2020届高三调研考试卷理科数学(一)(解析附后)

广东省2020届高三调研考试I数学（理科）注意事项：1. 答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚。

2. 每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

在试题卷上作答无效。

3. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

满分150分，考试用时120分钟。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合{}4<=x x A ，{}052≤-=x x x B ，则=B A A.{}40<≤x x B.{}5≤x x C.{}40<<x x D.{}0≤x x 2. 函数83)(-=xx f 的零点为 A.38 B.2log 33 C.83 D.3log 8 3. 若复数iz 21+的虚部为1-，则z 可能为 A.51 B.41 C.31 D.21 4. 为了了解运动健身减肥的效果，某健身房调查了20名肥胖者，健身之前他们的体重情况如三维饼图（1）所示，经过四个月的健身后，他们的体重情况如三维饼图（2）所示。

对比健身前后，关于这20名肥胖者，下面结论不正确的是A.他们健身后，体重在区间)100,90[kg kg 内的人增加了2个B.他们健身后，体重在区间)110,100[kg kg 内的人数没有改变C.他们健身后，20人的平均体重大约减少了8kgD.他们健身后，原来体重在区间)120,110[kg kg 内的肥胖者体重都有减少5. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A.π115B.π140C.π165D.π2156. 最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高，根据记载，商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，我国的《九章算术》也有记载，所以，商高比毕达哥拉斯早500多年发现勾股定理。

2020届高三第一次调研考试2020届高三第一次调研考试理科数学参考答案及评分细则一、选择题：1．【解析】由M 中不等式得()20x x -<，解得02x <<，即()02M =，，{}1M N ∴=，故选B ．2．【解析】由()()()2i 3i 35i x y +-=++，得()()632i 35i x x y ++-=++， ∴63325x x y +=-=+⎧⎨⎩，解得34x y =-=⎧⎨⎩，∴i 34i 5x y +=-+=．故选A ．3．【解析】由频率分布直方图可得，320名学生中每周的自习时间不足225．小时的人数是()3200020072572⨯+⨯=．．．人．故选B ． 4．【解析】除甲乙外，其余5个排列数为55A 种，再用甲乙去插6个空位有26A 种，不同的排法种数是52563600A A =种，故选A.5．【解析】因为点E 是CD 的中点，所以12EC AB =，点F 是BC 的中点，所以1122CF CB AD ==-， 所以1122EF EC CF AB AD =+=-，故选C ． 6．【解析】由题意得1q ≠±．由639S S =得()()631111911a q a q qq--=⨯--，∴319q +=，∴2q =．又()515112316212a S a -===-，∴12a =．故选B ．7.【解析】因为抛物线的焦点为(1,0),所以22212c b a c a b=⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩解得221545a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ，双曲线方程为225514y x -=.故选C. 8．【解析】函数sin y x =的图象向左平移2π个单位后，得到函数()sin()cos 2f x x x π=+=的图象，()cos f x x =为偶函数，排除A ；()cos f x x =的周期为2π，排除B ；因为()cos=022f ππ=，所以()f x 的图象不关于直线2x π=对称，排除C. 故选D ．9．【解析】对于A ，若存在一条直线a ，a ∥α，a ∥β，则α∥β或α与β相交，若α∥β，则存在一条直线a ，使得a ∥α，a ∥β，所以选项A 的内容是α∥β的一个必要条件；同理，选项B ，C 的内容也是α∥β的一个必要条件而不是充分条件；对于D ，可以通过平移把两条异面直线平移到一个平面中，成为相交直线，则有α∥β，所以选项D 的内容是α∥β的一个充分条件。

甘肃省2020届高三上学期第一次调研考试（12月）数学（理）试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设，（其中为虚数单位，是的共轭复数），则（）A. 2B.C.D. -22.已知集合，集合，则（）A. B. C. D.3.已知数列为等差数列，且满足，若，点为直线外一点，则A. B. C. D.4.过抛物线的焦点作直线交抛物线于点两点，若，则中点到抛物线准线的距离为（）A. 2B. 3C. 4D. 55.已知，“函数有零点”是“函数在上为减函数”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.7.的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为A. -40B. -20C. 20D. 408.年东京夏季奥运会将设置米男女混合泳接力这一新的比赛项目，比赛的规则是：每个参赛国家派出2男2女共计4名运动员比赛，按照仰泳蛙泳蝶泳自由泳的接力顺序，每种泳姿米且由一名运动员完成，每个运动员都要出场. 现在中国队确定了备战该项目的4名运动员名单，其中女运动员甲只能承担仰泳或者自由泳，男运动员乙只能承担蝶泳或自由泳，剩下的男女各一名运动员则四种泳姿都可以上，那么中国队共有（）种兵布阵的方式.A. B. C. D.9.已知函数，若，则A. B. C. D.10.若函数的图像关于点对称，且当时，，则（）A. B. C. D.11.在平面直角坐标系中,双曲线的右焦点为F,一条过原点O且倾斜角为锐角的直线与双曲线C 交于A,B两点，若△FAB的面积为，则直线的斜率为（）A. B. C. D.12.已知定义在上的函数是奇函数，且满足，，数列满足且，则__________．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.13.中，角的对边分别为若，，，则__________．14.抛物线与轴围成的封闭区域为，向内随机投掷一点，则的概率为__________．15.已知四点在球的表面上，且，，若四面体的体积的最大值为，则球的表面积为__________．16.已知则的大小关系是__________．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列满足.（1）证明：是等比数列；（2）令，求数列的前项和.18.在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投次；在处每投进一球得分，在处每投进一球得分；如果前两次得分之和超过分即停止投篮，否则投第三次.同学在处的命中率为0，在处的命中率为，该同学选择先在处投一球，以后都在处投，用表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为]（1）求的值；（2）求随机变量的数学期望；（3）试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小.19.如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，与均为等边三角形，点为的中点.（1）证明：平面平面；（2）试问在线段上是否存在点，使二面角的余弦值为，若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由.20.已知椭圆：的离心率为，且点在椭圆上.（1）求椭圆的方程；（2）已知，设点（且）为椭圆上一点，点关于轴的对称点为，直线分别交轴于点，证明：.（为坐标原点）21.已知函数．（1）若函数在处的切线平行于直线，求实数a的值；（2）判断函数在区间上零点的个数；（3）在（1）的条件下，若在上存在一点，使得成立，求实数的取值范围．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑。

