面(如图1所示)由L =12at 2，a =g sin θ，L =h sin θ可得t =1sin θ2h g ，可知倾角越小，时间越长，图1中t 1>t 2>t 3。

第二类：同底斜面(如图2所示)由L =12at 2，a =g sin θ，L =d cos θ可得t =4d g sin2θ，可见θ=45°时时间最短，图2中t 1=t 3>t 2。

【典例精析】1(2023年7月浙江宁波期末). 滑滑梯是小朋友们爱玩的游戏现有直滑梯AB 、AC 、AD 和BD ，A 、B 、C 、D 在竖直平面内的同一圆周上，且A 为圆周的最高点，D 为圆周的最低点，如图所示，已知圆周半径为R 。

在圆周所在的竖直平面内有一位置P ，距离A 点为3R ，且与A 等高。

物理等时圆模型讲解
物理学中的等时圆模型是一种用于描述和分析某些物理现象的理论模型。

它常用于处理具有周期性运动的系统，如简谐振动、电磁波传播等。

首先，我们来看简谐振动。

等时圆模型可以将简谐振动表示为一个在坐标平面上做圆周运动的矢量。

设想一个物体在沿着一条直线上做来回振动，当它靠近平衡位置时速度最大，远离平衡位置时速度最小。

根据简谐振动的特点，我们可以将振动物体的坐标和速度分别表示为水平和垂直方向上的矢量。

当振子在运动过程中，坐标和速度的矢量始终保持与圆的切线垂直的关系，因此可以用一个等时圆来表示。

对于电磁波传播，等时圆模型可以用来描述电场和磁场的变化规律。

在电磁波传播中，电场和磁场的振荡是相互垂直的，且它们的振幅和相位差随着时间的推移而变化。

通过等时圆模型，我们可以将电场和磁场的振荡表示为在一个垂直于传播方向的平面内的圆周运动。

等时圆模型的优点在于它直观地表示了振动的周期性和相位差的变化。

通过观察等时圆的形状和位置，我们可以推断出振动的特性和性质。

比如，对于简谐振动，圆的半径表示振幅的大小，圆的位置表示相位差的大小，而圆的旋转速度表示振动的频率。

需要注意的是，等时圆模型只是一种近似描述，它在一些特殊情况下可能不适用，或者需要结合其他模型和理论来进行更精确的分析。

但在许多情况下，等时圆模型提供了一个简单而直观的工具，帮助我们理解和解释物理现象。

“等时圆”模型的规律及应用一、 等时圆模型（如图所示）二、 等时圆规律：1、小球从圆的顶端沿光滑弦轨道静止滑下，滑到弦轨道与圆的交点的时间相等。

（如图a ）2、小球从圆上的各个位置沿光滑弦轨道静止滑下，滑到圆的底端的时间相等。

（如图b ）3、沿不同的弦轨道运动的时间相等，都等于小球沿竖直直径（d ）自由落体的时间，即gRg R g d t 2420===（式中R 为圆的半径。

） 三、等时性的证明设某一条弦与水平方向的夹角为α，圆的直径为d （如右图）。

根据物体沿光滑弦作初速度为零的匀加速直线运动，加速度为αsin g a =，位移为αsin d s =，所以运动时间为gd g d a s t 2sin sin 220===αα即沿各条弦运动具有等时性，运动时间与弦的倾角、长短无关。

四、应用等时圆模型解典型例题例1：如图1，通过空间任一点A 可作无限多个斜面，若将若干个小物体从点A 分别沿这些倾角各不相同的光滑斜面同时滑下，那么在同一时刻这些小物体所在位置所构成的面是（ ）A.球面B.抛物面C.水平面D.无法确定图a 图b【解析】：由“等时圆”可知，同一时刻这些小物体应在同一“等时圆”上，所以A 正确。

