届学士学位毕业论文关于拉格朗日中值定理的几种特殊证法学号：姓名：班级：指导教师：专业：系别：完成时间：年月学生诚信承诺书本人郑重声明：所呈交的论文《关于拉格朗日中值定理的几种特殊证法》是我个人在导师王建珍指导下进行的研究工作及取得的研究成果。
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签名：日期：指导教师声明书本人声明：该学位论文是本人指导学生完成的研究成果，已经审阅过论文的全部内容，并能够保证题目、关键词、摘要部分中英文内容的一致性和准确性。
指导教师签名：时间：摘要拉格朗日中值定理在高等代数和数学分析的一些理论推导中起着重要作用,本论文为了更准确的理解拉格朗日中值定理,介绍了其几种特殊的证明方法.首先本文从分析和几何的角度构造辅助函数对拉格朗日中值定理进行了证明,其中在分析法构造辅助函数中应用了推理法、原函数法、行列式法及弦倾角法,在几何法构造辅助函数中应用了作差构造法、面积构造法和旋转坐标轴法;其次,应用了区间套定理证明法和巴拿赫不动点定理证明法对拉格朗日中值定理进行了证明;最后,本文为能将拉格朗日中值定理表述更为深刻,还将其应用到求极限,证明函数性态等具体问题中.关键词：拉格朗日中值定理;区间套定理;巴拿赫不动点定理Several Special Proofs on the Lagrange’s Mean Value Theorem 08404141 ZHAO Xia-yan Mathematics and Applied MathematicsTutor WANG Jian-zhenAbstractLagrange’s mean value theorem plays an important role in some theory educations in Higher algebra and Mathematical analysis, this thesis introduces several particular methods proving methods in order to comprehend Lagrange’s mean value theorem precisely. First of all, applying analysis and geometry with constructing auxiliary function to prove Lagrange’s mean value theorem, in the aspect of analysis, the methods of constructing auxiliary function include the reasoning method, original function method, the determinant method and chord angle method, In the aspect of geometric, the methods of constructing auxiliary functions include the poor construction method, area structure method and the rotating coordinate transformation method; secondly, also use the theorem of nested interval proving method and the Banach fixed point theorem to prove it; finally, this article applies Lagrange’s mean value theorem to the specific question in the limit, proving the function of state and other issues.Key Words: Lagrange’s mean value theorem; The theorem of nested interval; The Banach fixed point theorem目录1．引言 (1)2. 利用分析法构造辅助函数 (1)3. 利用几何法构造辅助函数 (4)4. 利用区间套定理证明 (6)5. 利用巴拿赫不动点定理证明 (7)6．拉格朗日中值定理的应用 (8)7. 结语 (11)参考文献 (12)致谢 (12)关于拉格朗日中值定理的几种特殊证法08404141 赵夏燕 数学与应用数学指导教师 王建珍1.引言微分中值定理作为微分学中的重要定理,是微分学应用的理论基础,是微分学的核心理论.微分中值定理,包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理,它们是沟通导数值与函数值之间的桥梁,是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的工具,其中拉格朗日中值定理是核心,从这些定理的条件和结论可以看出罗尔定理是其特殊情况,柯西定理和泰勒定理是其推广.