3.2垂径定理陈制修改(第1课时)

①④
①⑤ ②③ ②④ ②⑤
②③⑤
②③④ ①④⑤ ①③⑤ ①③④
③④
③⑤ ④⑤
①②⑤
①②④ ①②③
练习：在⊙O中，OC垂直于弦AB， AB = 8，OA = 5， 则AC = 4 ，OC = 3 。
O
5 3 4 ┏
A
C
8
B
例2、如图，AB是⊙O的一条弦，点C为弦AB 的中点，OC = 3，AB = 8，求OA的长。
●
想一想P88 2
圆的对称性

驶向胜利 的彼岸
圆是轴对称图形. 圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无 数条对称轴. 可利用折叠的方法即可解决上述问题. 圆也是中心对称图形.
●
O
它的对称中心就是圆心.
用旋转的方法即可解决这个 问题.
读一读P88 3
圆的相关概念

圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧. 以A,B两点为端点的弧.记作 ⌒ ,读作“弧 AB AB”. 连接圆上任意两点间的线段叫做弦(如弦AB).

●
O
∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B ⌒ ⌒ 重合, ⌒ ⌒ AC和BC重合, AD和BD重合.
D
⌒ ⌒ ⌒ ∴AC =BC, AD =BD.
⌒
想一想 P90 6
垂径定理

驶向胜利 的彼岸
定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.
C
A
M└
●
如图∵ CD是直径, CD⊥AB, B
O
∴AM=BM,
B
独立作业P91 16
挑战自我

驶向胜利 的彼岸
P94:习题3.2
2题祝你成功!试一试P93 15挑战自我画一画

新课导入
1300多年前，我国隋朝建造的赵州石拱桥（如
图）的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长） 为37.4m，拱高（弧的中点到弦的距离，也叫弓形 高）为7.2m，求桥拱的半径（精确到0.1m）.
思考探究
如图，AB是⊙O的一条弦，作 直径CD，使CD⊥AB， 垂足为M． A
（1）这个图形是轴对称图形 吗？如果是，它的对称轴是什么？
段弯路的半径.
C E
FD O
解：连接 OC .
设弯路的半径为 R m，则 OF =（R – 90）m .
∵ OE⊥CD ，
∴在RCtF△O1CFC中D ，1根据60勾0 股3定00理(m，). 得 OC2 = 2 = 3002 +（R – 90）2
解这个方程，得 R = 545.
O
所以，这段弯路的半径为 545 m.
随堂演练
1.如图，AB 是⊙O 的直径，
弦 CD⊥AB，垂足为 M，下列结论
不一定成立的是（ ） D
A. CM = DM
B.
C.
∠CABCD
=∠ADC
BD
D. OM = MD
2.如图，AB 是 ⊙O 的弦，
OC⊥AB 于 C .若 AB = ，OC = 1，
O
解得 R ≈ 27.9（m）.
答：赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.
C
A
B
D
O
解：如图，设半径为 R，
C
AB = 37.4， CD = 7.2
7.2
11
A
AD AB 37.4 18.7,
18.7 D
B
22
OD = OC – DC = R – 7.2 .
R
R – 7.2

半径为R．经过圆心O 作弦AB 的垂线OC，D为垂足，OC与AB
相的⌒交中于点点，DC，D 根就据是前拱面高的．结论，D 是AB 的中点，C是ＡＢ
解：因为 AB=37.4，CD=7.2，
AD 1 AB 1 37.4 18.7,
22
OD=OC－CD=R－7.2
C
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
OA2=AD2+OD2
求证：AC＝BD.
O.
A
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，
C
ED
B
则AE＝BE，CE＝DE.
AE－CE＝BE－DE.
所以，AC＝BD
只需从圆心作一条与弦垂直的线段.就可以利 用垂径定理来解决有关问题了.
你能用一句话概括
这个结论吗？
3、已知：⊙O中弦AB∥CD. 求证：A⌒C＝BD⌒ 证明：作直径MN⊥AB.
E
B A
D
垂径定理：垂直于弦的 直径平分弦，并且平分 弦所对的两条弧
垂径定理的几个基本图形：
C
A
D
B
A
O
E
BA
O
D
B
O
A
D
C
CD过圆心 CD⊥AB于E
C
AE=BE
AC= BC AD= BD
O
C
B
•思考：平分弦（不是直径） 的直径有什么性质？
垂径定理的推论
如图: AB是⊙O的一条弦，直径CD交AB于M，AM=BM
赵州桥主桥拱的半径是多少？
问题 ：你知道赵州桥吗？它是1300多年前我国隋代建造的 石拱桥， 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是 圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m， 拱高(弧的 中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？

可推得
平分弦
平分弦所对的劣 （优）弧
..........
7
在下列图形，符合垂径定理的条件吗？
练习1 D
A
B
E
A
O
O
CE
O
A
E
B
AC
B C
O
O
E
C
D
AE
B
B
D..........
D D
O
AE
B
C
8
C
O
A
A
E
B
A
O
D
B
D
B
O
D
C
A
A
O
C
B
C
C
B
D
O
..........
9
判断下列图形，能否使用垂径定理？
④⑤ ①②③ 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.
..........
14
一、判断是非：
（1）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。
（2）平分弦的直线，必定过圆心。
（3）一条直线平分弦（这条弦不是直径），
那么这 条直线垂直这条弦。
A
C
OD
(1) B
C
•O
A
B
(2) D
..........
拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵州桥
主桥拱的半径吗？
37.4
C
解：如图，设半径为R，
AB=37.4,CD=7.
7.2
A
18.7
AD 1 AB2 1 37.4 18.7,
2
2
D
R
R-7.2