高三第二次调研考试数学试卷

安徽省滁州市定远中学2023届高三下学期毕业生调研考试（二）数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________二、多选题9．新能源汽车包括纯电动汽车、增程式电动汽车、混合动力汽车、燃料电池电动汽车、氢发动机汽车等.我国的新能源汽车发展开始于21世纪初，近年来发展迅速，连续8年12．三棱锥-P ABC 中，22AB =，三、填空题13．已知()()62701271(12)1(1)(1)x x a a x a x a x +-=+-+-++-L ，则2a =__________.14．如图，实心铁制几何体AEFCBD 由一个直三棱柱与一个三棱锥构成，已知cm BC EF p ==，2cm AE =，4cm BE CF ==，7cm AD =，且AE EF ^，AD ^底面AEF .某工厂要将其铸成一个实心铁球，假设在铸球过程中原材料将损耗20%，则铸得的铁球的半径为______cm .五、填空题16．若不等式()211x ax bx e ++£对一切x R Î恒成立，其中,,a b R e Î为自然对数的底数，则a b +的取值范围是________．(1)求C的方程；uuu r uuuu r (2)若过点()2,0的直线与C交于,P Q两点，在x轴上是否存在定点M，使得MP MQ×为定值？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．22．已知函数()()2=-+ÎR.ln1f x ax x x a（1）当2a=时，证明：函数()f x只有一个零点；（2）当1x³时，()0f x£，求实数a的取值范围.【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；=与（3）参变量分离法：由()0f x=分离变量得出()a g x=，将问题等价转化为直线y a函数()=的图象的交点问题.y g x。

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 若函数f(x) = x^3 - 3x + 1在x=1处取得极值，则该极值为（）A. 1B. -1C. 3D. -32. 已知函数f(x) = (x+1)^2/(x-1)，则f(x)的图像关于点（）对称A. (0,1)B. (1,0)C. (-1,0)D. (0,0)3. 若等差数列{an}的首项为a1，公差为d，且a1 + a3 + a5 = 15，a2 + a4 = 9，则数列{an}的前10项和S10等于（）A. 90B. 100C. 110D. 1204. 在直角坐标系中，点P(m,n)到原点的距离为5，则m^2 + n^2的值为（）A. 25B. 50C. 100D. 1255. 已知复数z满足|z+1|=|z-1|，则z在复平面内的轨迹方程为（）A. x^2 + y^2 = 1B. x^2 - y^2 = 1C. x^2 + y^2 = 4D. x^2 - y^2 =46. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c在区间[0,1]上单调递增，则a、b、c的关系为（）A. a > 0，b > 0，c > 0B. a > 0，b > 0，c < 0C. a < 0，b < 0，c > 0D. a < 0，b < 0，c < 07. 已知函数f(x) = log2(x+1) + log2(2-x)，则f(x)的定义域为（）A. (-1,2)B. (-1,0)C. (0,2)D. (0,1)8. 在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a^2 + b^2 = 2c^2，则三角形ABC为（）A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 无法确定9. 已知数列{an}满足an = 3an-1 + 2an-2，且a1 = 1，a2 = 3，则数列{an}的通项公式为（）A. an = 2^n - 1B. an = 2^n + 1C. an = 3^n - 1D. an = 3^n + 110. 已知函数f(x) = e^x - x，则f(x)的零点为（）A. 0B. 1C. eD. e^2二、填空题（本大题共5小题，每小题10分，共50分）11. 已知函数f(x) = (x-1)/(x+1)，则f(x)的奇偶性为______，周期为______。

2025届湖北省武汉二中高三第二次调研数学试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知直线22y x a =-是曲线ln y x a =-的切线，则a =（ ） A ．2-或1B ．1-或2C ．1-或12D ．12-或1 2．函数的图象可能是下面的图象( )A ．B ．C ．D ．3．在精准扶贫工作中，有6名男干部、5名女干部，从中选出2名男干部、1名女干部组成一个扶贫小组分到某村工作，则不同的选法共有( )A ．60种B ．70种C ．75种D ．150种4．函数y =2x sin2x 的图象可能是A ．B ．C ．D ．5．M 、N 是曲线y=πsinx 与曲线y=πcosx 的两个不同的交点,则|MN|的最小值为( )A ．πB ．2πC ．3πD ．2π6．设2,(10)()[(6)],(10)x x f x f f x x -≥⎧=⎨+<⎩ ,则(5)f =( ) A ．10 B ．11 C ．12 D ．137．△ABC 中，AB ＝3，BC 13=，AC ＝4，则△ABC 的面积是（ ）A ．33B ．332C ．3D ．328．已知a ，b ，c 是平面内三个单位向量，若a b ⊥，则232a c a b c +++-的最小值（ ）A ．29B ．2932-C ．1923-D ．59．某空间几何体的三视图如图所示（图中小正方形的边长为1），则这个几何体的体积是（ ）A ．323B ．643C ．16D ．3210．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若13a =，535S =，则数列{}n a 的公差为（ ）A ．-2B ．2C ．4D ．711．已知三棱锥A BCD -的所有顶点都在球O 的球面上，AD ⊥平面,120ABC BAC ︒∠=，2AD =，若球O 的表面积为20π，则三棱锥A BCD -的体积的最大值为（ ）A 3B 23C 3D ．2312．已知复数z 满足i •z ＝2+i ，则z 的共轭复数是（）A ．﹣1﹣2iB ．﹣1+2iC ．1﹣2iD ．1+2i二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

河北省衡水市第二次调研考试2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题一、单选题1．已知数列{}n a 满足112n na a +=-，则11a =-，则4a =（ ） A ．3B ．53C ．75D ．152．已知α是第四象限角且3sin ,2sin cos 05αββ=--=，则tan()αβ-的值为（ ）A ．1B ．1-C ．2-D ．2113．函数()15f x x =的图象在点()()0,0f 处的切线的倾斜角为（ ）A ．π6B ．π4C ．π3D ．π24．如图，平行四边形ABCD 中，2AE EB =，DF FC =，若C B m =u u u r r ，CE n =u u ur r ，则AF =u u u r （ ）A ．1322m n +r rB ．3122m n -r rC ．1322m n -+r r D ．1322m n -r r5．已知等差数列{}n a 的公差小于0，前n 项和为n S ，若727131a a a +=-，844S =，则n S 的最大值为（ ） A ．45B ．52C ．60D ．906．设ABC V 内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知2sin sin sin ABC S A B C =△，若ABC V 的周长为1．则sin sin sin A B C ++=（ ） A ．1B ．12C ．34D ．27．设函数()()3ππ40,0,3πππ4tan ,4k x f x k k x x ωωωω⎧+⎪=⎪⎪=>∈⎨⎪+⎛⎫⎪--≠ ⎪⎪⎝⎭⎩Z ，若函数()f x 在区间π3π,88⎛⎫- ⎪⎝⎭上有且仅有1个零点，则ω的取值范围为（ ） A ．2,23⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．210,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．(]0,28．已知11e e ,12()1x xax x f x x --⎧--≤⎪⎪=⎨>，()a ∈R 在R 上单调递增，则a 的取值范围是（ ）A ．[]2,1-B ．[]2,1--C ．(],1-∞D ．[)2,-+∞二、多选题9．以下正确的选项是（ ） A ．若a b >，c d <，则a c b d ->- B ．若a b >，c d <，则a bc d > C ．若22ac bc >，则33a b >D ．若a b >，0m >，则b m ba m a+>+ 10．设正项等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，则下列选项正确的是（ ）A ．4945S S q S =+B ．若20252020T T =，则20231a =C ．若194a a =，则当2246a a +取得最小值时，1a D ．若21()n n n a T +>，则11a < 11．以下不等式成立的是（ ）A ．当x ∈ 0,1 时，1e ln 2x x x x+>-+B ．当x ∈ 1,+∞ 时，1e ln 2x x x x+>-+C ．当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，e sin x x x >D ．当π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，e sin x x x >三、填空题12．已知平面向量a =r 2b =r ，4a b ⋅=r r ，R λ∈，则2a b λ+r r 的最小值为．13．已知函数()()2sin πcos (0)f x x x x ωωωω=->的最小正周期为π，则()f x 在区间[]2024π,2024π-上所有零点之和为．14．若定义在()(),00,-∞+∞U 上的函数() f x 满足：对任意的()(),,00,x y ∈-∞+∞U ，都有：()1x f f x f y y ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当,0x y >时，还满足：()110x y f f x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则不等式()1f x x ≤-的解集为．四、解答题15．已知函数()()2e 1xf x x x =-+．(1)求函数()f x 的单调区间；(2)函数()f x a ≤在[]2,1-上恒成立，求最小的整数a ．16．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，113a =，18,3,n n n a n a a n +-⎧=⎨⎩为奇数为偶数．(1)证明：数列{}2112n a --为等比数列； (2)若21161469n S n +=+，求n 的值．17．凸函数是数学中一个值得研究的分支，它包括数学中大多数重要的函数，如2x ，e x 等．记()f x ''为()y f x '=的导数．现有如下定理：在区间I 上()f x 为凸函数的充要条件为()()0f x x I ''≥∈． (1)证明：函数()31f x x x=-为()1,+∞上的凸函数； (2)已知函数()2()2ln ln g x ax x x x a =--∈R ．①若()g x 为[)1,+∞上的凸函数，求a 的最小值；②在①的条件下，当a 取最小值时，证明：()()31()223231x xx g x x -+≥+-+，在[)1,+∞上恒成立．18．如图，在平面直角坐标系中，质点A 与B 沿单位圆周运动，点A 与B 初始位置如图所示，A 点坐标为()1,0，π4AOB ∠=，现质点A 与B 分别以πrad /s 4，πrad /s 12的速度运动，点A 逆时针运动，点B 顺时针运动，问：(1)ls 后，扇形AOB 的面积及sin AOB ∠的值．(2)质点A 与质点B 的每一次相遇的位置记为点n P ，连接一系列点1P ，2P ，3P⋅⋅⋅构成一个封闭多边形，求该多边形的面积．19．已知函数()e xf x mx =-，()g x(1)讨论()f x 的单调性；(2)当0x ≥时，()()f x g x ≥恒成立，求m 的取值范围；(3)当0x ≥时，若()()f x ng x -的最小值是0，求m +的最大值．。

