广东省惠州市2017届高三上学期第三次调研考试数学(理)试题(附答案)

2022届广东省惠州市高三上学期第三次调研数学试题一、单选题1．已知集合{}1A x x =≥，{}20B x x x =-=，则A B =（ ）A ．{1}B ．{0}C ．｛0，1}D ．｛1，2}【答案】A【分析】解方程求出集合B 再进行交集运算即可求解. 【详解】因为集合{}0,1B =，{}1A x x =≥ 所以{}1A B ⋂=. 故选：A.2．已知i 为虚数单位，复数z 满足i 1i z ⋅=+，则||z =（ ）A ．1B ．2CD ．0【答案】C【分析】根据复数的除法运算求出复数z ，再根据模长公式求出z .【详解】21(1)1,||i i iz i z i i++===-故选：C.3．若随机变量X 满足1~6,2X B ⎛⎫⎪⎝⎭，则()E X =（ ）A ．12B ．2C ．13D ．3【答案】D【分析】由二项分布的期望公式直接求解即可 【详解】因为1~6,2X B ⎛⎫⎪⎝⎭，所以1()632E X =⨯=，故选：D.4．已知点P ⎛ ⎝⎭是角α的终边与单位圆的交点，则sin 2α=（ ）A ．13B ．13-C ．D 【答案】C【分析】依题意可得sin 3α=，cos α=，进而由二倍角公式可得sin 2α.【详解】依题意，由任意角三角函数的定义可得sin α=cos α=，所以6322sin 22sin cos 2333ααα⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：C.5．将一枚均匀的骰子掷两次，记事作A 为“第一次出现奇数点”，B 为“第二次出现偶数点”，则有（ ） A ．A 与B 相互独立 B ．()()()⋃=+P A B P A P B C ．A 与B 互斥 D ．1()2P AB =【答案】A【分析】根据相互独立事件的定义可判断A ；根据互斥事件的概念、以及和事件的概率公式可判断B 、C ；由相互独立事件概率的乘法公式可判断D ，进而可得正确选项. 【详解】对于A ：由题意知，事件A 的发生与否对事件B 没有影响，所以A 与B 相互独立，故选项A 正确；对于C ：因为事件A 与B 可能同时发生，所以事件A 与B 不是互斥事件，故选项C 不正确对于B ：因为A 与B 不是互斥事件，所以()()()()P A B P A P B P A B ⋃=+-⋂，故选项B 不正确；对于D ：因为A 与B 相互独立事件，则3311()()()6642P AB P A P B =⋅=⨯=≠，故选项D不正确； 故选：A.6．已知函数()()21,sin f x x g x x =+=，如图所示，图象对应的函数解析式可能是（ ）A ．()()1y f x g x =+-B ．()()1y f x g x =--C ．()()y f x g x =D ．()()g x y f x =【答案】D【分析】首先根据题意得到函数图象关于原点对称，所求函数为奇函数，对选项A ，B 所给的函数为非奇非偶函数，故排除A ，B ；对选项C ，利用()()y f x g x =的单调性即可判断C 错误.【详解】因为函数图象关于原点对称，所以所求函数为奇函数.对选项A ，()()21sin y f x g x x x =+-=+，为非奇非偶函数，故排除A ，对选项B ，()()21sin y f x g x x x =--=-，为非奇非偶函数，故排除B ， 对选项C ，设()()()()2sin 1h x f x g x x x ==+，定义域为R ， ()()()()()22sin 1sin 1h x x x x x h x ⎡⎤-=--+=-+=-⎣⎦，所以函数()()()()2sin 1h x f x g x x x ==+为奇函数，()()2cos 12sin h x x x x x '=++，0,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()2cos 12sin 0h x x x x x '=++>，()h x 为增函数， 而函数图象在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭先增后减，故C 错误.故选：D7．如图所示，“嫦娥五号”月球探测器飞行到月球附近时，首先在以月球球心F 为圆心的圆形轨道Ⅰ上绕月球飞行，然后在P 点处变轨进以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月球飞行，最后在Q 点处变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月球飞行，设圆形轨道Ⅰ的半径为R ，圆形轨道Ⅲ的半径为r ，则下列结论中正确的序号为（ ）①轨道Ⅱ的焦距为R r -；②若R 不变，r 越大，轨道Ⅱ的短轴长越小； ③轨道Ⅱ的长轴长为R r +；④若r 不变，R 越大，轨道Ⅱ的离心率越大． A ．①②③ B ．①②④ C ．①③④ D ．②③④【答案】C【分析】根据椭圆中一个焦点与长轴两顶点的距离分别为,a c a c +-，分别结合圆的半径R 和r 分析选项即可求解.【详解】①由椭圆的性质知，,a c R a c r +=-=，解得2c R r =-，故正确；②由①知,22R r R r a c +-==，所以2222()()222244R r R r b a c Rr +-=-=-=， 若R 不变，r 越大，2b 越大，轨道Ⅱ的短轴长越小错误；故错误； ③由①知2a R r =+，故轨道Ⅱ的长轴长为R r +，故正确；④因为2221112R rc R r r e R r R a R r R r r --====-=-++++，若r 不变，R 越大，则21R r+越小，所以e 越大，轨道Ⅱ的离心率越大，故正确. 故选：C【点睛】关键点点睛：根据示意图，理解并找出椭圆中,,a b c 与圆半径的关系，是解决问题的关键，属于中档题.8．如图，点M N 、分别是正四面体ABCD 棱AB CD 、上的点，设BM x =，直线MN 与直线BC 所成的角为θ，则（ ）A ．当2ND CN =时，θ随着x 的增大而增大B ．当2ND CN =时，θ随着x 的增大而减小C ．当2CN ND =时，θ随着x 的增大而减小 D ．当2CN ND =时，θ随着x 的增大而增大【答案】D【分析】分2ND CN =和2CN ND =两种情况，分别过N 作BC 的平行线，可得直线MN 与所作的平行线成的角即为角θ可得答案.