四川省泸州市泸县第二中学2019-2020学年高二上学期期末模拟考试数学(理)试卷

2019年秋四川省泸县第二中学高三期末考试理科数学试题第I 卷(选择题 共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.） 1.已知集合2{|1}A x x =<，集合2{|log 0}B x x =<，则A B =（ ）A. (0,1)B. (1,0)-C. (1,1)-D. (,1)-∞【答案】A 【解析】 【分析】先解不等式得集合A 与B ，再根据交集定义得结果.【详解】根据题意：集合{|11}A x x =-<<，集合{|01}B x x =<<，(0,1)A B ∴=故选A ．【点睛】本题考查一元二次不等式与对数不等式解法以及交集的定义，考查基本分析求解能力，属基础题.2.“()2log 231x -<”是“32x >”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】log 2（2x ﹣3）＜1，化为0＜2x ﹣3＜2，解得3522x <<． ∴“log 2（2x ﹣3）＜1”是“32x >”的充分不必要条件． 3.小张刚参加工作时月工资为5000元，各种用途占比统计如下面的条形图.后来他加强了体育锻炼，目前月工资的各种用途占比统计如下面的拆线图.已知目前的月就医费比刚参加工作时少200元，则目前小张的月工资为（ ）A. 5500B. 6000C. 6500D. 7000【答案】A 【解析】 【分析】根据条形图求得刚参加工作的月就医费，从而求得目前的月就医费；利用折线图可知目前月就医费占收入的10%，从而可求得月工资.【详解】由条形图可知，刚参加工作的月就医费为：500015%750⨯=元 则目前的月就医费为：750200550-=元∴目前的月工资为：55010%5500÷=元本题正确选项：A【点睛】本题考查利用统计图表求解数据的问题，属于基础题. 4.ABC ∆中所在的平面上的点D 满足2BD DC =，则AD =（ ） A. 3144AD AB AC =+ B. 1344AD AB AC =+ C. 2133AD AB AC =+ D. 1233AD AB AC =+ 【答案】D 【解析】 【分析】已知2BD DC =，由向量的减法可得()2AD AB AC AD -=-，再化简运算即可. 【详解】解：因为2BD DC =， 所以()2AD AB AC AD -=-， 所以1233AD AB AC =+， 故选D ．【点睛】本题考查了向量的减法，重点考查了向量的线性运算，属基础题. 5.函数()2+ln f x x x =的图像大致为（ ）A. B. C. D.【答案】A 【解析】 【分析】先判断函数为偶函数排除BC ；再根据当0x →时，()f x →-∞ ，排除D 得到答案. 【详解】()()()222ln ln ln ()f x x x x f x x x x f x =+-=-+=+=-∴，偶函数，排除BC ； 当0x →时，()f x →-∞ ，排除D 故选A【点睛】本题考查了函数图像的识别，通过函数的奇偶性和特殊函数点可以排除选项快速得到答案.6.已知平面向量a 、b ，满足||||1a b ==，若()20a b b -⋅=，则向量a 、b 的夹角为（ ） A. 30 B. 45︒C. 60︒D. 120︒【答案】C 【解析】 【分析】根据()20a b b -⋅=，以及||||1a b ==和cos ,a b a b a b ⋅=<>，即可求解出,a b <>的值. 【详解】因为()20a b b -⋅=，所以22a b b ⋅=，所以22cos ,a b a b b <>=，所以2cos ,1a b <>=， 所以1cos ,2a b <>=，所以,60a b <>=︒. 故选：C.【点睛】本题考查根据向量的模长以及垂直关系求解向量夹角，难度较易.已知向量的模长求解向量的夹角时，可通过数量积计算公式cos ,a b a b a b ⋅=<>进行化简求解. 7.已知角α的终边经过点(P -，则sin 2α=A.2B. C. 12-D. 4-【答案】B 【解析】 【分析】先求出点P 到原点的距离，再用三角函数的定义依次算出正、余弦值，利用二倍角公式计算结果即可．【详解】角α的终边经过点p （﹣1，其到原点的距离r ==2故cos 12α=-，sin α=∴sin22α=sin α cos 122α=⨯-=（）. 故选B ．【点睛】本题考查了任意角三角函数的定义，考查了二倍角公式，属于基础题．8.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，点(4，1)在双曲线上，则该双曲线的方程为A. 2214x y -=B. 221205x y -=C. 221123y x -=D.2218x y -= 【答案】C【解析】 【分析】根据离心率可得一个方程，结合双曲线过点(4，1)得另一个方程，联立可得.，所以c a =①；因为点(4，1)在双曲线上，所以221611a b-=②；因为222c a b =+③；联立①②③可得2212,3a b ==，故选C.【点睛】本题主要考查双曲线方程的求解，根据已知条件建立方程组是求解的关键，注意隐含关系的挖掘使用.9.数列{}n a 中，已知12,a =且121n n a a n +=++，则10a = A. 19 B. 21C. 99D. 101【答案】D 【解析】 【分析】利用累加法及等差数列的求和公式可求10a .【详解】因为121n n a a n +=++，所以213a a =+，325a a =+，437a a =+10919a a =+.上面各式相加可得1013193519291012a a +=++++=+⨯=，故选D. 【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，利用累加法求解数列通项公式时注意数列项数的变化.10.将函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像向右平移6π个单位长度，再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ）A. 函数()g x 1B. 函数()g x 的最小正周期为πC. 函数()g x 的图象关于直线3x π=对称D. 函数()g x 在区间2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 【答案】D 【解析】 【分析】根据平移变换和伸缩变换的原则可求得()g x 的解析式，依次判断()g x 的最值、最小正周期、对称轴和单调性，可求得正确结果. 【详解】函数()f x 向右平移6π个单位长度得：2sin 22sin 2666x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 横坐标伸长到原来的2倍得：()2sin 6g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭()g x 最大值为2，可知A 错误； ()g x 最小正周期为2π，可知B 错误；3x π=时，66x ππ-=，则3x π=不是()g x 的对称轴，可知C 错误；当2,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，0,62x ππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，此时()g x 单调递增，可知D 正确.本题正确选项：D【点睛】本题考查三角函数平移变换和伸缩变换、正弦型函数单调性、对称性、值域和最小正周期的求解问题，关键是能够明确图象变换的基本原则，同时采用整体对应的方式来判断正弦型函数的性质.11.已知函数()f x 和(2)f x +都是定义在R 上的偶函数，当[0,2]x ∈时，()2x f x =，则20192f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A. 2B.C.2【答案】B 【解析】 【分析】由()f x 和(2)f x +都是定义在R 上的偶函数，可推导出周期为4，而20192f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭20192f ⎛⎫= ⎪⎝⎭(4252 1.5)(1.5)f f ⨯+=，即可计算.【详解】因为(2)f x +都是定义在R 上的偶函数，所以(2)(2)f x f x -+=+，即()(4)f x f x =-，又()f x 为偶函数，所以()()(4)f x f x f x =-=+，所以函数周期4T=，所以20192f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭20192f ⎛⎫= ⎪⎝⎭(4252 1.5)(1.5)22f f ⨯+==，故选B.【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性，周期性，利用周期求函数值，属于中档题.12.已知椭圆C ：22221x y a b+=，()0a b >>的左、右焦点分别为1F ，2F ，M 为椭圆上异于长轴端点的一点，12MF F ∆的内心为I ，直线MI 交x 轴于点E ，若2MI IE=，则椭圆C 的离心率是（ ） A.22B.12C.3 D.13【答案】B 【解析】 【分析】连接1IF 和2IF ，分别运用角平分线定理和比例的性质、椭圆的定义和离心率公式，计算可得所求值．