例2：如图2，在斜坡上有一根旗杆长为L ，现有一个小环从旗杆顶部沿一根光滑钢丝AB 滑至斜坡底部，又知OB=L 。

求小环从A 滑到B 的时间。

【解析】：可以以O 为圆心，以 L 为半径画一个圆。

根据“等时圆”的规律可知，从A 滑到B 的时间等于从A 点沿直径到底端D 的时间，所以有gLg L g dt t AD AB 242==== 例3：如图5所示，在同一竖直线上有A 、B 两点，相距为h ，B 点离地高度为H ，现在要在地面上寻找一点P ，使得从A 、B 两点分别向点P 安放的光滑木板，满足物体从静止开始分别由A 和B 沿木板下滑到P 点的时间相等，求O 、P 两点之间的距离OP 。

解析：由“等时圆”特征可知，当A 、B 处于等时圆周上，且P 点处于等时圆的最低点时，即能满足题设要求。

等时圆模型 稷王中学 李王东一、等时圆模型1、物体沿着位于同一竖直圆上的所有光滑弦由静止下滑，到达圆周最低点时间均相等，且为g2t R= 2、物体沿着位于同一竖直圆上的所有过顶点的光滑弦由静止下滑，到达圆周低端时间相等为g2t R=说明：沿不同的弦轨道运动的时间相等，都等于小球沿竖直直径（d ）自由落体的时间，即g2g 4g d 2t 0RR ===（式中R 为圆的半径。

）二、等时性的证明设某一条弦与水平方向的夹角为α，圆的直径为d （如右图）。

根据物体沿光滑弦作初速度为零的匀加速直线运动，加速度为αgs in a =，位移为αg s i n a =，所以运动时间为gd2gsin dsin 2a s 2t 0===αα 即：沿各条弦运动具有等时性，运动时间与弦的倾角、长短无关。

说明：如果细杆是粗糙的，环与细杆间的动摩擦因数都为μ，由运动学公式有2t g c os -gs i n 21s i n 2）（θμθθ=R ，解得θμθμθgco t-g 2g c o s -gs i n s i n 2t RR ==，θ增大，时间t 减小，规律不成立.2004年高考试题：1、如图1所示，ad 、bd 、cd 是竖直面内三根固定的光滑细杆，a 、b 、c 、d 位于同一圆周上，a 点为圆周的最高点，d 点为最低点。

每根杆上都套有一个小滑环（图中未画出），三个滑环分别从a 、b 、c 处释放（初速为0），用t 1、t2、t 3依次表示各滑环到达d 所用的时间，则（ ）A.t 1<t 2<t 3B.t 1>t 2>t 3C.t 3>t 1>t 2D.t 1=t 2=t 3 解析：选任一杆上的环为研究对象，受力分析并建立坐标如图所示，设圆半径为R ，由牛顿第二定律得，ma mgcos =θ① 再由几何关系，细杆长度 θcos 2R L = ② 设下滑时间为t ，则 2at 21=L ③ 由以上三式得，g2t R=可见下滑时间与细杆倾角无关，所以D 正确。

“等时圆”模型的规律及应用一、 等时圆模型（如图所示）二、 等时圆规律：1、小球从圆的顶端沿光滑弦轨道静止滑下，滑到弦轨道与圆的交点的时间相等。

（如图a ）2、小球从圆上的各个位置沿光滑弦轨道静止滑下，滑到圆的底端的时间相等。

（如图b ）3、沿不同的弦轨道运动的时间相等，都等于小球沿竖直直径（d ）自由落体的时间，即gRg R g dt 2420===（式中R 为圆的半径。

） 三、等时性的证明设某一条弦与水平方向的夹角为α，圆的直径为d （如右图）。

根据物体沿光滑弦作初速度为零的匀加速直线运动，加速度为αsin g a =，位移为αsin d s =，所以运动时间为即沿各条弦运动具有等时性，运动时间与弦的倾角、长短无关。