【详解】当2ND CN =时，如下图作//NF BC 交BD 于F 点，所以直线MN 与直线BC 所成的角即为直线MN 与直线NF 所成的角，即MNF θ∠=， 设正四面体的棱长为3，则1,2CN BF FN ===， 可求得221,37MF x x MN x x =-+=-+， 所以在FNM 中，有2251187cos 1([0,3])237237x xx x x x x θ--==+∈-+-+， 令2187()37xf x x x -=-+，则()2227365)37(x x x x f x -+'-+=，[0,3]x ∈时，()2227365)37(x x x x f x -+'-+=有正有负，函数有增有减，所以故A 与B 错误；当2CN ND =时，如下图作//NE BC 交BD 于E 点，所以直线MN 与直线BC 所成的角即为直线MN 与直线NE 所成的角，即MNE θ∠=. 同样设正四面体的棱长为3，则2,2CN BF FN ===， 可求得224ME x x -+ 7AN BN ==在ABN 中，有cos 23727ABN ∠=⨯⨯所以2227273727MN x x x x =+-⨯=-+，即237MN x x =-+所以在MNE 中，有224195cos 1([0,3])237237x x x x x x x θ--==+∈-+-+， 令295()37xf x x x -=-+，则()22251880(37)x x x x f x '-+--=<， 所以()f x 在定义域内单调递减，即x 增大，()f x 减小，即cos θ减小，从而θ增大，故D 正确，C 错误.故选：D. 二、多选题9．若直线3y x b =+与圆221x y +=相切，则b 的取值可以是（ ） A ．2- B ．2 C ．2 D ．5【答案】AC【分析】根据直线3y x b =+与圆221x y +=相切，则圆心到直线的距离等于半径求解. 【详解】因为直线3y x b =+与圆221x y +=相切，所以131b =+，解得：2b =±.故选：AC10．有一散点图如图所示，在5个(),x y 数据中去掉()3,10D 后，下列说法不正确的是（ ）A ．残差平方和变小B ．相关系数r 变小C ．相关指数2R 变小D ．解释变量x 与预报变量y 的相关性变弱【答案】BCD【分析】利用散点图分析数据，判断相关系数，相关指数，残差的平方和的变化情况． 【详解】解：从散点图可分析得出：只有D 点偏离直线远，若去掉D 点， 则变量x 与变量y 的线性相关性变强，∴相关系数r 变大，相关指数2R 变大，残差的平方和变小，解释变量x 与预报变量y 的相关性变强； 故选：BCD ．11．关于双曲正弦函数sinh()2x x e e x --=和双曲余弦函数cosh()2x xe e x -+=，下列结论正确的是（ ） A ．sinh()sinh()x x -=- B ．'[cosh()]sinh()x x =- C ．cosh(1)cosh(2)-< D ．22[sinh()][cosh()]1x x -=【答案】AC【分析】根据题意，依次计算各选项即可得答案.【详解】解：因双曲正弦函数sinh()2x x e e x --=和双曲余弦函数cosh()2x xe e x -+=，对于A ，sinh()sinh()2x xe e x x ---==-，A 正确； 对于B ，(cosh())sinh()22x x x xe e e e x x '--'⎛⎫+-=== ⎪⎝⎭，B 不正确； 对于C ，显然双曲余弦函数cosh()2x xe e x -+=是偶函数，且(cosh())022x x x x e e e e x '--'⎛⎫+-==> ⎪⎝⎭在(0,)+∞上成立，故在(0,)+∞上单调递增， 所以cosh(1)cosh(1)cosh(2)-=<，C 正确；对于D ，2222[sinh()][cosh()]122x x x x e e e e x x --⎛⎫⎛⎫-+-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，D 不正确.故选：AC12．已知函数()3f x x ax b =++，其中,a b ∈R ，则下列选项中的条件使得()f x 仅有一个零点的有（ ）A ．a b <，()f x 为奇函数B ．()2ln 1a b =+C ．3a =-，240b -≥D ．0a <，3206a b +>【答案】BD【分析】对于A ，由奇函数性质知0b =，知0a <，由导数可确定()f x 单调性，求得()f x 极大值和极小值，由极值可确定()f x 有三个零点，知A 错误；对于B ，由1a ≥知()f x 单调递增，由此确定()f x 仅有一个零点，B 正确； 对于C ，取2b =，则可确定()f x 有两个零点，C 错误；对于D ，由332240276a ab b +>+>可确定0f ⎛< ⎝或0f >，由此可确定()f x 仅有一个零点，D 正确.【详解】由题意知：()23f x x a '=+.对于A ，()f x 为奇函数，0b ∴=，则0a <，()0f x '∴=有两个不等实根1x =，2x =()f x ∴在,⎛-∞ ⎝，⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增，在⎛ ⎝上单调递减， 则()f x 存在两个极值点，又0f ⎛=> ⎝，0f =， ()f x ∴有三个零点，A 错误；对于B ，211b +≥，0a ∴≥，()0f x '∴≥，()f x ∴在R 上单调递增， 又当x →-∞时，()0f x <；当x →+∞时，()0f x >，()f x ∴仅有一个零点，B 正确；对于C ，若取2b =，则()f x 的极大值为()14f -=，极小值为()10f =，()f x 有两个零点，C 错误；对于D ，()f x 的极大值为f b ⎛=-⎝f b =0a <，332240276a a b b ∴+>+>，32427a b ∴>-，则b >或b <则0f ⎛< ⎝或0f >，可知()f x 仅有一个零点，D 正确. 故选：BD.【点睛】思路点睛：本题考查函数零点个数的求解，解决此类问题的基本思路是确定()f x 的单调性，得到()f x 的极大值和极小值，由此确定()f x 与0y =交点个数，即为零点个数. 三、填空题13．若ABC 是边长为1的等边三角形，则AB BC ⋅=______. 【答案】12-【分析】根据数量积的定义可求数量积.【详解】因为ABC 为边长为1的等边三角形，所以1AB BC ==，60B ∠=︒， 而向量AB 和BC 的夹角为B 的补角，所以11cos1201122AB BC AB BC ⎛⎫⋅⋅︒=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭⋅=.故答案为：12-.14．()()5121x x -+的展开式中，3x 项的系数为__________． 【答案】40-【分析】先求得二项式()521x +展开式的通项为5552rr r C x --⋅，集合通项进而求得3x 项的系数.【详解】由二项式()521x +展开式的通项为()5555155(2)221r r r r r r T C x x x C ---++=⋅=⋅， 则()()5121x x -+的展开式中，含3x 的项为23232335521240x C x C x x ⋅⋅⋅-⨯⋅⋅=-，所以3x 项的系数为40-. 