2020届高三学年第一次调研考试数学科试卷（理科）参考答案1. A2. D3. B4. C5. A6. A7. B8. D9.C 10.B 11. C 12. B ． 13． 250x y +-= 14．－2. 15.2916．4π 17．解：（1）在ABC ∆中，，，解得2BC =，∴．（2）Q，∴，∴在ABC ∆中，，∴， ．∴13CD =18. 证明：（1）如图1，三棱柱中，连结BM ， 11BCC B Q 是矩形，1BC BB ∴⊥，11//AA BB Q ，1AA BC ∴⊥，1AA MC ⊥Q ，，1AA ∴⊥平面BCM ，1AA MB ∴⊥， 1AB A B =Q ，M ∴是1AA 中点， //NP MA ∴，且NP MA =，∴四边形AMNP 是平行四边形，//MN AP ∴， MN ⊂/Q 平面ABC ，AP ⊂平面ABC ，//MN ∴平面ABC ．解：（2）1AB A B ⊥Q ，1ABA ∴∆是等腰直角三角形，设AB ， 则12AA a =，，在Rt ACM ∆中，2AC a =，MC a ∴=，在BCM ∆中，，MC BM ∴⊥，由（1）知1MC AA ⊥，1BM AA ⊥， 如图2，以M 为坐标原点，1MA ，MB ，MC 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系， 则(0M ，0，0)，(0C ，0，)a ，1(2B a ，a ，0)，(,,)22a aN a ∴，，设平面CMN 的法向量(n x =r，y ，)z ，则00n MC n MN ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u u r r g u u u u r rg ，即，取1x =，得(1n =r ，2-，0)，平面ACM 的法向量(0m =r，1，0)，则，Q 二面角A CM N --的平面角是钝角，∴二知识面角A CM N --的余弦值为．19．解：（Ⅰ）由频率分布直方图可知，得分在[20，40)的频率为，故抽取的学生答卷总数为6600.1=，，18x =． ∴没有90%的把握，认为性别与安全测试是否合格有关．（Ⅱ）“不合格”和“合格”的人数比例为，因此抽取的10人中“不合格”有4人，“合格”有6人，所以X 可能的取值为20、15、10、5、0，，1421735210所以．（Ⅲ）由（Ⅱ）知：∴．故我们认为该校的安全教育活动是有效的，不需要调整安全教育案．⋯⋯⋯⋯ 20. 解（1）可知12(1,0)(1,0)F F -，设0000(,),(,)P x y Q x y - 则22120000005(1,)(1,)1F P F Q x y x y x y =-=+--=--u u u r u u u u rg g ，又2004y x =， 所以200514x x -=-- 解得02x =，所以T （2,0）（2）据题意，直线m 的斜率必不为0，所以设:1m x ty =+，将直线m 的方程代入椭圆的方程中，整理得22(2)210t y ty ++-=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则12122221(1),(2)22t y y y y t t +=-=-++，因为22F A F B λ=u u u u r u u u u r ，所以12y y λ=且0λ<，将（1）式平方除以（2）式得212221422y y t y y t ++=-+C所以221422t t λλ++=-+，又[]2,1λ∈--，解得2207t ≤≤又1212(4,)TA TB x x y y +=+-+u u r u u r ，2121224(1)4()22t x x t y y t ++-=+-=-+ 所以2221212222288=(4)()162(2TA TB x x y y t t ++-++=-+++u u r u u r ）令212n t =+，则71,162n ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以222717169=828+16=8()4,4232TA TB n n n ⎡⎤+---∈⎢⎥⎣⎦u u r u u r所以28TA TB ⎡+∈⎢⎣⎦u u r u u r ，21． 解：（1）因为22321x y lnxx =-，(1)x >，所以，当3x =时，；证明：（2）要证，只需证设，则所以()h x 在(1,)+∞上单调递减，所以()h x h <（1）0= 所以16yx <，即16m <；证明（3）因为，又由（2）知，当1x > 时，12x lnx x ->，所以，所以， 所以．[选修4--4：坐标系与参数方程] 22． 解：（1）由得，将222x y ρ=+，sin y ρθ=代入上式并整理得曲线C 的直角坐标方程为2212x y +=，设点P 的直角坐标为(,)x y ，因为P 的极坐标为，)4π，所以，，所以点P 的直角坐标为(1,1)．（2）将315415x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入2212x y +=，并整理得，因为△，故可设方程的两根为1t ，2t ，则1t ，2t 为A ，B 对应的参数，且，依题意，点M 对应的参数为122t t +，所以．[选修4-5：不等式选讲]23． 解：（Ⅰ）0m >Q ，，∴当2x m -…时，()f x 取得最大值3m ．1m ∴=． （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得，221a b +=，∴．，当且仅当a b =时等号成立．102ab ∴<…， 令1()2h t t t=-，102t <…，则()h t 在(0，1]2上单调递减，，∴当102ab <…时，121ab ab-…，∴331a b b a +…．。

