当前位置：文档之家 › 泰勒公式与拉格朗日中值定理在证明不等式中的简单应用

泰勒公式与拉格朗日中值定理在证明不等式中的简单应用

  • 格式：doc
  • 大小：428.72 KB
  • 文档页数：6

1 高三数学培优资料（10）教师版 泰勒公式与拉格朗日中值定理在证明不等式中的简单应用 泰勒公式是高等数学中的重点，也是一个难点，它贯穿于高等数学的始终。泰

勒公式的重点就在于使用一个n次多项式()npx,去逼近一个已知的函数fx，而且这种逼近有很好的性质：()npx与fx在x点具有相同的直到阶n的导数]31[.所以泰勒公式能很好的集中体现高等数学中的“逼近”这一思想精髓。泰勒公式的难点就在于它的理论性比较强，一般很难接受，更不用说应用了。但泰勒公式无论在科研领域还是在证明、计算应用等方面，它都起着很重要的作用.运用泰勒公式，对不等式问题进行分析、构造、转化、放缩是解决不等式证明问题的常用方法与基本思想.本文拟在前面文献研究的基础上通过举例归纳，总结泰勒公式在证明不等式中的应用方法. 泰勒公式知识：设函数fx在点0x处的某邻域内具有1n阶导数，则对该邻域内异于0x的任意点x，在0x与x之间至少存在一点，使得： fx=0fx+0'fx0(x-x)+0f''x2!02(x-x)++ 0nfxn!0n(x-x)+nRx，

其中nRx(1)(1)!nfn10)(nxx称为余项，上式称为n阶泰勒公式； 若0x0，则上述的泰勒公式称为麦克劳林公式， 即fx= 0f+0'fx+02!f''2x++0!nfnnx+0()nx. 利用泰勒公式证明不等式：若函数)(xf在含有0x的某区间有定义,

并且有直到)1(n阶的各阶导数,又在点0x处有n阶的导数)(0)(xfn,则有公式

)()(!)()(!2)()(!1)()()()(00)(200000xRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn 在上述公式中若0)(xRn(或0)(xRn),则可得 )(00)(200000)(!)()(!2)()(!1)()()(nnxxnxfxxxfxxxfxfxf

或)(00)(200000)(!)()(!2)()(!1)()()(nnxxnxfxxxfxxxfxfxf 2

1、 证明: ).11(,32)1ln(32xxxxx 证明 设)11)1ln()(xxxf　（ 则)(xf在0x处有带有拉格朗日余项三阶泰勒公式 )11()1(432)1ln(4432 xxxxx

0)1(444x　 32)1ln(32xxxx 由以上证明可知,用泰勒公式证明不等式,首先构造函数,选取适当的点0x

在0x处展开,然后判断余项)(xRn的正负,从而证明不等式. 对于欲证不等式中含有初等函数、三角函数、超越函数与幂函数结合的证明问题，要充分利用泰勒公式在00x时的麦克劳林展开式，选取适当的基本函数麦克劳林的的展开式，对题目进行分析、取材、构造利用. 2、 证明不等式：316xx≤sinx. 2、不等式左边是三次二项式的初等函数，右边是三角函数，两边无明显的大小关系 。这时我们可用sinx在00x的二阶麦克劳林公式表示出来，然后进行比较判断两者的大小关系。 证明 31()sin6fxxxx,(0)0f,21'()cos12fxxx,'(0)0f,''()sinfxxx,

''(0)0f,'''()cos1fxx,'''()cos1f 当3n时，()fx的泰勒展式为：331()000(1cos)()3!fxxxox ()fx331(1cos)()6xxox≥0 (x≥0, 

≤x,0＜＜1)所以x≥0,，有 316xx≤sinx. 在含有无理函数与幂函数结合的不等式证明问题中，它们之间没有明显的大小关系。如果用常规方法（放缩法、比较法，代换法等），我们很难比较它们之间的大小关系，但这时用泰勒公式却能轻易解答. 3、 证明不等式：2128xx＜1x，（x＞0）. 对于此题，若我们对不等式两边同时平方，虽可以去掉根号，但x的次数却 3

提高了2次，这还是难以比较他们之间的大小关系，但若用泰勒公式却可以轻易解答.