首先回顾下拉格朗日中值定理以及它的预备定理—罗尔中值定理.定理1.1 (罗尔中值定理)]1[ 若函数f 满足如下条件:(ⅰ)f 在闭区间],[b a 上连续;(ⅱ)f 在开区间),(b a 内可导;(ⅲ))()(b f a f =;则在),(b a 内至少存在一点ξ,使得0)(='ξf .定理1.2 (拉格朗日中值定理)]2[ 若函数f 满足如下条件:(ⅰ)f 在闭区间],[b a 上连续;(ⅱ)f 在开区间),(b a 内可导;则在),(b a 内至少存在一点ξ,使得=')(ξf ab a f b f --)()(. 课本上给出了拉格朗日中值定理的基本证法,在此基础上,下面给出了拉格朗日中值定理的几种特殊证明方法.2.利用分析法构造辅助函数拉格朗日中值定理中的两个条件与罗尔中值定理中的前两个条件相同,二者的区别仅仅在于区间端点处的函数值是否相等,基于这种关系,自然想到构造一个辅助函数,使它满足罗尔中值定理的条件,从而是否由罗尔中值定理的结论导出拉格朗日中值定理的结论呢?事实上解决问题的关键是构造的这个辅助函数)(x F 要在],[b a 的端点有相同的函数值,即)()(b F a F =,以下将对如何利用分析法构造辅助函数进行深入的分析.证明方法2.1（推理法）由拉格朗日中值定理结论=')(ξf a b a f b f --)()( ,可知其右端是一个常数,故可设ab a f b f --)()(k =,则有)()()(a b k a f b f -=-,即ka a f kb b f -=-)()(仔细观察其特点,不难发现一个能使)()(b F a F =的新函数:kx x f x F -=)()(,故)(x F 就是证明中所要利用的辅助函数.证明过程如下:令kx x f x F -=)()(,其中=k ab a f b f --)()(,由题设可知,)(x F 在],[b a 上连续,在),(b a 内可导,且)()(b F a F =,即)(x F 满足罗尔中值定理,故在),(b a 内至少存在一点ξ,使得)(ξF ')(ξf '=0=-k ,即=')(ξf ab a f b f --)()( 证毕. 证明方法2.2（原函数法）这种方法是将结论变形并向罗尔定理的结论靠拢,凑出适当的原函数作为辅助函数.由拉格朗日中值定理的变形))(()()(a b f a f b f -'=-ξ得)(ξf '0)]()([)(=---a f b f a b , 令ξx =得 )(x f '0)]()([)(=---a f b f a b ,两边积分可得 0)]()([))((=+---c x a f b f a b x f ,取0=c 得 0)]()([))((=---x a f b f a b x f ,若令 ()=x F x a f b f a b x f )]()([))((---,容易验证)()(b F a F =)()(b af a bf -=,知()x F 满足罗尔中值定理的条件,所以()x F 就是所求的辅助函数,证明过程如下:令()x F =x a f b f a b x f )]()([))((---,x ∈],[b a ,因为函数在闭区间],[b a 内连续,在开区间),(b a 内可导,且)()(b F a F =,所以至少存在一点ξ∈),(b a ,使得)(ξF '0=,又=')(ξF )(ξf ')]()([)(a f b f a b ---,所以即)(ξf '=a b a f b f --)()(,证毕.证明方法2.3 (行列式法)由于想得到)()(b F a F =,故可根据行列式的性质]3[,设()x F =1)(1)(1)(x f xb f b a f a ，所以可以得到辅助函数并且满足0)()(==b F a F .证明如下:设()x F =1)(1)(1)(x f x b f ba f a x ∈],[b a ,则由行列式的性质可得0)()(==b F a F ,所以()x F 满足罗尔中值定理,因而至少存在一点ξ∈),(b a ,使得)(ξF '0=,又)(x F '=0)(11)(1)(x f b f ba f a '0)(11)(0)()(x fb f b b f a f b a '--=+-=)()(b f a f ))((a b x f -', 所以0))(()()()(=-'+-='a b f b f a f F ξξ,即)(ξf '=ab a f b f --)()(. 证明方法2.4 (弦倾角法) 目的是为了得到()=a F ()b F ,设连接连续曲线L :))(,{(x f x |}b x a ≤≤, 两端点A 和B 的弦为AB (图1),其倾倾斜角为θ,则 －2π<<θ2π， =θtan =θθcos sin a b a f b f --)()(, 也即有 ()θθθθcos cos )(sin cos a a f b b f -=-,所以令θθsin cos )()(x x f x F -=,如此所得到的辅助函数)(x F 就能满足要求,证明如下:图 1 设θθsin cos )()(x x f x F -=,其中曲线L :))(,{(x f x |}b x a ≤≤,如上图所示,且－2πθ<2π<,则可得()x F 满足罗尔中值定理的条件,故至少存在一点ξ∈),(b a ,使得0)(='ξF ,又=')(ξF )(ξf 'θθsin cos -,所以=')(ξf ab a f b f --)()(,证毕. 3. 