2高三年级第二次调研测试数学试题一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分）1、已知集合A2,0 , B2,3 ， 则 A U B．2、已知复数 z 满 足(1i )z 2i ，其中 i 为虚数单位，则 z 的模为．3、某次比赛甲得分的茎叶图如图所示，若去掉一个最高分，去掉一个最低分，则剩下 4 个分数的方差为．3 44 2 4 65 2 84、根据如图所示的伪代码，则输出S 的值为．S 0 I 1 While I ≤ 5 I I 1 S S I End Whlie Pr int S5、从 1,2,3,4,5,6 这六个数中一次随机地取 2 个数，则所取 2 个数的和能被 3 整除的概率为．6、若抛物线 y28 x 的焦点恰好是双曲线 xa2 y1(a 30) 的右焦点，则实数 a 的值为．7、已知圆锥的底面直径与高都是2 ，则该圆锥的侧面积为．28、若函数 f (x) sin( x )( 0) 的最小正周期为6 1，则f51( ) 的值为．39、已知等比数列a n 的前n 项和为S n ，若S22 a23, S3 2 a3 3 ，则公比q 的值为10、已知函数．f ( x) 是定义R 在上的奇函数，当x 0 时， f (x) 2x3 ，则不等式f ( x) ≤ 5 的解集为．11、若实数x, y 满足xy 3 x3(0 x 1 ) ，则 3 1 的最小值为．2 x y 3r r r r r r r r r12、已知非零向量a, b 满足 a b a b ，则a 与2a b 夹角的余弦值为．2 2 2 2 13、已知A, B 是圆C1 : x y 1 上的动点，AB3 ，P 是圆C2 : ( x 3) ( y 4) 1u u u r uu u r上的动点，则PA PB 的取值范围为．14、已知函数 f ( x) sin x,3 2 x 1，若函数 f (x) 的图象与直线y x 有三x 9x 25x a, x≥1个不同的公共点，则实数 a 的取值集合为．二、解答题（本大题共 6 小题，共90 分．解答应写出必要的文字说明、证明或演算步骤）15、在ABC 中，角（1）求角A的值；A, B, C 的对边分别为a, b,c ．已知2cos A(b cosC ccos B) a ．（2）若cos B 3，求sin( B C) 的值．516、如图，在四棱锥 E ABCD 中，平面EAB 平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形，EA EB，点M , N 分别是AE, CD 的中点．求证：（1）直线MN ∥平面EBC ；（2）直线EA 平面EBC ．17、如图，已知A, B 两镇分别位于东西湖岸MN 的A 处和湖中小岛的 B 处，点 C 在 A 的正西方向1km 处，tan BAN 3, BCN ．现计划铺设一条电缆联通A, B 两镇，有4 4两种铺设方案：①沿线段AB 在水下铺设；②在湖岸MN 上选一点P ，先沿线段AP 在地下铺设，再沿线段PB 在水下铺设，预算地下、水下的电缆铺设费用分别为 2 万元∕km、4 万元∕km．（1）求A, B 两镇间的距离；（2）应该如何铺设，使总铺设费用最低？x2 y21(a b 0) 的离心率为18、如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆 C :a2 b 22，且右焦点 F 到左准线的距离为 6 2 ．2（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设 A 为椭圆C 的左顶点，P 为椭圆C 上位于x 轴上方的点，直线PA 交y 轴于点M ，过点 F 作MF 的垂线，交y 轴于点N ．1（ⅰ）当直线的PA 斜率为时，求FMN 的外接圆的方程；2（ⅱ）设直线AN 交椭圆 C 于另一点Q ，求APQ 的面积的最大值．219、已知函数 f ( x)xax, g( x) ln 2ex ax, a R ．（1） 解关于x( x R ) 的不等式 f ( x) ≤ 0 ；（2） 证明：f ( x)≥g (x) ；（3） 是否存在常数a,b ，使得 f (x)≥ axb ≥ g( x) 对任意的 x 0 恒成立？若存在，求出 a, b 的值；若不存在，请说明理由．20、已知正项数列a n 的前n 项和为S n ，且a1a,( a n1)(a n 11) 6(S n n) ，n N ．（1）求数列a n 的通项公式；（2）若对于n N ，都有S n ≤ n (3n 1) 成立，求实数 a 取值范围；（3）当a 2 时，将数列a n 中的部分项按原来的顺序构成数列bn，且b1a2 ，证明：存在无数个满足条件的无穷等比数列bn．高三年级第二次调研测试数学Ⅰ（必做题）参考答案与评分标准一、填空题：本大题共14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．1． { 2,0,3} 2． 23． 144． 205．16． 1 7． 5π 8．19． 210． (, 3]11． 812．5 714 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90分 ． 15．（ 1）由正弦定理可知， 2cosA(sin B cosC3213． [7,13]14． { 20, 16}sin C cosB) sin A ，2 分即 2cos AsinAsin A ，因为 A(0, π) ，所以 sin A 0 ，所 以 2cosA1，即cos A1 ，4 分2又 A (0, π) ，所以Aπ ． 6 分（ 2）因为cosB3 ， B53(0, π) ，所以sin B1 cos 2B4 ，8 分5所 以 sin2B2sin B cosB24， cos2B 25 1 2sin 2 B7， 10 分25所以 sin( B C) sin[B (2π 2πB)] sin(2B )33sin 2B cos 2π cos2 Bsin 2π12 分3 324 1 7 3 ( )25 2 25 27 3 24 ．14 分5016．（ 1）取 BE 中点 F ，连结 CF ， MF ，又 M 是 AE 的中点，所以MF ∥1AB ，2又 N 是矩形 ABCD 边 CD 的中点，所 以 NC∥ 12AB ，所以 MF ∥ NC ，所以四边形 MNCF 是平行四边形， 4 分所 以 MN ∥CF ，又MN 平面EBC ，CF 平面EBC ，2'( ) 0 ，得所以 MN ∥平面 EBC ． 7 分（ 2）在矩形 ABCD 中， BC AB ，又平面 EAB 平面 ABCD ，平面 ABCD 平面 EAB AB ， BC 平 面 ABCD ，所以 BC 平面 EAB ，10 分又 EA 平面 EAB ，所以 BC EA ，又EAEB ， BC IEB B ， EB ， BC 平 面 EBC ，所以 EA 平面 EBC ．14 分17．（ 1）过 B 作 MN 的垂线，垂足为 D ．在 Rt △ ABD 中 ，tanBAD tanBANBD3 ， AD 4所 以AD4 BD ，3在 Rt △BCD中 ，tanBCD tan BCNBD1 ， CD所以 CD BD ．则 AC AD CD4BD BD 1BD 1，即 BD 3 ，所 以CD333 ， AD4 ，由勾股定理得， ABAD2BD25 (km) ．所以 A ， B 两镇间的距离为 5 km ．4 分（ 2）方案①：沿线段 AB 在水下铺设时，总铺设费用为5 4 20 (万元 )．6 分方案②：设BPD ，则π( 0 , ) ，其中 0BAN ， 2在 Rt △ BDP 中， DPBD 3 ， BP BD3 ，tantan sinsin所以 AP 4 DP4 3 ．tan则总铺设费用为 2 AP 4BP 86 12 8 62 cos ． 8 分tan sinsin设 f ( )2 cos ，则 f '( ) sin (2 cos )cos 1 2cos ，sinπ 令 f ，列表如下：sin2sin2f '( )3π π ( 0 , )33 0π π( , ) 3 22f ( )↘ 极小值↗所以 f ( ) 的最小值为π f ( ) 3 ．3所以方案②的总铺设费用最小为8 6 3 (万元 )，此时 AP 43 ．12 分而 8 6 3 20 ，所以应选择方案②进行铺设，点 P 选在 A 的正西方向 (43) km 处，总铺设费用最低．14 分18．（ 1）由题意，得c 2 , a 2a2cca 解得c6 2,4,则b2 2,2 2 ，所以椭圆 C 的标准方程为 x y1．4 分（ 2）由题可设直线 PA 的方程为16 8 y k (x4) ，k0 ，则M (0,4 k )，所以直线 FN 的方程为 y 2 2 ( x 2 2) ，则 4k 2N (0, ) ．k1 (i) 当直线 PA 的斜率为 ， 即k21时 ， M(0,2)2， N (0, 4) ， F (2 2,0) ，因为 MFFN ，所以圆心为 (0, 1) ，半径为 3 ，所以 △FMN的外接圆的方程为 x 2( y 1)29 ．8 分y k( x 4),(ii) 联立 x 2 y 2 消去 y 并整理得， 1,(1 2k 2 ) x 216k 2x 32k216 0 ，16 8解得 x 1 4 或x 24 8k 21 2k 2，所以48k2P(1 2k 2 , 8k ) ， 10 分1 2k 218k 24 8k直线 AN 的方程为 y( x 4) ，同理可得， 2k Q( , 1 2k 2 1 2k 2) ，所以 P ， Q 关于原点对称，即 PQ 过原点．所以 △ APQ 的面积S1OA 2 ( y P y Q ) 216k 1 2k 232 2k1 k≤ 8 2 ， 14 分当且仅当 2k1， 即 k k2 时，取“ ”．2所以 △ APQ 的面积的最大值为 8 2 ．16 分x219．（ 1）当a0 时， f ( x)，所以 2ef ( x) ≤ 0 的解集为 {0} ；2当a 0 时， f ( x) x( x2ea) ，若 a 0 ，则 f ( x) ≤0 的解集为[0,2ea] ；若 a 0 ，则 f ( x) ≤0 的解集为[2ea,0] ．综上所述，当a0 时，f ( x) ≤0 的解集为{0} ；当 a 0 时， f ( x) ≤0 的解集为[0,2e a] ；当 a 0 时， f ( x) ≤0 的解集为[2ea,0] ． 4 分（2）设h( x) f ( x) x2g (x) ln x ，则2ex 1h '(x)e xx2 e．ex令h '( x) 0 ，得x e ，列表如下：x (0, e) e ( e, )h '(x) h( x)↘极小值↗所以函数h( x) 的最小值为h( e) 0 ，x2所以h( x) ln x ≥0 ，即2e f ( x) ≥g ( x) ．8 分（3）假设存在常数 a ，b 使得 f ( x) ≥ax b ≥x2 g( x) 对任意的x 0 恒成立，即≥2ax b ≥ln x 对任意的x 2ex2 10 恒成立．1 1而当xe 时，ln x ，所以≥2a e b ≥，2e 2 2 2所以2a e b 1，则b212a e ，2x2 x2 1所以2ax b 2ax 2a e ≥ 0(*) 恒成立，2e 2e 2①当 a ≤0 时，2a e120 ，所以(*) 式在(0, ) 上不恒成立；②当a 0 时，则4a22(2 a e1) ≤0 ，即(2 a 1 ) 2 ≤0 ，e 2 e所以a1，则b2 e1．12 分2令( x) ln x 1 x 1 ，则e 2'( x)e x，令'(x) 0 ，得x e ，ex当0 x e 时，'(x) 0 ，( x) 在(0, e) 上单调增；?1当 x e 时， '( x) 0 ， ( x ) 在 ( e,) 上单调减．所以 ( x) 的最大值 ( e)0 ．所以 ln x11x ≤ 0 恒成立． e 2所以存在 a1，b2 e1 符合题意．16 分220．（ 1）当n = 1时， (a 1 + 1)(a 2 + 1) = 6( S 1 +1) ，故 a 2 = 5 ； 当 n ≥ 2 时， (a n- 1+ 1)( a n + 1) = 6( S n- 1 + n - 1) ，所以( a n + 1)(a n +1 +1）- (a n - 1 + 1)(a n + 1) = 6( S n + n)- 6( S n - 1 + n - 1) ，即 ( a n +1)(a n + 1 - a n - 1 ) = 6(a n + 1) ，又 a n > 0 ，所以 a n+ 1- a n- 1 = 6 ，3 分所 以a2k - 1 = a + 6(k - 1) = 6k + a-6 ， a 2 k = 5+6( k - 1) = 6k - 1， k ? N *， 故 a n = ì?3n + a - í?3n - 1, 3, n 为奇数 , n ? n 为偶数 , n ? N *, 5 分N *.（ 2）当 n 为奇数时， S n= 1(3n + a - 62)(3n + 3) - n ，由 S n ≤ n (3n + 1) 得， 3n 2+ a ≤3n + 2恒成立，3n 2+3n + 2n + 13n 2+ 9n + 4令 f ( n)=， 则 f (n +1)-f (n) => 0 ，n + 1(n + 2)( n + 1)所 以 a ≤ f (1) = 4 ．8 分当 n 为偶数时， S n= 1 ?3n(3n a+1)- n ， 6由 S n ≤ n (3n + 1) 得， a ≤ 3(n + 1) 恒成立，所以 a ≤ 9 ．又 a 1 = a > 0 ，所以实数 a 的取值范围是 (0,4] ．10 分（ 3）当 a =2 时，若 n 为奇数，则a n = 3n - 1 ，所以 a n = 3n - 1．解法 1： 令等比数列 { b n } 的公比 q = 4m ( m? N * ) ， 则 b= b q n- 1 = 5? 4m( n- 1) ．4k- 1设 k =m( n- 1) ，因为 1 + 4 + 42+ L + 4k -1=，3所 以 5? 4m( n- 1) 5? [3(1 4 + 42 + L + 4k - 1) + 1] ，= 3[5(1+ 4 + 42+ L +4k - 1) + 2] - 1，14 分n因为4 + 42 + L +4 k- 1 ) + 2 为正整数，5(1+}是数列{ a n } 中包含的无穷等比数列，所以数列{ bn因为公比 q = 4m (m ? N * ) 有无数个不同的取值，对应着不同的等比数列，故无穷等比数列 { b n } 有无数个．16 分解 法 2： 设 b =a= 3k - 1(k ≥ 3) ，所以公比q =3k 2 - 1 ．2k 2225因为等比数列 { b n } 的各项为整数，所以 q 为整数， 取 k 2=5m+ 2(m ? N * ) ， 则 q =3m+ 1，故 b n = 5?(3m 1)n- 1，由 3k n - 1= 5?(3m 1)n- 1得，k n =1 [5(3m+ 31)n- 1 + 1](n ? N * ) ，而当 n ≥ 2 时， k - k= 5[(3m + 1)n- 1- (3m + 1)n- 2 ] =5m(3m + 1)n- 2，nn - 1 3即 k n=k n- 1 + 5m(3m + 1)n - ，14 分又因为 k 1 = 2 ， 5m(3m + 1)n -2都是正整数，所以 k n 也都是正整数，所以数列 { b n } 是数列 { a n } 中包含的无穷等比数列，因为公比 q = 3m + 1(m ? N * ) 有无数个不同的取值，对应着不同的等比数列， 故无穷等比数列 { b n } 有无数个．16 分数学Ⅱ (附加题 ) 参考答案与评分标准21． [ 选做题 ]A ． 因为 D 为弧 BC 的中点，所以 DBCDAB ， DC DB ，CD 因为 AB 为半圆 O 的直径，所以 ADB 90 ， E又 E 为 BC 的中点，所以 EC EB ，所以 DE BC ，AB所以 △ ABD ∽ △ BDE ， O（第 21(A) 题）所以AB BD 2BD ，所以 AB BC 2AD BD ． 10 分AD BE BCB. 由条件知， A1a 2 ，即1 b22 2 a 2 ，即112 b4 ， 6 分22 a 4, 所以解得2 b 2,a 2,b 4.所以 a ， b 的值分别为 2 ， 4 ．10 分C. 直线 l 的直角坐标方程为 x y m 0 ，圆 C 的普通方程为( x 1)2( y 2)29 ，5 分2C C 2 22 1 1 31 1 23 圆心 C 到直线 l 的距离|1( 2) 2 m|2 ，解得 m1或 m 5 ． 10 分1 111 1 1D. 因 为 a ， b ， c0 ，所以3 3327abc ≥ 3333327abcab c a b c3 abc27abc ≥ 23 27abc abc18 ，当且仅当 a b c3时，取“ ”， 3所以 m 18．6 分所以不等式 x 1 2x m 即x1 2 x 18 ，所以 2x 18 x 1 2x 18 ，解得 x19 ，3所以原不等式的解集为 (19 , ) ．10 分3【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20分． 22．（ 1）设“甲选做 D 题，且乙、丙都不选做D 题”为事件E ．甲选做 D 题的概率为 121 ，乙，丙不选做 D 题的概率都是2．34则 P( E)1 1 1 1．3 2 2 12答：甲选做 D 题，且乙、丙都不选做 D 题的概率为 112．3 分（ 2） X 的所有可能取值为 0， 1， 2， 3．4 分P( X 0) (11) 1 1 2，P( X 1) 3 2 2 12，P( X 2) 1 C 1 (1 1 1 ) ( ) (11) C 2(1 1) 2 4 ，3 2 2 3 2 12P( X3)1 C 2(11)21．8 分3 212所以 X 的概率分布为X 0 123 PX 的数学期望 1 5 612 E ( X ) 0 11 1 35 21 1 121 4 3 ．10 分 6 12 3 12323．（ 1）(1x)2 n 1的展开式中含 x n的项的系数为 n2n- 1，1 分n- 1 n1n- 1 n- 11nnC C C1 12 1 ( ) (1 ) C 1 (1 1) 1 ( ) 5 3 2 3 22 2 12x) (1+ x) = (C n- 1 +C n- 1 x + L + C n- 1 x)(C n +C n x + L + C n x ) 可知，由(1+n n - 1n n - 1nn - 1 n n n n 2 n 1 n (1 x)n1(1 x)n 的展开式中含 x n的项的系数为 C0 C n + C1 Cn- 1 + L + C n- 1C 1 ．所以 C 0 C n C 1 C n 1 L C n 1 C 1 C n． 4 分n 1 n n 1 n n 1 n 2 n 1（ 2）当 k ? N * 时， kC k= k ?n! k!(n -k )!(k - n!1)!(n -k)!= n ? (n - 1)!nC k- 1． 6 分(k - 1)!( n - k)!n - 1nnn所 以 (C 1 )2+ 2(C 2 )2 + L + n(C n )2=[ k(C k ) 2 ] =( kC k C k) =( nCk - 1C k)nnn邋k= 1nnnk= 1?k= 1n- 1nnn= n(Ck - 1 C k) = n(Cn - k C k) ．8 分邋k= 1n- 1nn- 1nk = 1由（ 1）知 C 0 CnC1 Cn 1 LC n 1 C1 nC ，即 ? (Cn - k C k ) = C n，n 1nn 1nn 1 n2n 1k = 1n- 1n 2 n- 1所以 (C 1)22(C 2 )2Ln(C n )2nC n． 10 分。

浙江省富阳二中2025届高三第二次调研数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．费马素数是法国大数学家费马命名的,形如()221nn N +∈的素数(如：02213+=)为费马索数,在不超过30的正偶数中随机选取一数,则它能表示为两个不同费马素数的和的概率是( )A ．215B ．15C ．415D ．132．设i 为虚数单位，复数()()1z a i i R =+-∈，则实数a 的值是（ ）A ．1B ．-1C ．0D ．23．在三棱锥P ABC -中，5AB BC ==，6AC =，P 在底面ABC 内的射影D 位于直线AC 上，且2AD CD =，4PD =.设三棱锥P ABC -的每个顶点都在球Q 的球面上，则球Q 的半径为（ ）A ．8B ．6C ．8D ．64．设命题:p 函数()x x f x e e -=+在R 上递增，命题:q 在ABC ∆中，cos cos A B A B >⇔<，下列为真命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．()p q ∨⌝ C ．()p q ⌝∧ D ．()()p q ⌝∧⌝5．已知命题P ：x R ∀∈，sin 1x ≤，则p ⌝为( )A ．0x R ∃∈，0sin 1x ≥B ．x R ∀∈，sin 1x ≥C ．0x R ∃∈，0sin 1x >D ．x R ∀∈，sin 1x >6．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x =-，且在(0,)+∞上是增函数，不等式()()21f ax f +≤-对于[]1,2x ∈恒成立，则a 的取值范围是A ．3,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[]0,17．已知函数()()()2ln 14f x ax x ax =-+-，若0x >时，()0f x ≥恒成立，则实数a 的值为（ ）A ．2eB ．4eCD 8．已知二次函数2()f x x bx a =-+的部分图象如图所示，则函数()'()x g x e f x =+的零点所在区间为（ ）A ．(1,0)-B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(2,3)9．设实数满足条件则的最大值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．410．甲、乙、丙、丁四人通过抓阄的方式选出一人周末值班（抓到“值”字的人值班）.抓完阄后，甲说：“我没抓到.”乙说：“丙抓到了.”丙说：“丁抓到了”丁说：“我没抓到."已知他们四人中只有一人说了真话，根据他们的说法，可以断定值班的人是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁11．已知函数1,0()ln ,0x x f x x x x ⎧<⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，若函数()()F x f x kx =-在R 上有3个零点，则实数k 的取值范围为（ ） A ．1(0,)e B ．1(0,)2e C ．1(,)2e -∞ D ．11(,)2e e12．设函数()()f x x R ∈满足()(),(2)()f x f x f x f x -=+=，则()y f x =的图像可能是A ．B ．C ．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