证明 设()1fxx，则(0)1f,121'()(1)2fxx,1'(0)2f, 321''()(1)4fxx,1''(0)4f,523

'''()(1)8fxx

代入0x=0的二阶泰勒公式，有1x=1+2x- 28x+5331(1)16xx (0＜＜1) ∵ x＞0, ∴ 531(1)16x3x＞0 所以 2128xx＜1x（x＞0）. 在不等式的证明问题中，若题目中出现了一阶导数、二阶导数、初等函数、三角函数或超越函数等与幂函数结合时，可优先考虑泰勒公式在0x=0时的麦克劳林表达式。当然能做好此类题的前提条件是要对一些基本函数的麦克劳林表达式熟悉. 微分)(Lagrange中值定理: 若)(xf满足以下条件: (1) )(xf在闭区间],[ba内连续 (2) )(xf在开区间),(ba上可导 则 abafbffba)()()(),( 4、 若)()(1,011yxpyyxyxpypxypppp则 分析 因为,0xy则原不等式等价于11pppppxyxyxpy )1(p.令ptxf)(,则我们容易联想到Lagrange中值定理yxyfxfyxf)()())(('. 证明 设pttf)(,显然],[)(xytf在满足Lagrange中值定理的条件 则 ,)()()(),(yxyfxffxy 即yxyxpppp＝1

111,),(ppppxppyxyxy 

)()(11yxpyyxyxpypppp 4

5、已知函数xxxxf1)1ln()(， 的极小值求)()1(xf； abbaba1lnln,0,2求证：）若（

2)1()(),1)()1(5xxxfxf

，的定义域为（函数、

.0)0()(0fxfx取得极小值时，函数易得当 (2))0(1ln,1)1ln(11xxxxxxxx可得时，）知，当由（ )0(11lnxxx即,因为bababalnlnln,0, 所以abba1ln。故得证 （也可用Lagrange中值定理来证） 6、已知函数的最大值；求函数xxfxgxxf)1()()1(,ln)(

22)(2)()(02baabaafbfba时，求证：）当（

解：xxxxfxg)1ln()1()(),1((x

xxxxg1111)( 0)(,0,0)(,01xgxxgx时当当

0.)(0为取得最大值，且最大值时，故当xgx )0(1ln),0(1ln),1()1ln(12xxxxxxxxx得）知）由（（

babbababax1ln,得令

0)())(()()(2))(()(2222222222babbaabbabababbaabbaababab

2222)(2)()(.)(2baabaafbfbaababab故所以

评注：本题得到不等式)1()1ln(xxx与不等式)1)(1ln(1xxxx 构成经典不等式，即)1()1ln(1xxxxx. 7、已知2ln)()2(2)()(0,0,ln)(abbagbgagbaxxxg求证：设 解析：)2ln(22lnln)2(2)()(bababbaabagbgag

babbbaaa2ln2ln 由经典不等式),01()1ln(xxxx且 及021,02,0bbaaabba得 5

因此,2)21ln(2ln2lnaabaabababaa ,2)21ln(2ln2lnaabbbabbabab

故022)2()2(2ln2lnabbabbabaabababbbaaa

又2ln2ln)(2ln2ln2ln2ln,22abbababbabbbbaababbbaaabbabaa 综上所述，得2ln)()2(2)()(0abbagbgag .)()1.(1ln)(8的最大值求、已知xfxxxf ),2()1(2)12)(1(ln33ln22ln2*222222Nnnnnnnn求证：