四、应用等时圆模型解典型例题例1：如图1，通过空间任一点A 可作无限多个斜面，若将若干个小物体从点A 分别沿这些倾角各不相同的光滑斜面同时滑下，那么在同一时刻这些小物体所在位置所构成的面是（ ）A.球面B.抛物面C.水平面D.无法确定【解析】：由“等时圆”可知，同一时刻这些小物体应在同一“等时圆”上，所以A图a 图b正确。

例2：如图2，在斜坡上有一根旗杆长为L ，现有一个小环从旗杆顶部沿一根光滑钢丝AB 滑至斜坡底部，又知OB=L 。

求小环从A 滑到B 的时间。

【解析】：可以以O 为圆心，以 L 为半径画一个圆。

根据“等时圆”的规律可知，从A 滑到B 的时间等于从A 点沿直径到底端D 的时间，所以有gLg L g dt t AD AB 242==== 例3：如图5所示，在同一竖直线上有A 、B 两点，相距为h ，B 点离地高度为H ，现在要在地面上寻找一点P ，使得从A 、B 两点分别向点P 安放的光滑木板，满足物体从静止开始分别由A 和B 沿木板下滑到P 点的时间相等，求O 、P 两点之间的距离OP 。

解析：由“等时圆”特征可知，当A 、B 处于等时圆周上，且P 点处于等时圆的最低点时，即能满足题设要求。

“等时圆”模型1．(多选)如图1所示，一物体从竖直平面内的圆环的最高点A 处由静止开始沿光滑弦轨道AB 下滑至B 点，那么( )．图1A ．只要知道弦长，就能求出运动时间B ．只要知道圆半径，就能求出运动时间C ．只要知道倾角θ，就能求出运动时间D ．只要知道弦长和倾角，就能求出运动时间 解析 物体沿AB 弦轨道下滑，加速度为a ＝mg cos θm＝g cos θ，弦长l ＝2R ·cos θ，则t ＝2l a＝2·2R cos θg cos θ＝2Rg.可见，物体沿任何一条弦轨道下滑所用时间均相等，且等于沿直径自由下落的时间． 答案 BD2．(多选)如图2所示，位于竖直平面内的固定光滑圆轨道与水平轨道面相切于M 点，与竖直墙相切于A 点，竖直墙上另一点B 与M 的连线和水平面的夹角为60°，C 是圆轨道的圆心．已知在同一时刻，a 、b 两球分别由A 、B 两点从静止开始沿光滑倾斜直轨道运动到M 点；c 球由C 点自由下落到M 点．则( )．图2 A．a球最先到达M点B．b球最先到达M点C．c球最先到达M点D．c、a、b三球依次先后到达M点解析设圆轨道半径为R，据“等时圆”模型结论有，t a＝4Rg＝ 2Rg；B点在圆外，t b>t a，c球做自由落体运动t c＝2Rg；所以，有t c<t a<t b.C、D正确．答案CD3．(单选)如图3所示，AB和CD为两条光滑斜槽，它们各自的两个端点均分别位于半径为R 和r的两个相切的圆上，且斜槽都通过切点P.设有一重物先后沿两个斜槽，从静止出发，由A滑到B和由C滑到D，所用的时间分别为t1和t2，则t1与t2之比为( )．图3 A．2∶1 B．1∶1 C.3∶1 D．1∶ 3解析由“等时圆”模型结论有：t AP＝t CP＝ 2Rg，t PB＝t PD＝2rg，所以t1＝t AP＋t PB，t2＝t CP＋t PD，知t1＝t2，B项正确．答案 B4．(单选)如图4所示，在倾角为θ的斜面上方的A点处放置一光滑的木板AB，B端刚好在斜面上．木板与竖直方向AC所成角度为α，一小物块自A端沿木板由静止滑下，要使物块滑到斜面的时间最短，则α与θ角的大小关系应为( )．图4A ．α＝θB ．α＝θ2C ．α＝θ3D ．α＝2θ解析 如图所示，在竖直线AC 上选取一点O ，以适当的长度为半径画圆，使该圆过A 点，且与斜面相切于D 点．由等时圆知识可知，由A 沿斜面滑到D 所用时间比由A 到达斜面上其他各点所用时间都短．将木板下端与D 点重合即可，而∠COD ＝θ，则α＝θ2.答案 B5．(单选)如图5甲是某景点的山坡滑道图片，为了探究滑行者在滑道直线部分AE 滑行的时间，技术人员通过测量绘制出如图乙所示的示意图．AC 是滑道的竖直高度，D 点是AC 竖直线上的一点，且有AD ＝DE ＝10 m ，滑道AE 可视为光滑，滑行者从坡顶A 点由静止开始沿滑道AE 向下做直线滑动，g 取10 m/s 2，则滑行者在滑道AE 上滑行的时间为( )．甲 乙图5A. 2 s B ．2 s C. 3 sD ．2 2 s解析 A 、E 两点在以D 为圆心半径为R ＝10 m 的圆上，在AE 上的滑行时间与沿AD 所在的直径自由下落的时间相同，t ＝ 4R g ＝4ADg＝2 s ，选B.答案 B6．如图6所示，圆弧AB 是半径为R 的14圆弧，在AB 上放置一光滑木板BD ，一质量为m 的小物体在BD 板的D 端由静止下滑，然后冲向水平面BC ，在BC 上滑行L 后停下．不计小物体在B 点的能量损失，已知小物体与水平面BC 间的动摩擦因数为μ.求：小物体在BD 上下滑过程中，重力做功的平均功率．图6解析由动能定理可知小物体从D到C有W G－μmgL＝0，所以W G＝μmgL由等时圆知识可知小物体从D到B的时间等于物体从圆周的最高点下落到B点的时间，即为t＝4Rg，所以小物体在木板BD上下滑过程中，重力做功的平均功率为P＝W Gt＝μmgL2g R .答案μmgL2gR。