2020届高三数学统一调研测试题理（含解析）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先化简集合，再根据集合交集定义运算即可.【详解】因为，故选A.【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，属于容易题.2.复数的共轭复数是( )A. B. ｉ C. D.【答案】A【解析】【分析】先利用复数的除法运算化简复数，然后求其共轭复数.从而求得正确结论.【详解】，故其共轭复数.所以选A.【点睛】本小题主要考查复数除法运算，考查共轭复数的概念，属于基础题.3.方程的根所在的一个区间是()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先将方程的根所在的一个区间转化为函数的零点所在的区间，再利用函数的单调性及特殊值所对应的函数值的符合确定零点所在区间即可.【详解】解:设,则函数为增函数,又,,由零点定理可得方程的根所在的一个区间是,故选B.【点睛】本题考查了函数的零点定理，重点考查了方程与函数的相互转化，属基础题.4.设首项为，公比为的等比数列的前项和为，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】Sn＝＝＝＝3－2an.5.下列函数既是奇函数，又在上单调递增的是A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性以及上的单调性，综合即可得答案．【详解】根据题意，依次分析选项：对于A，f（x）＝|sinx|，为偶函数，不符合题意；对于B，f（x）＝ln，其定义域为（﹣e，e），有f（﹣x）＝ln ln f（x），为奇函数，设t1，在（﹣e，e）上为减函数，而y＝lnt为增函数，则f（x）＝ln在（﹣e，e）上为减函数，不符合题意；对于C，f（x）（ex﹣e﹣x），有f（﹣x）（e﹣x﹣ex）（ex﹣e﹣x）＝﹣f（x），为奇函数，且f′（x）（ex+e﹣x）＞0，在R 上为增函数，符合题意；对于D，f（x）＝ln（x），其定义域为R，f（﹣x）＝ln（x）＝﹣ln（x）＝﹣f（x），为奇函数，设t x，y＝lnt，t在R上为减函数，而y＝lnt 为增函数，则f（x）＝ln（x）在R上为减函数，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的判定，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题．6.已知，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】.故选A.7.平面向量，满足，，且，则向量，的夹角为()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由向量的数量积运算可得，再由向量的夹角公式得，再由夹角的范围为，求即可得解.【详解】解：因为，所以，又，，则，设向量，的夹角为，则，即，又，即，故选D.【点睛】本题考查了向量的数量积及向量夹角的求法，重点考查了运算能力，属基础题.8.已知数列是等差数列，，其中公差.若是和的等比中项，则( )A. 398B. 388C. 189D. 199【答案】C【解析】【详解】由题意可得设公差为，代入数据可得，解得故选C．9.函数的图象向右平移个单位后所得的图象关于原点对称，则可以是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出函数图象平移后的函数解析式，再利用函数图象关于原点对称，即，求出，比较可得.【详解】函数的图象向右平移个单位后得到.此函数图象关于原点对称，所以.所以.当时，．故选B.【点睛】由的图象，利用图象变换作函数的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象沿轴的伸缩量的区别．先平移变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是个单位；而先周期变换(伸缩变换)再平移变换，平移的量是个单位.10.若函数满足，且时，，函数，则函数在内的零点个数为() A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据条件可得是周期为2的周期函数，，即，再在同一坐标系中作时，与的图像，由图像可得解.【详解】解：由题意可得，是周期为2的周期函数，由函数的零点个数与函数图像的交点个数的关系可得，函数的零点个数即为与，的图像的交点个数，在同一坐标系中，与的图像如图所示，故在区间上，与的图像有8个交点，故函数在内的零点个数为8，故选B.【点睛】本题考查了函数的零点个数与函数图像的交点个数的关系，重点考查了数形结合的数学思想方法，属中档题.11.西安市为了缓解交通压力，实行机动车限行政策，每辆机动车每周一到周五都要限行一天，周末（周六和周日）不限行某公司有，，，，五辆车，每天至少有四辆车可以上路行驶.已知车周四限行，车昨天限行，从今天算起，，两车连续四天都能上路行驶，车明天可以上路，由此可知下列推测一定正确的是（）A. 今天是周四B. 今天是周六C. 车周三限行D. 车周五限行【答案】A【解析】【分析】由题意首先考查选项A，利用推理的方法找到符合题意的选项之后即可排除其余的选项.【详解】首先考查选项A：若今天周四，，，，，五辆车分别在周一，周三，周二，周五，周四，满足题意，据此可排除B，C，D，故选A.【点睛】本题主要考查推理案例的处理方法，特殊值法处理选择题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12.已知函数若成立，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】不妨设，，故，令，，易知在上是增函数，且，当时，，当时，，即当时，取得极小值同时也是最小值，此时，即的最小值为，故选B.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设，向量，，若，则____．【答案】.【解析】【分析】根据向量平行的坐标运算得到，即，再由二倍角公式得到.【详解】因为所以，即，所以.因为，所以,所以,所以,故答案为.【点睛】这个题目考查了向量的坐标运算，以及向量平行的坐标运算，是基础题.14.在中，，，，则__________．【答案】【解析】【分析】已知两边一夹角，可利用余弦定理求对边，即,再利用正弦定理求解即可.【详解】解：因为在中，，，，由余弦定理可得：，由正弦定理得：,故答案为.【点睛】本题考查了正弦定理及余弦定理的应用，重点考查了解斜三角形，属基础题.15.已知命题，，命题，，若为假命题，则实数的取值范围为_______________．【答案】【解析】【详解】若为假命题，则、均为假命题，则，与，均为真命题．根据，为真命题可得，根据，为真命题可得，解得或．综上，．16.如图放置的边长为1的正方形沿轴滚动，点恰好经过原点.设顶点的轨迹方程是，则对函数有下列判断：①函数是偶函数；②对任意的，都有；③函数在区间上单调递减；④函数的值域是；⑤.其中判断正确的序号是__________．【答案】①②⑤【解析】【分析】根据正方形的运动，得到点P的轨迹方程，然后根据函数的图象和性质分别进行判断即可．【详解】当﹣2≤x≤﹣1，P的轨迹是以A为圆心，半径为1的圆，当﹣1≤x≤1时，P的轨迹是以B为圆心，半径为的圆，当1≤x≤2时，P的轨迹是以C为圆心，半径为1的圆，当3≤x≤4时，P的轨迹是以A为圆心，半径为1的圆，∴函数的周期是4．因此最终构成图象如下：①，根据图象的对称性可知函数y＝f（x）是偶函数，故①正确；②，由图象即分析可知函数的周期是4．即f（x+4）＝f（x），即f（x+2）＝f（x﹣2），故②正确；③，函数y＝f（x）在区间[2，3]上单调递增，故③错误；④，由图象可得f（x）的值域为[0，]，故④错误；⑤，根据积分的几何意义可知f（x）dxπ•（）21×1π×12，故⑤正确．故答案为：①②⑤．【点睛】本题考查的知识点是函数图象的变化，其中根据已知画出正方形转动过程中的一个周期内的图象，利用数形结合的思想对本题进行分析是解答本题的关键．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.锐角的内角、，的对边分别为，，，.(1)求角的大小；(2)若，的面积为，求的周长.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)由正弦定理化边为角，结合两角和的正弦公式可得，再由，为锐角三角形，可求角的大小；(2)由三角形的面积公式，求出，再结合余弦定理可得，则可求得，然后可得解.【详解】解：(1)因为，则由正弦定理得，即，，，又为锐角三角形，又，故；(2)在中，，，又，，，，故的周长为.【点睛】本题考查了正弦定理及余弦定理的应用，主要考查了解斜三角形，重点考查了运算能力，属基础题.18.在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线的极坐标方程为，两条曲线交于两点.(1) 求直线与曲线交点的极坐标；(2) 已知为曲线 (为参数)上的一动点，设直线与曲线的交点为，求的面积的最小值.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）把极坐标方程化为直角坐标方程为，，解方程组可得直线与曲线交点为，化为极坐标为．（2）由（1）可得，故当点到直线的距离最小时，的面积最小．故可设点，则点到直线的距离为(其中），可得，从而得面积的最小值为．试题解析：（1)由，得，又，所以，由，得，又,所以，由，解得或．所以直线与曲线交点的极坐标为．(2)由（1)知直线与曲线交点的直角坐标为，所以，因此当的面积最小时，点到直线的距离也最小．设点，则点到直线的距离为(其中）故当时，取得最小值，且，所以面积的最小值为．19.已知函数在与处都取得极值．（1）求函数的解析式及单调区间；（2）求函数在区间的最大值与最小值．【答案】（1）；单调增区间是，减区间是；（2）.【解析】【分析】(1)，即可求出函数的解析式,再利用导数求函数的单调区间.(2)比较函数的极值和端点函数值的大小即得函数在区间的最大值与最小值．【详解】（1）因为，所以,由，,,令或，，所以单调增区间是减区间是.（2）由（1）可知，+递增极小值，极大值而，可得.【点睛】（1）本题主要考查利用导数研究函数的极值和最值，利用导数研究函数的单调区间，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)求函数在闭区间上的最值，只要比较极值和端点函数值的大小.20.已知数列的前项和为，且．（1）求数列的通项公式；（2）若数列的前项和为，证明：．【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】(1)根据前n项和与通项间的关系得到，，，两式做差即可得到数列，数列为常数列，，即；（2）根据第一问得到，裂项求和即可.详解】（1）当时，，即，当时，①，②，得，即，所以，且，所以数列为常数列，，即．（2）由（1）得，所以，所以，．【点睛】这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知和的关系，求表达式，一般是写出做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等。

2021高三期末考试2021-2021年高三上学期第一次调研测试数学（理）试题（解析版）20XX-2021年高三上学期第一次调研测试数学（理）试题一、单选题1．设，则（）A．B．C．D．【答案】D 【解析】根据集合的交集运算即可求解。