【详解】解：12MF F ∆的内心为I ，连接1IF 和2IF ， 可得1IF 为12MF F ∠的平分线，即有11MF MI F EIE=，22MF MI F EIE=，可得12122MF MF MI F EF EIE===，即有1212222MF MF aF E EF c===，即有12e=，故选B．【点睛】本题考查椭圆的定义和性质，主要是离心率的求法，考查角平分线定理的运用，以及运算能力，属于基础题．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13.若x，y满足约束条件02636x yx y≤+≤⎧⎨≤-≤⎩，则2z x y=-的最大值为______．【答案】10【解析】【分析】作出不等式组02636x yx y≤+≤⎧⎨≤-≤⎩表示的平面区域，利用线性规划知识求解．【详解】作出不等式组02636x yx y≤+≤⎧⎨≤-≤⎩表示的平面区域如下：作出直线:l20x y-=，当直线l往下平移时，2z x y=-变大，当直线l经过点()2,4A-时，()max22410z=-⨯-=【点睛】本题主要考查了利用线性规划求目标函数的最值知识，考查作图及计算能力，属于基础题．14.在()52x+的展开式中，3x的系数为．（用数字作答）【答案】40【解析】利用通项公式，5152r r r r T C x -+=⋅，令3r =，得出3x 的系数为325240C ⋅=考点：本题考点为二项式定理，利用通项公式，求指定项的系数.15. “圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何．”用现在的数学语言表述是：“如图所示，一圆柱形埋在墙壁中，1AB =尺，D 为AB 的中点，AB CD ⊥，1CD =寸，则圆柱底面的直径长是_________寸”．（注：l 尺=10寸）【答案】26 【解析】 【分析】由勾股定理222OA OD AD =+，代入数据即可求得． 【详解】解：∵AB CD ⊥，AD BD =， ∵ 10AB =寸， ∴ 5AD =寸，在Rt AOD ∆中，∵222OA OD AD =+， ∴ ()22215OA OA =-+， ∴ 13OA =寸，∴ 圆柱底面的直径长是226AO =寸．故答案为26．【点睛】考查了学生对勾股定理的熟练应用，考查了数形结合思想，属于基础题．16.已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，直线l 与C 交于A ，B 两点，AF BF ⊥，线段AB 的中点为M ，过点M 作抛物线C 的准线的垂线，垂足为N ，则ABMN的最小值为____． 【答案】2 【解析】 【分析】由题意结合抛物线的定义和均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果. 【详解】如图所示，设抛物线的准线为l ，作AQ l ⊥于点Q ，BP l ⊥于点P ，由抛物线的定义可设：,AF AQ a BF BP b ====， 由勾股定理可知：2222AB AF BF a b =+=+，由梯形中位线的性质可得：2a bMN +=， 则：()22212222a b AB a b a b MN++=≥=+当且仅当a b =时等号成立.即AB MN2. 【点睛】本题主要考查抛物线的定义及其应用，均值不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17 ~ 21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）17.随着科技的发展，网络已逐渐融入了人们的生活．网购是非常方便的购物方式，为了了解网购在我市的普及情况，某调查机构进行了有关网购的调查问卷，并从参与调查的市民中随机抽取了男女各100人进行分析，从而得到表（单位：人）（1）完成上表，并根据以上数据判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为我市市民网购与性别有关？（2）①现从所抽取的女市民中利用分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机选取3人赠送优惠券，求选取的3人中至少有2人经常网购的概率；②将频率视为概率，从我市所有参与调查的市民中随机抽取10人赠送礼品，记其中经常网购的人数为X，求随机变量X的数学期望和方差．参考公式：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）①4960；②数学期望为6，方差为2.4.【解析】【分析】（1）完成列联表，由列联表，得2258.333 6.6353K =≈>，由此能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为我市市民网购与性别有关．（2）① 由题意所抽取的10名女市民中，经常网购的有70107100⨯=人，偶尔或不用网购的有30103100⨯=人，由此能选取的3人中至少有2人经常网购的概率． ② 由22⨯列联表可知，抽到经常网购的市民的频率为：1200.6200=，由题意100.6X B （，），由此能求出随机变量X 的数学期望()E X 和方差()D X ． 【详解】解：（1）完成列联表（单位：人）：由列联表，得： ()2220050305070258.333 6.635120801001003K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯， ∴能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为我市市民网购与性别有关． （2）①由题意所抽取的10名女市民中，经常网购的有70107100⨯=人， 偶尔或不用网购的有30103100⨯=人， ∴选取的3人中至少有2人经常网购的概率为：2137373104960c c c P c +==． ② 由22⨯列联表可知，抽到经常网购的市民的频率为：1200.6200=， 将频率视为概率，∴从我市市民中任意抽取一人，恰好抽到经常网购市民的概率为0.6，由题意()100.6XB ，，∴随机变量X 的数学期望()100.66E X =⨯=， 方差D （X ）=()100.60.4 2.4D X =⨯⨯=．【点睛】本题考查独立检验的应用，考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的求法，考查古典概型、二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18.如图，E 是以AB 为直径的半圆O 上异于,A B 的点，矩形ABCD 所在的平面垂直于半圆O 所在的平面，且2AB =，3AD =（1）求证：平面EAD ⊥平面EBC ； （2）若EB 的长度为3π，求二面角A DE C --的正弦值． 【答案】（1）见解析；（2）21313【解析】 【分析】（1）推导出BC ⊥平面EAB ，BC EA ⊥，BE EA ⊥，从而EA ⊥平面EBC ，由此能够证得结论；（2）连结OE ，以点O 为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A DE C --的正弦值． 【详解】（1）证明：平面ABCD ⊥平面EAB ，两平面交线为AB ，BC ⊂平面ABCD ，BC AB ⊥ BC ∴⊥平面EABEA ⊂平面EAB BC EA ∴⊥AEB ∠是直角 BE EA ∴⊥ EA ∴⊥平面EBC EA ⊂平面EAD ∴平面EAD ⊥平面EBC（2）如图，连结OE ，以点O 为坐标原点，在平面ABE 中，过O 作AB 的垂线为x 轴，AB所在的直线为y 轴，在平面ABCD 中，过O 作AB 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系EB 的长度为3π3BOE π∴∠= 则：()0,0,0O ，31,,022E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，()0,1,3D -，()0,1,3C ，()0,1,0B()0,2,0DC ∴=，31,,322CE ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，31,022BE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭设平面DCE 的一个法向量为(),,m x y z =则：20313022m DC y m CE x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=--=⎪⎩，令2x =，解得：0y =，3z 32,0,3m ⎛⎫∴= ⎪ ⎪⎝⎭平面EAD 的一个法向量：31,,022n BE ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭3313cos ,13m n m n m n ⋅∴<>===⋅213sin ,m n ∴<>=∴二面角A DE C --213【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.设数列{}n a 满足12323...2(n N*)n na a a na ⋅⋅⋅⋅=∈．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列122n n a +⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．【答案】（1）2n a n =；（2）()()111222n n n n ++-⋅++. 