故答案为：40-.15．请从正方体1111ABCD A B C D -的8个顶点中，找出4个点构成一个三棱锥，使得这个三棱锥的4个面都是正三角形，则这4个点可以是___________.（只需写出一组）【答案】11,,,A C B D （答案不唯一）【分析】根据题意写出一组符合题意的点即可.【详解】如图三棱锥11A BC D -各棱长都是正方体的面对角线，因此三棱锥11A BC D -的4个面都是正三角形，即这4个点可以是11,,,A C B D ，故答案为：11,,,A C B D （答案不唯一）.四、双空题16．将正三角形（1）的每条边三等分，并以中间的那一条线段为底边向外作正三角形，然后去掉底边，得到图（2）；将图（2）的每条边三等分，并以中间的那一条线段为底边向外作正三角形，然后去掉底边，得到图（3）；如此类推，将图（n ）的每条边三等分，并以中间的那一条线段为底边向外作三角形，然后去掉底边，得到图()1n +．上述作图过程不断的进行下去，得到的曲线就是美丽的雪花曲线．若图（1）中正三角形的边长为1，则图（n ）的周长为__________，图（n ）的面积为___________．【答案】 1433n -⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭1233349n -⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】先根据所给的图形找互相邻的图形周长之间的关系，再进一步得到与第一个图形的周长之间的关系，找出相邻两个图形之间的面积关系，可求得图（n ）的面积 【详解】解：第一个三角形的周长为313⨯=，观察发现：第二个图形在第一个图形的周长的基础上多了实验室的周长的13，第三个在第二个的基础上多了其周长的13，所以第二个图形的周长为1431333⎛⎫⨯+=⨯ ⎪⎝⎭，第三个图形的周长为21143113333⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯+⨯+=⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，第四个图形的周长为31114311133333⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯+⨯+⨯+=⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，……，所以第n 个图形的周长是第一个周长的143n -⎛⎫⎪⎝⎭倍，所以第n 个图形的周长为1433n -⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭，由题意可知，第n 个图形的边长都相等，且长度变为原来的13，则边长n b 的递推公式为11,23n n b b n -=≥，11b =，所以113n n b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，边数n a 的递推公式为14,2n n a a n -=≥，13a =，则134n n a ，第一个图形的面积为13A =当2n ≥时，21122111133133434443169n n n n n n n n n A A a b A A -------⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯=+⨯⨯⨯=+⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 则121321()()()n n n A A A A A A A A -=+-+-+⋅⋅⋅+-1144[1()]33323334994416520919n n ---⎛⎫=+⨯=-⨯ ⎪⎝⎭-【点睛】关键点点睛：此题考查数列的应用，考查等比数列的性质的应用，解题的关键是由题意找出边长n b 的递推公式和边数n a 的递推公式，相邻两个图形面积之间的递推关系，考查计算能力，属于较难题 五、解答题17．疫苗是指用各种病原微生物制作的用于预防接种的生物制品，接种疫苗是预防和控制传染病最经济､有效的公共卫生干预措施.某制药厂对预防某种疾病的两种疫苗开展临床对比试验.若使用后的抗体呈阳性，则认为疫苗有效.在已经接种疫苗的群体中随机抽取的100个样本，其中有60个接种了灭活疫苗，剩余40个接种了核酸疫苗.根据样本数据绘制等高条形图（如图所示），其中两个深色条的高分别表示接种灭活疫苗和核酸疫苗样本中抗体呈阳性的频率.现从这100个样本中随机抽取1人，已知事件“该样本接种了灭活疫苗且抗体呈阳性”发生的概率为0.54.(1)求等高条形图中a 的值；(2)请在答题卷中完成下面的列联表，并判断能否在犯错概率不超过0.10的前提下认为两种疫苗的预防效果存在差异？灭活疫苗 核酸疫苗 总计 抗体为阳性 抗体为阴性 总计6040100参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++【答案】(1)0.9a =(2)列联表答案见解析，不能在犯错概率不超过0.10的前提下认为两种疫苗的预防效果存在差异【分析】（1）根据题意得600.54100a ⨯=，解方程即可得答案； （2）结合题意得接种灭活疫苗抗体阳性的共有54人，接种核酸疫苗后抗体呈阳性的共有34人，进而完成列联表，结合独立性检验求解即可. (1)解：依题意“1名受访者接种灭活疫苗且接种后抗体呈阳性”发生的概率为0.54， 所以600.54100a ⨯= 解得0.9a =，所以0.9a = (2)解：根据题意，接种灭活疫苗抗体阳性的共有：600.954⨯=人， 接种核酸疫苗后抗体呈阳性的共有：400.8534⨯=人， 故列联表如下：零假设为0:H 接种两种疫苗效果无差异 根据列联表中的数据，得到()22100546346250.5686040128844⨯⨯-⨯==≈⨯⨯⨯K因为0.568 2.706<所以不能在犯错概率不超过0.10的前提下认为两种疫苗的预防效果存在差异. 18．ABC 的内角A ､B ､C 的对边分别为a ､b ､c ，已知()cos 2cos b C a c B =-． (1)求B ；(2)若3b =，sin 2sin C A =，求ABC 的面积． 