【详解】，故选：D 【点睛】本题考查集合的基本运算，属于基础题。

2．函数的最小正周期是（）A．B．C．D．【答案】B 【解析】由三角函数的最小正周期，即可求解。

【详解】，故选：B 【点睛】本题考查求三角函数的周期，属于基础题。

3．已知向量，则（）A．-8B．4C．7D．-1【答案】A 【解析】由向量数量积的坐标运算即可求解. 【详解】故选：A 【点睛】本题考查向量的坐标运算，属于基础题. 4．已知奇函数当时，，则当时，的表达式是( ) A．B．C．D．【答案】C 【解析】设x&lt;0，则−x>0，又当x>0时,f(x)=x(1−x)，故f(−x)=−x(1+x)，又函数为奇函数，故f(−x)=−f(x)=−x(x+1)，即f(x)=x(x+1)，本题选择C选项. 5．若数列满足：且，则（）A．B．-1C．2D．【答案】B 【解析】首先由递推关系得出、、、且数列的周期为即可求出.【详解】由且，则，，，所以数列为周期数列，周期为，所以故选：B 【点睛】本题考查数列周期性的应用，属于基础题. 6．若，则（）A．B．C．D．【答案】C 【解析】本道题化简式子,计算出,结合,即可. 【详解】 ,得到,所以 ,故选C. 【点睛】本道题考查了二倍角公式,难度较小. 7．将函数图像上的每一个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图像向左平移个单位得到数学函数的图像，在图像的所有对称轴中，离原点最近的对称轴为（）A．B．C．D．【答案】A 【解析】分析：根据平移变换可得，根据放缩变换可得函数的解析式，结合对称轴方程求解即可. 详解：将函数的图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，得到，再将所得图象向左平移个单位得到函数的图象，即，由，得，当时，离原点最近的对称轴方程为，故选A. 点睛：本题主要考查三角函数的图象与性质，属于中档题.由函数可求得函数的周期为；由可得对称轴方程；由可得对称中心横坐标. 8．已知是不共线的向量，，若三点共线，则满足（）A．B．C．D．【答案】D 【解析】根据平面向量的共线定理即可求解。