利用几何法构造辅助函数利用数形结合的思想方法解决数学问题有着非常直观的效果,对于微分中值定理的证明,利用几何图形的特性观察分析,同样可以作出合适的辅助函数,下面用不同的方法来加以说明.证明方法3.1 (作差法）因为曲线L 与其弦AB 分别在a x =和b x =两点的高度对应相同（如图1），所以不妨考虑过曲线方程和弦方程的差来构造辅助函数,于是令)(x F =)(x f [-ab a f b f --)()()()(a f a x +-], 或 )(x F =)(x f [-a b a f b f --)()()()(b f b x +-], 则可得)()(b F a F =,因此所构函数)(x F 满足罗尔中值定理.证明方法如下:设)(x F -=)(x f [ab a f b f --)()()]()(a f a x +-,)(x F 在闭区间],[b a 上连续, )(x F 在开区间),(b a 内可导,且)()(b F a F =,所以)(x F 满足罗尔中值定理,则在),(b a 内至少存在一点ξ,使)(ξF '0=,即0)()()()(=---'='ab a f b f f F ξξ, 整理可得 =')(ξf a b a f b f --)()(.证明方法3.2 （面积法）如图1所示,曲线L 上任意一点))(,(x f x P 与弦AB 组成ABP ∆的面积)(x S 恰好在区间],[b a 上满足罗尔中值定理的三个条件,ABP ∆的面积=)(x S 211)(1)(1)(x f x b f b a f a , 而当点P 与点A 或B 重合时,即a x =或b x =时,0)(=x S ,因此加以化解可引入辅助函数=)(x F 1)(1)(1)(x f x b f b a f a ,],[b a x ∈,此时0)()(==b F a F .证明方法如下: 令=)(x F 1)(1)(1)(x f xb f b a f a ,],[b a x ∈,则由行列式性质容易验证0)()(==b F a F ，所以)(x F 满足罗尔中值定理的三个条件,所以在),(b a 内至少存在一点ξ,使得0)(='ξF ，又)(x F '=0)(11)(1)(x f b f ba f a'=0)(11)(0)()(x f b f b b f a f b a '--))(()()(a b x f b f a f -'+-=, 所以 0))(()()()(=-'+-='a b f b f a f F ξξ,即=')(ξf ab a f b f --)()(. 证明方法3.3 （旋转坐标轴法） 如下图2所示,按弦AB 的倾斜角旋转坐标系,可使新坐标系的X 轴与原坐标系中的弦AB 平行,则原曲线的方程在旋转变换下一定满足罗尔中值定理的条件,通过罗尔中值定理则可得出结论.证明如下:图 2根据新旧坐标之间的关系⎩⎨⎧+-=+=θθθθcos sin sin cos y x Y y x X , 可令θθcos )(sin )(x f x x Y +-=，则可以验证.证明过程如下:令θθcos )(sin )(x f x x Y +-=,因为函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续,在开区间),(b a 上可导,所以函数)(x Y 在闭区间],[b a 上连续,在开区间),(b a 上可导,又由θtan =a b a f b f --)()(,即θθcos sin =ab a f b f --)()(,可得θθθθcos )(sin cos )(sin b f b a f a +-=+-,即)(a Y =)(b Y ,从而由罗尔中值定理可得,在),(b a 内至少存在一点ξ,使得0)(='ξY ,即0cos )(sin )(='+-='θξθξf Y ,故)(ξf '=ab a f b f --)()(. 4. 利用闭区间套定理证明引理1（区间套定理）]4[如果闭区间系列]},{[n n b a 满足下列条件],[],[11n n n n b a b a ⊂++,0)(lim =-∞→n n n a b ， 则存在唯一实数],[n n b a ∈ξ ),2,1( =n ,且有 n n n n b a ∞→∞→==lim lim ξ. 引理2]5[ 如果)(x f 在],[b a 上连续,那么必定存在),(,b a d c ∈,使得2a b c d -=-,ab a f b fcd c f d f --=--)()()()(.