谈谈拉格朗日中值定理的证明(考研中的证明题)

拉格朗日中值定理证明不等式题目拉格朗日中值定理是微积分中的重要定理之一，它描述了实数空间上的函数在某个区间内的导数与函数值之间的关系。

下面将通过证明一个不等式的例子来说明拉格朗日中值定理的应用。

我们来证明当$x>0$时，$1-\cos x<\frac{1}{2}x^2$。

首先，我们定义一个函数$f(x)=1-\cos x-\frac{1}{2}x^2$，我们需要证明当$x>0$时，$f(x)<0$。

由于$f(x)$是连续函数，而且$x>0$时，$f(x)$是可导函数，因此我们可以使用拉格朗日中值定理来证明。

根据拉格朗日中值定理，我们可以找到一个点$c \in (0,x)$，使得$f'(c)=\frac{f(x)-f(0)}{x-0}$。

接下来，我们先求出$f'(x)$，然后再求出$c$的取值范围，最后对$f(c)$进行估计。

首先求导得到$f'(x)=\sin x-x$。

要使$f(c)<0$，则有$f'(c)<0$。

我们来求方程$f'(c)=0$的解，即 $\sin c =c$。

这个方程的解并不容易求出来。

不过我们可以使用图像法来估计这个方程的解。

我们可以画出$f'(c)$和$y=x$在坐标系上的图像。

根据图像，我们可以发现这个方程在$x=0$和$x=π$之间有两个解：$c_1$和$c_2$。

首先我们来估计下$c_1$的取值范围。

当$x \in (0,c_1)$时，根据$f'(x)$与函数$y=x$的关系可以得到$f'(x)<x$。

进一步得到\[f'(c_1)<c_1\]\[ \sin c_1 - c_1 <0\]而当$x\in (0,\frac{\pi}{2})$时，有$\sin x>0$，因此$\sin c_1-c_1<0$。

然后我们来估计下$c_2$的取值范围。

拉格朗日中值定理在方程有根证明
题中的应用
拉格朗日中值定理，也叫拉格朗日中点定理，是拉格朗日在1797年提出的。

它指出：如果一个多元复函数在区域上连续，并且在该区域内每一点处都有最小值，则该函数在该区域上必定存在一个点使得该函数取得最小值。

在方程有根证明题中，拉格朗日中值定理可以用来证明一元n次方程有n个实根的情形。

因为一元n次方程的多项式函数能够在[a, b]上连续，而且在该区间的每一点上都有最小值，则根据拉格朗日中值定理，一元n次方程在[a, b]上必定至少存在n个实根（即根据拉格朗日中值定理，一元n次方程至少有n个实根）。

拉格朗日中值定理的证明
为帮助大家更好的备战教师资格统考，下面将就20XX年下半年高中数学专业笔试卷中的一道难题（拉格朗日中值定理的证明）做出详细的解释，并希望可以给你一些合理的建议，提供较为实用的备考策略。

20XX年下半年高中数学科目三高中数学专业知识考察难度较大，涉及很多大学专业知识，特别是数学分析中的居多。

其中有一道证明题目：叙述并证明拉格朗日中值定理并给出证明。

这道题难倒了很多当时参加考试的考生。

拉格朗日中值定理是微积分中的重要定理之一，大多数是利用罗尔中值定理构建辅助函数来证明的。

通过本题的解释也充分证实了高中数学教师资格证专业笔试的难度，不单单需要掌握高中专业知识，能熟练应付高考中常规题目，更要能应用大学数学专业知识。

因此数学解题技巧和易错题的总结对于提升数学分数非常重要。

数学的出题方式多种多样，解题方法也不止一种，于是数学思维就变得尤为重要。

在这种情况下，要求考生仔细分析解题技巧，夯实专业知识的同时能做到融会贯通。

这就需要熟记常见的公式，深刻理解数学概念本身的含义，能够做到联系题目总结和发现解题技巧。

此外对于已经掌握的解题技巧要经常总结，善于思考，以提高解
题速度。

数学题目的解决还需要大量的练习。

通过题目的练习既可以了解出题方向，也可以夯实知识，明晰自身知识的短板尽快查漏补缺。

考研数学中值定理证明题考研数学中经常出现定理的证明题，其中中值定理是一个常见的题型。

中值定理是高等数学中一个非常重要的定理，它有着广泛的应用，在计算机科学、物理学、工程学等领域都有着广泛的应用。

中值定理有两种形式：罗尔中值定理和拉格朗日中值定理。

其中罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的特例，在下文中以罗尔中值定理为例来介绍中值定理的证明方法。

罗尔中值定理是一个非常简单的定理，它的内容是：如果一个函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，在开区间$(a,b)$上可导，并且$f(a)=f(b)$，那么存在一个$\xi \in (a,b)$, 使得$f'(\xi)=0$。

那么该如何证明罗尔中值定理呢？下面就来介绍一下证明的过程。

证明：首先，根据$f(a)=f(b)$, 可得函数$f(x)$在$[a,b]$上至少存在一个极值点。

如果该极值点在$(a,b)$内，则此极值点即为所求的$\xi$，满足$f'(\xi)=0$；如果该极值点在$\{a,b\}$上，则此时存在一个开区间$(c,d) \subseteq (a,b)$，使得$f(x)$在$(c,d)$上可导，从而可以使用拉格朗日中值定理。

接下来，我们通过反证法来证明假设“不存在这样的$\xi$”是不成立的。

我们假设不存在一个$\xi \in (a,b)$，使得$f'(\xi)=0$。

因为$f(x)$在$[a,b]$上连续，在$[a,b]$上有最大值和最小值，由于假设不存在$\xi$，使得$f'(\xi)=0$，因此最大值和最小值都不在$(a,b)$内。

那么最大值和最小值只能发生在$a$和$b$处，即$f(a)=f(b)$是$f(x)$的最大值或最小值。

假设$f(x)$在$[a,b]$上为最大值，则有$f(x) \leq f(a) = f(b),\forall x \in [a,b]$。

又因为$f(x)$在$(a,b)$上可导，即$\forall x \in (a,b)$，有$f'(x)$存在，所以$f(x)$在$(a,b)$上单调递减，即$\forall x_1,x_2 \in (a,b)$，如果$x_1 < x_2$，则$f(x_1) >f(x_2)$。

拉格朗日中值定理证明及其应用1. 引言1.1 拉格朗日中值定理的引入拉格朗日中值定理是微积分中一个非常重要的定理，它由法国数学家约瑟夫·拉格朗日在18世纪提出并证明。

这个定理在微积分的发展中具有重要的地位，被广泛应用于函数的性质研究和最值问题的求解中。

拉格朗日中值定理可以理解为函数在某个区间上的平均变化率等于某个点的瞬时变化率。

具体地说，如果一个函数在闭区间[a, b]上连续且可导，那么在开区间(a, b)内一定存在一个点c，使得函数在点c处的导数等于函数在区间[a, b]上的平均变化率。