江苏南京市2025届高三第二次调研数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．我国著名数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界瞩目的成就，哥德巴赫猜想内容是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”（ 注：如果一个大于1的整数除了1和自身外无其他正因数，则称这个整数为素数），在不超过15的素数中，随机选取2个不同的素数a 、b ，则3a b -<的概率是（ ） A ．1 5 B ．415 C ．1 3 D ．25 2．已知直线l ：210y x =+过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一个焦点且与其中一条渐近线平行，则双曲线的方程为（ ）A ．221520x y -= B ．221205x y -= C ．221169x y -= D ．221916x y -= 3．设命题p ：,a b R ∀∈，a b a b -<+，则p ⌝为A ．,a b R ∀∈，a b a b -≥+B ．,a b R ∃∈，a b a b -<+C ．,a b R ∃∈，a b a b ->+D ．,a b R ∃∈，a b a b -≥+ 4．在等腰直角三角形ABC 中，,222C CA π∠==，D 为AB 的中点，将它沿CD 翻折，使点A 与点B 间的距离为23，此时四面体ABCD 的外接球的表面积为（ ）.A ．5πB ．2053πC ．12πD ．20π5．函数()()sin f x A x =+ωϕ（其中0A >，0>ω，2πϕ<）的图象如图，则此函数表达式为（ ）A ．()3sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．()13sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．()3sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ D ．()13sin 24πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 6．设()y f x =是定义域为R 的偶函数，且在[)0,+∞单调递增，0.22log 0.3,log 0.3a b ==，则（ ）A ．()()(0)f a b f ab f +>>B ．()(0)()f a b f f ab +>>C ．()()(0)f ab f a b f >+>D ．()(0)()f ab f f a b >>+7．双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的离心率是3，焦点到渐近线的距离为2，则双曲线C 的焦距为（ ） A ．3 B ．32 C ．6 D ．628．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，22a =且对于任意1n >，*n N ∈满足()1121n n n S S S +-+=+，则（ ）A ．47a =B ．16240S =C ．1019a =D ．20381S =9．阅读名著，品味人生，是中华民族的优良传统.学生李华计划在高一年级每周星期一至星期五的每天阅读半个小时中国四大名著：《红楼梦》、《三国演义》、《水浒传》及《西游记》，其中每天阅读一种，每种至少阅读一次，则每周不同的阅读计划共有（ ）A ．120种B ．240种C ．480种D ．600种10．将函数()sin(3)6f x x π=+的图像向右平移(0)m m >个单位长度，再将图像上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数()g x 的图像，若()g x 为奇函数，则m 的最小值为（ ）A ．9πB ．29π C ．18π D ．24π 11．若[]0,1x ∈时，|2|0x e x a --≥，则a 的取值范围为（ ）A ．[]1,1-B ．[]2,2e e --C ．[]2e,1-D ．[]2ln 22,1-12．已知向量(1,4)a =，(2,)b m =-，若||||a b a b +=-，则m =（ ）A ．12-B ．12C ．-8D ．8二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

高三第二次调研考试数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ部分1至2页；第Ⅱ部分3至8页。

共150分。

考试时间120分钟。

参考公式；如果事件A 、B 互斥；那么()()()P A B P A P B +=+． 如果事件A 、B 相互独立；那么()()()P A B P A P B ⋅=⋅．第一部分 选择题（共50分）注意事项；每小题选出正确答案后；用钢笔或圆珠笔将答案填在第二部分相应的表格内。

一、选择题；本大题共10小题；每小题5分；共50分.在每小题给出的四个选项中；只有一项符合题目要求的.（1（A ）2 （B ）12 （C ）12- （D ）2- （2）设函数()4sin()25x f x π=+；如果12()()4f x f x ==；则||21x x -的最小值为(A)2π(B)π (C)2π (D )4π （3）已知集合{}|(1,2)(3,4),M a a k k R ==+∈,集合{}|(2,2)(4,5),N a a k k R ==--+∈ 则MN =（A ）{}(2,2)-- （B ）{}(1,2),(2,2)-- （C ）{}(4,2) （D ）{}(1,2) （4）方程lg 30x x +-=的根所在的区间是 （A ）（1；2） （B ）（25；411） （C ）（49；25） （D ）（3；134）（5）下列图象中；有一个是函数3221()(1)1(,0)3f x x ax a x a R a =++-+∈≠的导函数()f x '的图象；则(1)f -= （A ）13 （B ）13- （C ）73 （D ）13-或53（6）设2342121111113222222n nn a -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦；则数列{}n a 是一个 (A ) 无限接近１的递增数列 (B) 是一个各项为０的常数列(C) 无限接近２的递增数列 (D) 是一个无限接近92的递增数列 （7）已知定义在R 上的偶函数f （x ）的单调递减区间为［0；+∞)；则不等式()(2)f x f x <-的解集是（A ）(1,2) （B ）(1,)+∞ （C ）(2,)+∞ （D ）(,1)-∞（8）已知双曲线221(0)x my m -=>的右顶点为A ；而,B C 是双曲线同一支上的两点；如果ABC ∆是正三角形；则(A) 3m > (B) 3m < (C) 3m = (D ) 3m ≠（9）已知球面上有三点,,A B C ；6AB BC CA ===；球心到平面ABC 的距离为2；则球的半径为 （A ）2 （B ）22 （C ）3 （D ）4（10）椭圆22143x y +=上有n 个不同的点123,,,,n P P P P ；椭圆的右焦点为F ；数列{}n P F 是公差大于1100的等差数列；则n 的最大值为 (A) 198 (B) 199 (C ) 200 (D) 201E F高三第二次调研考试数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

一、单选题1. 复数的共轭复数的虚部为（ ）．A．B．C．D．2.某校学生会为研究该校学生的性别与语文、数学、英语成绩这个变量之间的关系，随机抽查了名学生，得到某次期末考试的成绩数据如表1至表3，根据表中数据可知该校学生语文、数学、英语这三门学科中A ．语文成绩与性别有关联性的可能性最大，数学成绩与性别有关联性的可能性最小B ．数学成绩与性别有关联性的可能性最大，语文成绩与性别有关联性的可能性最小C ．英语成绩与性别有关联性的可能性最大，语文成绩与性别有关联性的可能性最小D ．英语成绩与性别有关联性的可能性最大，数学成绩与性别有关联性的可能性最小3. 若曲线y ＝与直线y ＝k (x －2)＋4有两个交点，则实数k 的取值范围是（ ）A．B．C ．(1，＋∞)D ．(1，3]4. 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图，某摩天轮最高点距离地面高度为120m ，转盘直径为110m ，设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30min ．游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动t min 后距离地面的高度为H m ，如图以轴心O 为原点，与地面平行的直线为x 轴建立直角坐标系，在转动一周的过程中，H 关于t 的函数解析式为（）A ．，B ．，C ．，D ．，5.已知，则（ ）A．B．C．D．6. 下列函数中周期为且为偶函数的是A．B．C．D．7. 已知双曲线：（，）的左，右焦点为，，为双曲线上一点，若是等腰直角三角形，则的离心率为（ ）A．B．C．D．8. 已知复数（为虚部单位），则的最大值为（ ）A．B．C．D．安徽省宣城市2023届高三第二次调研测试数学试题二、多选题9.已知的三个内角，，的对边分别为，，，且，则（ ）A．B．C．D．10. 已知一个正方体的8个顶点都在一个球面上，且正方体的棱长为3，则球的体积为（ ）A．B．C．D．11. 集合，若，，则集合中的元素个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．512.设，则（ ）A．B．C．D．13. 方程的解是（ ）A ．1B ．2C ．eD ．314.如图，在正方体中，E 是线段上靠近的三等分点，则直线与直线所成角的余弦值为（）A．B．C．D．15.若直线与圆相交于，两点，且（为坐标原点），则（ ）A ．1B．C ．2D．16.已知函数在上仅有个最值，且为最大值，则实数的值不可能为A．B．C．D．17.已知函数，则下列结论正确的是（ ）A ．函数的初相为B ．若，则函数的图象关于对称C．若函数的图象关于点对称，则可以为3D ．若函数在上有且仅有4个零点，则的范围是18. 设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C 交于M ，N 两点，l 为C 的准线，则（ ）．A．B．C ．以MN 为直径的圆与l 相切D ．为等腰三角形19.截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点处的小棱锥所得的多面体，如图所示，将棱长为的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面，得到所有棱长均为的截角四面体，则下列说法正确的是（ ）三、填空题A ．直线与所成角为B．该截角四面体的表面积为C．该截角四面体的外接球表面积为D．20. 已知，，则（ ）A．B．C．D．21.已知数列的前项和为，若，则（ ）A．为等差数列B．C．D．22. 已知定义在R 的函数在上单调递增，，且图象关于点对称，则下列结论中正确的是（ ）A．B ．在单调递减C．D ．在上可能有1012个零点23. 已知函数，则（ ）A ．是偶函数B ．的最小正周期为C ．在上为增函数D．的最大值为24. 在平面直角坐标系中，已知长为的线段的两个端点和分别在轴和轴上滑动，线段的中点的轨迹为曲线，则下列结论正确的是（ ）A ．关于直线对称B ．关于原点对称C ．点在内D ．所围成的图形的面积为25.已知奇函数满足条件，且当时，，则______ ．26. 已知函数则的解集为________．27. 双曲线的焦点到其渐近线的距离为___________.28. 已知函数，若关于的方程有三个不同的实根，则实数的取值范围是________29.若函数，又是函数的图象上的两点，且的最小值为，则的值为______.四、解答题五、解答题30.已知函数，若关于的方程在上有解，则的最小值为______．31. 已知不为的正实数满足则下列不等式中一定成立的是 _____.（将所有正确答案的序号都填在横线上）①；②；③；④；⑤．32. 已知函数若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是______.33. 求值.（1）；（2）.34. 已知函数，，.（1）将函数化简成，（，，），的形式；（2）求函数的值域.35.如图，在多面体中，四边形为菱形，且∠ABC =60°，AE ⊥平面 ABCD ，AB =AE =2DF ，AE DF.(1)证明：平面AEC ⊥平面 CEF ；(2)求平面ABE 与平面CEF 夹角的余弦值.36. 对于数列，，的前n 项和，在学习完“错位相减法”后，善于观察的小周同学发现对于此类“等差×等比数列”，也可以使用“裂项相消法”求解，以下是她的思考过程：①为什么可以裂项相消？是因为此数列的第n ，n ＋1项有一定关系，即第n 项的后一部分与第n ＋1项的前一部分和为零②不妨将，也转化成第n ，n ＋1项有一定关系的数列，因为系数不确定，所以运用待定系数法可得，通过化简左侧并与右侧系数对应相等即可确定系数③将数列，表示成形式，然后运用“裂项相消法”即可！聪明的小周将这一方法告诉了老师，老师赞扬了她的创新意识，但也同时强调一定要将基础的“错位相减法”掌握．(1)（巩固基础）请你帮助小周同学，用“错位相减法”求的前n 项和；(2)（创新意识）请你参考小周同学的思考过程，运用“裂项相消法”求的前n项和．37. 已知角的顶点与原点O 重合，它的始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点.(1)求的值；(2)求值：.38. （1）求值：；（2）已知，求的值.39. 2018年“双十一”全网销售额达亿元，相当于全国人均消费元，同比增长，监测参与“双十一”狂欢大促销的家电商平台有天猫、京东、苏宁易购、网易考拉在内的综合性平台，有拼多多等社交电商平台，有敦煌网、速卖通等出口电商平台.某大学学生社团在本校名大一学生中采用男女分层抽样，分别随机调查了若干个男生和个女生的网购消费情况，制作出男生的频率分布表、直方图（部分）和女生的茎叶图如下：男生直方图分组（百元）男生人数频率合计女生茎叶图（1）请完成频率分布表的三个空格，并估计该校男生网购金额的中位数（单位：元，精确到个位）.（2）若网购为全国人均消费的三倍以上称为“剁手党”，估计该校大一学生中的“剁手党”人数为多少？从抽样数据中网购不足元的同学中随机抽取人发放纪念品，则人都是女生的概率为多少？（3）用频率估计概率，从全市所有高校大一学生中随机调查人，求其中“剁手党”人数的分布列和期望.40. 已知是函数图象的一条对称轴．（1）求的值；（2）求函数的单调增区间；（3）作出函数在上的图象简图（列表，画图）．41.已知向量，，函数，．（Ⅰ）求函数的图像的对称中心坐标；（Ⅱ）将函数图像向下平移个单位，再向左平移个单位得函数的图像，试写出的解析式并作出它在上的图像．42. 党的十八大以来，习近平总书记多次对职业病防治工作作出重要指示，并在全国卫生与健康大会上强调，推进职业病危害源头治理．东部沿海某蚕桑种植场现共有工作人员110人，其中有22人从事采桑工作，另外88人没有从事采桑工作．(1)为了解职工患皮炎是否与采桑有关，现采用分层随机抽样的办法从全体工作人员中抽取25人进行调查，得到以下数据：采桑不采桑合计患皮炎4未患皮炎18合计25①请完成上表；②依据小概率值的独立性检验，分析患皮炎是否与采桑有关？(2)为了进一步了解职工职业病的情况，需要在上表患皮炎的工作人员中抽取4人做进一步调查，将其中采桑的人数记作，求的分布列和期望．附：，其中，0.150.100.050.0250.0100.0052.072 2.7063.841 5.024 6.6357.87943. 如图，在四棱柱中，⊥平面ABCD、底面ABCD为梯形．∥，，，Q为AD的中点，平面a经过直线，平面直线l六、解答题(1)请在图中画出直线l ，写出画法并说明理由(2)求平面a与平面所成角的余弦值．44. 九章算术商功“斜解立方，得两堑堵斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑阳马居二，鳖臑居一，不易之率也合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣”刘徽注：“此术臑者，背节也，或曰半阳马，其形有似鳖肘，故以名云中破阳马，得两鳖臑，鳖臑之起数，数同而实据半，故云六而一即得”阳马和鳖臑是我国古代对一些特殊锥体的称谓，取一长方体，按下图斜割一分为二，得两个一模一样的三棱柱，称为堑堵再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个.以矩形为底，另有一棱与底面垂直的四棱锥，称为阳马余下的三棱锥是由四个直角三角形组成的四面体，称为鳖臑．(1)在下左图中画出阳马和鳖臑不写过程，并用字母表示出来，求阳马和鳖臑的体积比；(2)若，，在右图中，求三棱锥的高．45. 如图，四边形ABCD 是边长为的菱形，DD 1⊥平面ABCD ，BB 1⊥平面ABCD ，且BB 1＝DD 1＝2，E ，F 分别是AD 1，AB 1的中点．（1）证明：平面BDEF ∥平面CB 1D 1；（2）若∠ADC ＝120°，求直线DB 1与平面BDEF 所成角的正弦值．46.如图，在三棱柱中，，为的中点，，（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成的角.47. 在中，，，，D、E分别是AC、AB上的点，满足且DE经过的重心，将沿DE折起到的位置，使，M是的中点，如图所示.(1)求证：平面BCDE；(2)求CM与平面所成角的大小；(3)在线段上是否存在点N（N不与端点、B重合），使平面CMN与平面DEN垂直?若存在，求出与BN的比值；若不存在，请说明理由.48. 如图，以C为直角顶点的等腰直角三角形所在的平面与以O为圆心的半圆弧所在的平面垂直，P为上异于A，B的动点，已知圆O的半径为1．(1)求证：；(2)若二面角的余弦值为，求点P到平面的距离．49. 如图，在平行四边形中，，分别过点作直线，垂直平面，且，.(1)求证：平面；(2)求二面角的平面角的正弦值.50. 如图，在四面体ABCD中，，E为BD的中点，F为AC上一点．七、解答题(1)求证：平面平面BDF ；(2)若，，求点B 到平面ACD 的距离．51. 某电器公司的市场研究人员为了解公司的经营状况，对该公司最近六个月内的市场占有率进行了统计，结果如表所示：年份2020年2021年月份9月10月11月12月1月2月月份代码x 123456市场占有率y （%）111316152021（1）用相关系数说明月度市场占有率y 与月份代码x 之间的关系是否可用线性回归模型拟合？（2）求y 关于x 的线性回归方程，并预测何时该种产品的市场占有率超过30%？（3）根据市场供需情况统计，得到该公司产品2020年的平均月产量X （单位：万件）的分布列为X 1 1.2P0.60.42020年的该公司产品的平均市场价格Y （单位：万元/件）对应的概率分布为．假设生产每件产品的每月固定成本为200万元，求该产品平均每月利润的分布列和数学期望．参考数据：，，．参考公式：相关系数，回归直线方程为，其中：，．52. 某商场举行抽奖活动，准备了甲､乙两个箱子，甲箱内有2个黑球､4个白球，乙箱内有4个红球､6个黄球.每位顾客可参与一次抽奖，先从甲箱中摸出一个球，如果是黑球，就可以到乙箱中一次性地摸出两个球；如果是白球，就只能到乙箱中摸出一个球.摸出一个红球可获得90元奖金，摸出两个红球可获得180元奖金.(1)求某顾客摸出红球的概率；(2)设某家庭四人均参与了抽奖，他们获得的奖金总数为元，求随机变量的数学期望.53. 2012年7月1日，居民阶梯电价开始实行.“一户一表”的城乡居民用户电量从今往后正式按照三档收费.第一档月用电量为180度及以下，用电价格0.50元/度.第二档月用电量为181度-280度，电价0.55元/度.第三档月用电量为281度及以上电价0.80元/度.(1)写出月电费（元）与月用电量（度）的函数关系式；(2)若某户居民的电费为110元，问这户居民的用电量是多少？54. 绵阳市37家A 级旅游景区，在2023年国庆中秋双节期间，接待人数和门票收入大幅增长．绵阳某旅行社随机调查了市区100位市民平时外出旅游情况，得到的数据如下表：喜欢旅游不喜欢旅游总计男性203050女性302050总计5050100(1)能否有的把握认为喜欢旅游与性别有关？(2)将频率视为概率，从全市男性市民中随机抽取2人进行访谈，记这2人中喜欢旅游的人数为，求的分布列与数学期望．附：0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.82855. 党的十九大提出实施乡村振兴战略以来，农民收入大幅提升，2022年9月23日某市举办中国农民丰收节庆祝活动，粮食总产量有望连续十年全省第一.据统计该市2017年至2021年农村居民人均可支配收入的数据如下表：年份20172018201920202021年份代码12345人均可支配收入（单位：万元）(1)根据上表统计数据，计算与的相关系数，并判断与是否具有较高的线性相关程度（若，则线性相关程度一般，若则线性相关程度较高，精确到）；(2)市五届人大二次会议政府工作报告提出，2022年农村居民人均可支配收入力争不低于万元，求该市2022年农村居民人均可支配收入相对2021年增长率最小值（用百分比表示）.参考公式和数据：相关系数，.56. 某市房管局为了了解该市市民年月至年月期间买二手房情况，首先随机抽样其中名购房者，并对其购房面积（单位：平方米，）进行了一次调查统计，制成了如图所示的频率分布直方图，接着调查了该市年月至年月期间当月在售二手房均价（单位：万元/平方米），制成了如图所示的散点图（图中月份代码分别对应年月至年月）.八、解答题（1）试估计该市市民的购房面积的中位数；（2）现采用分层抽样的方法从购房面积位于的位市民中随机抽取人，再从这人中随机抽取人，求这人的购房面积恰好有一人在的概率；（3）根据散点图选择和两个模型进行拟合，经过数据处理得到两个回归方程，分别为和，并得到一些统计量的值如下表所示：0.0005910.0001640.006050请利用相关指数判断哪个模型的拟合效果更好，并用拟合效果更好的模型预测出年月份的二手房购房均价（精确到）【参考数据】，，，，，，【参考公式】57. 已知离心率为的双曲线：过椭圆：的左，右顶点A ，B .(1)求双曲线的方程；(2)是双曲线上一点，直线AP ，BP 与椭圆分别交于D ，E ，设直线DE 与x 轴交于，且，记与的外接圆的面积分别为，，求的取值范围.58. 直播带货是扶贫助农的一种新模式，这种模式是利用主流媒体的公信力，聚合销售主播的力量助力打通农产品产销链条，切实助力贫困地区农民脱贫增收．某贫困地区有统计数据显示，2020年该地利用网络直播形式销售农产品的销售主播年龄等级分布如图1所示，一周内使用直播销售的频率分布扇形图如图2所示．若将销售主播按照年龄分为“年轻人”（岁～岁）和“非年轻人”（岁及以下或者岁及以上）两类，将一周内使用的次数为或以上的称为“经常使用直播销售用户”，使用次数为或不足的称为“不常使用直播销售用户”，则“经常使用直播销售用户”中有是“年轻人”．（1）现对该地相关居民进行“经常使用网络直播销售与年龄关系”的调查，采用随机抽样的方法，抽取一个容量为的样本，请你根据图表中的数据，完成列联表，并根据列联表判断是否有的把握认为是否经常使用网络直播销售与年龄有关？年轻人非年轻人合计经常使用直播销售用户不常使用直播销售用户合计（2）某投资公司在2021年年初准备将元投资到“销售该地区农产品”的项目上，现有两种销售方案供选择：方案一：线下销售．根据市场调研，利用传统的线下销售，到年底可能获利，可能亏损，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，，；方案二：线上直播销售．根据市场调研，利用线上直播销售，到年底可能获利，可能亏损，可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，，．针对以上两种销售方案，请你从期望和方差的角度为投资公司选择一个合理的方案，并说明理由．附：其中：，．59. 在数学探究实验课上,小明设计了如下实验:在一个盒子中装有蓝球、红球、黑球等多种不同颜色的小球,一共有偶数个小球,现在从盒子中一次摸一个球,不放回．(1)若盒子中有6个球,从中任意摸两次,摸出的两个球中恰好有一个红球的概率为．①求红球的个数;②从盒子中任意摸两次球,记摸出的红球个数为,求随机变量的分布列和数学期望．(2)已知盒子中有一半是红球,若“从盒子中任意摸两次球,至少有一个红球”的概率不大于,求盒子中球的总个数的最小值．60. 已知函数.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，且，求的值.61.已知圆：，直线与圆相切，且直线：与椭圆：相交于两点，为原点．(1)若直线过椭圆的左焦点，且与圆交于两点，且，求直线的方程；(2)如图，若的重心恰好在圆上，求的取值范围.62. 设a，b，c均为正数，且a+b+c=1，证明：（Ⅰ）ab+bc+ac；（Ⅱ）.。