【解析】 【分析】 （1）在()12323...2n N*n n a a a na ⋅⋅⋅⋅=∈中，将1n -代n得：()()1123123...12n 2n n a a a n a --⋅⋅⋅⋅-=≥，由两式作商得：2n a n=，问题得解． （2）利用（1）中结果求得b n n 2n a=+⋅，分组求和，再利用等差数列前n 项和公式及乘公比错位相减法分别求和即可得解． 【详解】（1）由n ＝1得1a =2， 因为()12323 (2)n N*nn a a a na ⋅⋅⋅⋅=∈，当n≥2时，()()1123123...12n 2n n a a a n a --⋅⋅⋅⋅-=≥，由两式作商得：2n a n=（n ＞1且n∈N *）， 又因为1a =2符合上式， 所以2n a n=（n∈N *）． （2）设122n n nb a ++=，则b n ＝n ＋n·2n ，所以S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝（1＋2＋…＋n ）＋23122232(1)22n n n n -⎡⎤+⋅+⋅++-+⋅⎣⎦设T n ＝2＋2·22＋3·23＋…+（n －1）·2n －1＋n·2n，①所以2T n ＝22＋2·23＋…（n －2）·2n －1＋（n －1）·2n ＋n·2n ＋1，② ①－②得：－T n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n·2n ＋1， 所以T n ＝（n －1）·2n ＋1＋2． 所以()12n n n n S T +=+，即()()111222n n n n S n ++=-⋅++． 【点睛】本题主要考查了赋值法及方程思想，还考查了分组求和法及乘公比错位相减法求和，考查计算能力及转化能力，属于中档题．20.已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，椭圆的离心率为12，过椭圆1C 的左焦点1F ，且斜率为1的直线l ，与以右焦点2F 为圆心，的圆2C 相切. （1）求椭圆1C 的标准方程；（2）线段MN 是椭圆1C 过右焦点2F 的弦，且22MF F N λ=，求1MF N ∆的面积的最大值以及取最大值时实数λ的值.【答案】（1）22143x y +=；（2）3，1. 【解析】 【分析】（1）由圆与直线相切可得圆心到直线的距离等于半径，求出1c =，根据椭圆离心率12c e a ==，求出a ，进而求出b ，得到椭圆得方程． （2）分类讨论思想，设出直线方程，联立椭圆方程，运用韦达定理，结合二次函数得最值，确定当直线MN 与x 轴垂直时1MF N ∆的面积最大． 【详解】（1）设1(,0)F c -，2(,0)(0)F c c >， 则直线l 的方程为：y x c =+，即0x y c -+=.∵直线l 与圆2C 相切，∴圆心2F 到直线l 的距离为d ==1c =. ∵椭圆1C 的离心率为12，即112a =，所以2a =，所以222413b ac =-=-=， ∴椭圆1C 的方程为22143x y +=.（2）由（1）得1(1,0)F -，2(1,0)F ，由题意得直线MN 的斜率不为0，故设直线MN 的方程为：1()x ty t =+∈R ，代入椭圆方程22143x y +=化简可得()2243690t y ty ++-=，()223636430t t ∆=++>恒成立，设()11,M x y ，()22,N x y ，则1y ，2y 是上述方程的两个不等根， ∴122643t y y t -+=+，122943y y t-=+. ∴1MF N 的面积1121212MF N S F F y y ∆=⋅⋅-=1212122y y y y ⨯⨯-=-===m =，则m 1≥，221t m =-，则223431t m +=+，121231MF NmSm =⨯+. 令2()(1)31m f m m m =≥+，则()22213()031m f m m '-=<+恒成立， 则函数()f m 在[1,)+∞上为减函数，故()f m 的最大值为1(1)4f =， 所以1MF N 的面积的最大值为11234⨯=，当且仅当1m =，即0t =时取最大值， 此时直线MN 的方程为1x =，即直线MN 垂直于x 轴，此时22MF F N =，即1λ=. 【点睛】本题考查了椭圆的标准方程、直线与圆的位置关系，考查分类讨论的思想．圆与直线的位置关系有三种，可用代数法和几何法进行判断． 21.已知函数2()(0)4x x a f x e a x ++=⋅≥+. （1）讨论函数()f x 单调性；（2）当[0,1)b ∈时，设函数22(3)()(2)(2)x e b x g x x x +-+=>-+有最小值()h b ，求()h b 的值域. 【答案】(1)见解析；(2) 21(),24e h b ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦【解析】 【分析】（1）先求出()'f x ，分04a ≤≤和4a >两种情形，利用导数的符号判断函数的单调性即可.（2）求出'()g x 并将其化简为23(4)4'()(2)x x x e b x g x x +⎛⎫+⋅+ ⎪+⎝⎭=+，构建新函数2()(2)4x x k x e b x x +=+>-+，利用（1）的单调性及零点存在定理可得()k x 有唯一的0x ，它就是函数()g x 最小值点，利用导数可求该最小值的值域. 【详解】解：（1）()f x 定义域为(,4)(4,)-∞--+∞，224'()(4)4x a x a f x e x x +⎛⎫-+=+ ⎪++⎝⎭222(4)34(4)x x a x a ex +++++=⋅+. 令2(4)340x a x a ++++=，①22(4)4(34)4a a a a ∆=+-+=-，1︒当04a ≤≤时，0∆≤，2(4)340x a x a ++++≥，即'()0f x ≥且不恒为零，故()f x 单调递增区间为(,4)-∞-，(4,)-+∞，2︒当4a >时，>0∆，方程①两根为142a x ---=，242a x --=，由于14(4)02a x ---=<，24(4)02a x -+--=>.故124x x <-<，因此当1(,)x x ∈-∞时，'()0f x >，()f x 单调递增，1(,4)x x ∈-，'()0f x <，()f x 单调递减， 2(4,)x x ∈-，'()0f x <，()f x 单调递减，2(,)x x ∈+∞，'()0f x >，()f x 单调递增，综上，当04a ≤≤时，()f x 在(,4)-∞-单调递增，(4,)-+∞单调递增，当4a >时，()f x 在4(,)2a ----∞单调递增，4)-，(-单调递减；在)+∞单调递增.（2）23(4)'()(2)x xe b x g x x +++=+23(4)4(2)x x x e b x x +⎛⎫+⋅+⎪+⎝⎭=+，设2()(2)4x x k x e b x x +=+>-+， 由（1）知，0a =时，2()4x x f x e x +=+在(2,)-+∞单调递增， 由于(0)0k b =≥，(2)10k b -=-+<， 故在(2,0]-存在唯一0x ，使0()0k x =，02004x x b e x +-=+， 又当0(2,)x x ∈-，()0k x <，即)'(0g x <，()g x 单调递减，0(,)x x ∈+∞，()0k x >，即'()0g x >，()g x 单调递增，故(2,)x ∈-+∞时，()()0200203()2x e bx bh b g x x +--==+()()002200020342x x x e e x x x +++++=+0204x e x +=+，0(2,0]x ∈-. 又设2()4x e m x x +=+，(2,0]x ∈-，22222(4)(3)'()0(4)(4)x x x e x e e x m x x x ++++-+==>++，故()m x 单调递增，故()((2),(0)]m x m m ∈-，即21(),24e m x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，即21(),24e h b ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.【点睛】（1）一般地，若()f x 在区间(),a b 上可导，且()()()'0'0f x f x ><，则()f x 在(),a b 上为单调增（减）函数；反之，若()f x 在区间(),a b 上可导且为单调增（减）函数，则()()()'0'0f x f x ≥≤．（2）求函数的最值，应结合函数的定义域去讨论函数的单调性，有的函数的单调性可以利用基本初等函数的单调性、复合函数的单调性判断法则得到，有的函数的单调性需结合导数的符号进行判断，有时导数的零点不易求，则需要虚设零点，利用零点满足的方程化简函数的极值（或最值）．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos 2sin x t y t αα⎧=+⎪⎨⎪=⎩（t 为参数，0απ<<）．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22cos sin θρθ=． （1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，若8AB =，求α值．【答案】（1）22=y x ；（2）6πα=或56π 【解析】 【分析】（1）根据极坐标与直角坐标互化原则即可求得结果；（2）将直线参数方程代入曲线直角坐标方程，可求得12t t +和12t t ，根据直线参数方程参数的几何意义可知12AB t t =-=.