2020届广东省高三调研（12月）考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合{|4}A x x =<，{}2|50B x x x =-≤，则A B =（ ）A ．{|04}x x ≤<B ．{|5}x x ≤C ．{|04}x x <<D ．{|0}x x ≤【答案】A【解析】先分别求出集合A 和B ，由此能求出A ∩B ． 【详解】因为{|4}A x x =<，{|05}B x x =≤≤，所以{|04}A B x x ⋂=≤<. 故选：A 【点睛】本题考查两个集合的交集的求法，考查二次不等式解法及交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．函数()38x f x =-的零点为（ ） A ．83B ．33log 2C ．38D ．8log 3【答案】B【解析】由函数零点与方程的根的关系，解方程3x﹣8＝0，即可得解． 【详解】由()0f x =，得38x =，即33log 83log 2x ==. 故选：B 【点睛】本题考查了函数零点与方程的根的关系，考查指对互化及对数运算，属简单题． 3．若复数12zi+的虚部为-1，则z 可能为（ ） A ．16i -- B ．16i -+C ．13i -D ．13i +【答案】C 【解析】设()12za i a i=-∈+R ，利用复数代数形式的乘除运算化简得a 值可得答案 【详解】 依题意可设()12za i a i=-∈+R ，则2(21)z a a i =++-.当21a +=-时，a-=-，217a+=时，213a-=-；当21故选：C.【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．4．为了了解运动健身减肥的效果，某健身房调查了20名肥胖者，健身之前他们的体重情况如三维饼图（1）所示，经过四个月的健身后，他们的体重情况，如三维饼图（2）所示.对比健身前后，关于这20名肥胖者，下面结论不正确的是（）A．他们健身后，体重在区间(90kg,100kg)内的人增加了2个B．他们健身后，体重在区间[100kg,110kg)内的人数没有改变C．他们健身后，20人的平均体重大约减少了8 kgD．他们健身后，原来体重在区间[110kg,120kg)内的肥胖者体重都有减少【答案】C【解析】利用饼状图逐项分析即可求解【详解】体重在区间[90kg,100kg)内的肥胖者由健身前的6人增加到健身后的8人.故人增加了2个，故A正确；他们健身后，体重在区间[100kg,110kg)内的百分比没有变，所以人数没有变，故B 正确；他们健身后，20人的平均体重大约减少了⨯+⨯+⨯-⨯+⨯+⨯=；因为图（2）(0.3950.51050.2115)(0.1850.4950.5105)5kg中没有体重在区间[110kg,120kg)内的比例，所以原来体重在区间[110kg,120kg)内的肥胖者体重都有减少，故D正确故选：C【点睛】本题考查识图能力，考查统计知识，准确理解图形是关键，是基础题 5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．115πB ．140πC ．165πD ．215π【答案】A【解析】由三视图可知，直观图是由半个球与一个圆锥拼接，即可求出表面积． 【详解】由三视图可知，该几何体由半个球与一个圆锥拼接而成，所以该几何体的表面积251325115S πππ=⨯⨯+⨯=.故选：A 【点睛】本题考查三视图，考查表面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 6．最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高，根据记载，商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，我国的（九章算术也有记载，所以，商高比毕达哥拉斯早500多年发现勾股定理.现有ABC ∆满足“勾3股4弦5”.其中4AB =.D 为弦BC 上一点（不含端点），且ABD ∆满足勾股定理.则AB AD ⋅=（ ）A ．25144B ．25169C ．16925D ．14425【答案】D【解析】先由等面积得AD ，利用向量几何意义求解即可 【详解】由等面积法可得341255AD ⨯==，依题意可得，AD BC ⊥，则AB 在AD 上的投影为||AD ，所以2144||25AB AD AD ⋅==. 故选：D【点睛】本题考查向量的数量积，重点考查向量数量积的几何意义，是基础题 7．已知函数()sin3(0,)f x a x a b a x =-++>∈R 的值域为[5,3]-，函数()cos g x b ax =-，则()g x 的图象的对称中心为（ ）A ．,5()4k k π⎛⎫-∈⎪⎝⎭Z B ．,5()48k k ππ⎛⎫+-∈⎪⎝⎭Z C ．,4()5k k π⎛⎫-∈⎪⎝⎭Z D ．,4()510k k ππ⎛⎫+-∈⎪⎝⎭Z 【答案】B【解析】由值域为[5,3]-确定,a b 的值，得()5cos4g x x =--，利用对称中心列方程求解即可 【详解】因为()[,2]f x b a b ∈+，又依题意知()f x 的值域为[5,3]-，所以23a b += 得4a =，5b =-，所以()5cos4g x x =--，令4()2x k k ππ=+∈Z ，得()48k x k ππ=+∈Z ，则()g x 的图象的对称中心为,5()48k k ππ⎛⎫+-∈ ⎪⎝⎭Z . 故选：B 【点睛】本题考查三角函数 的图像及性质，考查函数的对称中心，重点考查值域的求解，易错点是对称中心纵坐标错写为08．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且54S =，1010S =，则15S =（ ） A ．16 B ．19C ．20D ．25【答案】B【解析】利用5S ，105S S -，1510S S -成等比数列求解 【详解】因为等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，所以5S ，105S S -，1510S S -成等比数列，因为54S =，1010S =，所以1056S S -=，15109S S -=，故1510919S =+=.故选：B 【点睛】本题考查等比数列前n 项性质，熟记性质是关键，是基础题9．若x ，y 满足约束条件40,20,20,x y x x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩且z ax y =+的最大值为26a +，则a 的取值范围是（ ） A ．[1,)-+∞ B ．(,1]-∞-C ．(1,)-+∞D ．(,1)-∞-【答案】A【解析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最值，判断a 的范围即可． 【详解】作出约束条件表示的可行域，如图所示.因为z ax y =+的最大值为26a +，所以z ax y =+在点(2,6)A 处取得最大值，则1a -≤，即1a ≥-.故选：A【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．10．过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点F 作双曲线C 的一条弦AB ，且0FA FB +=，若以AB 为直径的圆经过双曲线C 的左顶点，则双曲线C 的离心率为（ ） ABC ．2D【答案】C【解析】由0FA FB +=得F 是弦AB 的中点.进而得AB 垂直于x 轴，得2b ac a=+，再结合,,a b c 关系求解即可【详解】因为0FA FB +=，所以F 是弦AB 的中点.且AB 垂直于x 轴.因为以AB 为直径的圆经过双曲线C 的左顶点，所以2b a c a =+，即22c a a c a-=+，则c a a -=，故2c e a ==. 故选：C 【点睛】本题是对双曲线的渐近线以及离心率的综合考查，是考查基本知识，属于基础题． 11．已知函数()32cos f x x x =+，()()2()15xxg x e e=--，若1(,0]x ∀∈-∞，2x ∀∈R ，()()12f x a g x +≤，则a 的取值范围是（ ）A ．(,2]-∞-B ．40,27⎛⎤-∞-⎥⎝⎦C ．(,3]-∞-D ．,2794⎛⎤-∞-⎥⎝⎦【答案】D【解析】求导，确定max ()(0)2f x f ==，换元，构造函数求出()()2()15x xg x e e =--的最小值，列不等式求解a 即可 【详解】因为()32sin 0f x x '=->，所以()f x 在(,0]-∞上为增函数，所以max ()(0)2f x f ==.令(0)x t e t =>，()2()(1)5h t t t =--，()(1)(35)h t t t '=+-.当503t <<时，()0h t '<；当53t >时，()0h t '>.所以min 552540()1533927h t h ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==--=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，从而max 40()27g x =-.依题意可得40227a +≤-，即9427a ≤-. 故选：D 【点睛】本题考查函数最值的求解，考查换元法的应用，着重考查导数的应用，是中档题，注意最值的转化.12．在三棱锥P ABC -中，5AB BC ==，6AC =，P 在底面ABC 内的射影D 位于直线AC 上，且2AD CD =，4PD =.