2021届四川省泸县第二中学高三上学期开学考试数学（文）试题（解析版）

2021届高三入学调研数学试卷（一）（理）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数的实部与虚部分别为，，则（ ） A ．B ．C ．D ．2．设集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．3．若函数的图象经过抛物线的焦点，则（ ） A ．B ．C ．D ．4．已知两个单位向量，的夹角为，则下列向量是单位向量的是（ ） A ．B ．C ．D ．5．的内角，，的对边分别为，，，已知，则（ ） A ．B ．C ．D ．6．设，满足约束条件，则的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．7．设是一个各位数字都不是且没有重复数字的两位数，将组成的个数字按从小到大排成的两位数记为，按从大到小排成的两位数记为(例如，则，)，执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的（ ）z 1-22z =34i --34i -+34i +34i -2{|4}A x x =<{|2,}xB y y x ==∈R A B =(2,2)-(0,2)(2,)+∞(,2)(2,)-∞-+∞()lg()f x x a =+28y x =a =101-2-a b 60︒+a b 12-a b 12+a b -a b ABC △A B C a b c 2B C =b =cos c C cos c A 2cos c C 2cos c A x y 2602x y x y x+-≤⎧⎨≤≤⎩z x y =+[90,]2[94,]2[0,4][4,)+∞a 0a 2()I a ()D a 75a =()57I a =()75D a =51a =b =A ．B ．C ．D ．8．已知，则曲线在点处的切线方程为（ ） A ．B ．C ．D ．9．（ ）A ．B ．C ．D ．10．《镜花缘》是清代文人李汝珍创作的长篇小说，书中有这样一个情节:一座楼阁到处挂满了五彩缤纷的大小灯球，灯球有两种，一种是大灯下缀个小灯，另一种是大灯下缀个小灯，大灯共个，小灯共个若在这座楼阁的灯球中，随机选取两个灯球，则至少有一个灯球是大灯下缀个小灯的概率为（ ） A ．B ．C ．D ．11．在正四棱柱中，为侧棱上一点，，，且异面直线与所成角的余弦值为，则（ ） A ．B ．C ．D ．303540452211()11x x f x x--=++()y f x =(0,(0))f y x =-y x =2y x =2y x =-sin cos()6πx x -+=11sin(224π)6x +-11sin(224π)6x -+11sin(222π)3x -+1sin(22π)3x +2436012004160359289359119107795810771111ABCD A B C D -E 1DD 1AB =12AA =DB 1C E 13DE =122313212．设是双曲线的右焦点，为坐标原点过作的一条渐近线的垂线，垂足为，若的内切圆与轴切于点，且，则的离心率为（ ） ABCD第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．的展开式中的系数为 ．14．已知函数，若，，则 ． 15．如图，一几何体由一个圆锥与半球组合而成，且圆锥的体积与半球的体积相等，则该圆锥的母线与底面所成角的正切值为．16．已知函数是上的奇函数，函数，若对恒成立，则的取值范围为 ．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．F 2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>O F C H FOH △x B 2BF OB =C 6()3y x -5x y ()sin f x x =()()f a x f a x +=-0πa <<a =2()log )f x x =R ()|2 |g x m x a =--()()f x g x ≤3[,2]4x ∈-m17．（12分）设为数列的前项和，已知，，其中是不为的常数，且，，成等比数列． （1）求的通项公式； （2）若，求．18．（12分）下图是某超市一周百事可乐与可口可乐的销量(单位：罐)的雷达图．（1）分别计算一周百事可乐与可口可乐的销量的平均数，从计算结果看，哪种可乐的销量更好；（2）从周一开始的连续三周该超市推出买一罐可乐(仅限百事可乐或可口可乐)获得一次抽奖机会的活动，中奖率为，中奖可获得元的红包，以雷达图中一周的销量代替每周的销量．①活动期间，一位顾客买了罐百事可乐，他恰好获得元红包的概率； ②在这连续三周的活动中，求该超市需要投入红包总金额的数学期望．n S {}n a n 37a =1(2)n n a a d n -=+≥d 01a 2a 6a {}n a 55m S m =m 0.113219．（12分）在直角坐标系中，已知，，且，记动点的轨迹为． （1）求的方程；（2）若过点的直线与交于，两点，且，求直线的斜率．20．（12分）如图，在四面体中，，平面平面，，且． （1）证明：平面；（2）设为棱的中点，当四面体的体积取得最大值时，求二面角的余弦值．21．（12分）已知函数．xOy (1,2)P x y -(1,2)Q x y +3OP OQ ⋅=(,)M x y ΩΩ(1,0)N l ΩA B 2BN NA =l ABCD AD AB ⊥ABD ⊥ABC 2AB BC AC ==4AD BC +=BC ⊥ABD E AC ABCD C BD E --2()(2)ln f x a x ax x =++-（1）讨论的单调性；（2）若在上存在最大值，证明：．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）『选修4-4：坐标系与参数方程』在极坐标系中，曲线的极坐标方程为，曲线与曲线关于极点对称． （1）以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立直角坐标系，求曲线的直角坐标方程； （2）设为曲线上一动点，记到直线与直线的距离分别为，，求的最小值．23．（10分）『选修4-5：不等式选讲』已知函数，且不等式的解集为．()f x ()f x (0,)a ()P a 234ln 2()42p a a a <<+-C 4cos ρθ=C D x D P D P sin 3ρθ=-cos 2ρθ=1d 2d 12d d +()|1||2|f x x x =-++()f x k <{|3}x x a -<<（1）求，；（2）若，证明：．——★ 参*考*答*案 ★——第Ⅰ卷k a m n k +=()()12f m f n +≥一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．『答案』A『解析』∵，∴．2．『答案』B『解析』∵，，∴．3．『答案』C『解析』抛物线的焦点坐标为，则，即，解得． 4．『答案』D『解析』由平面向量的减法可得的模为，则是单位向量．5．『答案』C『解析』∵，∴，∴．6．『答案』A『解析』作出约束条件表示的可行域，如图所示，当直线过点时，取得最小值； 直线过点时，取得最大值， 故．7．『答案』D『解析』，；，；，，∵为的倍数，∴输出的．12i z =-+2144i 34i z =--=--(2,2)A =-(0,)B =+∞(0,2)AB =28y x =(2,0)(2)lg(2)0f a =+=21a +=1a =--a b 1-a b 2B C =sin sin22sin cos B C C C ==2cos b c C =z x y =+(0,0)z 0z x y =+3(,3)2z 929[0,]2z∈51a =511536b =-=36a =633627b =-=27a =722745b =-=45545b =8．『答案』C『解析』令，则，， ∵，∴，∵，∴曲线在点处的切线方程为． 9．『答案』B『解析』 ． 10．『答案』D『解析』设一大二小与一大四小的灯球数分别为，，则，解得，若随机选取两个灯球，则至少有一个灯球是一大四小的概率为．11．『答案』A『解析』以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，则， 设，则，11x t x -=+11t x t -=+22211()21()111()1t t t f t t t t--+==-+++2222)))(11((t f t t -'=+(0)2f '=(0)0f =()y f x =(0,(0))f 2y x=1sin cos()sin cos()sin (sin )62π6π2x x x x x x x -+=-=+1112(1cos 2)sin(2)42π464x x x =+-=-+x y 360241200x y x y +=⎧⎨+=⎩120240x y =⎧⎨=⎩2120236095817C C 107-=D D xyz-(0,0,0)D (1,1,0)B 1(0,1,2)C (1,1,0)DB =(02)DE t t =<≤1(0,1,2)C E t =--从而∵，∴． 12．『答案』C『解析』∵到渐近线的距离为，∴，则的内切圆的半径， 设的内切圆与切于点，则， ∵，∴，∴， 即，则，∴， ∵，∴．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．『答案』『解析』的展开式中的系数为．14．『答案』『解析』∵，∴的图象关于直线对称，又，且，∴． 15．『答案』1,|||s co DB C E 〉==〈02t <≤12t =F ||FH b =||OH a ==FOH △2a b cr +-=FOH △FH M ||2a b cMH r +-==2BF OB =2||||3FM BF c ==2||||||32a b c BF MH c FH b +-+=+==33b a c =+22222)99(69b c a c ac a =-=++24390e e --=1e >38e +=2-6()3y x -5x y 161C ()23-=-π2()()f a x f a x +=-()f x x a =()sin f x x =0πa <<π2a =2『解析』设该圆锥的半径与高分别为，，则，即， 该圆锥的母线与底面所成角的正切值为． 16．『答案』『解析』由是上的奇函数，得，则，因为上单调递减，所以是上的减函数，作出与的图象，如图所示，由图可知，即，则．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．『答案』（1）；（2）．『解析』（1）∵，∴数列是公差为的等差数列，∵，∴，，， ∵，，成等比数列，∴， ∴，∴或，∵，∴，．r h 32141ππ233r r h ⨯=2h r =2hr=[7,)2+∞2()log )f x x =R 2(0)log 0f ==1a =22()log )log f x x ==(0,)+∞()f x R ()f x ()g x 33()()44(2)(2)f g f g ⎧-≤-⎪⎨⎪≤⎩2512log 2)3m m ⎧≤-⎪⎨⎪≤-⎩72m ≥32n a n =-37m =1(2)n n a a d n -=+≥{}n a d 37a =172a d =-27a d =-673a d =+1a 2a 6a 2(72)(73)(7)d d d -+=-23d d =3d =0d =0d ≠3d =7(3)332n a n n =+-⨯=-（2）∵，∴，即，∴． 18．『答案』（1）百事可乐销量的平均数为，可口可乐销量的平均数为，百事可乐的销量更好；（2）①；②元．『解析』（1）百事可乐销量的平均数为，可口可乐销量的平均数为，∵，∴百事可乐的销量更好．（2）①他恰好获得元红包说明他有两次中奖一次未中奖， 故所求的概率为．②连续三周该超市罐装可乐（仅限百事可乐或可口可乐）的销量为罐，记连续三周顾客中奖总次数为，则，则，故连续三周的活动该超市需要投入红包总金额的数学期望为元．19．『答案』（1）；（2）．『解析』（1）∵，∴，∴，即，此即为的方程． （2）设直线的斜率为，则直线的方程为， 当时，或，不合题意； 当时，由，得， 设，，则，，1(552)m m m a a S m +==1110m a a +=32109m -=37m =960794070.027570110012012014016014018096077x ++++++==28012010014018014018094077x ++++++==12x x >22230.1(10.1C )0.027⨯-=(960940)3190035700+⨯=⨯=X (5700,0.1)XB 57000.1570EX =⨯=5701570⨯=2214x y +=k =3OP OQ ⋅=2(1)(1)43x x y -++=2244x y +=2214x y +=Ωl k l (1)y k x =-0k =3BN NA =13BN NA =0k ≠22(1)44y k x x y =-⎧⎨+=⎩222(1420)3k y ky k ++-=11(,)A x y 22(,)B x y 122214k y y k +=-+2122314k y y k =-+∵，，，∴，∴，，∵，∴，∴．20．『答案』（1）证明见解析；（2． 『解析』（1）证明：因为，平面平面，平面平面，平面，∴平面，因为平面，所以， 因为，所以，所以， 因为，所以平面．（2）设，则， 四面体的体积， ，当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 故当时，四面体的体积取得最大值， 以为坐标原点，建立空间直角坐标系，2BN NA =22(1,)BN x y =--11()1,NA x y =-212y y =-1212214k y y y k +=-=-+22123214k y k -=-+10y ≠2512k =6k =±AD AB ⊥ABD ⊥ABC ABDABC AB =AD ⊂ABD AD ⊥ABC BC ⊂ABC AD BC ⊥2AB BC AC ==222AB BC AC +=AB BC ⊥ADAB A =BC ⊥ABD (04)AD x x =<<4AB BC x ==-ABCD 232111()(4)(816)(04)326V f x x x x x x x ==⨯-=-+<<211()(31616)(4)(34)66f x x x x x '=-+=--403x <<()0f x '>()V f x =443x <<()0f x '<()V f x =43AD x ==ABCD B B xyz -则，，，，， 设平面的法向量为，则，即，令，得，同理，平面的法向量为，， 由图可知，二面角为锐角，故二面角21．『答案』（1）见解析；（2）证明见解析．『解析』（1）， 当时，，在上单调递减； 当时，由，得，在上单调递增； 由，得，在上单调递减． （2）易知，当02a <≤时，， 由（1）知，在上单调递增，此时在上不存在最大值，(0,0,0)B 8(0,,0)3A 8(,0,0)3C 84(0,,)33D 44(,,0)33E BCD (,,)x y z =n 0BC BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 80384033x y z ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩2z =-(0,1,2)=-n BDE (1,1,2)=-m cos ,〈〉==m n C BD E --C BD E --2(1)(22)()2(0)a x x a f x a x x x x++--'=+-=->2a ≤-()0f x '<()f x (0,)+∞2a >-()0f x '>202a x +<<()f x (20,)2a +()0f x '<22a x +>()f x 2,)2(a ++∞0a >22a a +≥()f x (0,)a ()f x (0,)a当时，在上单调递增，在上单调递减， 则，故， 设，， ∵，∴，∴在上单调递增， ∴，即，∵，且， ∴要证：，只需证， 即证， 设，则， 则在上单调递减，从而，即， 则，从而． 22．『答案』（1）；（2）『解析』（1）∵，∴，∴，即，∴曲线的直角坐标方程为．（2）由（1）可设，，直线与直线的直角坐标方程分别为，，2a >()f x (20,)2a +(2,)2a a +22m x22(2)224()()(2)ln ()(2)ln 222224a a a a a a a a f x f a a +++++-==++-=++224()(2)ln (2)24a a p a a a +-=++>224()(2)ln(2)24x x g x x x +-=++>2()1ln 22x x g x +'=++2x >()0g x '>()g x (2,)+∞()(2)4ln 2g x g >=()4ln 2p a >2314(34)(2)22a a a a +-=-+2a >23()42p a a a <+-2234ln 242a a a +--+<256ln024a a +--<256()ln(2)24x x h x x +-=->15()024h x x '=-<+()h x (2,)+∞()(2)ln 210h x h <=-<256ln024a a +--<23()42p a a a <+-234ln 2()42p a a a <<+-22(2)4x y ++=7-4cos ρθ=24cos ρρθ=224x y x +=22(2)4x y -+=D 22(2)4x y ++=(22cos ,2sin )P αα-+[0,2π)α∈sin 3ρθ=-cos 2ρθ=3y =-2x =从而，，，故的最小值为23．『答案』（1），；（2）证明见解析．『解析』（1）当时，由，得， 因为不等式的解集为，所以，解得， 当时，由，得，所以， 经检验，满足题意．（2）证明：因为，所以， 同理， 因为5m n k +==，所以．12sin 3d α=+22(22cos )42cos d αα=--+=-122sin 342cos 7)π(4d d ααα+=++-=+-12d d +7-5k =2a =2x ≤-()21f x x k =--<12k x +>-()f x k <{|3}x x a -<<132k +-=-5k =1x ≥() 2 15f x x =+<2x <2a =5k =2a =|1||2||12||21|m m m m m -++≥-++=+()|21|f m m ≥+()|21|f n n ≥+()()|21||21||2121||2()2|12f m f n m n m n m n +≥+++≥+++=++=。