【详解】（1）由22cos sin θρθ=，得2sin 2cos ρθθ= 22sin 2cos ρθρθ∴=，即22y x =（2）将直线l 的参数方程代入曲线C 的方程得：22sin 2cos 10t t αα--=()222cos 4sin 40αα∆=-+=>设12,t t 是方程的根，则：1222cos sin t t αα+=，1221sin t t α=- ∴12228sin AB t t α=-==== 21sin 4α∴=，又0απ<< 1sin 2α∴= 6πα∴=或56π 【点睛】本题考查了简单曲线的极坐标方程、直线参数方程的几何意义的应用，关键是能够根据几何意义将已知弦长表示为韦达定理的形式，构造出关于α的方程，属中档题． 选修4-5：不等式选讲23.已知函数()|21||3|f x x x =-++，()|1|||g x a a x =--.（1）求函数()f x 的值域M ；（2）若函数()g x 的值域为N ，且M N ≠∅，求实数a 的取值范围.【答案】（1）7,2M ⎡⎫=+∞⎪⎢⎣⎭；（2）9(,0),2⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭. 【解析】【分析】（1）先化简得到分段函数f(x)，再求出分段函数的值域得解；（2）对a 分类讨论，根据M N ≠∅得到实数a 的取值范围.【详解】（1）函数()f x 可化简为32,31()4,32132,2x x f x x x x x ⎧⎪--≤-⎪⎪=-+-<≤⎨⎪⎪+>⎪⎩可得当3x ≤-时，()327f x x =--≥. 当132x ≤时，7()4,72f x x ⎡⎫=-+∈⎪⎢⎣⎭. 当12x >时，7()322f x x =+>. 故()f x 的值域7,2M ⎡⎫=+∞⎪⎢⎣⎭. （2）当0a =时，()1g x =，{1}N =，M N ⋂=∅，所以0a =不符合题意. 当0a >时，因为0x ≥，所以函数()g x 的值域(,|1|]N a =-∞-，若M N ⋂=∅，则7|1|2a -≥，解得52a ≤-或92a ≥，从而92a ≥符合题意. 当0a <时，因为0x ≥，所以函数()g x 的值域[|1|,)N a =-+∞，此时一定满足M N ⋂=∅，从而0a <符合题意.综上，实数a 的取值范围为9(,0),2⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭.【点睛】本题主要考查绝对值函数的值域的求法，考查集合之间的关系和参数范围的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。

数学试题 理第I 卷(选择题 共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.）1.设命题 ： ，，则 ¬ p 为A. ， 0120≤+x B. ， 0120>+xC.， 0120<+xD.， 0120≤+x2.直线 经过原点和 ，则它的倾斜角是A .135°B .45°C.45° 或 135°D.−45°3.已知某单位有职工120人，其中男职工90人，现采用分层抽样的方法(按男、女分层)抽取一个样本，若已知样本中有27名男职工，则样本容量为 A.30B.36C.40D.无法确定4.某城市收集并整理了该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位； ）的数据，绘制了下面的折线图。

已知该市的各月最低气温与最高气温具有较好的线性关系，则根据该折线图，下列结论错误的是A.最低气温与最高气温为正相关B.10月的最高气温不低于5月的最高气温C.月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月D.最低气温低于的月份有4个5.在一段时间内有2000辆车通过高速公路上的某处，现随机抽取其中的200辆进行车速统计，统计结果如右面的频率分布直方图所示．若该处高速公路规定正常行驶速度为90km/h ～120 km/h ，试估计2000辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有A.30辆B.1700辆C.170辆D.300辆6.已知椭圆的焦点在 轴上,且离心率 53=e ,则=m A.9B.5C.25D.-97. 执行如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的 的值为A. B. C. D.8.已知，则“”是“”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9.两圆 与的位置关系是A.内含B.相交C.相切D.相离10.已知点 )2,0(A ，抛物线的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，若55MNFM ，则 P 的值等于 A. B.2 C.4 D.811.若直线 与曲线有两个交点，则实数 的取值范围是 A.B.C. D.12.设点 是双曲线 与圆在第一象限的交点， 是双曲线的两个焦点，且 ，则双曲线的离心率为A.13B.213C.13D.213 第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13.已知命题“若，则” ，其逆命题为 ．14.如图，茎叶图记录了甲、乙两组各3名同学在期末考试中的数学成绩，则方差较小的那组同学成绩的方差为_______．15.直线 垂直于 ，且平分圆 ：，则直线 的方程为 .16.抛物线的焦点为为抛物线上一点，若的外接圆与抛物线的准线相切( 为坐标原点)，且外接圆的面积为，则．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10分)已知（Ⅰ）当时，判断 是 的什么条件；（Ⅱ）若“非 ”是“非 ”的充分不必要条件，求实数 的取值范围；18.（12分）泸州车天地关于某品牌汽车的使用年限x （年）和所支出的维修费用y （千元）由如表的统计资料：（Ⅰ）画出散点图并判断使用年限与所支出的维修费用是否线性相关；如果线性相关，求回归直线方程；（Ⅱ）若使用超过8年，维修费用超过1.5万元时，车主将处理掉该车，估计第10年年底时，车主是否会处理掉该车？（()()()1122211ˆnni i i i i i nn i i i i x x y y x y nxy bx x x nx====---==--∑∑∑∑）19.（12分）已知圆 的圆心在直线 上，且圆 经过点.（Ⅰ）求圆的标准方程； （Ⅱ）直线 过点 且与圆 相交，所得弦长为4，求直线 的方程.20.（12分） 设 为抛物线 的焦点，是抛物线 上的两个动点， 为坐标原点.（Ⅰ）若直线 经过焦点 ，且斜率为2，求 ；（Ⅱ）当 时，求的最小值.21.（12分） 在四棱锥中， 平面 ，，底面 是梯形，，，．（Ⅰ）求证：平面 平面 ；（Ⅱ）设 为棱 上一点，，试确定 的值使得二面角为 ．。

2020年春四川省泸县第一中学高二期末模拟考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题★答案★后，用铅笔把答题卡对应题目的★答案★标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它★答案★标号.回答非选择题时，将★答案★写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第I 卷一、选择题：在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设i 是虚数单位，则复数31(1)z i=+在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【★答案★】C 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z 的坐标，由复数的几何意义即得★答案★．【详解】21111ii i i -+=+=--，∴33231(1)(1)13322z i i i i i i=+=-=-+-=--，∴复数31(1)z i=+在复平面内对应的点的坐标为(2,2)--，位于第三象限．故选C ．【点睛】本题主要考查复数代数形式的乘除运算法则，复数的几何意义应用．2.已知命题P ：∃0x R ∈，20010x x -+≥；命题Q ：若a ＜b ，则1a ＞1b，则下列为真命题的是（ ） A. P Q ∧B. P Q ⌝∧C. P Q ⌝∧D. P Q ⌝⌝∧【★答案★】B 【解析】【分析】判断命题P 为真命题，命题Q 为假命题，再依次判断每个选项得到★答案★.【详解】取00x =，则200110x x -+=≥，故命题P 为真命题；取2a =-，1b =，满足a b <，但是11a b<，故命题Q 为假命题. 故P Q ∧为假命题，P Q ⌝∧为真命题，P Q ⌝∧为假命题，P Q ⌝⌝∧为假命题.故选：B.【点睛】本题考查了命题的真假判断，命题的否定，且命题，意在考查学生的计算能力和推断能力.3.若,,a b c d >>则下列不等关系中不一定成立的是 ( ) A. a b d c ->-B. a d b c +>+C. a c b c ->-D.a c a d -<-【★答案★】B 【解析】试题分析：由同向不等式的相加性可知a c b d a b d c +>+∴->-，由a b >可得a cbc ->-，由cd c d a c a d >∴-<-∴-<-，因此,,A C D 正确考点：不等式性质4.