湖北省武汉市青山区2024届高三下学期第二次调研（模拟）考试数学试题试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．方程()()f x f x '=的实数根0x 叫作函数()f x 的“新驻点”，如果函数()ln g x x =的“新驻点”为a ，那么a 满足（ ）A ．1a =B ．01a <<C ．23a <<D ．12a <<2．大衍数列，米源于我国古代文献《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释我国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和.已知该数列前10项是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则大衍数列中奇数项的通项公式为（ ）A ．22n n-B ．212n -C ．212n (-)D ．22n3．已知下列命题：①“2,56x R x x ∀∈+>”的否定是“2,56x R x x ∃∈+≤”；②已知,p q 为两个命题，若“p q ∨”为假命题，则“()()p q ⌝∧⌝”为真命题； ③“2019a >”是“2020a >”的充分不必要条件； ④“若0xy =，则0x =且0y =”的逆否命题为真命题. 其中真命题的序号为（ ） A ．③④B ．①②C ．①③D ．②④4．3481(3)(2)x x x+-展开式中x 2的系数为( ) A ．－1280B ．4864C ．－4864D ．12805．已知b a bc a 0.2121()2,log 0.2,===，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．b c a <<6．射线测厚技术原理公式为0tI I e ρμ-=，其中0I I ，分别为射线穿过被测物前后的强度，e 是自然对数的底数，t 为被测物厚度，ρ为被测物的密度，μ是被测物对射线的吸收系数.工业上通常用镅241（241Am ）低能γ射线测量钢板的厚度.若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8，钢的密度为7.6，则这种射线的吸收系数为（ ）（注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，ln 20.6931≈，结果精确到0.001） A ．0.110B ．0.112C ．0.114D ．0.1167．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是说：两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等.设A 、B 为两个同高的几何体，:p A 、B 的体积不相等，:q A 、B 在等高处的截面积不恒相等.根据祖暅原理可知，p 是q的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过点1F 的直线与椭圆交于P 、Q 两点.若2PF Q ∆的内切圆与线段2PF 在其中点处相切，与PQ 相切于点1F ，则椭圆的离心率为（ ）A ．2B C ．3D 9．已知向量()1,2a =-，(),1b x x =-，若()2//b a a -，则x =（ ） A ．13B ．23C ．1D ．310．在我国传统文化“五行”中，有“金、木、水、火、土”五个物质类别，在五者之间，有一种“相生”的关系，具体是：金生水、水生木、木生火、火生土、土生金.从五行中任取两个，这二者具有相生关系的概率是（ ） A ．0.2B ．0.5C ．0.4D ．0.811．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且282,10a a =-=，则9S =（ ） A ．45B ．42C ．25D ．3612．已知点1F 是抛物线C ：22x py =的焦点，点2F 为抛物线C 的对称轴与其准线的交点，过2F 作抛物线C 的切线，切点为A ，若点A 恰好在以1F ，2F 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）A ．2B 1C ．2D 1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2023本试卷共6页，22小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1． 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”。

2． 作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案 不能答在试卷上。

3． 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新 答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4． 考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。

1． 若M ，N 是U 的非空子集，M ∩ N M ，则A ．M NB ．N MC ．U M ND ．U N M2． 若i z ( 1 2 i ) 2，则zA ．4 3iB ．4 3iC ． 4 3iD ． 4 3i3． 已知( x 3 22x) n 的展开式中各项系数和为243，则展开式中常数项为A ．60B ．80C ．D ．4． 古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础．现根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑物的高度，已知点A 是球体建筑物与 水平地面的接触点（切点），地面上B ，C 两点与点A 在同一条直线上，且在点A 的同 侧．若在B ，C 处分别测得球体建筑物的最大仰角为60°和20°，且BC 100 m ，则该 球体建筑物的高度约为（cos10° ≈ 0.985）A ．49.25 mB ．50.76 mC ．56.74 mD ．58.60 m5． 在▱ABCD 中，12BE BC ，13AF AE．若AB mDF nAE ，则m nA ．12B ．34C ．56D ．436． 记函数f ( x ) sin ( ω x π4) ( ω > 0 )的最小正周期为T ．若ππ2T ，且f ( x ) ≤ | f ( π3) |，则ωA ．34B ．94C ．154D ．2747． 已知函数f ( x )的定义域为R ，y f ( x ) e x 是偶函数，y f ( x ) e x 是奇函数，则f ( x )的最小值为A ．eB ．2C ．D ． e8． 已知F 1，F 2分别是双曲线C ：22221(00)y x a b a b，的左、右焦点，点P 在双曲线上，PF 1⊥PF 2，圆O ：22229()4x y a b ，直线PF 1与圆O 相交于A ，B 两点，直线PF 2与圆O 相交于M ，N 两点．若四边形AMBN 的面积为9b 2，则C 的离心率为A ．54B ．85C ．D 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

吉林省长春市文曲星名校2025届高三第二次调研数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知抛物线C ：214y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，直线PF 与抛物线交于A ，B 两点，若2PA AF =，则AB 为( ) A ．409 B ．40 C ．16 D ．1632．盒子中有编号为1，2，3，4，5，6，7的7个相同的球，从中任取3个编号不同的球，则取的3个球的编号的中位数恰好为5的概率是（ ）A ．235B ．835C ．635D ．373．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是A ．B ．C ．D ．4．已知函数()12xf x e -=，()ln 12xg x =+，若()()f m g n =成立，则n m -的最小值为（ ） A ．0B ．4C ．132e -D ．5+ln 62 5．双曲线22:21C x y -=的渐近线方程为( )A ．20x ±=B ．20x y ±=C ．20x y ±=D ．20x y ±=6．已知底面为正方形的四棱锥，其一条侧棱垂直于底面，那么该四棱锥的三视图可能是下列各图中的（ ） A ． B ． C ．D ．7．造纸术、印刷术、指南针、火药被称为中国古代四大发明，此说法最早由英国汉学家艾约瑟提出并为后来许多中国的历史学家所继承，普遍认为这四种发明对中国古代的政治，经济，文化的发展产生了巨大的推动作用.某小学三年级共有学生500名，随机抽查100名学生并提问中国古代四大发明，能说出两种发明的有45人，能说出3种及其以上发明的有32人，据此估计该校三级的500名学生中，对四大发明只能说出一种或一种也说不出的有（ ） A ．69人 B ．84人 C ．108人 D ．115人8．已知:|1|2p x +> ，:q x a >，且p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则a 的取值范围是（ ）A ．1a ≤B ．3a ≤-C ．1a ≥-D ．1a ≥9．一辆邮车从A 地往B 地运送邮件，沿途共有n 地，依次记为1A ，2A ，…n A （1A 为A 地，n A 为B 地）．从1A 地出发时，装上发往后面1n -地的邮件各1件，到达后面各地后卸下前面各地发往该地的邮件，同时装上该地发往后面各地的邮件各1件，记该邮车到达1A ，2A ，…n A 各地装卸完毕后剩余的邮件数记为(1,2,,)k a k n =…．则k a 的表达式为（ ）．A ．(1)k n k -+B ．(1)k n k --C ．()n n k -D ．()k n k -10．下列选项中，说法正确的是（ ）A ．“20000x R x x ∃∈-≤，”的否定是“2000x R x x ∃∈->，”B ．若向量a b ，满足0a b ⋅< ，则a 与b 的夹角为钝角C ．若22am bm ≤，则a b ≤D ．“()x A B ∈”是“()x A B ∈”的必要条件11．已知f （x ）=ax 2+bx 是定义在[a –1，2a]上的偶函数，那么a+b 的值是A ．13-B ．13C ．12-D ．12 12．若复数z 满足(1)12i z i +=+，则||z =( )A ．22B ．32C ．102D ．12二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