这个定理的引入可以帮助我们更好地理解函数的变化规律。

在实际问题中，我们经常需要研究函数在某个区间上的性质，比如函数的波动情况、增减性、极值等。

拉格朗日中值定理提供了一个有效的工具，可以帮助我们准确地描述函数在某个区间上的特征，进而推导函数的性质并解决相关问题。

拉格朗日中值定理的引入为我们理解函数的变化规律提供了一种新的视角，为函数求值、曲线求导和最值问题等提供了重要的理论支撑。

在接下来的文章中，我们将深入探讨拉格朗日中值定理的数学表述、证明过程以及在不同领域中的应用。

1.2 拉格朗日中值定理的重要性拉格朗日中值定理作为微积分中的重要定理，具有非常重要的数学意义和实际应用价值。

在数学分析领域，拉格朗日中值定理是连接微积分中的微分和积分两个重要概念的桥梁，它可以帮助我们更深入地理解函数的性质和求值方法。

拉格朗日中值定理的重要性在于它提供了一种有效的方法来处理函数的平均变化率和瞬时变化率之间的关系。

通过该定理，我们可以准确地计算函数在某一区间上的平均斜率，并将其与函数在该区间某一点的瞬时斜率联系起来。

这对于研究函数的变化规律，求解函数的最值以及解决相关实际问题都具有重要作用。

拉格朗日中值定理还为我们提供了一种重要的数学工具，可以帮助我们证明一些关于函数的重要性质和定理。

通过应用拉格朗日中值定理，我们可以简化复杂的数学问题，减少证明的难度，提高证明的效率。

一拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理，又被称为有限增量定理，是微积分中的一个基本定理。

拉格朗日中值公式的形式其实就是泰勒公式的一阶展开式的形式。

在现实应用当中，拉格朗日中值定有着很重要的作用。

拉格朗日中值定理是所有的微分中值定理当中使用最为普遍的定理。

拉格朗日中值定理的形成和发展过程都显示出了数学当中的一个定理的发展是一个推翻陈旧，出现创新的一个进程。

发现一些新的简单的定理去替代旧的复杂的定理，就是由初级走向高级。

用现代的语言来描述，在一个自变量x从x变为x+1的过程中，如果函数f(x)本身就是一个极限值，那么函数f(x+1)的值也应该是一个极限值，其值就应该和f(x)的值近似相等，即这就是非常著名的费马定律，当一个函数在x=a处可以取得极值，并且函数是可导函数，则′。

著名学者费马再给出上述定理时，此时的微积分研究理论正处于初始阶段，并没有很成熟的概念，没有对函数是否连续或者可导作出限制，因此在现代微积分理论成熟阶段这种说法就显得有些漏洞。

在所有的微分中值定理中，最重要的定理就是拉格朗日中值定理。

最初的拉格朗日中值定理和现在成熟的拉格朗日中值定理是不一样的，最初的定理是函数f(x)在闭区间[a,b]内任取两点和，并且函数在此闭区间内是连续的，′的最大值为A，′最小值为B，则的值必须是A和B之间的一个值。

这是拉格朗日定理最初的证明。

下述就是拉格朗日中值定理所要求满足的条件。

如果存在一个函数满足下面两个条件，（1）函数f 在闭区间[a，b]上连续；（2）函数f 在开区间（a，b）内可导；那么这个函数在此开区间内至少存在着一点，使得′ξ.拉格朗日中值定理是导数的一个延伸概念，在导数运算中是的很基本概念。

例1：函数，即′。

当在开区间∞时，有′，在开区间∞单调递增；当在开区间∞时，有′，f(x)在开区间∞单调递减。

在，有′，。

由上述例子说明，想要确定一个函数的单调性可以通过求得这个函数的一阶导数来求得判断单调区间。

拉格朗日中值定理证明及其应用拉格朗日中值定理是微积分中的一项重要定理，能够描述函数在一定条件下的变化率。

它是法国数学家拉格朗日于18世纪提出的，被广泛运用于物理学、经济学、工程学等领域。

拉格朗日中值定理的数学表述如下：设函数在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，则在开区间(a,b)内至少存在一个点c，使得函数在区间[a,b]上的导数等于函数在点c处的瞬时变化率。

也就是说，存在点c使得f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)。

接下来证明拉格朗日中值定理。

首先构造一个新的函数g(x) = f(x) - (f(b) -f(a))/(b - a) * (x - a)。

函数g(x)具有两个性质：1. g(x)在闭区间[a,b]上连续；2. g(x)在开区间(a,b)内可导。

而且，g(a) = f(a) - (f(b) - f(a))/(b - a) * (a - a) = f(a)，g(b) = f(b) - (f(b) - f(a))/(b - a) * (b - a) = f(b)。

根据罗尔定理，在开区间(a,b)内必存在一个点c，使得g'(c) = 0。

即，存在点c使得g'(c) = f'(c) - (f(b) - f(a))/(b - a) = 0。

从而得到f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)。

拉格朗日中值定理的应用非常广泛。

下面举几个例子：1. 函数的增减性分析：根据拉格朗日中值定理，如果函数在某开区间内导数恒为正（或恒为负），则函数在该区间内单调递增（或单调递减）。

拉格朗日中值定理是微积分中一个非常重要的定理，广泛应用于函数的变化率、方程的求解、极值问题等方面。

它不仅有着深厚的理论背景，也为实际问题的求解提供了有力的工具。

中值定理考研题库中值定理是微积分中的重要定理之一，它是由法国数学家拉格朗日在18世纪提出的。

中值定理主要有三种形式：罗尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理。

这三种形式的中值定理在解决函数连续性和可导性相关的问题时起到了重要的作用。

在考研数学中，中值定理也是一个常考的知识点，下面我们来看看一些典型的中值定理考研题。

首先，我们来看一个典型的罗尔中值定理的考研题。

题目如下：已知函数f(x)在区间[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=f(b)，证明：存在ξ∈(a,b)，使得f'(ξ)=0。

这道题目考察的是罗尔中值定理的应用。

根据罗尔中值定理，如果函数在区间[a,b]上连续，在(a,b)内可导，并且在a和b处取相等的函数值，那么在(a,b)内至少存在一个点ξ，使得函数的导数等于0。

所以，我们可以通过证明ξ存在来解决这道题目。

接下来，我们来看一个拉格朗日中值定理的考研题。

题目如下：设函数f(x)在区间[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f'(x)在(a,b)内不恒为0。

证明：存在ξ∈(a,b)，使得f(b)-f(a)=(b-a)f'(ξ)。

这道题目考察的是拉格朗日中值定理的应用。

根据拉格朗日中值定理，如果函数在区间[a,b]上连续，在(a,b)内可导，并且导函数不恒为0，那么在(a,b)内至少存在一个点ξ，使得函数在[a,b]上的增量等于函数在(a,b)内的导数乘以自变量增量。

所以，我们可以通过证明ξ存在来解决这道题目。

最后，我们来看一个柯西中值定理的考研题。

题目如下：设函数f(x)和g(x)在区间[a,b]上连续，在(a,b)内可导，并且g'(x)≠0。

证明：存在ξ∈(a,b)，使得[f(b)-f(a)]g'(ξ)=[g(b)-g(a)]f'(ξ)。

这道题目考察的是柯西中值定理的应用。

根据柯西中值定理，如果函数f(x)和g(x)在区间[a,b]上连续，在(a,b)内可导，并且g'(x)≠0，那么在(a,b)内至少存在一个点ξ，使得函数f(x)在[a,b]上的增量与函数g(x)在[a,b]上的增量之比等于函数f(x)在(a,b)内的导数与函数g(x)在(a,b)内的导数之比。

拉格朗日中值定理证明题拉格朗日中值定理，又称拉氏定理，是微分学中的基本定理之一，它反映了可导函数在闭区间上的整体的平均变化率与区间内某点的局部变化率的关系。

该定理于1797年由法国数学家拉格朗日在其著作《解析函数论》的第六章提出，因此得名。

定理的现代形式如下：如果函数f(x)在闭区间上[a,b]连续，在开区间(a,b)上可导，那么在开区间(a,b)内至少存在一点ξ使得f'(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)。