使用引理1和引理2，即可证明拉格朗日中值定理，反复使用引理2则可得区间序列]},{[n n b a ,满足⊃⊃⊃],[],[],[2211b a b a b a ,=-n n a b )(21a b n- , ab a f b f a b a b f n n n n --=--)()()(, 由区间套定理得必有),(],[b a b a n n ⊂∈ξ ),2,1( =n ,使得 ξ==∞→∞→n n n n b a lim lim , 因为)(x f 在ξ处可导,所以由导数的定义得 )()()(lim )()(limξξξξξf a f a f b f b f n n n n n n '=--=--∞→∞→, 从而当∞→n 时，有)()()()()(ξοξξξ-+-⋅'=-n n n b b f f b f , )()()()()(ξοξξξ-+-⋅'=-n n n a a f f a f ,nn n n n n n n n n a b a a b b f a b a b f -----+'=--)()()()(ξοξοξ, 又因为 0))((lim )(lim =--⋅--=--∞→∞→nn n n n n n n n n a b b b b a b b ξξξοξο, 0))((lim )(lim =--⋅--=--∞→∞→n n n n n n n n n n a b a a a a b a ξξξοξο, 所以 )()()(limξf a b a f b f n n n n n '=--∞→， 从而有 )()()(ξf ab a f b f '=--． 5. 利用巴拿赫不动点定理证明引理3 （巴拿赫不动点定理）]6[在完备的度量空间中的压缩映射必存在唯一的不动点.显然,任意闭区间在通常的欧几里得度量下是完备的,由此可证在],[b a 上凸或凹的函数)(x f 的拉格朗日中值定理.对任意小的0>ε,在闭区间],[εε-+b a 上构造自映射+'-=)(x f x Ax ab a f b f --)()( . 可以证明A 是一个压缩映射]7[,事实上,对于],[,21εε-+∈b a x x ,不妨设21x x <,则有)]()([)(121212x f x f x x Ax Ax '-'--=-,假设)(x f 在区间],[b a 上是凹的,那么)(x f '在区间],[εε-+b a 内单调增加,所以-')(2x f 0)(1>'x f ,从而一定存在一个数λ∈)1,0(,使得<-<)(012x x λ)()(12x f x f '-', 因此)1(1212λ--≤-x x Ax Ax ,所以A 是闭区间],[εε-+b a 上的压缩映射,由引理3得,存在唯一的一点),(b a ∈ξ,使得ξξ=A ,于是)()()(ξf ab a f b f '=--, 故定理得证.6．拉格朗日中值定理的应用拉格朗日中值定理作为中值定理的核心,有着广泛的应用,在很多题型中都起到了化繁为简的作用.6.1 求极限由拉格朗日中值定理指出,如果f 在],[b a 连续,在),(b a 可导,则有b a a b f a f b f <<-'=-ξξ))(()()(,因此对),(b a x ∈∀,有x a a x f a f x f <<-'=-ξξ))(()()(, (1)公式(1)表明,求某些差式的极限,可转化为求积式型的极限,以化简极限的计算或解决某些运算,用别的方法求不出极限式子.当然也要具体情况具体分析，并不是所有差式型的极限都能适合于运用中值定理,应以简便为原则选用.问题6.1.1 求 )(lim 12+∞→-n n n x x n )0(>x . 解 令t x t f =)(,则对任何自然数n ,)(t f 在]1,11[nn +上满足拉格朗日中 值定理的条件,而且x x t f t ln )(='是t 上的严格单调函数，因而在]1,11[n n +上由拉格朗日中值定理,得 x x n n n n n f n n f n f n x x n n n ln )1()111)(()]11()1([)(22212ξξ+=+-'=+-=-+， 11+n <<ξn1，当+∞→n 时,0→ξ, 故原极限=x x x n n n n ln ln )1(lim 2=+∞→ξ. 6.2 证明不等式证明不等式的方法有很多,但对于某些不等式,用初等解法不一定能解得出来，例如描述函数的增量与自变量增量关系的不等式或者中间一项可以表示成函数增量形式等的题型.这时如果考虑用拉格朗日中值定理,会比变较容易简单.问题6.2.1 证明y x y x -≤-sin sin .证明 设x x f sin )(=,显然)(x f 在],[y x 上满足拉格朗日中值定理条件,所以存在),(y x ∈ξ,使得))(()()(y x f y f x f -'=-ξ,即ξcos )(sin sin y x y x -=-, 又因为1cos ≤ξ,因此有y x y x -≤-sin sin .6.3 证明等式用拉格朗日中值定理证明等式也是其应用中很重要的一项.证明的目标在于凑出形式类似于拉格朗日中值定理的式子.问题6.3.1 证明当1≤x 时,有2arccos arcsin π=+x x .