哈师大附中2021级高三第二次调研考试数学试题（满分150分，考试时间120分钟）一、选择题（前8个小题为单选题，每题只有一个选项，每题5分，满分40分；后4小题为多选题，每题不只有一个选项，每题5分，满分20分）1.已知集合{}25,A y y x x ==-∈R，(){}3log 22,B x x x =+<∈R ，则A B = （ ）．A.{}27x x -<<B.{}5x x ≤C.{}57x x ≤< D.{}25x x -<≤2.已知:02p x <<，那么p 的一个充分不必要条件是（ ）．A 01x << B.11x -<< C.02x <≤ D.03x <<3.()sin 1230-︒=（ ）．A.12B. 12-C.D.4.已知2727a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2737b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，27log 2c =，则（ ）．A.a b c<< B.b a c<< C.c b a<< D.c a b<<5.若正数,x y 满足63x y +=，则31y x y+最小值为（）．A 4B.98C. D.26.已知函数()f x 的定义域为R ，其导函数为()f x '，且()()50x f x '-<，则下列关系一定正确的是（）．A.()()()3524f f f +<B.()()()4625f f f +<C.()()050f f ⋅=D.()()()3725f f f +=7.将函数()()πsin 206g x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭图像上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()f x ，函数()f x 在区间()0,π上有且只有两个零点，则ω的取值范围为（ ）．.的.A. 611,56⎛⎤ ⎥⎝⎦B. 611,56⎛⎫⎪⎝⎭C. 713,66⎛⎤⎥⎝⎦D. 713,66⎛⎫⎪⎝⎭8. 我国古代数学家赵爽在《周髀算经》一书中利用“赵爽弦图”巧妙的证明了勾股定理，该图形是以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成．类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，若3AF EF = ，3AF =，则AF AB AC λμ=+ ，则λμ+=（ ）．A.1519B.619C.919D.多选题（共4个小题，每题不只有一个选项，每题5分，满分20分）9. 如图所示是()y f x =的导数()y f x '=的图象，下列结论中正确的有（ ）．A. ()f x 的单调递增区间是()()1,24,-+∞B. =1x -是()f x 极小值点C. ()f x 在区间()2,4上单调递减，在区间()1,2-上单调递增D. 2x =是()f x 极小值点10. 若0a >，0b >，4a b +=，则下列结论正确的是（ ）．A.2≤ B. 228a b +≥C. ()()221332a b +++≤ D. 2243a b +≥11. 函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）．的的A. 函数()21y f x =+的周期是π2B. 点5π,03⎛⎫⎪⎝⎭是函数()y f x =的图象的对称中心C. 函数()y f x =在5ππ,6⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减D. ()1f x >对于5π2π,3x ⎡⎤∀∈--⎢⎥⎣⎦恒成立12. 已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2=f x f x -，当[]0,1x ∈时，()f x x =，定义符号函数1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，则下列结论正确的是（ ）．A. ()sgn f x ⎡⎤⎣⎦是奇函数B. ()()2023sgn 2023f f =⎡⎤⎣⎦C. ()()sgn 211k f k +=⎡⎤⎣⎦∈Z D. ()sgn f x ⎡⎤⎣⎦关于直线3x =对称二、填空题（共4个小题，每题5分，满分20分）13. 已知幂函数()()2277mf x m m x =-+为非奇非偶函数，则实数m =__________．14. 函数()()12log 4f x ax =-在区间()2,3上是单调递增，则实数a 的取值范围是___________．15. 已知向量a ，b ，2= a ，3b = ，a 与b的夹角为2π3，则a xb + 的值最小时，实数x 的值为__________．16. 在ABC中，AB =，π3C =，当3BC AC +取最大值时，AC =__________．三、解答题（共6题，第17题10分，第18至第22题每题12分，共70分）17. 已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，角α的终边过点()5,12A --．（1）求3πsin 22α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；（2）若()0,2πα∈，π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()4sin 5αβ-=-，求cos β的值．18. 已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AB =，12AA =，E 为线段11A B 的中点，F 为线段AB 的中点．（1）求直线1BB 与平面1AEC 所成角的正弦值；（2）证明：直线//FC 平面1AEC 并且求出直线FC 到平面1AEC 的距离．19. 已知数列{}n a 为等差数列，且2410a a +=，416S =．（1）求{}n a 的通项公式；（2）数列{}n b满足)n b n *=∈N ，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求证：112nS <．20. 在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()()()sin sin sin sin a b A B c B C +-=+．（1）求角A 的大小；（2）若D 为BC 上一点，12BAD BAC ∠=∠，3AD =，求4b c +的最小值．21. 已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的渐近线为y x =，点P 在C 上，直线:l y kx t =+与双曲线C 相交于两点M ，N ，线段MN 的垂直平分线分别与x ，y 轴相交于A ，B两点．（1）若直线l 过点()0,1，且点M ，N 都在双曲线的左支上，求k 的取值范围；（2）若AOB （O 为坐标原点）的面积为812，且0k ≠，求k 的取值范围．22. 已知函数()1eln -=-x f x a x ．（1）当1a =-时，求曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程；（2）当0a >，若不等式()ln f x a a a ≥+恒成立，求a 的取值范围．哈师大附中2021级高三第二次调研考试数学试题（满分150分，考试时间120分钟）一、选择题（前8个小题为单选题，每题只有一个选项，每题5分，满分40分；后4小题为多选题，每题不只有一个选项，每题5分，满分20分）1. 已知集合{}25,A y y x x ==-∈R，(){}3log 22,B x x x =+<∈R ，则A B = （ ）．A. {}27x x -<< B. {}5x x ≤C. {}57x x ≤< D. {}25x x -<≤【答案】D 【解析】【分析】根据二次函数的值域与对数不等式的运算求解即可.【详解】{}5A y y =≤，(){}{}{}33log 2log 902927B x x x x x x =+<=<+<=-<<.故}5A B x ⋂=<≤.故选：D2. 已知:02p x <<，那么p 的一个充分不必要条件是（ ）．A. 01x << B. 11x -<< C. 02x <≤ D. 03x <<【答案】A 【解析】【分析】根据充分不必要条件定义，结合推出关系依次判断各个选项即可.【详解】对于A ，0102x x <<⇒<< ，0201x x <<<<¿，01x ∴<<是p 的一个充分不必要条件，A 正确；对于B ，1102x x -<<<< ¿，0211x x <<-<<¿，11x ∴-<<是p 的一个既不充分也不必要条件，B 错误；对于C ，0202x x <≤<< ¿，0202x x <<⇒<≤，20x ∴<≤是p 的一个必要不充分条件，C 错误；对于D ，0302x x <<<< ¿，0203x x <<⇒<<，03x ∴<<是p 的一个必要不充分条件，D 错误.故选：A.3. ()sin 1230-︒=（ ）．A12B. 12-C.D. 【答案】B 【解析】【分析】利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可.【详解】()()sin 1230sin 3604210sin 210-︒=-︒⨯+︒=︒()1sin 18030sin 302=︒+︒=-︒=-．故选：B 4. 已知2727a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2737b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，27log 2c =，则（ ）．A. a b c << B. b a c<< C. c b a<< D. c a b<<【答案】D 【解析】【分析】由幂函数、指数函数的单调性即可比较大小.【详解】一方面因为幂函数27y x =在[)0,∞+上单调递增，所以227723077a b ⎛⎫⎛⎫<=<=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，另一方面因为对数函数27log y x =在()0,∞+上单调递减，所以2277log 2log 20c =<=，结合以上两方面有：0c a b <<<.故选：D.5. 若正数,x y 满足63x y +=，则31y x y+的最小值为（ ）．A. 4 B.98C. D. 2【答案】A 【解析】【分析】由已知等式可得31323y y x x y x y+=++，利用基本不等式可求得结果.【详解】,x y 为正数，63x y +=，.3136322433y y x y y x x y x y x y +∴+=+=++≥+=（当且仅当33y x x y =，即1x =，13y =时取等号），即31y x y+的最小值为4.故选：A.6. 已知函数()f x 的定义域为R ，其导函数为()f x '，且()()50x f x '-<，则下列关系一定正确的是（ ）．A. ()()()3524f f f +<B. ()()()4625f f f +<C. ()()050f f ⋅=D. ()()()3725f f f +=【答案】B 【解析】【分析】根据()()50x f x '-<可确定()f x 单调性，并得到()()max 5f x f =；由反例可说明ACD 错误；根据单调性可说明B 正确.【详解】()()50x f x '-< ，∴当5x <时，()0f x ¢>；当5x >时，()0f x '<；()f x \在(),5-∞上单调递增，在()5,+∞上单调递减；又()f x 在R 上可导，()f x \连续，()()max 5f x f ∴=；对于A ，若()()25e x f x --=，满足()f x 在(),5-∞上单调递增，在()5,+∞上单调递减，()4413e e f -∴==，()05e 1f -==，()114e e f -==，()()()412351124e ef f f ∴+=+>>=，A 错误；对于B ，()()45f f < ，()()65f f <，()()()4625f f f ∴+<，B 正确；对于C ，若()()251f x x =--+，满足()f x 在(),5-∞上单调递增，在()5,+∞上单调递减，()024f ∴=-，()51f =，()()05240f f ∴⋅=-≠，C 错误；对于D ，若()5e e xf x x =-，满足()f x 在(),5-∞上单调递增，在()5,+∞上单调递减，()5333e e f ∴=-，()5777e e f =-，()5555e e f =-，()()()5373710e e e f f ∴+=-+，()552510e 2e f =-，又375e e 2e +≠，()()()3725f f f ∴+≠，D 错误.故选：B.7. 将函数()()πsin 206g x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭图像上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()f x ，函数()f x 在区间()0,π上有且只有两个零点，则ω的取值范围为（ ）．A. 611,56⎛⎤ ⎥⎝⎦B. 611,56⎛⎫⎪⎝⎭C. 713,66⎛⎤⎥⎝⎦ D. 713,66⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】利用函数的伸缩变换及三角函数的性质即可求解.【详解】由题意可知，()()πsin 06f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，因为0πx <<，所以ππππ666x ωω-<-<-，又因为函数()f x 在区间()0,π上有且只有两个零点，所以πππ2π6ω<-≤，解得71366ω<≤，所以ω的取值范围为713,66⎛⎤⎥⎝⎦.故选：C.8. 我国古代数学家赵爽在《周髀算经》一书中利用“赵爽弦图”巧妙的证明了勾股定理，该图形是以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成．类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，若3AF EF= ，3AF =，则AF AB AC λμ=+ ，则λμ+=（ ）．A.1519B.619C.919D.【答案】A 【解析】【分析】利用向量的数乘、加减法运算可整理得到21039AF AB AC AF =+-，化简整理可得,λμ的值，从而求得结果.【详解】由3AF EF = 知：3CE DE = ，3BD FD =；()5333AF EF DF DE DB CE CB CD CE CB CE==-=-=--=-()()5252210333339AB AC AE AC AB AC AF AB AC AF =---=+-⨯=+- ，19293AF AB AC ∴=+ ，961919AF AB AC ∴=+ ，则919λ=，619μ=，9615191919λμ∴+=+=.故选：A.【点睛】思路点睛；本题考查平面向量基本定理的应用，解题的基本思路是能够利用向量的加减法和数乘运算，利用基底表示出所求向量或构造出关于所求向量的方程，从而求得参数的值.多选题（共4个小题，每题不只有一个选项，每题5分，满分20分）9. 如图所示是()y f x =的导数()y f x '=的图象，下列结论中正确的有（ ）．A. ()f x 的单调递增区间是()()1,24,-+∞B. =1x -是()f x 的极小值点C. ()f x 在区间()2,4上单调递减，在区间()1,2-上单调递增D. 2x =是()f x 的极小值点【答案】BC 【解析】【分析】利用导数正负与函数的单调性的关系，结合函数的极值与极值点的定义即可求解.的【详解】由导函数的图象可知，当1x <-或24x <<时，()0f x '<；当12x -<<或>4x 时，()0f x ¢>；所以()f x 的单调递增区间为()1,2-和()4,+∞，单调递减区间为(),1-∞-和()2,4.故A 错误，C 正确；所以1x =-或4x =是()f x 取得极小值点；故B 正确；所以2x =是()f x 取得极大值点；故D 错误.故选：BC.10. 若0a >，0b >，4a b +=，则下列结论正确的是（ ）．A. 2≤ B. 228a b +≥C. ()()221332a b +++≤ D. 2243a b +≥【答案】BD【解析】【分析】通过反例可说明A 错误；由基本不等式可得B 正确；将4b a =-代入CD 选项中，将不等式左侧化为关于a 的二次函数，结合a 的范围和二次函数单调性可求得CD 正误.【详解】对于A ，若2a b ==2=>，A 错误；对于B ，228a b +≥==（当且仅当2a b ==时取等号），B 正确；对于C ，4a b += ，40b ∴=->，04a ∴<<，()()()()22222131721250a b a a a a ∴+++=++-=-+，221250y x x =-+ 在()0,3上单调递减，在()3,4上单调递增，221250291235032a a ∴-+≥⨯-⨯+=（当且仅当3a =时取等号），C 错误；对于D ，由C 知：()2222244816333a a ab a a +=+-=-+，248163y x x =-+ 在()0,3上单调递减，在()3,4上单调递增，24481698316433a a ∴-+≥⨯-⨯+=，即2243a b +≥，D 正确.故选：BD.11. 函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）．A. 函数()21y f x =+的周期是π2B. 点5π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭是函数()y f x =的图象的对称中心C. 函数()y f x =在5ππ,6⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减D. ()1f x >对于5π2π,3x ⎡⎤∀∈--⎢⎥⎣⎦恒成立【答案】BCD【解析】【分析】根据图象可确定()f x 最小正周期和最小值，由此可得,A ω，利用7π26f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭可求得ϕ，由此可得()f x ；验证()π2g x g x ⎛⎫+≠ ⎪⎝⎭可知A 错误；利用代入检验法可知BC 正确；根据正弦型函数值域求法可知D 正确.【详解】由图象可知：若()f x 的最小正周期为T ，则37ππ3π4632T ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，3π42π23T ∴=⨯=，2π1Tω∴==；又()min 2f x =-，0A >，2A ∴=，7π7π2sin 266f ϕ⎛⎫⎛⎫∴=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()7π3π2π62k k ϕ∴+=+∈Z ，解得：()π2π3k k ϕ=+∈Z ，π2ϕ< ，π3ϕ∴=，()π2sin 3f x x ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭；对于A ，设()()π212sin 213g x f x x ⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭，则πππππ2sin 212sin π2112sin 222333g x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++=+++=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，()π2g x g x ⎛⎫∴≠+ ⎪⎝⎭，π2∴不是()g x 的周期，A 错误；对于B ，当5π3x =时，π2π3x +=，此时()2sin 2π0f x ==，5π,03⎛⎫∴ ⎪⎝⎭是()f x 图象对称中心，B 正确；对于C ，当5ππ,6x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，π2ππ,332x ⎡⎤+∈--⎢⎥⎣⎦，sin y x = 在2ππ,32⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减，()f x \在5ππ,6⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减，C 正确；对于D ，当5π2π,3x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，π5π4π,333x ⎡⎤+∈--⎢⎥⎣⎦，()()min 5π2π213f x f f ⎛⎫∴=-=-==> ⎪⎝⎭，D 正确.故选：BCD.12. 已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2=f x f x -，当[]0,1x ∈时，()f x x =，定义符号函数1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，则下列结论正确的是（ ）．A. ()sgn f x ⎡⎤⎣⎦是奇函数B. ()()2023sgn 2023f f =⎡⎤⎣⎦C. ()()sgn 211k f k +=⎡⎤⎣⎦∈Z D. ()sgn f x ⎡⎤⎣⎦关于直线3x =对称【答案】ABD【解析】【分析】利用奇偶性和对称性可推导得到()f x 是以4为周期的周期函数，并确定()f x 的图象，结合图象可确定x 位于不同范围时，()f x 的正负；由奇偶性定义依次验证()sgn f x ⎡⎤⎣⎦与()sgn f x -⎡⎤⎣⎦的关系即可得到A 正确；由周期性和符号函数的定义可求得B 正确；通过反例可说明C 错误；推导可得()()33f x f x +=-，由此可知D 正确.【详解】()f x 为奇函数，()()f x f x ∴-=-，图象关于原点对称；()()2f x f x -= ，()f x \关于1x =对称；的()()()22f x f x f x =-=--Q ，()()()()42f x f x f x f x ∴+=-+=--=⎡⎤⎣⎦，()f x \是以4为周期的周期函数，结合当[]0,1x ∈时，()f x x =可得()f x 图象如下图所示，∴当()()4,42x k k k ∈+∈Z 时，()0f x >；当()()42,4x k k k ∈-∈Z 时，()0f x <；当()2x k k =∈Z 时，()0f x =；对于A ，若()()4,420,x n n n n ∈+≥∈Z ，()0f x >，()sgn 1⎡⎤=⎣⎦f x ；()()42,40,x n n n n -∈---≥∈Z ，()0f x -<，()sgn 1f x -=-⎡⎤⎣⎦，则()()sgn sgn f x f x -=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦；若()()42,40,x n n n n ∈-<∈Z ，()0f x <，()sgn 1f x =-⎡⎤⎣⎦；()()4,420,x n n n n -∈--+<∈Z ，()0f x ->，()sgn 1f x -=⎡⎤⎣⎦，则()()sgn sgn f x f x -=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦；当()2x k k =∈Z 时，()()0f x f x =-=，()()sgn sgn 0f x f x ∴-=-=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦；综上所述：()sgn f x ⎡⎤⎣⎦为定义在R 上奇函数，A 正确；对于B ，()()()()202345061111f f f f =⨯-=-=-=- ，()[]sgn 2023sgn 11f =-=-⎡⎤⎣⎦，()()2023sgn 2023f f ∴=⎡⎤⎣⎦，B 正确；对于C ，当()21k n n =+∈Z 时，()()()214331f k f n f +=+==-，此时()[]sgn 21sgn 11f k +=-=-⎡⎤⎣⎦，C 错误；对于D ，()f x 的周期为4，()()31f x f x ∴+=-，()()()3341f x f x f x -=-+=--⎡⎤⎣⎦，又()f x 为奇函数，()()11f x f x ∴--=-+，()()11f x f x -=--，()f x 关于1x =对称，()()11f x f x ∴+=-，()()11f x f x ∴--=-，的即()()33f x f x +=-，()()sgn 3sgn 3f x f x ∴+=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，()sgn f x ∴⎡⎤⎣⎦关于直线3x =对称，D 正确.