该定理的应用十分广泛，可以用于证明函数的增减性、求函数的极值、证明不等式等方面。

在证明题中，拉格朗日中值定理常常作为解决问题的关键步骤出现。

通过应用该定理，可以将一些看似复杂的问题转化为较为简单的形式，从而更容易地得出结论。

需要注意的是，在使用拉格朗日中值定理时，必须满足定理的前提条件，即函数在闭区间上连续且在开区间上可导。

此外，还需要注意定理中的“至少存在一点”这一表述，意味着可能存在多个满足条件的点。

因此，在具体应用时需要根据问题的具体情况进行分析和判断。

除了基本的拉格朗日中值定理，还有一些相关的定理和推论，它们可以进一步扩展和应用拉格朗日中值定理的思想。

其中一个重要的推论是柯西中值定理，它是拉格朗日中值定理的推广。

柯西中值定理表明，如果两个函数在闭区间上连续，在开区间上可导，并且它们的导数之比在某个开子区间上不等于零，则在这个开子区间内至少存在一点，使得这两个函数在该点的导数之比等于它们在区间端点的函数值之比。

这个推论可以用于解决一些涉及两个函数之间关系的问题。

另一个与拉格朗日中值定理相关的重要定理是泰勒中值定理。

泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的高阶形式，它可以用来近似表示一个函数在某个点附近的行为。

该定理表明，如果一个函数在闭区间上有n+1阶导数，则在该区间内至少存在一点，使得函数在该点的n 阶导数等于函数在区间端点的n阶差商。

这个定理可以用于推导泰勒级数，从而用多项式近似表示一个函数。

拉格朗日中值定理证明不等式题目拉格朗日中值定理是微积分学中的一个重要定理，它描述了函数在某个区间内的平均斜率与函数在该区间中某一点的切线斜率相等的关系。

它以法国数学家约瑟夫·路易·拉格朗日的名字命名，是微积分学的基石之一，也是不等式证明中常用的方法之一。

在证明不等式定理中，我们常常利用拉格朗日中值定理来证明。

其基本思想是将不等式中的两边映射到某个函数上，然后利用拉格朗日中值定理来证明函数的不等式，从而推出原始的不等式。

这种方法的关键在于找到映射的函数。

一个好的映射函数应该具有满足不等式的条件，而与目标函数密切相关的性质。

比如说，当我们证明一个正实数的不等式时，我们可以考虑使用自然对数函数或者二次函数来进行映射。

而当我们证明一个三角函数的不等式时，则可以考虑使用正切函数或者余切函数来进行映射。

在利用拉格朗日中值定理证明不等式时，我们通常会采用以下步骤：1. 将不等式的两边映射到某个函数上。

2. 利用拉格朗日中值定理，推导函数在某一点的导数与两侧的差别。

3. 利用导数的符号性质，证明函数的不等式。

下面，我们以一个例子来解释如何使用拉格朗日中值定理证明不等式：假设我们需要证明以下不等式：$$\frac{\sqrt{x+1}}{x}+\frac{\sqrt{x}}{x+1}> \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{x(x+1)}}$$我们可以将左侧映射到一个函数 $f(x)$：$$f(x)=\frac{\sqrt{x+1}}{x}+\frac{\sqrt{x}}{x+1}-\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{x(x+1)}}$$然后，我们需要证明 $f(x)>0$。

为了使用拉格朗日中值定理，我们需要寻找函数 $f(x)$ 的导数，即 $f'(x)$：$$f'(x)=-\frac{\sqrt{x+1}}{x^2}-\frac{\sqrt{x}}{(x+1)^2}+\frac{4\sqrt{2}}{(x(x+1))^{\frac{3}{2}}}$$现在，我们来看如何利用拉格朗日中值定理推导 $f'(x)$ 在某一点的导数与两侧的差别。

考研数学：三种拉格朗日中值定理证明方法1500字拉格朗日中值定理是微积分中的重要定理之一，它是由法国数学家拉格朗日在18世纪提出的。

该定理涉及到函数的导数与函数在某一区间上的变化率之间的关系，具有广泛的应用价值。

以下将介绍三种拉格朗日中值定理的证明方法。

证明方法一：基于罗尔定理的证明罗尔定理是拉格朗日中值定理的特例，因此我们可以先用罗尔定理来推导拉格朗日中值定理。

设函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内存在可导函数F(x)。

如果f(a) =f(b)，那么在(a, b)内至少存在一个点ξ，使得F’(ξ) = 0。

证明过程如下：1. 构造辅助函数g(x) = f(x) - F(x)。

根据题设，g(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内可导。

2. 由于f(a) = f(b)，所以g(a) = g(b)。

3. 根据罗尔定理，存在一个点ξ，使得g’(ξ) = 0。

即f’(ξ) - F’(ξ) = 0。

4. 移项得到f’(ξ) = F’(ξ)，即在(a, b)内存在一个点ξ，使得函数f(x)在点ξ处的斜率等于函数F(x)在点ξ处的斜率。

这就是拉格朗日中值定理。

证明方法二：基于函数的增量与导数的关系的证明函数的增量与导数之间有如下关系：f(x+Δx) - f(x) = f’(x+θΔx)Δx，其中θ∈(0, 1)。

证明过程如下：1. 考虑函数Φ(x) = f(x) - F(x)，其中F(x)是f(x)的一个原函数。

因为F(x)是可导函数，所以Φ(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内可导。

2. 对于任意x∈(a, b)，存在ξ∈(x, x+Δx)，使得Φ(x+Δx) - Φ(x) = Φ’(ξ)Δx。

3. 根据Φ(x) = f(x) - F(x)，我们可以得到Φ(x+Δx) - Φ(x) = f(x+Δx) - f(x) - [F(x+Δx) - F(x)]。

拉格朗日中值定理的证明过程拉格朗日中值定理是微积分中最常用的定理之一，它的目的是描述一个函数在某一区间内的平均变化率与它在该区间内的某点处的导数之间的关系。

它的证明过程如下：假设 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 内连续，且在 $(a,b)$ 内可导。

设 $F(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$，即 $F(x)$ 是$f(x)$ 减去其在区间 $[a,b]$ 上的平均变化率的线性函数。

显然有$F(a)=f(a)$ 和 $F(b)=f(b)$。

另一方面，由于 $F(x)$ 是 $f(x)$ 减去其在区间 $[a,b]$ 上的平均变化率的线性函数，那么 $F(b)-F(a)=f(b)-f(a)$，即$F(a)$ 和 $F(b)$ 之间的斜率与 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的平均变化率相同。

由于 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上是连续的且在 $(a,b)$ 内可导，则由罗尔定理可知存在一个点 $\xi\in(a,b)$ 使得 $F'(\xi)=0$。

因为 $F(x)$ 的斜率恰好等于 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的平均变化率，所以 $F'(\xi)=0$ 可以写成$$f'(\xi) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a} = 0$$移项得$$f'(\xi) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$这就是拉格朗日中值定理，它说明在函数 $f(x)$ 在$[a,b]$ 内连续且在 $(a,b)$ 内可导的条件下，存在一个点$\xi\in(a,b)$ 使得 $f'(\xi)$ 等于 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的平均变化率。

