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高等数学中积分中值定理的几个基本应用作者：朱碧来源：《新教育时代》2014年第14期摘要：对于积分中值定理，在教材中提到的用法大多是去掉积分符号，把复杂的问题简单化，在解决积分不等式、含积分的极限等问题中，往往应用积分中值定理的这些作用，使得问题得到更容易的解决。
关键词：积分中值定理应用一、积分中值定理定理：若函数f（x）在[a，b]上是连续的。
那么至少存在一点，使得成立。
推论：如果上连续，并且g（x）在[a，b]上不变号，那么至少存在一点使得成立。
[1]二、积分中值定理的几个简单应用积分中值定理在定积分的计算应用中具有重要的作用，下面我们给出几个具体的常见的例子，通过实际应用来加深对积分中值定理的理解。
1.中值定理应用于定积分不等式的证明和积分估计（1）证明不等式 .证：由积分中值定理又因为可得.（2）估计的积分解：设，那么f（x）在区间[0，1]上连续可导，且有所以，又，则，所以而，所以2.中值定理应用于含有定积分的极限的计算（3）计算其中连续.解：因为连续，则由积分中值定理，可以得出所以3.积分中值定理在等式证明中的应用（4）证明：如果f（x）在[a，b]上连续，g是连续可微的单调函数，那么存在，有证：令，那么有由已知g（x）是单调函数，所以g`（x）不变号，根据积分中值定理，存在，使得三、结论：积分中值定理是积分学说中的一个重要结论，在数学学习中起到承前启后作用的重要枢纽。
对于定积分的计算，证明等都有着不可忽视的作用，文中所举的例子并不算多，对比现在的研究来说是比较少的，并且在讨论时所给定的条件也相对单一。
但是也给出了当今积分中值定理的大概研究方向。
参考文献[1]华东师范大学数学系.数学分析/上册[M].高等教育出版社.1981.4（2007再版）[2]刘宁. 强化积分中值定理结论，使其更具应用性.金华职业技术学院学报[J].2004.6[3]Walter Rudin. Principles of Mathematical Analysis[M].Mc Graw Hill Education.[4]龙爱芳，积分中值定理积分点研究的一个新结果[J].数学的实践与认知.2011.10[5]戴嘉尊.数学物理方程.东南大学出版社[M].2002.2（2008再版）[6]衡美芹.关于积分中值定理的进一步探讨[J]. 牡丹江教育学院学报，2011，02.[7]华东师范大学数学系.数学分析/下册[M].高等教育出版社.1981.4（2007再版）[8]季孝达，薛兴恒，陆英.数学物理方程[M].科学出版社.2005.7[9]周燕. 积分中值定理的推广与应用[J]. 林区教学，2008，10.作者简介：朱碧。
第六讲 中值定理一、罗尔(Rolle)定理1、引理(费马引理) 设函数()f x 在点0x 的某邻域0()U x 内有定义,若()f x 在点0x 可导,且0()x U x ∀∈有0()()f x f x ≤ (或0()()f x f x ≥).则0()0f x '=.2、定理(罗尔定理) 若函数()f x 满足:(1)在闭区间[,]a b 上连续; (2)在开区间(,)a b 内可导; (3)()()=f a f b , 则至少存在一点(,)∈a b ξ,使()0'=f ξ3、几何意义：例1 验证函数3()3=-f x x x在[内至少存在一点ξ,使得()0'=f ξ,并求出ξ的具体位置例 2 设,,a b c 是任意实数,证明32432ax bx cx a b c ++=++在(0,1)内至少有一个实根.二、拉格朗日(Lagrange)中值定理1、定理(拉格朗日中值定理) 如果函数()f x 满足：(1)在闭区间[,]a b 上连续； (2)在开区间(,)a b 内可导,则至少存在一点(,)∈a b ξ,使得： ()()()-'=-f b f a f b a ξ. 2、几何意义：例3 证明不等式ln --<<b a b b a b a a (0)<<a b . 3. 两个重要推论推论 1 如果函数()f x 在区间(,)a b 内可导,则()f x 在(,)a b 内恒等于常数的充要条件是()0'≡f x .推论2 如果函数()f x 、()g x 在区间(,)a b 内可导,且对任意的(,)∈x a b 有()()''=f x g x ,则在区间(,)a b 内()f x 与()g x 只差一个常数C ,即()()=+f x g x C例4 试证明恒等式:arctan arctan ()2x x e e x π-+=-∞<<+∞课堂练习1. 利用微分中值定理证明下列不等式: (1)sin sin b a b a -≤-;(2)1(0)x x x e xe x <-<>.2. 证明恒等式: arcsin arccos (11)2x x x π+=-≤≤.3. 设()f x 在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且(1)0f =,证明存在一点(0,1)ξ∈,使 ()()0f f ξξξ'+=.。