四川省泸县第二中学2021届高三数学上学期开学考试试题 文一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合{|20}A x x =-<<,{}2|10=-≤B x x ,则AB =A ．(2,0)-B ．[1,0)-C ．(2,1)-D ．[1,1]-2．在复平面内，复数(1)z i i =+对应的点位于 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是 A ．13B ．12C ．23D ．344．若将函数y=2sin2x 的图像向左平移12π个单位长度，则平移后图像的对称轴为A ．x=26k ππ-（k∈Z） B ．x=26k ππ+（k∈Z） C ．x=212k ππ-（k∈Z） D ．x=212k ππ+（k∈Z） 5．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，23a =，且936S S =，则{}n a 的公差d = A ．1B ．2C ．3D ．46．意大利“美术三杰”（文艺复兴后三杰）之一的达芬奇的经典之作一《蒙娜丽莎》举世闻名｡画中女子神秘的微笑数百年来让无数观赏者入迷，某数学兼艺术爱好者对《蒙娜丽莎》的同比例影像作品进行了测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角,A C 处作圆弧的切线，两条切线交于B 点，测得如下数据: 6.9,7.1,12.6AB cm BC cm AC cm ===，根据测量得到的结果推算:将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角位于以下哪个区间A ．(,)64ππB ．(,)43ππC ．5(,)312ππD ．5(,)122ππ 7．函数22cos 221x xx y =- 的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．8．从区间0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为 A ．4n mB ．2n mC ．4mnD ．2mn9．函数()()π2sin 22f x x ϕϕ⎛⎫=+<⎪⎝⎭向左平移π3个单位后图象关于y 轴对称，则()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为 A ．1-B ．1C ．3-D 310．设1F ，2F 分别是椭圆2222:1(0)x yE a b a b+=>>的左、右焦点，过2F 的直线交椭圆于A ，B 两点，且120AF AF ⋅=，222AF F B =，则椭圆E 的离心率为( )A ．23B ．34C ．5 D ．7 11．如图该几何体由半圆柱体与直三棱柱构成，半圆柱体底面直径BC ＝4，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，D 为半圆弧的中点，若异面直线BD 和AB 1所成角的余弦值为23，则该几何体的体积为 A ．16+8π B ．32+16πC ．32+8πD ．16+16π12．已知函数()y f x =对任意的(,)22x ππ∈-满足()cos ()sin 0f x x f x x '+>（其中()f x '是函数()f x 的导函数），则下列不等式成立的是A ．(0)2()4f f π>B ．2()()34f f ππ< C ．(0)2()3f f π>D ．2()()34f f ππ-<-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

四川省泸州市泸县第二中学2021届高三数学上学期期中试题 理第I 卷(选择题 共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.） 1．已知全集U =R ，{|0}A x x =≤，{|1}B x x =≥，则集合()U C A B =A.{|0}x x ≥B.{|1}x x ≤C.{|01}x x ≤≤D.{|01}x x <<2．设i 是虚数单位，复数z 满足()13z i z -=+，则z 的虚部为 A ．1B ．-1C ．-2D ．23．已知命题p ：x R ∀∈，210x x ++>，则p ⌝为 A.x R ∃∉，210x x ++≤ B.x R ∃∈，210x x ++≤ C.x R ∃∉，210x x ++>D.x R ∃∈，210x x ++>4．sin40sin10cos40sin80+=A ．12 B ．32- C ．cos50 D ．325．函数()f x 在R 上单调递减，关于x 的不等式2()(2)f x f >的解集是A.{}|2x x >B.{}|2x x <C.{|22}x x -<<D.{|22}x x x-或6．已知实数,x y 满足10200x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =-的最大值为A.-4B.52-C.-1D.-27．若方程的解为，则所在区间为A ．B ．C ．D ．8．曲线3()2f x x x =+-在点P 处的切线与直线410x y ++=垂直，则点P 的坐标为 A ．(1,0)B ．(1,0)或(1,4)--C ．(2,8)D ．(2,8)或(1,4)--9．将函数323y sin x π⎛⎫⎪⎝⎭＝＋的图象向右平移2π个单位长度，所得图象对应的函数 A ．在区间7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 B ．在区间7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 C ．在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减 D ．在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 10．设函数，若是奇函数，则的值是A.1B.3C.－3D.－1 11．已知函数，若，，，则 A ．B ．C ．D ．12．已知函数()221log 2xf x x+=-，若()f a b =，则()4f a -= A.bB.2b -C.b -D.4b -第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知向量()()121a b m =-=，，，，若向量a b +与a 垂直，则m =______． 14．函数()()sin (0,0,)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的一段图象如图所示.则()f x 的解析式为______．15．已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1时有极值0，则a －b ＝________．16．若点P 是曲线2ln y x x =-上的任意一点，则点P 到直线2y x =-的最小距离是________.三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17 ~ 21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.） 17.（本大题满分12分）已知函数22()23cos cos sin f x x x x x =+-.（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）若(0,)2x π∈，求函数()f x 的最大值以及取得最大值时x 的值.18．已知函数2()22,[5,5]f x x ax x =++∈-. （Ⅰ）求函数()f x 的最小值；(Ⅱ)求实数a 的取值范围，使()y f x =在区间[5,5]-上是单调函数．19．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知(1cos )(2cos )b C c B +=-. （Ⅰ）求证：,,a c b 成等差数列；(Ⅱ)若3C π=，ABC ∆的面积为c .20. （本小题满分12分）如图，平面α内等腰直角三角形ABP ，其中AB AP =，点C ，D 分别为BP 和AP 的中点，现将PCD ∆沿CD 折起构成二面角P CD A --，连接,PB PA ，取E 为棱PB 的中点． （Ⅰ）求证：平面PAB ⊥平面CDE ；(Ⅱ)当二面角P CD A --为60︒时，求二面角A DE C --的余弦值．21．已知函数()(1)xf x e a x =--有两个零点． （Ⅰ）求实数a 的取值范围；(Ⅱ)设1x ，2x （12x x <）是()f x 的两个零点，证明：1212x x x x ⋅<+．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22. [选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为{5x y ==，(t 为参数)，以平面直角坐标系的原点为极点，正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2πsin 14ρθ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭.(Ⅰ)求直线l 和曲线C 的直角坐标方程，并指明曲线C 的形状；(Ⅱ)设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，且｜OA ｜<｜OB ｜，求11||||OA OB -.23．已知()|1||1|f x x x =++-，不等式()4f x <的解集为M . （Ⅰ）求M ；(Ⅱ)当,a b M ∈时，证明：2|||4|a b ab +<+.2021-2022度秋四川省泸县二中高三期中考试理科数学试题参考答案1-5:DCBDC6-10:DCBAC11-12:AB13．714．()23sin 510f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭15．7-1617．（Ⅰ）()22f x x cos x =+ 226sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. ∴函数()f x 的最小正周期22T ππ==. （Ⅱ）∵0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()226f x sin x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，∴72,666x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭∴()2max f x =. 此时262x ππ+=，∴6x π=.18．（1）22()()2f x x a a =++-，∴对称轴是x a =-，①当5a -≤-，即5a ≥时，()f x 在[5,5]-上为增函数，5x ∴=-时，()f x 取最小值且min ()2710f x a =-；②当55a -<-<，即55a -<<时，∴x a =-时，()f x 取最小值且2min ()2f x a =-；③当5a -≥，即5a ≤-时，()f x 在[5,5]-上为减函数，∴5x =时，()f x 取最小值且min 71(0)2f a x =+.综上所述：5a ≥时，min ()2710f x a =-；55a -<-<时，2min ()2f x a =-；5a ≤-时，min 71(0)2f a x =+.（2）∵二次函数()f x 图象关于直线x a =-对称，开口向上， ∴函数()f x 的单调减区间是(,]a -∞-，单调增区间是[,)a -+∞， 由此可得5a -≤-或5a -≥，即5a ≥或5a ≤-时，()y f x =在区间[5,5]-上是单调函数.19．（1）∵b （1+cosC ）=c （2-cosB ），∴由正弦定理可得：sinB +sinBcosC =2sinC -sinCcosB ，可得：sinBcosC +sinCcosB +sinB =2sinC ，∴sinA+sinB=2sinC，∴a+b=2c，即a，c，b成等差数列；（2）∵C=，△ABC的面积为4=absinC=ab，∴ab=16，∵由余弦定理可得：c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2-ab=（a+b）2-3ab，∵a+b=2c，∴可得：c2=4c2-3×16，解得：c=4.20.21．解：（1）∵()'xf x e a =-，x R ∈．（2）当0a ≤时，()'0f x >在R 上恒成立，∴()f x 在R 上单调递增，显然不符合题意． （3）当0a >时，由()'0f x =，得ln x a =，x(),ln a -∞ln a()ln ,a +∞()'f x -+()f x递减 极小值 递增当x →+∞，x →-∞时都有()f x →+∞，当()()ln 2ln 0f a a a =-<，即2a e >时()f x 有两个零点． （2）要证1212x x x x <+，即证()()12111x x --<， 由已知()111xe a x =-，()221x ea x =-，即证()()1212111x x e x x a+--=<，即证122x x e a +<，即证122ln x x a +<，即证212ln x a x <-， 又∵2ln x a >，且()f x 在()ln ,a +∞单调递增，故只需证()()212ln f x f a x <-，即证()()112ln f x f a x <-， 令()()()2ln g x f a x f x =--且ln x a <，∵()2'2xx a g x e a e =--+ 222x x x a e ae e +-=- ()20x xe a e -=-<，∴()g x 在(),ln a -∞单调递减，∴()()()()ln 2ln ln ln 0g x g a f a a f a >=--=， ∴()()2ln f a x f x ->在(),ln a -∞上恒成立， ∴()()112ln f a x f x ->，故原命题得证．22：(Ⅰ)由55x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩消去参数t ，得y =2x ，由2πsin 14ρθ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，得22cos 210sin ρρθρθ--+=， 所以曲线C 的直角坐标方程为222210x y x y +--+=， 即()()22111x y -+-=.即曲线C 是圆心为(1，1)，半径r=1的圆.(Ⅱ)联立直线l 与曲线C 的方程，得222102sin sin tan ρρθρθθ⎧--+=⎨=⎩，消去θ，得210ρ+=， 设A 、B 对应的极径分别为12ρρ，，则12ρρ+=，121ρρ⋅=， 所以121212115OA OB ρρρρ--===.23：（1）2,1()11{2,12,11x x f x x x x x x >=++-=-<--≤≤，当1x >时，24x <，解得12x <<； 当1x <-时，24x -<，解得21x -<<-； 当11x -≤≤时，24<恒成立； 综合以上：{}|22x x -<< （2）证明24a b ab +<+，只需22224(2)168a ab b ab a b ++<++， 只需22224416a b a b +<+∵2222224416(4)(4)a b a b a b --+=-- 又∵22(0,4),(0,4)a b ∈∈，∴222244160a b a b --+>因此结果成立.。