谈谈拉格朗日中值定理的证明引言众所周至拉格朗日中值定理是几个中值定理中最重要的一个，是微分学应用的桥梁，在高等数学的一些理论推导中起着很重要的作用 . 研究拉格朗日中值定理的证明方法，力求正确地理解和掌握它，是十分必要的 . 拉格朗日中值定理证明的关键在于引入适当的辅助函数 . 实际上，能用来证明拉格朗日中值定理的辅助函数有无数个，因此如果以引入辅助函数的个数来计算，证明拉格朗日中值定理的方法可以说有无数个 . 但事实上若从思想方法上分，我们仅发现五种引入辅助函数的方法 . 首先对罗尔中值定理拉格朗日中值定理及其几何意义作一概述 .1 罗尔Rolle中值定理如果函数 f x 满足条件： 1 在闭区间 a,b 上连续； 2 在开区间a, b 内可导；（ 3） f a f b ,则在 a, b 内至少存在一点,使得 f '0 罗尔中值定理的几何意义：如果连续光滑曲线y f x 在点 A, B 处的纵坐标相等，那么，在弧AB 上至少有一点 C , f ，曲线在 C 点的切线平行于 x轴，如图 1，注意定理中三个条件缺少其中任何一个，定理的结论将不一定成立；但不能认为定理条件不全具备，就一定不存在属于a, b 的，使得 f '0 . 这就是说定理的条件是充分的，但非必要的.2 拉格朗日lagrange中值定理若函数 f x 满足如下条件： 1 在闭区间a, b 上连续； 2 在开区间 a, b 内可导；则在 a, b 内至少存在一点，使 f ' f b f ab a拉格朗日中值定理的几何意义：函数 y f x 在区间 a,b 上的图形是连续光滑曲线弧AB 上至少有一点 C ，曲线在 C 点的切线平行于弦AB . 如图 2，从拉格朗日中值定理的条件与结论可见，若 f x 在闭区间a, b 两端点的函数值相等，即 f a f b ，则拉格朗日中值定理就是罗尔中值定理. 换句话说，罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一个特殊情形.正因为如此，我们只须对函数 f x 作适当变形，便可借助罗尔中值定理导出拉格朗日中值定理.3证明拉格朗日中值定理3.1 教材证法证明作辅助函数 F x fxf b f ab ax显然，函数 F x 满足在闭区间a, b 上连续，在开区间a, b 内可导，而且F a F b ．于是由罗尔中值定理知道，至少存在一点 a b ，使F ' f ' f b f a 0 .即 f 'fb f a .b a b a3.2 用作差法引入辅助函数法证明作辅助函数x f x f a f b f a x ab a显然，函数x 在闭区间 a, b 上连续，在开区间a, b 内可导， a b 0 ，因此，由罗尔中值定理得，至少存在一点a, b ，使得' f ' f b f a 0，即 f ' f b f ab a b a推广 1 如图 3 过原点 O 作 OT ∥ AB ，由 f x 与直线 OT 对应的函数之差构成辅助函数x ，因为直线OT 的斜率与直线AB 的斜率相同，即有：1KOT K AB 助函数为：f bfa ， OT 的直线方程为： y f bfa x ，于是引入的辅b af b f a x . （证明略）b ax f xb a推广 2 如图 4 过点 a, O 作直线A'B '∥ AB ，直线 A'B '的方程为：y f b f a x a，由 f x 与直线函 A' B '数之差构成辅助函数x ，于是有：b af b f ax f xb ax a . （证明略）推广 3 如图 5 过点作 b, O 直线 A' B'∥ AB ，直 A' B '线的方程为f b f ab ，由 f x 与直线 AByb ax函数之差构成辅助函数x ，于是有：x f x f b f ax b .b a事实上，可过 y 轴上任已知点 O, m 作A/ B/∥ AB 得直线为 y f b f a x m ，b a从而利用 f x 与直线的 A'B'函数之差构成满足罗尔中值定理的辅助函数x 都可以用来证明拉格朗日中值定理 . 因 m 是任意实数，显然，这样的辅助函数有无多个 . 3.3 用对称法引入辅助函数法在第二种方法中引入的无数个辅助函数中关于 x 轴的对称函数也有无数个，显然这些函数也都可以用来证明拉格朗日中值定理 .从几何意义上看，上面的辅2助函数是用曲线函数 f x 减去直线函数，反过来，用直线函数减曲线函数 f x ，即可得与之对称的辅助函数如下：⑴x f a f b f aafxb ax⑵x f b f a x f xb a⑶x f b f aa f xb ax⑷x f b f ab f xxb a等等.这类能用来证明拉格朗日中值定理的辅助函数显然也有无数个. 这里仅以⑵为例给出拉格朗日中值定理的证明.证明显然，函数x 满足条件： 1 在闭区间 a,b 上连续； 2 在开区间a,b 内可导； 3 a b af b bf a .由罗尔中值定理知，至少存在一点f b fab af b f a ，显a,b ，使得' f '0 ，从而有 f 'b a b a然可用其它辅助函数作类似的证明 .3.4 转轴法由拉格朗日中值定理的几何图形可以看出，若把坐标系 xoy 逆时针旋转适当的角度，得新直角坐标系 XOY ，若 OX 平行于弦 AB ，则在新的坐标系下 f x 满足罗尔中值定理，由此得拉格朗日中值定理的证明 .证明作转轴变换 x X cos Y sin， y X sin Y cos ，为求出，解出 X,Y 得X x c o s y si n xc o s f x s i n X x ①Y x s i n y c os x s i n f x c o s Y x ②由Y a Y b 得 a sin f a cos b sinf b cos ，从而t a n f b f a，取满足上式即可 .由 f x 在闭区间 a,b 上连续，在开区间b aa,b 内可导，知 Y x 在闭区间 a, b 上连续，在开区间 a, b 内可导，且 Y a Y b ，因此，由罗尔中值定理知，至少存在一点a, b ，使得3Y sin f'cos 0 ，即 f 'tan f b f ab a3.5 用迭加法引入辅助函数法让 f x 迭加一个含待顶系数的一次函数 y kx m ，例如令x f x kx m 或x f x kx m ，通过使 a b ，确定出 k, m ，即可得到所需的辅助函数 .例如由x f x kx m ，令 a b得 f a ka m f b kb m ，从而 k f b f a ，而 m 可取任意实数，这b a样我们就得到了辅助函数x f b f a x m ，由 m 的任意性易知迭加法可b a构造出无数个辅助函数，这些函数都可用于证明拉格朗日中值定理. 3.6 用行列式引入辅助函数法证明构造一个含 f x 且满足罗尔中值定理的函数x ，关键是满足x f x 1a b .我们从行列式的性质想到行列式 a f a 1 的值在 x a, x b 时恰b f b 1x f x 1恰均为 0，因此可设易证x a f a 1 ，展开得b f b 1x f b x bf a af x af b f a x bf x .因为 f x 在闭区间 a, b 上连续，在开区间 a, b 内可导，所以x 在闭区间 a,b 上连续，在开区间 a,b 内可导，且 a b 0 ，所以由罗尔中值定理知，至少存在一点a, b，使得' 0 . 