设()()0ln ,2f x x x f x '==，则0x = （ ） A. 2e B. eC.ln 22D. ln 2【★答案★】B 【解析】 【分析】 求得导函数()'fx ，由此解方程()02f x '=求得0x的值.【详解】依题意()'1ln f x x =+，所以()0001ln 2,f x x x e '=+==.故选：B【点睛】本小题主要考查乘法的导数，考查方程的思想，属于基础题.5.已知双曲线2222:1(00)x y C a b a b-=>>，的右焦点到渐近线的距离等于实轴长，则此双曲线的离心率为( ) A. 2 B. 3C. 5D.5【★答案★】C 【解析】 【分析】可设双曲线C 的右焦点F(c,0),渐近线的方程为by x a=±,由右焦点到渐近线的距离等于实轴长，可得c=5a ，可得★答案★.【详解】解：由题意可设双曲线C 的右焦点F(c,0),渐进线的方程为by x a=±， 可得d=22bc a b+=b=2a ，可得c=22a b +=5a ，可得离心率e=5ca=， 故选C.【点睛】本题主要考查双曲线离心率的求法，是基础题，解题时要熟练掌握双曲线的简单性质.6.已知随机变量X 服从正态分布N(3.1)，且(24)P X ≤≤=0.6826，则p （X>4）=（ ） A. 0.1588 B. 0.1587C. 0.1586D. 0.1585【★答案★】B 【解析】试题分析：正态分布曲线关于对称，因,故选B ．考点：正态分布 7.在61(1)x x+-的展开式中，含5x 项的系数为（ ） A. 6B. 6-C. 24D. 24-【★答案★】B 【解析】 【分析】 把x+1x 看作一项，写出61(1)x x +-的展开式的通项，再写出61()r x x-+的展开式的通项，由x 的指数为5求得r 、s 的值，则★答案★可求． 【详解】61(1)x x +-的展开式的通项为6161()(1)rr r r T C x x-+=⋅+⋅-． 61()rx x-+的展开式的通项为6161()s r ss s r T C xx--+-=⋅⋅=626s r s r C x ---⋅． 由6﹣r ﹣2s=5，得r+2s=1， ∵r，s ∈N ，∴r=1，s=0． ∴在61(1)x x+-的展开式中，含x 5项的系数为10656C C -⋅=-． 故选B ．【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r ＋1项，再由特定项的特点求出r 值即可. (2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r ＋1项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.8.五名同学进行百米赛跑比赛，先后到达终点，则甲比乙先到达的情况有（ ） A. 240种B. 120种C. 60种D. 30种【★答案★】C 【解析】 【分析】因为先后到达终点，甲比乙先到达,则分析甲的名次，从而决定乙的名次，使用分类计数可得.【详解】当甲第一名时，满足条件有4424A =种，当甲第二名时，乙只能是第三四五名，满足条件有133318A A =种，当甲第三名时，乙只能是第四五名，满足条件有132312A A =种，当甲第四名时，乙只能是第五名，满足条件有336A =种，所以一共有24+18+12+6=60种故选：C【点睛】使用两个计数原理进行计数的基本思想对需用两个计数原理解决的综合问题要“先分类，再分步”，即先分为若干个“既不重复也不遗漏”的类，再对每类中的计数问题分成若干个“完整的步骤”，求出每个步骤的方法数，按照分步乘法计数原理计算各类中的方法数，最后再按照分类加法计数原理得出总数． 9.函数()sin (0)4f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有且仅有一条对称轴，则实数ω的取值范围是( ) A. ()1,5 B. ()1,+∞C. [)1,5D. [)1,+∞ 【★答案★】C 【解析】 【分析】结合正弦函数的基本性质,抓住只有一条对称轴,建立不等式,计算范围,即可. 【详解】当4x π=时,444wx w πππ+=+,当0x =,44wx ππ+=因为在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π只有一条对称轴,可知32442w ππππ≤+<,解得[)1,5w ∈,故选C. 【点睛】考查了正弦函数的基本性质,关键抓住只有一条对称轴,建立不等式,计算范围,即可. 10.一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可以从09中任选一个，某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码最后一位数字，如果任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率为（ ） A.25B.310C.15D.110【★答案★】C 【解析】 【分析】利用互斥事件概率加法公式和相互独立事件概率乘法公式直接求解．【详解】一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可以从0～9中任选一个， 某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码最后一位数字， 任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率为： p=19110109+⨯=15． 故选C ．【点睛】本题考查概率的求法，考查互斥事件概率加法公式和相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．11.已知焦点在x 轴上的双曲线22221(0,0)1x ya b m m -=>>+的左、右焦点分别为1F ，2F ，其右支上存在一点P 满足12PF PF ⊥，且12PF F △的面积为2．若双曲线的两条渐近线与抛物线22(0)y px p =>的准线分别交于A 、B 两点，O 为坐标原点，且AOB ，则p =（ ）A. 2B. C.754D. 24【★答案★】A 【解析】 【分析】由勾股定理及双曲线的定义可得21222PF PF m ⋅=+，再根据12PF F △的面积为2，求出参数m 的值，即可得到双曲线的方程，从而求出渐近线方程，由抛物线方程得到准线方程，求出直线的交点坐标，最后由AOB 的面积求出p ；【详解】解：因为12PF PF ⊥，12||||2PF PF m -=，12||F F =由勾股定理2221212||||||F F PF PF =+，()()2212||||2PF PF m -= 所以2221122||2||||||4PF PF PF PF m -⋅+=所以212||||22PF PF m ⋅=+,因为12PF F △的面积为2， 所以()122121|1|||22222PF F S PF PF m ==⋅+=△所以21m =，所以双曲线方程为2212y x -=，其渐近线为y =，因为抛物线22(0)y px p =>的准线为2p x =-，与y =相交于A 、B 两点，则,22p A ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，,22p B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭又122AOBpS=⨯=2p =±，因为0p >，所以2p = 故选：A【点睛】本题考查双曲线焦点三角形的面积，抛物线的简单几何性质，属于中档题. 12.定义在π[0,)2上可导函数()f x 的导数为()f x '，且()()cos sin 0,(0)0f x x f x x f +<='，则下列判断中，一定正确的是（ ）A. ()2()63f f ππ>B. ()()43f ππ<C. (ln 2)0f >D.()()64f ππ< 【★答案★】A 【解析】 设()()f x F x cosx=，因为()()00,2f x cosx f x sinx x π⎡⎫+<∈⎪⎢⎣'⎭，， 所以()()()()()()'22'0f x cosx f x cosx f x cosx f x sinxF x cos xcos x-+==''<.所以()F x 在0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上递减，所以()()()200,0643F ln F F F F F πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 即()643ln20,0643f f f f coscos cosππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭>>，所以02?643f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 则2?(?0)6333f f f fππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫>><⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以43f f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 64f f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2?44f f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭不成立，故64f f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭未必成立. 