四川省泸州市泸县第二中学2021届高三数学上学期期末考试试题 文（含解析）第I 卷(选择题共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.） 1.已知集合2{|1}A x x =<，集合2{|log 0}B x x =<，则A B =（ ）A. (0,1)B. (1,0)-C. (1,1)-D. (,1)-∞【答案】A 【解析】 【分析】先解不等式得集合A 与B ，再根据交集定义得结果.【详解】根据题意：集合{|11}A x x =-<<，集合{|01}B x x =<<，(0,1)A B ∴=故选A ．【点睛】本题考查一元二次不等式与对数不等式解法以及交集的定义，考查基本分析求解能力，属基础题.2.“()2log 231x -<”是“32x >”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】log 2（2x ﹣3）＜1，化为0＜2x ﹣3＜2，解得3522x <<． ∴“log 2（2x ﹣3）＜1”是“32x >”的充分不必要条件． 3.小张刚参加工作时月工资为5000元，各种用途占比统计如下面的条形图.后来他加强了体育锻炼，目前月工资的各种用途占比统计如下面的拆线图.已知目前的月就医费比刚参加工作时少200元，则目前小张的月工资为（ ）A. 5500B. 6000C. 6500D. 7000【答案】A 【解析】 【分析】根据条形图求得刚参加工作的月就医费，从而求得目前的月就医费；利用折线图可知目前月就医费占收入的10%，从而可求得月工资.【详解】由条形图可知，刚参加工作的月就医费为：500015%750⨯=元 则目前的月就医费为：750200550-=元∴目前的月工资为：55010%5500÷=元本题正确选项：A【点睛】本题考查利用统计图表求解数据的问题，属于基础题. 4.ABC ∆中所在的平面上的点D 满足2BD DC =，则AD =（ ） A. 3144AD AB AC =+ B. 1344AD AB AC =+ C. 2133AD AB AC =+ D. 1233AD AB AC =+ 【答案】D 【解析】 【分析】已知2BD DC =，由向量的减法可得()2AD AB AC AD -=-，再化简运算即可. 【详解】解：因为2BD DC =， 所以()2AD AB AC AD -=-， 所以1233AD AB AC =+， 故选D ．【点睛】本题考查了向量的减法，重点考查了向量的线性运算，属基础题. 5.函数()2+ln f x x x =的图像大致为（ ）A. B. C. D.【答案】A 【解析】 【分析】先判断函数为偶函数排除BC ；再根据当0x →时，()f x →-∞ ，排除D 得到答案. 【详解】()()()222ln ln ln ()f x x x x f x x x x f x =+-=-+=+=-∴，偶函数，排除BC ； 当0x →时，()f x →-∞ ，排除D 故选A【点睛】本题考查了函数图像的识别，通过函数的奇偶性和特殊函数点可以排除选项快速得到答案.6.已知平面向量a 、b ，满足||||1a b ==，若()20a b b -⋅=，则向量a 、b 的夹角为（ ） A. 30 B. 45︒C. 60︒D. 120︒【答案】C 【解析】 【分析】根据()20a b b -⋅=，以及||||1a b ==和cos ,a b a b a b ⋅=<>，即可求解出,a b <>的值. 【详解】因为()20a b b -⋅=，所以22a b b ⋅=，所以22cos ,a b a b b <>=，所以2cos ,1a b <>=， 所以1cos ,2a b <>=，所以,60a b <>=︒. 故选：C.【点睛】本题考查根据向量的模长以及垂直关系求解向量夹角，难度较易.已知向量的模长求解向量的夹角时，可通过数量积计算公式cos ,a b a b a b ⋅=<>进行化简求解. 7.已知角α的终边经过点(P -，则sin 2α=A.2B.C. 12-D. 4-【答案】B 【解析】 【分析】先求出点P到原点的距离，再用三角函数的定义依次算出正、余弦值，利用二倍角公式计算结果即可． 【详解】角α的终边经过点p （﹣1，其到原点的距离r ==2故cos 12α=-，sin α= ∴sin22α=sin α cos 122α=⨯-=（）. 故选B ．【点睛】本题考查了任意角三角函数的定义，考查了二倍角公式，属于基础题．8.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，点(4，1)在双曲线上，则该双曲线的方程为A. 2214x y -=B. 221205x y -=C. 221123y x -=D.2218x y -= 【答案】C【解析】 【分析】根据离心率可得一个方程，结合双曲线过点(4，1)得另一个方程，联立可得.，所以c a =①；因为点(4，1)在双曲线上，所以221611a b-=②；因为222c a b =+③；联立①②③可得2212,3a b ==，故选C.【点睛】本题主要考查双曲线方程的求解，根据已知条件建立方程组是求解的关键，注意隐含关系的挖掘使用.9.数列{}n a 中，已知12,a =且121n n a a n +=++，则10a = A. 19 B. 21C. 99D. 101【答案】D 【解析】 【分析】利用累加法及等差数列的求和公式可求10a .【详解】因为121n n a a n +=++，所以213a a =+，325a a =+，437a a =+10919a a =+.上面各式相加可得1013193519291012a a +=++++=+⨯=，故选D. 【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，利用累加法求解数列通项公式时注意数列项数的变化.10.将函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像向右平移6π个单位长度，再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ）A. 函数()g x 1B. 函数()g x 的最小正周期为πC. 函数()g x 的图象关于直线3x π=对称D. 函数()g x 在区间2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 【答案】D 【解析】 【分析】根据平移变换和伸缩变换的原则可求得()g x 的解析式，依次判断()g x 的最值、最小正周期、对称轴和单调性，可求得正确结果. 【详解】函数()f x 向右平移6π个单位长度得：2sin 22sin 2666x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 横坐标伸长到原来的2倍得：()2sin 6g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭()g x 最大值为2，可知A 错误； ()g x 最小正周期为2π，可知B 错误；3x π=时，66x ππ-=，则3x π=不是()g x 的对称轴，可知C 错误；当2,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，0,62x ππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，此时()g x 单调递增，可知D 正确.本题正确选项：D【点睛】本题考查三角函数平移变换和伸缩变换、正弦型函数的单调性、对称性、值域和最小正周期的求解问题，关键是能够明确图象变换的基本原则，同时采用整体对应的方式来判断正弦型函数的性质.11.已知函数()f x 和(2)f x +都是定义在R 上的偶函数，当[0,2]x ∈时，()2x f x =，则20192f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A. 2B.C.2【答案】B 【解析】 【分析】由()f x 和(2)f x +都是定义在R 上的偶函数，可推导出周期为4，而20192f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭20192f ⎛⎫= ⎪⎝⎭(4252 1.5)(1.5)f f ⨯+=，即可计算.【详解】因为(2)f x +都是定义在R 上的偶函数，所以(2)(2)f x f x -+=+，即()(4)f x f x =-，又()f x 为偶函数，所以()()(4)f x f x f x =-=+，所以函数周期4T=，所以20192f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭20192f ⎛⎫= ⎪⎝⎭(4252 1.5)(1.5)f f ⨯+==，故选B.【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性，周期性，利用周期求函数值，属于中档题.12.已知函数ln ()xf x x=，若1x ，2x 都大于0，且12x x e +<，则1211+x x 的取值范围是（ ） A. (1,)+∞ B. (,)e +∞C. ,2e ⎛⎫+∞⎪⎝⎭D. (2,)+∞【答案】A 【解析】 【分析】先求导，判断函数()f x 的单调性，由此得到112()()f x f x x <+，212()()f x f x x <+，变形化简，即可得到1211+x x 的取值范围．【详解】ln (),0x f x x x => ，21ln ()xf x x -'∴= ， 当0x e <<时，()0f x '>，当x e >时，()0f x '<； 因为1x ，2x 都大于0，且12x x e +<，所以112()()f x f x x <+，212()()f x f x x <+即112112ln ln()x x x x x x +<+，212212ln ln()x x x x x x +<+， 变形有，121112ln()ln x x x x x x +<⋅+，122212ln()ln x x x x x x +<⋅+ 所以12121212121212ln()ln()ln ln =ln()x x x x x x x x x x x x x x +++<⋅+⋅+++，即1212x x x x <+，故12111x x +>，选A ． 【点睛】本题主要考查利用导数判断函数的单调性，以及单调性定义的应用，意在考查学生逻辑推理和数学运算能力．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13.若x ，y 满足约束条件02636x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩，则2z x y =-的最大值为______．【答案】10 【解析】 【分析】 作出不等式组02636x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩表示的平面区域，利用线性规划知识求解．【详解】作出不等式组02636x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩表示的平面区域如下：作出直线:l 20x y -=，当直线l 往下平移时，2z x y =-变大， 当直线l 经过点()2,4A -时，()max 22410z =-⨯-=【点睛】本题主要考查了利用线性规划求目标函数的最值知识，考查作图及计算能力，属于基础题．14.若向量a =31)，b =(1，﹣3，则b 在a 方向上的投影为_____． 【答案】3-【解析】 【分析】分别求出a b ⋅和a ，利用cos ,a b b a b a⋅=即可计算出结果.【详解】a b ⋅3=-2a =，∴b 在a 方向上的投影为：cos ,3a b a b b a b b a ba⋅⋅===-⋅．故答案为：3-【点睛】本题考查平面向量的投影及其计算，考查学生对投影的理解和计算，属基础题. 15. “圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何．”用现在的数学语言表述是：“如图所示，一圆柱形埋在墙壁中，1AB =尺，D 为AB 的中点，AB CD ⊥，1CD =寸，则圆柱底面的直径长是_________寸”．（注：l 尺=10寸）【答案】26 【解析】 【分析】由勾股定理222OA OD AD =+，代入数据即可求得． 【详解】解：∵AB CD ⊥，AD BD =， ∵ 10AB =寸， ∴ 5AD =寸，在Rt AOD ∆中，∵222OA OD AD =+， ∴ ()22215OA OA =-+， ∴ 13OA =寸，∴ 圆柱底面的直径长是226AO =寸． 故答案为26．【点睛】考查了学生对勾股定理的熟练应用，考查了数形结合思想，属于基础题．16.已知抛物线()2:20C y px p=>的焦点为F，直线l与C交于A，B两点，AF BF⊥，线段AB的中点为M，过点M作抛物线C的准线的垂线，垂足为N，则ABMN的最小值为____．【答案】2【解析】【分析】由题意结合抛物线的定义和均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果.【详解】如图所示，设抛物线的准线为l，作AQ l⊥于点Q，BP l⊥于点P，由抛物线的定义可设：,AF AQ a BF BP b====，由勾股定理可知：2222AB AF BF a b=+=+，由梯形中位线的性质可得：2a bMN+=，则：()22212222a bAB a ba bMN++=≥=+当且仅当a b=时等号成立.即ABMN2.【点睛】本题主要考查抛物线的定义及其应用，均值不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）17.某次高三年级模拟考试中，数学试卷有一道满分10分的选做题，学生可以从A，B两道题目中任选一题作答.某校有900名高三学生参加了本次考试，为了了解该校学生解答该选做题的得分情况，作为下一步教学的参考依据，计划从900名考生的选做题成绩中随机抽取一个容量为10的样本，为此将900名考生选做题的成绩按照随机顺序依次编号为001~900. （1）若采用系统抽样法抽样，从编号为001~090的成绩中用简单随机抽样确定的成绩编号为025，求样本中所有成绩编号之和；（2）若采用分层抽样，按照学生选择A题目或B题目，将成绩分为两层.已知该校高三学生有540人选做A题目，有360人选做B题目，选取的样本中，A题目的成绩平均数为5，方差为2，B题目的成绩平均数为5.5，方差为0.25.（i）用样本估计该校这900名考生选做题得分的平均数与方差；（ii）本选做题阅卷分值都为整数，且选取的样本中，A题目成绩的中位数和B题目成绩的中位数都是5.5.从样本中随机选取两个大于样本平均值的数据做进一步调查，求取到的两个成绩来自不同题目的概率.【答案】(1)4300；(2) （i）平均数为5.2，方差为1.36.（ii）3 5【解析】【分析】（1）根据系统抽样的特征,各个编号成等差数列,根据等差数列的首项与公差即可求得前10项的和.（2）根据分层抽样特征可知抽出的样本中A题目的成绩有6个,B题目的成绩有4个.求出10名学生的总成绩,即可得10名学生的平均成绩.根据所给A题目和B题目的平均数和方差,将方差公式变形,即可求得10名学生的成绩方差.从选取的成绩可知,A题目中超过平均成绩的有3人,B题目超过平均值的有2人,根据古典概型概率求法,用列举法把所有情况列举出来,即可得解.【详解】（1）由题易知,若按照系统抽样的方法,抽出的编号可以组成以25为首项,以90为公差的等差数列,故样本编号之和即为该数列的前10项之和,所以10109 10259043002S⨯=⨯+⨯=.（2）（i）由题易知,若按照分层抽样的方法,抽出的样本中A题目的成绩有6个,按分值降序分别记为1x ,2x ,…,6x ；B 题目的成绩有4个,按分值降序分别记为1y ,2y ,3y ,4y . 记样本的平均数为x ,样本的方差为2s .由题意可知,()()126123410x x x y y y y x ++⋅⋅⋅+++++=56 5.545.210⨯+⨯==()()()()22225.250.2520.250.2i i i i x x x x -=--=--⨯-+⎡⎤⎣⎦,1,2,,6i =⋅⋅⋅ ()()()()22225.2 5.50.3 5.520.3 5.50.3i i i i y y y y -=-+=-+⨯-+⎡⎤⎣⎦,1,2,,4i =⋅⋅⋅ ()()()()()22222126142 5.2 5.2 5.2 5.2 5.210x x x y y s -+-+⋅⋅⋅+-+-+⋅⋅⋅+-=222600.260.25400.3413.6 1.361010⨯-+⨯+⨯++⨯===所以,估计该校900名考生选做题得分的平均数为5.2,方差为1.36.（ii ）本选做题阅卷分值都为整数,且选取的样本中,A 题目成绩的中位数和B 题目成绩的中位数都是5.5,易知样本中A 题目的成绩大于样本平均值的成绩有3个,分别为1x ,2x ,3x ,B 题目的成绩大于样本平均值的成绩有2个,分别为1y ,2y .从样本中随机选取两个大于样本平均值的数据共有种10方法,为：()12,x x ,()13,x x ,()23,x x ,()12,y y ,()11,x y ,()21,x y ,()31,x y ,()12,x y ,()22,x y ,()32,x y ,其中取到的两个成绩来自不同题目的取法共有6种,为：()11,x y ,()21,x y ,()31,x y ,()12,x y ,()22,x y ,()32,x y ,记“从样本中随机选取两个大于样本平均值的数据,取到的两个成绩来自不同题目”为事件A ,所以()63105P A ==. 【点睛】本题考查了简单随机抽样中的系统抽样与分层抽样的方法与特征,平均数及方差的求法,古典概型概率的求法.方差公式的应用与变形是解决问题的关键,属于中档题.18.如图，菱形ABCD 的边长为a ，∠D ＝60°，点H 为DC 边中点，现以线段AH 为折痕将△DAH 折起使得点D 到达点P 的位置且平面PHA ⊥平面ABCH ，点E ，F 分别为AB ，AP 的中点.（1）求证：平面PBC∥平面EFH；（2）若三棱锥P﹣EFH 3a的值.【答案】（1）见解析；（2）a＝2【解析】【分析】（1）分别证明EH∥平面PBC和EF∥平面PBC，再由EF∩EH＝E，即可证明结论；（2）根据条件求出AH3=，DH＝PH＝CH12a=，然后证明PH⊥平面ABCH，又点F为AP的中点，则S△PEF＝S△AEF，故V H－PEF＝V H－AEF，则111223P EFH P AEH AEHV V S h--==⋅⋅，据此计算求解即可.【详解】（1）证明：菱形ABCD中，∵E，H分别为AB，CD的中点，∴BE∥CH，BE＝CH，∴四边形BCHE为平行四边形，则BC∥EH，又EH⊄平面PBC，∴EH∥平面PBC，又点E，F分别为AB，AP的中点，则EF∥BP，又EF⊄平面PBC，∴EF∥平面PBC，由EF∩EH＝E，∴平面EFH∥平面PBC；（2）在菱形ABCD中，∠D＝60°，则△ACD为正三角形，∴AH⊥CD，AH3=，DH＝PH＝CH12a=，折叠后，PH⊥AH，又平面PHA⊥平面ABCH，平面PHA∩平面ABCH＝AH，从而PH⊥平面ABCH．在△PAE中，点F为AP的中点，则S△PEF＝S△AEF，∴V H－PEF＝V H－AEF，而V H－PEF+V H－AEF＝V H－PAE，∴11112223P EFH H PEF H PAE P AEH AEHV V V V S h ----====⋅⋅311113133 2322229612a a a a=⨯⨯⨯⨯⨯==，∴a 3＝8，即a ＝2．故a ＝2．【点睛】本题考查面面平行和椎体体积的相关问题，面面平行证明的关键是在一个平面中找两条相交的直线，它们都平行于另一个平面，属中档题.19.设数列{}n a 满足12323...2(n N*)n na a a na ⋅⋅⋅⋅=∈．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列122n n a +⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．【答案】（1）2n a n =；（2）()()111222n n n n ++-⋅++. 【解析】 【分析】 （1）在()12323...2n N*n n a a a na ⋅⋅⋅⋅=∈中，将1n -代n得：()()1123123...12n 2n n a a a n a --⋅⋅⋅⋅-=≥，由两式作商得：2n a n=，问题得解． （2）利用（1）中结果求得b n n 2n a=+⋅，分组求和，再利用等差数列前n 项和公式及乘公比错位相减法分别求和即可得解． 【详解】（1）由n ＝1得1a =2， 因为()12323 (2)n N*nn a a a na ⋅⋅⋅⋅=∈，当n≥2时，()()1123123...12n 2n n a a a n a --⋅⋅⋅⋅-=≥，由两式作商得：2n a n=（n ＞1且n∈N *）， 又因为1a =2符合上式， 所以2n a n=（n∈N *）． （2）设122n n nb a ++=，则b n ＝n ＋n·2n ，所以S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝（1＋2＋…＋n ）＋23122232(1)22n n n n -⎡⎤+⋅+⋅++-+⋅⎣⎦设T n ＝2＋2·22＋3·23＋…+（n －1）·2n －1＋n·2n ，①所以2T n ＝22＋2·23＋…（n －2）·2n －1＋（n －1）·2n ＋n·2n ＋1，②①－②得：－T n ＝2＋22＋23＋ (2)－n·2n ＋1，所以T n ＝（n －1）·2n ＋1＋2．所以()12n n n n S T +=+， 即()()111222n n n n S n ++=-⋅++． 【点睛】本题主要考查了赋值法及方程思想，还考查了分组求和法及乘公比错位相减法求和，考查计算能力及转化能力，属于中档题．20.已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，椭圆的离心率为12，过椭圆1C 的左焦点1F ，且斜率为1的直线l ，与以右焦点2F 为圆心，的圆2C 相切. （1）求椭圆1C 的标准方程；（2）线段MN 是椭圆1C 过右焦点2F 的弦，且22MF F N λ=，求1MF N ∆的面积的最大值以及取最大值时实数λ的值.【答案】（1）22143x y +=；（2）3，1. 【解析】 【分析】（1）由圆与直线相切可得圆心到直线的距离等于半径，求出1c =，根据椭圆离心率12c e a ==，求出a ，进而求出b ，得到椭圆得方程． （2）分类讨论思想，设出直线方程，联立椭圆方程，运用韦达定理，结合二次函数得最值，确定当直线MN 与x 轴垂直时1MF N ∆的面积最大． 【详解】（1）设1(,0)F c -，2(,0)(0)F c c >， 则直线l 的方程为：y x c =+，即0x y c -+=.∵直线l 与圆2C 相切，∴圆心2F 到直线l 的距离为d ==1c =.∵椭圆1C 的离心率为12，即112a =，所以2a =，所以222413b ac =-=-=， ∴椭圆1C 的方程为22143x y +=.（2）由（1）得1(1,0)F -，2(1,0)F ，由题意得直线MN 的斜率不为0，故设直线MN 的方程为：1()x ty t =+∈R ，代入椭圆方程22143x y +=化简可得()2243690t y ty ++-=，()223636430t t ∆=++>恒成立，设()11,M x y ，()22,N x y ，则1y ，2y 是上述方程的两个不等根，∴122643t y y t -+=+，122943y y t-=+. ∴1MF N 的面积1121212MF N S F F y y ∆=⋅⋅-=1212122y y y y ⨯⨯-=-===m =，则m 1≥，221t m =-，则223431t m +=+，121231MF NmSm =⨯+. 令2()(1)31m f m m m =≥+，则()22213()031m f m m '-=<+恒成立， 则函数()f m 在[1,)+∞上为减函数，故()f m 的最大值为1(1)4f =， 所以1MF N 的面积的最大值为11234⨯=，当且仅当1m =，即0t =时取最大值， 此时直线MN 的方程为1x =，即直线MN 垂直于x 轴，此时22MF F N =，即1λ=. 【点睛】本题考查了椭圆的标准方程、直线与圆的位置关系，考查分类讨论的思想．圆与直线的位置关系有三种，可用代数法和几何法进行判断． 21.已知函数2()(0)4x x a f x e a x ++=⋅≥+. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当[0,1)b ∈时，设函数22(3)()(2)(2)x e b x g x x x +-+=>-+有最小值()h b ，求()h b 的值域.【答案】(1)见解析；(2) 21(),24e h b ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦【解析】 【分析】（1）先求出()'f x ，分04a ≤≤和4a >两种情形，利用导数的符号判断函数的单调性即可.（2）求出'()g x 并将其化简为23(4)4'()(2)x x x e b x g x x +⎛⎫+⋅+ ⎪+⎝⎭=+，构建新函数2()(2)4x x k x e b x x +=+>-+，利用（1）的单调性及零点存在定理可得()k x 有唯一的0x ，它就是函数()g x 最小值点，利用导数可求该最小值的值域. 【详解】解：（1）()f x 定义域为(,4)(4,)-∞--+∞，224'()(4)4x a x a f x e x x +⎛⎫-+=+ ⎪++⎝⎭222(4)34(4)x x a x a ex +++++=⋅+.令2(4)340x a x a ++++=，①22(4)4(34)4a a a a ∆=+-+=-，1︒当04a ≤≤时，0∆≤，2(4)340x a x a ++++≥，即'()0f x ≥且不恒为零，故()f x 单调递增区间为(,4)-∞-，(4,)-+∞，2︒当4a >时，>0∆，方程①两根为142a x ---=，242a x --=，由于1(4)0x --=<，2(4)0x --=>.故124x x <-<，因此当1(,)x x ∈-∞时，'()0f x >，()f x 单调递增，1(,4)x x ∈-，'()0f x <，()f x 单调递减， 2(4,)x x ∈-，'()0f x <，()f x 单调递减，2(,)x x ∈+∞，'()0f x >，()f x 单调递增，综上，当04a ≤≤时，()f x 在(,4)-∞-单调递增，(4,)-+∞单调递增，当4a >时，()f x在(-∞单调递增，4(4)2a ----，4(4,)2a --+-单调递减；在4()2a --++∞单调递增.（2）23(4)'()(2)x xe b x g x x +++=+23(4)4(2)x x x e b x x +⎛⎫+⋅+⎪+⎝⎭=+，设2()(2)4x x k x e b x x +=+>-+， 由（1）知，0a =时，2()4x x f x e x +=+在(2,)-+∞单调递增， 由于(0)0k b =≥，(2)10k b -=-+<， 故在(2,0]-存在唯一0x ，使0()0k x =，02004x x b e x +-=+， 又当0(2,)x x ∈-，()0k x <，即)'(0g x <，()g x 单调递减，0(,)x x ∈+∞，()0k x >，即'()0g x >，()g x 单调递增，故(2,)x ∈-+∞时，()()0200203()2x e bx bh b g x x +--==+()()002200020342x x x e e x x x +++++=+0204x e x +=+，0(2,0]x ∈-. 又设2()4x e m x x +=+，(2,0]x ∈-，22222(4)(3)'()0(4)(4)x x x e x e e x m x x x ++++-+==>++，故()m x 单调递增，故()((2),(0)]m x m m ∈-，即21(),24e m x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，即21(),24e h b ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.【点睛】（1）一般地，若()f x 在区间(),a b 上可导，且()()()'0'0f x f x ><，则()f x 在(),a b 上为单调增（减）函数；反之，若()f x 在区间(),a b 上可导且为单调增（减）函数，则()()()'0'0f x f x ≥≤．（2）求函数的最值，应结合函数的定义域去讨论函数的单调性，有的函数的单调性可以利用基本初等函数的单调性、复合函数的单调性判断法则得到，有的函数的单调性需结合导数的符号进行判断，有时导数的零点不易求，则需要虚设零点，利用零点满足的方程化简函数的极值（或最值）．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos 2sin x t y t αα⎧=+⎪⎨⎪=⎩（t 为参数，0απ<<）．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22cos sin θρθ=． （1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，若8AB =，求α值．【答案】（1）22=y x ；（2）6πα=或56π 【解析】 【分析】（1）根据极坐标与直角坐标互化原则即可求得结果；（2）将直线参数方程代入曲线直角坐标方程，可求得12t t +和12t t ，根据直线参数方程参数的几何意义可知12AB t t =-=.【详解】（1）由22cos sin θρθ=，得2sin 2cos ρθθ= 22sin 2cos ρθρθ∴=，即22y x =（2）将直线l 的参数方程代入曲线C 的方程得：22sin 2cos 10t t αα--=()222cos 4sin 40αα∆=-+=>设12,t t 是方程的根，则：1222cos sin t t αα+=，1221sin t t α=-∴12228sin AB t t α=-==== 21sin 4α∴=，又0απ<< 1sin 2α∴= 6πα∴=或56π【点睛】本题考查了简单曲线的极坐标方程、直线参数方程的几何意义的应用，关键是能够根据几何意义将已知弦长表示为韦达定理的形式，构造出关于α的方程，属中档题． 23.已知函数()|21||3|f x x x =-++，()|1|||g x a a x =--. （1）求函数()f x 的值域M ； （2）若函数()g x 的值域为N ，且MN ≠∅，求实数a 的取值范围.【答案】（1）7,2M ⎡⎫=+∞⎪⎢⎣⎭；（2）9(,0),2⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭.【解析】 【分析】（1）先化简得到分段函数f(x)，再求出分段函数的值域得解；（2）对a 分类讨论，根据M N ≠∅得到实数a 的取值范围.重点中学试卷 可修改 欢迎下载- 21 - 【详解】（1）函数()f x 可化简32,31()4,32132,2x x f x x x x x ⎧⎪--≤-⎪⎪=-+-<≤⎨⎪⎪+>⎪⎩可得当3x ≤-时，()327f x x =--≥. 当132x ≤时，7()4,72f x x ⎡⎫=-+∈⎪⎢⎣⎭. 当12x >时，7()322f x x =+>. 故()f x 的值域7,2M ⎡⎫=+∞⎪⎢⎣⎭. （2）当0a =时，()1g x =，{1}N =，M N ⋂=∅，所以0a =不符合题意.当0a >时，因为0x ≥，所以函数()g x 的值域(,|1|]N a =-∞-，若M N ⋂=∅，则7|1|2a -≥，解得52a ≤-或92a ≥，从而92a ≥符合题意. 当0a <时，因为0x ≥，所以函数()g x 的值域[|1|,)N a =-+∞，此时一定满足M N ⋂=∅，从而0a <符合题意. 综上，实数a 的取值范围为9(,0),2⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题主要考查绝对值函数的值域的求法，考查集合之间的关系和参数范围的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。