证明 设()x x x f arccos arcsin +=,[]1,1-∈x ,显然]1,1[)(-∈C x f ,并且)(x f 在)1,1(-上可微,01111)arccos (arcsin )(22=---='+='x x x x x f ,由拉格朗日中值定理的推论可得常数=)(x f ,[]1,1-∈x ,又因为)1,1(0-∈,且 ()20arccos 0arcsin 0π=+=f ,故2arccos arcsin π=+x x ,[]1,1-∈x .6.4 证明函数性态因为拉格朗日中值定理沟通了函数与其导数的联系，很多时候我们可以借助它的导数,研究导数的性质从而了解函数在整个定义域区间上的整体认识.例如研究函数在区间上的符号、单调性、一致连续性、凸性等,都可能用到拉格朗日中值定理的结论.通过对函数局部性质的研究把握整体性质,是数学研究中的一种重要方法.问题6.4.1 设),()(+∞∈a C x f ,)(x f '在),(+∞a 存在,并且0)(=a f ,当a x >时,0)(>'x f ,求证当a x >时,0)(>x f .证明 a x >∀1,由已知得)(x f 在],[1x a 上满足拉格朗日中值定理,],[1x a ∈∃ξ,使()a x f a f x f -'=-11)()()(ξ,因为0)(>'ξf ,01>-a x ,所以0))(()(11>-'=a x f x f ξ,所以a x >∀1,有0)(1>'x f ,即),(+∞∈∀a x ,有0)(>x f .6.5 估值问题证明估值问题,一般情况下选用泰勒公式证明比较简便.特别是二阶及二阶以上的导函数估值时.但对于某些积分的估值,可以采用拉格朗日中值定理来证明.问题6.5.1 设)(x f ''在],[b a 上连续,且0)()(==b f a f ,试证明⎰''ab dx x f )()(max 4x f a b bx a ≤≤-≥. 证明若0)(≡x f ,不等式显然成立.若)(x f 不恒等于0,存在),(b a c ∈,使 )()(max c f x f bx a =≤≤,在],[c a 及],[b c 上分别用拉格朗中值定理,得=')(1ξf a c c f -)(,=')(2ξf bc c f -)(， 从而⎰''ab dx x f )())((1))(()()()()(121212a c c b a b c f f f dx x f dx x f ---='-'=''≥''≥⎰⎰ξξξξξξ 再由4)())((2a b c b a c -≤--,即可得证. 6.6 证明级数收敛问题6.6.1 若一正项级数)0(1>∑∞=n n n a a 发散，n n a a a s +++= 21,证明级数∑∞=+11n n n s a δ (0>δ) 收敛. 证明 作辅助函数δx x f 1)(=,则δδ+-='1)(xx f ,当2≥n 时,在],[1n n s s -上用拉格朗日中值定理,可得 )()()(11n n n n n f s s s f s f ξ'=---- (n n n s s <<-ξ1), 于是)11(1111δδδδδξn n nn n n s s a s a -=<-++， 由)11(112δδδn n n s s --∞=∑收敛]8[,可得所证. 7. 结语本文初步探讨了拉格朗日中值定理定理的几种特殊证法，其中给出了分析法构造辅助函数、几何法构造辅助函数、区间套定理法和巴拿赫不动点定理法.几何法是利用图形的特征进行分析,从而构造出需要的辅助函数,与分析法有异曲同工之妙;区间套定理法和巴拿赫不动点定理法,它们不需要构造辅助函数,也可以证明,虽说是一种很好的证法,但是比较抽象难懂.最后对拉格朗日中值定理在求极限、证明不等式、证明等式、证明函数性态、估值问题、证明级数敛散性六方面的应用做了简单的介绍,从而使我们加深对拉格朗日中值定理的认识.参考文献[1] 华东师范大学数学系.数学分析(上册)[M].第三版.北京:高等教育出版社,2001.[2] 同济大学应用数学系主编.高等数学(上册)[M].第五版.北京:高等教育出版社,2002.[3] 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组编.高等代数[M].第三版.北京:高等教育出版社,2003.9.[4] 许在库.用区间套定理证明Rolle定理Lagrange定理[J].安徽大学学报,2003.27(2): 18－21．[5] 张恭庆,林源渠.泛函分析讲义:上册[M].北京:北京大学出版社,2003.5.[6] 周建伟.微分几何[M].北京:高等教育出版社,2008.4.[7] 程其襄等编.实变函数与泛函分析基础[M].第三版.北京:高等教育出版社,2010.6.[8] 华东师范大学数学系.数学分析(下册)[M].第三版.北京:高等教育出版社,2001.[9] 陈文灯,黄先开.数学题型集粹与练习题集[M].世界图书出版公司,2001.3.[10] 钱昌本.高等数学解题过程的分析和研究[M].科学出版社,2000.[11] 周焕芹.浅谈中值定理在解题中的应用[J].高等数学研究,1999,2(3).致谢在这收获的季节里，当我捧着这大学里最后的一次作业，回首想来，百感交集，一次次的欢笑与泪水，一次次的跌倒与爬起，要感谢的人实在太多太多。