设三棱锥P ABC -的每个顶点都在球Q 的球面上，则球Q 的半径为（ ）A ．8B ．6C ．8D ．6【答案】A【解析】设AC 的中点为O 先求出ABC ∆外接圆的半径，设QM a =，利用QM ⊥平面ABC ，得QM PD ∥ ，在MBQ ∆ 及DMQ ∆中利用勾股定理构造方程求得球的半径即可 【详解】设AC 的中点为O,因为AB BC =，所以ABC ∆外接圆的圆心M 在BO 上.设此圆的半径为r .因为4BO =，所以222(4)3r r -+=，解得258r =.因为321OD OC CD =-=-=，所以8DM ==. 设QM a =，易知QM ⊥平面ABC ，则QM PD ∥.因为QP QB ==即22113625(4)6464a a -+=+，解得1a =.所以球Q 的半径R QB ===. 故选：A【点睛】本题考查球的组合体，考查空间想象能力，考查计算求解能力，是中档题二、填空题13．若抛物线28x y =上的点P 到焦点的距离为8，则P 到x 轴的距离是________. 【答案】6【解析】由抛物线的焦半径公式得则()00,P x y 的坐标，则到x 轴的距离可求．【详解】设点()00,P x y ，则028y +=，即06y =，即P 到x 轴的距离是6. 故答案为：6 【点睛】本题考查抛物线的标准方程，着重考查抛物线定义的应用，是基础题．14．某中学音乐社共有9人，其中高一的同学有4人，高二的同学有3人，高三的同学有2人.他们排成一排合影，则同年级的同学都排在一起的概率为________. 【答案】1210【解析】用捆绑法分析，视三个班为三个元素，再分析高一、高二、高三三个元素的之间的排法数目，进而由分步计数原理计算可得答案． 【详解】由捆绑法可得所求概率23432339941210A A A A P A ==. 故答案为：1210【点睛】本题考查排列、组合的运用及古典概型，涉及分步计数原理的应用，本题实际是相邻问题，可用捆绑法分析求解．15．已知函数2()log )f x x =，则不等式(1)(2)0f x f x ++>的解集为________.【答案】1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【解析】证明()f x 为奇函数，并确定为增函数，去掉函数符号f 列不等式求解 【详解】由题2()log )f x x =定义域为R,2()log )()f x x f x -==-故()f x 为奇函数，则(1)(2)0f x f x ++>等价于(1)(2)f x f x +>-，又()f x 为增函数，所以12x x +>-，解得1,3x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭.故答案为：1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查不等式的求解，利用条件判断函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键． 16．在数列{}n a 中，13a =，且()()12(1)22n n n a n a n +-=++- （1）{}n a 的通项公式为________； （2）在1a ，2a ，3a ，，2019a 这2019项中，被10除余2的项数为________.【答案】222n a n n =-+ 403【解析】（1）等式两边同除()1n n +构造数列为等差数列即可求出通项公式； （2）利用通项公式及被10除余2 的数的特点即可求解 【详解】（1）因为()()12(1)22n n n a n a n +-=++-，所以122221n n n a a n a n n n+-+--==+ 2+，即12221n n a a n n +---=+，则2n a n -⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列且首项为1，差为2，所以212(1)n a n n-=+- 21n =-，故222n a n n =-+（2）因为(21)2n n n a =-+，所以当n 能被10整除或n 为偶数且21n -能被5整除时，n a 被10除余2，所以8,10,18,20,,2010,2018n =，故被10除余2的项数为201014035+=. 故答案为：222n a n n =-+；403【点睛】本题考查数列的通项，考查构造法，注意解题方法的积累，属于中档题．三、解答题17．如图.四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是直角梯形，BC AD ∥，AB AD ⊥，22AD BC ==，四边形11ABB A 和11ADD A 均为正方形.（1）证明；平面11ABB A ⊥平面ABCD ；（2）求二面角1B CD A --的余弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2)【解析】（1）证明1AA ⊥平面ABCD ，再利用面面垂直判定定理证明（2）由（1）知1AA ，AB ，AD 两两互相垂直，故以A 为坐标原点，AB ，A D ，1AA 所在直线分别为x ，y ，z 轴建系，求出两个半平面的法向量，再利用二面角的向量公式求解即可 【详解】（1）证明：因为四边形11ABB A 和11ADD A 均为正方形，所以1AA AD ⊥，1AA AB ⊥. 又AD AB A ⋂=，所以1AA ⊥平面ABCD .因为1AA ⊂平面11ABB A ，所以平面11ABB A ⊥平面ABCD .（2）（法—）由（1）知1AA ，AB ，AD 两两互相垂直，故以A 为坐标原点，AB ，A D ，1AA 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则(0,0,0)A ，1(2,0,2)B ，(2,1,0)C ，(0,2,0)D ，则(2,1,0)CD =-，1(0,1,2)CB =-.设(,,)m a b c =为平面1B CD 的法向量，则120,20,m CD a b m CB b c ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 令1a =，则2b =，1c =，所以(1,2,1)m =.又因为1AA ⊥平面ABCD ，所以1(0,0,2)AA =为平面ABCD 的一个法向量.所以1cos ,6m AA 〈〉==因为二面角1B CD A --是锐角.所以二面角1B CD A --的余弦值为6（法二）过B 作BH CD ⊥于H ，连接1B H .由（1）知1BB ⊥平面ABCD ，则1BB CD ⊥， 而1BHBB B =，所以CD ⊥平面1BB H所以1B H CD ⊥从而1BHB ∠为二面角1B CD A --的平面角.12=⨯，即BH =.所以1B H ==故11cos 6BH BHB B H ∠==. 【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要注意向量法的合理运用．18．设函数23()cos sin 2f x x x x =+-，a ，b ，c 分别为ABC ∆内角A ，B ，C 的对边.已知()0f A =，2b =. （1）若a =B ； （2）若2a c =，求ABC ∆的面积. 【答案】(1) 6B π=. (2)【解析】（1）运用二倍角正余弦公式和辅助角公式，化简f （x ），并求得3A π=，再利用正弦定理求得1sin 2B =，可得结论；（2）由三角形的余弦定理得c =结合面积公式，求得b ，c 的关系，即可得到所求三角形的周长． 【详解】 （1）1cos23()2sin 212226x f x x x π-⎛⎫=+-=-- ⎪⎝⎭， 因为()0f A =，所以262A ππ-=，即3A π=.因为sin sin a b A B=，所以sin 1sin 2b A B a ==， 因为(0,)B π∈，所以6B π=或56π， 又b a <，所以6B π=.（2）由余弦定理，可得222(2)222cos3c c c π=+-⨯⨯，即23240c c +-=，解得c =（负根舍去），故ABC ∆的面积为11sin 2sin 223bc A π=⨯=【点睛】本题考查三角函数的恒等变换，正弦函数的图形和性质，考查解三角形的余弦定理和面积公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．19．某省新课改后某校为预测2020届高三毕业班的本科上线情况，从该校上一届高三（1）班到高三（5）班随机抽取50人，得到各班抽取的人数和其中本科上线人数，并将抽取数据制成下面的条形统计图.（1）根据条形统计图，估计本届高三学生本科上线率.（2）已知该省甲市2020届高考考生人数为4万，假设以（1）中的本科上线率作为甲市每个考生本科上线的概率.（i ）若从甲市随机抽取10名高三学生，求恰有8名学生达到本科线的概率（结果精确到0.01）；（ii ）已知该省乙市2020届高考考生人数为3.6万，假设该市每个考生本科上线率均为(01)p p <<，若2020届高考本科上线人数乙市的均值不低于甲市，求p 的取值范围.可能用到的参考数据：取40.360.0168=，40.160.0007=. 【答案】(1)60%；(2) （i ）0.12 （ii ） 2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】（1）利用上线人数除以总人数求解；（2）（i ）利用二项分布求解；（ii ）甲、乙两市上线人数分别记为X ，Y ，得~(40000,0.6)X B ，~(36000,)Y B p .，利用期望公式列不等式求解【详解】（1）估计本科上线率为4678560%50++++=.