【答案】(1)π3；【分析】(1)已知条件结合正弦定理边化角即可求B ； (2)结合正弦定理、余弦定理和三角形面积公式即可求解﹒ (1)由正弦定理，得sin cos 2sin cos cos sin B C A B B C =-， 即sin cos cos sin 2sin cos B C B C A B +=， ∴()sin 2sin cos B C A B +=，又∵πA B C ++=，∴()sin sin B C A +=， ∴sin 2sin cos A A B =， 又∵sin 0A ≠，∴1cos 2B =， ∵B 为三角形内角，∴π3B =； (2)∵sin 2sin C A =，∴由正弦定理得2c a =，∴由余弦定理得2222222cos 42b a c ac B a a a =+-=+-，即239a =，∴a =c =，∴ABC 的面积为11sin 22S ac B ===． 19．已知数列{}n a 是公差大于1的等差数列，23a =，前n 项和为n S ，且___________. 请在下列三个条件中任选一个，补充到上述题目的条件中，并求解下面的问题. ①1361,1,3a a a +--成等比数列；②5S 是3a 和23a 的等差中项；③{}2n a 的前6项和是78. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若2,nn n n n b c a b ==⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T .【答案】(1)21n a n =- (2)1(23)26n n T n +=-⋅+【分析】（1）设{}n a 的公差为d ,再结合等差中项或等比中项或前n 项和公式求解得2d =，再根据通项公式求解即可.（2）由（1）知(21)2nn c n =-⨯，再根据错位相减法求解即可.(1)设{}n a 的公差为d ，选条件①：()()()2316113a a a -=+-，则2(2)(4)4d d d +=-， 解得2d =或25，1d >，所以2d =，2(2)32(2)21n a a n d n n ∴=+-=+-=-，选条件②：由已知有53232S a a =+， 1225425212a d a d a d ⨯⎛⎫+=+++ ⎪⎝⎭，即()221020222a d d a d -+=+ 解得：2d =2(2)32(2)21n a a n d n n ∴=+-=+-=-选条件③：{}2n a 的前6项和是78， 即24612265622a a a a a d ⨯++++=+⨯ 183078d =+=解得：2d =，2(2)32(2)21n a a n d n n ∴=+-=+-=-(2)解：由（1）知：(21)2nn c n =-⨯123123252(21)2n n T n =⨯+⨯+⨯++-⨯23412123252(23)2(21)2n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯则()123122222(21)2n n n T n +-=++++--⨯()21121222(21)212n n n -+-=+⨯--⨯-1(23)26n n +=-+⋅- 1(23)26n n T n +∴=-⋅+20．如图，S 为圆锥的顶点，O 为底面圆心，点A ，B 在底面圆周上，且60AOB ∠=︒，点C ，D 分别为SB ，OB 的中点．()1求证：AC OB ⊥；()2若圆锥的底面半径为2，高为4，求直线AC 与平面SOA 所成的角的正弦值．【答案】()1证明见解析；()221. 【解析】()1利用线面垂直的判定定理和线面垂直的性质定理即可证明；()2建立空间直角坐标系，结合向量的数量积运算求出直线AC 与平面SOA 所成的角的正弦值．【详解】解：()1由题意，得SO ⊥底面圆O ，点C ，D 分别为SB ，OB 的中点，∴//CD SO ， CD ⊥底面圆O ，OB 在底面圆O 上，∴OB CD ⊥．60AOB ∠=︒，∴AOB 为正三角形，又因为D 为OB 的中点，∴OB AD ⊥，又因为AD CD D =，且AD ⊂平面ACD ，C D ⊂平面ACD ， ∴OB ⊥平面ACD ，AC ⊂平面ACD ，∴AC OB ⊥．()2如图，以D 为原点，DA ，DB ，DC 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则()3,0,0A，()0,0,2C ，()0,1,0O -，()0,1,4S -，故()3,0,2AC =-，()3,1,4AS =--，()3,1,0OA =，设平面SOA 的法向量为(),,n x y z =， 由00n AS n OA ⎧⋅=⎨⋅=⎩，可得34030x y z x y ⎧--+=⎪⎨+=⎪⎩，令1x =，得()1,3,0n =-为平面SOA 的一个法向量， 设直线AC 与平面SOA 所成的角为θ， 则300321sin cos ,14133427n AC n AC n ACθ⋅-++=〈〉====+⨯+⋅，即直线AC 与平面SOA 所成的角的正弦值为2114． 【点睛】本题考查线线垂直的判定，以及线面所成角的正弦值的求法，考查分析问题能力，运算求解能力，属于中档题.21．如图已知椭圆C 的中心在原点，焦点为()11,0C ，()21,0C -，且离心率22e =．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设()2,0M -，过点M 的直线l 与椭圆C 相交于E ，F 两点，当线段EF 的中点落在由四点()11,0C ，()21,0C -，()10,1B -，()20,1B 构成的四边形内（包括边界）时，求直线l 斜率的取值范围．【答案】（Ⅰ）2212x y +=；（Ⅱ）≤≤k 【分析】（Ⅰ）依据题意可得,a c ，然后根据222b a c =-可得b ，最后可得椭圆方程. （Ⅱ）假设直线方程并于椭圆联立是韦达定理，可得EF 中点，然后表示正方形区域的不等式，将中点坐标代入进行计算可得结果. 【详解】（Ⅰ）由题可知：1,===c c e aa =又2221b a c =-=，所以椭圆的方程为2212x y +=（Ⅱ）由题可知：过点M 的直线斜率一定存在， 设直线方程为()2y k x =+，()()1122,,,E x y F x y ， 线段EF 的中点()00,G x y所以()()222222212882012y k x k x k x k x y ⎧=+⎪⇒+++-=⎨-=⎪⎩ 所以()()222222212882012y k x k x k x k x y ⎧=+⎪⇒+++-=⎨-=⎪⎩ 由()()()2222=8412820∆-+->⇒<<k k k k 又2122812k x x k -+=+，所以212024212+==-+x x k x k ，则()0022212=+=+ky k x k ，因为2024012=-≤+k x k，所以G 不可能在y 轴的右边 又因为直线1211,C B C B 的方程为1,1y x y x =+=--所以22200200222411121212411212k k y x k k y x k k k k ⎧-≤+⎪≤+⎧⎪++⇒⎨⎨≥--⎩⎪≥-⎪++⎩，即2222102210k k k k ⎧+-≤⎨--≤⎩所以≤≤k ② 由①②可知：≤≤k 【点睛】本题考查椭圆的应用，直线与圆锥曲线的结合，往往会联立方程并使用韦达定理，考查分析问题的能力，重在理解与计算，属中档题. 22．