故选A.点睛：解答本题的关键是构造函数()()f x F x cosx=，主要考查导数运算法则的逆用．根据含导函数的不等式构造原函数时要注意从以下几种类型考虑：①原函数是函数和差的组合；②原函数是函数乘除的组合；③原函数是函数与x 的乘除的组合；④原函数是函数与x e 的乘除的组合；⑤原函数是函数与()sin cos x x 的乘除的组合；⑥原函数是函数与ln x 的乘除的组合．第II 卷二、填空题13.将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示，则7个剩余分数的方差为______．【★答案★】367【解析】 【分析】根据茎叶图中的数据，可知去掉的最低分为87，最高分为99，然后根据7个剩余分数的平均分为91，计算出x 的值，然后根据方差公式进行计算即可．【详解】解：根据茎叶图中的数据，可知去掉的最低分为87，最高分为99，∴剩余7个数为87，90，90，91，91，90x +，94，7个剩余分数的平均分为91，8790909191(90)94917x ∴+++++++=⨯，解得4x =，即剩余7个数为87，90，90，91，91，94，94，∴对应的方差为22221136[(8791)2(9091)2(9191)2(9491)](16218)777-+-+-+-=++=， 故★答案★为：367． 【点睛】本题主要考查茎叶图的应用，利用平均数公式计算出x ，然后根据方差的公式进行计算，考查学生的计算能力．要求熟练掌握相应的平均数和方差公式．14.设曲线1xy x =-在点(2,2)处的切线与直线370ax y ++=垂直，则a =_________．【★答案★】3- 【解析】 【分析】先求导，得到在点(2,2)处的切线的斜率，再根据两直线垂直求解. 【详解】因为22(1)1(1)(1)x x y x x ---'==--，所以21x y ='=-，因为切线与直线370ax y ++=垂直， 所以(1)13a ⎛⎫-⨯-=- ⎪⎝⎭，解得3a =-． 故★答案★为：3-【点睛】本题主要考查导数的几何意义和两直线的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题.15.非负实数x ，y ，满足360x y +-≥，则521z x y =+-的最小值为__________． 【★答案★】3 【解析】 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义即可得到结论．【详解】解：解：不等式组为00360x y x y ⎧⎪⎨⎪+-≥⎩，对应的平面区域为如图阴影所示，由521z x y =+-得5122z y x +=-+，平移直线5122z y x +=-+， 由图象可知当直线5122zy x +=-+经过点()0,2时，直线5122zy x +=-+的截距最小，此时z 最小．代入目标函数521z x y =+-得02213z =+⨯-=． 即目标函数521z x y =+-的最小值为3． 故★答案★为：3【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，属于中档题．16.设函数()(21)xf x e x ax a =--+，其中1a <，若存在唯一的整数0x ，使得()00f x <，则实数a 的取值范围是__________． 【★答案★】3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】采用构造函数法，设()(21)=-xg x e x ，()h x ax a =-，则原问题转化为存在唯一的整数0x ，使得()0g x 在直线()h x ax a =-的下方，对()g x 求导可判断函数在12x =-处取到最小值，再结合两函数位置关系，建立不等式(0)1a g ->=-且1(1)32g e a --=-≥-，即可求解【详解】设()(21)=-xg x e x ，()h x ax a =-，由题设可知存在唯一的整数0x ，使得()0g x 在直线()h x ax a =-的下方，因为()(21)xg x e x '=+，故当21x <-时，()0g x '<，函数()(21)=-x g x e x 单调递减；当21x ≥-时，()0g x '>，函数()(21)=-x g x e x 单调递增；故12min 1()22g x g e -⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，而当0x =时，(0)10g =-<，(1)0g e =>，故当(0)1a g ->=-且1(1)32g e a --=-≥-，解之得312a e≤<故★答案★为：3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭． 【点睛】本题考查由导数研究函数的极值点，构造函数法求解参数取值范围，数形结合思想，属于难题三．解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （一）必考题： 17.已知函数f （x ）=lnx x ax--，其中a ＞0.曲线y =f （x ）在点（1，f （1））处的切线与直线y =x +1垂直.（1）求函数f （x ）的单调区间；（2）求函数f （x ）在区间[1，e ]上的极值和最值.【★答案★】（1）f （x ）的单调减区间为（0，2），增区间为[2，+∞）；（2）f （x ）的极小值为f （2）=ln 2，无极大值；最小值ln 2，最大值1. 【解析】 【分析】（1）先求导,由曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与直线1y x =+垂直可得()11f '=-,即可解得a ,再分别令()0f x '<和()0f x '>,即可求解；（2）由（1）可知f （x ）的极小值为f （2）,无极大值,再将极值与端点值比较求得最值即可. 【详解】（1）由题,()2x af x x-'=（x ＞0）, 因为曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与直线1y x =+垂直, 所以()111f a '=-=-,解得a =2,所以()22x f x x -'=, 令()0f x '<得0＜x ＜2,令()0f x '>得x ＞2, 所以f （x ）的单调减区间为（0,2）,增区间为[2,+∞） （2）由（1）可得f （x ）在（1,2）上递减,在（2,e ）上递增, 故f （x ）极小值为f （2）=ln 2,无极大值； 又因为f （1）=1,f （e ）2e=,f （2）=ln 2, 所以f （x ）的最小值为ln 2,最大值为1.【点睛】本题考查由切线斜率求参数,考查利用导函数求函数的单调区间,考查利用导函数求函数的最值和极值,考查运算能力.18.一次数学考试后，对高三文理科学生进行抽样调查，调查其对本次考试的结果满意或不满意，现随机抽取100名学生的数据如下表所示：（1）根据数据，有多大的把握认为对考试的结果满意与科别有关；（2）用分层抽样方法在感觉不满意的学生中随机抽取5名，理科生应抽取几人； （3）在（2）抽取的5名学生中任取2名，求文科生人数的期望.（()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++其中n a b c d =+++）【★答案★】（1）有99%的把握认为对考试的结果满意与科别无关（2）2人（3）1.2 【解析】 【分析】（1）利用独立性检验判断有多大的把握认为对考试的结果满意与科别有关；（2）求出抽取的比例即得理科生应抽取的人数；（3）设抽出的文科生的人数为X ，则0,1,2X =,再分别求出对应的概率，即得文科生人数的期望.【详解】解：（1）由题意有：()22100221218487.143 6.63540607030K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有99%的把握认为对考试的结果满意与科别无关. （2）感觉不满意的学生共有30人，抽取的比例为51306=，所以理科生应抽取11226⨯=人. （3）记抽取的5名学生中，有3名文科生2名理科生，设抽出的文科生的人数为X ， 则0,1,2X =.所以1122322255163(0),(1),10105C C C P X P X C C ======= 23253(2)10C P X C ===. 所以X 的期望为331+2=1.2510⨯⨯. 所以抽出的文科生人数的期望为1.2.【点睛】本题主要考查独立性检验和分层抽样，考查随机变量的期望的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.19.如图，多面体ABCDEF 中，ABCD 是正方形，//EF CD ，12EF CD =，DE DC ⊥，且2AD DE ==，AE =M 、N 分别为棱AE 、BF 的中点．（1）求证：AE ⊥平面DMN ；（2）求平面DMN 和平面BCF 所成锐二面角的余弦值． 【★答案★】（1）证明见解析，（210【解析】 【分析】（1）首先根据已知条件易证ED ⊥平面ABCD ，从而得到ED AB ⊥，又根据AB AD ⊥得到AB ⊥平面EAD ，根据中位线得到//EF AB ，得到EF ⊥平面EAD ，根据DE DA =，M 是AE 中点，得到DM AE ⊥，再根据线面垂直的判定即可证明AE ⊥平面DMN .