中值定理的应用方法与技巧中值定理包括微分中值定理和积分中值定理两部分.微分中值定理即罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理,一般高等数学教科书上均有介绍，这里不再累述.积分中值定理有积分第一中值定理和积分第二中值定理。
积分第一中值定理为大家熟知，即若)(x f 在［a,b ］上连续，则在[a,b]上至少存在一点ξ，使得))(()(a b f dx x f ba -=⎰ξ。
积分第二中值定理为前者的推广，即若)(),(x g x f 在[a ，b ］上连续，且)(x g 在［a ，b ］上不变号，则在［a ，b]上至少存在一点ξ，使得⎰⎰=ba ba dx x g f dx x g x f )()()()(ξ。
一、 微分中值定理的应用方法与技巧三大微分中值定理可应用于含有中值的等式证明,也可应用于恒等式及不等式证明。
由于三大中值定理的条件和结论各不相同,又存在着相互关联，因此应用中值定理的基本方法是针对所要证明的等式、不等式，分析其结构特征，结合所给的条件选定合适的闭区间上的连续函数,套用相应的中值定理进行证明。
这一过程要求我们非常熟悉三大中值定理的条件和结论，并且掌握一定的函数构造技巧。
例一．设)(x ϕ在［0，1]上连续可导，且1)1(,0)0(==ϕϕ。
证明:任意给定正整数b a ,，必存在（0，1）内的两个数ηξ,，使得b a ba +='+')()(ηϕξϕ成立。
证法1:任意给定正整数a ，令)()(,)(21x x f ax x f ϕ==，则在[0，1]上对)(),(21x f x f 应用柯西中值定理得：存在)1,0(∈ξ，使得a a a =--=')0()1(0)(ϕϕξϕ。
任意给定正整数b ，再令)()(,)(21x x g bx x g ϕ==，则在[0，1]上对)(),(21x g x g 应用柯西中值定理得:存在)1,0(∈η,使得b b b =--=')0()1(0)(ϕϕηϕ。
微分中值定理及其应用我们已经学习了导函数的定义以及一些基本性质，就导数的定义来看，导数是一个新的函数的极限，从而它反映的是函数的局部性质，在这一讲中，我们将学习利用导数来建立一些函数的整体性质。
所用的工具就是所谓的中值定理。
罗尔中值定理定理6.1（罗尔中值定理）设函数在区间上满足：1. 在闭区间上连续；2. 在开区间上可导；3. ，那么，在开区间内必是（至少）存在一点，使罗尔定理的几何意义因为，所以是水平线，用中学学过的推平行线的几何方法，可以直观地看出曲线上至少有一点的切线也应该是平行的。
条件分析定理中的三个条件都很重要，缺少任何一个条件，命题都不能成立。
i) 函数在区间满足条件2和条件3，该函数在上的导数恒为1。
ii)函数满足条件1和条件3，但是条件2却遭到破还（在不可导），结论也不成立。
iii)函数满足条件1和条件2,但条件3不满足，该函数在的的导数恒为1。
vi)函数在闭区间上，三个条件是充分条件，但不是必要条件。
定理的证明因为在上连续，所以由连续函数的最大最小值定理，在上取到最大值和最小值，下面分两种情况讨论：1. ，这就是说恒为常数，此时该函数的导数恒等于零。
可以在上随意取一点，当然有。
2. ，既然最大最小值不等，而两个端点的函数值相等，从而至少有一个最值不在端点取到。
不妨设最大值不在端点取到。
得到：存在，使得。
因为区间内部取到的最值一定是极值，所以由费马定理，。
范例例1：设是一个多项式，且方程没有实零点，则方程至多有一个重数为1的实根。
证：设有两个实根，可以验证：在上满足罗尔定理的条件，从而存在，使得。
这与条件矛盾。
设有一个重根，则。
因为，则，矛盾。
拉格朗日定理及其应用定理6.2 设函数区间上满足：1. 在闭区间上连续；2. 在开区间上可导；那么在开区间内（至少）存在一点，使得拉格朗日定理的几何意义拉格朗日定理是罗尔定理的一个推广，推广所以它们的几何意义几乎是一致的。
（如果）这里，。