等时圆问题模型总结是运筹学中的一个重要问题，主要研究的是如何合理地确定一组任务的执行顺序，以最大程度地减少总体执行时间。

在实际应用中，广泛应用于生产调度、交通流优化等领域。

本文将对进行总结和分析。

首先，的基本概念是指在一个给定的平面区域内，存在一组任务需要在规定的时间内完成，并且每个任务都有一个固定的执行时间。

任务之间的时间关系可以用一个无向图表示，任务节点为图的顶点，边表示任务之间的时间关系。

的目标是找到一种任务执行顺序，使得任务执行的总时间最短。

在的研究中，通常会引入一些限制条件，例如必须完成的任务数量、任务之间的优先级关系等。

这些限制条件会进一步增加问题的难度，需要采用一些特定的算法来求解。

常用的算法包括最早开始时间法、关键路径法等。

最早开始时间法是求解的一种常用方法。

该方法首先将任务图转化为一个有向无环图，然后通过计算每个任务的最早开始时间来确定任务的执行顺序。

具体而言，从起始点出发，依次计算每个任务的最早开始时间，直到最后一个任务。

最早开始时间即为对应任务的完成时间。

最早开始时间法的时间复杂度为O(n^2)，适用于规模较小的。

关键路径法是另一种常用的求解的方法。

该方法通过计算任务的最早开始时间和最晚开始时间，并根据任务之间的时间关系确定关键路径。

关键路径上的任务对总体执行时间具有决定性的影响，必须按照顺序执行。

关键路径法的时间复杂度为O(n)，适用于规模较大的。

除了最早开始时间法和关键路径法，还有许多其他算法可以用于求解。

例如，遗传算法、模拟退火算法等优化算法可以通过不断迭代寻找最优解。

此外，还有一些启发式算法，例如蚁群算法、粒子群算法等，可以通过模拟群体行为来寻找最优解。

这些算法都在一定程度上提高了求解的效率和精确度。

总而言之，是运筹学中一个重要的问题，用于优化任务的执行顺序，以减少总体执行时间。

在实际应用中，广泛应用于生产调度、交通流优化等领域。

求解的方法包括最早开始时间法、关键路径法等，还可以借助优化算法和启发式算法来提高求解效率。