（2）以D 为原点，DA ，DC ，DE 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，分别求出平面DMN 和平面BCF 的法向量，再代入二面角公式计算即可. 【详解】（1）因为2AD DE ==，22AE = 所以222DE DA AE +=，即ED DA ⊥.ED DA ED CDED CD AD D ⊥⎧⎪⊥⇒⊥⎨⎪⋂=⎩平面ABCD . 又因为AB平面ABCD ，所以ED AB ⊥.因为四边形ABCD 是正方形，所以AB AD ⊥.AB ED AB ADAB ED AD D ⊥⎧⎪⊥⇒⊥⎨⎪⋂=⎩平面EAD . 因为//EF CD ，四边形ABCD 是正方形，所以//EF AB . 又因为M 、N 分别为棱AE 、BF 的中点，所以//MN AB . 所以MN ⊥平面EAD .又因为AE ⊂平面EAD ，所以MN AE ⊥. 因为DE DA =，M 是AE 中点，所以DM AE ⊥.AE MN AE MDAE MN MD M ⊥⎧⎪⊥⇒⊥⎨⎪⋂=⎩平面DMN . （2）以D 为原点，DA ，DC ，DE 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， 如图所示：则(2,0,0)A ，(0,0,2)E ，(2,2,0)B ，(0,2,0)C ，(0,1,2)F 所以(2,0,0)CB =，(0,1,2)CF =- 平面BCF 的一个法向量为(,,)n x y z =，由00n CB n CF ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得2020x y z =⎧⎨-+=⎩，令2y =，则(0,2,1)n =.由（1）可知AE ⊥平面DMN所以平面DMN 的一个法向量为(2,0,2)AE =-， 设平面DMN 和平面BCF 所成锐二面角为θ， 则10cos cos ,n AE n AE n AEθ⋅=<>==⋅所以平面DMN 和平面BCF 10 【点睛】本题第一问考查线面垂直的证明，同时考查了线面垂直的性质，第二问考查向量法求二面角，同时考查了学生的计算能力，属于中档题.20.已知抛物线C ：y 2=4x 与椭圆E ：2222x y a b+=1（a ＞b ＞0）有一个公共焦点F .设抛物线C 与椭圆E 在第一象限的交点为M .满足|MF |53=.（1）求椭圆E 的标准方程； （2）过点P （1，32）的直线交抛物线C 于A 、B 两点，直线PO 交椭圆E 于另一点Q .若P 为AB 的中点，求△QAB 的面积.【★答案★】（1）22143x y +=；（27. 【解析】 【分析】（1）由抛物线的定义可得513M MF x =+=,则M （23,263）,再由椭圆的定义可得2a MF MF '=+,即可求得a ,进而求解；（2）设A （x 1,y 1）,B （x 2,y 2）,利用斜率公式可得2121124243AB P y y k x x y y y -====-+,即可得到直线AB 的方程,再由点到直线距离可得点Q 到直线AB 的距离d ,联立抛物线和直线AB ,进而利用弦长公式求得AB ,则12QABSd AB =⋅,即可求解. 【详解】（1）由抛物线方程可得F （1,0）,则椭圆的另一个焦点()1,0F '-, 因为513M MF x =+=,∴M （23,263）,则2a 53==4,则a =2, 所以2413b =-=,所以椭圆E 的标准方程为22143x y +=.（2）设A （x 1,y 1）,B （x 2,y 2）,点P （1,32）在椭圆上,则Q （﹣1,32-）, 因为P 为AB 的中点,且21122244y x y x ⎧=⎨=⎩,则k AB 2121124243P y y x x y y y -====-+,故直线AB 的方程为y 3423-=（x ﹣1）,即8x ﹣6y +1=0, ∴Q 到直线AB 的距离15d ==,联立286104x y y x-+=⎧⎨=⎩,整理得64x 2﹣128x +1=0, 故x 1+x 2=2,x 1x 2164=,则53AB ===所以12QABSd AB =⋅1125=⨯=. 【点睛】本题考查求椭圆的标准方程,考查抛物线中的三角形面积问题,考查抛物线的应用,考查运算能力.21.已知函数()()2ln 1f x x a x =+-，其中0a >． （1）当2a >时，求函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，求证：()21ln 202f x -<<． 【★答案★】（1）()f x 的单调递增区间()2,x +∞和()10,x ，单调递减区间()12,x x ；（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，根据a 的范围，解出关于导函数的方程，求出函数的单调区间即可； （2）求出2222222()(1)2(1)f x lnx a x lnx x =+->+-，令2()2(1)g x lnx x =+-，1(1)2x <<，根据函数的单调性证明出结论即可． 【详解】解：（1）()2ln 2f x x ax ax a =+-+，()()21221220ax ax f x ax a x x x-+'∴=+-=>当2a >时，()248420a a a a ∆=-=->，即时，令()0f x '=，得：1x =2x =， ()f x ∴的单调递增区间()2,x +∞和()10,x ，单调递减区间()12,x x ．（2）由（1）可知()()21221220ax ax f x ax a x x x-+'=+-=>，①当()248420a a a a ∆=-=-即02a <时，()0f x '>，()f x ∴的单调递增区间是()0,∞+，此时()f x 不存在极值，②当()248420a a a a ∆=-=->时，即2a >时，令()0f x '=得12a x a-=，2x =； ()f x ∴的单调递增区间是()2,x +∞和()10,x ，单调递减区间()12,x x ．则()f x 在1x x ==2x x ==处取得极小值，因为2a >，所以2202a a a <-<，0a <，所以21x =<证明：()f x 在()2,x +∞单调递增，且21x <，()()210f x f ∴<=， ()f x 有两个极值点1x ，2x ， 2a ∴>，2112x ∴<<．()()()2222222ln 1ln 21f x x a x x x =+->+-，令()()2ln 21g x x x =+-，112x ⎛⎫<<⎪⎝⎭， ()()()2211410x g x x x x-'=+-=> ()g x ∴在1,12⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，()11ln 222g x g ⎛⎫∴>=- ⎪⎝⎭，()21ln 22f x ∴>-， 综上可知：()21ln 202f x -<<． 【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，考查不等式的证明，属于中档题． （二）选考题[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 参数方程为3sin x ty t ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程是cos sin θθ=，曲线2C 的极坐标方程是6cos 4sin ρθθ=+． （1）求直线l 和曲线2C 直角坐标方程，曲线1C 的普通方程；（2）若直线l 与曲线1C 和曲线2C 在第一象限的交点分别为P ，Q ，求OP OQ +的值．【★答案★】（1）:0l x y -=；222:640C x y x y +--=；221:139x y C +=（2 【解析】 【分析】（1）由cos sin θθ=，得cos sin ρθρθ=，代入cos sin xy ρθρθ=⎧⎨=⎩即可得直线l 的直角坐标方程；由6cos 4sin ρθθ=+，得26cos 4sin ρρθρθ=+，代入cos sin xyρθρθ=⎧⎨=⎩得曲线2C 的直角坐标方程；由3sin x ty t ⎧=⎪⎨=⎪⎩消去参数即可（2）得到1C 和2C 的极坐标方程，因为cos sin θθ=，所以tan 1,4πθθ==，把4πθ=代入1C 和2C 的极坐标方程，根据极径的意义可得.【详解】解：（1）由cos sin θθ=，得cos sin ρθρθ=，代入cos sin xyρθρθ=⎧⎨=⎩，得x y =，故直线l 的直角坐标方程是0x y -=． 由6cos 4sin ρθθ=+， 得26cos 4sin ρρθρθ=+，代入cos sin x yρθρθ=⎧⎨=⎩，得2264x y x y +=+，即22640x y x y +--=，故曲线2C 的直角坐标方程是22640x y x y +--=．由3sin x t y t⎧=⎪⎨=⎪⎩，得2213y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 即22139x y +=．