(1)略（2）)0(11ln)0(01ln1xxxxxxx，）知由（ 所以22222322211311211ln33ln22lnnnn

))1(1431321()1()13121()1(222nnnnn )1(2)12)(1()1121()1(nnnnn),2(*Nnn 9、求证：)()211()811)(411)(211(*2222Nnen要证明原不等式，就要证明1)]211()411)(211ln[(222n

即1)211ln()411ln()211ln(222

n

构造函数)0()()(,1,0,)1ln()(2fxfxfxxxxf递减，故易得 则有xx)1ln(2。故有nn21814121)211ln()411ln()211ln(222

得证,1211)211(21n。 10、)1ln()(2xxxf. 3)(0)1(xxfx时，求证：当; )1(2145131211)1()2(3313*nnnkfNnnk时，求证：当

解：)1()1(3)(,)1ln()()()1(23323xxxxhxxxxxfxh则令 易得3)(,0)0()(),0()(xxfhxhxh所以上单调递减，在

合集下载

罗尔、拉格朗日、柯西中值定理、洛必达法则、泰勒公式等与导数的应用

罗尔、拉格朗日、柯西中值定理、洛必达法则、泰勒公式等与导数的应用

中值定理与导 的应用
内容概要
称
要内容 3.令 3.以
3.令
称
条
结论
中值 罗尔 y = f (x) 令 在[a,b] 连续 以 在 (a,b) 至 少 存 在 一 点 ξ ∈ (a,b) 使 得
定理 中值
定理 内可
3 f (a) = f (b)
f / (ξ ) = 0
拉格 y = f (x) 令 在[a,b] 连续 以 在 (a,b) 至 少 存 在 一 点 ξ ∈ (a, b) 使 得
区间[0,1] 满足拉格朗日中值定理的条 又 f (1) = −2,f (0) = −2 f ′(x) = 12x2 −10x +1
要使
f ′(ξ ) =
f (1) − f (0) 1− 0
=0
只要
ξ = 5 ± 13 ∈ (0,1) 12
∃ξ = 5 ± 13 ∈ (0,1) 12
使
f ′(ξ ) =
=
f (2) − f (1) g(2) − g(1)
3ξ 2
只要
=7
2ξ 3
解
得 ξ = 14 ∈ (1,2) ξ 即 满足定理的数值 9
★★★6.设 f (x) 在[0,1] 连续 在 (0,1) 内可
且 f (1) = 0 求证
存在 ξ ∈ (0,1) 使 f ′(ξ ) = − f (ξ ) ξ
解 令 f (x) = 2x 2 − x − 3 在[−1,1.5] 连续 在 (−1,1.5) 内可 且 f (−1) = f (1.5) = 0
f (x) = 2x 2 − x − 3 在 [−1,1.5] 满 足 罗 尔 定 理 的 条
f ′(ξ ) = 4ξ −1 = 0 得
泰勒中值定理

泰勒中值定理



Rn ( x) f ( x) pn ( x)
( 在 x0 与 x 之间)
( n1) ( n1) pn ( x) 0 , Rn ( x) f ( n1) ( x)
Rn ( x)
f ( n1) ( ) (n 1) !
( x x0 ) n1 ( 在 x0 与 x 之间)
称为麦克劳林（ Maclaurin ）公式 .
(n) f (0) 2 f ( 0 ) n f ( x) f (0) f (0) x x x f ( x0 ) 2 2 ! n ! x0 ) f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x ( x x0 ) ( n1) 2 ! , 则有误差估计式 若在公式成立的区间上 f ( x ) M ( n 1) f ( n ) ( x0 ) f ( ) n n 1 ( x x0 ) M n 1 ( x x0 ) n ! Rn ( x) (n x 1) ! ( 在 x0 与 x 之间) (n 1) !
当在 x0 的某邻域内 f ( n1) ( x) M 时 M n 1 Rn ( x) x x0 (n 1)! n Rn ( x) o(( x x0 ) ) ( x x0 )
带拉格朗日余项的泰勒公式
时, 有 f ( x0 ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) 2 2! (n) f ( x0 ) n ( x x0 ) Rn ( x) ① n! 其中 Rn ( x) 阶的导数 , 则当
则f ( x)在x0 1处的三阶泰勒公式为 1 1 2 f ( x) 1 5( x 1) 10 ( x 1) 12 ( x 1)3 2! 3!
泰勒公式的证明及应用