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本题考查函数中的新定义问题的求解，解题关键是能够利用抽象函数关系式，确定()f x 的对称性和周期性，从而结合函数图象来分析新定义函数的相关性质.二、填空题（共4个小题，每题5分，满分20分）13. 已知幂函数()()2277m f x m m x =-+为非奇非偶函数，则实数m =__________．【答案】32【解析】【分析】先由函数是幂函数求出m 的值，再对m 进行讨论即可.【详解】由题意函数()()2277m f x m m x =-+是幂函数，所以22771m m -+=，即22760-+=m m ，解得2m =或32m =，当2m =时，()2f x x =是偶函数，不满足题意，当32m =时，()32f x x ==()0,∞+，不关于原点对称，即()f x =是非奇非偶函数，满足题意.故答案为：32.14. 函数()()12log 4f x ax =-在区间()2,3上是单调递增，则实数a 的取值范围是___________．【答案】40,3⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】【分析】结合复合函数单调性的判断方法和对数真数大于零可构造不等式组求得结果.【详解】12log y u = 在()0,∞+上单调递减，∴若()()12log 4f x ax =-在()2,3上单调递增，则4u ax =-在()2,3上单调递减且0u >在()2,3上恒成立，0430a a >⎧∴⎨-≥⎩，解得403a <≤，即实数a 的取值范围为40,3⎛⎤ ⎥⎝⎦.故答案为：40,3⎛⎤ ⎥⎝⎦.15. 已知向量a ，b ，2= a ，3b = ，a 与b 的夹角为2π3，则a xb + 的值最小时，实数x 的值为__________．【答案】13【解析】【分析】利用向量的数量积的定义及向量的模公式，结合二次函数的性质即可求解.【详解】因为2= a ，3b = ，a 与b 的夹角为2π3，所以2π1cos 23332a b a b ⎛⎫⋅==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭.所以a xb +=== ,当13x =时，a xb + 的值最小.故答案为：13.16. 在ABC 中，AB =，π3C =，当3BC AC +取最大值时，AC =__________．【解析】【分析】用正弦定理将3BC AC +转化求得最大值，根据3C π=用余弦定理联立方程组即可求解.【详解】设BC a =，AC b =，AB c =，c = ，3C π=，2sin sin sin a b c A B C∴===，32sin 6sin a b A B ∴+=+，32sin 6sin()a b A A C ∴+=++，32sin 6sin()3a b A A π∴+=++，35sin a b A A ∴+=+，3)a b A ϕ∴+=+，其中cos ϕ=，sin 0ϕ> ，cos 0ϕ>，2(0,)3A π∈，∴当)22(Z A k k ϕππ++∈=时3a b +取最大值3C π= ，2221cos 22a b c C ab +-∴==，2233122a b a b ab⎧+=⎪∴⎨+-=⎪⎩，12b b ==∴，即AC.三、解答题（共6题，第17题10分，第18至第22题每题12分，共70分）17. 已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，角α的终边过点()5,12A --．（1）求3πsin 22α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；（2）若()0,2πα∈，π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()4sin 5αβ-=-，求cos β的值．【答案】（1）119169 （2）6365【解析】【分析】（1）根据终边所过点可得sin ,cos αα，利用诱导公式和二倍角余弦公式可求得结果；（2）根据角的范围和同角三角函数平方关系可求得()cos αβ-，由()cos cos βααβ=--⎡⎤⎣⎦，利用两角和差余弦公式可求得结果.【小问1详解】角α的终边过点()5,12A--，12 sin13α∴==-，5cos13α==-，23π25119sin2cos212cos122169169ααα⎛⎫∴+=-=-=-⨯=⎪⎝⎭.【小问2详解】()0,2πα∈，sin0α<，cos0α<，3ππ,2α⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭；π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π,02β⎛⎫∴-∈- ⎪⎝⎭，π3π,22αβ⎛⎫∴-∈ ⎪⎝⎭，()3cos5αβ∴-==-，()()()cos cos cos cos sin sinβααβααβααβ⎡⎤∴=--=-+-⎣⎦531246313513565⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯-+-⨯-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.18. 已知正四棱柱1111ABCD A B C D-中，1AB=，12AA=，E为线段11A B的中点，F为线段AB的中点．（1）求直线1BB与平面1AEC所成角的正弦值；（2）证明：直线//FC平面1AEC并且求出直线FC到平面1AEC的距离．【答案】（1（2）证明见解析，直线FC到平面1AEC【解析】【分析】（1）以1D 为坐标原点建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法可求得结果；（2）根据0FC n ⋅= ，由线面平行向量证明可得结论；将所求距离转化为点F 到平面1AEC 的距离，由点面距离的向量求法可求得结果.【小问1详解】以1D 为坐标原点，11111,,D A D C D D 正方向为,,x y z 轴正方向，可建立如图所示空间直角坐标系，则()1,0,2A ，11,,02E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()10,1,0C ，()11,1,0B ，()1,1,2B ，10,,22AE ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，()11,1,2AC =-- ，()10,0,2B B = ，设平面1AEC 的法向量(),,n x y z = 则1120220AE n y z AC n x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⎪⋅=-+-=⎩ ，令4y =，解得：2x =，1z =，()2,4,1n ∴=，111cos ,B B n B B n B B n ⋅∴===⋅ 即直线1BB 与平面1AEC【小问2详解】由（1）知：11,,22F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()0,1,2C ，11,,02FC ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭ ，10,,02FA ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，11240102FC n ⋅=-⨯+⨯+⨯= ，FC n ∴⊥ ，又⊄FC 平面1AEC ，//FC ∴平面1AEC ，∴直线FC 到平面1AEC 的距离即为点F 到平面1AEC 的距离，设该距离为d ，的则FA ndn⋅===，即直线FC到平面1AEC.19.已知数列{}n a为等差数列，且2410a a+=，416S=．（1）求{}n a的通项公式；（2）数列{}n b满足()1113n nn nnb na a*+++=∈⋅N，数列{}nb的前n项和为nS，求证：112nS<．【答案】（1）21na n=-（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用等差数列通项和求和公式可构造方程组求得a1,d，由此可得通项公式；（2）由（1）可得b n，采用裂项相消法可求得S n，进而分析得到结论.【小问1详解】设等差数列{}n a的公差为d，则24314112241043446162a a a a dS a d a d+==+=⎧⎪⎨⨯=+=+=⎪⎩，解得：112ad=⎧⎨=⎩，()12121na n n∴=+-=-.【小问2详解】由（1）得：()()()()111111321214213213n n n nnbn n n n++⎡⎤+==-⎢⎥-+-+⎣⎦，()()1223341 1111111114133333535373213213 n n nSn n+⎡⎤∴=-+-+-+⋅⋅⋅+-⎢⨯⨯⨯⨯⨯⨯-+⎣⎦()()11111114321312843n nn n++⎡⎤=-=-⎢⎥++⎣⎦，()11843nn+>+，112nS∴<.20.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若()()()sin sin sin sina b A B c B C+-=+．（1）求角A的大小；（2）若D 为BC 上一点，12BAD BAC ∠=∠，3AD =，求4b c +的最小值．【答案】（1）2π3A =（2）27【解析】【分析】（1）利用正弦定理化角为边，再根据余弦定理即可得解；（2）根据ABC ABD ACD S S S =+ 求出,b c 的关系，再利用基本不等式即可得解.【小问1详解】因为()()()sin sin sin sin a b A B c B C +-=+，由正弦定理得()()()a b a b c b c +-=+，即222a b bc c -=+，222c b a bc +-=-，所以2221cos 22b c a A bc +-==-，又()0,πA ∈，所以2π3A =；【小问2详解】由12BAD BAC ∠=∠，得1π23BAD CAD BAC ∠=∠=∠=，因为ABC ABD ACD S S S =+ ，所以12π1π1πsin 3sin 3sin 232323bc c b =⋅⋅+⋅⋅，即()3bc c b =+，331b c bc c b +=+=，所以()3312344151527b c b c b c c b c b ⎛⎫+=++=++≥+=⎪⎝⎭，当且仅当123b c c b=，即29c b ==时等号成立，所以4b c +的最小值为27．21. 已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的渐近线为y x =，点P 在C 上，直线:l y kx t =+与双曲线C 相交于两点M ，N ，线段MN 的垂直平分线分别与x ，y 轴相交于A ，B 两点．（1）若直线l 过点()0,1，且点M ，N 都在双曲线的左支上，求k 的取值范围；（2）若AOB （O 为坐标原点）的面积为812，且0k ≠，求k 的取值范围．【答案】（1）（2）5,,4⎛⎫⎛⎛⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎝⎭⎝⎭⎝ 【解析】【分析】（1）利用双曲线的渐近线及点在双曲线上，将直线与双曲线联立方程组，利用直线与双曲线相交（2）将直线与双曲线联立方程组，利用直线与双曲线相交的条件及韦达定理，再利用中点坐标公式及直线的点斜式方程，结合三角形的面积公式及一元二次不等式的解法可得答案.【小问1详解】∵b a =，且225514a b -=，∴2a =，b =，故双曲线22:145x y C -=，设()11,M x y ，()22,N x y ，当直线l 过点()0,1时，1t =，直线l 的方程为1y kx =+，如图所示由221145y kx x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，得()22548240k x kx ---=，由2540k -≠，()226496540k k ∆=+->，解得k <<k ≠，122854k x x k +=-，1222454x x k -=-．因为点M ，N 都在左支上，∴10x <，20x <，∴1228054k x x k +=<-，12224054x x k -=>-k <<．所以k的取值范围为．【小问2详解】将y kx t =+代入22145x y -=并整理得()2225484200k x ktx t ----=，由2540k -≠，()()()22284544200kt k t ∆=-+-+>，得22540t k +->，122854kt x x k +=-，212242054t x x k--=-，设线段MN 的中点为()00,x y ，则12024254x x kt x k +==-，002554t y kx t k =+=-，所以线段MN 的垂直平分线的方程为225145454t kt y x k k k ⎛⎫-=-- ⎪--⎝⎭，所以A 点的坐标为29,054kt k ⎛⎫ ⎪-⎝⎭，B 点的坐标为290,54t k ⎛⎫ ⎪-⎝⎭，因为AOB 的面积为812，所以2219981254542kt t k k ⋅=--，整理得()22254k tk -=，所以()22254540k k k -+->，所以()()2245450k k k --->，解得0k <<或54k >，所以k的取值范围为55,,44⎛⎫⎛⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝ ．22. 已知函数()1e ln -=-x f x a x ．（1）当1a =-时，求曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程；（2）当0a >，若不等式()ln f x a a a ≥+恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）210x y --=（2）(]0,1【解析】【分析】（1）利用导数几何意义可求得切线斜率()1f '，结合()11f =可得切线方程；（2）方法一：构造()()ln g x f x a a a =--，将问题转化为()0g x ≥恒成立；利用导数和零点存在定理可说明()g x 的单调性，得到00012ln 0x x x --≥；令()12ln u x x x x=--，利用导数可得()u x 单调性，从而确定0x 的范围，再次构造函数()()1e01x t x x x -=<≤，利用导数可求得()0t x 的范围，即为所求的a的取值范围；方法二：采用同构法，将恒成立的不等式化为()()ln 111e ln 1e ax x x ax +-⎡⎤-⎣⎦≥+⎡⎤⎣⎦，构造函数()()1e 0x h x x x -=>，利用导数求得()h x 单调性，从而得到()ln 1x ax ≥+，采用分离变量法可得()1e 0x a x x-≤>，令()()1e 0x u x x x-=>，利用导数可求得()min u x ，由此可得a 的取值范围；方法三：由恒成立不等式可确定()11ln f a a a =≥+，构造函数()ln S a a a a =+，利用导数可求得()S a 的单调性，结合()11S =可求得a 的范围为(]0,1；通过证明当(]0,1a ∈时，()ln f x a a ≥+恒成立和1a >时，不等式不恒成立可得到最终范围.【小问1详解】当1a =-时，()1e ln x f x x -=+，则()11e x f x x-'=+，()01e 12f '∴=+=，又()01e ln11f =+=，()y f x ∴=在()()1,1f 处的切线方程为：()121y x -=-，即210x y --=.【小问2详解】方法一：令()()1ln e ln ln x g x f x a a a a x a a a -=--=---，则()0g x ≥恒成立，()g x 的定义域为()0,∞+，()1e x a g x x -'=-且0a >；令()()h x g x '=，则()12e 0x a h x x-'=+>，()h x ∴在()0,∞+上单调递增，即()g x '在()0,∞+上单调递增，又()11e e 1011aa a g a a a '+=-=-+>++，11e 101a a g a a -+⎛⎫'=--< ⎪+⎝⎭，0,11a x a a ⎛⎫∴∃∈+ ⎪+⎝⎭，使得()00g x '=，且当()00,x x ∈时，()0g x '<；当()0,x x ∈+∞时，()0g x '>；()g x ∴在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，()()0100min e ln ln x g x g x a x a a a -∴==--，由()00g x '=得：010e x a x -=，00ln 1ln x x a ∴+-=，010e x a x -=，()()000011110000000e e ln e e ln 1x x x x g x x x x x x x ----∴=---+-()012000e 12ln x x x x -=--，()012000e 12ln 0x x x x -∴--≥，即00012ln 0x x x --≥，令()12ln u x x x x=--，则()u x 在()0,∞+上单调递减，又()000012ln 0u x x x x =--≥，()10u =，001x ∴<≤，设()()1e 01x t x x x -=<≤，则()()11e 0x t x x -'=+>，()t x ∴在(]0,1上单调递增，()01t x ∴<≤，0100e 1x x -∴<≤，又010e x a x -=，a ∴的取值范围为(]0,1.方法二：由()ln f x a a a ≥+得：1e ln ln x a a a a x -≥++，()()()()ln 111e 1ln ln ln 1ln 1e ax x x ax a x ax ax ax +-⎡⎤-⎣⎦∴≥++=+=+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，当()ln 10ax +≤时，()1e 0ln 1x x ax ->≥+在0a >，0x >时恒成立，0a ∴>；当()ln 10ax +>时，设()()1e 0x h x x x -=>，则()()()ln 1h x h ax ≥+，()()11e 0x h x x -'=+> ，()h x ∴在()0,∞+上单调递增，()ln 1x ax ∴≥+，即()1e 0x ax x -≤>，()1e 0x a x x-∴≤>，令()()1e 0x u x x x -=>，则()()121e x x u x x--'=，∴当()0,1x ∈时，()0u x '<；当()1,x ∈+∞时，()0u x '>；()u x ∴在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，()()min 11u x u ∴==，1a ∴≤，又0a >，01a ∴<≤；综上所述：实数a 的取值范围为(]0,1.方法三：()f x 定义域为()0,∞+，()ln f x a a a ≥+恒成立，()11ln f a a a ∴=≥+必然成立；令()ln S a a a a =+，则()2ln S a a '=，∴当()20,e a -∈时，()0S a '<；当()2e ,a -∈+∞时，()0S a '>；()S a ∴在()20,e -上单调递减，在()2e ,-+∞上单调递增，又()11S =，当10e a -<<时，()()1ln 0S a a a =+<，∴当01a <≤时，ln 1a a a +≤；下面证明：当01a <≤时，()ln f x a a a ≥+恒成立.ln 0a a ≤ ，()ln ln ln ln 1a x a a a a x a a x ∴++≤+=+，()11e ln ln e ln 1x x a x a a a a x --∴---≥-+，令()()1e ln 1x F x a x -=-+，则()1e x a F x x-'=-，令()()G x F x '=，则()12e 0x a G x x-'=+>，()F x '∴在()0,∞+上单调递增，当1a =时，()11e x F x x-'=-，()10F '=，∴当()0,1x ∈时，()0F x '<；当()1,x ∈+∞时，()0F x '>；()F x ∴在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，()()10F x F ∴≥=，1e ln ln 0x a x a a a -∴---≥恒成立，即()ln f x a a a ≥+恒成立；当01a <<时，()110F a '=->，()1e 10a F a -'=-<，()0,1x a ∴∃∈，使得()00F x '=，且当()00,x x ∈时，()0F x '<；当()0,x x ∈+∞时，()0F x '>；()F x ∴在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，()()()0100e ln 1x F x F x a x -∴≥=-+，由()00F x '=得：010e x a x -=，00ln ln 1x a x =+-，()()000001ln 1ln a F x a a x a x a a a x x ⎛⎫∴=-+-=+-- ⎪⎝⎭，()0,1x a ∈ ，0012x x ∴+>，()()0001ln ln 1ln 0F x a x a a a a a a a a x ⎛⎫∴=+-->-=-> ⎪⎝⎭，()()00F x F x ∴≥>，∴e x −1 −a ln x −a ln a −a ≥0恒成立，即 f (x ≥ )a ln a +a 恒成立；当a >1时， f (1= )1 <a (1 +ln a = )a +a ln a ，显然不满足 f (x ≥ )a +a ln a 恒成立；综上所述：实数a 的取值范围为(0,1 ].【点睛】方法点睛：本题重点考查了导数中的恒成立问题的求解；本题求解恒成立的基本方法有：1.通过直接构造函数的方式，将问题转化为含参数函数的单调性的讨论和最值的求解问题，利用最值求得参数的取值范围；2.采用同构法，将问题转化为同一函数的不同函数值的大小关系的问题，从而通过求解函数的单调性得到自变量的大小关系；3.采用由特殊到一般的思路，通过特殊位置必然成立的思路得到a 的一个取值范围，再证明在此范围时不等式恒成立，并通过反例说明不在此范围时不等式不恒成立来得到最终范围.。