（2）（i ）记“恰有8名学生达到本科线”为事件A ，由图可知，甲市每个考生本科上线的概率为0.6，则882241010()0.6(10.6)0.360.16450.01680.160.12P A C C =⨯⨯-=⨯⨯=⨯⨯≈.（ii ）甲、乙两市2020届高考本科上线人数分别记为X ，Y ， 依题意，可得~(40000,0.6)X B ，~(36000,)Y B p . 因为2020届高考本科上线人数乙市的均值不低于甲市， 所以EY EX ≥，即36000400000.6p ≥⨯， 解得23p ≥， 又01p <<，故p 的取值范围为2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题考查二项分布的综合应用，考查计算求解能力，注意二项分布与超几何分布是易混淆的知识点.20．已知圆22260x y ++-=的圆心为1F ，直线l 过点2F 且与x 轴不重合，l 交圆1F 于C ，D 两点，过2F 作1F C 的平行线，交1F D 于点E .设点E 的轨迹为Ω. （1）求Ω的方程；（2）直线1l 与Ω相切于点M ，1l 与两坐标轴的交点为A 与B ，直线2l 经过点M 且与1l 垂直，2l 与Ω的另一个交点为N ，当||AB 取得最小值时，求ABN ∆的面积.【答案】(1) 221(0)82x y y +=≠ (2) 【解析】（1）根据三角形相似得到DE BEAD AC=，得到AE +DE ＝4，再利用椭圆定义求解即可（2）设1l 的方程为(0)y kx m k =+≠，与椭圆联立，由直线1l 与Ω相切得2282m k =+，由1l 在x 轴、y 轴上的截距分别为mk-，m ，得||AB 表达式，结合基本不等式求得M 坐标及2l ，进而得||MN ，则面积可求 【详解】（1）因为12FC EF ∥，所以12FCD EF D ∠=∠. 又11=F C F D ，所以11FCD F DC ∠=∠，则22EDF EF D ∠=∠， 所以2||ED EF =，从而2111||EF EF ED EF DF +=+=.22260x y ++-=化为22(32y x y ++=，所以21EF EF +==>从而E的轨迹为以1(F，2F为焦点，长轴长为右顶点）.所以Ω的方程为221(0)82x y y +=≠.（2）易知1l 的斜率存在，所以可设1l 的方程为(0)y kx m k =+≠，联立22,1,82y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得()222148480k x kmx m +++-=.因为直线l 与Ω相切,所以()()222(8)414480km k m∆=-+-=，即2282m k =+.1l 在x 轴、y 轴上的截距分别为mk-，m ，则||AB ====≥= 当且仅当2228k k =，即2k =±时取等号. 所以当212k =时，||AB 取得最小值，此时26m =，根据对称性.不妨取2k =，m=282143M km x k =-=-+，即3M x =-323M y =-⨯+=.联立22,1,82y x x y ⎧=+⎪⎪⎭⎨⎪+=⎪⎩消去y，得29160x ++=，则39M N N x x x +=-+=-，解得9N x =-，所以8||3M N MN x =-=，故ABN ∆的面积为1823⨯⨯=【点睛】本题考查了椭圆定义求轨迹方程，考查直线和椭圆的关系，考查基本不等式求最值，确定取得最值时直线方程是关键，属于压轴题．21．已知函数2()ln f x bx a x =+的图象在点(1,(1))f 处的切线的斜率为2a +. （1）讨论()f x 的单调性； （2）当02e a <≤时，证明：222()x f x x e x-<+. 【答案】(1) 见解析 (2)证明见解析【解析】（1）先求导，求出1b =，再分类讨论当0a ≥和0a <时导数的符号变化，即可得出单调性；（2）原不等式即证明22max minln 2x a x e x x -⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，构造函数ln ()02a x e g x a x ⎛⎫=<≤ ⎪⎝⎭和222()(0)x e h x x x-=>，分别求导确定最大值和最小值即可证明【详解】（1）()2a f x bx x'=+，则(1)22f b a a '=+=+， 解得1b =，22()2(0)a x af x x x x x'+=+=>.当0a ≥时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上单调递增. 当0a <时，令()0f x '>，得x >()0f x '<，得0x <<. 所以()f x在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增，在⎛ ⎝上单调递减.（2）证明：要证222()x f x x e x -<+，只要证22ln 2x a x e x x-<.令ln ()02a x e g x a x ⎛⎫=<≤ ⎪⎝⎭，则2(1ln )()a x g x x'-=， 当()0g x '>时，得0x e <<；当()0g x '<时，得x e >. 所以max ()()ag x g e e==， 令222()(0)x e h x x x -=>，则232(2)()x e x h x x-'-=. 当()0h x '>时，得2x >，当()0h x '<时，得02x << 所以min 1()(2)2h x h == 因为e02a <≤，所以max 1()2a g x e =≤， 又2e ≠，所以22ln 2x a x e x x-<，222()x f x x e x -<+得证.【点睛】本题考查了导数和函数的单调性和最值的关系，需要分类讨论，考查不等式证明，通常拆分为两个基本函数求最值是常用方法，属于难题．22．在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为1222x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数），曲线C 的参数方程为3cos 33sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）已知点P 的极坐标为(2,)π，l 与曲线C 交于,A B两点，求2.【答案】（1）6sin ρθ=；（2）6+.【解析】（1）利用消参数将参数方程化成普通方程，再利用公式cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩化成极坐标方程；（2）将点P 的极坐标化为直角坐标，得点P 为直线参数方程所过的定点，再利用参数的几何意义进行求解. 【详解】解：（1）曲线C 的直角坐标方程为22(3)9x y +-=，即226x y y +=，因为cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩所以26sin ρρθ=，即6sin ρθ=，故曲线C 的极坐标方程为6sin ρθ=.（2）将12,22x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入22(3)9x y +-=，得2(240t t -++=.设A 、B 两点对应的参数分别为1t ，2t，则122t t +=+124t t =.因为点P 的极坐标为(2,)π，所以点P 的直角坐标为(2,0)-，所以212||||6PA PB t t +=++=++=+.【点睛】本题考查曲线的参数方程、普通方程、极坐标方程的互化、直线参数方程参数的几何意义，考查转化与化归思想的应用，求解是要注意利用直线的参数的几何意义解题时，要保证参数方程为标准形式.23．已知函数()7 1.f x x x =-++ （1）求不等式2()10x f x <<的解集；（2）设[]x 表示不大于x 的最大整数，若[()]9f x ≤对[,9]x a a ∈+恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）(2,4)-；（2）(2,1)--.【解析】（1）将函数()f x 的绝对值去掉等价于62,1,()8,17,26,7,x x f x x x x -<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪->⎩再分别解不等式并取交集；（2）利用取整函数的定义，将不等式[()]9f x ≤转化为()10f x <，再利用（1）的结论进行求解. 【详解】（1）62,1,()8,17,26,7,x x f x x x x -<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪->⎩由()2f x x >得：1,622,x x x <-⎧⎨->⎩或17,82,x x -≤≤⎧⎨>⎩或7,262,x x x >⎧⎨->⎩解得：4x <；由()10f x <，1,6210,x x <-⎧⎨-<⎩或17,810,x -≤≤⎧⎨<⎩或7,2610,x x >⎧⎨-<⎩解得：28x -<<.故不等式2()10 x f x <<的解集为：(2,4)-. （2）依题意可得[()]9f x ≤等价于()10f x <， 由（1）知[()]9f x ≤的解集为(2,8)-. 因为[()]9f x ≤对[,9]x a a ∈+恒成立，所以[,9](2,8)a a +⊆-，所以2,98,a a >-⎧⎨+<⎩解得21a -<<-，所以a 的取值范围为(2,1)--. 【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、取整函数的应用，考查分类讨论思想和数形结合思想的应用，第（2）问取整函数不等式的等价转化是求解问题的关键.。