己知函数ln ()x a xf x e a x=--(e 为自然对数的底数)有两个零点． （1）若1a =，求()f x 在1x =处的切线方程；（2）若()f x 的两个零点分别为2,x x ，证明：12212x x e x x e +>．【答案】（1）(1)y e x =-；（2）证明见解析． 【分析】（1）利用切点和斜率求得切线方程.（2）由()0f x =化简得到ln()xxa xe xe =，利用换元法，将要证12212x x e x x e +>转化为证明1ln 21t t t ->+，结合导数证得结论成立. 【详解】（1）当1a =时，ln ()1xx f x e x=--，21ln ()x xf x e x -'=-．又(1)1f e =-，所以切点坐标为(1,1)e -，切线的斜率为(1)1k f e '==-， 所以切线的方程为(1)(1)(1)y e e x --=--，即(1)y e x =-． （2）由己知得.(ln )()0x xe a x x f x x-+==有两个不等的正实根， 所以方程(ln )0x xe a x x -+=有两个不等的正实根， 即ln()0x x xe a xe -=有两个不等的正实根，ln()x x a xe xe =①. 要证12212x x e x x e+>，只需证12212()()x x x e x e e ⋅>，即证1212()()2x xln x e ln x e +>，-令111xt x e =，222x t x e =，所以只需证12ln ln 2t t +>．由①得11ln a t t =，22ln a t t =，所以2121(ln ln )a t t t t -=-，2121(ln ln )a t t t t +=+， 消去a 得221121212122111ln ln ln (ln ln )1t t t t t t t t t t t t t t ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭+=-=--， 只需证2211211ln 21t t t t t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭>-． 设120t t <<，令21t t t =，则1t >，所以只需证1ln 21t t t ->+． 令1()ln 21t h t t t -=-+，1t >，则22214(1)()0(1)(1)t h t t t t t '-=-=>++， 所以()(1)0h t h >=，即当1t >时，4ln 201t t +->+成立． 所以12ln ln 2t t +>，即12212()()x x x e x e e ⋅>，即12212x x e x x e +>．【点睛】证明不等式恒成立问题，可利用构造函数法，结合导数求最值来进行求解.。

惠州市2013届高三第三次调研考试数学（理科）试题参考答案及评分标准 一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分． 题号12345678答案DB ACABB1．．．2．．B．3．或．． 4．【解析】由，图象过点得．故选A． 5．【解析】，．故选．6．．． 7．．． 8．， 取及， 结果相加可得．．二、填空题：本大题查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题． 9．7 10． 11． 12． 13． 14． 15．3 9．．． 10．．． 11．的焦点．．． 12．均为直线，其中平行，可以相交也可以异面，故①不正确； m，n⊥α则同垂直于一个平面的两条直线平行；④正确 ．答案④． 13．，是增函数，所以 ．． （二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．【解析】∵PA切于点A，B为PO中点，∴AB=OB=OA， ∴，∴，在△POD中由余弦定理， 得：=． 解析2：过点D作DE⊥PC垂足为E，∵，∴， 可得，，在中，∴．答案：．15．【解析】．．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分） （1）解：∵， ∴函数的最小正周期为． ∵函数， 又的图像的对称轴为（）， 令， 将代入，得（）． ∵，∴． （2）解：………12分 17．（本小题满分12分） （1）解：由于图中所有小矩形的面积之和等于1， 所以．…………………………1分 解得．………………………………………………………………………2分 （2）解：根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率为．……3分 由于该校高一年级共有学生640人，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级数学成绩不低于60分的人数约为人．………………………………………5分 （3）解：成绩在分数段内的人数为人，……………… 6分 成绩在分数段内的人数为人， ……………………………………7分 若从这6名学生中随机抽取2人，则总的取法有 ………………… 9分 如果两名学生的数学成绩都在分数段内或都在分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10.如果一个成绩在分数段内，另一个成绩在分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10．………………… 10分 则所取两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10分的取法数为 ……11分 所以所求概率为．……………………………………………………………………13分 18．（本小题满分14分） ，依题意有：在长方形中，， ．……… 4分 （2）解：，， ， ， ． ∴，…………… 6分 ．，， ．∴． 设点到平面的距离为，∴． ∴点到平面的距离为． ………………………………………………… 8分 （3）解：过作交于，连接．由三垂线定理可知，为二面角的平面角． ∴，，． ……………………… 10分 ，∴．…………………… 12分 ∴，． 故时，二面角的平面角为．…………………………… 14分 19．（本小题满分14分） 解（1）， ，， . 