广东省2024届普通高中毕业班第二次调研考试数学本试卷共4页，考试用时120分钟，满分150分。

注意事项：1.答卷前，考生务必将自己所在的学校、姓名、班级、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，将条形码横贴在每张答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡名题目指定区域内相应位置上；如需改动，先画掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.复数z 满足()22i i z -=-，则z 在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.若集合{}23830A x x x =--≤，{}1B x x =>，定义集合{},A B x x A x B -=∈∉且，则A B -=（）A.1,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B.1,13⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C.1,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.(]1,33.已知函数()f x ，()g x 的定义域为R ，则“()f x ，()g x 为周期函数”是“()()f x g x +为周期函数”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知1F ，2F 是椭圆1C ：()22221x y a b a b +=>>的两个焦点，双曲线2C ：222213x y m m -=的一条渐近线l 与1C 交于A ，B 两点.若12F F AB =，则1C 的离心率为（）A.2 B.21-1-5.在8331x ⎛+++ ⎝的展开式中，所有有理项的系数之和为（）A.84B.85C.127D.1286.已知{}n a 是等差数列，数列{}n na 是递增数列，则（）A.10a > B.20a < C.30a > D.40a <7.如图，直线1y =与函数()()sin 0,0,2f x A x A ωϕωϕπ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的图象的三个相邻的交点为A ，B ，C ，且AB π=，2BC π=，则()f x =（）A.22sin 33x π⎛⎫+⎪⎝⎭ B.2sin 2x π⎛⎫+⎪⎝⎭C.2sin 333x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭ D.sin 32x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭8.半正多面体是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，如图所示的多面体ABCD EFGH -就是一个半正多面体，其中四边形ABCD 和四边形EFGH 均为正方形，其余八个面为等边三角形，已知该多面体的所有棱长均为2，则平面ABCD 与平面EFGH 之间的距离为（）C.112D.102二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

广东省惠州市2023届高三第二次调研数学试题及参考答案全卷满分150分，时间120分钟.一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分1.已知集合{51}M x x =-≥-∣,集合{N x y ==∣,则M N ⋂=（）A.{6}x x ≥∣B.{04}x x <≤∣C.{06}xx ≤≤∣ D.{06}xx <≤∣2.设R a ∈,若复数i1ia +-(其中i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于实轴上,则a =（）A.0B.-1C.1D.3．从2,4,6,8中任取2个不同的数,a b ，则4a b -=的概率是（）A ．12B ．13C ．14D ．164.已知||2a = ,向量b 在a 上的投影向量为2a -,则a b ⋅= （）A.4B.8C.-8D.-45.攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式，多见于亭阁式建筑、园林建筑.如图所示的带有攒尖的建筑屋顶可近似看作一个圆锥，其底面积为9π，侧面展开图是圆心角为23π的扇形，则该屋顶的体积约为（）A ．B ．16πC ．18πD ．6.记函数()sin (0)4f x x b πωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭的最小正周期为T .若23T ππ<<,且()y f x =的图象关于点3,22π⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称,则2f π⎛⎫=⎪⎝⎭A.1 B.32 C.52D.37.已知函数()y f x =是定义域为R 的奇函数,且当0x <时,()1a f x x x=++.若函数()y f x =在[1,)+∞上的最小值为3,则实数a 的值为（）A.1B.2C.3D.48.祖暅原理也称祖氏原理，是我国数学家祖暅提出的一个求积的著名命题：“幂势既同，则积不容异”，“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两个同高的立体，如在等高处截面积相等，则体积相等.由曲线224,4,4,4x y x y x x ==-==-围成的图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积为1V ，满足()()22222216,24,24x y x y x y +≤+-≥++≥的点(),x y 组成的图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积为2V ，则12V V 、满足的关系式为（）A ．1212V =B ．122V V =C ．12V V <D ．12V V =二、多项选择题:本题共4小题，每小题满分5分，共20分。

惠州市2025届高三第二次调研考试试题数学全卷满分150分，时间120分钟．2024.10注意事项：1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上．2．作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效．3非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分l已知集合A={�2�x<5}，集合B={xl x2-4x<O}，则A^B=( ）A.(o,s)B.[2,4) c.(4,5) o.(-00,O)u[2,+oo)2已知复数z满足z2+l = 0,则lz+ll=( )A.3B.2C.l D．五3已知等差数列{a,,}前9项的和为27，如＝8，则a.oo= ()A.100B.99C.98 0.974在正方体ABCD-'4iB1Cp1中，棱BC,A戊的中点分别为E,F，则直线E F与平面ABBA所成角的正弦值为（）石 B. 森2石 D. 痀5已知向凳a,b满足：a=(✓3,1)，叫＝石，（兹－b ）·6=3，则向豐6在向榄五上的投影向榄为（）A胃气）B[竿i)C［告）叶亨订6已知函数f(x)=log2厅－2ax),aeR,则“a:s;O"是“函数f(x)在(1，七吩上单调递增＂的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件7已知“水滴＂的表面是一个由圆锥的侧面和部分球面（常称为“球冠”)所围成的几何体如图所示，将“水滴＂的轴截面看成由线段AB,AC 和优弧BC所围成的平面图形，其中点B,C 所在直线与水平面平行，AB和AC与圆弧相切已知“水滴＂的“竖直高度”与“水平宽度”(“水平宽度”指的是平行千水4平面的直线截轴截面所得线段的长度的最大值）的比值为－，则sin乙BAC=<A3416 24A.-B .- C.—D .—55252538在统计某学校所有选择理科和文科的学生数据中，发现理科生多千文科生，女生多千男生，则关千本次学生样本的数据中，结论一定成立的是（）A理科男生多千文科女生B文科女生多千文科男生C理科女生多干文科男生D理科女生多于理科男生二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9某公司为保证产品生产质量，连续10天监测某种新产品生产线的次品件数，得到关千每天出现的次品的件数的一组样本数据：3,4, 3, 1,5, 3, 2,5, 1, 3则关千这组数据的结论正确的是（）A极经是4B众数小千平均数c ．方差是2D数据的第80百分位数为4.510函数f (x) =A sin (cvx+ <p)(A> O,a> > 0树<§）的部分图象如图所示，现将f(x )的图象向左平移巴6个单位长度，得到函数g(x)的图象，则下列结论正确的是(2亡7兀X12兀A.<p =－一6B.(i)=2c ．函数）1= xf (x ＋王）是奇函数12 D.g (x )=2c os （2x -¾)II 如图，心形曲线L:x 2+(y -|入扩＝1与Y 轴交于A ,B 两点，点P 是L 上的一个动点，则（）ypXBA点［孚叩11(-1,1.）均在L 上B.IO月的最大值和最小值之和为3C 点P 的纵坐标的最大值为J5D.I PAl+IPB 怍2石三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．在（x+1)5的二项展开式中，各项的系数和为13椭圆于fi =l (a >b>O )的左、右顶点分别是A 、B ，左、右焦点分别是R 、F2，若I A F.I ,I F.Fzl,IF.纠成等比数列，则此椭圆的离心率e=.14若关千X的方程ln(ax4)＝[二了有实根，则a江护的最小值为四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15（本题满分13分）已知函数f(x)=�X 2一x-2ln x(l)求曲线y=f(x)在点(l,f(1)）处的切线方程：(2)求函数f(x)在区间[1,e]上的晟小值16（木题满分15分）如图，四棱锥P-ABCD中，PA J_底面ABCD,AB II CD,AD=CD=l.乙BAD=120'，乙ACB=90°.D C(l)求证：BC上平面PAC:(2)若PA＝石，求平面PCD与平面PCA夹角的余弦值l7 （本题满分15分）已知双曲线C:x2-y2=l及直线l:y＝虹－1(])若l与C有两个不同的交点，求实数K的取值范围：(2)若l与C交千A,B两点，O是坐标原点，且t:.OAB的面积为J5，求实数K的值18（本题满分17分）记t:,.ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a<b<c且tanA,tanB, t anC均为整数(I)求tanA,tanB, t anC的值，(2)设AC的中点为D,求乙CDB的余弦值19（本题满分17分）若数列{a,,}(1 s n s k, n E N*, k EN*）满足a,，叶0,1}，则称数列{a,,｝为K项0-1数列，由所有k项0-1数列组成集合M ks4)时，a,,=0,求数列{(-l)飞，｝的所有(])若伈｝是12项0-1数列，当且仅当n=3p(p E N*,p项的和；(2)从梊合M人．中仔意取出两个数列｛动，｛丸｝，记X=区|a,－b/|i=I＠求随机变量X的分布列，并证明：E(X)＞一：k2＠若用某软件产生k(k2'.:2)项0-1数列，记事件A =“第一次产生数字1"'B=“第二次产生数字l"'且0<P(A ) <1,0<P (B) <l若P(BIA)<P(B区），比较P(Al B)与P(AI B )的大小惠州市2025届高三第二次调研考试试题高三数学参考答案与评分细则一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．题号2345 678答案BDc BAADcl 【解析】因为B ={xl O < x <4}，所以A nB={xl 2�x<4}故选：B 2【解析】因为z 2+l=O,即z 2= -1,所以z ＝土，所以卜＋11=11士11=f言75了＝J5故选：D.的公妇为d，由已知得：｛9a, +36d =273【解析】设等劳数列{a ,,}，解得a,= -1, cl = 1,a, +9d =8所以a 100=a , + 99d = -1 + 99 = 98故选：C.4【解析】连接FB ，在正方体ABCD -f\B ,C 1D 1中，BC..l 平面A BB A ，棱BC 的中点为E,则BE..l 平面A BB I A ，而BFc 平面A BB A ，故BE..l BF,则乙EFB 即为迎线EF 与平面A BB I A 所成角，设正方体棱长为2,则BE=l,BF=.JB I F 2+B阻＝j了I ＝心，BE1✓6则EF =✓BF 2+BE 2＝拆，故sin乙E FB =－－＝－－＝一－故选：BEF拆6A lni ,DI L ,“K ,＇,'…,'} ，夕,j A5【解析】由例＝石，（2ii-b)·b =3,得2li·b -lbi 2=2li·b -2=3,即a 6=－525由已知得la:1=2,所以向摄6在向量a上的投影向量为彗向＝＼卢＝｀石，l)＝厂产，i)故选：A .as l6【解析】若函数f(x)在（l，切）上单调递增，则｛，解得a5-，Il-2a之02所以“a�O"是＂函数f(x)在(1.冲~)上单调递增”的充分不必要条件．故选：A7【解析】设优弧BC 所在圆的圆心为O,半径为R,连接OA ,OB ,OC 易知“水滴＂的＂竖直商度”为OA +R, OA +R 45 “水平宽度”为2R,由题意知＝一，解得OA=－R 因为AB 与圆弧相切千点B ,2R 3 3OB R 3 所以B 在Rt 心ABO 中，sin乙BAO =—=—=－冗OA 5 :::...R5，又乙BAO e l 0，一，（』4所以COS乙BAO=.Jl-sm 汔BAO ＝一，由对称性知，5乙BAO ＝乙CA O,则乙BAC=2乙BAO,3 4 24所以sin 乙BAC=2sin 乙BAOcos 乙BA0=2x-=-x-=—故选：D.5 5 258【解析】根据已知条件设理科女生有x 1人，理科男生有X 2人：文科女生有）'1人，文科男生有）5人；根据题意可知：X 1 + X 2 > Y i + Y 2'X i +Y i > X 2 + Y 2'根据同向不等式可加的性质有：X 1 + X 2 + X 1 + Y 1 > Y 1 + Y 2 + X 2 + Y 2'即X 1> Y 2，所以理科女生多千文科男生，C正确其他选项没有足够证据论证故选：C .二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．题号I 9 I 10 I 11全部正确选项I A D I ABO I ACD9【解析】数据从小到大排列为：1,1, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 5, 5对千A,该组数据的极差为5-1=4,故A正确：对于B,众数为3,平均数为lx2+2+3x4+4+5x210=3,两者相等，故B错误；对干C,方差为而伈－3)2x2+(2-3)2xl+(3-3)2x4+(4-3)2xl+(S-3)2x2] = 1.8,故C错误，对千D,10x80%=8,这组数据的第80百分位数为第8个数和第9个数的平均数4.5,故D正确故选：AD.10【解析】由图像可知：f(x)ma x = 2, A= 2:又f(0)=2s叩＝－l,故sinrp＝一L，又lrp|＜巴，所以rp＝－巴，所以A项正确，2 2 6已知f（气＝2sin（五0－勹＝0,由五点作图法可知：卫坛－巴＝亢，解得：OJ=2'所以B项正l2 12 6 l2 6确；故f(x) =2sin（三）则xj.（咕）＝2xsin2x设h(x)=xf.（咕）＝2xsin2x则h(-x)= 2(-x)sin(-2x) =2.xsin2x= h(x)，所以函数y=.-1;小号）是偶函数，故C项错误g(x)=f(x十艺）＝2s i n[2(x+：)－去］＝2s i n(2x＋艺）＝2c o s[�-(2x＋艺）］=2cos甘－2x)=2cos（三），所以D项正确故选：ABD.五II【解析】A选项，经验算，点(—,0和(-1,1)的坐标满足曲线L的方程x2 +(y-lxl)2 =L所以` o)和(-l,l）均在L上故2A项：确B 选项，I OP l ＝心三了，因为曲线L:x江(y-I 入扩＝l 关千Y 轴对称，当x 以0时，x 2 +(y-x)2 =l,设x=cos0, y-x= s in0,0e[－豆］，2 2.l+co s20 所以IOPl 2=.,\,:2+y 2=cos 20+(cos0+sin0)2 =l+�+sin20 23 1 3森l =-＋sin20+－cos20=－＋—sin (20 + rp ),其中tanrp ＝一，2 22 22 所以OP l min =[工石－�,10P 1m ax =[工石＋12 2 2 2 2 2，所以10月的最大值和最小值之和为石，故B项错误；C 选项，因为曲线L:x 2+(y -l x 忙＝1关千Y 轴对称，当x习0时，x 2+(y-x)2 =I ,则(y-x)2 =1-.,\,，2，所以y =x 土』7了因求，占P 的纵坐标的最大值，故取y =x+.[i':了，2又y 2=(x ＋石二了）＝1+2x../I 二了＝1+2[x.了7平1+.,\,;2+(l －入＂2)=2（当且仅当x 2＝上时等号2成立），所以y�.,fi ，故C项正确；x -D 选项，IPA I +I P B� 2✓3等价千点P 在椭圆上－＋—＝1内（包含椭圆），由B 项可知，即满足：322(cos0+sin0)2 +3cos 20 � 6,即2(l+sin20)+3(1+cos20)�6，整理得：23 4sin20 + 3cos20 � 5,即5sin(20+/3）�5'其中其中tan/3＝－，即sin(20+/3）�l 恒成立，则故D4项正确故选：A BD .三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.32五5314.e i12.【解析】当x =l 时，二项式展升式各项的系数和为25=32故答案为：3213【解析】由题意知I Mi l =a-c,I F;Fz l =2c,IF;科＝c+a,且三者成等比数列，则IFiFi l 2= IAF;I .I F;BIl石石即4c 2= (c-a )(c +a )= c 2 -a 2,所以e 2=－，所以e =—故答案为：—－55514【解析】设方程ln （釭＋勹＝k的实根为X。