因为' f a f b a b f '0即： f ' f b f ab a3.7 数形相结合法引理在平面直角坐标系中，已知ABC 三个顶点的坐标分别为 A a, f a ，1 a f aB b, f b ，C c, f c ，则 ABC 面积为 S ABC 1 1 b f b ，2c f ca4这一引理的证明在这里我们不做介绍，下面我们利用这一引理对拉格朗日中值定理作出一种新的证明 . 这种方法是将数形相结合，考虑实际背景刻意构造函数使之满足罗尔中值定理的条件.如图，设 c,f c 是直线 AB 与 y f x 从 A 点开始的第一个交点，则构造1 a f2 ax 1 1 c f c ，4x f x1易验证 x 满足罗尔中值定理的条件：在闭区间a, c 上连续，在开区间a, c 内可导，而且ab ，则至少存在一点a,b ，使/0 ，即：1 a f a 1 a f a1 c f c 1 c f c 01 f 1 1 f '1 a f a但是 1 c f c 0 ，这是因为，如果1 f1 a f a1 c f c 0 ，1 f则f f c f c f a，这样使得 , f 成为直线 AB 与 y f x 从 Ac c a点的第一个交点，与已知矛盾）.1 a f a0 ，即 f 'f b f a f c f a.故 1 c f c 若只从满足罗尔中值定1 fb ac a1 a f a理的要求出发，我们可以摈弃许多限制条件，完全可以构造x 1 b f b 来1 x f x解决问题，从而使形式更简洁，而且启发我们做进一步的推广：可构造1 g a f ax 1 g b f b 来证明柯西中值定理 .1 g x f x53.8 区间套定理证法证明将区间 I a, b 二等分，设分点为 1 ，作直线 x 1 ，它与曲线y f x 相交于 M1，过 M1作直线 M 1 L1∥弦 M a M b . 此时，有如下两种可能 :⑴若直线 M 1 L1与曲线 y f x 仅有一个交点 M 1，则曲线必在直线 M 1 L1的一侧 .否则，直线 M 1 L1不平行于直线 M a M b . 由于曲线 y f x 在点 M 1处有切线，根据曲线上一点切线的定义，直线M1 L1就是曲线 y f x 在点 M 1处的切线，从而 f 1 f b fa .由作法知，1在区间 a,b 内部，取1b af b f a于是有 fb a⑵若直线 M 1L1与曲线 y f x 还有除 M1外的其他交点，设 N1 x1 ,y1为另外一个交点，这时选取以 x1 , 1为端点的区间，记作 I1 a , b ，有1 1l I 1 b, 1a 1b a , f b1 f a1 f b f a ，2 b1a1 b a把 I1作为新的“选用区间” ，将 I 1二等分，并进行与上面同样的讨论，则要么得到所要求的点，要么又得到一个新“选用区间”I 2 .如此下去，有且只有如下两种情形中的一种发生 :(a) 在逐次等分“选用区间”的过程中，遇到某一个分点k ，作直线 x k 它与曲线 y f x 交于 M k，过点 M k作直线 M k L k∥弦 MM b , 它与曲线 y f x 只有一个交点 M k，此时取k即为所求 .(b)在逐次等分“选用区间”的过程中，遇不到上述那种点，则得一闭区间序列{ I n } ，满足 :①I I1 I2I n a n , b n② b ab a0 n nn 2n6f b n f a n f b f a③a nb ab n由① ②知， { I n } 构成区间套，根据区间套定理，存在唯一的一点I nn 1,2,3 ，此点即为所求 . 事实上 lim an lim b n， f 存在n nlim f b n f a nf ，由③limf b n f a n f b f a，所以b n a n b n a n b an nf f b fa ，从“选用区间”的取法可知，确在 a,b 的内部 .b a3.9 旋转变换法证明引入坐标旋转变换 A : x X cos Y sin⑴y X s in Y c o s ⑵因为cos sincos2sin 2 1 0 sin cos所以 A 有逆变换 A/: X x cos y sin x cos f x sin X x ⑶Y xs in y c o sx s i n fx c o s Y x⑷由于 f x 满足条件 : 1 在闭区间 a, b 上连续； 2 在开区间 a, b 内可导，因此⑷式中函数 Y x 在闭区间 a, b 上连续，在开区间a, b 内可导 .为使 Y x 满足罗尔中值定理的第三个条件，只要适当选取旋转角，使 Y a Y b , 即a sin f a cos bsin fb cos ，也即t a nf b f ab a.这样，函数Y x 就满足了罗尔中值定理的全部条件，从而至少存在一点ab ，使 Y sinfcos 0 即 f tan . 由于所选取旋转角满足 tan f b f a，所以 f f b f a .b a b a结论本论文仅是对拉格朗日中值定理的证明方法进行了一些归纳总结其中还有很多方法是我没有想到的，而且里面还有很多不足之处需要进一步的修改与补充.7通过这篇论文我只是想让人们明白数学并不是纯粹的数字游戏，里面包含了很多深奥的内容 . 而且更重要的是我们应该学会去思考，学会凡是多问几个为什么，不要让自己仅仅局限于课本上的内容，要开动脑筋学会举一反三，不要单纯为了学习而学习，让自己做知识的主人！总之，数学的发展并非是无可置疑的，也并非是反驳的复杂过程，全面的思考问题有助于我们思维能力的提高，也有助于创新意识的培养.参考文献[1]华东师范大学数学系 . 数学分析（上册）（第二版） [M]. 北京：高等教育出版社 .1991： 153-161[2]吉林大学数学系 . 数学分析 (上册 )[M]. 北京：人民教育出版社 .1979：194-196[3]同济大学应用数学系 . 高等数学（第一册） [M]. 北京：高等教育出版社（第五版） .2004：143-153[4]周性伟 ,刘立民 . 数学分析 [M]. 天津：南开大学出版社 .1986：113-124[5]林源渠 ,方企勤 . 数学分析解题指南 [M]. 北京：北京大学出版社 .2003： 58-67[6]孙清华等 . 数学分析内容、方法与技巧（上） [M]. 武汉：华中科技大学出版社.2003：98-106[7]洪毅 . 数学分析（上册） [M]. 广州：华南理工大学出版社 .2001： 111-113[8]党宇飞 . 促使思维教学进入数学课堂的几点作法 [J]. 上海：数学通报 .2001,1： 15-18[9] 王爱云 . 高等数学课程建设和教学改革研究与实践[J]. 西安：数学通报.2002,2：84-88[10]谢惠民等 . 数学分析习题课讲义 [M]. 北京：高等教育出版社 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导数章节知识全归纳专题09 导数压轴题之拉格朗日中值定理（详述版）一．知识考点趋势简述：由于目前导数考试内容的综合化，以及导数考点的多样化，特别是考试的灵活性上是目前学校教学经常训练的点，同时也是学生拿捏不好导数章节内容到底该学到多深入，老师讲解这些试题时也总是存在意犹未尽的感觉，从而导致学习不够充分，方法技巧性不足，导致导数压轴题学习还不够成熟，在这种情况下，作者设计次教案帮助老师和同学研究透彻该类试题和知识的应用。