四川省泸县第二中学高2021届一诊模拟考试文科数学一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{}20,2,A m m =-，{}|15B x Z x =∈<<，若{4}A B ⋂=，则实数m 构成的集合是（ ）A. {2,6}B. {2,6}-C. {2,2}-D. {2,2,6}- 【答案】B【解析】【分析】由题知24m -=或24m =，又根据集合元素的互异性即可得出m 的值.【详解】{}{}|152,3,4B x Z x =∈<<=，因为{4}A B ⋂=，所以4A ∈，则有24m -=或24m =，解得：6m =或2m =±，当6m =时，集合{}0,4,36A =满足题意；当2m =时，集合{}0,0,4A =，不满足互异性，故舍去；当2m =-时，集合{}0,4,4A =-满足题意，综上，实数m 构成的集合是{}2,6-.故选：B【点睛】本题考查交集的概念，考查集合元素的互异性，属于基础题.2. 函数sin(2)3y x π=+图象的对称轴方程可能是（ ） A. 6x π=- B. 12x π=- C. 6x π= D. 12x π=【答案】D【解析】 【详解】函数的对称轴方程满足：()232x k k Z πππ+=+∈ ,即：()212k x k Z ππ=+∈ ,令0k = 可得对称轴方程为12x π= . 本题选择D 选项.3. 函数()()311x x e f x x e +=-（其中e 为自然对数的底数）的图象大致为（ ） A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先根据函数的奇偶性排除A 、C,再由x →+∞时,()f x 的趋向性判断选项即可【详解】由题,()f x 的定义域为{}|0x x ≠,因为()()()()331111x x x x e e f x f x x e x e --++-===---,所以()f x 是偶函数,图象关于y 轴对称,故排除A 、C ； 又因为()()()33311211x x x e f x x x e x e +==+--,则当x →+∞时,3x →+∞,1x e -→+∞,所以()0f x →, 故选：D【点睛】本题考查函数奇偶性的应用,考查函数图象4. 设()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≤时，2()2f x x x =-，则(1)f =A. 3-B. 1-C. 1D. 3【答案】A【解析】 【详解】试题分析：因为当时，2()2f x x x =-，所以. 又因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以. 故应选A. 考点：函数奇偶性的性质.5. α，β是两个平面，m ，n 是两条直线，则下列命题中错误的是（ ）A. 如果m n ⊥，m α⊥，n β⊥，那么αβ⊥B. 如果m α⊂，//αβ，那么//m βC. 如果l αβ=，//m α，//m β，那么//m lD. 如果m n ⊥，m α⊥，βn//，那么αβ⊥【答案】D【解析】【分析】A. 由面面垂直的判定定理判断；B. 由面面平行的性质定理判断；C.由线面平行的性质定理判断；D.由平面与平面的位置关系判断；【详解】A. 如果m n ⊥，m α⊥，n β⊥，由面面垂直的判定定理得αβ⊥，故正确；B. 如果m α⊂，//αβ，由面面平行的性质定理得//m β，故正确；C.如果l αβ=，//m α，//m β，由线面平行的性质定理得//m l ，故正确；D.如果m n ⊥，m α⊥，βn//，那么,αβ相交或平行，故错误；故选：D【点睛】本题主要考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，还考查了理解辨析和逻辑推理的能力，属于中档题.6. 在ABC 中，已知sin cos sin A B C =， 那么ABC 一定是A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等腰直角三角形D. 正三角形 【答案】A【解析】 【分析】先化简sin Acos B ＝sin C=()sin A B +，即得三角形形状. 【详解】由sin Acos B ＝sin C 得()sin cos sin sin cos cos sin ,A B A B A B A B =+=+所以sinBcosA=0,因为A,B∈（0，π），所以sinB ＞0，所以cosA=0,所以A=2π, 所以三角形是直角三角形.故答案为A【点睛】本题主要考查三角恒等变换和三角函数的图像性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.7. 设2log 3a =，3log 4b =，5log 8c =，则A. a b c >>B. a c b >>C. c a b >>D. c b a >>【答案】B【解析】【分析】 b 和c 的比较，将327lg 64log 4log 64lg 27b ===，525lg 64log 8log 64lg 25c ===转化比较， a 和c 的比较找中间数32， 分别作差比较.，最后得到结论. 【详解】因为327lg 64log 4log 64lg 27b ===，525lg 64log 8log 64lg 25c ===， 又因为lg 640>，0lg 25log 27<<，所以b c <. 又因为223233log 3log 22-=， 因3232>，故32312>， 所以23log 302->即. 32a > 又553233log 8log 25-=， 因3285<，故328015<<， 所以53log 802-<.即32c < 所以a c > 故a c b >>.故选：B.【点睛】本题主要考查了对数的转化及比较大小，还考查了转化化归运算比较的能力，属于中档题.8. 已知函数222,0()1,0x x f x x x x ⎧++<⎪=⎨⎪--≥⎩，则()f x 的最大值是（ ）A. 2+B. 2-C. 1-D. 1 【答案】B【解析】【分析】0x <时，利用单调性定义确定函数的单调性得(,0)-∞上的最大值，0x ≥时，利用二次函数性质得[0,)+∞上的最大值，两者比较可得结论．【详解】（1）当0x <时，2()2=++f x x x ，任取120x x <<， 则1212121212222()()22()1⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=++-++=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭f x f x x x x x x x x x ，当12<<x x 12122()10⎛⎫--< ⎪⎝⎭x x x x ，即12()()f x f x <，函数()f x 单调递增；当120<<<x x 时，12122()10⎛⎫--> ⎪⎝⎭x x x x ，即12()()f x f x >，函数()f x 单调递减；所以max ()(2f x f ==-（2）当0x ≥时，2()1f x x =--单调递减，所以max ()(0)1f x f ==-；而21->-，所以max ()2f x =-故选：B ．【点睛】本题考查求函数的最大值，解题关键确定函数的单调性，解题时要注意分段函数分段求最大值，然后再比较．9. 已知长方体所有棱的长度之和为28，则该长方体的表面积为（ ）A. 32B. 20C. 16D. 12【答案】A【解析】【分析】设长方体的长、宽、高分别为a ，b ，c ，根据长方体所有棱的长度之和为28，一条对角线的长，由7a b c ++=和22217a b c ++=求解.【详解】设长方体的长、宽、高分别为a ，b ，c ，由题意可知，7a b c ++=…①，22217a b c ++=…②，由2-①②可得()232ab bc ac ++=，所以该长方体的表面积为32．故选：A【点睛】本题主要考查长方体的几何特征以及表面积的求法，属于基础题.10. 已知半径为5的球的两个平行截面的周长分别为6π和8π，则两平行截面间的距离是A. 1B. 2C. 1或7D. 2或6【答案】C【解析】【分析】求出两个平行截面圆的半径,由勾股定理求出球心到两个截面的距离.分两个平行截面在球心的同侧和两侧讨论，即得两平行截面间的距离.【详解】设两平行截面圆的半径分别为12,r r ，则121226,28,3,4r r r r ππππ==∴==. ∴球心到两个截面的距离分别为124,3d d ====. 当两个平行截面在球心的同侧时，两平行截面间的距离为12431d d -=-=； 当两个平行截面在球心的两侧时，两平行截面间的距离为12437d d +=+=. 故选：C . 【点睛】本题考查球的截面间的距离，属于基础题. 11. 如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是AD 的中点，动点P 在底面ABCD 内（不包括边界），若1B P平面1A BM ，则1C P 的最小值是A. 305B. 230C. 275D. 47 【答案】B【解析】【分析】在11A D 上取中点Q ，在BC 上取中点N ，连接11,,,DN NB B Q QD ，根据面面平行的判定定理可知平面1//B QDN 平面1A BM ，从而可得P 的轨迹是DN （不含,D N 两点）；由垂直关系可知当CP DN ⊥时，1C P 取得最小值；利用面积桥和勾股定理可求得最小值.【详解】如图，在11A D 上取中点Q ，在BC 上取中点N ，连接11,,,DN NB B Q QD//DN BM ，1//DQ A M 且DN DQ D =，1BM A M M =∴平面1//B QDN 平面1A BM ，则动点P 的轨迹是DN （不含,D N 两点）又1CC ⊥平面ABCD ，则当CP DN ⊥时，1C P 取得最小值此时，22512CP ==+ 221230255C P ⎛⎫∴≥+= ⎪⎝⎭ 本题正确选项：B【点睛】本题考查立体几何中动点轨迹及最值的求解问题，关键是能够通过面面平行关系得到动点的轨迹，从而找到最值取得的点.12. 设1x ， 2x 分别是函数()x f x x a -=-和()log 1a g x x x =-的零点（其中1a >），则124x x +的取值范围是（ ）A. [)4,+∞B. ()4,+∞C. [)5,+∞D. ()5,+∞ 【答案】D【解析】【详解】由12,x x 分别是函数()x f x x a-=-和()log 1a g x x x =-的零点， 所以110x x a --=，即111x a x =，因为11,0a x >>，所以11x a >，则101x <<， 所以22log 10a x x -=，即221log a x x =，所以21211x a x =，且21>x 所以121x x =，则12221445x x x x +=+>， 即124x x +的取值范围是(5,)+∞，故选D.二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知实数x ，y 满足10,240,20,x y x y z x y x -+≤⎧⎪+-≥=+⎨⎪≥⎩则的最小值为___________．【答案】5【解析】【分析】由题意可得可行域为如图所示（含边界），11222z x y y x z =+⇒=-+， 则在点A 处取得最小值5.联立10240x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，解得：1,(1,2)2x A y =⎧∴⎨=⎩ 代入2z x y =+得最小值5.答案为：5.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得. 【详解】14. 已知2cos 265πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则sin 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭___________ 【答案】25【解析】【分析】利用诱导公式三和诱导公式五可求得结果.【详解】sin 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭sin(2)62ππα+-sin[(2)]26ππα=--+ 22cos(2)()655πα=-+=--=. 故答案为：2515. 已知下列三个命题：①“若0xy =，则0x =且0y =”的逆否命题；②“正方形是菱形”的否命题；③“若2m >，则不等式220x x m -+>的解集为R ”.其中真命题为___________.【答案】③【解析】【分析】结合逆否命题等价性，逐一判断命题真假，即可选择.【详解】因为“若0xy =，则0x =或0y =”，所以“若0xy =，则0x =且0y =”为假命题，所以其逆否命题为假命题；因为“正方形是菱形”的逆命题为“菱形是正方形”，为假命题，所以“正方形是菱形”的否命题也为假命题； 若2m >，则440m ∆=-<∴不等式220x x m -+>的解集为R ，所以“若2m >，则不等式220x x m -+>的解集为R ”为真命题，故答案为：③【点睛】本题考查命题真假判断、逆否命题等价性应用，考查基本分析判断能力，属基础题.16. 设f （x ）是定义在R 上的奇函数，且当x≥0时，f （x ）=x 2，若对任意x ∈[a ，a+2]，不等式 f （x+a ）≥f （3x+1）恒成立，则实数a 的取值范围是_________．【答案】(,5]-∞-【解析】【详解】试题分析：易知()f x 单调递增，所以31,21x a x a x +≥+≥+恒成立.因为[,2]x a a ∈+，所以212(2)125,25,5x a a a a a +≤++=+∴≥+≤-.考点：函数的单调性奇偶性；不等式恒成立问题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.17. 已知函数3()ln 42x a f x x x =+--，其中a R ∈，且曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线垂直于12y x =. （1）求a 的值；（2）求函数()f x 的单调区间与极值.【答案】（1）54a =；（2）单调递增区间()5,+∞，单调递减区间()0,5，()f x 的极小值为 ()5ln5f =-. 【解析】【分析】（1）由()2311()ln 424x a a f x x f x x x x '=+--⇒=--，而曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线垂直于12y x =，所以(1)2f '=-，解方程可得a 的值； （2）由（1）的结果知()2225315145()ln 442444x x x f x x f x x x x x --'=+--⇒=--=于是可用导函数求()f x 的单调区间；【详解】（1）对()f x 求导得()2114a f x x x=--'， 由()f x 在点()()1,1f 处切线垂直于直线12y x =，知()312,4f a '=--=-解得54a =；（2）由（1）知53()ln 442x f x x x =+--， 则()22215145,444x x f x x x x--'=--= 令()0f x '=，解得1x =-或5x =.因1x =-不在()f x 的定义域()0,∞+内，故舍去. 当()0,5x ∈时，()0,f x '<故()f x 在()0,5内为减函数； 当()5,x ∈+∞时，()0,f x '>故()f x 在()5,+∞内为增函数； 由此知函数()f x 在5x =时取得极小值()5ln5f =-.18. 设ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()()sin sin sin sin sin sin A B C A B C +--+3sin sin 2B C =． （1）求sin A 的值（2）若3a =，求ABC 的面积的最大值．【答案】（1；（2. 【解析】【分析】（1）将已知等式利用平方差公式得2221sin sin sin sin sin 2A B C B C --=-，由正弦定理化简得22212b c a bc +-=，然后由余弦定理可得答案.（2）由余弦定理和基本不等式可得6bc ≤，从而可得到面积的最值.【详解】（1）因为()()3sin sin sin sin sin sin sin sin 2A B C A B C B C +--+=． 得2221sin sin sin sin sin 2A B C B C --=-．由正弦定理得22212b c a bc +-=，即222124b c a bc +-=得1cos 4A =．因为0A π<<，所以sin A ． （2）因为2222cos a b c bc A =+-，所以22192b c bc =+-． 所以1922bc bc ≥-，解得6bc ≤，当且仅当b c ==所以1sin 2ABC S bc A =≤△． ABC的面积的最大值是4. 【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理的应用，考查利用基本不等式求解三角形面积的最值问题，属于基础题.19. 已知向量()cos ,1m x =-，13sin ,2n x ⎛⎫=- ⎪⎭，设函数()()f x m n m =+⋅ （1）求函数f (x )的最小正周期；（2）已知a 、b 、c 分别为三角形ABC 的内角对应的三边长，A 为锐角，a =1，3c =，且f (A )恰是函数f (x )在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值，求A ，b 和三角形ABC 的面积．【答案】（1）π；（2）答案见解析． 【解析】【分析】（1）先利用三角恒等变换化简函数得f(x)=s in 226x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭,再求函数的最小正周期.（2）由()f A 恰是函数()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的最大值，A 为锐角，可得6A π=，再由余弦定理可求得b=1或b=2，再求三角形的面积得解.【详解】（1）由题意可得()()221cos 13sin cos 2f x m n m m m n x x x =+⋅=+⋅=+++1cos2311sin2222x x +=+++ 13cos2sin22sin 22226x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭. ∴函数()f x 的最小正周期22T ππ==； （2）由（1）知()sin 226f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， 又()f A 恰是函数()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的最大值，A 为锐角，可得6A π=，由余弦定理可得2231323b b =+-⨯⨯，解得b=1或b=2 当b=1时，三角形ABC 的面积13sin 2S bc A ==， 当b=2时，三角形ABC 的面积13sin 2S bc A ==. 【点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查三角函数的图像和性质，考查余弦定理解三角形和三角形的面积，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.20. 在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=，PA ⊥面ABCD ，3PA =，E ，F 分别为BC ，PA 的中点．（Ⅰ）求证：面PDE ； （Ⅱ）求点到面PDE 的距离．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）7． 【解析】【详解】（1）取PD 中点G ，连结GF ，GE ，∵E ，F 分别为BC ，PA 的中点， ∴可证得//FG BE ，FG BE =，∴四边形BFGE 是平行四边形， ∴//BF EGh ，又∵EG ⊂平面PDE ，BF ⊄平面PDE ， ∴//BF 面PDE ． （2）∵P CDE C PDE V V --=，∴11213372CDE CDE PDE PDE S PA S PA S h h S ∆∆∆∆⨯⨯=⨯⇒===21. 已知函数321()3()3f x x x ax a =--∈R . （1）若()f x 在1x =-时，有极值，求a 的值；（2）在直线1x =上是否存在点P ，使得过点P 至少有两条直线与曲线()y f x =相切？若存在，求出P 点坐标；若不存在，说明理由.【答案】（1）1a =-（2）不存在，详见解析 【解析】 【分析】（1）求得2()23f x x x a '=-+，根据函数()f x 在1x =-取得极值，即可求解；（2）不妨设点()1,P b ，设过点P 与()y f x =相切的直线为l ，切点为()00,x y ，求得切线方程，根据直线l 过()1,P b ，转化为()()322000000132313b x x ax x x a x -+-=-+-，设函数322()2233g x x x x a b =-+-+，转化为()g x 在区间(),-∞+∞上单调递增，即可求解. 【详解】（1）由题意，函数321()33f x x x ax =-+，则2()23f x x x a '=-+，由()f x 在1x =-时，有极值，可得(1)1230f a '-=++=，解得1a =-.经检验，1a =-时，()f x 有极值. 综上可得1a =-.（2）不妨设在直线1x =上存在一点()1,P b ，设过点P 与()y f x =相切的直线为l ，切点为()00,x y ，则切线l 方程为()()32200000013233y x x x x x a x x α-+-=-+-， 又直线l 过()1,P b ，有()()322000000132313b x x ax x x a x -+-=-+-，即32000222303x x x a b -+-+=， 设322()2233g x x x x a b =-+-+，则22()2422(1)0g x x x x '=-+=-≥，所以()g x 在区间(),-∞+∞上单调递增，所以()0g x =至多有一个解， 过点P 与()y f x =相切的直线至多有一条，故在直线1x =上不存在点P ，使得过P 至少有两条直线与曲线()y f x =相切.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，其中解答中熟记函数的导数与函数间的关系是解答的关键，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力．22. 平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为131121x y λλλλ-+⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩（λ为参数，且1λ≠-）.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为212cos 320ρρθ++=. （1）求曲线1C 普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）已知点P的极坐标为4π⎛⎫ ⎪⎝⎭，Q 为曲线2C 上的动点，求PQ 的中点M 到曲线1C 的距离的最大值.【答案】（1）()34103x y x +-=≠，2212320x y x +++=.（2）85【解析】【分析】（1）化简得到341x y +=，再考虑4331x λ=-≠+，利用极坐标方程公式得到答案. （2）P 的直角坐标为()2,2，设点()00,M x y ，故()0022,22Q x y --，代入圆方程得到M 在圆心为()2,1-，半径为1的圆上，计算得到最大距离.【详解】（1）因为13,112,1x y λλλλ-+⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩①②，所以3×①+4×②，得341x y +=.又133(1)4433111x λλλλλ-++-===-≠+++，所以1C 的普通方程为()34103x y x +-=≠，将cos x ρθ=，222x y ρ=+代入曲线2C 的极坐标方程，得曲线2C 的直角坐标方程为2212320x y x +++=.（2）由点P的极坐标4π⎛⎫⎪⎝⎭，可得点P 的直角坐标为()2,2. 设点()00,M x y ，因为M 为PQ 的中点，所以()0022,22Q x y -- 将Q 代入2C 的直角坐标方程得()()2200211x y ++-=， 即M 在圆心为()2,1-，半径为1的圆上. 所以点M 到曲线1C 距离的最大值为|23141|8155d -⨯+⨯-=+=，由（1）知1C 不过点()3,2N -，且312391423420MN k +⎛⎫⎛⎫⋅-=⋅-=≠- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭， 即直线MN 与1C 不垂直.综上知，M 到曲线1C 的距离的最大值为85. 【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程，距离的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力. 23. 已知函数()2f x x =+.（1）求不等式()()21x x f f x +-<+的解集：（2）若x ∀∈R ，使得()()()2f x a f x f a ++≥恒成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）∅；（2）22,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.【解析】【分析】（1）由题意可得21x x x ++<+，由绝对值的定义，对x 讨论去绝对值，解不等式，求并集，可得所求解集；（2）由题意可得2222x a x a ++++≥+恒成立，等价为()min22||22x a x a ++++≥+，由绝对值不等式的性质可得不等式左边的最小值，由绝对值的解法可得所求范围. 【详解】（1）不等式()()21x x f f x +-<+，即为21x x x ++<+，等价为021x x x x ≥⎧⎨++<+⎩或2021x x x x -<<⎧⎨+-<+⎩或221x x x x ≤-⎧⎨---<+⎩，解得x ∈∅或x ∈∅或x ∈∅， 则原不等式的解集为∅；（2）若x ∀∈R ，使得()()()2f x a f x f a ++≥恒成立， 即有2222x a x a ++++≥+恒成立，由2222x a x x a x a ++++≥++--=，当且仅当()()220x x a +++≤时，取得等号， 可得22a a +≤，即为()()3220a a ++≤， 解得223a -≤≤-， 则a 的取值范围是22,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法和绝对值不等式的性质，考查分类讨论思想和转化思想，化简运算能力和推理能力，属于中档题.。