高等数学中值定理的题型与解题方法高数中值定理包含：1.罗尔中值定理(rolle); 2.拉格朗日中值定理(lagrange); 3.柯西中值定理(cauchy); 还有经常用到的泰勒展开式(taylor), 其中(,)a b ξ∈，一定是开区间.全国考研的学生都害怕中值定理，看到题目的求解过程看得懂，但是自己不会做，这里往往是在构造函数不会处理，这里给总结一下中值定理所涵盖的题型，保证拿到题目就会做。
题型一：证明：()0nf ξ=基本思路，首先考虑的就是罗尔定理(rolle)，还要考虑极值的问题。
例1. ()[,]f x C a b ∈在(,)a b 可导，()()0f a f b >>，()()02a bf a f +<， 证明：存在(,)a b ξ∈，使得'()0f ξ=.分析：由()()0f a f b >>，()()02a bf a f +<，容易想到零点定理。
证明：()()02a b f a f +<，∴存在1(,)2a bx a +∈，使得1()0f x =，又()()0f a f b >>，∴(),()f a f b 同号，∴()()02a bf b f +<，∴存在2(,)2a bx b +∈，使得2()0f x =，∴12()()0f x f x ==，所以根据罗尔中值定理：存在(,)a b ξ∈，使得'()0f ξ=.例2. ()[0,3]f x C ∈在(0,3)内可导，(0)(1)(2)3f f f ++=，(3)1f =， 证明：存在(0,3)ξ∈，使得'()0f ξ= 证明：（1）()[0,3]f x C ∈，∴()f x 在[0,3]使得上有最大值和最小值,M m ，∴根据介值性定理(0)(1)(2)3f f f m M ++≤≤，即1m M ≤≤∴存在[0,3]c ∈，使得()1f c =，（2）()(3)1f c f ==，所以根据罗尔中值定理：存在(,3)(0,3)c ξ∈⊂，使得'()0f ξ=.例3. ()f x 在(0,3)三阶可导，[0,1]x ∈，(1)0f =，3()()F x x f x = 证明：存在(0,1)ξ∈，使得'''()0F ξ= 证明：（1）(0)(1)0F F ==，∴存在1(0,1)ξ∈，使得1'()0F ξ=，（2）23'()3()'()F x x f x x f x =+，所以1'(0)'()0F F ξ==，∴存在21(0,)ξξ∈，使得2''()0F ξ=，（3）223''()6()3'()3'()''()F x xf x x f x x f x x f x =+++，所以2''(0)''()0F F ξ==，∴存在2(0,)(0,1)ξξ∈⊂，使得'''()0F ξ=，例3. ()[0,1]f x C ∈在(0,1)内可导，[0,1]x ∈，(0)1f =，11()22f =，(1)2f = 证明：存在(0,1)ξ∈，使得'()0f ξ= 证明：(0)1f =，11()22f =，(1)2f =∴存在(0,1)ξ∈，使得()f m ξ=，又()f x 在(0,1)内可导，∴存在(0,1)ξ∈，使得'()0f ξ=题型二：证明：含ξ，无其它字母 基本思路，有三种方法： （1）还原法。
关于高等数学常见中值定理证明及应用集团标准化工作小组 [Q8QX9QT-X8QQB8Q8-NQ8QJ8-M8QMN]中值定理首先我们来看看几大定理：1、介值定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在该区间的端点取不同的函数值f(a)=A及f(b)=B，那么对于A与B之间的任意一个数C，在开区间(a,b)内至少有一点ξ使得f(ξ)=C(a<ξ<b).Ps:c是介于A、B之间的，结论中的ξ取开区间。
介值定理的推论：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上有最大值M，最小值m,若m≤C≤M,则必存在ξ∈[a,b], 使得f(ξ)=C。
（闭区间上的连续函数必取得介于最大值M 与最小值m之间的任何值。
此条推论运用较多）Ps：当题目中提到某个函数f(x),或者是它的几阶导函数在某个闭区间上连续，那么该函数或者其几阶导函数必可以在该闭区间上取最大值和最小值，那么就对于在最大值和最小值之间的任何一个值，必存在一个变量使得该值等于变量处函数值。