二．拉格朗日中值定理知识点：（1）若函数在区间满足以下条件：1.在上可导；2.在上连续:则必有一存在,3. 使得（2）几何意义：在满足定理条件的曲线上y =f(x)至少存在一个点P （ε,f(ε)）,该曲线在该点处的切线平行于曲线两端的连线AB （如图）（3）拉格朗日日中值定理推论：如果函数f(x)在区间[a,b ]上的导数f ∙(x)恒为零，那么函数f(x)在区间[a,b ]上是一个常数。

三．导数压轴题运用拉格朗日中值定理典型例题： 例：1.已知函数1()2ln f x x a x x=--(a ∈R)． （1）讨论函数()f x 的单调性；)(x f []b a ,[]b a ,[]b a ,()b a ,∈ξab a f b f f --=)()()('ξ（2）若1x ，2x 为函数()f x 的两个极值点，证明：1212()()24f x f x a x x ->--．解：【分析】（1）求出导函数()'f x ，根据()0f x '=的解的情况分类讨论得单调性；（2）由（1）知1a >，化简1212()()f x f x x x --，不等式化为1212ln 2x x x x <-，再由121=x x 不妨设2110x x >>>，转化为只要证2221ln 0,x x x -+<这个不等式可利用（1）中的结论证明（也可利用拉格朗日中值定理进行求解）即：存在x °使得f ,(x °)=f(x1)−f(x2)x1−x2>2-4a ．【详解】（1）2221(),0x ax f x x x-+'=>，令22210,44x ax a -+=∆=- 当0∆≤即11a -≤≤时，()0f x '≥，()f x 在()0,∞+上单调递增； 当0∆>即1a >或1a <-时，① 当1a <-时，20,()0,ax f x '->>()f x 在()0,∞+上单调递增；② 当1a >时，令()0f x '=，12x a x a ==综上：当1a ≤时，()f x 在()0,∞+上单调递增；当1a >时，()f x在(()0,,a a +∞上单调递增，在(a a 上单调递减.（2）由（1）知1a >时()f x 有两个极值点12,x x ，且12122,1x x a x x +==，不妨设2110x x >>>，1121112212121221221212121211(2ln )(2ln )()2ln 2ln ()()2.x x x x x a x x a x x x a a f x f x x x x x x x x x x x x x x x ----------===-----要证1212()()24,f x f x a x x ->--即证1212ln 2x x x x <-，即2222ln 21x x x <-，2221ln 0,x x x ∴-+< 设1()ln (1),g t t t t t =-+>由（1）知当1=2a 时，()f x 在()0,∞+上单调递增，()()g t f t =-，则()g t 在()1,+∞上单调递减， ()(1)0g t g ∴<=.原式得证.【点睛】关键点点睛：本题考查用导数研究函数的单调性，证明不等式．含有参数的函数在求单调区间时一般需要分类讨论，可根据()0f x '=的根的情况分类讨论．对于双变量的不等式的证明需要进行变形，利用双变量之间的关系，转化为只有一个变量的不等式，从而可引入新函数，利用函数的性质进行证明．解题过程中换元法是一种重要的方法．例：2.已知函数 （1）讨论函数的单调性；（2）证明:若,则对任意,,有.【解析】：（1）,,取决于分子,开口向.1,ln )1(21)(2>-+-=a x a ax x x f )(x f 5<a ()+∞∈,0,21x x 21x x ≠1)()(2121->--x x x f x f ()+∞∈,0x xa x x x f )1)(1()('-+-=)1)(1(a x x -+-上的抛物线,两根为:1,;讨论两根的大小.i.若,两根相等:,单调递增; ii.若,,单调递减,单调递增; iii.若,,单调递减,单调递增;（2）法一:设,只需证:,即,构造函数,只需证明在上单调递增， ,,,即在单调递增,当时,,即,,同理当时,.法二:由拉格朗日中值中定值可知存在,使,,,设,,则,即.例：3.已知函数2()(1)ln 1f x a x ax =+++1-a 2=a 11=-a ()+∞∈,0x 12>>a 11<-a ()1,1-a ()()+∞-,1,1,0a 2>a 11>-a ()1,1-a ()()+∞-,1,1,0a 21x x >1221)()(x x x f x f ->-2211)()(x x f x x f +>+x x a ax x x x f x g +-+-=+=ln )1(21)()(2)(x g ()+∞,0)1(121)1()('---⋅≥-+--=a xa x x a a x x g 2)11(1---=a 51<<a 0)('>∴x g )(x g ()+∞,0021>>x x 0)()(21>-x g x g 0)()(2121>-+-x x x f x f 1)()(2121->--x x x f x f 210x x <<1)()(2121->--x x x f x f ξ)()()('2121ξf x x x f x f =--()+∞∈,0ξxa a x x f 1)('-+-=a a --≥12t a =-1()2,0∈t 112122->-+-=--t t a a 1)()(2121->--x x x f x f（1）若12a =-，求函数()f x 的单调区间； （2）设1a <-，若对任意12,(0,)x x ∈+∞，恒有()()12124f x f x x x -≥-，求a 的取值范围.解：【分析】（1）借助题设条件运用导数和单调性的关系分类求解； （2）借助题设条件构造函数运用导数的知识推证. 【详解】解：（1）当12a =-时，由已知得211()ln 1,022f x x x x =-+>，所以2112()22x f x x x x '-=-=，令()0f x '=得2x =，即 x ⎛∈ ⎝⎭时，()0f x '>；2x ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0f x '<；故()f x 单调递增区间为0,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，单调递减区间为,2⎛⎫+∞⎪ ⎪⎝⎭； （2）2121()2a ax a f x ax x x'+++=+=， 由1a <-得()0f x '<，所以()f x 在(0,)+∞单调递减，设12x x ≥从而对任意12(0,)x x ∈+∞、，恒有()()()()()1212122144f x f x x x f x f x x x -≥-⇔-≤-， 即()()112244f x x f x x +≤+，令()()4g x f x x =+，则1()24a g x ax x+'=++等价于()g x 在(0,)+∞单调递减， 即()0g x '≤恒成立，从而24121x a x --≤+恒成立，故设241()21x x x ϕ--=+， 则()()()222222421(41)4844()2121x x xx x x xxϕ'-+---⋅+-==++()()222228444(21)(1)2121x x x x x x +--+==++，当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0,()x x ϕϕ'<为减函数， 1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0x ϕ'>，()ϕx 为增函数.∴min 1()22x ϕϕ⎛⎫==-⎪⎝⎭, ∴a 的取值范围为,2]∞(--. 【点晴】方法点睛：导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具．本题就是以含参数a 的函数解析式为背景，考查的是导数知识在研究函数单调性和极值等方面的综合运用和分析问题解决问题的能力．本题的第一问求解时借助导数与函数单调性的关系，运用分类整合的数学思想分类求出其单调区间和单调性；第二问的求解中则先构造函数()()4g x f x x =+，然后再对函数()()4g x f x x =+求导，运用导数的知识研究函数的单调性，然后运用函数的单调性，从而使得问题简捷巧妙获证变式：1.已知函数2()22ln ()f x x ax x a R =-+∈.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若()f x 存在两个极值点()1221,x x x x >，求证：()()()2121(2)f x f x a x x -<--. 解：【分析】（1）求出导函数，根据二次函数的∆与0的关系来分类讨论函数的单调性，并注意一元二次方程根的正负与定义域的关系；（2）由()1212,x x x x <是两个极值点得到对应的韦达定理形式，然后利用条件将()()21f x f x -转变为关于12x x ，函数，再运用12x x ，的关系将不等式转化为证22212ln 0x x x -->，构造函数1()2ln (1)g x x x x x=-->，分析函数()g x 的单调性，得出最值，不等式可得证. 【详解】（1）解：函数()f x 的定义域为(0,)+∞，()2'212()22x ax f x x a x x-+=-+=，则24a ∆=-.①当0a ≤时，对(0,),()0x f x '∀∈+∞>，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；②当02a <≤时，0∆≤，所以对(0,),()0x f x '∀∈+∞≥，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；③当2a >时，令()0f x '>，得0x <<x >，所以函数()f x在⎛ ⎝⎭，⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增； 令'()0f x <，x <<所以()f x在⎝⎭上单调递减.（2）证明：由（1）知2a >且1212,1,x x a x x +=⎧⎨=⎩，所以1201x x <<<.又由()()()()222122211122ln 22ln f x f x x ax x x ax x -=-+--+()()()()()()22222222221212121212111122ln22ln 2ln x x x x x a x x x x x x x x x x x x x =---+=--+-+=--+. 又因为()()()()()()()()222121212121212121(2)222a x x x x a x x x x x x x x x x x x --=---=--+-=---.