又数列成等比数列， ，所以 ； 又公比，所以 ；……………………2分 又，， ； 数列构成一个首相为1公差为1的等差数列， ， 当， ；又其满足， ()； ……………………………… 5分 （2）所以 ② ①式减式得： …… 分 化简：…… 分 所以所求 ………………………………………… 10分 （3） …… 12分 ； …… 1分 由得，满足的最小正整数为112. ………… 14分 20．（本小题满分14分） （1）由题设知，，………………………………1分 由得解得椭圆的方程为（2）圆， 则 ………………………………………………6分 …………………………………………7分 ．………………………………………………………………8分 从而求的最大值转化为求的最大值是椭圆上的任一点，设，，即，．…………………12分 因为，所以当时，取最大值的最大值为， 因为的中点坐标为，所以 ………………………………………6分 所以…………………………………7分 ．………………………………………9分 因为点在圆上，所以，即．………………10分 因为点在椭圆上，所以，即．…………………………11分 所以．……………………………………12分 因为，所以当时，．………………………14分 方法3：①若直线的斜率存在，设的方程为，………………………6分 由，解得．……………………………………………7分 因为是椭圆上的任一点，， 所以，即， …………………………………9分 所以． ……………………………………10分 因为，所以当时，取最大值的斜率不存在，此时的方程为，由，解得或． 不妨设，，． …………………………………………12分 因为是椭圆上的任一点，， 所以，即，． 所以． 因为，所以当时，取最大值的最大值为21．（本小题满分14分） （1）因为为的极值点，．…………………………………2分 即，解得又当时，从而的极值点成立．4分 （2）因为上为增函数所以上恒成立．①当时，在恒成立，上为增函数，故符合题意②当时，由的定义域可知必须有恒成立，故只能，所以上恒成立．令，其对称轴为，因为，从而上恒成立，只要即可， ，解得． ……………………………………9分 因为． 综上所述，的取值范围为10分 （3）若时，方程可化为． 问题转化为在上有解， 即求函数的值域．值域的方法： 方法1：，令则， ………………………………12分 所以当，从而上为增函数 当，从而上为减函数， 因此而，故， 因此当时，取得最大值014分 ：，． 设，则． 当，所以上递增； 当，所以上递减； ，故必有，又 因此必存在实数使得， ，所以上递减； 当，所以上递增； 当上递减； 又因为 当，则，又 因此当时，取得最大值014分 高考学习网： 高考学习网： F D1 C1 B1 A1 B A C D E。

广东省惠州市2017届高三模拟考试文科数学试卷答 案1~5．BDCBA 6~10．ADCBD 11~12．BB13．116 14．1315．251316．10e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由已知22π206B a ab b =--=，结合正弦定理得：22sin sin 10,A A --=，sin 1A ∴=或1sin 2A =-（舍）……………4分 ππ0π,,23A A C <<∴=∴=……………6分（Ⅱ）由2220a ab b --=，可得2a b =……………8分由题意及余弦定理可知：22196a b ab ++=，与2a b =联立，解得a b ==……………10分1sin 2ABC S ab C ∴==△……………12分18．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）1221ˆni ii nii x ynx y bxnx==-=-∑∑2279478421.770878-⨯⨯==-⨯……………3分ˆˆ28.4ay bx ∴=-=……………5分 y 关于x 的线性回归方程是 1.728.4y x =+……………6分（Ⅱ）0.750.93,<∴二次函数回归模型更合适． ……………9分 当3x =万元时，预测A 超市销售额为33.47万元．……………12分19．（本小题满分12分）证：（Ⅰ）由1A A ⊥平面ABC ，CM ⊂平面ABC ，则1A A CM ⊥． 由AC CB ＝，M 是AB 的中点，则．又1A A AB A ＝，则CM ⊥平面11ABB A ，又CM ⊂平面1ACM ，所以平面1ACM ⊥平面11ABB A ．……………6分（Ⅱ）设点M 到平面11A CB 的距离为h ，由题意可知11112A C CB A B MC ＝＝＝＝1111A CB A MB S S △△＝＝．由（Ⅰ）可知CM ⊥平面11ABB A ，得，11111·3M A CB A CB V h S △－＝＝，所以，点M 到平面11A CB 的距离1111A MB A CB MC S h S ==△△ …12分20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）易知2a =，1b =，c =．∴1(F，2F ．设(,)P x y (0,0)x y >>．则22125(,,)34PF PF x y x y x y ⋅=--=+-=-，……………2分又2214x y +=，联立22227414x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得221134x x y y =⎧⎧=⎪⎪⇒⎨⎨==⎪⎪⎩⎩，P ．……………5分（Ⅱ）显然0x =不满足题设条件．可设l 的方程为2y kx =+，设11(,)A x y ，22(,)B x y ．联立22222214(2)4(14)1612042x y x kx k x kx y kx ⎧+=⎪⇒++=⇒+++=⎨⎪=+⎩∴1221214x x k =+，1221614k x x k +=-+． ……………6分由22(16)4(14)120k k =-⋅+⋅>△22163(14)0k k -+>，2430k ->，得234k >．① ……………7分又AOB ∠为锐角cos 00AOB OA OB ⇔∠>⇔⋅>， ∴12120OA OB x x y y ⋅=+>．……………8分111又212121212(2)(2)2()4y y kx kx k x x k x x =++=+++ ∴1212x x y y +21212(1)2()4k x x k x x =++++2221216(1)2()41414k k k k k=+⋅+⋅-+++22212(1)21641414k k k k k +⋅=-+++224(4)014k k -=>+ ∴2144k -<<．②……………10分 综①②可知2344k <<，∴k的取值范围是3(2,(,2)-．