四川省泸州市泸县第二中学2021届高三数学上学期开学考试试题 文第I 卷（选择题60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设复数z 满足i zz=-+121，则z = A.B.C.D.2.已知集合{}23<<-=x x M ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤=4)21(xx N ，则 A.B. C.D.3.某校为了解高二的1553名同学对教师的教学意见，现决定用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，先在总体中随机剔除n 个个体，然后把剩下的个体按0001，0002，0003……编号并分成m 个组，则n 和m 应分别是 A.53，50B.53，30C.3，50D.3，314.已知双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为A.B. C. D.5.等比数列中，，，则数列前3项和A.B.C.D.6.设l ， m 是两条不同的直线， α是一个平面，则下列命题正确的是 A. 若l m ⊥， m α⊂，则l α⊥ B. 若//l α， //m α，则//l m C. 若//l α， m α⊂，则//l mD. 若l α⊥， //l m ，则m α⊥7.在矩形ABCD 中， 4,3AB AD ==，若向该矩形内随机投一点P ，那么使得ABP ∆与ADP ∆的面积都不小于2的概率为A.14B.13C.47D.498.已知函数为偶函数，且在上单调递减，则的解集为 A. B.C.D.9.下列三个数：33ln ,ln ,ln 3322a b c ππ=-=-=-，大小顺序正确的是 A. a c b >>B.a b c >>C. b c a >>D. b a c >>10.如图，在正方体ABCD －A 'B 'C 'D '中,平面垂直于对角线AC ',且平面截得正方体的六个表面得到截面六边形,记此截面六边形的面积为S ,周长为l ,则A. S 为定值,l 不为定值B. S 不为定值,l 为定值C. S 与l 均为定值D. S 与l 均不为定值11.已知函数在区间上是增函数,且在区间上存在唯一的使得,则的取值不可能为（ ）A. B. C. D.12.已知函数定义域为，记的最大值为，则的最小值为（ ） A.B.C.D.第II 卷（非选择题90分)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