所以要证()()()2121(2)f x f x a x x -<--，只需证()22112ln2x x x x <-. 因为121=x x ，所以只需证22221ln x x x <-，即证22212ln 0x x x -->. 令1()2ln (1)g x x x x x =-->，则2'2121()110g x x x x ⎛⎫=+-=-> ⎪⎝⎭，所以函数()g x 在(1,)+∞上单调递增，所以对1,()(1)0x g x g ∀>>=.所以22212ln 0x x x -->. 所以若()f x 存在两个极值点()1221,x x x x >，则()()()2121(2)f x f x a x x -<--. 【点睛】本题考查函数与导数的综合应用，属于较难题.导数中通过双极值点求解最值或证明不等式时，可通过双极值点对应的等式将待求的式子或待证明的式子转变为关于同一变量（注意变量的范围）的式子，然后通过构造新函数，分析新函数的单调性后从而达到求解最值或证明不等式的目的.变式：2.已知函数()(1)e xaf x x=+（e 为自然对数的底数），其中0a >.（1）在区间(,]2a -∞-上，()f x 是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由.（2）若函数()f x 的两个极值点为()1212,x x x x <，证明：2121ln ()ln ()212f x f x x x a ->+-+.解：【分析】（1）对函数()f x 求导，令()0f x '=，得两根()1212,0x x x x <<，从而得出()f x 的单调区间.由用作差法比较1x 与a 的大小，结合()(1)e xaf x x=+，可知102ax a <-<-<，则()f x 在区间(,]2a-∞-单调递减，则其取得最小值22a a f e -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭； （2）由()0f x '=的韦达定理，得1212x x x x a +==-，则可消去a ，得112()(1)xf x x e =-，()()2211x f x x e =-.通过两边取对数，得()212ln ()ln 1f x x x =-+和()121ln ()ln 1f x x x =-+，将其代入需证不等式.再得()()122211211a x x +=++-+-，采用换元法，反证法，将所求不等式转化为ln ln 2m n m n m n->-+.再用换元法，令m t n = 构造函数()()()2,11ln 1t t h t t t --+≥=，利用导函数求其最值，则可证明不等式. 【详解】 .解：（1）由条件可函数()f x 在(),0-∞上有意义，()22xx ax a f x e x +-'=，令()0f x '=，得1x =，2x =，因为0a >，所以10x <，20x >.所以当()1,x x ∈-∞时，()0f x '>，当()1,0x x ∈上()0f x '<， 所以()f x 在()1,x -∞上是增函数，在()1,0x 是减函数.由()1x xa x a f x e e x x +⎛⎫=+=⎪⎝⎭可知， 当x a =-时，()0f x =，当x a <-时，()0f x >， 当0a x -<<时，()0f x <，因为12a a x a ----=--02a -+=>，所以10x a <-<，又函数在()1,0x 上是减函数，且102ax a <-<-<， 所以函数在区间,2a ⎛⎤-∞-⎥⎝⎦上的有最小值， 其最小值为22a a f e -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.（2）由（1）可知，当0a >时函数()f x 存在两个极值点12,x x ，且12,x x 是方程20x ax a +-=的两根，所以1212x x x x a +==-，且121x x <<，()11121(1)(1)x x a f x e x e x =+=-，()()2211x f x x e =-， 所以()()221ln ln 1x f x x e =-()12ln 1x x =-+，()()112ln ln 1x f x x e =-()21ln 1x x =-+，所以()()()()2112212121ln ln ln 1ln 1f x f x x x x x x x x x --+--+=-- ()()()()1212ln 1ln 1111x x x x ---=+---， 又()21221122a x x +=++-++()()122111x x =+-+-， 由（1）可知12110x x ->->，设11m x =-，21n x =-，则0m n >>，故要证()()2121ln ln 212f x f x x x a ->+-+成立， 只要证ln ln 2m n m n m n->-+成立， 下面证明不等式ln ln 2m n m n m n->-+成立， 构造函数()()21ln 1t h t t t -=-+，()1t ≥则()()()22101t h t t t -'=>+，所以()h t 在()1,t ∈+∞上单调递增，()()10h t h >=，即()21ln 1t t t ->+成立， 令m t n =，即得不等式ln ln 2m n m n m n->-+， 从而()()2121ln ln 212f x f x x x a ->+-+成立. 【点睛】本题考查了利用导函数求函数的最值，证明不等式，其中换元法、反证法的应用是本题的关键，考查了转化的思想，属于综合性较强的难题.变式：3.已知函数 （1）讨论函数的单调性；（2）设,如果对任意,,求的取值范围.【解析】：（1）,,i.当时,,在单调递增;ii.当时,,在单调递减; iii.当时,由得,在单调递增, 在单调递减. .1ln )1()(2+++=ax x a x f )(x f 1-<a ()+∞∈,0,21x x 21214)()(x x x f x f -≥-a ()+∞∈,0x x a ax x f 12)(2'++=0≥a 0)('>x f )(x f ()+∞∈,0x 1-≤a 0)('<x f )(x f ()+∞∈,0x 01<<-a 0)('=x f a a x 21+-=)(x f ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∈a a x 21,0⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞+-∈,21a a x（2）法一:不妨设,而当时,由（1）可知在单调递减,从而,等价于,.构造函数,只需在单调递减,即在 恒成立,分离变量法:,只需. 法二:由拉格朗日定理知,,等价于,在存在,使得 成立,只需恒成立,只需, 得或(舍去).变式：4.已知函数f （x ）1x=-x +alnx ． （1）求f （x ）在（1，f （1））处的切线方程（用含a 的式子表示） （2）讨论f （x ）的单调性；21x x ≥1-<a )(x f ()+∞∈,0x ()+∞∈∀,0,21x x 21214)()(x x x f x f -≥-()+∞∈∀,0,21x x 11224)(4)(x x f x x f +≥+x x f x g 4)()(+=)(x g ()+∞∈,0x 0421)('≤+++=ax xa x g ()+∞∈,0x 212)12(1214222-+-=+--≤x x x x a 2)212)12((min 22-=-+-≤x x a 21214)()(x x x f x f -≥-4)()(2121≥--x x x f x f ()+∞,0ξ)()()('2121ξf x x x f x f =--4)('≥ξf 4)1(2212)(min'≥+=++=a a x a ax x f 2,022-≤≥-+a a a 1≥a（3）若f （x ）存在两个极值点x 1，x 2，证明：()()12122f x f x a x x ---＜．解：【分析】（1）求出切点坐标，根据导函数求出切线斜率，即可得到切线方程；（2）求出导函数，对g （x ）＝﹣x 2+ax ﹣1，进行分类讨论即可得到原函数单调性；（3）结合（2）将问题转为证明1212lnx lnx x x --＜1，根据韦达定理转化为考虑h （x ）＝2lnx ﹣x 1x+的单调性比较大小即可得证. 【详解】（1）∴f （x ）1x=-x +alnx （x ＞0） ∴f ′（x ）221x ax x-+-=（x ＞0） ∴当x ＝1时，f （1）＝0，f ′（1）＝﹣2+a ，设切线方程为y ＝（﹣2+a ）x +b ，代入（1，0），得b ＝2﹣a ，∴f （x ）在（1，f （1））处的切线方程为y ＝（﹣2+a ）x +2﹣a ．（2）函数的定义域为（0，+∞），函数的导数f ′（x ）221x ax x-+-=， 设g （x ）＝﹣x 2+ax ﹣1，注意到g （0）＝﹣1，①当a ≤0时，g （x ）＜0恒成立，即f ′（x ）＜0恒成立，此时函数f （x ）在（0，+∞）上是减函数；②当a ＞0时，判别式∴＝a 2﹣4，（i ）当0＜a ≤2时，∴≤0，即g （x ）≤0，即f ′（x ）≤0恒成立，此时函数f （x ）在（0，+∞）上是减函数；（ii ）当a ＞2时，令f ′（x ）＞0x 令f ′（x ）＜0，得：0＜x 2a ＜或x 2a +＞； ∴当a ＞2时，f （x ）在区间（2a -，2a ）单调递增，在（0，2a -），+∞）单调递减； 综上所述，综上当a ≤2时，f （x ）在（0，+∞）上是减函数，当a ＞2时，在（0），+∞）上是减函数，（3）由（2）知a ＞2，0＜x 1＜1＜x 2，x 1x 2＝1，则f （x 1）﹣f （x 2）11x =-x 1+alnx 1﹣[21x -x 2+alnx 2] ＝（x 2﹣x 1）（1121x x +）+a （lnx 1﹣lnx 2） ＝2（x 2﹣x 1）+a （lnx 1﹣lnx 2），则()()1212f x f x x x -=--21212()a lnx lnx x x -+-，则问题转为证明1212lnx lnx x x --＜1即可， 即证明lnx 1﹣lnx 2＞x 1﹣x 2，则lnx 1﹣ln 11x ＞x 111x -， 即lnx 1+lnx 1＞x 111x -， 即证2lnx 1＞x 111x -在（0，1）上恒成立， 设h （x ）＝2lnx ﹣x 1x+，（0＜x ＜1），其中h （1）＝0， 求导得h ′（x ）2x =-1()222221121x x x x x x --+-=-=-＜0， 则h （x ）在（0，1）上单调递减，∴h （x ）＞h （1），即2lnx ﹣x 1x+＞0， 故2lnx ＞x 1x-， 则()()1212f x f x x x ＜--a ﹣2成立．【点睛】此题考查导函数的应用，根据几何意义求切线斜率，讨论函数的单调性，证明不等式，解决双变量问题，综合性强.。