……………12分21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）()x f x e a '=+，由已知得()ln 21f '=，故ln 21e a +=，解得1a =-又()ln 2ln 2f =-，得ln 2ln 2ln 2e b -+=-，解得2b =-……………2分()2x f x e x =--，所以()1x f x e '=-当0x <时，()0f x '<；当0x >时，()0f x '>所以()f x 的单调区间递增区间为()0+∞，，递减区间为(),0-∞ ……………4分（Ⅱ）法一．由已知()()1k x f x x '-<+，及()1xf x e '=-整理得11x x xe k e +<-，当0x >时恒成立令()()101xxxe g x x e +=>-，()()()221x x xe e x g x e--'=- ……………6分当0x >时，0,10x x e e >->；由（Ⅰ）知()2xf x e x =--在()0+∞，上为增函数， 又()()2130,240f e f e =-<=->……………8分所以存在()01,2x ∈使得()0002=0x f x e x =--，此时00=+2xe x当()00,x x ∈时，()0g x '<；当()0,x x ∈+∞时，()0g x '> 所以()()()()000002min 112,31x x x e g x g x x e +===+∈-……………10分 故整数k 的最大值为2．……………12分法二．由已知()()1k x f x x '-<+，及()1x f x e '=-整理得，()10xk x e k ---<令()()()10xg x k x e k x =--->，()()1x g x k x e '=--()=0g x '得，=1x k -……………6分当1k ≤时，因为0x >，所以()0g x '<，()g x 在()0+∞，上为减函数， ()()010g x g <=-<……………8分1(0,1),g()0k x k x >∈->当时，，()g x 为增函数．(1,)x k ∈-+∞时，()0g x <，()g x 为减函数．1max ()(1)1k g x g k e k -∴=-=--由已知()110k ek --+<……………10分令()()()111k h k ek k -=-+>，()110k h k e -'=->，()h k 在()1,k ∈+∞上为增函数．又()()22=30,340h e h e -<=->，故整数k 的最大值为2……………12分22．（本小题满分10分）解：（Ⅰ）曲线2C：π)4ρθ=+，可以化为2πcos()4ρθ=+，22cos 2sin ρρθρθ=-， 因此，曲线C 的直角坐标方程为22220x y x y +-+= ……………4分 它表示以(1,1)-为半径的圆．……………5分（Ⅱ）法一：当π4α=时，直线的参数方程为1x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）点(1,0)P 在直线上，且在圆C内，把1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入22220x y x y +-+=中得210t -=……………6分设两个实数根为12,t t ，则,A B 两点所对应的参数为12,t t ，则12t t +=121t t =-……………8分12PA PB t t ∴+=-==……………10分法二：由（Ⅰ）知圆的标准方程为22(1)(1)2x y -++=即圆心C 的坐标为(1,1)-，点(1,0)P 在直线:10l x y +-=上，且在圆C 内PA PB AB ∴+= ……………6分圆心C到直线的距离d ==……………8分所以弦AB的长满足AB ==PA PB ∴+= ……………10分23．（本小题满分10分）解：（Ⅰ）由()1(1)1f x x x x x =++≥-+=知，min ()1f x = 欲使x R ∀∈，恒有()f x λ≥成立，则需满足min ()f x λ≤ ……………4分 所以实数λ的取值范围为(,1]-∞……………5分（Ⅱ）由题意得21,(1)()11,(10)21,(0)t t f t t t t t t --<-⎧⎪=++=-≤≤⎨⎪+>⎩……………6分m R ∃∈，使得22()0m m f t ++=成立即有44()0f t =-≥△，()1f t ∴≤……………8分又()1f t ≤可等价转化为1211t t <-⎧⎨--≤⎩或1011t -≤≤⎧⎨≤⎩或0211t t >⎧⎨+≤⎩所以实数的取值范围为[1,0]-……………10分广东省惠州市2017届高三模拟考试文科数学试卷解 析1．【解析】因为[]=0,4B ，∴选B ． 2．【解析】z i z i =-∴=，∴选D ．3．【解析】(0)2f =∴4a =．∴(2)a f +-=2，∴选C ．4．【解析】总的基本事件有四个，甲、乙的红包金额不相等的事件有两个，∴选B ． 5．1=，计算2e =，∴选A ．6．【解析】经验证1,2,3,4,5N =必须返回，6N =时通过，∴选A ． 7．【解析】3AB AC AB AC +=-，两边平方可得π3BAC ∠=，CB CA ⋅=9()2CA AB CA +⋅= 8．【解析】化简可得：22226475()()0a a a a -+-=，即64752()2()0d a a d a a +++=，560a a ∴+=，100S ∴=，∴选C ．9．【解析】1()cos 1xxe f x x e -=+，∴()f x 为奇函数，令1x =，则(1)0f <，∴选B ．10．【解析】设1122(,),(,)A x y B x y ，由条件3AF FB =容易得到123y y -=，又因为直线l 过抛物线的焦点∴2124y yp =-=-，解得1(,3A B ，k ∴=选D ．11．【解析】由三视图可知该几何体为棱长均为2的正三棱柱，设球心为O ，小圆的圆心为1O 球半径为R ，小圆的半径为r ，则22211O R r OO =+，即22713R =+=，∴28π3S =，∴选B ． 12．【解析】2234z x xy y =-+，又,,x y z 均为正实数，2234xy xyz x xy y ∴=-+143x y y x =≤+-1=，当且仅当2x y =时等号成立，因此当xyz取得最大值1时，2x y =，此时222342z x xy y y =-+=，因此，2212111x y z y y y +-=+-21(1)11y =--+≤，当且仅当1y =时等号成立，因此212x y z+-的最大值为1，故选B ．13．【解析】由132455,24a a a a +=+=，可得16112,216a q a ==∴=． 14．【解析】21cos(2)12sin ()363ππθθ-=--=． 15．【解析】因为a >0，b >0，所以由可行域得，当目标函数z ＝ax ＋by 过点（4，6）时取最大值，则4a ＋6b＝10．a 2＋b 2的几何意义是直线4a ＋6b ＝10上任意一点到点（0，0）的距离的平方，那么最小值是点（0，0）到直线4a ＋6b ＝10距离的平方，即a 2＋b 2的最小值是．16．【解析】问题转化为||x y xe y m ==与有三个交点时，m 的取值范围．||x y xe =的图象如下：10m e ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，．17~23．略。