绝密★启用前四川省泸州市泸县二中教育集团2021届高三毕业班上学期“泸州一诊”模拟考试数学(文)试题一．选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知}2|{>=x x A ，{N |4}B x x =∈≤，则=B AA.}4{3，B. ,3,4}2{C.{|24}x x <≤D. }2|{>x x2.下列说法正确的是A.“若12=x ，则1=x ”的否命题为“若12=x ，则1≠x ”B.“012,2>--∈∃x x R x ”的否定为“012,2<--∈∀x x R x ”C. “若y x >，则y x 22>”的逆否命题为真命题D. “1-=x ”是“0652=--x x ”的必要不充分条件3．用一个平面去截正方体，截面的形状不可能是A ．正三角形B ．正方形C ．正五边形D ．正六边形4．已知命题():0,p x ∀∈+∞，1sin x x x ≥+，命题:q x R ∃∈，1x e <，则下列为真命题的是A ．()p q ∧⌝B ．()p q ⌝∧C ．()()p q ⌝∧⌝D ．p q ∧5.已知sin 22πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（0απ≤≤），则)tan(απ-=A 3B 3C ．3D ．3- 6.已知圆柱的高为1，它的外接球的直径为2，则该圆柱的表面积A ．π)323(+ B ．π)343(+ C ．π29 D ．π)3223(+ 7.如图，设有圆C 和定点O ，当l 从0l 开始在平面上绕O 匀速旋转（旋转角度不超过90︒）时,它扫过的圆内阴影部分的面积S 时间t 的函数,它的图象大致是如图所示的四种情况中的哪一种？A ．B ．C ．D ．8.设m ,n 是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,给出下列四个命题,其中是真命题的是A.若m ⊂α,n ∥α,则m ∥n ；B.若α∥β,β∥γ,m ⊥α,则m ⊥γ；C.若α∩β＝n ,m ∥n ,m ∥α,则m ∥β；D.若m ∥α,n ∥β,m ∥n ,则α∥β．。