2、零点定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)与f(b)异号，即f(a).f(b)<0,那么在开区间内至少存在一点ξ使得f(ξ)=0.Ps:注意条件是闭区间连续，端点函数值异号，结论是开区间存在点使函数值为0.3、罗尔定理：如果函数f(x)满足：（1）、在闭区间[a,b]上连续；（2）、在开区间(a,b)内可导;（3）、在区间端点处函数值相等，即f(a)=f(b).那么在(a,b)内至少有一点ξ(<aξ<b),使得f`(x)=0;4、拉格朗日中值定理：如果函数f(x)满足：（1）、在闭区间[a,b]上连续；（2）、在开区间(a,b)内可导;那么在(a,b)内至少有一点ξ(<aξ<b),使得f(b)-f(a)=f`(ξ).(b-a).5、柯西中值定理：如果函数f(x)及g(x)满足（1）、在闭区间[a,b]上连续；（2）、在开区间(a,b)内可导;（3）、对任一x(a<x<b),g`(x)≠0,那么在(a,b)内至少存在一点ξ,使得Ps ：对于罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理结论都是开开区间内取值。
6、 积分中值定理：若函数f(x)在[a,b]上连续，则至少存在一点],[b a ∈ξ使得)()()(a b f dx x f ba -=⎰ξPs ：该定理课本中给的结论是在闭区间上成立。
但是在开区间上也是满足的，下面我们来证明下其在开区间内也成立，即定理变为：若函数f(x)在[a,b]上连续，则至少存在一点),(b a ∈ξ使得)()()(a b f dx x f ba -=⎰ξ证明：设⎰=x a dx x f x F )()(，],[b a x ∈因为)(x f 在闭区间上连续，则)(x F 在闭区间上连续且在开区间上可导（导函数即为)(x f ）。
则对)(x F 由拉格朗日中值定理有：),(b a ∈∃ξ使得a b dxx f a b a F b F F b a -=--=⎰)()()()`(ξ而)()`(ξξf F =所以),(b a ∈∃ξ使得)()()(a b f dx x f ba -=⎰ξ。
在每次使用积分中值定理的时候，如果想在开区间内使用，我们便构造该函数，运用拉格朗日中值定理来证明下使其在开区间内成立即可。
千万不可直接运用，因为课本给的定理是闭区间。
定理运用：1、设)(x f 在[0,3]上连续，在(0,3)内存在二阶导函数，且⎰+==20)3()2()()0(2f f dx x f f . 证明：(1))2,0(∈∃η使)0()(f f =η(2))3,0(∈∃ξ使0)``(=ξf证明：先看第一小问题：如果用积分中指定理似乎一下子就出来了，但有个问题就是积分中值定理是针对闭区间的。
有的人明知这样还硬是这样做，最后只能是0分。
具体证明方法在上面已经说到，如果要在开区间内用积分中指定理，必须来构造函数用拉格朗日中值定理证明其在开区间内符合。
（1）、令]2,0[),()(0∈=⎰x x F dt t f x则由题意可知)2,0(]2,0[)(上连续，在x F 内可导. 则对)(x F 由拉格朗日中值定理有：(2)、对于证明题而言，特别是真题第一问证明出来的结论，往往在第二问中都会有运用，在做第二问的时候我们不要忘记了第一问证明出来的东西，我们要时刻注意下如何将第一问的东西在第二问中进行运用：第二问是要证明存在点使得函数二阶倒数为0，这个很容易想到罗尔定理来证明零点问题，如果有三个函数值相等，运用两次罗尔定理那不就解决问题啦，并且第一问证明出来了一个等式，如果有f(a)=f(b)=f(c)，那么问题就解决了。
第一问中已经在(0,2)内找到一点，那么能否在(2,3)内也找一点满足结论一的形式呢，有了这样想法，就得往下寻找了，)3()2()0(2f f f +=，看到这个很多人会觉得熟悉的，和介值定理很像，下面就来证明：]3,0[)(在x f 上连续，则在]3,2[上也连续，由闭区间上连续函数必存在最大值和最小值，分别设为M,m;则.)3(,)2(M f m M f m ≤≤≤≤ 从而，M f f m ≤+≤2)3()2(，那么由介值定理就有： 则有罗尔定理可知： 0)`(),,0(11=∈∃ξηξf ，0)`(),,(22=∈∃ξηξf cPs ：本题记得好像是数三一道真题，考察的知识点蛮多，涉及到积分中值定理，介值定理，最值定理，罗而定理，思路清楚就会很容易做出来。
2、设f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导,且f(0)=0,f(1)=1.证明:ξξξ-=∈∃1)()1,0()1(f 使得、本题第一问较简单，用零点定理证明即可。
（1）、首先构造函数：]1,0[,1)()(∈-+=x x x f x F由零点定理知：ξξξξ-==∈∃1)(,0)()1,0(f F 即使得(2)、初看本问貌似无从下手，但是我们始终要注意，对于真题这么严谨的题目，他的设问是一问紧接一问，第一问中的结论或多或少总会在第二问中起到作用。