一、单选题1. 设函数，则（ ）A ．3B ．6C ．9D ．122. 已知实数､满足，有结论：①若，，则有最大值；②若，，则有最小值；正确的判断是（ ）A ．①成立，②成立B ．①不成立，②不成立C ．①成立，②不成立D ．①不成立，②成立3. 已知函数是定义域为的偶函数，且满足，当时，，则关于的方程在上所有实数解之和为（ ）A ．9B．C．D ．74.设，若，，，则下列关系式中正确的是A．B．C．D．5. 设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是A ．若，则B ．若，则C ．若，则D ．若，则6. 某圆锥的底面直径和高均是2，则其内切球（与圆锥的底面和侧面均相切）的半径为（ ）A．B．C．D．7. 已知，则（ ）A．B ．﹣3xC ．﹣3x +1D．8. 已知集合，，则（ ）A．B．C．D．9. 若，则的值为（ ）A．B．C．D．10.把函数的图象向右平移一个单位，所得图象与函数的图象关于直线对称；已知偶函数满足，当时，；若函数有五个零点，则正数的取值范围是（ ）A．B．C．D．11.如图，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若，那么原三角形的周长是（）A．B．广东省惠州市2024届高三上学期第三次调研考试数学试题二、多选题C．D．12. 已知实数，满足等式，下列五个关系式：①；②；③；④；⑤．其中不可能成立的关系式有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个13. 若周长为15的三角形δ的三边长均为整数，则（ ）A ．δ的任一边长不超过7B ．不同的δ的个数不超过8C ．δ的面积不小于4D ．δ的面积可能超过1214. 数学中有各式各样富含诗意的曲线，螺旋线就是其中比较特别的一类．螺旋线这个名词源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”．小明对螺旋线有着浓厚的兴趣，连接嵌套的各个正方形的顶点就得到了近似于螺旋线的美丽图案，其具体作法是：在边长为1的正方形中，作它的内接正方形，且使得；再作正方形的内接正方形，且使得；与之类似，依次进行，就形成了阴影部分的图案，如图所示．设第个正方形的边长为（其中第1个正方形的边长为，第2个正方形的边长为，…），第个直角三角形（阴影部分）的面积为（其中第1个直角三角形的面积为，第2个直角三角形的面积为，…），则（）A ．数列是公比为的等比数列B．C ．数列是公比为的等比数列D ．数列的前项和15. 某养老院有110名老人，经过一年的跟踪调查，过去的一年中他们是否患过某流行疾病和性别的相关数据如下表所示：性别是否患过某流行疾病合计患过该疾病未患过该疾病男b女c合计80110下列说法正确的有（ ）参考公式：，其中．附表：0.10.050.0250.010.0012.7063.8415.0246.63510.828A．B．C ．根据小概率值的独立性检验，认为是否患过该流行疾病与性别有关联D．根据小概率值的独立性检验，没有充分的证据推断是否患过该流行疾病与性别有关联三、填空题四、填空题五、解答题六、解答题七、解答题16. 给出下列命题，其中是真命题的是（ ）A．若函数的定义域为[0，2]，则函数的定义域为[0，1]；B．函数的单调递减区间是；C．若定义在上的奇函数在区间上是单调递增，则在区间上也是单调递增的；D ．定义域内存在两个值，，且，若，则是减函数.17.若，则的展开式中常数项为______．18. 已知，若，则______．19.若是定义在上的奇函数，当时，，则=_____；20. 已知函数则________；方程的解为________．21. 已知圆心在原点的圆与直线相切，则圆的半径为______；若圆沿着直线向上滚动一周得到圆，则圆的圆心坐标为______.22.已知函数．（1）化简并求函数的最小正周期；（2）求使函数取得最大值的集合．23.已知函数.从下面的两个条件中任选其中一个：①；②若，且的最小值为，，求解下列问题：(1)化简的表达式并求的单调递增区间；(2)已知，求的值.24. 为保护学生视力，让学生在学校专心学习，促进学生身心健康发展，教育部于2021年1月15日下发文件《关于加强中小学生手机管理工作的通知》，对中小学生的手机使用和管理作出了规定．某中学研究型学习小组调查研究“中学生每日使用手机的时间”，从该校中随机调查了100名学生，得到如下统计表：时间人数1038321073(1)估计该校学生每日使用手机的时间的平均数（同一组数据用该组区间的中点值作代表）；(2)以频率估计概率，若在该校学生中随机挑选3人，记这3人每日使用手机的时间在的人数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望．25. 已知函数，．(1)当时，求证：．(2)令，若的两个极值点分别为m ，n （m <n ）．①当时，求曲线在，处的切线方程（为的导函数）；八、解答题九、解答题②求证：．26. 已知数列为等差数列，，，前项和为，数列满足，求证：(1)数列为等差数列；(2)数列中任意三项均不能构成等比数列.27. 羽毛球运动是中学生喜爱的体育运动项目之一．为了研究中学生打羽毛球的水平，下表统计了甲同学参加的60局羽毛球比赛的数据．获胜局数失败局数甲先发球2010甲未先发球1515(1)根据小概率值的独立性检验，能否认为甲同学在比赛中是否先发球与胜负之间有关联？(2)已知甲同学与乙同学进行总决赛，采取五局三胜制，每局比赛没有平局且各局结果互相独立．视频率为概率，每局比赛甲同学获胜的概率为上表中的频率，经抽签，第一局甲同学先发球，第二局乙同学先发球，依次轮换．设为甲同学在总决赛中获胜的局数，求的分布列和数学期望．附：，其中．0.100.050.010.0052.7063.8416.6357.87928. 某地区2016至2022年生活垃圾无害化处理量（单位：万吨）如下表：年份2016201720182019202020212022年份代号x1234567生活垃圾无害化处理量y 3.94.34.65.45.86.26.9(1)求y 关于x 的线性回归方程；(2)根据（1）中的回归方程，分析过去七年该地区生活垃圾无害化处理的变化情况，并预测该地区2024年生活垃圾无害化处理量.附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，.参考数据。