2021届四川省泸县第二中学高三上学期第一次月考数学（文）试题一、单选题1．设全集U =R ，集合{|0}M x x =≥，集合2{|1}N x x =<，则M ∩（U C N ）=（）A ．0,1B ．0,1C ．[)1,+∞ D ．1,答案：C解题思路：先求出{|11}N x x =-<<和UN ，再求M ∩（U C N ）得解.解：由题得2{|1}{|11}N x x x x =<=-<<， 所以{|1UN x x =≤-或1}x ≥，所以M ∩（U C N ）=[)1,+∞. 故选：C 点评：本题主要考查集合的补集和交集运算，考查一元二次不等式的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.2．若()25i z +=，则z 的虚部为（） A ．－1 B ．1C ．i -D ．i答案：A解题思路：利用复数除法运算化简z ，则虚部可求 解：()()()5252222i z i i i i -===-++-，故虚部为－1 故选：A 点评：本题考查复数的运算，意在考查计算能力，是基础题 3．已知命题:,sin p x R x x ∀∈>，则p 命题的否定为 A ．:,sin p x R x x ⌝∃∈<B ．:,sin p x R x x ⌝∀∈<C ．:,sin p x R x x ⌝∃∈≤D ．:,sin p x R x x ⌝∀∈≤答案：C解题思路：首先从题的条件中可以断定命题P 是全称命题，应用全称命题的否定是特称命题，利用其形式得到结果. 解：因为命题P ：,sin x R x x ∀∈>为全称命题， 所以P 的否定形式为：,sin x R x x ∃∈≤， 故选C. 点评：该题考查的是有关全称命题的否定的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有全称命题的否定，注意其形式即可得到正确的结果，属于简单题目. 4．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．8π3B ．16π3C ．8πD ．16π答案：B解题思路：根据三视图还原出原几何体，然后根据圆柱和圆锥的体积公式，计算出结果. 解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个圆柱挖去一个同底等高的圆锥， 圆柱和圆锥的底面直径为4，故底面半径为2，故底面面积4S π=， 圆柱和圆锥的高2h =，故组合体的体积116133V Sh π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 故选B ．点评：本题考查三视图还原几何体，圆柱体的体积和圆锥体积的求法，属于简单题. 5．已知角α的终边经过点(3,4)-，则πcos 2α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（） A ．45-B ．35 C ．35D ．45答案：D解题思路：利用诱导公式可得πcos sin 2αα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，再利用三角函数的定义求解即可. 解：因为角α的终边经过点(3,4)-，所以224sin 53(4)y r α===-+-. 所以π4cos sin 25αα⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭. 故选D. 点评：本题考查三角函数的定义和诱导公式，是一道基础题，解题时要注意符号.6．函数()2)2(xf x x x e -=的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．答案：B解题思路：根据函数()2)2(xf x x x e -=，利用导数得到函数的单调性，再根据0x <时，()0f x >求解.解：因为()2)2(xf x x x e -=，所以()2)2(xf x x e '-=，当x <x >()0f x '>，()f x 递增；当x <<时，()0f x '<，()f x 递减；又当0x <时，()0f x >， 故选：B 点评：本题主要考查函数的单调性与导数以及函数图象识别问题，还考查了数形结合的思想，属于中档题.7．已知432a =，1ln33e b =，233c =，则（） A ．c b a << B ．b c a << C ．c a b << D ．b a c <<答案：B解题思路：结合指数式与对数式的性质，可将三个式子化为指数为13的形式，然后利用幂函数的单调性可得出答案. 解：由题意，4133216a ==，1311ln3ln333e e 3b ===，213339c ==， 因为函数13y x =在0,上单调递增，所以1113333916<<，即b c a <<.故选：B. 点评：本题考查几个数的大小比较，考查指数式与对数式的运算性质，考查幂函数单调性的应用，考查学生的推理能力，属于基础题. 8．设曲线1cos ()sin x f x x +=在3x π=处的切线与直线1y ax =+平行，则实数a 等于()A ．1-B ．23C ．2-D ．2答案：C解题思路：利用直线平行斜率相等求出切线的斜率，再利用导数在切点处的值是曲线的切线斜率求出切线斜率，列出方程即得． 解： 解：切线与直线1y ax =+平行，斜率为a ，又()222sin 1cos cos 1cos ()sin sin x x xxf x xx--+--'==， 所以切线斜率()23k f π'==-，所以1y ax =+的斜率为2-，即2a =-． 故选：C ． 点评：此题主要考查导数的计算，以及利用导数研究曲线上某点切线方程，属于基础题． 9．已知曲线11(0x y a a -=+>且1)a ≠过定点(),k b ，若m n b +=且0,0m n >>，则41m n+的最小值为（）. A ．92B ．9C ．5D ．52答案：A解题思路：根据指数型函数所过的定点，确定1,2k b ==，再根据条件2m n +=，利用基本不等式求41m n+的最小值. 解：定点为(1,2),1,2k b ∴==，2m n ∴+=41141()()2m n m n m n +=++∴149(5+)22m n n m =+ 当且仅当4m nn m =时等号成立，即42,33m n ==时取得最小值92. 故选A 点评：本题考查指数型函数的性质，以及基本不等式求最值，意在考查转化与变形，基本计算能力，属于基础题型.10．已知函数,0 ()11,02x xf xx x⎧>⎪=⎨+≤⎪⎩，若m n<，()()f m f n=，则n m-的取值范围是（）A．(1,2]B．[1,2)C．3(2]4，D．3[2)4，答案：B解题思路：画出图象，根据图象确定m，n的取值范围，得出n m-的取值范围．解：根据图象()0f x=有两个交点，()(0f x∈，1]，m n<，()()f m f n=，()1f x=时，0m=1x=，1x=，故1n=，所以1n m-=；()0f x=时，2m=-0x=，1x=，故0n=，根据题意0n≠，所以2n m-<所以[1n m-∈，2)．故选：B点评：本题主要考查分段函数的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11．已知112ω>，函数()πsin24f x xω⎛⎫=+⎪⎝⎭在区间π3π(,)22内没有最值，则ω的取值范围（）A．11[,]62B．511,1224⎡⎤⎢⎥⎣⎦C．15,412⎡⎤⎢⎥⎣⎦D．5,112⎡⎤⎢⎥⎣⎦答案：C解题思路：根据正弦函数的最值可得，当418k x πω+=，k Z ∈时，()f x 取得最值，所以问题转化为对任意k Z ∈，都有413(,)822k πππω+∉，而当12ω=时，存在1k =使得413(,)822k πππω+∉不成立，所以12ω≠，排除选项,A D ，当1124ω=时，存在1k =使得4115811k ππω+=∈π3π(,)22，排除选项B ,可得选项C 正确. 解：由242x k ππωπ+=+，k Z ∈，得418k x πω+=，k Z ∈，因为函数()πsin 24f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间π3π(,)22内没有最值，所以对任意k Z ∈，都有413(,)822k πππω+∉， 当12ω=，1k =时，4153(,)8422k ππππω+=∈，故选项,A D 不正确； 当1124ω=时，存在1k =使得4115811k ππω+=∈π3π(,)22，故选B 不正确. 故选：C. 点评：本题考查了正弦函数的最值，属于基础题.12．已知函数()()()()ln 121,2,if x x x m i e =---=是自然对数的底数，存在m R ∈，所以（）A ．当1i =时，()f x 零点个数可能有3个B ．当1i =时，()f x 零点个数可能有4个C ．当2i =时，()f x 零点个数可能有3个D ．当2i =时，()f x 零点个数可能有4个 答案：C解题思路：将()f x 的零点转化为两个图象的交点，分析()f x 的单调区间，即可得出结论. 解：将()()()()ln 1212if x x x m i =---=，看成两个函数与y m =的交点，1i =时，()()()ln 12g x x x =--与y m =图象的交点，2()ln ,(0,)g x x x x'=-+∈+∞单调递增，2(1)20,()10g g e e'=-<'=-+>，所以存在唯一的0(1,)x e ∈，使得0()0g x =， 当0(0,),()0,()x x g x g x ∈'<单调递减， 当0(,),()0,()x x g x g x ∈+∞'>单调递增，所以()g x 有两个单调区间，与y m =至多只有两个交点， 所以AB 错误；当2i =时，()()2()ln 12h x x x =--()2()2ln 12h x x x x ⎛⎫'=--- ⎪⎝⎭，设2()2ln 1,(0,)x x x xϕ=--∈+∞单调递增， 2(2)2(ln 21)0,()10e eϕϕ=-<=->，所以存在唯一的0(2,)x e ∈，使得0()0x ϕ=， 令()0,2h x x ==或0x x =， 当()0h x >时，02x <<或0x x >， 当()0h x <时，02x x <<，所以()h x 的单调递增区间是0(0,2),(,)x +∞， 单调递减区间是0(2,)x ，所以()h x 有三个单调区间，与y m =至多有三个交点，则D 错误. 故选：C. 点评：本题考查函数的零点，等价转化为求函数的单调区间，属于中档题. 二、填空题 13．已知0,0a b >>，若461log log 2a b ==，则ab=______．解题思路：由指数式与对数式的互化公式，得到2,a b ==，即可求得ab的值，得到答案. 解：由对数式与指数式的互化，因为461log log 2a b ==，可得112242,66a b ====，所以636a b ==. 故答案为6. 点评：本题主要考查了指数式与对数式的互化，其中解答中熟记指数式与对数式的互化公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.14．若,x y 满足约束条件1120y y x x y ≥-⎧⎪≤-⎨⎪+-≤⎩则22z x y =+的最小值是___________.答案：12解题思路：由约束条件画出可行域，利用目标函数的几何意义求最小值． 解：作出可行域如图，目标函数22z x y =+的几何意义是区域内的点到原点距离的平方， 图中直线AB 的方程为1y x =-，原点到此直线的距离为2200121(1)d --==+-， 所以22z x y =+的最小值为212d =. 故答案为:12点评：本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，属于中档题.15．若函数2()=e --x f x x ax 在区间()0,+∞单调递增，则a 的取值范围是__________. 答案：(],22ln 2-∞-解题思路：等价于()0f x '≥在区间()0,+∞上恒成立，分离参数a 后化为求函数的最值即可，利用函数的单调性易求最值． 解：解：函数2()=e --x f x x ax 在区间()0,+∞单调递增，()20x f x e x a '∴=--≥在区间()0,+∞上恒成立，即2x e x a -≥在区间()0,+∞上恒成立， 令2xy e x =-其在()0,+∞上单调递增，2x y e '∴=-，当0y '=时ln 2x =，0ln 2x ∴<<时，0y '<函数递减， ln 2x >时，0y '>；函数递增ln 2min 2ln 222ln 2y e ∴=-=-，22ln 2a ∴≤-；故答案为：(],22ln 2-∞-． 点评：该题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数恒成立问题，考查转化思想，恒成立问题往往转化为函数最值解决．16．已知三棱锥P ABC -满足平面PAB ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，4AB =，030APB ∠=，则该三棱锥的外接球的表面积为________________.答案：64π解题思路：先确定球心就是PAB ∆的外心，再利用正弦定理得到4R =，计算表面积得到答案. 解：因为AC BC ⊥，所以ABC ∆的外心为斜边AB 的中点，因为平面PAB ⊥平面ABC ，所以三棱锥P ABC -的外接球球心在平面PAB 上， 即球心就是PAB ∆的外心，根据正弦定理2sin ABR APB=∠，解得4R =，所以外接球的表面积为64π. 点评：本题考查了三棱锥的外接球问题，确定球心为PAB ∆的外心是解题的关键.三、解答题17．已知函数()2cos 222f x x x x =.（1）求()f x 的单调递增区间； （2）求()f x 在区间[]π,0-上的最小值.答案：（1）3ππ2π,2π,44k k k Z ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）()min 1f x =-解题思路：（1）根据二倍角的正弦公式、降幂公式以及两角和的正弦公式化简解析式，再根据正弦函数的递增区间列式可解得结果； （2）由x 的范围得到4x π+的范围，再根据正弦函数的图象可得结果.解： （1）2()cos 222x x x f x =-1cos 2x x x x -==，∴π()sin()42f x x =+-，由πππ2π2π242k x k -≤+≤+得3ππ2π2π,44k x k k Z -≤≤+∈，则()f x 的单调递增区间为3ππ2π,2π,44k k k Z ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.（2）∵π0x -≤≤，∴3πππ444x -≤≤+，当ππ42x +=-，即3π4x =-时，()min 1f x =--点评：本题考查了二倍角的正弦公式、降幂公式以及两角和的正弦公式，考查了利用正弦函数的图象求最值，属于中档题. 18．已知函数32213()242a f x x x bx a =+++. （1）若1b =，当0x >时，()f x 的图象上任意一点的切线的斜率都为非负数，求证：a ≥； （2）若()f x 在2x =-时取得极值0，求+ab . 答案：（1）证明见解析；（2）11.解题思路：（1）根据导数的几何意义转化为当0x >时，3134x a x+≥-恒成立，根据基本不等式求出314x x+的最小值即可解得结果；（2）由(2)0f '-=和(2)0f -=解得29a b =⎧⎨=⎩或13a b =⎧⎨=⎩，再检验可知29a b =⎧⎨=⎩符合题意，所以11a b +=. 解：23()34f x x ax b '=++， （1）因为1b =，所以23()314f x x ax '=++， 因为当0x >时，()f x 的图象上任意一点的切线的斜率都为非负数， 所以当0x >时，()0f x '≥，即23134x ax +≥-，即3134x a x+≥-恒成立，∵3134x x +≥，∴33a -≤，∴3a ≥-. （2）因为()f x 在2x =-时取得极值0，所以(2)360f a b '-=-+=且2(2)26220f a b a -=-+-+=解得29a b =⎧⎨=⎩或13a b =⎧⎨=⎩， 当1,3a b ==时，23()(2)04f x x '=+≥，函数无极值；∴2,9,11a b a b ==+=. 点评：本题考查了导数的几何意义，考查了基本不等式，考查了根据函数的极值求参数，属于中档题.19．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos 2c A b a =-（1）求角C ；（2）若D 是边BC 的中点，5,21AC AD ==求AB 的长；答案：（1）3C π=；（2197；解题思路：（1）首先根据正弦定理边角互化，得到2sin cos 2sin sin C A B A =-，由()sin sin B A C =+，代入化简，最后得到1cos 2C =求角C ；（2）首先在ACD ∆中，根据余弦定理求CD ，然后在ABC ∆中再利用余弦定理求边AB . 解： （1）2cos 2c A b a =-，∴由正弦定理得2sin cos 2sin sin C A B A =-，2sin cos 2sin sin C A A C A =+（）-∴，2sin cos 2sin cos 2cos sin sin C A A C A C A =+-∴，2sin cos in ,sin 0A C s A A =≠∴，1cos 2C ∴=， (),3C C ππ∈=0，∴，（2）在ACD ∆中，由余弦定理得2222cos AD AC CD AC CD C =+-⋅⋅ 221255CD CD =+-∴ 2540CD CD -+=，1CD =∴或4CD =，当1CD =时，2BC =ABC ∆中，由余弦定理得2222cos AB AC BC AC BC C =+-⋅⋅1254252219=+-⨯⨯⨯=AB =∴，当4CD =时，8BC =2222cos AB AC BC AC BC C =+-⋅⋅12564258492=+-⨯⨯⨯= 7AB =∴AB =∴或7AB =.点评：本题考查正余弦定理解三角形，属于基础题型，一般在含有边和角的等式中，可根据正弦定理的边角互化公式转化为三角函数恒等变形问题.20．如图1，在平行四边形ABCD 中，4=AD ，22AB =，45DAB ∠=︒，E 为边AD 的中点，以BE 为折痕将ABE △折起，使点A 到达P 的位置，得到图2几何体P EBCD -．（1）证明：PD BE ⊥；（2）当BC ⊥平面PEB 时，求三棱锥C PBD -的体积． 答案：（1）证明见解析；（2）83． 解题思路：（1）由已知条件和勾股定理可得EB AD ⊥，根据折叠的不变性可得EB PE ⊥，EB ED ⊥，由线面垂直的判定和性质可得证；（2）由线面垂直的性质可得出PE ⊥平面BCD ，PE 就是三棱锥P CBD -的高，再运用等体积法可得出三棱锥的体积. 解：（1）依题意，在ABE △中（图1），2AE =，22AB =45EAB ∠=︒， 由余弦定理得2222cos 45EB AB AE AB AE =+-⋅⋅︒28422224=+-⨯=，∴222AB AE EB =+，即在平行四边形ABCD 中，EB AD ⊥． 以BE 为折痕将ABE △折起，由翻折不变性得， 在几何体P EBCD -中，EB PE ⊥，EB ED ⊥．又ED PE E =，∴BE ⊥平面PED ，又BE ⊂平面PEB ，∴PD BE ⊥．（2）∵BC ⊥平面PEB ，PE ⊂平面PEB ，∴BC PE ⊥．由（1）得EB PE ⊥，同理可得PE ⊥平面BCE ，即PE ⊥平面BCD ，PE 就是三棱锥P CBD -的高．又45DCB DAB ∠=∠=︒，4BC AD ==，CD AB ==2PE AE ==，∴11sin 4544222CBD S BC CD =⨯⨯⨯︒=⨯⨯=△， 11842333C PBD P CBD BCD V V S PE --==⨯=⨯⨯=△，因此，三棱锥C PBD -的体积为83． 点评：本题考查由平面图形折叠成空间几何体中的线面关系，以及三棱锥的体积的求解，属于中档题.21．设函数2()(2)ln ()f x ax a x x a R =---∈. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 恰有两个零点，求a 的取值范围. 答案：（1）见解析；（2）(44ln 2,)++∞ 解题思路：（1）()()()()211122x ax f x ax a x x-+=---='，讨论a ，求得单调性即可（2）利用（1）的分类讨论，研究函数最值，确定零点个数即可求解 解：（1）因为()()22ln f x ax a x x =---，其定义域为()0,∞+，所以()()()()211122(0)x ax f x ax a x x x-+=---=>'.①当0a ≥时，令()0f x '<，得102x <<；令()0f x '>，得12x >，此时()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增. ②当20a -<<时，令()0f x '<，得102x <<或1x a >-；令()0f x '>，得112x a<<-， 此时()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在11,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增. ③当2a =-时，()0f x '≤，此时()f x 在()0,∞+上单调递减.④当2a <-时，令()0f x '<，得10x a <<-或12x >；令()0f x '>，得112x a -<<，此时()f x 在10,a ⎛⎫-⎪⎝⎭，1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在11,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增.（2）由（1）可知：①当0a ≥时，()14ln224af x f -⎛⎫==+⎪⎝⎭极小值. 易证ln 1x x ≤-，所以()()()222ln 11f x ax a x x ax a x =---≥--+.因为()110313a <≤+，()()()()()2221116191211031319191a a f a a a a a a ⎛⎫++≥⋅--⋅+=> ⎪ ⎪++++⎝⎭， ()120f =>.所以()f x 恰有两个不同的零点，只需14ln2024af -⎛⎫=+<⎪⎝⎭，解得44ln2a >+. ②当20a -<<时，114ln2024af f a -⎛⎫⎛⎫->=+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，不符合题意. ③当2a =-时，()f x 在()0,∞+上单调递减，不符合题意.④当2a <-时，由于()f x 在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在11,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，且14ln2024af -⎛⎫=+>⎪⎝⎭，又1111ln f a a a ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于1102a <-<，1ln 0a ⎛⎫-< ⎪⎝⎭， 所以1111ln 0f a a a ⎛⎫⎛⎫-=---> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数()f x 最多只有1个零点，与题意不符. 综上可知，44ln2a >+，即a 的取值范围为()44ln2,++∞. 点评：本题考查利用导数研究函数的单调性与最值，函数零点问题，考查推理求解能力及分类讨论思想，是难题22．在平面直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为cos 2sin x r y r ϕϕ=⎧⎨=+⎩，(0r >，ϕ为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 经过点π2,6P ⎛⎫⎪⎝⎭，曲线2C 的极坐标方程为2(2cos 2)6ρθ+=． （1）求曲线1C 的极坐标方程；（2）若1(,)A ρα，2π,2B ρα⎛⎫+ ⎪⎝⎭是曲线2C 上两点，求2211||||OA OB +的值．答案：（1）4sin ρθ=；（2）23. 解题思路：(1)先化参数方程为普通方程，再化为极坐标方程，利用曲线1C 经过点π2,6P ⎛⎫⎪⎝⎭求出r 的值即可. (2)把1(,)A ρα，2π,2B ρα⎛⎫+ ⎪⎝⎭代入曲线2C 的方程，对2222121111=||||OA OB ρρ++变形化简即可. 解：（1）将曲线1C 的参数方程cos 2sin x r y r ϕϕ=⎧⎨=+⎩，化为普通方程为222(2)x y r +-=，即222440x y y r +-+-=.由222x y ρ=+，sin y ρθ=，得曲线1C 的极坐标方程为224sin 40r ρρθ-+-=.由曲线1C 经过点π2,6P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则22π242sin 4026r r -⨯⨯+-=⇒=(2r =-舍去), 故曲线1C 的极坐标方程为4sin ρθ=.（2）由题意可知21(2cos 2)6ρα+=，2222π2cos 2(2cos 2)62ραρα⎡⎤⎛⎫++=-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦, 所以22221211112cos 22cos 22||||663OA OB ααρρ+-+=+=+=. 点评：本题考查参数方程与极坐标方程的转化，考查对极坐标方程含义的理解，是一道基础题.牢记转化公式和极坐标系中ρθ，的含义即可顺利解题.23．已知函数2()23f x x a =+.（1）当0a =时，求不等式()23f x x +-≥的解集；（2）若对于任意实数x ，不等式21()2x f x a +-<恒成立，求实数a 的取值范围．答案：（1）1(,][1,)3-∞-⋃+∞；（2）1(,1)3.解题思路：（1）利用分类讨论法解绝对值不等式得解；（2）等式21()2x f x a +-<恒成立等价于2|31|2a a -<，再分类讨论解绝对值不等式. 解：(1)当0a =时，()|2||2||2|3f x x x x +-=+-≥ 有0223x x x ≤⎧⎨--+≥⎩或02223x x x <<⎧⎨-+≥⎩或2223x x x ≥⎧⎨+-≥⎩ 解得13x ≤-或12x ≤<或2x ≥所以()|2|3f x x +-≥的解集为1(,][1,)3-∞-⋃+∞.(2)对于任意实数x ，不等式|21|()2x f x a +-<成立，即2|21||23|2x x a a +-+<恒成立.又因为222|21||23||2123|31x x a x x a a +-+≤+--=-.要使原不等式恒成立，则需要2|31|2a a -<. 当0a <时，无解；当03a ≤≤时，由2132a a -<，解得13a <≤；当3a >时，由2312a a -<，解得13a <<， 所以实数a 的取值范围是1(,1)3.点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，考查绝对值三角不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.。