在想想高数定理中的就这么些定理，第一问用到的零点定理，从第二问的结论来看，也更本不涉及什么积分问题，证明此问题也只可能从三大中值定理出发，具体是哪个定理，得看自己的情况，做题有时候就是慢慢试，一种方法行不通，就换令一种方法，有想法才是最重要的，对于一道题，你没想法，便无从下手。
另外在说一点，在历年证明题中，柯西中值定理考的最少。
本题结论都涉及一阶倒数，乘积之后为常数，很可能是消去了变为1（你题目做多了，肯定就知道事实就是这样）.并且第一问中0与1之间夹了个ξ，如果我们在0与ξ，ξ与1上对)(x f 运用拉格朗日中值定理似乎有些线索。
写一些简单步骤，具体详细步骤就不多写了：将第一问中)(ξf 代入即可。
Ps ：本题是05年数一的一道真题，第一问是基本问题，送分的，第二问有一定区分度，对定理熟练的会容易想到拉格朗日定理，不熟练的可能难以想到方法。
做任何题，最重要的不是你一下子就能把题目搞出来，而是你得有想法，有想法才是最重要的，有了想法你才能一步步的去做，如对于这道题的结论比较有意思，比较对称，另外一个就是结论的条件，为何要把ηξ、放在两个范围内，不像上一题中直接来个)1,0(∈ξη、，这个分界点1/2 的作用是干吗的。
很可能也是把1 /2当做某一个点就像上一题中的ξ，是否要用到拉格朗日中值定理呢，这是我们的一个想法。
那具体的函数如何来构造呢，这个得从结论出发，22)`()`(ηξηξ+=+f f我们把等式变一下：0)`()`(22=-+-ηηξξf f ，2)`(ξξ-f 这个不就是331)(ξξ-f 关于ξ的导数（而且题目中f(1)=1/3,貌似这样有点想法了），本题会不会也像上一题那样，运用拉格朗日中值定理后相互消掉变为0呢，有了这些 想法我们就要开始往下走了：先来构造一个函数：0)`()`(=+ξηF F 刚好证明出来。
Ps ：本题是近几年数二的一道真题，只有一问，有比较大区分度的，得从条件结论互相出发，如何构造出函数是关键。
做出来之后我们反过来看这个1/2的作用就知道了，如果只给)1,0(∈ξη、，那就更难了 得自己找这个点，既然题中给了这个点，并且把两个变量分开在两个区间内，我们就对这两个变量在对应区间用相应定理。
说明真题出的还是很有技巧的。
一般设计难一点的中值定理证明，往往得用拉格朗日定理来证明，两个变量，都涉及到导数问题，这是因为拉格朗日中值定理条件要少些，只需连续，可导即可，不像罗尔定理得有式子相等才可进一步运用。
4.设f(x)在区间[-a,a](a>0)上具有二阶连续导数，f(0)=0(1)、写出f(x)的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式(2)、证明在[-a,a]上至少存在一点η使得⎰-=aa dx x f f a )(3)``(3η 第一问课本上记住了写出来就行，考的很基础（1）、22!2)``()0`(!2)``(!1)0`()0()(x f x f x f x f f x f ξξ+⋅=++= (2)、第二问先将第一问的式子f(x)代入看看有什么结果出来⎰⎰--⋅=a a a a dx x f dx x f 22)``()(ξ，)``(ξf 此处不能直接拿到积分号外面，因为他不是与x 无关的数。
做到这儿，我们想办法把他弄到积分号外面似乎就能出来，有了这样想法就得寻求办法。
题目中说道f(x)有二阶连续导数，为何要这样说呢，我们知道连续函数有最大值，最小值，往往会接着和介值定理一起运用。
所以有：因为f(x)有二阶连续导数，所以存在最大值和最小值，设为M,m 则对于区间[-a,a]，222)``(,)``(Mx x f mx M x f m ≤⋅≤≤≤ξ所以由介值定理有结论成立。
Ps ：本题是以前的一道真题，具体哪年也记不得了，主要就是考到介值定理的运用。
题目中说的很明白的，有二阶连续导数，往往当题目中提及到什么连续啊，特别是对于导函数连续的，我们总得注意下他有最大值，最小值，进而与介值定理联合运用。
5、设f(x)在],0[π上连续，且0cos )(,0)(00=⋅=⎰⎰ππxdx x f dx x f . 证明：在),0(π内至少存在两个不同点0)()(2121==ξξξξf f 使得、本题看似很简洁，但做起来去不容易。
结论是证明等式成立且为0，很容易让我们想到罗尔定理，我们如果能找到三个点处函数值相等，那么是不是就能有些思路了呢。
令：],0[,)()(0π∈=⎰x dt t f x F x，0)()0(==πF F 似乎只需在找出一点F(c)=0即可。
，如果一切如我们所想，证明也就完成了。