2025届湖北省沙市中学高三第二次调研数学试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在钝角ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，B 为钝角，若cos sin a A b A =，则sin sin A C +的最大值为（ ） AB ．98C ．1D ．782．已知集合A={y|y=|x|﹣1，x ∈R}，B={x|x≥2}，则下列结论正确的是（ ） A ．﹣3∈A B ．3∉B C ．A∩B=B D ．A ∪B=B 3．设a ，b ，c 为正数，则“a b c +>”是“222a b c +>”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不修要条件4．设m ，n 是空间两条不同的直线，α，β是空间两个不同的平面，给出下列四个命题： ①若//m α，//n β，//αβ，则//m n ； ②若αβ⊥，m β⊥，m α⊄，则//m α； ③若m n ⊥，m α⊥，//αβ，则//n β； ④若αβ⊥，l αβ=，//m α，m l ⊥，则m β⊥.其中正确的是（ ）A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④5．已知向量(2,4)a =-，(,3)b k =，且a 与b 的夹角为135︒，则k =（ ） A ．9-B ．1C ．9-或1D ．1-或96．已知集合{}{13,},|2xA x x x ZB x Z A =|-≤∈=∈∈，则集合B =（ ） A ．{}1,0,1-B ．{}0,1C ．{}1,2D ．{}0,1,27．若实数,x y 满足不等式组2,36,0,x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≥⎩则3x y +的最小值等于（ ）A ．4B ．5C ．6D ．78．设(1)1i z i +⋅=-，则复数z 的模等于( ) A ．2B ．2C ．1D ．39．已知函数()f x 的图象如图所示，则()f x 可以为（ ）A ．3()3x f x x =-B ．e e ()x xf x x --= C ．2()f x x x =-D ．||e ()xf x x=10．下列函数中，既是偶函数又在区间0,上单调递增的是（ ） A ．y x =B ．()sin f x x x =C ．()2f x x x =+ D ．1y x =+11．定义在R 上的偶函数()f x ，对1x ∀，()2,0x ∈-∞，且12x x ≠，有()()21210f x f x x x ->-成立，已知()ln a f π=，12b f e -⎛⎫= ⎪⎝⎭，21log 6c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．b a c >>B ．b c a >>C ．c b a >>D ．c a b >>12．某校团委对“学生性别与中学生追星是否有关”作了一次调查，利用22⨯列联表，由计算得27.218K ≈,参照下表:20()P K k ≥0.01 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010k2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828得到正确结论是( )A ．有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星无关”B ．有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星有关”C ．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“学生性别与中学生追星无关”D ．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“学生性别与中学生追星有关” 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

辽宁省沈阳市重点联合体2025届高三第二次调研数学试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若1tan 2α=，则cos2=α( ) A ．45-B ．35C ．45D ．352．若点位于由曲线与围成的封闭区域内（包括边界），则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．3．公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在跑步英雄阿基里斯前面1000米处开始与阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米，当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟先他10米，当阿基里斯跑完下-个10米时，乌龟先他1米....所以，阿基里斯永远追不上乌龟.按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为0.1米时，乌龟爬行的总距离为（ ）A ．5101900-米B ．510990-米C ．4109900-米D ．410190-米4．已知集合{}{13,},|2xA x x x ZB x Z A =|-≤∈=∈∈，则集合B =（ ） A ．{}1,0,1-B ．{}0,1C ．{}1,2D ．{}0,1,25．如图，在ABC ∆中，23AN NC =，P 是BN 上一点，若13AP t AB AC =+，则实数t 的值为（ ）A ．23B ．25C ．16D ．346．已知双曲线2221x y a -=的一条渐近线方程是33y x =，则双曲线的离心率为（ ）A ．33B ．63C ．32D ．2337．已知复数z 满足32i z i ⋅=+（i 是虚数单位），则z =（ ） A ．23i +B ．23i -C ． 23i -+D ． 23i --8．一个超级斐波那契数列是一列具有以下性质的正整数:从第三项起，每一项都等于前面所有项之和(例如:1，3，4，8，16…).则首项为2，某一项为2020的超级斐波那契数列的个数为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．69．若函数32()2()f x x mx x m R =-+∈在1x =处有极值，则()f x 在区间[0,2]上的最大值为（ ）A ．1427B ．2C ．1D ．310．已知a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且a β⊂，b αβ=，则“//a α”是“//a b ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件11．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()11f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()2xf x m =-，则()2019f =（ ） A ．1B ．-1C ．2D ．-212．根据如图所示的程序框图，当输入的x 值为3时，输出的y 值等于（ ）A ．1B ．eC ．1e -D ．2e -二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

一、填空题（每题5分，满分70分，将答案填在答题纸上）1.已知集合{}{}31A x x x x =<-U ≥，则A =R ð ▲ ．2.某学校有8个社团，甲、乙两位同学各自参加其中一个社团，且他俩参加各个社团的可能性相同，则这两位同学参加同一个社团的概率为 ▲ ．3.复数i 1iz =-（其中i 为虚数单位）的模为 ▲ ．4.从编号为0，1，2，…，79的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量是5的样本，若编号为28的产品在样本中，则该样本中产品的最大编号为 ▲ ．考点：系统抽样5.根据如图所示的伪代码，最后输出的a 的值为 ▲ ．6.若12log 11a a <-，则a 的取值范围是 ▲ ．7.若函数32()f x x ax bx =++为奇函数，其图象的一条切线方程为342y x =-，则b 的值为 ▲ ．8.设l ，m 表示直线，α表示平面，m 是α内任意一条直线．则“l m ⊥”是“l α⊥”成立的 ▲ 条件．（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选填一个）9.在平面直角坐标系xOy 中，设A 是半圆O ：222x y +=（0x ≥）上一点，直线OA 的倾斜角为45°，过点A 作x 轴的垂线，垂足为H ，过H 作OA 的平行线交半圆于点B ，则直线AB 的方程是 ▲ ．10.在△ABC 中，D 是BC 的中点，AD ＝8，BC ＝20，则AB AC ⋅u u u r u u u r 的值为 ▲ ．12.设π6是函数()()sin2f x xϕ=+的一个零点，则函数()f x在区间()02π，内所有极值点之和为▲．13.若不等式(mx－1)［3m 2－( x + 1)m－1］≥0对任意(0)m∈+∞，恒成立，则实数x的值为▲．14.设实数a ，b ，c 满足a 2＋b 2≤c ≤1，则a ＋b ＋c 的最小值为 ▲ ．三、解答题 （本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.在△ABC 中，已知916AB AC AB BC ⋅=⋅=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，．求：（1）AB 的值；（2）sin()sin A B C-的值．16.在四棱锥P－ABCD中，AB∥DC，AB⊥平面PAD， PD＝AD，AB＝2DC，E是PB的中点．求证：（1）CE∥平面PAD；（2）平面PBC⊥平面PAB．因为AB∥CD，AB＝2DC，所以EF∥CD，……………… 4分17.为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度y （单位：毫克/立方米）随着时间x (单位：天)变化的函数关系式近似为 161048154102x x y x x ⎧-⎪-=⎨⎪-<⎩，≤≤，，≤． 若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之 和．由实验知,当空气中净化剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到净化空气的作用．（1）若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达几天?（2）若第一次喷洒2个单位的净化剂，6天后再喷洒a （14a ≤≤）个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效净化，试求a 的最小值（精确到0.1，参考数据：2取1.4）．18.在平面直角坐标系xOy 中，设曲线C 1：1(0)x y a b a b +=>>所围成的封闭图形的面积为42，曲线C 1上的点到原点O 的最短距离为22．以曲线C 1与坐标轴的交点为顶点的椭圆记 为C 2．（1）求椭圆C 2的标准方程；（2）设AB 是过椭圆C 2中心O 的任意弦，l 是线段AB 的垂直平分线．M 是l 上的点（与O 不重合）．①若MO ＝2OA ，当点A 在椭圆C 2上运动时，求点M 的轨迹方程； ②若M 是l 与椭圆C 2的交点，求△AMB 的面积的最小值．解方程组2218xyy kx⎧+=⎪⎨⎪=⎩，，得22818Axk=+，222818Akyk=+，所以22222222888(1)181818A Ak kOA x yk k k+=+=+=+++，222232(1)418kAB OAk+==+.19.设数列{a n }的首项不为零，前n 项和为S n ，且对任意的r ，t ∈N *，都有()2r t S rS t =． （1）求数列{a n }的通项公式（用a 1表示）；（2）设a 1=1，b 1=3，()1*2n n b b S n n -=∈N ≥，，求证：数列{}3log n b 为等比数列；（3）在（2）的条件下，求121n k n k k b T b -==-∑．20.设函数()e ()x f x ax a a =-+∈R ，其图象与x 轴交于1(0)A x ，，2(0)B x ，两点，且x 1＜x 2．（1）求a 的取值范围；（2）证明：()120f x x '<（()f x '为函数()f x 的导函数）； （3）设点C 在函数()y f x =的图象上，且△ABC 为等腰直角三角形，记2111x t x -=-，求(1)(1)a t -- 的值．'=-．试题解析：（1）()e xf x a所以211212(1)(1)()022x x a a x x x x a ----+++=，南通市2014届高三第二次调研测试数学Ⅱ（附加题）21.A ．选修4—1：几何证明选讲如图，△ABC 内接于圆O ，D 为弦BC 上一点，过D 作直线DP // AC ，交AB 于点E ，交圆O在A 点处的切线于点P ．求证：△PAE ∽△BDE ．21.B ．选修4—1：矩阵与变换已知二阶矩阵M 有特征值1λ=及对应的一个特征向量111⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦e ，且M 11⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝31⎡⎤⎢⎥⎣⎦．求矩阵M ．21.C．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，设动点P，Q都在曲线C：12cos2sinxyθθ=+⎧⎨=⎩，（θ为参数）上，且这两点对应的参数分别为θ＝α与θ＝2α(0＜α＜2π)，设PQ的中点M与定点A(1，0)间的距离为d，求d的取值范围．21.D．选修4—5：不等式选讲已知：2a x∈≥，R．求证：|1|||x a x a-++-≥3．22.在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，112AD AA AB ==，点E 是棱AB 上一点．且AE EBλ=． （1）证明：11D E A D ⊥；（2）若二面角D 1—EC —D 的大小为π4，求λ的值．23.设数列{a n}共有n（3n n∈N≥，）项，且11 na a==，对每个i (1≤i≤1n-，i∈N)，均有{}11122iiaa+∈，，．（1）当3n=时，写出满足条件的所有数列{a n}（不必写出过程）；（2）当8n=时，求满足条件的数列{a n}的个数．。