2019-2020学年四川省泸县第二中学高三开学考试数学（理）试题第I 卷（选择题60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设复数z 满足，则z =A.B.C.D.2.已知集合，，则A.B.C.D. 3.某校为了解高二的1553名同学对教师的教学意见，现决定用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，先在总体中随机剔除n 个个体，然后把剩下的个体按0001，0002，0003……编号并分成m 个组，则n 和m 应分别是 A.53，50B.53，30C.3，50D.3，314.已知双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为A.B. C. D.5.等比数列中，，，则数列前3项和A.B.C.D.6.设l ， m 是两条不同的直线， α是一个平面，则下列命题正确的是 A. 若l m ⊥， m α⊂，则l α⊥ B. 若//l α， //m α，则//l m C. 若//l α， m α⊂，则//l m D. 若l α⊥， //l m ，则m α⊥7.在矩形ABCD 中， 4,3AB AD ==，若向该矩形内随机投一点P ，那么使得ABP ∆与ADP ∆的面积都不小于2的概率为 A.14B.13C.47D.498.已知函数为偶函数，且在上单调递减，则的解集为A.B.C. D.9.下列三个数：33ln ,ln ,ln 3322a b c ππ=-=-=-，大小顺序正确的是 A. a c b >>B.a b c >>C. b c a >>D.b a c >>10.如图，在正方体ABCD －A 'B 'C 'D '中,平面垂直于对角线AC ',且平面截得正方体的六个表面得到截面六边形,记此截面六边形的面积为S ,周长为l ,则A. S 为定值,l 不为定值B. S 不为定值,l 为定值C. S 与l 均为定值D. S 与l 均不为定值11.已知函数在区间上是增函数,且在区间上存在唯一的使得,则的取值不可能为（ ）A.B.C.D.12.已知函数定义域为，记的最大值为，则的最小值为（ ）A.B.C.D.第II 卷（非选择题90分) 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

四川省泸县第二中学2021届高三理综上学期开学考试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

可能用到的相对原子质量：H 1 Li 7 C 12 N 14 O 16 Na 23 S 32 Cl 35.5 Ar 40 Fe56 I 127一、选择题：本题共13个小题，每小题6分。

共78分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．15N标记的含有100个碱基对的DNA分子，其中有胞嘧啶60个，该DNA分子在14N的培养基中连续复制4次．其结果可能是A．含有14N的DNA分子占7/8 B．含有15N的DNA分子占1/8C．复制过程中需游离的腺嘌呤脱氧核苷酸700个D．复制结果共产生8个DNA分子2．生物体生命活动的调节方式是多种多样的,关于生命活动调节的叙述不正确的是()A．切除小白鼠的垂体后，其血液中的生长激素含量减少B．寒冷环境中肾上腺素分泌量增加，将引起骨骼肌不自主战栗C．胰岛素和胰高血糖素的分泌主要受血糖浓度的调节，也受神经调节D．饮水不足会引起下丘脑分泌抗利尿激素，促进肾小管和集合管重吸收水3．2021年2月22日，国务院常务会议研究部署H7N9疫情防控工作。

会议要求各地区和有关部门继续做好H7N9疫情联防联控工作。

下列关于H7N9病毒的叙述错误的是A．H7N9病毒不属于生命系统的结构层次B．其不具有细胞结构，主要由蛋白质和核酸组成C．H7N9病毒能单独完成各种生命活动D．H7N9病毒的生命活动离不开细胞4．如图所示为细胞的亚微结构，其中a和b为物质的两种运输方式，下列对细胞膜结构和功能的叙述，错误的是A．若图示为肝细胞膜，则CO2的运输方向是Ⅱ→ⅠB．胃黏膜上皮细胞的保护、细胞间的识别都与①有关C．a和b两种物质的运输方式能体现细胞膜的选择透性D．图中②和③构成细胞膜的基本支架5．下列叙述中正确的是A．蓝藻细胞没有叶绿体，不能进行光合作用B．癌变的细胞表面糖蛋白减少，不易扩散和转移C．醋酸杆菌没有线粒体，因而能进行有氧呼吸D．发育中的蝌蚪其尾部的消失属于细胞凋亡，不是细胞坏死6．某家鼠的毛色受独立遗传的两对等位基因（A．a和B、b）控制，已知基因A、B同时存在时表现为黑色，其余情况下均为白色，且基因B、b只位于X染色体上。

四川省泸县第二中学2021届高三数学上学期第一次月考试题 理注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷 选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设全集R U =，集合{|0}M x x =≥，集合2{|1}N x x =<，则M ∩（N C U ）= A ．()0,1B ．[]0,1C ．[)1,+∞D ．()1,+∞2.若(25)i z ＋＝，则z 的虚部为 A. 1－ B.1C. i －D.i3.已知命题:R,sin p x x x ∀∈>，则P 命题的否定为 A ．:R,sin p x x x ⌝∃∈< B ．:R,sin p x x x ⌝∀∈< C ．:R,sin p x x x ⌝∃∈≤D ．:R,sin p x x x ⌝∀∈≤4.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．8π3B ．16π3C ．8πD ．16π5.已知角α的终边经过点(3,4)-，则cos()2+=παA.45-B.35-C.35D.456.函数()222()xf x x x e ＝－的图象可能是A. B. C. D.7.已知412ln33332,e ,3a b c ===，则 A ．c b a << B ．b a c <<C ．c a b <<D ．b c a <<8.设曲线1cos ()sin x f x x +=在3x π=处的切线与直线1y ax =+平行，则实数a 等于A.-1B.23C.-2D.29.已知曲线()1101x y aa a -=+>≠且过定点(),kb ，若m n b +=且0,0m n >>，则41m n+的最小值为 A. 9 B.92C. 5D.5210.已知函数,0()11,02x x f x x x >=⎨+≤⎪⎩，若m n <，()()f m f n =，则n m -的取值范围是A.(1,2]B.[1,2)C.3(2]4，D.3[2)4， 11.已知112ω>，函数()πsin 24f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间π3π(,)22内没有最值，则ω的取值范围A ．11[,]62B ．511,1224⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．15,412⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．5,112⎡⎤⎢⎥⎣⎦12.已知函数e i x x x f i),2,1()2)(1(ln )(=--=是自然对数的底数，存在R m ∈,所以 A.当1=i 时，)(x f 零点个数可能有3个 B.当1=i 时，)(x f 零点个数可能有4个 C.当2=i 时，)(x f 零点个数可能有3个 D.当2=i 时，)(x f 零点个数可能有4个第II 卷 非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。