故曲线1C 的普通方程是22139x y +=． （2）把cos sin x yρθρθ=⎧⎨=⎩代入22139x y +=中，化简整理， 曲线1C 的极坐标方程为22912cos θρ=+， 曲线2C 的极坐标方程为6cos 4sin ρθθ=+，因为cos sin θθ=，所以tan 1,4πθθ==所以2OP ==，6cos 4sin 44OQ ππ=+=所以2OP OQ += 【点睛】考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互相转化以及根据极坐标方程中极径的几何意义求距离，中档题[选修4-5：不等式选讲]23.设函数()211f x x x =-++的最小值为m .（1）求m 的值；（2）若,,a b c ∈R ，22212a b c m ++=，求ab bc +的取值范围. 【★答案★】（1）32m =；（2）33,22ab bc ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦. 【解析】【分析】(1)由题意可把含两个绝对值的函数()211f x x x =-++进行对去绝对值得到一个分段函数，再由分段函数可得到函数的最小值；(2)利用基本不等式和三角不等式即可求出ab bc +的取值范围.【详解】（1）()3,112,1213,2x x f x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪=--<≤⎨⎪⎪>⎪⎩，显然当12x =时，()f x 取得最小值32m =. （2）∵2222311244a b b c ≥=+++ab bc ab bc =+≥+， ∴33,22ab bc ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查了含两个绝对值的分段函数，基本不等式以及三角不等式求最值，属于一般题.。

四川省泸州市泸县第五中学2019-2020学年高二数学上学期期末模拟考试试题理第I卷(选择题共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.）1.某鱼贩一次贩运草鱼、青鱼、鲢鱼、鲤鱼及鲫鱼分别有80条、20条、40条、40条、20条，现从中抽取一个容量为20的样本进行质量检测，若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的青鱼与鲤鱼共有A.6条B.8条C.10条D.12条2.在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示．若将运动员按成绩由好到差编为1﹣35号，再用系数抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139，151]上的运动员人数是A. 3B. 4C. 5D. 63.若变量，满足约束条件，则的最小值为A.-7B.-1C.1D.24.某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表广告费用x(万元)4235销售额y(万元)49263954根据上表可得回归方程＝x＋中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为A. 63.6万元B. 65.5万元C. 67.7万元D. 72.0万元5.点 到直线 的距离是A. B. C.1 D.2226.如图所示，程序的输出结果为S ＝132，则判断框中应填A.i≥10?B.i≥11?C.i≤11?D.i≥12?7.已知命题；命题若，则．则下列命题为真命题的是A.B. C.D.8.若直线 ： 与直线 ：平行，则的值为 A.B.C. D.9.若，且，则 0,0a b ≥≥2a b +=A ．B ．C ．D ．1ab ≤1ab ≥224a b +≥224a b +≤10.若圆 与圆 相切，则 等于A.16B.7C.-4或16D.7或1611.已知圆 ，圆， 分别是圆 和圆上的动点，点 是 轴上的动点，则的最大值为A.B. C. D.12.已知 为坐标原点，设 ，分别是双曲线的左、右焦点，点 为双曲线左支上任一点，过点作 的平分线的垂线，垂足为 ，若，则双曲线的离心率是 A.B.C.D.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13.命题，使得，则是__________．0:1p x ∃>20021x x -<p ⌝14.关于不等式的解集为 ，则_____________15.《九章算术·商功》中有这样一段话：“斜解立方，得两壍堵.斜解壍堵，其一为阳马，一为鳖臑.”这里所谓的“鳖臑（biē nào ）”，就是在对长方体进行分割时所产生的四个面都为直角三角形的三棱锥.已知三棱锥 是一个“鳖臑”， 平面，，且，，则三棱锥的外接球的表面积为 ．16.为抛物线上一点，过点作垂直该抛物线的准线于点为抛物线的焦点，M 28y x =M MN ,N F 为坐标原点，若四边形的四个顶点在同一个圆上，则该圆的面积为_______.O OFMN 三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知p ：，，q ：，，R x ∈∀)1(22+>x m x R x ∈∃0012020=--+m x x （Ⅰ）若q 是真命题，求m 的范围；（Ⅱ）若为真，求实数m 的取值范围)(q p ⌝∧18.（12分）某校高三共有800名学生，为了解学生3月月考生物测试情况，根据男女学生人数差异较大，从中随机抽取了200名学生，记录他们的分数，并整理得如图频率分布直方图．（Ⅰ）若成绩不低于60分的为及格，成绩不低于80分的为优秀，试估计总体中合格的有多少人？优秀的有多少人？（Ⅱ）已知样本中有一半的女生分数不小于80，且样本中不低于80分的男女生人数之比2:3，试估计总体中男生和女生人数的比例．19.（12分）已知圆的圆心在直线上，且圆经过点 .（Ⅰ）求圆的标准方程；（Ⅱ）直线过点且与圆相交，所得弦长为4，求直线的方程.20.（12分）已知平面内一动点到点的距离与点到 x 轴的距离的差等于1.（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；（Ⅱ）过点作两条斜率存在且互相垂直的直线，设与轨迹相交于点，与轨迹相交于点，求的最小值.21.（12分）如图，在三棱柱中，侧棱底面 ,且, 是棱的中点，点在侧棱上运动.（Ⅰ）当是棱的中点时，求证：平面；（Ⅱ）当直线与平面所成的角的正切值为时，求二面角的余弦值.22.设椭圆（）的右焦点为F，右顶点为A，已知，其中O 为原点， e为椭圆的离心率.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点A的直线l与椭圆交于点B（B不在x轴上），垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H，若，且，求直线的l斜率.2019年秋四川省泸县第五中学高二期末模拟考试理科数学试题答案1.A2.B3.A4.B5.A6.B7.B8.D9.A 10.C11.A12.D13.14.-515.16.21,21x x x ∀>-≥π4272π17.（1） 若q ：∃x 0∈R，＋2x 0－m －1＝0为真，则方程x 2＋2x －m －1＝0有实根，20x ∴4＋4（m ＋1）≥0，∴m≥－2.（2）2x ＞m （x 2＋1）可化为mx 2－2x ＋m ＜0.若p ：∀x∈R, 2x ＞m （x 2＋1）为真.则mx 2－2x ＋m ＜0对任意的x∈R 恒成立.当m ＝0时，不等式可化为－2x ＜0，显然不恒成立；当m≠0时，有∴m＜－1.：m ＜-2又为真，故p 、Øq 均为真命题.∴m＜－2.18.（1）根据频率分布直方图可知，总体中及格的人数估计为，()0.020.040.021*******++⨯⨯=总体中优秀的人数估计为，0.021*******⨯⨯=所以估计总体中及格的有640人，优秀的有160人．　（2）由题意可知，样本中分数不小于80的学生人数为，0.021020040⨯⨯=所以样本中分数不小于80的女生人数为，340245⨯=所以样本中的女生人数为，男生人数为，24248⨯=20048152-=男生和女生人数的比例为，152:4819:6 所以根据分层抽样原理，总体中男生和女生人数的比例估计为．19:619.（1）解：设圆心为 ，则 应在 的中垂线上，其方程为 ，由 ，即圆心 坐标为又半径 ，故圆的方程为（2）解：点 在圆内，且弦长为，故应有两条直线.圆心到直线距离.①当直线的斜率不存在时，直线的方程为 ，此时圆心到直线距离为1，符合题意.②当直线的斜率存在时，设为 ，直线方程为整理为 ，则圆心到直线距离为解得，直线方程为综上①②，所求直线方程为或20.（1）解：设动点 的坐标为 ，由题意得化简得当时；当时x=0所以动点P 的轨迹 的方程为和X=0（）（2）解：由题意知，直线 的斜率存在且不为0，设为 ，则 的方程为 ．由设则，因为，所以的斜率为．设，则同理可得，当且仅当即时，取最小值1621.（1）解：取线段的中点，连结 .∵,∴，且 .又为的中点，∴ ,且 .∴ ,且.∴四边形是平行四边形.∴ .又平面平面,∴平面 .（2）解：∵两两垂直，∴以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图,∵三棱柱中，平面，∴即为直线与平面所成的角.设，则由，得 .∴.∴,设平面的一个法向量为，则令，得，即 .又平面的一个法向量为,∴ ,又二面角的平面角为钝角，∴二面角的余弦值为 .22.解：（I）设，由，即，可得，又，所以，因此，所以椭圆的方程为 .（Ⅱ）设直线的斜率为，则直线l的方程为，设，由方程组消去y，整理得，解得x=2或，由题意得，从而，由（1）知，设，有，，由，得，所以，解得，因此直线MH的方程为，设，由方程组消去y，得，在中，，即，化简得，即，解得或，所以直线l的斜率为或。