泰勒公式的证明及应用

泰勒公式的证明及应用work Information Technology Company.2020YEAR摘要：泰勒公式是数学分析中的重要组成部分，是一种非常重要的数学工具。

它集中体现了微积分“逼近法”的精髓，在微积分学及相关领域的各个方面都有重要的应用。

本文通过对泰勒公式的证明方法进行介绍，归纳整理其在求极限与导数、判定级数与广义积分的敛散性、不等式的证明、定积分的证明等方面的应用，从而进一步加深对泰勒公式的认识。

关键词：泰勒公式，佩亚诺余项，拉格朗日余项，验证，应用绪论随着近代微积分的发展，许多数学家都致力于相关问题的研究，尤其是泰勒，麦克劳林、费马等人作出了具有代表性的工作。

泰勒公式是18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒，在微积分学中将函数展开成无穷级数而定义出来的。

泰勒将函数展开成级数从而得到泰勒公式，对于一般函数f ，设它在点0x 存在直到n 阶的导数，由这些导数构成一个n 次多项式()20000000()()()()()()()(),1!2!!n n n f x f x f x T x f x x x x x x x n '''=+-+-++-称为函数f 在点0x 处的泰勒多项式，若函数f 在点0x 存在直至n 阶导数，则有0()()(()),n n f x T x x x ο=+-即()200000000()()()()()()()()(()).2!!n n f x f x f x f x f x x x x x x x x x n ο'''=+-+-++-+- 称为泰勒公式.众所周知，泰勒公式是数学分析中非常重要的内容，是研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具，集中体现了微积分“逼近法”的精髓，在近似计算上有着独特的优势，利用它可以将非线性问题化为线性问题，且有很高的精确度，在微积分的各个方面都有重要的应用。

不等式的性质及应用

不等式的性质及应用

柯西不等式的证明
利用数学归纳法，从归纳证明的一般形式入手，通过构造辅助函数，利用基本不等式等方 法进行证明。
柯西不等式的应用
在最大值、最小值、最值等问题中，常常需要使用柯西不等式来展开式子，进行求解和分 析。同时，柯西不等式也在信号处理、图像处理等领域中有广泛应用。
04
不等式的证明方法
代数方法
归纳法
方程求解
利用不等式解方程
对于形如一元二次不等式等可以通过移项将其转化为一元一 次不等式，然后利用不等式的性质求解不等式的解集。
利用导数求解方程
对于较为复杂的方程可以利用导数求解方程的根，通过计算 函数的导数，然后找到函数的极值点和极值，比较极值和边 界值的大小即可得到方程的解。
03
常见的几种不等式
THANKS
谢谢您的观看
三角不等式
要点一
三角不等式的表述
对于任意实数x和y，有$|x-y| \leq |x|+|y|$。
要点二
三角不等式的证明
利用绝对值的几何意义，将x和y分别 表示为向量$\mathbf{x}$和 $\mathbf{y}$的模，然后利用三角形 两边之和大于第三边的几何性质进行 证明。
要点三
三角不等式的应用
利用拉格朗日中值 定理
通过拉格朗日中值定理研究函数 的极值和最值，从而证明不等式 。
05
不等式的应用场景
工程应用
结构设计
在工程建设中，不等式可以用来描述结构的安全性和稳定性，例如通过计算 截面面积、惯性矩等参数，可以得出结构在承受载荷情况下的应力、应变关 系，确保结构不会发生破坏。
控制工程
在控制系统中，不等式可以用来描述系统的稳定性和性能约束，例如通过传 递函数的确定，可以得到系统的幅值和相位裕度等参数，保证系统的稳定性 和响应性能。