拉格朗日中值定理是数学分析中的一种重要定理，它是利用微积分知识对函数在给定区间内的性质进行分析的基本工具之一。

本文将结合定积分不等式，对拉格朗日中值定理进行证明，以展示数学证明题的逻辑推理和技巧运用。

一、拉格朗日中值定理的数学表述1. 拉格朗日中值定理是微分学中最基本的定理之一，它描述了函数在区间内的平均变化率与函数在该区间内某一点的导数之间的关系。

2. 设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可微分，那么存在c∈(a,b)，使得一条过点(a,f(a))和点(b,f(b))的直线与曲线y=f(x)在点(c,f(c))处相切。

3. 若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可微，则存在ξ∈(a,b)，使得f'(ξ) = (f(b) - f(a))/(b - a)4. 这个定理说明了在一定条件下，函数在一个闭区间内取得了某个值，那么在开区间内一定存在一个点，函数的导数在这个点上的值等于函数在这个闭区间上的平均变化率。

也就是说，导数会在某个点上取得平均变化率的值。

二、定积分不等式在数学证明中的作用1. 定积分不等式是微积分中常用的一种工具，它可以用于对函数在一定区间内的性质进行分析，并给出关于函数值大小的估计。

2. 定积分不等式可以帮助我们证明定理和推论，尤其在函数极值、函数单调性等问题的证明中，经常会运用到定积分不等式。

3. 特别是在利用定积分不等式证明拉格朗日中值定理时，定积分不等式可以提供关于函数平均值的估计，从而辅助完成证明过程。

三、基于定积分不等式的拉格朗日中值定理证明1. 我们考虑将函数f(x)在闭区间[a,b]上的平均值与定积分通联起来。

根据定积分的定义，可得（1）∫[a,b] f(x) dx = (b-a) * (f(ξ))其中，ξ∈[a,b]。

2. 又根据拉格朗日中值定理的表述，存在ξ∈(a,b)，使得（2）f'(ξ) = (f(b) - f(a))/(b - a)3. 将（1）（2）式相结合，得到（3）f(ξ) = f(a) + (ξ - a) * f'(c)4. 将（3）式代入（1）式，得到（4）∫[a,b] f(x) dx = (b - a) * f(a) + (b - a) * (ξ - a) * f'(c)5. 对（4）式进行变形和化简，得到（5）∫[a,b] f(x) dx - (b - a) * f(a) = (b - a) * (ξ - a) * f'(c)6. 由（5）式可知，定积分∫[a,b] f(x) dx 与函数导数f'(c) 和区间长度(b - a) 相关，从而得到关于平均值与导数之间的关系的表达式。

ln(1+x)的拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理是微积分中非常重要的定理之一，用于研究函数的平均变化率与导数之间的关系。

该定理具体描述了函数在某个区间内的平均变化率与该区间内某一点的导数之间存在的关系。

在本文中，我们将讨论使用拉格朗日中值定理证明ln(1+x)函数在某个区间内存在某个点，使得函数的导数等于函数的平均变化率。

首先，我们先来说明一下ln(1+x)函数的定义域。

由于ln函数的输入值必须大于零，所以要求1+x大于零，即x大于-1。

因此，ln(1+x)的定义域为(-1, +∞)。

接下来，我们来详细介绍拉格朗日中值定理。

拉格朗日中值定理是数学分析中的一个基本定理，用于描述函数的平均变化率与导数之间的关系。

在数学上，拉格朗日中值定理可以表述为：若函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，那么存在一个点c∈(a, b)，使得f'(c)等于函数f(x)在闭区间[a, b]上的平均变化率。

现在我们来证明ln(1+x)函数在区间(0, x)内满足拉格朗日中值定理的条件。

首先，根据ln(1+x)的定义域，可以得知该函数在区间(0,x)内连续。

然后，我们需要证明ln(1+x)在区间(0, x)内可导。

根据定义，我们可以求出ln(1+x)的导数，即(ln(1+x))' = 1/(1+x)。

可以看出，对于区间(0, x)内的任意x值，1/(1+x)都存在且不等于零，因此导数存在且连续。

所以，我们可以得出结论：ln(1+x)在区间(0, x)内满足拉格朗日中值定理的条件。

接下来，我们需要找到满足拉格朗日中值定理的点c，并计算其导数f'(c)。

根据定理的描述，f'(c)等于函数f(x)在闭区间[0, x]上的平均变化率，即f'(c) = (f(x) - f(0)) / (x - 0)。

对于ln(1+x)函数，我们将其带入公式中，便得到f'(c) = (ln(1+x) - ln(1+0)) / (x - 0) = ln(1+x) / x。