圳市育科究院市教育2020年深圳市高三第一次调研考试又绝密★启封并使用完毕前试题类型：A圳市育科究院市教E是AC的中点，∴到点A，C的距离相等的点位于平面B ED'内，同理可知，到点B'，D的距离相等的点位于平面ACF内，cos4EF<<，故应选B.二、填空题：圳市究院市13. 1−14. 32 15. 3 16.4516.解析:如图，不难发现直线1F M与圆O相切于点M，且1||MF b=，2)(sin cos)3cos(2π)x x x.）求函数()f x的最小正周期；已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b1,sin2sinC B，2，求△ABC的面积.解：（1）2)(sin cos)3cos(π2)x x x22sin cos2sin cos3cos2x x x x xsin23cos21x xπ2sin(2)13x，…………………………………4分()f x的最小正周期为2ππ2T. …………………………………………(2)π()2sin()113f A A，πsin()03A，ππ5π2333A，π3A,即π3A. …………………………………………………………由正弦定理及sin2sinC B，可得2c b. …………………………………由余弦定理得2222cosa b c bc A，可得b=. ……………………10分圳市育科学究院市教育科3b=，123sin23ABCS b c A. ……………………………………12分【命题意图】综合考查三角函数的基本运算、三角函数性质，考查利用正弦、余弦定理分）111A B C的所有棱长都相等，平面平面11C C.平面AB111AC B的余弦值）证明：设直线1AB与直线BA1A为菱形，11A B AB，分111C C C A，G为1A B的中点，故1G A B,1C G G，且1AB，1C G平面AB，1A B平面（法一）取BC中点O为坐标原点，如图，分别以,OA OC建立空间直角坐标系O xyz. ……6分不妨设棱柱的棱长为2，1(0,1,0),(0,0,3),(3,0,0),(0,1,0)C A B，1(3,0,3)AC，…………分11(3,1,0)AC AC，11(0,2,0)B C BC……………………8分设平面11A AC的一个法向量为1n，且111(,,n x y z111n AC，11n AC，则11111n ACn AC，得30330x yx z，取1z，则1x，3y，1(1,3,1)n，……………………………………………………………………9分设平面11AB C的一个法向量为2n，且2222(,,)n x y z，那么21n AC，211n B C，21211n ACn B C，得33020x zy，取1z，则1x，0y，2(1,0,1)n，……………………………………………………………………11分121212210cos552||||n nn nn n，,圳市育科学研院市教育科学即二面角111A AC B. …………………………………12分（法二）同（法一）建立空间直角坐标系，得1(3,0,3)AC，…………7分0003,,)(0,1,3)y z，点3,1,3)，1(3,0,BA1(0,1,3)AA,由于1A B平面1,所以1BA是平面11B一个法向量. ………………9分设平面11A AC的一个法向量为n，且(,,)n x y z1n AA，1n AC，11n AAn AC，得30330y zx z，取1z，则1x，3y，(1,3,1)n， (11)1112310cos5||||65BA nBA nBA n，,二面角111A AC B的余弦值为105. ……………………………………（法三）如图，连接1AC，交1AC于点M，11AAC C是菱形，11A M AC.1A G平面11AB C，故1AG AC，11A M A，1AC平面1A MG，GM平面1A MG,1GM AC，……7分1A MG为二面角111A AC B的平面角，不妨设棱柱的棱长为2，G，M是△1A BC边1A B，1AC上的中点，112BC,……………11B C中点为N，连接1A N，BN，易得平面11BB C C，1A N BN，16A B，162AG，102， (10)11210cos510GMA MGA M，圳市院市教育二面角111A AC B. …………………………………12分【命题意图】考查线面垂直判断定理、线面垂直性质定理等基本知识，考查空间想象能OM ON⋅为定值1b=，设椭圆的半焦距为24a=，……………………………………，使得OM ON⋅为定值，2,0)，设直线l：2216(16x k x++y4(2OM ON⋅=OM ON⋅为定值，则43OM ON⋅=，存在实数23t=，使得OM ON⋅为定值43. …………………………12分（法二）设存在实数=t t，使得OM ON⋅为定值，(2,0)A−，一般情况设:2(0)l x my m=−≠，00(,)M x y，圳市科学研究院市教联立2x my=−与2214xy+=，易知202284mxm−=+，0244mym=+，……6分222284(,)44m mMm m−++，………………………………………………7分m2t mOM ON⋅=OM ON⋅为定值，0012(84)4t t=−，此时43OM ON⋅=，……………………当直线l与x轴重合，且时，点(2,0)M，点也有43OM ON⋅=，………………………………………………………综上，存在实数t=OM ON⋅为定值4【命题意图】本题以直线与椭圆为载体，其几何关系向量表达为背景，决几何问题，主要考查椭圆的基本量，直线与椭圆的位置关系、向量的数量积运算，考查学生的逻辑推理，数学运算等数学核心素养及思辨能力（2）由频率分布直方图可认为该市全体参加预赛学生的预赛成绩Z服从正态分布()2,Nμσ，其中μ可近似为样本中的100名学生预赛成绩的平均值（同一组数据用该组区间的中点值作代表），且2362σ=. 利用该正态分布，估计全市参加预赛的全体学生中预赛圳市究院市教成绩不低于91分的人数；（3）预赛成绩不低于91分的学生将参加复赛，复赛规则如下：①每人的复赛初始分均为100分；②参赛学生可在开始答题前自行决定答题数量n，每一题都需要“花”掉(即减去)2(,Nμσ0.9545，P易知样本中成绩不低于60分的学生共有0.007520100⨯⨯分的学生中随机地抽取(,0.7)B n1.5Xξ=，，…………………………………………………………题的资格，甲需要“花”掉的分数为：………………………………………………设甲答完题的最终分数为，则()M n21000.05() 1.05n n n=−++20.05(10)105n=−−+，…………………………10分由于*n∈N，所以当10n=时，()M n取最大值105，即复赛成绩的最大值为105，圳市究院市教所以若学生甲期望获得最佳的复赛成绩，则他的答题数量n应为10. ……………12分【命题意图】考查频率分布直方图，建模能力；考查超几何分布模型，正态分布，二项分布；考查分析问题、解决问题的能力；处理数据能力，决策问题.（2）不等式222cos(2sin)()x a x af x+≤恒成立，即不等式2cos(2sin)cosx a x≤恒成立，令sin[1,1]x t=∈−，则等价于不等式2cos2(1)t a t≤−…①恒成立，………………6分圳市究院市教（法一）①若21t=，即1t=±时，不等式①显然成立，此时Ra∈；……………7分②若11t−<<时，不等式①等价于2cos21tat≥−…②，令2()cos21t t tΦ=+−(01)t≤≤，则()2(sin2)t t t'Φ=−，(1)2(1sin2)0'Φ=−>，∴由（1）不难知道存在唯一的实数(0,1t）∈，使得()0t'Φ=，圳市教育科学研究院市教育科学∴()t Φ在0[0,)t 上单调递减，在0(,1]t 上单调递增，又(0)0Φ=，且(1)cos20Φ=<，∴max ()0t Φ=，即()0H t ≤，………………11分 综上所述，满足题意的实数a 的取值范围为[1,)+∞. ………………………12分（法三）当0t =时，由2cos 2(1)t a t ≤−得1a ≥， ……………………7分下证当且仅当1a ≥时，不等式①在[1,1]t ∈−时恒成立，只需证不等式①在[0,1]t ∈时恒成立即可， ……………………8分 ①若cos20t ≤时，即π[,1]4t ∈时，不等式①显然成立； …………………9分 ②若cos20t >时，即π[0)4t ，∈时，2cos 2(1)t a t ≤−等价于2221cos2t att t≤−…③， 令tan t θ=π(0)4θ≤<，则不等式③等价于2tan 2cos 2attθ≤， …………………10分 又不等式tan sin x x x ≥≥在π[0,)2x ∈时显然成立（证明略）， …………………11分π[0)4t ，∈，∴π2[0,)2t ∈，∴2sin 2t t ≥，∴2sin 2tan 2tan 2cos2cos2at a t a t t t t≥=≥，tan t θθ=>，∴tan 2tan 2t θ≥， ∴2tan 2cos 2attθ≤，即不等式③成立，亦即不等式①成立， 综上所述，满足题意的实数a 的取值范围为[1,)+∞. ………………………12分 【命题意图】 本题以基本初等函数及不等式为载体，考查学生利用导数分析、解决问的能力，分类讨论思想及逻辑推理、数学运算等数学核心素养，具有较强的综合性.22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程如图，有一种赛车跑道类似“梨形”曲线，由圆弧BC ，AD 和线段AB ，CD 四部分组成，在极坐标系Ox 中，π(2,)3A ，2π(1,)3B ，4π(1,)3C ，π(2,)3D −，弧BC ，AD 所在圆的圆心分别是(0,0)，(2,0)，曲线1M 是弧BC ，曲线2M 是弧AD ．（1）分别写出1M ，2M 的极坐标方程；（2）点E ，F 位于曲线2M 上，且π3EOF ∠=， 求△EOF 面积的取值范围．ABCDOx（第22题图）圳市究院市教解：（1）由题意，1M的极坐标方程是2π4π1()33ρθ=≤≤，……………………2分记圆弧AD所在圆的圆心为1(2,0)O，易得极点O在圆弧AD所在圆上，解得13t≤≤，即实数t的取值范围为[1,3]. ……………………………………5分（说明：分类讨论求解亦可，可相应给分.）圳市究院市教(2) 易知222222()23231f x x t t x t t xx x x=+−++−≥+−++−=+−，……6分。